Sarežģītu funkciju integrāļu tabula. Integrācijas pamatformulas un metodes

Skolā daudziem cilvēkiem neizdodas atrisināt integrāļus vai rodas grūtības ar tiem. Šis raksts palīdzēs jums to izdomāt, jo tajā atradīsit visu. integrālās tabulas.

Integrāls ir viens no galvenajiem aprēķiniem un jēdzieniem matemātiskajā analīzē. Tās izskatu izraisīja divi mērķi:
Pirmie vārti- atjaunot funkciju, izmantojot tās atvasinājumu.
Otrie vārti- laukuma aprēķins, kas atrodas attālumā no grafika līdz funkcijai f(x) uz taisnes, kur a ir lielāka vai vienāda ar x ir lielāka vai vienāda ar b un x asi.

Šie mērķi mūs noved pie noteiktiem un nenoteiktiem integrāļiem. Saikne starp šiem integrāļiem ir īpašību meklēšanā un aprēķināšanā. Bet viss plūst un viss mainās laika gaitā, tika atrasti jauni risinājumi, tika apzināti papildinājumi, tādējādi novedot noteiktus un nenoteiktus integrāļus citiem integrācijas veidiem.

Kas notika nenoteikts integrālis tu jautā. Šī ir viena mainīgā x antiatvasinājuma funkcija F(x) intervālā a, kas ir lielāks par x, kas ir lielāks par b. sauc par jebkuru funkciju F(x), noteiktā intervālā jebkuram apzīmējumam x atvasinājums ir vienāds ar F(x). Ir skaidrs, ka F(x) ir antiatvasinājums f(x) intervālā a ir lielāks par x ir lielāks par b. Tas nozīmē, ka F1(x) = F(x) + C. C — ir jebkura konstante un antiatvasinājums f(x) noteiktā intervālā. Šis apgalvojums ir invertējams; funkcijai f(x) - 2 antiatvasinājumi atšķiras tikai ar konstanti. Pamatojoties uz integrāļa aprēķina teorēmu, izrādās, ka katrs nepārtrauktais intervālā a

Noteikts integrālis tiek saprasts kā robeža integrālās summās vai situācijā, kad noteikta funkcija f(x), kas definēta kādā rindā (a,b), uz kuras ir antiatvasinājums F, kas nozīmē tās izteiksmju atšķirību noteiktas rindas galos. F(b) - F(a).

Lai ilustrētu šīs tēmas izpēti, iesaku noskatīties video. Tas detalizēti stāsta un parāda, kā atrast integrāļus.

Katra integrāļu tabula pati par sevi ir ļoti noderīga, jo palīdz atrisināt noteikta veida integrāļus.

Visi iespējamie veidi kancelejas preces un daudz kas cits. Jūs varat iegādāties, izmantojot tiešsaistes veikalu v-kant.ru. Vai vienkārši sekojiet saitei Kancelejas preces Samara (http://v-kant.ru) kvalitāte un cenas jūs patīkami pārsteigs.

Antiderivatīvā funkcija un nenoteiktais integrālis

Fakts 1. Integrācija ir diferenciācijas apgrieztā darbība, proti, funkcijas atjaunošana no zināmā šīs funkcijas atvasinājuma. Tādējādi funkcija ir atjaunota F(x) tiek saukts antiatvasinājums funkcijai f(x).

Definīcija 1. Funkcija F(x f(x) ar noteiktu intervālu X, ja visām vērtībām x no šī intervāla spēkā ir vienādība F "(x)=f(x), tas ir šī funkcija f(x) ir antiderivatīvās funkcijas atvasinājums F(x). .

Piemēram, funkcija F(x) = grēks x ir funkcijas antiatvasinājums f(x) = cos x visā skaitļu rindā, jo jebkurai x vērtībai (grēks x)" = (cos x) .

