IV nodaļa. Taisnas līnijas un plaknes telpā. Daudzskaldnis
§ 55. Daudzstūra projekcijas laukums.
Atcerēsimies, ka leņķis starp taisni un plakni ir leņķis starp doto taisni un tās projekciju uz plakni (164. att.).
Teorēma. Daudzstūra ortogonālās projekcijas laukums uz plakni ir vienāds ar projicētā daudzstūra laukumu, kas reizināts ar daudzstūra plaknes un projekcijas plaknes veidotā leņķa kosinusu.
Katru daudzstūri var sadalīt trīsstūros, kuru laukumu summa ir vienāda ar daudzstūra laukumu. Tāpēc pietiek pierādīt teorēmu trijstūrim.
Ļaujiet /\
ABC tiek projicēts uz plaknes R. Apskatīsim divus gadījumus:
a) viena no pusēm /\
ABC ir paralēla plaknei R;
b) neviena puse /\
ABC nav paralēla R.
Apsvērsim pirmais gadījums: let [AB] || R.
Zīmēsim plakni caur (AB) R 1 || R un dizains ortogonāli /\
ABC ieslēgts R 1 un tālāk R(165. att.); mēs saņemam /\
ABC 1 un /\
A"B"C.
Pēc mūsu projekcijas īpašībām /\
ABC 1 /\
A"B"C", un tāpēc
S /\ ABC1=S /\ A"B"C"
Uzzīmēsim _|_ un nogriezni D 1 C 1 . Tad _|_ , a = φ ir leņķa vērtība starp plakni /\ ABC un lidmašīna R 1 . Tāpēc
S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ
un tāpēc S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.
Pāriesim pie apsvēršanas otrais gadījums. Uzzīmēsim plakni R 1 || R pa to virsu /\
ABC, attālums, no kura līdz plaknei R mazākais (lai tā būtu virsotne A).
Izstrādāsim /\
ABC lidmašīnā R 1 un R(166. att.); lai tās projekcijas būtu attiecīgi /\
AB 1 C 1 un /\
A"B"C.
Ļaujiet (saule) lpp 1 = D. Tad
S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ
Uzdevums. Caur regulāras trīsstūra prizmas pamatnes malu novelk plakni leņķī φ = 30° pret tās pamatnes plakni. Atrodiet iegūtā šķērsgriezuma laukumu, ja ir prizmas pamatnes mala A= 6 cm.
Attēlosim šīs prizmas šķērsgriezumu (167. att.). Tā kā prizma ir regulāra, tās sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknei. nozīmē, /\ ABC ir projekcija /\ Tāpēc ADC
Apsveriet lidmašīnu lpp un taisne, kas to šķērso . Ļaujiet A - patvaļīgs punkts telpā. Novelkam taisnu līniju caur šo punktu , paralēli līnijai . Ļaujiet . Punkts sauc par punkta projekciju A uz lidmašīnu lpp ar paralēlu dizainu pa noteiktu taisni . Lidmašīna lpp , uz kuru tiek projicēti telpas punkti, sauc par projekcijas plakni.
p - projekcijas plakne;
- tiešais dizains; ;
; ; ;
Ortogonāls dizains ir īpašs paralēlās projektēšanas gadījums. Ortogonālais dizains ir paralēls dizains, kurā dizaina līnija ir perpendikulāra projekcijas plaknei. Ortogonālais dizains tiek plaši izmantots tehniskajā rasējumā, kur figūra tiek projicēta trīs plaknēs - horizontālā un divās vertikālās.
Definīcija:
Punkta ortogonālā projekcija M uz lidmašīnu lpp sauc par bāzi M 1 perpendikulāri MM 1, nokrita no punkta M uz lidmašīnu lpp.
Apzīmējums: , 
, .
Definīcija: figūras ortogonālā projekcija F uz lidmašīnu lpp ir visu plaknes punktu kopa, kas ir figūras punktu kopas ortogonālas projekcijas F uz lidmašīnu lpp.
