Parādīsim detalizēta tendences vienādojuma parametru aprēķina piemēru, pamatojoties uz šādiem datiem (sk. tabulu), izmantojot kalkulatoru.
Lineārās tendences vienādojums ir y = pie + b.
1. Izmantojot metodi, atrodiet vienādojuma parametrus mazākie kvadrāti
.
Mazāko kvadrātu vienādojumu sistēma:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | t 2 | y 2 | t y | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)) : y |
| 1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
| 2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
| 3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
| 4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
| 5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
| 6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
| 7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
| 8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
| 9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
| 10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
| 11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
| 12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
| 78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
Mūsu datiem vienādojumu sistēmai ir šāda forma:
12a 0 + 78a 1 = 567,8
78a 0 + 650a 1 = 4602,3
No pirmā vienādojuma mēs izsakām 0 un aizstājam to ar otro vienādojumu
Mēs iegūstam a 0 = 6,37, a 1 = 5,88
Piezīme: kolonnas Nr. 6 y(t) vērtības tiek aprēķinātas, pamatojoties uz iegūto tendenču vienādojumu. Piemēram, t = 1: y(1) = 6,37*1 + 5,88 = 12,26
Tendenču vienādojums
y = 6,37 t + 5,88Novērtēsim tendences vienādojuma kvalitāti, izmantojot absolūtās tuvināšanas kļūdu.
Tā kā kļūda ir lielāka par 15%, šo vienādojumu nav ieteicams izmantot kā tendenci.
Vidējās vērtības: 
Izkliede 
Standarta novirze
Elastības koeficients 
Elastības koeficients ir mazāks par 1. Tāpēc, ja X mainīsies par 1%, Y mainīsies par mazāk nekā 1%. Citiem vārdiem sakot, X ietekme uz Y nav nozīmīga.
Determinācijas koeficients 
tie. 82,04% gadījumu tas ietekmē datu izmaiņas. Citiem vārdiem sakot, tendences vienādojuma atlases precizitāte ir augsta
2. Tendences vienādojuma parametru aplēšu noteikšanas precizitātes analīze..
Vienādojuma kļūdu dispersija.
kur m = 1 ir ietekmējošo faktoru skaits tendenču modelī.
Vienādojuma standarta kļūda.
3. Hipotēžu pārbaude par koeficientiem lineārais vienādojums tendence.
1) t-statistika. Studentu t tests.
Izmantojot Studentu tabulu, mēs atrodam Ttable
T tabula (n-m-1; α/2) = (10;0,025) = 2,228
>
Tiek apstiprināta koeficienta a 0 statistiskā nozīmība. Parametra novērtējums 0 ir nozīmīgs, un laikrindai ir tendence.
Koeficienta a 1 statistiskā nozīmība nav apstiprināta.
Tendences vienādojuma koeficientu ticamības intervāls.
Noteiksim tendenču koeficientu ticamības intervālus, kas ar 95% ticamību būs šādi:
(a 1 - t obs S a 1 ;a 1 + t obs S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
Tā kā punkts 0 (nulle) atrodas iekšpusē ticamības intervāls, tad koeficienta a 0 intervāla novērtējums ir statistiski nenozīmīgs.
2) F-statistika. Fišera kritērijs. 
Fkp = 4,84
Tā kā F > Fkp, determinācijas koeficients ir statistiski nozīmīgs
Atlikumu autokorelācijas pārbaude.
Svarīgs priekšnoteikums ēkas kvalitātei regresijas modelis saskaņā ar OLS ir nejaušo noviržu vērtību neatkarība no noviržu vērtībām visos citos novērojumos. Tas nodrošina, ka starp novirzēm un jo īpaši blakus esošajām novirzēm nav korelācijas.
Autokorelācija (sērijas korelācija) ir definēta kā korelācija starp novērotajiem rādītājiem, kas sakārtoti laikā (laikrindas) vai telpā (krustrindas). Atlikumu (varianču) autokorelācija ir izplatīta regresijas analīzē, izmantojot laikrindu datus, un ļoti reti, izmantojot šķērsgriezuma datus.
Ekonomiskajās problēmās tas ir daudz biežāk pozitīva autokorelācija, nevis negatīva autokorelācija. Vairumā gadījumu pozitīvu autokorelāciju izraisa virziens pastāvīga iedarbība daži faktori, kas modelī nav ņemti vērā.
Negatīvā autokorelācija patiesībā nozīmē, ka pozitīvai novirzei seko negatīva un otrādi. Šāda situācija var rasties, ja pēc sezonas datiem (ziema-vasara) tiek uzskatīta tāda pati sakarība starp pieprasījumu pēc bezalkoholiskajiem dzērieniem un ienākumiem.
Starp galvenie autokorelācijas cēloņi, var atšķirt sekojošo:
1. Specifikācijas kļūdas. Ja modelī netiek ņemts vērā kāds svarīgs skaidrojošais mainīgais, vai nepareiza atkarības formas izvēle parasti izraisa novērojumu punktu sistēmiskas novirzes no regresijas līnijas, kas var izraisīt autokorelāciju.
2. Inerce. Daudzi ekonomiskie rādītāji(inflācija, bezdarbs, NKP u.c.) ir zināms ciklisks raksturs, kas saistīts ar uzņēmējdarbības aktivitātes svārstībām. Tāpēc rādītāju izmaiņas nenotiek acumirklī, bet tai ir zināma inerce.
3. Zirnekļa tīkla efekts. Daudzās ražošanas un citās jomās ekonomiskie rādītāji reaģē uz izmaiņām ekonomiskajos apstākļos ar kavēšanos (laika nobīdi).
4. Datu izlīdzināšana. Bieži vien dati par noteiktu ilgu laika periodu tiek iegūti, aprēķinot vidējos datus to veidojošos intervālos. Tas var novest pie zināmas svārstību izlīdzināšanas, kas notikušas aplūkojamajā periodā, kas savukārt var izraisīt autokorelāciju.
Autokorelācijas sekas ir līdzīgas tām heteroskedastiskums: Secinājumi no t- un F-statistikas, kas nosaka regresijas koeficienta un determinācijas koeficienta nozīmīgumu, var būt nepareizi.
Autokorelācijas noteikšana
1. Grafiskā metode
Ir vairākas iespējas grafiski definēt autokorelāciju. Viens no tiem novirzes e i saista ar to saņemšanas momentiem i. Šajā gadījumā abscisu ass parāda vai nu statistikas datu iegūšanas laiku, vai sērijas numurs novērojumiem, un pa ordinātām - novirzes e i (vai noviržu aplēses).
Ir dabiski pieņemt, ka, ja ir noteikta saistība starp novirzēm, tad notiek autokorelācija. Atkarības neesamība, visticamāk, norādīs uz autokorelācijas neesamību.
Autokorelācija kļūst skaidrāka, ja uzzīmējat e i atkarību no e i-1
Durbina-Vatsona tests.
Šis kritērijs ir vislabāk zināms autokorelācijas noteikšanai.