Definīcija 2. Funkcijas nenoteiktais integrālis f(x) ir visu tā antiatvasinājumu kopums. Šajā gadījumā tiek izmantots apzīmējums

∫

f(x)dx

,

kur ir zīme ∫ sauc par integrālo zīmi, funkciju f(x) – integrācijas funkcija un f(x)dx – integrācijas izteiksme.

Tādējādi, ja F(x) – daži antiderivatīvs priekš f(x), Tas

∫

f(x)dx = F(x) +C

Kur C - patvaļīga konstante (konstante).

Lai saprastu funkcijas antiatvasinājumu kopas kā nenoteikta integrāļa nozīmi, ir piemērota šāda analoģija. Lai ir durvis (tradicionālās koka durvis). Tās funkcija ir “būt durvīm”. No kā izgatavotas durvis? Izgatavots no koka. Tas nozīmē, ka funkcijas “būt durvīm”, tas ir, tās nenoteiktā integrāļa, integrāda antiatvasinājumu kopa ir funkcija “būt kokam + C”, kur C ir konstante, kas šajā kontekstā var apzīmē, piemēram, koka veidu. Tāpat kā durvis tiek izgatavotas no koka, izmantojot dažus instrumentus, funkcijas atvasinājums tiek “izgatavots” no antiatvasinātās funkcijas, izmantojot formulas, ko apguvām, pētot atvasinājumu .

Tad parasto priekšmetu un to atbilstošo antiatvasinājumu (“būt durvīm” - “būt kokam”, “būt karotei” – “būt metālam” utt.) funkciju tabula ir līdzīga pamata tabulai. nenoteiktie integrāļi, kas tiks norādīti tālāk. Nenoteikto integrāļu tabulā ir uzskaitītas kopīgās funkcijas, norādot antiatvasinājumus, no kuriem šīs funkcijas ir “izgatavotas”. Daļai no nenoteiktā integrāļa atrašanas problēmām ir doti integrāļi, kurus var integrēt tieši bez īpašas piepūles, tas ir, izmantojot nenoteikto integrāļu tabulu. Sarežģītākos uzdevumos vispirms ir jāpārveido integrands, lai varētu izmantot tabulu integrāļus.

2. fakts. Atjaunojot funkciju kā antiatvasinājumu, jāņem vērā patvaļīga konstante (konstante) C, un lai nerakstītu antiatvasinājumu sarakstu ar dažādām konstantēm no 1 līdz bezgalībai, jums ir jāuzraksta antiatvasinājumu kopa ar patvaļīgu konstanti C, piemēram, šādi: 5 x³+C. Tātad antiatvasinājuma izteiksmē ir iekļauta patvaļīga konstante (konstante), jo antiatvasinājums var būt funkcija, piemēram, 5 x³+4 vai 5 x³+3 un diferencējot, 4 vai 3, vai jebkura cita konstante iet uz nulli.

Uzdosim integrācijas problēmu: šai funkcijai f(x) atrast šādu funkciju F(x), kura atvasinājums vienāds ar f(x).

1. piemērs. Atrodiet funkcijas antiatvasinājumu kopu

Risinājums. Šai funkcijai antiderivatīvs ir funkcija

Funkcija F(x) sauc par funkcijas antiatvasinājumu f(x), ja atvasinājums F(x) ir vienāds ar f(x), vai, kas ir viens un tas pats, diferenciālis F(x) ir vienāds f(x) dx, t.i.

(2)

Tāpēc funkcija ir funkcijas antiatvasinājums. Tomēr tas nav vienīgais antiatvasinājums . Tie kalpo arī kā funkcijas

Kur AR– patvaļīga konstante. To var pārbaudīt ar diferenciāciju.

Tādējādi, ja funkcijai ir viens antiatvasinājums, tad tai ir bezgalīgs skaits antiatvasinājumu, kas atšķiras ar konstantu terminu. Visi funkcijas antiatvasinājumi ir uzrakstīti iepriekš minētajā formā. Tas izriet no šādas teorēmas.

