Pakalpojuma plūsmas intensitāte:
1. Slodzes intensitāte.
ρ = λ t obs = 120 1/60 = 2
Slodzes intensitāte ρ=2 parāda servisa kanāla pieprasījumu ieejas un izejas plūsmu konsekvences pakāpi un nosaka sistēmas stabilitāti rindā.
3. Varbūtība, ka kanāls ir brīvs(kanāla dīkstāves proporcija).
Līdz ar to stundas laikā dīkstāvē būs 12% kanāla, dīkstāves laiks ir vienāds ar t pr = 7,1 min.
Varbūtība, ka pakalpojums:
1 kanāls aizņemts:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1/1! 0,12 = 0,24
2 kanāli ir aizņemti:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2/2! 0,12 = 0,24
3 kanāli ir aizņemti:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3/3! 0,12 = 0,16
4. Noraidīto pieteikumu īpatsvars.
Tas nozīmē, ka 3% no saņemtajiem pieteikumiem netiek pieņemti apkalpošanā.
5. Ienākošo pieprasījumu apkalpošanas varbūtība.
Sistēmās ar atteicēm kļūmes un apkopes notikumi veido pilnīgu notikumu grupu, tāpēc:
p atvērts + p obs = 1
Relatīvā caurlaidspēja: Q = p obs.
p obs = 1 - p atvērts = 1 - 0,0311 = 0,97
Līdz ar to 97% no saņemtajiem pieteikumiem tiks apkalpoti. Pieņemamajam pakalpojumu līmenim jābūt virs 90%.
6. Vidējais pakalpojuma aizņemto kanālu skaits.
n h = ρ p obs = 2 0,97 = 1,9 kanāli
Vidējais dīkstāves kanālu skaits.
n pr = n - n z = 3 - 1,9 = 1,1 kanāli
7. Servisa kanālu noslogojums.
Līdz ar to sistēma par 60% ir aizņemta ar apkopi.
8. Absolūtā caurlaidspēja.
A = p obs λ = 0,97 120 = 116,3 pieprasījumi stundā.
.
t pr = p atvērts t obs = 0,0311 0,0166 = 0 stunda.
10. Vidējais pieteikumu skaits rindā.
vienības
(vidējais gaidīšanas laiks, lai pieteikums tiktu apkalpots rindā). 
stunda.
12. Vidējais iesniegto pieteikumu skaits.
L obs = ρ Q = 2 0,97 = 1,94 vienības.
13. Vidējais pieteikumu skaits sistēmā.
L CMO = L och + L obs = 0,51 + 1,94 = 2,45 vienības.
13. Vidējais laiks, cik ilgi pieteikums paliek TKO.
stunda.
Stundas laikā noraidīto pieteikumu skaits: λ p 1 = 4 pieteikumi stundā.
QS nominālā produktivitāte: 3 / 0,0166 = 181 pielietojums stundā.
SMO faktiskā veiktspēja: 116,3 / 181 = 64% no nominālās jaudas.
Mēs turpmāk izmantosim šādu apzīmējumu vidējam gaidīšanas laikam prioritārās klases pieprasījumu rindā lpp - Wp, un vidējais sistēmā pavadītais laiks šīs klases prasībām - Tp:
Mēs koncentrēsimies uz sistēmām ar relatīvu prioritāti. Apskatīsim procesu no brīža, kad no prioritārās klases tiek saņemts noteikts pieprasījums lpp. Mēs turpmāk šo prasību sauksim par marķētu. Pirmais marķētā pieprasījuma latentuma komponents ir saistīts ar pieprasījumu, kas tiek nosūtīts uz servera. Šis komponents ir vienāds ar cita pieprasījuma atlikušo apkalpošanas laiku. Tagad apzīmēsim un turpināsim lietot šo apzīmējumu — marķētās prasības vidējo aizkavi, kas saistīta ar citas prasības esamību ekspluatācijā. W 0. Zinot laika sadalījumu starp blakus iebraucējiem ievades prasības katrai prioritātes klasei jūs vienmēr varat aprēķināt šo vērtību. Saskaņā ar mūsu pieņēmumu par Puasona likumu katras klases lietojumprogrammu plūsmai, mēs varam rakstīt
.
Atzīmētās prasības gaidīšanas laika otro komponentu nosaka tas, ka pirms marķētās prasības tiek apkalpoti citi pieprasījumi, ka atzīmētā prasība atrodas rindā. Tālāk apzīmēsim klases prasību skaitu i, kas rindā uztvēra atzīmēto prasību (no klases lpp) un kas tiek pasniegti pirms tā Nip. Šī skaitļa vidējais lielums noteiks šī aizkaves komponenta vidējās vērtības vērtību
Trešā kavēšanās sastāvdaļa ir saistīta ar pieprasījumiem, kas tika saņemti pēc marķētā pieprasījuma saņemšanas, bet saņēma pakalpojumu pirms tā. Apzīmēsim šādu prasību skaitu M ip. Šīs aizkaves komponentes vidējā vērtība tiek atrasta līdzīgi un ir
Saskaitot visus trīs komponentus, mēs atklājam, ka vidējo gaidīšanas laiku rindā marķētam pieprasījumam nosaka formula
Ir skaidrs, ka neatkarīgi no dienesta disciplīnas, prasību skaits Nip Un M ip sistēmā nevar būt patvaļīgs, tāpēc ir noteikts attiecību kopums, kas savstarpēji savieno aizkaves katrai prioritātes klasei. Šo attiecību nozīme QS ļauj saukt tās par SAGLABĀŠANAS LIKUMIEM. Aizkaves saglabāšanas likumu pamatā ir fakts, ka nepabeigtie darbi jebkurā QS jebkurā aizņemtā laika intervālā nav atkarīgi no apkalpošanas kārtības, ja sistēma ir konservatīva (prasības sistēmā nepazūd un serveris nedarbojas dīkstāvē, kad rinda nav tukša).
Gaidīšanas laiku sadalījums būtiski ir atkarīgs no apkalpošanas kārtības, bet, ja dienesta disciplīna izvēlas prasības neatkarīgi no to dienesta laika (vai jebkura pasākuma, kas atkarīgs no dienesta laika), tad pieprasījumu skaita un gaidīšanas laika sadalījums sistēma ir nemainīga attiecībā uz apkalpošanas kārtību.
M/G/1 tipa QS var pierādīt, ka jebkurai pakalpojumu disciplīnai ir jāievēro šāda svarīga vienlīdzība:
Šī vienlīdzība nozīmē, ka gaidīšanas laiku svērtā summa nekad nemainās neatkarīgi no tā, cik sarežģīta vai gudra ir pakalpojumu disciplīna. Ja dažām prasībām latentumu var samazināt, citām tas nekavējoties palielināsies.
Vairāk kopējā sistēma patvaļīgi sadalot prasību G/G/1 pienākšanas laiku, saglabāšanas likumu var rakstīt formā
.