Statistiski analizējot regresijas vienādojumus, sākumposmā bieži tiek pārbaudīta viena priekšnoteikuma iespējamība: nosacījumi noviržu statistiskai neatkarībai viena no otras. Šajā gadījumā tiek pārbaudīta blakus esošo vērtību e i nekorelācija.
| y | y(x) | e i = y-y(x) | e 2 | (e i - e i-1) 2 |
| 17.4 | 12.26 | 5.14 | 26.47 | 0 |
| 26.9 | 18.63 | 8.27 | 68.39 | 9.77 |
| 23 | 25 | -2 | 4.02 | 105.57 |
| 23.7 | 31.38 | -7.68 | 58.98 | 32.2 |
| 27.2 | 37.75 | -10.55 | 111.4 | 8.26 |
| 34.5 | 44.13 | -9.63 | 92.72 | 0.86 |
| 50.7 | 50.5 | 0.2 | 0.0384 | 96.53 |
| 61.4 | 56.88 | 4.52 | 20.44 | 18.71 |
| 69.3 | 63.25 | 6.05 | 36.56 | 2.33 |
| 94.4 | 69.63 | 24.77 | 613.62 | 350.63 |
| 61.1 | 76 | -14.9 | 222.11 | 1574.09 |
| 78.2 | 82.38 | -4.18 | 17.46 | 115.03 |
| 1272.21 | 2313.98 |
Lai analizētu noviržu korelāciju, izmantojiet Durbina-Vatsona statistika:
Kritiskās vērtības d 1 un d 2 nosaka, pamatojoties uz īpašām tabulām vajadzīgajam nozīmīguma līmenim α, novērojumu skaitam n = 12 un skaidrojošo mainīgo skaitam m = 1.
Autokorelācija nenotiek, ja ir izpildīts šāds nosacījums:
d 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Neatsaucoties uz tabulām, varat izmantot aptuvenu noteikumu un pieņemt, ka nav atlikuma autokorelācijas, ja 1,5< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков prombūtnē.
Lai iegūtu ticamākus secinājumus, ieteicams atsaukties uz tabulas vērtībām.
Izmantojot Durbin-Watson tabulu n=12 un k=1 (5% nozīmīguma līmenis), mēs atrodam: d 1 = 1,08; d2 = 1,36.
Kopš 1.08< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков prombūtnē.
Pārbauda heteroskedastību.
1) Ar atlikumu grafisko analīzi.
Šajā gadījumā skaidrojošā mainīgā X vērtības tiek attēlotas pa abscisu asi, un novirzes e i vai to kvadrāti e 2 i tiek attēloti pa ordinātu asi.
Ja starp novirzēm ir noteikta saistība, tad rodas heteroskedastiskums. Atkarības neesamība, visticamāk, norādīs uz heteroskedastikas neesamību.
2) Izmantojot testu rangu korelācija Spīrmens.
Spīrmena ranga korelācijas koeficients.
Piešķirsim pakāpes elementam Y un faktoram X. Atrodiet kvadrātu starpības d 2 summu.
Izmantojot formulu, mēs aprēķinām Spīrmena ranga korelācijas koeficientu. 
| t | e i | rangs X, d x | rangs e i , d y | (d x – d y) 2 |
| 1 | -5.14 | 1 | 4 | 9 |
| 2 | -8.27 | 2 | 2 | 0 |
| 3 | 2 | 3 | 7 | 16 |
| 4 | 7.68 | 4 | 9 | 25 |
| 5 | 10.55 | 5 | 11 | 36 |
| 6 | 9.63 | 6 | 10 | 16 |
| 7 | -0.2 | 7 | 6 | 1 |
| 8 | -4.52 | 8 | 5 | 9 | t tabula (n-m-1; α/2) = (10; 0,05/2) = 2,228
Visbiežāk šķiet tendence lineārā atkarība pētāmā veida
kur y ir interesējošais mainīgais (piemēram, produktivitāte) vai atkarīgais mainīgais;
x ir skaitlis, kas nosaka gada pozīciju (otro, trešo utt.) prognozēšanas periodā vai neatkarīgs mainīgais.
Lineāri tuvinot sakarību starp diviem parametriem, lineāras funkcijas empīrisko koeficientu atrašanai visbiežāk izmanto mazāko kvadrātu metodi. Metodes būtība ir tāda lineārā funkcija“Vislabākā atbilstība” iet caur diagrammas punktiem, kas atbilst izmērītā parametra noviržu kvadrātu summas minimumam. Šis nosacījums izskatās šādi:
kur n ir pētāmās populācijas apjoms (novērošanas vienību skaits).
Rīsi. 5.3. Tendences veidošana, izmantojot mazāko kvadrātu metodi
Konstantu b un a vai mainīgā X koeficienta un vienādojuma brīvā termiņa vērtības nosaka pēc formulas:
Tabulā 5.1. parādīts piemērs lineāras tendences aprēķināšanai no datiem.
5.1. tabula. Lineārās tendences aprēķins
Svārstību izlīdzināšanas metodes.
Ja starp blakus esošajām vērtībām ir lielas neatbilstības, ar regresijas metodi iegūto tendenci ir grūti analizēt. Prognozējot, ja sērijā ir dati ar lielu blakus esošo vērtību svārstību izplatību, tie ir jāizlīdzina saskaņā ar noteiktiem noteikumiem un pēc tam jāmeklē prognozē nozīme. Uz svārstību izlīdzināšanas metodi
ietver: mainīgā vidējā metode (tiek aprēķināts n-punktu vidējais rādītājs), eksponenciālās izlīdzināšanas metode. Apskatīsim tos.
Moving Average Method (MAM).
MSS ļauj izlīdzināt virkni vērtību, lai izceltu tendenci. Šī metode ņem vidējo vērtību (parasti vidējo aritmētisko) no fiksēta vērtību skaita. Piemēram, trīs punktu mainīgais vidējais rādītājs. Tiek ņemtas pirmās trīs vērtības, kas apkopotas no janvāra, februāra un marta datiem (10 + 12 + 13), un tiek noteikts vidējais rādītājs 35: 3 = 11,67.
Iegūtā vērtība 11,67 tiek novietota diapazona centrā, t.i. saskaņā ar februāra līniju. Tad mēs “slīdējam par vienu mēnesi” un ņemam otros trīs skaitļus, sākot no februāra līdz aprīlim (12 + 13 + 16), un aprēķinām vidējo, kas vienāds ar 41: 3 = 13,67, un šādā veidā mēs apstrādājam datus visa sērija. Iegūtie vidējie rādītāji atspoguļo jaunu datu sēriju tendences un tās tuvināšanas konstruēšanai. Jo vairāk punktu tiek ņemts slīdošā vidējā aprēķināšanai, jo spēcīgāka notiek svārstību izlīdzināšana. MBA tendences veidošanas piemērs ir dots tabulā. 5.2 un attēlā. 5.4.