Teorēma (formāls fakta paziņojums 2). Ja F(x) – funkcijas antiatvasinājums f(x) ar noteiktu intervālu X, tad jebkuru citu antiderivatīvu par f(x) vienā un tajā pašā intervālā var attēlot formā F(x) + C, Kur AR– patvaļīga konstante.

Nākamajā piemērā mēs pievēršamies integrāļu tabulai, kas tiks dota 3. punktā pēc nenoteiktā integrāļa īpašībām. Mēs to darām pirms visas tabulas lasīšanas, lai iepriekš minētā būtība būtu skaidra. Un pēc tabulas un rekvizītiem mēs tos izmantosim pilnībā integrācijas laikā.

2. piemērs. Atrodiet antiderivatīvu funkciju kopas:

Risinājums. Mēs atrodam antiderivatīvu funkciju kopas, no kurām šīs funkcijas ir “izgatavotas”. Pieminot formulas no integrāļu tabulas, pagaidām vienkārši pieņem, ka tur tādas formulas ir, un nedaudz tālāk pētīsim pašu nenoteikto integrāļu tabulu.

1) Piemērojot formulu (7) no integrāļu tabulas for n= 3, mēs iegūstam

2) Izmantojot formulu (10) no integrāļu tabulas for n= 1/3, mums ir

3) Kopš

tad saskaņā ar formulu (7) ar n= -1/4 mēs atrodam

Tā nav pati funkcija, kas ir rakstīta zem integrālās zīmes. f, un tā reizinājums pēc diferenciāļa dx. Tas tiek darīts galvenokārt, lai norādītu, ar kuru mainīgo tiek meklēts antiatvasinājums. Piemēram,

, ;

šeit abos gadījumos integrands ir vienāds ar , bet tā nenoteiktie integrāļi aplūkotajos gadījumos izrādās atšķirīgi. Pirmajā gadījumā šī funkcija tiek uzskatīta par mainīgā lieluma funkciju x, bet otrajā - kā funkcija no z .

Funkcijas nenoteiktā integrāļa atrašanas procesu sauc par šīs funkcijas integrēšanu.

Nenoteiktā integrāļa ģeometriskā nozīme

Pieņemsim, ka mums jāatrod līkne y=F(x) un mēs jau zinām, ka pieskares leņķa pieskare katrā tā punktā ir dota funkcija f(x)šī punkta abscisa.

Saskaņā ar ģeometriskā sajūta atvasinājums, pieskares leņķa tangenss noteiktā līknes punktā y=F(x) vienāds ar vērtību atvasinājums F"(x). Tāpēc mums ir jāatrod šāda funkcija F(x), par kuru F"(x)=f(x). Uzdevumā nepieciešamā funkcija F(x) ir antiatvasinājums no f(x). Problēmas nosacījumus apmierina nevis viena līkne, bet gan līkņu saime. y=F(x)- vienu no šīm līknēm un jebkuru citu līkni no tās var iegūt, paralēli tulkojot pa asi Oy.

Sauksim antiderivatīvās funkcijas grafiku f(x) integrālā līkne. Ja F"(x)=f(x), tad funkcijas grafiks y=F(x) ir integrālā līkne.

3. fakts. Nenoteikto integrāli ģeometriski attēlo visu integrāļu līkņu saime , kā attēlā zemāk. Katras līknes attālumu no koordinātu sākuma nosaka patvaļīga integrācijas konstante C.

Nenoteiktā integrāļa īpašības

4. fakts. 1. teorēma. Nenoteikta integrāļa atvasinājums ir vienāds ar integrandu, un tā diferenciālis ir vienāds ar integrandu.

5. fakts. 2. teorēma. Funkcijas diferenciāļa nenoteiktais integrālis f(x) ir vienāds ar funkciju f(x) līdz nemainīgam termiņam , t.i.

(3)

1. un 2. teorēma parāda, ka diferenciācija un integrācija ir savstarpēji apgrieztas darbības.

6. fakts. 3. teorēma. Konstanto faktoru integrandā var izņemt no nenoteiktā integrāļa zīmes , t.i.

Tālāk ir norādītas četras galvenās integrācijas metodes.