Šīs attiecības vispārējā nozīme ir tāda, ka aizkaves laiku svērtā summa paliek nemainīga. Vienkārši labajā pusē ir atšķirība starp vidējo nepabeigto darbu un atlikušo kalpošanas laiku. Ja mēs pieņemam ievades plūsmas Puasona raksturu, tad nepabeigtā darba izteiksmi var uzrakstīt kā
Aizvietojot to iepriekšējā izteiksmē, uzreiz iegūstam iepriekš doto saglabāšanas likumu M/G/1 tipa QS.
Tagad aplūkosim vidējā gaidīšanas laika aprēķinu QS ar pakalpojumu prioritārās funkcijas noteiktajā prioritāšu secībā.
1. attēlā ir parādīta QS darbības shēma ar šādu pakalpojumu disciplīnu: ienākošais pieprasījums tiek ievietots rindā pa kreisi no pieprasījuma ar vienādu vai lielāku prioritāti.
Rīsi. 1 TKO ar prioritāru pakalpojumu.
Izmantosim formulu, lai Wp. Pamatojoties uz funkcionēšanas mehānismu, mēs varam uzreiz rakstīt
Visi pieprasījumi, kas pārsniedz norādīto prioritāti, tiks apkalpoti agrāk. No Litla formulas, klases prasību skaits i rindā būs vienāds ar:
Augstākas prioritātes klašu pieprasījumi, kas sistēmā tiek ievadīti pēc marķēta pieprasījuma, kamēr tas atrodas rindā, arī tiks apkalpoti pirms tā. Tā kā marķētā prasība būs vidēji rindā Wp sekundes, tad šādu pieprasījumu skaits būs vienāds ar
Tieši no formulas (*) iegūstam:
Šo vienādojumu sistēmu var atrisināt rekursīvi, sākot no W 1, W 2 utt.
Iegūtā formula ļauj aprēķināt pakalpojumu kvalitātes raksturlielumus visām prioritārajām klasēm. Attēlā 7.2. parāda, kā mainās gaidīšanas laika normalizētā vērtība rindā QS ar piecām prioritārajām klasēm ar vienādu pieprasījumu plūsmas intensitāti katrai prioritārajai klasei un vienādu vidējo apkalpošanas laiku katras klases pieprasījumiem (apakšējā attēlā ir detalizēti aprakstītas zemās vērtības līknes slodzes vērtības).
2.attēls.Pakalpojums prioritāšu secībā relatīvo prioritāšu gadījumā (P=5, l P = l/5, ).
Īpašs uzdevums ir noteikt gaidīšanas laika sadalījuma likumus.
Tagad apskatīsim sistēmu ar absolūtām prioritātēm un apkalpošanu prioritārā secībā ar papildu pakalpojumu. Izmantosim pieeju, kas ir pilnīgi līdzīga iepriekš apspriestajai. Marķētās prasības vidējā aizkave sistēmā arī sastāv no trim komponentiem: pirmais komponents ir vidējais apkalpošanas laiks, otrais ir aizkave, kas saistīta ar tādu pieprasījumu apkalpošanu, kuriem ir vienāda vai augstāka prioritāte, kādu sistēmā atrada atzīmētā prasība. Trešais marķētās prasības vidējā latentuma komponents ir aizkave, ko izraisa jebkuri pieprasījumi, kas tiek ievadīti sistēmā pirms marķētās prasības aiziešanas un kuriem ir stingri augstāka prioritāte. Aprakstot visas šīs trīs kopējā sistēmā pavadītā laika sastāvdaļas, mēs iegūstam
.
Ļoti interesants uzdevums ir prioritāšu izvēle pieteikumiem. dažādas nodarbības. Tā kā saglabāšanas likums ir spēkā, optimizācijai ir jēga tikai tad, ja tiek ņemti vērā daži papildu atribūti katrai prasību klasei. Pieņemsim, ka prioritātes klases p lietojuma katru kavējuma sekundi var novērtēt ar zināmām izmaksām C lpp. Tad sistēmas vidējās kavēšanās sekundes izmaksas var izteikt kā katras sistēmā esošās klases vidējo pieprasījumu skaitu.
Atrisināsim problēmu atrast pakalpojuma disciplīnu ar relatīvām prioritātēm M/G/1 sistēmai, kas samazina vidējās aizkaves izmaksas C. Lai ir P prioritārās pieprasījumu klases ar noteiktu ierašanās ātrumu un vidējo apkalpošanas laiku. Pāriesim uz kreisā puse nemainīga summa un izteikt labā puse caur zināmiem parametriem
Uzdevums ir minimizēt šīs vienlīdzības labajā pusē esošo summu, izvēloties atbilstošu dienesta disciplīnu, t.i. indeksa secības izvēle lpp.
Apzīmēsim
Šajā apzīmējumā problēma izskatās šādi: mums ir jāsamazina pakļauto produktu summa
Nosacījums funkciju summas neatkarībai g lpp dienesta disciplīnas izvēli nosaka saglabāšanas likums. Citiem vārdiem sakot, problēma ir samazināt laukumu zem divu funkciju reizinājuma līknes, ja laukums zem vienas no tām ir nemainīgs.
Risinājums ir vispirms sakārtot vērtību secību f lpp: 
.
Un tad mēs izvēlamies katram f lpp tās nozīmi g lpp, lai samazinātu savu produktu summu. Tas ir intuitīvi skaidrs optimāla stratēģija izvēle sastāv no atlases zemākā vērtība g lpp par vislielāko f lpp, tad pārējām vērtībām jārīkojas tāpat. Tāpēc ka g lpp=W p r p, tad minimizēšana tiek samazināta līdz vidējo aizkaves vērtību samazināšanai. Tādējādi apskatāmās optimizācijas problēmas risinājums ir tāds, ka no visām iespējamām pakalpojumu disciplīnām ar relatīvu prioritāti minimālās vidējās izmaksas nodrošina disciplīna ar sakārtotām prioritātēm atbilstoši nevienlīdzībām.
.
Rindas sistēmu sauc par gaidīšanas sistēmu, ja pieprasījums, kurā visi kanāli ir aizņemti, nonāk rindā un gaida, līdz kāds kanāls kļūst brīvs.
Ja pieteikuma gaidīšanas laiks rindā ir neierobežots, tad sistēmu sauc par “tīro gaidīšanas sistēmu”. Ja to ierobežo noteikti nosacījumi, tad sistēmu sauc par “jaukta tipa sistēmu”. Šis ir starpgadījums starp tīru sistēmu ar kļūmēm un tīru sistēmu ar gaidīšanu.
Praksē vislielāko interesi rada jaukta tipa sistēmas.
