Var būt grūti tieši uzskaitīt gadījumus, kas dod priekšroku konkrētam notikumam. Tāpēc, lai noteiktu kāda notikuma iespējamību, var būt izdevīgi iztēloties šo notikumu kā kādu citu, vienkāršāku notikumu kombināciju. Tomēr šajā gadījumā jums jāzina noteikumi, kas regulē notikumu kombināciju varbūtības. Tieši uz šiem noteikumiem attiecas rindkopas virsrakstā minētās teorēmas.

Pirmais no tiem attiecas uz varbūtības aprēķināšanu, ka notiks vismaz viens no vairākiem notikumiem.

Saskaitīšanas teorēma.

Lai A un B ir divi nesaderīgi notikumi. Tad varbūtība, ka notiks vismaz viens no šiem diviem notikumiem, ir vienāda ar to varbūtību summu:

Pierādījums. Ļaut būt pilnīgai pāru nesaderīgu notikumu grupai. Ja tad starp šiem elementārajiem notikumiem ir tieši A labvēlīgi notikumi un tieši B labvēlīgi notikumi. Tā kā notikumi A un B nav savienojami, tad neviens notikums nevar dot priekšroku abiem šiem notikumiem. Notikumam (A vai B), kas sastāv no vismaz viena no šiem diviem notikumiem, acīmredzami tiek atbalstīts gan katrs notikums, kas dod priekšroku A, gan katrs notikums.

Labvēlīgs B. Tādējādi kopējais notikumu skaits, kas labvēlīgi notikumam (A vai B), ir vienāds ar šādu summu:

Q.E.D.

Ir viegli redzēt, ka iepriekš formulēto saskaitīšanas teorēmu divu notikumu gadījumā var viegli pārnest uz jebkuru to ierobežotu skaitu. Tieši tad, ja ir pa pāriem nesaderīgi notikumi, tad

Piemēram, trīs notikumu gadījumā var rakstīt

Svarīgas saskaitīšanas teorēmas sekas ir apgalvojums: ja notikumi ir pa pāriem nesavietojami un unikāli iespējami, tad

Patiešām, notikums vai nu vai, vai ir noteikts, un tā varbūtība, kā norādīts 1. punktā, ir vienāda ar vienu. Jo īpaši, ja tie nozīmē divus savstarpēji pretējus notikumus, tad

Ilustrēsim saskaitīšanas teorēmu ar piemēriem.

Piemērs 1. Šaujot pa mērķi, iespēja izdarīt teicamu šāvienu ir 0,3, un varbūtība izdarīt “labu” šāvienu ir 0,4. Kāda ir varbūtība par sitienu iegūt vismaz “labi”?

Risinājums. Ja notikums A nozīmē “izcila” vērtējuma saņemšanu, bet notikums B nozīmē “laba” vērtējuma saņemšanu, tad

2. piemērs. Urnā, kurā ir baltas, sarkanas un melnas bumbiņas, ir baltas bumbiņas un I sarkanas bumbiņas. Kāda ir iespējamība uzvilkt bumbiņu, kas nav melna?

Risinājums. Ja notikums A sastāv no baltas bumbiņas izskata, bet notikums B sastāv no sarkanas bumbiņas, tad bumbiņas izskats nav melns

nozīmē baltas vai sarkanas bumbiņas izskatu. Tā kā pēc varbūtības definīcijas

tad ar saskaitīšanas teorēmu varbūtība, ka parādīsies nemelna bumbiņa, ir vienāda;

Šo problēmu var atrisināt šādā veidā. Lai notikums C sastāv no melnas bumbiņas parādīšanās. Melno lodīšu skaits ir vienāds tā, ka P (C) Nemelnas bumbiņas parādīšanās ir pretējs notikums C, tāpēc, pamatojoties uz iepriekš minēto saskaitīšanas teorēmas secinājumu, mums ir:

kā iepriekš.

Piemērs 3. Naudas materiālu loterijā 1000 biļešu sērijai ir 120 naudas un 80 materiālie laimesti. Kāda ir iespēja laimēt kaut ko no vienas loterijas biļetes?