5.2. tabula Tendenču aprēķins, izmantojot trīspunktu mainīgā vidējā metode
Sākotnējo datu un ar mainīgā vidējā metodi iegūto datu svārstību būtība ir parādīta attēlā. 5.4. Salīdzinot sākotnējo vērtību sērijas (3. sērija) un trīspunktu mainīgo vidējo vērtību (4. sērija) grafikus, ir skaidrs, ka svārstības var izlīdzināt. Kā lielāks skaits punkti tiks iesaistīti mainīgā vidējā aprēķina diapazonā, jo skaidrāk parādīsies tendence (1. rinda). Bet diapazona palielināšanas procedūra samazina galīgo vērtību skaitu, un tas samazina prognozes precizitāti.
Prognozes jāveic, pamatojoties uz regresijas līnijas aprēķiniem, pamatojoties uz sākotnējo datu vērtībām vai mainīgajiem vidējiem.
Rīsi. 5.4. Pārdošanas apjoma izmaiņu raksturs pa gada mēnešiem:
sākotnējie dati (3. rinda); mainīgie vidējie rādītāji (4. rinda); eksponenciālā izlīdzināšana(2. rinda); tendence, kas izveidota ar regresijas metodi (1. rinda)
Eksponenciālās izlīdzināšanas metode.
Alternatīva pieeja sēriju vērtību izkliedes samazināšanai ir eksponenciālās izlīdzināšanas metodes izmantošana. Metode tiek saukta par “eksponenciālo izlīdzināšanu”, jo katra pagātnē esošo periodu vērtība tiek samazināta ar koeficientu (1 – α).
Katra izlīdzinātā vērtība tiek aprēķināta, izmantojot šādas formas formulu:
St =aYt +(1−α)St−1,
kur St ir pašreizējā izlīdzinātā vērtība;
Yt – laikrindas pašreizējā vērtība; St – 1 – iepriekšējā izlīdzinātā vērtība; α ir izlīdzināšanas konstante, 0 ≤ α ≤ 1.
Kā mazāka vērtība konstante α, jo mazāk jutīga tā ir pret tendenču izmaiņām noteiktā laikrindā.
2. nodaļā tika apspriests laika rindas tendences jēdziens, t.i. pētāmā rādītāja attīstības dinamikas tendences. Šīs nodaļas mērķis ir aplūkot galvenos šādu tendenču veidus, to īpašības, kuras ar lielāku vai mazāku pilnīguma pakāpi atspoguļo tendenču līnijas vienādojums. Norādīsim, ka atšķirībā no vienkāršām mehānikas sistēmām sarežģītu sociālo, ekonomisko, bioloģisko un tehnisko sistēmu rādītāju izmaiņu tendences atspoguļojas tikai ar zināmu tuvinājumu ar vienu vai otru vienādojumu, tendences līniju.
Šajā nodaļā nav aplūkotas visas matemātikā zināmās taisnes un to vienādojumi, bet tikai to salīdzinoši vienkāršo formu kopums, ko uzskatām par pietiekamu, lai attēlotu un analizētu lielāko daļu praksē sastopamo laikrindu tendenču. Šajā gadījumā ieteicams vienmēr izvēlēties vienkāršāku līniju no vairākiem līniju veidiem, kas diezgan cieši pauž tendenci. Šis "vienkāršības princips" ir pamatots ar to, ka jo sarežģītāks ir tendences līnijas vienādojums, jo lielāks ir tajā ietverto parametru skaits, jo grūtāk ir ar vienādu tuvinājuma pakāpi sniegt ticamu šo parametru novērtējumu. pamatojoties uz ierobežotu sērijas līmeņu skaitu un jo lielāka kļūda šo parametru novērtēšanā, kļūdas prognozētajos līmeņos.
4.1. Taisnas līnijas tendence un tās īpašības
Visvairāk vienkāršs tips Tendences līnija ir taisna līnija, ko apraksta lineārs (t.i., pirmās pakāpes) tendences vienādojums:
Kur 
-
izlīdzināts, t.i. bez svārstībām, tendenču līmeņi gadiem ar numuru i;
A- vienādojuma brīvs termins, kas skaitliski vienāds ar vidējo izlīdzināto līmeni momentā vai laika periodā, kas ņemts par izcelsmi, t.i. Priekš
t = 0;
b - sērijas līmeņu vidējās izmaiņas laika vienībā;
ti - momentu vai laika periodu skaits, uz kuriem attiecas laikrindu līmeņi (gads, ceturksnis, mēnesis, datums).
Sērijas līmeņu vidējās izmaiņas laika vienībā ir lineārās tendences galvenais parametrs un konstante. Tāpēc šāda veida tendence ir piemērota, lai parādītu tendenci uz aptuveni vienādām līmeņu izmaiņām: vienādiem vidējiem absolūtajiem līmeņu pieaugumiem vai absolūtajiem samazinājumiem vienādos laika periodos. Prakse rāda, ka šāda veida dinamika notiek diezgan bieži. Iemesls gandrīz vienādām absolūtajām izmaiņām rindas līmeņos ir šāds: daudzas parādības, piemēram, lauksaimniecības raža, reģiona, pilsētas iedzīvotāju skaits, iedzīvotāju ienākumu apjoms, jebkura pārtikas produkta vidējais patēriņš, utt., ir atkarīgi no daudziem dažādiem faktoriem. Daži no tiem ietekmē pētāmās parādības paātrinātu augšanu, citi - lēnāku augšanu, citi - līmeņu samazināšanos utt. Daudzvirzienu un dažādi paātrinātu (palēninātu) faktoru spēku ietekme tiek savstarpēji vidēji vidēja, daļēji atcelta, un to ietekmes rezultants iegūst raksturu, kas tuvs vienotai tendencei. Tātad vienota dinamikas (vai stagnācijas) tendence ir rezultāts, saskaitot daudzu faktoru ietekmi uz pētāmā rādītāja izmaiņām.
Taisnās tendences grafisks attēlojums ir taisne taisnstūra koordinātu sistēmā ar lineāru (aritmētisko) skalu uz abām asīm. Lineārās tendences piemērs ir parādīts attēlā. 4.1.
Absolūtās līmeņu izmaiņas dažādos gados nebija gluži vienādas, bet kopējā tendence bija nodarbināto skaita samazināšanās. tautsaimniecībaļoti labi atspoguļo lineāra tendence. Tās parametri ir aprēķināti nodaļā. 5 (5.3. tabula).
Galvenās tendences īpašības taisnas līnijas formā ir šādas:
Vienādas izmaiņas vienādos laika periodos;
Ja vidējais absolūtais pieaugums ir pozitīva vērtība, tad relatīvais pieaugums vai pieauguma tempi pakāpeniski samazinās;
Ja vidējās absolūtās izmaiņas ir negatīva vērtība, tad relatīvās izmaiņas vai samazinājuma ātrums pakāpeniski palielinās par samazinājuma absolūto vērtību līdz iepriekšējam līmenim;
Ja tendence ir uz līmeņu samazināšanos un pētāmā vērtība pēc definīcijas ir pozitīva, tad vidējās izmaiņas b nevar būt vairāk par vidējo A;
Ar lineāru tendenci, paātrinājums, t.i. absolūto izmaiņu starpība secīgos periodos ir vienāda ar nulli.
Lineārās tendences īpašības ir parādītas tabulā. 4.1. Tendences vienādojums: 
= 100 +20 *ti.