1) Summas vai starpības integrēšanas noteikums.
.
Šeit un zem u, v, w ir integrācijas mainīgā x funkcijas.

2) Konstantes pārvietošana ārpus integrālzīmes.
Lai c ir no x neatkarīga konstante. Tad to var izņemt no integrālās zīmes.

3) Mainīgā aizstāšanas metode.
Apskatīsim nenoteikto integrāli.
Ja mēs varam atrast šādu funkciju φ (x) no x, tātad
,
tad, aizvietojot mainīgo t = φ(x) , mums ir
.

4) Formula integrācijai pa daļām.
,
kur u un v ir integrācijas mainīgā funkcijas.

Nenoteiktu integrāļu aprēķināšanas galvenais mērķis ir ar pārveidojumu palīdzību reducēt doto integrāli līdz vienkāršākajiem integrāļiem, kurus sauc par tabulu integrāļiem. Tabulas integrāļi tiek izteikti elementārfunkciju izteiksmē zināmās formulas.
Skatiet integrāļu tabulu >>>

Piemērs

Aprēķināt nenoteiktu integrāli

Risinājums

Mēs atzīmējam, ka integrands ir trīs terminu summa un atšķirība:
, Un .
Metodes pielietošana 1 .

Tālāk mēs atzīmējam, ka jauno integrāļu integrāļi tiek reizināti ar konstantēm 5, 4, Un 2 , attiecīgi. Metodes pielietošana 2 .

Integrāļu tabulā atrodam formulu
.
Pieņemot, ka n = 2 , mēs atrodam pirmo integrāli.

Pārrakstīsim otro integrāli formā
.
Mēs to pamanām. Tad

Izmantosim trešo metodi. Mainām mainīgo t = φ (x) = log x.
.
Integrāļu tabulā atrodam formulu

Tā kā integrācijas mainīgo var apzīmēt ar jebkuru burtu, tad

Trešo integrāli pārrakstīsim formā
.
Mēs izmantojam integrācijas formulu pa daļām.
Liekam.
Tad
;
;

;
;
.

Beidzot mums ir
.
Apkoposim terminus ar x 3 .
.

Atbilde

Atsauces:
N.M. Ginters, R.O. Kuzmins, Augstākās matemātikas uzdevumu krājums, “Lan”, 2003.

Galvenie integrāļi, kas jāzina katram studentam

Uzskaitītie integrāļi ir pamats, pamatu pamats. Šīs formulas noteikti ir jāatceras. Aprēķinot sarežģītākus integrāļus, tie būs pastāvīgi jāizmanto.

Lūdzu, samaksājiet Īpaša uzmanība uz formulām (5), (7), (9), (12), (13), (17) un (19). Integrējot neaizmirstiet savai atbildei pievienot patvaļīgu konstanti C!

Konstantes integrālis

∫ A d x = A x + C (1)

Jaudas funkcijas integrēšana

Patiesībā bija iespējams aprobežoties tikai ar formulām (5) un (7), bet pārējie šīs grupas integrāļi sastopami tik bieži, ka ir vērts tiem pievērst nelielu uzmanību.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Eksponenciālo funkciju un hiperbolisko funkciju integrāļi

Protams, formulu (8) (varbūt ērtāko iegaumēšanai) var uzskatīt par īpašs gadījums formulas (9). Formulas (10) un (11) hiperboliskā sinusa un hiperboliskā kosinusa integrāļiem ir viegli atvasināmas no formulas (8), taču labāk ir vienkārši atcerēties šīs attiecības.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Trigonometrisko funkciju pamatintegrāļi

Kļūda, ko bieži pieļauj skolēni, ir tā, ka viņi sajauc zīmes formulās (12) un (13). Atceroties, ka sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu, nez kāpēc daudzi uzskata, ka funkcijas sinx integrālis ir vienāds ar cosx. Tā nav taisnība! Sinusa integrālis ir vienāds ar “mīnus kosinusu”, bet cosx integrālis ir vienāds ar “tikai sinusu”:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Integrāļi, kas reducē uz apgrieztām trigonometriskām funkcijām