Risinājums. Ja ar A apzīmējam notikumu, kas sastāv no naudas ieguvuma un ar B – materiālo ieguvumu, tad no varbūtības definīcijas izriet

Mūs interesējošo notikumu attēlo (A vai B), tāpēc tas izriet no saskaitīšanas teorēmas

Tādējādi jebkura laimesta iespējamība ir 0,2.

Pirms pāriet pie nākamās teorēmas, ir jāiepazīstas ar jaunu svarīgu jēdzienu - nosacītās varbūtības jēdzienu. Šim nolūkam mēs sāksim, apsverot šādu piemēru.

Pieņemsim, ka noliktavā ir 400 spuldzes, kas ražotas divās dažādās rūpnīcās, un pirmā ražo 75% no visām spuldzēm, bet otrā - 25%. Pieņemsim, ka no pirmās rūpnīcas ražotajām spuldzēm 83% atbilst noteikta standarta nosacījumiem, bet otrās ražotnes produktiem šis procents ir 63. Nosakīsim varbūtību, ka spuldze nejauši paņemta no noliktava atbildīs standarta nosacījumiem.

Ņemiet vērā, ka kopējo pieejamo standarta spuldžu skaitu veido pirmās ražotās spuldzes

rūpnīcā, un 63 otrās rūpnīcas ražotās spuldzes, tas ir, vienāds ar 312. Tā kā jebkuras spuldzes izvēle jāuzskata par vienlīdz iespējamu, mums ir 312 labvēlīgi gadījumi no 400, tāpēc

kur notikums B ir tāds, ka mūsu izvēlētā spuldze ir standarta.

Veicot šo aprēķinu, netika izdarīti pieņēmumi par to, kuram augam piederēja mūsu izvēlētā spuldzīte. Ja mēs izdarām kādus šāda veida pieņēmumus, tad ir acīmredzams, ka mūs interesējošā varbūtība var mainīties. Tātad, piemēram, ja ir zināms, ka izvēlētā spuldze ir ražota pirmajā ražotnē (notikums A), tad varbūtība, ka tā ir standarta, vairs nebūs 0,78, bet 0,83.

Šāda veida varbūtību, tas ir, notikuma B varbūtību, ja notiek notikums A, sauc par notikuma B nosacīto varbūtību, ņemot vērā notikuma A iestāšanos, un apzīmē

Ja iepriekšējā piemērā ar A apzīmējam notikumu, ka izvēlētā spuldze tiek ražota pirmajā ražotnē, tad varam rakstīt

Tagad mēs varam formulēt svarīgu teorēmu, kas saistīta ar notikumu apvienošanas varbūtības aprēķināšanu.

Reizināšanas teorēma.

Notikumu A un B apvienošanas varbūtība ir vienāda ar viena notikuma varbūtības un otra nosacītās varbūtības reizinājumu, pieņemot, ka noticis pirmais:

Šajā gadījumā notikumu A un B kombinācija nozīmē katra no tiem iestāšanos, tas ir, gan notikuma A, gan notikuma B iestāšanos.

Pierādījums. Apskatīsim visu vienlīdz iespējamo pāru nesaderīgo notikumu grupu, no kuriem katrs var būt labvēlīgs vai nelabvēlīgs gan notikumam A, gan notikumam B.

Sadalīsim visus šos notikumus četros dažādas grupasšādā veidā. Pirmajā grupā ietilpst tie notikumi, kas dod priekšroku gan notikumam A, gan notikumam B; Otrajā un trešajā grupā ietilpst tie notikumi, kas dod priekšroku vienam no diviem mūs interesējošajiem notikumiem un nedod priekšroku otram, piemēram, otrajā grupā ietilpst tie, kas dod priekšroku A, bet neatbalsta B, bet trešajā grupā ietilpst tie, kas dod priekšroku B, bet neatbalsta A; beidzot uz

Ceturtajā grupā ietilpst tie notikumi, kas neatbalsta ne A, ne B.

Tā kā notikumu numerācijai nav nozīmes, varam pieņemt, ka šis sadalījums četrās grupās izskatās šādi:

I grupa:

II grupa:

III grupa:

IV grupa:

Tādējādi starp vienlīdz iespējamiem un pāriem nesaderīgiem notikumiem ir notikumi, kas dod priekšroku gan notikumam A, gan notikumam B, notikumi, kas dod priekšroku notikumam A, bet neatbalsta notikumu A, notikumi, kas dod priekšroku B, bet neatbalsta A, un, visbeidzot, notikumi, kas neatbalsta ne A, ne B.