Ortogonāls dizains, piemēram īpašs gadījums paralēlajam dizainam ir tādas pašas īpašības:
p - projekcijas plakne;
- tiešais dizains; ;
1) ;
2) , .
- Paralēlu līniju projekcijas ir paralēlas.
PLAKANAS FIGŪRAS PROJEKCIJAS LAUKS
Teorēma: Plaknes daudzstūra projekcijas laukums uz noteiktu plakni ir vienāds ar projicētā daudzstūra laukumu, kas reizināts ar leņķa kosinusu starp daudzstūra plakni un projekcijas plakni.
1. posms: projicētā figūra ir trīsstūris ABC, kura mala AC atrodas projekcijas plaknē a (paralēli projekcijas plaknei a).
Ņemot vērā:
Pierādīt:
Pierādījums:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Pēc trīs perpendikulu teorēmas;
ВD – augstums; B 1 D – augstums;
5. – divskaldņa leņķa lineārais leņķis;
6. ; ; ; 
;
2. posms: projicētā figūra ir trīsstūris ABC, kura neviena no malām neatrodas projekcijas plaknē a un nav tai paralēla.
Ņemot vērā:
Pierādīt:
Pierādījums:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(1. posms);
5. ; ; ;
(1. posms);
Posms: izveidotā figūra ir patvaļīgs daudzstūris.
Pierādījums:
Daudzstūris tiek sadalīts ar diagonālēm, kas novilktas no vienas virsotnes, ierobežotā skaitā trīsstūru, no kuriem katram ir patiesa teorēma. Tāpēc teorēma būs patiesa arī visu trīsstūru laukumu summai, kuru plaknes veido vienādu leņķi ar projekcijas plakni.
komentēt: Pierādītā teorēma ir derīga jebkurai plakana figūra, ko ierobežo slēgta līkne.
Vingrinājumi:
1. Atrodiet laukumu trijstūrim, kura plakne ir slīpa pret projekcijas plakni leņķī , ja tā projekcija ir regulārs trīsstūris ar malu a.
2. Atrodiet laukumu trijstūrim, kura plakne ir slīpa pret projekcijas plakni leņķī , ja tā projekcija ir vienādsānu trīsstūris ar 10 cm malu un 12 cm pamatni.
3. Atrodiet laukumu trijstūrim, kura plakne ir slīpa pret projekcijas plakni leņķī , ja tā projekcija ir trijstūris ar malām 9, 10 un 17 cm.
4. Aprēķiniet laukumu trapecei, kuras plakne ir slīpa pret projekcijas plakni leņķī, ja tās projekcija ir vienādsānu trapece, kuras lielākā pamatne ir 44 cm, mala ir 17 cm un diagonāle. ir 39 cm.
5. Aprēķiniet projekcijas laukumu regulāram sešstūrim ar malu 8 cm, kura plakne ir slīpa pret projekcijas plakni leņķī.
6. Rombs ar 12 cm malu un akūtu leņķi veido leņķi ar doto plakni. Aprēķiniet romba projekcijas laukumu uz šo plakni.
7. Rombs ar malu 20 cm un diagonāli 32 cm veido leņķi ar doto plakni. Aprēķiniet romba projekcijas laukumu uz šo plakni.
8. Nojumes projekcija horizontālā plaknē ir taisnstūris ar malām un . Atrodiet nojumes laukumu, ja sānu malas ir vienādi taisnstūri, kas slīpi slīpi pret horizontālo plakni, un nojumes vidusdaļa ir kvadrāts, kas ir paralēls projekcijas plaknei.
11. Vingrinājumi par tēmu “Līnijas un plaknes telpā”:
Trijstūra malas ir vienādas ar 20 cm, 65 cm, 75 cm No trijstūra lielākā leņķa virsotnes uz tā plakni novelk perpendikulu, kas vienāds ar 60 cm trijstūra lielākā mala.
2. No punkta, kas atrodas cm attālumā no plaknes, tiek novilkti divi slīpi, veidojot leņķus ar plakni, kas vienāda ar , un taisnu leņķi starp tiem. Atrodiet attālumu starp slīpo plakņu krustošanās punktiem.