Dinamikas rādītāji līmeņu pazemināšanās tendences klātbūtnē ir doti tabulā. 4.2.
4.1. tabula
Dinamikas rādītāji ar lineāru tendenci uz pieaugošo līmeni 
= 100 +20 *ti.
|
Perioda numurs ti |
|
Likmes (ķēde), % |
Paātrinājums |
|
4.2. tabula
Dinamikas rādītāji ar lineāru pazemināšanās tendenci: 
= 200 -20 *ti.
|
Perioda numurs ti |
|
Absolūtas izmaiņas salīdzinājumā ar iepriekšējo periodu |
Likme salīdzinājumā ar iepriekšējo periodu, % |
Paātrinājums |
Saskaņā ar formulu (9.29) lineārās tendences parametri ir vienādi a = 1894/11 = 172,2 c/ha; b= 486/110 = 4,418 c/ha. Lineārās tendences vienādojumam ir šāda forma:
y = 172,2 + 4,418t, Kur t = 0 1987. gadā Tas nozīmē, ka vidējais faktiskais un izlīdzinātais līmenis attiecās uz perioda vidu, t.i. līdz 1991.gadam 172 c/ha gadā; vidējais gada pieaugums ir 4,418 c/ha gadā
Paraboliskās tendences parametri saskaņā ar (9.23) ir vienādi ar b = 4,418; a = 177,75; c =-0,5571. Paraboliskās tendences vienādojumam ir forma у̃ = 177,75 + 4,418t - 0.5571t 2; t= 0 1991. gadā. Tas nozīmē, ka absolūtais ražas pieaugums palēninās vidēji par 2·0,56 c/ha gadā gadā. Pats absolūtais pieaugums vairs nav paraboliskās tendences konstante, bet ir perioda vidējā vērtība. Par sākuma punktu ņemtajā gadā t.i. 1991, tendence iet caur punktu ar ordinātu 77,75 c/ha; Paraboliskās tendences brīvais termiņš nav perioda vidējais līmenis. Eksponenciālās tendences parametrus aprēķina, izmantojot formulas (9.32) un (9.33) ln A= 56,5658/11 = 5,1423; pastiprinot, mēs saņemam A= 171,1; ln k= 2,853:110 = 0,025936; pastiprinot, mēs saņemam k = 1,02628.
Eksponenciālās tendences vienādojums ir: y = 171,1 1,02628 t.
Tas nozīmē, ka perioda vidējā gada ienesīguma likme bija 102,63%. Punktā K ir sākuma punkts, tendence šķērso punktu ar ordinātu 171,1 c/ha.
Līmeņi, kas aprēķināti, izmantojot tendenču vienādojumus, ir ierakstīti tabulas pēdējās trīs kolonnās. 9.5. Kā redzams no šiem datiem. Aprēķinātās līmeņu vērtības visiem trim tendenču veidiem daudz neatšķiras, jo gan parabolas paātrinājums, gan eksponenciālā pieauguma ātrums ir mazs. Parabolai ir būtiska atšķirība - līmeņu pieaugums ir apstājies kopš 1995. gada, savukārt ar lineāru tendenci līmeņi turpina augt, un ar eksponenciālu tendenci to ātrums paātrinās. Tāpēc nākotnes prognozēm šīs trīs tendences nav vienādas: ekstrapolējot parabolu uz nākamajiem gadiem, līmeņi krasi atšķirsies no taisnās līnijas un eksponenciālā, kā redzams tabulā. 9.6. Šajā tabulā parādīta risinājuma izdruka datorā, izmantojot programmu Statgraphics tām pašām trim tendencēm. Atšķirība starp to brīvajiem termiņiem un iepriekš norādītajiem ir izskaidrojama ar to, ka programma numurē gadus nevis no vidus, bet gan no sākuma, tādējādi tendenču brīvie termiņi attiecas uz 1986. gadu, kuram t = 0. eksponenciālais vienādojums uz izdrukas ir atstāts logaritmiskā formā. Prognoze tiek veidota uz 5 gadiem uz priekšu, t.i. līdz 2001. Mainoties koordinātu sākumam (laika atskaitei) parabolas vienādojumā, vidējais absolūtais pieaugums, parametrs b. jo negatīva paātrinājuma rezultātā pieaugums visu laiku samazinās, un tā maksimums ir perioda sākumā. Vienīgā parabolas konstante ir paātrinājums.
Rindā “Dati” ir norādīti sākotnējās sērijas līmeņi; "Prognožu kopsavilkums" ir prognozes datu kopsavilkums. Turpmākajās rindās ir taisnes, parabolu, eksponentu vienādojumi - logaritmiskā formā. ME kolonna nozīmē vidējo atšķirību starp sākotnējās sērijas līmeņiem un tendenču līmeņiem (salīdzināti). Taisnei un parabolai šī neatbilstība vienmēr ir nulle. Eksponentu līmeņi ir vidēji par 0,48852 zemāki nekā sākotnējās sērijas līmeņi. Precīza atbilstība ir iespējama, ja patiesā tendence ir eksponenciāla; V šajā gadījumā Nav nejaušības, bet atšķirība ir maza. MAE grafiks ir dispersija s 2 - faktisko līmeņu mainīguma mērs attiecībā pret tendenci, kā aprakstīts 9.7. punktā. Kolonna MAE - līmeņu vidējā lineārā novirze no absolūtās vērtības tendences (sk. 5.8. punktu); kolonna MARE - relatīvā lineārā novirze procentos. Šeit tie tiek parādīti kā izvēlētā tendences veida piemērotības rādītāji. Parabolai ir mazāks dispersijas un novirzes modulis: periodam no 1986. līdz 1996. gadam. tuvāk faktiskajam līmenim. Taču tendences veida izvēli nevar reducēt tikai uz šo kritēriju. Faktiski izaugsmes palēnināšanās ir lielas negatīvas novirzes rezultāts, t.i., 1996. gada ražas neveiksme.
Tabulas otrā puse ir ražas līmeņu prognoze trīs veidu tendencēm gadiem; t = 12, 13, 14, 15 un 16 no izcelsmes (1986). Paredzamie līmeņi eksponenciālajam līdz 16. gadam nav daudz augstāki nekā taisnei. Parabolisko tendenču līmeņi samazinās, arvien vairāk atšķiras no citām tendencēm.
Kā redzams tabulā. 9.4, aprēķinot tendenču parametrus, sākotnējās sērijas līmeņi tiek iekļauti ar dažādiem svariem - vērtībām t lpp un to kvadrāti. Tāpēc līmeņa svārstību ietekme uz tendenču parametriem ir atkarīga no tā, kurš gada skaitlis ir ražas gads vai liesais gads. Ja krasa novirze notiek gadā ar nulles skaitli ( t i = 0), tad tas nekādi neietekmēs tendences parametrus, bet, ja tas trāpīs sērijas sākumā un beigās, tam būs spēcīga ietekme. Līdz ar to viena analītiskā izlīdzināšana pilnībā neatbrīvo tendenču parametrus no svārstību ietekmes, un ar spēcīgām svārstībām tie var tikt ievērojami izkropļoti, kā tas notika ar parabolu mūsu piemērā. Lai vēl vairāk novērstu svārstību kropļojošo ietekmi uz tendenču parametriem, ir jāpiemēro vairāku bīdāmu izlīdzināšanas metode.