Starp citu, atzīmēsim, ka nevienā no četrām grupām, kuras esam apsvēruši (un pat vairāk nekā vienā), var nebūt neviena notikuma. Šajā gadījumā atbilstošais skaitlis, kas norāda notikumu skaitu šādā grupā, būs vienāds ar nulli.

Mūsu sadalījums grupās ļauj jums nekavējoties rakstīt

jo notikumu A un B kombinācijai ir labvēlīgi pirmās grupas notikumi un tikai tie. Kopējais notikumu skaits, kas dod priekšroku A, ir vienāds ar kopējo notikumu skaitu pirmajā un otrajā grupā, un to notikumu skaits, kas dod priekšroku B, ir vienāds ar kopējo notikumu skaitu pirmajā un trešajā grupā.

Tagad aprēķināsim varbūtību, tas ir, notikuma B varbūtību, ja notikums A ir noticis. Tagad trešajā un ceturtajā grupā iekļautie notikumi pazūd, jo to izskats būtu pretrunā ar notikuma A iestāšanos, un iespējamie gadījumi izrādās, ka vairs nav vienāds. No tiem notikumam B priekšroka tiek dota tikai pirmās grupas notikumiem, tāpēc mēs iegūstam:

Lai pierādītu teorēmu, tagad pietiek uzrakstīt acīmredzamo identitāti:

un aizstāt visas trīs daļas ar iepriekš aprēķinātajām varbūtībām. Mēs nonākam pie vienādības, kas norādīta teorēmā:

Ir skaidrs, ka identitātei, kuru mēs rakstījām iepriekš, ir jēga tikai tad, ja tā vienmēr ir patiesa, ja vien A nav neiespējams notikums.

Tā kā notikumi A un B ir vienādi, tad, tos apmainot, iegūstam citu reizināšanas teorēmas formu:

Taču šo vienlīdzību var iegūt tāpat kā iepriekšējo, ja pamanāt, ka izmantojot identitāti

Salīdzinot abu varbūtības P(A un B) izteiksmju labās puses, iegūstam noderīgu vienādību:

Tagad apskatīsim piemērus, kas ilustrē reizināšanas teorēmu.

4. piemērs. Noteikta uzņēmuma produktos 96% produktu tiek uzskatīti par piemērotiem (pasākums A). 75 produkti no katriem simts piemērotajiem izrādās piederīgi pirmajai pakāpei (notikums B). Nosakiet varbūtību, ka nejauši izvēlēts produkts būs piemērots un piederēs pirmajai pakāpei.

Risinājums. Vēlamā varbūtība ir notikumu A un B apvienošanas varbūtība. Pēc nosacījuma mums ir: . Tāpēc reizināšanas teorēma dod

5. piemērs. Varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu (notikums A) ir 0,2. Kāda ir varbūtība trāpīt mērķī, ja neizdodas 2% drošinātāju (t.i., 2% gadījumu šāviens nedarbojas

Risinājums. Lai notikums B ir tāds, ka notiks šāviens, un lai B nozīmē pretēju notikumu. Tad pēc nosacījuma un saskaņā ar saskaitīšanas teorēmas sekām. Turklāt atkarībā no stāvokļa.

Sitiens mērķī nozīmē notikumu A un B kombināciju (šāviens izšaus un trāpīs), tāpēc saskaņā ar reizināšanas teorēmu

Svarīgs īpašs gadījums reizināšanas teorēmas var iegūt, izmantojot notikumu neatkarības jēdzienu.

Divus notikumus sauc par neatkarīgiem, ja viena no tiem varbūtība nemainās atkarībā no tā, vai otrs notiek vai nenotiek.

Neatkarīgu notikumu piemēri ir atbirums dažādi skaitļi punktus, pārmetot kauliņu vai vienu vai otru monētas pusi, pārmetot monētu, jo ir acīmredzams, ka varbūtība, ka otrajā metienā ģerbonis izkritīs, ir vienāda neatkarīgi no tā, vai ģerbonis izkrita vai ne pirmajā.