Var būt noteikti gaidīšanas ierobežojumi dažādi veidi. Bieži gadās, ka tiek uzlikts ierobežojums pieteikuma gaidīšanas laikam rindā; tiek uzskatīts, ka to no augšas ierobežo kāds periods, kas var būt vai nu stingri noteikts, vai nejaušs. Šajā gadījumā tiek ierobežots tikai gaidīšanas laiks rindā, un iesāktais pakalpojums tiek pabeigts neatkarīgi no gaidīšanas ilguma (piemēram, klients frizētavā, apsēdies krēslā, parasti nedara atvaļinājums līdz dienesta beigām). Citās problēmās dabiskāk ir noteikt ierobežojumu nevis gaidīšanas laikam rindā, bet gan kopējam pieprasījuma palikšanas laikam sistēmā (piemēram, gaisa mērķis var atrasties šaušanas zonā tikai ierobežotu laiku un atstāj to neatkarīgi no tā, vai lobīšana ir beigusies vai nē). Visbeidzot, mēs varam apsvērt šādu jauktu sistēmu (tā ir vistuvākā tirdzniecības uzņēmumu veidam, kas pārdod nebūtiskas preces), kad pieteikums nokļūst rindā tikai tad, ja rindas garums nav pārāk garš. Šeit tiek noteikts rindā esošo pieteikumu skaita ierobežojums.
Gaidīšanas sistēmās liela nozīme ir tā sauktajai “rindu disciplīnai”. Neapstiprinātus pieprasījumus var izsaukt rindas kārtībā (agrās ierašanās tiek apkalpota pirmā), vai arī nejaušā, neorganizētā veidā. Ir rindu sistēmas “ar priekšrocībām”, kur daži pieprasījumi tiek apkalpoti labāk nekā citi (“ģenerāļi un pulkveži ārpus kārtas”).
Katram gaidīšanas sistēmas veidam ir savas īpatnības un matemātiskā teorija. Daudzi no tiem ir aprakstīti, piemēram, V. V. Gņedenko grāmatā “Lekcijas par rindas teoriju”.
Šeit mēs koncentrēsimies tikai uz vienkāršāko jauktas sistēmas gadījumu, kas ir dabisks Erlanga problēmas vispārinājums sistēmai ar kļūmēm. Šajā gadījumā mēs atvasināsim Erlanga vienādojumiem līdzīgus diferenciālvienādojumus un līdzsvara stāvokļa stāvokļu varbūtību formulas, kas ir līdzīgas Erlanga formulām.
Apskatīsim jauktu rindu sistēmu ar kanāliem at šādiem nosacījumiem. Sistēmas ievade saņem visvienkāršāko pieprasījumu plūsmu ar blīvumu. Apkalpošanas laiks vienam pieprasījumam ir orientējošs, ar parametru. Pieprasījums, kurā visi kanāli ir aizņemti, tiek ievietots rindā un gaida apkalpošanu; gaidīšanas laiks ir ierobežots līdz noteiktam periodam; Ja pieteikums netiek pieņemts izsniegšanai pirms šī termiņa beigām, tas atstāj rindu un paliek neapkalpots. Gaidīšanas periods tiks uzskatīts par nejaušu un sadalīts saskaņā ar eksponenciālo likumu
kur parametrs ir apgriezts vidējam gaidīšanas laikam:
; 
.
Parametrs ir pilnībā līdzīgs gan pieprasījuma plūsmas, gan “atlaišanas plūsmas” parametriem. To var interpretēt kā rindā stāvošā pieteikuma “izlidošanas plūsmas” blīvumu. Patiešām, iedomāsimies lietojumprogrammu, kas nedara neko citu kā tikai pievienojas rindai un gaida tajā, līdz beidzas gaidīšanas periods, pēc kura tā pamet un nekavējoties pievienojas rindai. Tad šādas lietojumprogrammas “izlidošanas plūsmai” no rindas būs blīvums .
Acīmredzot, kad jauktā tipa sistēma pārvēršas par tīru sistēmu ar kļūmēm; kad tas pārvēršas par tīru sistēmu ar gaidīšanu.
Ņemiet vērā, ka, izmantojot eksponenciālās sadales likumu gaidīšanas laikam, sistēmas jauda nav atkarīga no tā, vai lietojumprogrammas tiek apkalpotas rindā vai nejaušā secībā: katrai lietojumprogrammai atlikušā gaidīšanas laika sadales likums nav atkarīgs no tā, cik ilgi pieteikums jau ir bijis rindā.
Pateicoties pieņēmumam par Puasona raksturu visām notikumu plūsmām, kas izraisa izmaiņas sistēmas stāvokļos, tajā notiekošais process būs Markovian. Uzrakstīsim vienādojumus sistēmas stāvokļu varbūtībām. Lai to izdarītu, vispirms mēs uzskaitām šos stāvokļus. Mēs tos numurēsim nevis pēc aizņemto kanālu skaita, bet gan pēc ar sistēmu saistīto lietojumprogrammu skaita. Mēs izsauksim pieprasījumu “saistīts ar sistēmu”, ja tas ir apkopes stāvoklī vai gaida rindā. Iespējamie sistēmas stāvokļi būs:
Neviens kanāls nav aizņemts (nav rindas),
Tieši viens kanāls ir aizņemts (nav rindas),
Tieši kanāli ir aizņemti (nav rindas),
Visi kanāli ir aizņemti (nav rindas),
Visi kanāli ir aizņemti, viena lietojumprogramma ir rindā,
Visi kanāli ir aizņemti, lietojumprogrammas ir rindā,
Rindā esošo pieteikumu skaits mūsu apstākļos var būt tik liels, cik vēlaties. Tādējādi sistēmai ir bezgalīga (kaut arī saskaitāma) stāvokļu kopa. Attiecīgi to aprakstošo skaits diferenciālvienādojumi arī būs bezgalīga.
Acīmredzot pirmie diferenciālvienādojumi nekādā veidā neatšķirsies no atbilstošajiem Erlang vienādojumiem:
Atšķirība starp jaunajiem vienādojumiem un Erlanga vienādojumiem sāksies plkst. Patiešām, sistēma ar kļūmēm var tikai pāriet uz stāvokli no stāvokļa; Kas attiecas uz gaidīšanas sistēmu, tā var doties uz valsti ne tikai no , bet arī no (visi kanāli ir aizņemti, viens pieprasījums ir rindā).
Izveidosim diferenciālvienādojumu priekš . Fiksēsim momentu un atradīsim varbūtību, ka sistēma šobrīd būs stāvoklī. To var izdarīt trīs veidos:
1) uz doto brīdi sistēma jau bija stāvoklī, bet laikā tā neizgāja no tās (nepienāca neviens pieprasījums un neviens kanāls nekļuva brīvs);
2) uz doto brīdi sistēma atradās stāvoklī, un laika gaitā pārgāja uz stāvokli (sanāca viens pieprasījums);
3) brīdī, kad sistēma atradās stāvoklī (visi kanāli ir aizņemti, viens pieprasījums ir rindā), un laikā, uz kuru tas aizgāja (vai nu viens kanāls kļuva brīvs un rindā stāvošais pieprasījums to aizņēma, vai arī pieprasījums stāv rindā sakarā ar perioda beigām) .