3. Regulāra trijstūra malas garums ir 12 cm, lai nogriežņi, kas savieno punktu M ar visām trijstūra virsotnēm, veidotu leņķus ar tā plakni. Atrodiet attālumu no punkta M līdz trijstūra virsotnēm un malām.
4. Caur kvadrāta malu ir novilkta plakne leņķī pret kvadrāta diagonāli. Atrodiet leņķus, kuros kvadrāta divas malas ir slīpas pret plakni.
5. Viensānu kāja taisnleņķa trīsstūris slīpi pret plakni a, kas iet cauri hipotenūzai leņķī . Pierādīt, ka leņķis starp plakni a un trijstūra plakni ir vienāds ar .
6. Divšķautņu leņķis starp trijstūra ABC un DBC plaknēm ir vienāds ar . Atrodiet AD, ja AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Testa jautājumi par tēmu “Līnijas un plaknes telpā”
1. Uzskaitiet stereometrijas pamatjēdzienus. Formulējiet stereometrijas aksiomas.
2. Pierādīt sekas no aksiomām.
3. Kā tas ir savstarpēja vienošanās divas līnijas telpā? Sniedziet krustojošo, paralēlo un šķībo līniju definīcijas.
4. Pierādiet šķībās līnijas zīmi.
5. Kāds ir taisnes un plaknes relatīvais novietojums? Sniedziet krustojošu, paralēlu līniju un plakņu definīcijas.
6. Pierādi paralēlisma zīmi starp taisni un plakni.
7. Kāds ir abu plakņu relatīvais novietojums?
8. Definēt paralēlas plaknes. Pierādiet zīmi, ka divas plaknes ir paralēlas. Stāvokļa teorēmas par paralēlām plaknēm.
9. Nosakiet leņķi starp taisnēm.
10. Pierādi taisnes un plaknes perpendikulitātes zīmi.
11. Definēt perpendikula pamatu, slīpuma pamatu, slīpuma projekciju uz plakni. Formulējiet perpendikulāras un slīpas līnijas īpašības, kas nomesta plaknē no viena punkta.
12. Definējiet leņķi starp taisni un plakni.
13. Pierādīt teorēmu par trim perpendikuliem.
14. Sniedziet diedrāla leņķa definīcijas, divskaldņa leņķa lineāro leņķi.
15. Pierādīt divu plakņu perpendikulitātes zīmi.
16. Definējiet attālumu starp diviem dažādiem punktiem.
17. Definējiet attālumu no punkta līdz taisnei.
18. Definējiet attālumu no punkta līdz plaknei.
19. Definējiet attālumu starp taisni un tai paralēlu plakni.
20. Definējiet attālumu starp paralēlām plaknēm.
21. Definējiet attālumu starp krustojošām taisnēm.
22. Definējiet punkta ortogonālo projekciju uz plakni.
23. Definējiet figūras ortogonālo projekciju uz plakni.
24. Formulējiet projekciju īpašības plaknē.
25. Formulējiet un pierādiet teorēmu par plaknes daudzstūra projekcijas laukumu.
Ģeometrijas uzdevumos panākumi ir atkarīgi ne tikai no teorijas zināšanām, bet no kvalitatīva zīmējuma.
Ar plakaniem zīmējumiem viss ir vairāk vai mazāk skaidrs. Bet stereometrijā situācija ir sarežģītāka. Galu galā ir nepieciešams attēlot trīsdimensijuķermenis ieslēgts plakans zīmējumu, un lai gan tu pats, gan cilvēks, kurš skatās tavu zīmējumu, redzētu vienu un to pašu tilpuma ķermeni.
Kā to izdarīt?
Protams, jebkurš tilpuma ķermeņa attēls plaknē būs nosacīts. Tomēr ir noteikts noteikumu kopums. Ir vispārpieņemts rasējumu veidošanas veids - paralēlā projekcija.
Ņemsim tilpuma korpusu.
Izvēlēsimies projekcijas plakne.