Formula (16), kas ved uz arktangensu, dabiski ir īpašs formulas (17) gadījums, ja a=1. Līdzīgi (18) ir (19) īpašs gadījums.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Sarežģītāki integrāļi

Ir arī ieteicams atcerēties šīs formulas. Tos arī izmanto diezgan bieži, un to izlaide ir diezgan nogurdinoša.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 loks x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0) (24)

Vispārīgi integrācijas noteikumi

1) Divu funkciju summas integrālis vienāds ar summu atbilstošie integrāļi: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Divu funkciju starpības integrālis ir vienāds ar atbilstošo integrāļu starpību: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstanti var izņemt no integrāļa zīmes: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Ir viegli saprast, ka īpašība (26) ir vienkārši īpašību (25) un (27) kombinācija.

4) Sarežģītas funkcijas integrālis, ja iekšējā funkcija ir lineārs: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Šeit F(x) ir funkcijas f(x) antiatvasinājums. Lūdzu, ņemiet vērā: šī formula darbojas tikai tad, ja iekšējā funkcija ir Ax + B.

Svarīgi: neeksistē universāla formula divu funkciju reizinājuma integrālim, kā arī daļskaitļa integrālim:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (trīsdesmit)

Tas, protams, nenozīmē, ka frakciju vai produktu nevar integrēt. Vienkārši katru reizi, kad redzat integrāli, piemēram, (30), jums būs jāizgudro veids, kā ar to "cīnīties". Dažos gadījumos jums palīdzēs integrācija pa daļām, citos jums būs jāmaina mainīgais, un dažreiz var palīdzēt pat “skolas” algebra vai trigonometrijas formulas.

Vienkāršs piemērs nenoteiktā integrāļa aprēķināšanai

1. piemērs. Atrodiet integrāli: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

Izmantosim formulas (25) un (26) (funkciju summas vai starpības integrālis ir vienāds ar atbilstošo integrāļu summu vai starpību. Iegūstam: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Atcerēsimies, ka konstanti var izņemt no integrāļa zīmes (formula (27)). Izteiksme tiek pārvērsta formā

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e∫ x d x + 12 ∫ 1 d x

Tagad izmantosim tikai pamata integrāļu tabulu. Mums būs jāpiemēro formulas (3), (12), (8) un (1). Integrēsimies jaudas funkcija, sinusa, eksponenciāla un konstante 1. Neaizmirsīsim beigās pievienot patvaļīgu konstanti C:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Pēc elementārām pārvērtībām mēs iegūstam galīgo atbildi:

X 3 – 2 cos x – 7 e x + 12 x + C

Pārbaudi sevi ar diferenciāciju: ņem iegūtās funkcijas atvasinājumu un pārliecinieties, vai tas ir vienāds ar sākotnējo integrandu.

Integrāļu kopsavilkuma tabula

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 - a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 loksn x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 - a 2 | + C (a > 0)

Lejupielādējiet integrāļu tabulu (II daļa) no šīs saites

Ja jūs studējat universitātē, ja jums ir grūtības ar augstāko matemātiku ( matemātiskā analīze, lineārā algebra, varbūtību teorija, statistika), ja nepieciešami kvalificēta skolotāja pakalpojumi, dodieties uz augstākās matemātikas pasniedzēja lapu. Mēs atrisināsim jūsu problēmas kopā!

Jūs varētu arī interesēt

Uzskaitīsim integrāļus no elementāras funkcijas, ko dažreiz sauc par tabulām:

Jebkuru no iepriekšminētajām formulām var pierādīt, ņemot labās puses atvasinājumu (rezultāts būs integrands).

Integrācijas metodes

Apskatīsim dažas pamata integrācijas metodes. Tie ietver:

1. Dekompozīcijas metode(tieša integrācija).

Šī metode ir balstīta uz tabulu integrāļu tiešu izmantošanu, kā arī uz nenoteiktā integrāļa 4. un 5. rekvizītu izmantošanu (t.i., konstantā faktora izņemšanu no iekavām un/vai integranda attēlošanu kā funkciju summu - dekompozīcija integrands terminos).