Tagad aprēķināsim, cik liela ir varbūtība, ka šobrīd visi kanāli būs aizņemti un rindā būs tieši lietojumprogrammu skaits. Šis notikums atkal var notikt trīs veidos:
1) uz doto brīdi sistēma jau bija stāvoklī, un šajā laikā šis stāvoklis nemainījās (tas nozīmē, ka neienāca neviens pieteikums, netika atbrīvots neviens piliens un neviena no programmām, kas stāvēja rindā pa kreisi);
2) uz doto brīdi sistēma atradās stāvoklī, un laika gaitā tā pārgāja uz stāvokli (t.i., pienāca viens pieprasījums);
3) uz doto brīdi sistēma atradās stāvoklī un laikā, kad tā pārgāja uz stāvokli (lai tas būtu vai nu vienam no kanāliem jāatbrīvojas, un tad to paņems kāda no rindā stāvošām aplikācijām, vai arī viens no rindā esošajiem pieteikumiem ir jāatstāj sakarā ar perioda beigām ).
Tātad:
Tādējādi mēs esam ieguvuši stāvokļa varbūtību sistēmu bezgalīgs skaitlis diferenciālvienādojumi:
(19.10.1)
Vienādojumi (19.10.1.) ir Erlanga vienādojumu dabisks vispārinājums jaukta tipa sistēmai ar ierobežotu gaidīšanas laiku. Parametri šajos vienādojumos var būt nemainīgi vai mainīgi. Integrējot sistēmu (19.10.1.), ir jāņem vērā, ka, lai gan teorētiski sistēmas iespējamo stāvokļu skaits ir bezgalīgs, praksē varbūtības, tām pieaugot, kļūst niecīgas, un atbilstošos vienādojumus var atmest.
Atvasināsim Erlanga formulām līdzīgas formulas sistēmas stāvokļu varbūtībām līdzsvara stāvokļa apkalpošanas režīmā (pie ). No vienādojumiem (19.10.1.), pieņemot, ka visas konstantes un visi atvasinājumi ir vienādi ar nulli, iegūstam sistēmu algebriskie vienādojumi:
(19.10.2)
Tiem jāpievieno nosacījums:
Atradīsim risinājumu sistēmai (19.10.2.).
Lai to izdarītu, mēs izmantosim to pašu paņēmienu, ko izmantojām sistēmas ar kļūmēm gadījumā: nosacīti atrisināsim pirmo vienādojumu un aizstāsim to ar otro utt. Jebkurai , tāpat kā sistēmas ar kļūmēm gadījumā, mēs iegūstam:
Pāriesim pie vienādojumiem 
. Tādā pašā veidā mēs iegūstam:
,
,
un vispār par jebkuru
. (19.10.5)
Abās formulās (19.10.4.) un (19.10.5.) kā koeficients ir iekļauta varbūtība. Noteiksim to pēc nosacījuma (19.10.3.). Aizstājot tajā izteiksmes (19.10.4) un (19.10.5), mēs iegūstam:
,
. (19.10.6)
Pārveidosim izteiksmes (19.10.4), (19.10.5) un (19.10.6), ieviešot tajās “samazinātus” blīvumus, nevis blīvumus:
(19.10.7)
Parametri un attiecīgi izsaka vidējo pieteikumu skaitu un rindā stāvoša pieteikuma vidējo atiešanas reižu skaitu uz vidējo viena pieteikuma apkalpošanas laiku.
Jaunajā apzīmējumā formulas (19.10.4), (19.10.5) un (19.10.6) iegūs šādā formā:
; (19.10.9)
. (19.10.10)
Aizstājot (19.10.10) ar (19.10.8) un (19.10.9), iegūstam galīgās sistēmas stāvokļu varbūtību izteiksmes:
; (19.10.11)
. (19.10.12)
Zinot visu sistēmas stāvokļu varbūtības, mēs varam viegli noteikt citus mūs interesējošos raksturlielumus, jo īpaši varbūtību, ka pieprasījums atstās sistēmu neapkalpotu. Noteiksim to, pamatojoties uz šādiem apsvērumiem: līdzsvara stāvoklī varbūtība, ka lietojumprogramma atstās sistēmu neapkalpotu, nav nekas cits kā vidējā to lietojumprogrammu skaita attiecība, kas iziet no rindas laika vienībā pret vidējo ienākošo lietojumprogrammu skaitu. uz laika vienību. Atradīsim vidējo pieteikumu skaitu, kas atstāj rindu laika vienībā. Lai to izdarītu, vispirms mēs aprēķinām rindā esošo lietojumprogrammu skaita matemātisko cerību:
. (19.10.13)
Lai iegūtu , jums jāreizina ar viena pieteikuma vidējo “izlidošanas blīvumu” un jādala ar vidējo pieteikumu blīvumu, t.i., jāreizina ar koeficientu.
Izpētīsim n-kanāla (n > 1) QS darbību ar gaidīšanu, kura ieeja saņem visvienkāršāko pieprasījumu plūsmu P ievade ar intensitāti. Tiek pieņemts, ka katra kanāla pakalpojumu plūsma ir visvienkāršākā ar intensitāti µ. Rindas garumam nav ierobežojumu, taču katra pieteikuma gaidīšanas laiks rindā ir ierobežots ar nejaušu periodu T forši ar vidējo vērtību, pēc kuras pieprasījums atstāj sistēmu neapkalpotu. Laika intervāls T forši ir nepārtraukts gadījuma lielums, kas var iegūt jebkuru pozitīvu vērtību un paredzamā vērtība kuras.
Ja šī plūsma ir Puasona, tad QS notiekošais process būs Markova.
Šādas sistēmas bieži sastopamas praksē. Dažkārt tās sauc par “dedzīgām” solīšanas sistēmām.
Numurēsim QS stāvokļus atbilstoši lietojumprogrammu skaitam sistēmā gan apkalpošanā, gan rindā: S k (k = 0,1,…n) - k pieteikumi tiek apkalpoti (k kanāli ir aizņemti, nav rindas), S n+r (r = 1,2,…) - P lietojumprogrammas, kas tiek apkalpotas (visas P kanāli ir aizņemti) un rindā ir r lietojumprogrammas.
Tādējādi QS var būt vienā no bezgalīgi daudzajiem stāvokļiem.
Apzīmētā stāvokļa grafiks ir parādīts attēlā. 1.
Rīsi. 1.
QS pārvietojas no stāvokļa uz stāvokli no kreisās puses uz labo vienas un tās pašas ienākošās lietojumprogrammu plūsmas ietekmē P ievade ar intensitāti. Līdz ar to šo pāreju varbūtības blīvumi
k-1,k = , k = 1,2,… (1)
QS pāreja no stāvokļa bez rindas S k , k = 1,…,n, uz valsti blakus pa kreisi S k-1 , (k = 1,…,n)(kurā nebūs arī rindas) notiek kopējās plūsmas, kas sastāv no k aizņemtu kanālu pakalpojumu plūsmām, ietekmē, kuru intensitāte, kas ir summēto pakalpojumu plūsmu intensitātes summa, ir vienāda ar kµ. Tāpēc zem bultiņām pa kreisi no stāvokļa s n uz stāvokli s 0 ir norādīti pārejas varbūtības blīvumi
k, k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)
Sistēmā stāvoklī ar rindu S n+r , r = 1,2,…, ir spēkā kopējā plūsma - n pakalpojumu plūsmu superpozīcijas rezultāts un r aprūpes plūsmas. Tāpēc kopējās plūsmas intensitāte ir vienāda ar komponentu plūsmu intensitātes summu nµ+rш. Šī kopējā plūsma rada QS pāreju no stāvokļa no labās puses uz kreiso S n+r ,(r = 1,2,…) uz vidējo S n+r-1 ,(r = 1,2,…) un tādā veidā,
k, k-1 =nµ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)
Tātad sistēmas pāreju no labās puses uz kreiso varbūtības blīvumu, ņemot vērā (2) un (3), var uzrakstīt kombinētā formā
Diagrammas struktūra liecina, ka QS notiekošais process ir nāves un vairošanās process.