Caur katru tilpuma ķermeņa punktu mēs novelkam taisnas līnijas, kas ir paralēlas viena otrai un krustojas projekcijas plaknē jebkurā leņķī. Katra no šīm taisnēm kādā punktā krusto projekcijas plakni. Un visi kopā šie punkti veidojas projekcija tilpuma ķermeņa uz plaknes, tas ir, tā plakanā attēla.
Kā konstruēt tilpuma ķermeņu projekcijas?
Iedomājieties, ka jums ir tilpuma korpusa rāmis - prizma, piramīda vai cilindrs. Izgaismojot to ar paralēlu gaismas staru, mēs iegūstam attēlu - ēnu uz sienas vai ekrāna. Ņemiet vērā, ka no dažādiem leņķiem tiek iegūti dažādi attēli, taču daži modeļi joprojām pastāv:
Segmenta projekcija būs segments.
Protams, ja segments ir perpendikulārs projekcijas plaknei, tas tiks parādīts vienā punktā.
Apļa projekcija iekšā vispārējs gadījums izrādās elipse.
Taisnstūra projekcija ir paralelograms.
Lūk, kā izskatās kuba projekcija plaknē:
Šeit priekšējā un aizmugurējā seja ir paralēla projekcijas plaknei
To var izdarīt savādāk:
Lai kādu leņķi mēs izvēlētos, paralēlo segmentu projekcijas zīmējumā arī būs paralēli segmenti. Tas ir viens no paralēlās projekcijas principiem.
Mēs zīmējam piramīdas projekcijas,
cilindrs:
Vēlreiz atkārtosim paralēlās projekcijas pamatprincipu. Mēs izvēlamies projekcijas plakni un caur katru tilpuma ķermeņa punktu novelkam taisnas līnijas, kas ir paralēlas viena otrai. Šīs līnijas krustojas ar projekcijas plakni jebkurā leņķī. Ja šis leņķis ir 90°, mēs runājam par taisnstūra projekcija. Izmantojot taisnstūra projekciju, tiek konstruēti tilpuma daļu rasējumi tehnoloģijā. Šajā gadījumā mēs runājam par skatu no augšas, skatu no priekšpuses un sānu skatu.
Daudzstūra ortogonālās projekcijas teorēmas detalizēts pierādījums
Ja ir dzīvokļa projekcija n -gon uz plakni, tad kur ir leņķis starp daudzstūru plaknēm un. Citiem vārdiem sakot, plaknes daudzstūra projekcijas laukums ir vienāds ar projicētā daudzstūra laukuma un leņķa kosinusu starp projekcijas plakni un projicētā daudzstūra plakni.
Pierādījums. es posms. Vispirms veiksim trīsstūra pierādījumu. Apskatīsim 5 gadījumus.
1 gadījums. atrodas projekcijas plaknē .
Ļaut būt projekcijas punktu uz plaknes, attiecīgi. Mūsu gadījumā. Pieņemsim, ka. Ļaut ir augstums, tad ar trīs perpendikulu teorēmu varam secināt, ka - augstums (- slīpuma projekcija, - tā pamatne un taisne, kas iet caur slīpuma pamatni, un).
Apsvērsim. Tas ir taisnstūrveida. Pēc kosinusa definīcijas:
No otras puses, tā kā un pēc definīcijas ir divskaldņa leņķa lineārais leņķis, ko veido plakņu pusplaknes un ar robežtaisni, un tāpēc tā mērs ir arī leņķa mērs starp trijstūra projekcijas plaknes un pats trīsstūris, tas ir.
Noskaidrosim laukuma attiecību pret:
Ņemiet vērā, ka formula paliek patiesa pat tad, ja. Šajā gadījumā
2. gadījums. Atrodas tikai projekcijas plaknē un ir paralēla projekcijas plaknei .
Ļaut būt projekcijas punktu uz plaknes, attiecīgi. Mūsu gadījumā.