Šis paņēmiens sastāv no tā, ka tendenču parametri netiek aprēķināti uzreiz visai sērijai, bet gan bīdāmā metode, vispirms par pirmo T laika periodos vai brīžos, tad laika posmam no 2. līdz t + 1, no 3. līdz (t + 2) līmenis utt. Ja sērijas sākotnējo līmeņu skaits ir vienāds ar P, un katras bīdāmās pamatnes garums parametru aprēķināšanai ir vienāds ar T, tad šādu kustīgo bāzu t vai atsevišķu parametru vērtību skaits, kas tiks noteikts no tiem, būs:
L = n + 1 - T.
Bīdāmās daudzkārtējās izlīdzināšanas tehnikas izmantošana, kā redzams no iepriekš minētajiem aprēķiniem, ir iespējama tikai ar pietiekami lielu sēriju līmeņu skaitu, parasti 15 vai vairāk. Apskatīsim šo metodi, kā piemēru izmantojot datus 1. tabulā. 9.4. - nedegvielas preču cenu dinamika attīstības valstis, kas atkal sniedz lasītājam iespēju piedalīties nelielā zinātniskie pētījumi. Izmantojot šo pašu piemēru, mēs turpināsim prognozēšanas paņēmienu 9.10. sadaļā.
Ja mēs aprēķinām mūsu sērijas parametrus 11 gadu periodos (11 līmeņos), tad t= 17 + 1 - 11 = 7. Vairākkārtējas bīdāmās izlīdzināšanas nozīme ir tāda, ka ar secīgām parametru aprēķina bāzes nobīdēm tās galos un vidū būs dažādi līmeņi ar novirzēm no dažādas zīmes un lieluma tendences. Tāpēc ar dažām bāzes nobīdēm parametri tiks pārvērtēti, citi - par zemu, un ar sekojošu parametru vērtību vidējo vērtību visās aprēķinu bāzes maiņās tiks turpināta savstarpēja izkropļojumu atcelšana. tendenču parametrus pēc līmeņu svārstībām.
Vairākas bīdāmās izlīdzināšanas iespējas ne tikai ļauj iegūt precīzāku un uzticamāku tendenču parametru novērtējumu, bet arī kontrolēt pareizu trenda vienādojuma veida izvēli. Ja izrādās, ka vadošais trenda parametrs, tā konstante, aprēķina, izmantojot kustīgās bāzes, svārstās nevis nejauši, bet gan sistemātiski būtiski maina savu vērtību, tas nozīmē, ka trenda veids ir izvēlēts nepareizi, šis parametrs nav konstante .
Runājot par brīvo termiņu vairākkārtējas izlīdzināšanas laikā, nav vajadzības un turklāt ir vienkārši nepareizi aprēķināt tā vērtību kā vidējo pa visām bāzes maiņām, jo ar šo metodi aprēķinā tiktu iekļauti atsevišķi sākotnējās sērijas līmeņi. no vidējā ar dažādu svaru, un izlīdzināto līmeņu summa atšķirtos no sākotnējās sērijas nosacījumu summas. Tendences brīvais termiņš ir perioda līmeņa vidējā vērtība, ja laiks tiek skaitīts no perioda vidus. Skaitot no sākuma, ja pirmais līmenis t i= 1, brīvais termiņš būs vienāds ar: a 0 = у̅ - b((N-1)/2). Kustīgās bāzes garumu tendenču parametru aprēķināšanai ieteicams izvēlēties vismaz 9-11 līmeņus, lai pietiekami slāpētu līmeņu svārstības. Ja sākotnējā rinda ir ļoti gara, pamatne var būt līdz 0,7 - 0,8 no tās garuma. Lai novērstu ilgstošu periodisku (ciklisku) svārstību ietekmi uz tendenču parametriem, bāzes nobīdes skaitam jābūt vienādam ar svārstību cikla garumu vai tā daudzkārtnim. Tad bāzes sākums un beigas secīgi “izbrauks cauri” visām cikla fāzēm, un, vidēji aprēķinot parametru visās maiņās, tā ciklisko svārstību radītie kropļojumi viens otru atslēgs. Vēl viens veids ir ņemt kustīgās bāzes garumu vienādu ar cikla garumu, lai bāzes sākums un pamatnes beigas vienmēr iekristu vienā un tajā pašā svārstību cikla fāzē.
Tā kā saskaņā ar tabulu. 9.4, jau ir konstatēts, ka tendencei ir lineāra forma, mēs aprēķinām vidējo gada absolūto pieaugumu, t.i., parametru b lineāros tendenču vienādojumus slīdošā veidā uz 11 gadu bāzes (sk. 9.7. tabulu). Tajā ietverts arī to datu aprēķins, kas nepieciešami turpmākai mainīguma izpētei 9.7. punktā. Sīkāk apskatīsim vairākkārtējas izlīdzināšanas tehniku, izmantojot bīdāmās pamatnes. Aprēķināsim parametru b visām datu bāzēm:
Ņemot taisno līniju kā teorētisko līmeņu hipotētisku funkciju, mēs nosakām pēdējo parametrus:
Šo sistēmu var atrisināt, izmantojot formulas:
Tādējādi vēlamais tendenču vienādojums: 
. Aizvietojot iegūtajā vienādojumā vērtības 1, 2, 3, 4, 5, mēs nosakām sērijas teorētiskos līmeņus (skat. 4.3. tabulas priekšpēdējo kolonnu). Salīdzinot empīriskā un teorētiskā līmeņa vērtības, redzam, ka tās ir tuvas, t.i. varam teikt, ka atrastais vienādojums ļoti veiksmīgi raksturo galveno līmeņu izmaiņu tendenci tieši kā lineāru funkciju.
Normālo vienādojumu sistēma tiek vienkāršota, ja laiku skaita no rindas vidus. Piemēram, kad nepāra līmeņu skaits viduspunkts (gads, mēnesis) tiek ņemts par nulli. Tad iepriekšējie periodi tiek apzīmēti attiecīgi -1, -2, -3 utt., bet tie, kas seko vidēji - attiecīgi +1, +2, +3 utt. Ar pāra līmeņu skaitu divi laika vidējie momenti (periodi) tiek apzīmēti ar −1 un +1, un visi nākamie un iepriekšējie attiecīgi ar diviem intervāliem: 
utt.
Ar šo laika skaitīšanas secību (no rindas vidus) normālo vienādojumu sistēma tiek vienkāršota līdz diviem vienādojumiem, no kuriem katrs tiek atrisināts neatkarīgi:
Svarīgs Veidojot laikrindu modeli, tiek ņemtas vērā sezonālās un cikliskās svārstības. Vienkāršākā pieeja, lai ņemtu vērā sezonālās un cikliskās svārstības modelī, ir aprēķināt sezonālās/cikliskās komponentes vērtības un izveidot aditīvu un multiplikatīvu laikrindu modeli.