Formulā aizstājam (1) un (4) k=1,…,n+m
Ņemsim vērā vērtību, ko var saukt par samazināto izbraukšanas plūsmas intensitāti un kas parāda vidējo izbraukumu skaitu no neapkalpoto pieteikumu rindas uz vidējo viena pieteikuma apkalpošanas laiku. Aizstājot ar (5), mēs iegūstam:
Tā kā izskatāmajā QS rindas garumam nav ierobežojumu, ienākošajā plūsmā saņemtais pieteikums tiks pieņemts; sistēmā, t.i. Sistēma pieteikumu nenoraida. Tāpēc QS ar “nepacietīgiem” pieteikumiem varbūtība tikt pieņemtam sistēmā ir lpp sist =1, un atteikuma iespēja tikt pieņemtam sistēmā lpp atvērts =0 . Jēdzienu “nespēja pieņemt sistēmā” nevajadzētu jaukt ar jēdzienu “pakalpojuma atteikums”, jo “nepacietības” dēļ ne katrs sistēmā saņemtais (pieņemtais) pieteikums tiks apkalpots. Tādējādi ir jēga runāt par iespējamību, ka lietojumprogramma pamet rindu lpp xy un iespējamība, ka pieteikums tiks nosūtīts, lpp par. Tajā pašā laikā varbūtība lpp par apzīmē relatīvo caurlaidspēju J Un lpp xy =1- lpp par .
Aprēķināsim vidējo pieteikumu skaitu rindā. Lai to izdarītu, apsveriet diskrētu gadījuma lielumu N ļoti labi kas atspoguļo pieteikumu skaitu rindā. Izlases vērtība N ļoti labi var iegūt jebkuru nenegatīvu veselu skaitļu vērtību, un tā sadalījuma likumam ir šāda forma
|
N ļoti labi |
||||||
|
lpp n+1 |
lpp n+2 |
lpp n+r |
Kur p= p 0 +lpp 1 +…+ lpp n. Tāpēc
vai aizstājot (7) šeit, mēs iegūstam
Katrs rindā esošais pieprasījums ir pakļauts Pūka “aizbraukšanas” plūsmai ar intensitāti Vidējā rinda, kas sastāv no pieteikumiem, tiks pakļauta kopējai plūsmai, kas sastāv no “atiešanas” plūsmām un kuras intensitāte. Tas nozīmē, ka no vidējā pieteikumu skaita rindā vidēji pieteikumi laika vienībā aizies, negaidot apkalpošanu, bet atlikušie pieteikumi tiks apkalpoti. Līdz ar to vidējais apkalpoto pieteikumu skaits laika vienībā, t.i. QS absolūtā jauda
Tad pēc relatīvās jaudas definīcijas
Q = A/ = (-)/ = 1 - (ar),
kur u/ = parāda vidējo atiešanas gadījumu skaitu no neapkalpoto lietojumprogrammu rindas par vidējo laiku starp divu blakus esošo lietojumprogrammu ienākšanu ienākošajā plūsmā P ievade .
Vidējo aizņemto kanālu skaitu (vidējo apkalpoto pieprasījumu skaitu) var iegūt kā absolūtās kapacitātes A attiecību pret viena kanāla veiktspēju µ. Izmantojot vienlīdzību (11), mums būs:
Vidējo aizņemto kanālu skaitu var aprēķināt neatkarīgi no vidējā pieprasījumu skaita rindā, proti, kā diskrēta datu matemātisko cerību. nejaušais mainīgais UZ, kas atspoguļo aizņemto kanālu skaitu, kuru izplatīšanas likumam ir forma
|
lpp 0 |
lpp 1 |
lpp 2 |
lpp n-1 |
Kur p = p n +lpp n+1 +…+ lpp n+1+…. Bet tā kā notikums, ka visi n kanāli ir aizņemti, ir pretējs notikumam, ka ne visi n kanāli ir aizņemti, un varbūtība pēdējais pasākums vienāds ar
lpp 0 +lpp 1 +lpp 2 +…+ lpp n-1, Tas p = 1 - (lpp 0 +lpp 1 +lpp 2 +…+ lpp n-1) .
Bet tad no (11) mēs iegūstam:
Izmantojot formulas (11) un (13), mēs iegūstam formulu vidējam pieteikumu skaitam sistēmā:
Atvasināsim formulu vidējam pieteikuma gaidīšanas laikam rindā. Tas būs atkarīgs no noteiktā vidējā laika, kas ierobežo pieteikuma uzturēšanās ilgumu rindā, par kuru vai nu
vai arī būs dabiskais skaitlis i > 2 tāds, ka
Reizinot nevienādības (14) un (15) ar, iegūstam attiecīgi nevienādības
Apskatīsim gadījumu (14) un nekonsekventās hipotēzes, kas sastāv no tā, ka sistēma atrodas stāvoklī. Šo hipotēžu varbūtības
Ja pieteikumu TKO saņem saskaņā ar hipotēzi.e. kad sistēma atrodas kādā no stāvokļiem, kurā ne visi kanāli ir aizņemti, tad pieprasījums nebūs jāgaida rindā - tas uzreiz nonāks bezmaksas kanāla servisā. Tāpēc nosacītā matemātiskā sagaidāmā vērtība pieteikumam rindā saskaņā ar hipotēzi, kas ir vidējais pieteikuma gaidīšanas laiks rindā saskaņā ar hipotēzi, ir vienāda ar nulli:
Ja aplikācija iekļūst sistēmā zem hipotēzes.e. kad QS atrodas vienā no stāvokļiem, kurā viss P k-p pieteikumi (ja Uz= P rindā nav nevienas lietojumprogrammas), tad vidējais laiks, lai atbrīvotu vienu no P aizņemti kanāli ir vienādi, un vidējais apkalpošanas laiks k-p pieteikumi, kas stāv rindā pirms sistēmā saņemtā pieteikuma, ir vienāds ar Līdz ar to vidējais laiks, kas nepieciešams rindai, lai apkalpotu ienākošo pieteikumu, ir vienāds ar Tā kā pareizās nevienādības dēļ (14)
Tādējādi vidējais laiks, kas nepieciešams, lai sistēmā saņemts iesniegums tiktu pieņemts izsniegšanai, ir lielāks nekā laiks, kas ierobežo pieteikuma atrašanos rindā. Tāpēc saņemtais pieteikums tiks aizkavēts rindā vidēji ilgu laiku un atstās sistēmu neapkalpotu. Līdz ar to hipotēzes vērtības nosacītā matemātiskā cerība
Tagad apsveriet tās pašas hipotēzes (15.) gadījumā. Šajā gadījumā ir spēkā arī vienādības (16).