1. piemērs. Piemēram, lai atrastu(dx/x 4), var tieši izmantot tabulas integrāli priekšx n dx. Faktiski(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

2. piemērs. Lai to atrastu, mēs izmantojam to pašu integrāli:

3. piemērs. Lai to atrastu, ir jāņem

4. piemērs. Lai atrastu, formā attēlojam integrand funkciju un izmantojiet tabulas integrāli eksponenciālajai funkcijai:

Apskatīsim iekavu izmantošanu par nemainīgu faktoru.

5. piemērs.Atradīsim, piemēram . Ņemot to vērā, mēs saņemam

6. piemērs. Mēs to atradīsim. Tāpēc ka , izmantosim tabulas integrāli Mēs saņemam

Šajos divos piemēros varat izmantot arī iekavu un tabulu integrāļus:

7. piemērs.

(mēs izmantojam un );

8. piemērs.

(mēs izmantojam Un ).

Apskatīsim sarežģītākus piemērus, kuros tiek izmantots integrālis.

9. piemērs. Piemēram, atradīsim
. Lai skaitītājā izmantotu paplašināšanas metodi, mēs izmantojam summas kuba formulu  un pēc tam dalām iegūto polinomu ar saucēju, pa vārdam.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Jāņem vērā, ka risinājuma beigās tiek ierakstīta viena kopēja konstante C (nevis atsevišķas, integrējot katru terminu). Nākotnē tiek piedāvāts arī izlaist konstantes no atsevišķu terminu integrācijas risinājuma procesā, ja vien izteiksme satur vismaz vienu nenoteiktu integrāli (vienu konstanti rakstīsim risinājuma beigās).

10. piemērs. Mēs atradīsim . Lai atrisinātu šo uzdevumu, skaitītāju faktorizēsim (pēc tam varam samazināt saucēju).

11. piemērs. Mēs to atradīsim. Šeit var izmantot trigonometriskās identitātes.

Dažreiz, lai izteicienu sadalītu terminos, jums ir jāizmanto sarežģītāki paņēmieni.

12. piemērs. Mēs atradīsim . Integrandā mēs atlasām visu frakcijas daļu . Tad

13. piemērs. Mēs atradīsim

2. Mainīgā aizstāšanas metode (aizvietošanas metode)

Metodes pamatā ir šāda formula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, kur x =(t) ir funkcija, kas diferencējama aplūkotajā intervālā.

Pierādījums. Atradīsim atvasinājumus attiecībā pret mainīgo t no kreisās puses un labās daļas formulas.

Ņemiet vērā, ka kreisajā pusē ir sarežģīta funkcija, kuras starparguments ir x = (t). Tāpēc, lai to diferencētu attiecībā pret t, mēs vispirms diferencējam integrāli attiecībā pret x un pēc tam ņemam starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Atvasinājums no labās puses:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Tā kā šie atvasinājumi ir vienādi, kas izriet no Lagranža teorēmas, pierādāmās formulas kreisā un labā puse atšķiras ar noteiktu konstanti. Tā kā paši nenoteiktie integrāļi ir definēti līdz nenoteiktam konstantes termiņam, šo konstanti var izlaist galīgajā pierakstā. Pierādīts.

Veiksmīga mainīgā maiņa ļauj vienkāršot sākotnējo integrāli un visvienkāršākajos gadījumos samazināt to līdz tabulai. Lietojot šo metodi, tiek nošķirtas lineārās un nelineārās aizstāšanas metodes.

a) Lineārās aizstāšanas metode Apskatīsim piemēru.

1. piemērs.
. Ļaujiet t= 1 – 2x, tad

dx=d(½ - ½t) = - ½ dt

Jāņem vērā, ka jaunais mainīgais nav skaidri jāizraksta. Šādos gadījumos viņi runā par funkcijas pārveidošanu zem diferenciālzīmes vai par konstantu un mainīgo ieviešanu zem diferenciālzīmes, t.i. O netiešā mainīgā aizstāšana.