Vispārējā forma piedevas modelis ir šāds: Y=T+S+E. Šis modelis pieņem, ka katru sērijas laika līmeni var attēlot kā tendences summu T, sezonāls S un nejauša sastāvdaļa. Multiplikatīvā modeļa vispārējais izskats izskatās šādi: J=T∙S∙E.
Viena no diviem modeļiem izvēle ir balstīta uz sezonālo svārstību struktūras analīzi. Ja svārstību amplitūda ir aptuveni nemainīga, tiek izveidots aditīvs laikrindu modelis, kurā tiek pieņemts, ka sezonālās komponentes vērtības ir nemainīgas dažādiem cikliem. Ja sezonālo svārstību amplitūda palielinās vai samazinās, tiek izveidots multiplikatīvs laikrindu modelis, kas padara rindu līmeņus atkarīgus no sezonālās komponentes vērtībām.
Aditīvo un reizināto modeļu uzbūve ir atkarīga no aprēķiniem T, S, E katram rindas līmenim. Modeļa izveides posmi ietver šādas darbības:
1. Sākotnējās sērijas izlīdzināšana, izmantojot slīdošā vidējā metode
2. Sezonālo komponentu vērtību aprēķins S.
3. Sezonālā komponenta izslēgšana no sērijas sākotnējiem līmeņiem un saskaņotu datu iegūšana aditīvā ( T+E) vai reizinātājs ( T∙E) modeļiem.
4. Analītiskā izlīdzināšana ( T+E) vai ( T∙E) un vērtību aprēķināšana T izmantojot iegūto tendenču vienādojumu.
5. No modeļa iegūto vērtību aprēķins ( T+E) vai ( T∙E).
6. Absolūtā un/vai aprēķins relatīvās kļūdas. Ja iegūtās vērtības nesatur autokorelāciju, tās var izmantot, lai aizstātu sākotnējos sērijas līmeņus un pēc tam izmantotu kļūdu laikrindas E analizēt attiecības starp sākotnējām sērijām un citām laikrindām.
Apskatīsim citas sakarību analīzes metodes, pieņemot, ka pētāmās laikrindas nesatur periodiskas svārstības. Pieņemsim, ka mēs pētām atkarību starp sērijām X Un plkst. Lai kvantitatīvi raksturotu šo atkarību, mēs izmantojam lineārais koeficients korelācijas. Ja attiecīgajām laikrindām ir tendence, korelācijas koeficients absolūtajā vērtībā būs augsts. Tomēr tas to nenozīmē X cēlonis plkst. Augstais korelācijas koeficients šajā gadījumā ir rezultāts tam, ka X Un plkst atkarīgi no laika vai satur tendenci. Šajā gadījumā sērijām, kas ir pilnīgi nesaistītas viena ar otru pēc cēloņsakarības, var būt tāda pati vai pretēja tendence. Piemēram, korelācijas koeficients starp augstskolu absolventu skaitu un brīvdienu māju skaitu Krievijas Federācijā laika posmā no 1970. līdz 1990. gadam bija 0,8. Taču tas nenozīmē, ka brīvdienu māju skaits veicina absolventu skaita pieaugumu vai otrādi.
Lai iegūtu korelācijas koeficientus, kas raksturo cēloņsakarības starp pētāmajām sērijām, ir jāatbrīvojas no tā saucamās viltus korelācijas, ko izraisa tendences klātbūtne katrā sērijā, kas tiek novērsta ar vienu. no metodēm.
Pieņemsim, ka divām laikrindām x t Un y t tiek izveidots pāra regresijas vienādojums lineārā regresija veids: 
. tendences klātbūtne katrā no šīm laikrindām nozīmē, ka apgādājamais y t un neatkarīgs x t Modeļa mainīgos ietekmē laika faktors, kas modelī nav tieši ņemts vērā. Laika faktora ietekme tiks izteikta korelācijā starp atlikuma vērtībām pašreizējā un iepriekšējā laika punktā, ko sauc par autokorelāciju atlikumos.
Autokorelācija atlikumos ir vienas no galvenajām OLS premisām - pieņēmuma, ka no regresijas vienādojuma iegūtie atlikumi ir nejauši, pārkāpums. Viens no iespējamie veidiŠīs problēmas risinājums ir izmantot vispārinātu mazāko kvadrātu metodi.
Lai novērstu tendenci, tiek izmantotas divas metožu grupas:
Metodes, kuru pamatā ir sākotnējo sēriju līmeņu pārveidošana jaunos mainīgos, kas nesatur tendences (secīgo atšķirību metode un novirzes no tendencēm metode);
Metodes, kuru pamatā ir laika rindu sākotnējo līmeņu attiecības izpēte, novēršot laika faktora ietekmi uz modeļa atkarīgajiem un neatkarīgajiem mainīgajiem (laika faktora iekļaušana regresijas modelī laikrindām).
Lai ir divas laika rindas un , no kurām katra satur tendences komponentu T un nejauša sastāvdaļa. Katras šīs sērijas analītiskā izlīdzināšana ļauj mums atrast atbilstošo tendenču vienādojumu parametrus un noteikt pēc tendences aprēķinātos līmeņus un atbilstošos. Šīs aprēķinātās vērtības var uzskatīt par tendences komponenta aplēsi T katra rinda. Tāpēc tendences ietekmi var novērst, no faktiskajām atņemot sērijas līmeņu aprēķinātās vērtības. Šī procedūra tiek veikta katrai modeļa laikrindai. Turpmāka attiecību analīze starp sērijām tiek veikta, izmantojot nevis sākotnējos līmeņus, bet novirzes no tendences un . Tas ir tieši tas, kas tas ir tendenču novirzes metode.
Dažos gadījumos tā vietā, lai analītiski saskaņotu laikrindas, lai novērstu tendenci, var izmantot vienkāršāku metodi. – secīgu atšķirību metode. Ja laikrindā ir izteikta lineāra tendence, to var novērst, aizstājot rindas sākotnējos līmeņus ar ķēdītiem absolūtajiem pieaugumiem (pirmās atšķirības).
Koeficients b– konstante, kas nav atkarīga no laika. Spēcīgas lineāras tendences klātbūtnē atkāpšanās ir diezgan neliela un, saskaņā ar OLS pieņēmumiem, pēc būtības ir nejauša. Tāpēc pirmās atšķirības starp rindu līmeņiem nav atkarīgas no laika mainīgā, tās var izmantot turpmākai analīzei.
Ja laikrindā ir tendence otrās kārtas parabolas formā, tad, lai to novērstu, sērijas sākotnējos līmeņus var aizstāt ar otrās kārtas atšķirībām: .
Ja laikrindu tendence seko eksponenciālai vai pakāpes likuma tendencei, secīgo starpību metodi nevajadzētu piemērot oriģinālie līmeņi sērijas, bet gan to logaritmiem.
Modeļa skats: 
attiecas arī uz modeļu grupu, kas ietver laika faktoru. Šī modeļa priekšrocība salīdzinājumā ar metodēm novirzēm no tendencēm un secīgām atšķirībām ir tāda, ka tas ļauj mums ņemt vērā visu informāciju, kas ietverta sākotnējos datos, jo vērtības un ir sākotnējās laikrindas līmeņi. Turklāt modelis ir veidots, izmantojot visu aplūkojamā perioda datu kopumu, atšķirībā no secīgo atšķirību metodes, kas noved pie novērojumu skaita zuduma. Šī modeļa parametrus nosaka parastie mazākie kvadrāti.