Ja lietojumprogramma ienāk sistēmā saskaņā ar kādu no hipotēzēm, t.i., kad QS ir vienā no stāvokļiem, kurā visi P kanāli ir aizņemti un jau ir rindas pie saņemtā pieteikuma k-p pieteikumi (ja Uz- n rindā nav pieprasījumu), tad, tāpat kā (14) gadījumā, vidējais laiks, kas nepieciešams, lai šī pieprasījuma kārta nonāktu apkalpošanā, ir vienāds ar pieprasījuma aiztures ierobežojumu. Tātad kaut kādā veidā kreisās nevienlīdzības (15) dēļ
Tādējādi vidējais laiks, kas nepieciešams, lai pieteikums nonāktu sistēmā, lai tas tiktu pieņemts apkalpošanai, nepārsniedz vidējo laiku, kas ierobežo pieteikuma atrašanos rindā. Līdz ar to saņemtais pieteikums neizies no rindas un gaidīs, kad tiks pieņemts apkalpošanā, vidēji pavadot rindā gaidīšanas laiku, līdz ar to nejaušā mainīgā T och nosacītā matemātiskā gaidīšana hipotēzes ietvaros.
Ļaujiet lietojumprogrammai ienākt sistēmā saskaņā ar kādu no hipotēzēm N Yu k = n+i- i., kad QS bija kādā no štatiem..., kurā viss P kanāli ir aizņemti un jau ir rindā k-p lietojumprogrammas. Tā kā tas ir no nevienlīdzības (15):
un tāpēc ienākošais pieteikums tiks aizkavēts rindā vidēji ilgu laiku.Tāpēc nejaušā mainīgā T och nosacītā matemātiskā cerība saskaņā ar hipotēzi
Izmantojot kopējās matemātiskās cerības formulu, mēs iegūstam:
Gadījumā (15) saņemtais pieteikums tiks pieņemts izsniegšanai, ja tikai tā saņemšanas brīdī QS atrodas kādā no stāvokļiem, tad varbūtība, ka pieteikums tiks apkalpots ir
Kad / = 1, formula (25) pārvēršas par (24), tāpēc pakalpojuma varbūtībai varam uzrakstīt vienu formulu:
Zinot pakalpojuma iespējamību, varat aprēķināt varbūtību, ka pieprasījums atstāj rindu neapkalpotu:
Vidējo laiku, kad lietojumprogramma paliek sistēmā, var aprēķināt, izmantojot formulu
kur ir vidējais viena pieteikuma apkalpošanas laiks, kas attiecas uz visām lietojumprogrammām, gan apkalpotajām, gan tām, kuras atstāja rindu, ko var aprēķināt, izmantojot formulu
6. Rindu sistēmu modeļa uzbūve un analīze
Apskatīsim praktisku problēmu saistībā ar QS izmantošanu bez rindas garuma ierobežojuma, bet ar gaidīšanas laika ierobežojumu rindā.
Lai palielinātu tiešo lidojumu klāstu, lidmašīnas tiek uzpildītas gaisā. Degvielas uzpildes zonā pastāvīgi dežurē divas degvielas uzpildes lidmašīnas. Viena gaisa kuģa degvielas uzpilde ilgst vidēji aptuveni 10 minūtes. Ja abas degvielas uzpildes lidmašīnas ir aizņemtas, tad lidmašīna, kurai nepieciešama degvielas uzpilde, var kādu laiku “nogaidīt” (lidot pa apli degvielas uzpildes zonā). Vidējais gaidīšanas laiks ir 20 minūtes. Lidmašīna, kas nevarēja sagaidīt, kad varēs uzpildīt degvielu, ir spiesta nolaisties alternatīvā lidostā. Lidojumu intensitāte ir tāda, ka ik pēc 1 stundas degvielas uzpildes zonā ierodas vidēji 12 lidmašīnas. Definēt:
Varbūtība, ka lidmašīna tiks uzpildīta.
Vidējais nodarbināto degvielas uzpildītāju skaits.
Vidējais rindā esošo lidmašīnu skaits.
Vidējais ekspluatācijā esošo gaisa kuģu skaits.
Ir jāaprēķina šī QS efektivitātes galvenie raksturlielumi, ja ir norādīti šādi ievades parametri:
- · apkalpošanas kanālu skaits;
- · ienākošās pieteikumu plūsmas intensitāte;
- · pakalpojumu plūsmas intensitāte;
- · vidējais laiks, kas ierobežo pieteikumu palikšanu rindā.
Attiecīgais QS ir daudzkanālu sistēma rindā bez rindas ilguma ierobežojuma, bet ar gaidīšanas laika ierobežojumu. Tiek norādīts kanālu skaits, ienākošās pieprasījumu plūsmas intensitāte, pakalpojumu plūsmas intensitāte un vietu skaits rindā.
Šajā QS katrs kanāls apkalpo vienu pieprasījumu katrā reizē. Ja jauna pieprasījuma saņemšanas brīdī vismaz viens kanāls ir brīvs, tad tiek saņemts ienākošais pieprasījums apkalpošanai, ja pieprasījumu nav, tad sistēma ir dīkstāvē.
Noskaidrosim, kas notiek, ja līdz pieprasījuma saņemšanas brīdim visi kanāli ir aizņemti — tas nonāk rindā un gaida, kad kāds no kanāliem atbrīvosies. Ja pieteikuma saņemšanas brīdī visas rindas vietas ir aizņemtas, tad šis pieteikums atstāj sistēmu.
QS darbības efektivitātes kritēriji:
- · Sistēmas dīkstāves varbūtība;
- · Sistēmas atteices varbūtība;
- · Relatīvā caurlaidspēja.
- · Vidējais laiks, ko lietojumprogramma pavada rindā.
Šī sistēma ir modelēta kā daudzkanālu QS ar “nepacietīgiem” pieprasījumiem.
Sistēmas parametri:
pakalpojumu kanālu skaits n=2;
ienākošās lietojumprogrammu plūsmas intensitāte = 12 (lidmašīnas stundā);
pakalpojumu plūsmas intensitāte µ = 6(lidmašīnas stundā);
vidējais laiks, kas ierobežo pieteikuma atrašanos rindā, līdz ar to izlidošanas plūsmas intensitāte = 1/= 3 (lidmašīnām) stundā.
Aprēķini tika veikti, izmantojot Turbo Pascal izstrādāto programmu. Turbo-Pascal valoda ir viena no visizplatītākajām datoru programmēšanas valodām. Svarīgas Turbo-Pascal valodas priekšrocības ir nelielais kompilatora izmērs, liels ātrums programmu tulkošana, apkopošana un montāža. Turklāt dialoga čaulas dizaina ērtības un augstā kvalitāte padara programmu rakstīšanu un atkļūdošanu ērtāku salīdzinājumā ar alternatīvajām jaunās paaudzes valodām.