Novelkam taisnu līniju caur punktu. Mūsu gadījumā taisne krusto projekcijas plakni, kas nozīmē, ka pēc lemmas taisne krusto arī projekcijas plakni. Lai tas atrodas punktā Kopš, tad punkti atrodas vienā plaknē, un tā kā tā ir paralēla projekcijas plaknei, tad no taisnes un plaknes paralēlisma zīmes izriet no tā. Tāpēc tas ir paralelograms. Apsvērsim un. Tās ir vienādas no trim malām (kopējā puse ir kā paralelograma pretējās malas). Ņemiet vērā, ka četrstūris ir taisnstūris un ir vienāds (uz kājas un hipotenūzas), tāpēc vienāds no trim pusēm. Tāpēc.
Piemērojamajam 1. gadījumam: , t.i.
3. gadījums. Atrodas tikai projekcijas plaknē un nav paralēla projekcijas plaknei .
Lai punkts ir taisnes krustpunkts ar projekcijas plakni. Ņemiet vērā, ka un. 1 gadījumā: i. Tādējādi mēs to iegūstam
4. gadījums Virsotnes neatrodas projekcijas plaknē . Apskatīsim perpendikulus. Ņemsim mazāko no šiem perpendikuliem. Ļaujiet tai būt perpendikulāri. Var izrādīties, ka tas ir vai nu tikai, vai tikai. Tad mēs tik un tā paņemsim.
Atcelsim punktu no segmenta punkta tā, un no segmenta punkta - punktu, tātad. Šī konstrukcija ir iespējama, jo tā ir mazākā no perpendikulām. Ņemiet vērā, ka tā ir projekcija un pēc konstrukcijas. Pierādīsim to un esam vienādi.
Apsveriet četrstūri. Pēc nosacījuma - perpendikulāri vienai plaknei, tātad, pēc teorēmas, tātad. Tā kā pēc konstrukcijas, tad pamatojoties uz paralelograma īpašībām (pēc paralēlām un vienādām pretējām malām), mēs varam secināt, ka tas ir paralelograms. Nozīmē,. Līdzīgi tiek pierādīts, ka,. Tāpēc un ir vienādi no trim pusēm. Tāpēc. Ņemiet vērā, ka un kā paralelogramu pretējās malas, tāpēc, pamatojoties uz plakņu paralēlismu, . Tā kā šīs plaknes ir paralēlas, tās veido vienādu leņķi ar projekcijas plakni.
Tiek piemēroti iepriekšējie gadījumi:.
5. gadījums. Projekcijas plakne krusto malas . Apskatīsim taisnās līnijas. Tie ir perpendikulāri projekcijas plaknei, tāpēc pēc teorēmas tie ir paralēli. Uz kopvirziena stariem ar sākumu punktos mēs attiecīgi uzzīmēsim vienādus segmentus tā, lai virsotnes atrastos ārpus projekcijas plaknes. Ņemiet vērā, ka tā ir projekcija un pēc konstrukcijas. Parādīsim, ka tas ir vienāds.
Kopš un pēc būvniecības, tad. Tāpēc saskaņā ar paralelograma kritēriju (divi vienādi un paralēlas malas), ir paralelograms. Līdzīgā veidā tiek pierādīts, ka un ir paralelogrami. Bet tad un (kā pretējās puses) ir vienādas no trim pusēm. Nozīmē,.
Turklāt un tāpēc, pamatojoties uz plakņu paralēlismu. Tā kā šīs plaknes ir paralēlas, tās veido vienādu leņķi ar projekcijas plakni.
Piemērojamam 4. gadījumam:.
II posms. Sadalīsim plakanu daudzstūri trīsstūros, izmantojot diagonāles, kas novilktas no virsotnes: Tad saskaņā ar iepriekšējiem gadījumiem trijstūriem: .
Q.E.D.
ĢEOMETRIJA
Nodarbību plāni 10. klasei
56. nodarbība
Priekšmets. Daudzstūra ortogonālās projekcijas laukums
Nodarbības mērķis: izpētīt teorēmu par daudzstūra ortogonālās projekcijas laukumu, attīstīt studentu prasmes apgūto teorēmu pielietot problēmu risināšanā.
Aprīkojums: stereometriskais komplekts, kuba modelis.