Piemērs. Konstruēsim tendenču vienādojumu, pamatojoties uz sākotnējiem datiem 4.4. tabulā.
4.4. tabula
Izdevumi par galapatēriņu un kopējie ienākumi (parastās vienības)
Normālo vienādojumu sistēmai ir šāda forma:
Izmantojot sākotnējos datus, mēs aprēķinām nepieciešamās vērtības un aizstājam tās sistēmā:
Regresijas vienādojumam ir šāda forma: .
Vienādojuma parametru interpretācija ir šāda: tas raksturo, ka, palielinoties kopējiem ienākumiem par 1 vienību. galapatēriņa izdevumi pieaugs vidēji par CU 0,49, pieņemot nemainīgu tendenci. Parametrs nozīmē, ka visu faktoru, izņemot kopējos ienākumus, ietekme uz galapatēriņa izdevumiem novedīs pie tā vidējā gada absolūtā pieauguma par 0,63 cu.
Apsveriet šādas formas regresijas vienādojumu: 
. Katram laika momentam komponentu vērtība tiek definēta kā vai . Ņemot vērā atlikumu secību kā laika rindu, varat attēlot to atkarību no laika. Saskaņā ar OLS pieņēmumiem atlikumiem jābūt nejaušiem (4.4. attēls).
Rīsi. 4.4. Nejaušie atlikumi
Taču, modelējot laikrindas, bieži vien ir situācijas, kad atlikumi satur tendenci vai cikliskas svārstības (4.5. att.). Tas liek domāt, ka katra nākamā atlikuma vērtība ir atkarīga no iepriekšējām. Šajā gadījumā viņi runā par autokorelācijas klātbūtni atlikumos.
a) b)
Rīsi. 4.5 Lejupslīdes tendence ( A) un cikliskās svārstības ( b)
pārpalikumos
Izlases komponenta autokorelācija- gadījuma komponenta pašreizējo un iepriekšējo vērtību korelācijas atkarība. Nejaušas komponentu autokorelācijas sekas:
Regresijas koeficienti kļūst neefektīvi;
Regresijas koeficientu standarta kļūdas kļūst par zemu novērtētas, un vērtības t– kritēriji ir pārvērtēti.
Lai noteiktu atlikumu autokorelāciju, ir zināmas divas visizplatītākās metodes atlieku autokorelācijas noteikšanai. Pirmā metode ir attēlot atlikumus pret laiku un vizuāli noteikt autokorelācijas esamību vai neesamību. Otrā metode ir Durbina-Vatsona testa izmantošana, kas ir saistīta ar hipotēzes pārbaudi:
H0 (galvenā hipotēze): nav autokorelācijas;
H1 un H2 (alternatīvās hipotēzes): ir attiecīgi pozitīva vai negatīva autokorelācija atlikumos.
Lai pārbaudītu galveno hipotēzi, tiek izmantota Durbina-Vatsona testa statistika:
Kur.
Uz lieliem paraugiem d≈2(1-), Kur - 1. kārtas autokorelācijas koeficients.
.
Ja ir pilnīga pozitīva autokorelācija atlikumos un =1, tad d=0; ja reziduālos ir pilnīga negatīva autokorelācija, tad = -1 un d=4; ja nav atlikumu autokorelācijas, tad = 0, tad d=2. Tāpēc 0.
Apakšējās un augšējās kritiskās robežas noteikšanai ir īpašas statistikas tabulas d- statistika –dL Un d U. Tie tiek noteikti atkarībā no n, neatkarīgo mainīgo skaits k un nozīmīguma līmenis.
Ja dob ‹d L , tad tiek pieņemta hipotēze H1: pozitīva autokorelācija.
Ja d un ‹d novērojumi ‹2,
Ja 2‹d obs‹4-d un, tad tiek pieņemta hipotēze H0: autokorelācijas nav.
Ja d obs › 4-d L , tad tiek pieņemta hipotēze H2: negatīva autokorelācija.
Ja 4-d un ‹d obs ‹4-d L , Un d L ‹d obs ‹d un, tad rodas neskaidrības.
0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4
Rīsi. 4.6. Algoritms hipotēzes pārbaudei par atlikumu autokorelācijas esamību
Durbina-Vatsona testa piemērošanai ir ierobežojumi. Tas nav piemērojams modeļiem, kas ietver iegūto raksturlielumu novēlotas vērtības kā neatkarīgus mainīgos, t.i. uz autoregresīviem modeļiem. Metode ir paredzēta tikai pirmās kārtas atlikuma autokorelācijas noteikšanai. Rezultāti ir ticamāki, strādājot ar lielākiem paraugiem.
Gadījumos, kad notiek atlikumu autokorelācija, noteikt parametru aplēses a, b izmantot vispārinātu metodi MNC, kas sastāv no secības nākamie soļi:
1. Konvertējiet sākotnējos mainīgos y t Un xt prātā
2. Vienādojumam pielietojot parasto mazāko kvadrātu metodi 
, Kur 
noteikt parametru aplēses un b.
4. Izrakstiet sākotnējais vienādojums .
Starp ekonometriskiem modeļiem, kas veidoti, izmantojot laika datus, izšķir dinamiskos modeļus.
Ekonometriskais modelis ir dinamisks , ja iekšā Šis brīdis laiks t tas ņem vērā to veidojošo mainīgo vērtības, kas attiecas gan uz pašreizējo, gan iepriekšējo laika punktu, t.i. šis modelis atspoguļo pētīto mainīgo dinamiku katrā laika posmā.
Ir divi galvenie dinamisko ekonometrisko modeļu veidi. Pirmais modeļu tips ietver autoregresīvos modeļus un sadalītās nobīdes modeļus, kuros mainīgā vērtība iepriekšējos laika periodos (aizkavētie mainīgie) ir tieši iekļauta modelī. Otrā tipa modeļos dinamiskā informācija tiek ņemta vērā netieši. Šajos modeļos ir iekļauti mainīgie, kas raksturo sagaidāmo un vēlamo rezultāta līmeni vai kādu no faktoriem noteiktā brīdī t.
Sadalīts lag modelis ir šāda forma:
Sadalīto lag un autoregresīvo modeļu uzbūvei ir sava specifika. Pirmkārt, autoregresīvo modeļu un vairumā gadījumu sadalīto nobīdes modeļu parametru novērtēšanu nevar veikt, izmantojot parasto OLS, jo tiek pārkāptas tās telpas, un ir nepieciešamas īpašas statistikas metodes. Otrkārt, pētniekiem ir jāatrisina problēma par optimālās nobīdes vērtības izvēli un tās struktūras noteikšanu. Visbeidzot, treškārt, pastāv noteikta saistība starp sadalītās nobīdes modeļiem un autoregresīviem modeļiem, un dažos gadījumos ir nepieciešams veikt pāreju no viena modeļa veida uz citu.