Lai analizētu QS darbību, ir jāizpēta šīs sistēmas uzvedība dažādiem ievades parametriem.
Pirmajā variantā l=12, µ=6, n=3, kanālu skaits n=2.
Otrajā variantā l=12, µ=6, n=3, kanālu skaits n=3.
Trešajā variantā l=12, µ=6, n=4, kanālu skaits n=2.
Visi aprēķinu rezultāti ir doti 2. pielikumā.
Iegūto datu analīzes rezultātā (2.pielikums) tika izdarīti šādi secinājumi.
Palielinoties kanālu skaitam, sistēmas dīkstāves iespējamība un degvielas uzpildes iespējamība palielinās par 50%.
Mainot tikai pieprasījumu rindā pavadīto laiku, nepalielinot kanālu skaitu, mainījās izlidošanas plūsmas intensitāte, kā rezultātā samazinājās apkalpoto lidmašīnu skaits un lidmašīnu skaits rindā.
Manuprāt, ir nepieciešams savervēt un apmācīt papildus apkalpojošais personāls, lai palielinātu izlidošanas plūsmas intensitāti, tad mazāk laika tiks veltīts degvielas uzpildītāju dīkstāvēm un nebūs nepieciešams papildu kanāls.
Lai gan, izvēloties optimālākos parametrus, pie kuriem veselības aprūpes pakalpojuma darbība būs visefektīvākā, ir jāņem vērā arī tehniskie un ekonomiskie faktori, kopš papildu pakalpojuma kanāla iegūšanas vai intensitātes maiņas. Aprūpes plūsma prasa noteiktas materiālās izmaksas un personāla apmācības izmaksas.
1. Viena kanāla QS ar gaidīšanu un rindas garuma ierobežojumu. Praksē diezgan izplatīti ir vienkanāla medicīnas pakalpojumu sniedzēji ar rindu (ārsts, kas apkalpo pacientus; kasiere, kas izsniedz algas). Rindas teorijā īpašu vietu ieņem arī vienkanāla QS ar rindu: lielākā daļa līdz šim iegūto analītisko formulu ne-Markova sistēmām pieder pie šādām QS.
Apskatīsim vienkanāla QS, kura ievade saņem visvienkāršāko pieprasījumu plūsmu ar intensitāti λ . Pieņemsim, ka pakalpojumu plūsma ir arī visvienkāršākā ar intensitāti μ . Tas nozīmē, ka nepārtraukti aizņemts kanāls apkalpo vidēji μ pieteikumi laika vienībā. Pieprasījums, ko saņem QS laikā, kad kanāls ir aizņemts, atšķirībā no QS ar kļūmēm, neiziet no sistēmas, bet tiek ievietots rindā un gaida apkalpošanu.
Tālāk mēs pieņemam, ka šajā sistēmā ir rindas garuma ierobežojums, kas nozīmē maksimālo vietu skaitu rindā, proti, pieņemam, ka var būt maksimums m≥1 lietojumprogramma. Tāpēc aplikācija, kas pienāk pie QS ieejas, brīdī, kad rindā jau ir cilvēki m pieprasījumus, tiek noraidīts un sistēma netiek apkalpota.
Tādējādi aplūkotais QS pieder pie jaukta tipa sistēmām ar rindas garuma ierobežojumu.
Numurēsim QS stāvokļus pēc lietojumprogrammu skaita sistēmā, t.i. apkalpošanā un rindā:
S 0 – kanāls ir brīvs (tātad rindas nav);
S 1 – kanāls ir aizņemts un nav rindas, t.i. TKO ir viens pieteikums (apkalpošanā);
S 2 – kanāls ir aizņemts un rindā ir viens pieprasījums;
……………………………………………………..
S m +1 – kanāls ir aizņemts un atrodas rindā m lietojumprogrammas.
Šī QS stāvokļa grafiks ir parādīts attēlā. 6 un sakrīt ar grafiku, kas apraksta nāves un vairošanās procesu, ar atšķirību, ka, ja ir tikai viens pakalpojuma kanāls, visas pakalpojumu plūsmas intensitātes ir vienādas μ .
Rīsi. 6. Stāvokļa diagramma vienkanāla sistēmā ar rindu
Lai aprakstītu QS ierobežojošo darbības režīmu, varat izmantot norādītos noteikumus un formulas. Uzreiz pierakstīsim izteiksmes, kas nosaka stāvokļu ierobežojošās varbūtības:
Kur ρ = λ/μ
– kanāla slodzes intensitāte.
Ja λ = μ , tad mēs saņemam .
Ļaujiet tai tagad 
. Izteiksme priekš lpp 0
iespējams iekšā šajā gadījumā Rakstīt ir vieglāk, izmantojot faktu, ka saucējs satur summu m+ 2
biedri ģeometriskā progresija ar saucēju ρ
:
.
Ņemiet vērā, kad m= 0 Mēs pārejam uz jau izskatīto vienkanāla QS ar neveiksmēm. Šajā gadījumā .
Noteiksim vienkanāla QS ar gaidīšanu galvenos raksturlielumus: relatīvo un absolūto caurlaidspēju, atteices varbūtību, kā arī vidējo rindas garumu un vidējo gaidīšanas laiku lietojumprogrammai rindā.
Pieteikums, kas saņemts QS ievadē, tiek noraidīts tikai tad, ja kanāls ir aizņemts un gaida rindā. m aplikācijas, t.i. kad sistēma atrodas stāvoklī S m +1 . Tāpēc neveiksmes varbūtību nosaka stāvokļa rašanās varbūtība S m +1 :
Relatīvo caurlaidspēju jeb apkalpoto pieprasījumu daļu, kas tiek saņemti laika vienībā, nosaka pēc izteiksmes:
Ņemiet vērā, ka relatīvā caurlaidspēja J sakrīt ar vidējo sistēmā pieņemto (t.i., nenoraidītu) pieteikumu īpatsvaru starp visiem saņemtajiem, jo pieteikums, kas nonāks rindā, noteikti tiks apkalpots.
Absolūtā sistēmas caurlaidspēja
.
Vidējais pieteikumu skaits L ļoti labi rindošana pakalpojumam tiek definēta kā diskrēta gadījuma mainīgā matemātiskā sagaidīšana k– rindā esošo pieteikumu skaits:
.
Izlases vērtība kņem vērtības 0, 1, 2, …, m, kuru varbūtības nosaka sistēmas stāvokļu varbūtības lpp k . Tādējādi diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums k ir šāda forma:
Tāpēc, definējot diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību (ņemot vērā stāvokļu varbūtību formulas), iegūstam:
(16)
Izliksimies tā ρ ≠ 1 . Acīmredzot mums ir:
Bet summa 
ir pirmā summa mģeometriskās progresijas locekļi
.
(17)
Aizstājot izteiksmi (17) ar (16), mēs atrodam:
vai, izmantojot vienlīdzību 
(iegūts ar ρ ≠
1
), mums ir
Ja ρ =
1
, tad no vienlīdzības (16) 
un ņemot vērā to šajā gadījumā 
Un 
(summa m aritmētiskās progresijas termini), mēs beidzot iegūstam
.