Nodarbību laikā
I. Mājas darbu pārbaude
1. Divi studenti uz tāfeles atveido uzdevumu Nr. 42, 45 risinājumus.
2. Frontāla nopratināšana.
1) Nosakiet leņķi starp divām plaknēm, kas krustojas.
2) Kāds ir leņķis starp:
a) paralēlas plaknes;
b) perpendikulāras plaknes?
3) Kādās robežās var mainīties leņķis starp divām plaknēm?
4) Vai tā ir taisnība, ka plakne, kas krusto paralēlas plaknes, krusto tās vienādos leņķos?
5) Vai tā ir taisnība, ka plakne, kas krusto perpendikulāras plaknes, šķērso tās vienādos leņķos?
3. 42., 45. uzdevumu risinājuma pareizības pārbaude, ko skolēni atveidoja uz tāfeles.
II. Jauna materiāla uztvere un apzināšanās
Uzdevums studentiem
1. Pierādīt, ka trijstūra, kura viena mala atrodas projekcijas plaknē, projekcijas laukums ir vienāds ar tā laukuma un leņķa kosinusu starp daudzstūra plakni un projekcijas plakni.
2. Pierādīt teorēmu gadījumam, kad režģa trīsstūris ir tāds, kura viena mala ir paralēla projekcijas plaknei.
3. Pierādīt teorēmu gadījumam, kad režģa trijstūris ir tāds, kurā neviena no malām nav paralēla projekcijas plaknei.
4. Pierādiet teorēmu jebkuram daudzstūrim.
Problēmu risināšana
1. Atrodiet daudzstūra ortogonālās projekcijas laukumu, kura laukums ir 50 cm2 un leņķis starp daudzstūra plakni un tā projekciju ir 60°.
2. Atrodiet daudzstūra laukumu, ja šī daudzstūra ortogonālās projekcijas laukums ir 50 cm2 un leņķis starp daudzstūra plakni un tā projekciju ir 45°.
3. Daudzstūra laukums ir 64 cm2, bet ortogonālās projekcijas laukums ir 32 cm2. Atrodiet leņķi starp daudzstūra plaknēm un tā projekciju.
4. Vai varbūt daudzstūra ortogonālās projekcijas laukums ir vienāds ar šī daudzstūra laukumu?
5. Kuba mala ir vienāda ar a. Atrodiet kuba šķērsgriezuma laukumu pēc plaknes, kas iet caur pamatnes augšdaļu 30° leņķī pret šo pamatni un krusto visas sānu malas. (Atbilde.)
6. Uzdevums Nr.48 (1., 3.) no mācību grāmatas (58.lpp.).
7. Uzdevums Nr.49 (2) no mācību grāmatas (58.lpp.).
8. Taisnstūra malas ir 20 un 25 cm. Tā projekcija uz plakni ir līdzīga tai. Atrodiet projekcijas perimetru. (Atbilde: 72 cm vai 90 cm.)
III. Mājasdarbs
§4, 34. punkts; Drošības jautājums Nr.17; problēmas Nr.48 (2), 49 (1) (58. lpp.).
IV. Apkopojot stundu
Jautājums klasei
1) Nosakiet teorēmu par daudzstūra ortogonālās projekcijas laukumu.
2) Vai daudzstūra ortogonālās projekcijas laukums var būt lielāks par daudzstūra laukumu?
3) Caur taisnleņķa trijstūra ABC hipotenūzu AB novilkta plakne α 45° leņķī pret trijstūra plakni un perpendikulāra CO plaknei α. AC = 3 cm, BC = 4 cm Norādiet, kuri no šiem apgalvojumiem ir pareizi un kuri ir nepareizi.
a) leņķis starp plaknēm ABC un α ir vienāds ar leņķi SMO, kur punkts H ir trijstūra ABC augstuma CM pamatne;
b) CO = 2,4 cm;
c) trijstūris AOC ir trijstūra ABC ortogonāla projekcija uz plakni α;
d) trijstūra AOB laukums ir 3 cm2.
(Atbilde: a) Pareizi; b) nepareizi; c) nepareizi; d) pareizi.)