Apskatīsim modeli ar sadalītu nobīdi, pieņemot, ka maksimālā nobīdes vērtība ir ierobežota:
Šis modelis saka, ka, ja kādā brīdī t neatkarīgais mainīgais mainās x, tad šīs izmaiņas ietekmēs mainīgā vērtības y laikā l nākamie mirkļi laikā.
Regresijas koeficients b 0 ar mainīgo xt raksturo vidējās absolūtās izmaiņas y t kad tas mainās xt par 1 vienību tā mērījumu kādā noteiktā laika punktā t, neņemot vērā faktora novēloto vērtību ietekmi x.Šo koeficientu sauc īstermiņa reizinātājs.
Šobrīd t+1 faktoru mainīgā ietekme xt uz rezultātu y t būs ( b 0 + b 1) parastās vienības; kādā brīdī t+2šo ietekmi var raksturot ar summu ( b 0 + b 1 + b 2) utt. Šādā veidā iegūtās summas sauc starpposma reizinātāji.
Ņemot vērā nobīdes galīgo vērtību, varam teikt, ka mainīgā lieluma izmaiņas xt kādā brīdī t par 1 parasto vienību novedīs pie vispārējām rezultāta izmaiņām caur l brīži laikā (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l).
Ieviesīsim šādu apzīmējumu: b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l). Izmērs b sauca ilgtermiņa reizinātājs, kas parāda absolūtās izmaiņas ilgtermiņā t+l rezultāts y ietekmē 1 vienības maiņa. faktors a x.
Daudzumi 
tiek saukti relatīvās izredzes sadalīti lag modeļi. Ja visi koeficienti b j ir tādas pašas pazīmes
Tas .
Relatīvie koeficienti ir attiecīgo koeficientu svari b j. Katrs no tiem mēra iegūtā raksturlieluma kopējo izmaiņu proporciju noteiktā brīdī t+j.
Zinot daudzumus, izmantojot standarta formulas, varat noteikt vēl divas svarīgas īpašības modeļiem daudzkārtēja regresija: vidējās un vidējās nobīdes vērtība.
Vidējā nobīde aprēķina, izmantojot vidējo svērto aritmētisko formulu:
un atspoguļo vidējo periodu, kurā rezultāts mainīsies faktora izmaiņu ietekmē xšobrīd t. Ja vidējā nobīdes vērtība ir maza, tas norāda uz diezgan ātru reakciju y pārmaiņām x. Augsta vidējā nobīdes vērtība norāda, ka faktora ietekme uz rezultātu būs jūtama iekšienē ilgs periods laiks.
Vidējā nobīde (L Me) –šī ir nobīdes vērtība, kurai periods, kura laikā . Tas ir laika periods, kurā no laika brīža t tiks realizēta puse no faktora kopējās ietekmes uz rezultātu.
Iepriekš aprakstītās metodes, lai analizētu modeļa parametrus ar sadalītu nobīdi, ir derīgas tikai tad, ja tiek pieņemts, ka visiem pētāmā faktora pašreizējās un novēlotās vērtības koeficientiem ir vienādas zīmes. Šis pieņēmums ir pilnībā pamatots no ekonomiskā viedokļa: viena un tā paša faktora ietekmei uz rezultātu jābūt vienvirziena, neatkarīgi no laika nobīdes, ar kādu tiek mērīts šo raksturlielumu attiecības stiprums vai ciešums. Taču praksē iegūstot statistiski nozīmīgu modeli, kura parametriem būtu vienādas pazīmes, īpaši ar lielu nobīdi l, ārkārtīgi grūti.
Parasto mazāko kvadrātu piemērošana šādiem modeļiem vairumā gadījumu ir sarežģīta, jo šādus iemeslus:
Neatkarīga mainīgā pašreizējās un novēlotās vērtības parasti ir cieši saistītas viena ar otru, tāpēc modeļa parametru novērtējums tiek veikts augstas multikolinearitātes apstākļos;
Ar lielu nobīdi samazinās novērojumu skaits, uz kuriem modelis ir veidots, un palielinās tā faktoru raksturlielumu skaits, kas noved pie modeļa brīvības pakāpju skaita zuduma;
Sadalītie nobīdes modeļi bieži saskaras ar atlikumu autokorelācijas problēmu.
Tāpat kā sadalītā nobīdes modelī, b 0šajā modelī raksturo īstermiņa izmaiņas y t pārmaiņu iespaidā xt par 1 vienību Tomēr starpposma un ilgtermiņa reizinātāji autoregresīvajā modelī ir nedaudz atšķirīgi. Ar laiku t+1 rezultāts y t mainījās pētāmā faktora izmaiņu ietekmē noteiktā laika brīdī t ieslēgts b 0 vienības un y t +1– tās izmaiņu ietekmē tieši iepriekšējā laika posmā no 1 vienības. Tādējādi kopējās absolūtās rezultāta izmaiņas tajā brīdī t+1 būs b 0 s 1 . Tāpat tajā laikā t+2 absolūtas rezultāta izmaiņas būs b 0 s 1 2 vienības utt. Tāpēc ilgtermiņa reizinātāju autoregresīvajā modelī var aprēķināt kā īstermiņa un starpposma reizinātāju summu:
Šī autoregresīvā modeļa koeficientu interpretācija un ilgtermiņa reizinātāja aprēķins balstās uz pieņēmumu, ka pastāv bezgalīga nobīde atkarīgā mainīgā pašreizējās vērtības ietekmē uz tā nākotnes vērtībām.
Piemērs. Pieņemsim, ka, pamatojoties uz datiem par patēriņa un ienākumu rādītāju dinamiku reģionā, tika iegūts autoregresijas modelis, kas apraksta gada vidējā patēriņa apjoma uz vienu iedzīvotāju (C, milj. rubļu) atkarību no vidējā uz vienu iedzīvotāju kopsummas. gada ienākumi (Y, miljoni rubļu) un iepriekšējā gada patēriņa apjoms:
.
Īstermiņa reizinātājs ir 0,85. Šajā modelī tas atspoguļo minimālo tieksmi patērēt īstermiņā. Līdz ar to vidējo kopējo ienākumu pieaugums uz vienu iedzīvotāju par 1 miljonu rubļu. noved pie patēriņa pieauguma tajā pašā gadā vidēji par 850 tūkstošiem rubļu. Ilgtermiņa robežtieksmi patērēt šajā modelī var definēt kā
.
Ilgtermiņā vidējo kopējo ienākumu pieaugums uz vienu iedzīvotāju par 1 miljonu rubļu. izraisīs patēriņa pieaugumu vidēji par 944 tūkstošiem rubļu. Patērēšanas robežtieksmes starpposma rādītājus var noteikt, aprēķinot nepieciešamos daļējos apjomus attiecīgajiem laika periodiem. Piemēram, uz noteiktu laiku t+1 mēs iegūstam:
Tas nozīmē, ka palielinās vidējie kopējie ienākumi uz vienu iedzīvotāju pašreizējais periods par 1 miljonu rubļu. noved pie patēriņa pieauguma vidēji par 935 tūkstošiem rubļu. nākamajā nākamajā periodā.