Tad vidējais pieteikumu skaits rindā
(18)
Svarīga QS ar gaidīšanu īpašība ir vidējais pieteikuma gaidīšanas laiks rindā 
. Ļaujiet T ļoti labi
– nepārtraukts nejaušs mainīgais, kas apzīmē lietojumprogrammas gaidīšanas laiku rindā. Mēs aprēķinām vidējo gaidīšanas laiku lietojumprogrammai rindā kā šī nejaušā mainīgā matemātisko gaidu:
.
Lai aprēķinātu matemātisko cerību, mēs izmantojam kopējās matemātiskās cerības formulu: ja mēs varam darīt par eksperimenta nosacījumiem n(pāru) nekonsekventas hipotēzes 
tad nejaušā lieluma kopējā matemātiskā cerība X var aprēķināt, izmantojot formulu
Kur M (X | H k ) – vērtības nosacītā matemātiskā cerība X zem hipotēzes H k .
Apsvērsim m+ 2 pretrunīgas hipotēzes H k , k= 0,1,..., m+ 1 , kas sastāv no tā, ka QS ir attiecīgi štatos S k , k= 0,1,..., m+ 1 . Šo hipotēžu varbūtības lpp (H k ) = lpp k , k= 0,1,..., m+1 .
Ja pieteikums nonāk QS saskaņā ar hipotēzi H 0
S 0
, kurā kanāls ir brīvs, tad pieprasījumam nebūs jāstāv rindā un līdz ar to nosacītā matemātiskā cerība M
(
|
H 0
)
nejaušais mainīgais 
zem hipotēzes H 0
, kas sakrīt ar vidējo pieteikuma gaidīšanas laiku rindā saskaņā ar hipotēzi H 0
, ir vienāds ar nulli.
Par pieteikumu, ko QS saņēmis saskaņā ar hipotēzi H 1
, t.i. kad QS ir stāvoklī S 1
, kurā kanāls ir aizņemts, bet nav rindas, nosacīta matemātiska gaidīšana M
(
| H 1
)
nejaušais mainīgais 
zem hipotēzes H 1
, kas sakrīt ar vidējo pieteikuma gaidīšanas laiku rindā saskaņā ar hipotēzi H 1
, būs vienāds ar vidējo viena pieprasījuma apkalpošanas laiku 
.
Nosacīta matemātiskā cerība M
(
| H 2
)
nejaušais mainīgais 
zem hipotēzes H 2
, t.i. ar nosacījumu, ka pieteikumu ir saņēmusi TKO, kas atrodas stāvoklī S 2
, kurā kanāls ir aizņemts un viens pieprasījums jau gaida rindā, ir vienāds ar 2/
μ
(divkāršot vidējo apkalpošanas laiku, jo ir jāapkalpo divi pieprasījumi: tas, kas atrodas apkalpošanas kanālā, un tas, kas gaida rindā). Un tā tālāk.
Ja lietojumprogramma ienāk sistēmā saskaņā ar hipotēzi H m, t.i. kad kanāls ir aizņemts un viņi gaida rindā m−
1
lietojumprogrammas, tad M
(
| H m).
Visbeidzot, pieteikums, kas nonāca QS saskaņā ar hipotēzi H m +1
, t.i. kad kanāls ir aizņemts, m pieteikumi atrodas rindā, un rindā vairs nav brīvu vietu, tiek noraidīti un iziet no sistēmas. Tāpēc šajā gadījumā M
(
| H m +1
)
= 0.
Tāpēc pēc kopējās matemātiskās cerības formulas vidējais pieteikuma gaidīšanas laiks rindā ir
Šeit aizvietojot varbūtību izteiksmes lpp k
(k=1,2,...,m), mēs iegūstam: 
(19)
Ja kanāla slodzes intensitāte ρ ≠ 1 , tad no vienādības (19), ņemot vērā formulas (17), (18), kā arī izteiksmi lpp 0 mēs atradām:
Ja ρ =
1
, pēc tam izteiksmi aizstājot vienādībā (19). lpp 0
= 1/(m+2), summas vērtība 
, izmantojot formulu (18) ar ρ
=
1
un ņemot vērā to šajā gadījumā μ
= λ
, būs 
Tātad jebkuram ρ mēs iegūstam formulu vidējam laikam, kad lietojumprogramma paliek rindā, ko sauc par Litla formulu: 
tie. vidējais pieteikuma gaidīšanas laiks rindā
vienāds ar vidējo pieteikumu skaitu rindā L ļoti labi, dalīts ar intensitāti
λ ienākošā pieprasījumu plūsma .
Piemērs. Degvielas uzpildes stacijā (degvielas uzpildes stacijā) ir viens sūknis. Stacijas zonā, kur automašīnas gaida degvielas uzpildīšanu, vienlaikus var uzņemt ne vairāk kā trīs automašīnas, ja tā ir aizņemta, tad stacijā nākamais auto nestāv rindā, bet dodas uz blakus esošo degvielas uzpildes staciju. Automašīnas stacijā ierodas vidēji ik pēc 2 minūtēm. Viena auto degvielas uzpildes process ilgst vidēji 2,5 minūtes. Nosakiet sistēmas galvenās īpašības.
Risinājums.Šīs degvielas uzpildes stacijas matemātiskais modelis ir vienkanāla QS ar gaidīšanu un rindas garuma ierobežojumu ( m= 3). Tiek pieņemts, ka automašīnu plūsma, kas tuvojas degvielas uzpildes stacijai degvielas uzpildei, un pakalpojumu plūsma ir vienkārša.
Tā kā automašīnas ierodas vidēji ik pēc 2 minūtēm, ienākošās plūsmas intensitāte ir vienāda ar λ
=1/2 = 0,5 (mašīnas minūtē). Vidējais apkalpošanas laiks vienai mašīnai 
= 2,5 min, tātad pakalpojuma plūsmas intensitāte μ
=1/2,5 = 0,4 (automašīnas minūtē).
Mēs nosakām kanāla slodzes intensitāti: ρ = λ/ μ = 0,5/0,4 = 1,25.
Neveiksmes varbūtības aprēķināšana 
no kurienes nāk relatīvais joslas platums?
un absolūtā caurlaidspēja A= λ
J≈ 0,5⋅0,703
≈ 0,352.
Vidējais automašīnu skaits, kas gaida rindā uz degvielas uzpildīšanu
Mēs atrodam vidējo gaidīšanas laiku automašīnai rindā, izmantojot Little formulu 
= L ļoti labi/λ ≈1,559/0,5 = 3,118.
Tādējādi no QS darbības analīzes izriet, ka no katrām 100 tuvojošajām automašīnām 30 tiek atteiktas ( P atvērts≈ 29,7%), t.i. 2/3 aplikāciju tiek apkalpotas. Līdz ar to nepieciešams vai nu samazināt vienas mašīnas apkalpošanas laiku (palielināt servisa plūsmas intensitāti), vai palielināt sūkņu skaitu, vai palielināt gaidīšanas laukumu.