2. piemērs. Piemēram, atradīsimcos(3x + 2)dx. Pēc diferenciāļa īpašībām dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), tadcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Abos aplūkotajos piemēros, lai atrastu integrāļus, tika izmantota lineārā aizstāšana t=kx+b(k0).

Vispārīgā gadījumā ir spēkā sekojošā teorēma.

Lineārās aizstāšanas teorēma. Lai F(x) ir kāds funkcijas f(x) antiatvasinājums. Tadf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, kur k un b ir dažas konstantes,k0.

Pierādījums.

Pēc integrāļa f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C definīcijas. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Izņemsim no integrāļa zīmes konstanto koeficientu k: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Tagad mēs varam sadalīt vienādības kreiso un labo pusi divās daļās un iegūt apgalvojumu, kas jāpierāda līdz konstanta vārda apzīmējumam.

Šī teorēma nosaka, ka, ja integrāļa f(x)dx= F(x) + C definīcijā argumenta x vietā aizvietosim izteiksmi (kx+b), tas novedīs pie papildu parādīšanās. faktors 1/k antiatvasinājuma priekšā.

Izmantojot pārbaudīto teorēmu, mēs atrisinām šādus piemērus.

3. piemērs.

Mēs atradīsim . Šeit kx+b= 3 –x, t.i., k= -1,b= 3. Tad

4. piemērs.

Mēs to atradīsim. Herekx+b= 4x+ 3, t.i., k= 4,b= 3. Tad

5. piemērs.

Mēs atradīsim . Šeit kx+b= -2x+ 7, t.i., k= -2,b= 7. Tad

.

6. piemērs. Mēs atradīsim
. Šeit kx+b= 2x+ 0, t.i., k= 2,b=0.

.

Salīdzināsim iegūto rezultātu ar 8. piemēru, kas tika atrisināts ar dekompozīcijas metodi. Atrisinot to pašu problēmu, izmantojot citu metodi, mēs saņēmām atbildi
. Salīdzināsim rezultātus: Tādējādi šīs izteiksmes atšķiras viena no otras ar nemainīgu terminu , t.i. Saņemtās atbildes nav viena otrai pretrunā.

7. piemērs. Mēs atradīsim
. Izvēlēsimies perfektu kvadrātu saucējā.

Dažos gadījumos, mainot mainīgo, integrālis netiek tieši reducēts uz tabulu, bet var vienkāršot risinājumu, ļaujot nākamajā darbībā izmantot paplašināšanas metodi.

8. piemērs. Piemēram, atradīsim . Aizstāt t=x+ 2, tad dt=d(x+ 2) =dx. Tad

,

kur C = C 1 – 6 (aizvietojot izteiksmi (x+ 2) pirmo divu vārdu vietā iegūstam ½x 2 -2x– 6).

9. piemērs. Mēs atradīsim
. Pieņemsim, ka t= 2x+ 1, tad dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Aizstāsim izteiksmi (2x+ 1) ar t, atveram iekavas un dosim līdzīgas.

Ņemiet vērā, ka transformāciju procesā mēs pārgājām uz citu nemainīgu terminu, jo konstanto terminu grupu transformācijas procesā var izlaist.

b) Nelineārās aizstāšanas metode Apskatīsim piemēru.

1. piemērs.
. Lett = -x 2. Tālāk varētu izteikt x ar t, pēc tam atrast izteiksmi dx un ieviest mainīgā lieluma maiņu vēlamajā integrālī. Bet šajā gadījumā ir vieglāk rīkoties citādi. Pieņemsim, ka finddt=d(-x 2) = -2xdx. Ņemiet vērā, ka izteiksme xdx ir vajadzīgā integrāļa integrānda faktors. Izteiksim to no iegūtās vienādībasxdx= - ½dt. Tad