Tāpat iespēja otrreiz izvilkt baltu bumbiņu no urnas, kurā ir baltas un melnas bumbiņas, ja pirmā izvilktā bumbiņa ir iepriekš atgriezta, nav atkarīga no tā, vai bumbiņa tika izvilkta pirmo reizi, balta vai melna. Tāpēc pirmās un otrās noņemšanas rezultāti ir neatkarīgi viens no otra. Gluži pretēji, ja pirmā izņemtā bumbiņa neatgriežas urnā, tad otrās izņemšanas rezultāts ir atkarīgs no pirmās, jo bumbiņu sastāvs urnā pēc pirmās izņemšanas mainās atkarībā no tās iznākuma. Šeit ir atkarīgo notikumu piemērs.

Izmantojot nosacītajām varbūtībām pieņemto apzīmējumu, notikumu A un B neatkarības nosacījumu varam ierakstīt formā

Izmantojot šīs vienādības, mēs varam reducēt neatkarīgu notikumu reizināšanas teorēmu līdz šādai formai.

Ja notikumi A un B ir neatkarīgi, tad to kombinācijas varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību reizinājumu:

Patiešām, pietiek ievietot reizināšanas teorēmas sākotnējo izteiksmi, kas izriet no notikumu neatkarības, un mēs iegūsim nepieciešamo vienādību.

Tagad apskatīsim vairākus notikumus: mēs tos sauksim par neatkarīgiem, ja kāda no tiem iestāšanās varbūtība nav atkarīga no tā, vai ir noticis kāds cits aplūkojamais notikums.

Kolektīvi neatkarīgu notikumu gadījumā reizināšanas teorēmu var paplašināt līdz jebkuram ierobežotam to skaitam, tāpēc to var formulēt šādi:

Neatkarīgu notikumu apvienošanas varbūtība kopumā ir vienāda ar šo notikumu varbūtību reizinājumu:

6. piemērs. Darbinieks apkalpo trīs automātiskās mašīnas, pie kurām katrai ir jāvēršas, lai novērstu darbības traucējumu, ja mašīna apstājas. Varbūtība, ka pirmā mašīna neapstāsies stundas laikā, ir 0,9. Tāda pati varbūtība otrai mašīnai ir 0,8 un trešajai - 0,7. Nosakiet varbūtību, ka stundas laikā darbiniekam nevajadzēs tuvoties nevienai no mašīnām, kuras viņš apkalpo.

7. piemērs. Lidmašīnas notriekšanas varbūtība ar šautenes šāvienu Kāda ir iespējamība iznīcināt ienaidnieka lidmašīnu, ja vienlaikus tiek izšautas 250 šautenes?

Risinājums. Varbūtība, ka lidmašīna netiks notriekta ar vienu šāvienu, ir vienāda ar saskaitīšanas teorēmu.Tad, izmantojot reizināšanas teorēmu, varam aprēķināt varbūtību, ka lidmašīna netiks notriekta ar 250 šāvieniem, kā kombinēšanas varbūtību notikumiem. Tas ir vienāds ar Pēc tam mēs atkal varam izmantot saskaitīšanas teorēmu un atrast varbūtību, ka lidmašīna tiks notriekta kā pretēja notikuma iespējamību

No tā var redzēt, ka, lai arī iespēja notriekt lidmašīnu ar vienu šautenes šāvienu ir niecīga, tomēr, šaujot no 250 šautenēm, iespēja notriekt lidmašīnu jau ir ļoti jūtama. Tas ievērojami palielinās, ja tiek palielināts šautenes skaits. Tātad, šaujot no 500 šautenēm, varbūtība notriekt lidmašīnu, kā to ir viegli aprēķināt, ir vienāda ar šaušanu no 1000 šautenēm - pat.

Iepriekš pierādītā reizināšanas teorēma ļauj mums nedaudz paplašināt saskaitīšanas teorēmu, paplašinot to saderīgu notikumu gadījumā. Ir skaidrs, ka, ja notikumi A un B ir savietojami, tad vismaz viena no tiem iestāšanās varbūtība nav vienāda ar to varbūtību summu. Piemēram, ja notikums A nozīmē pāra skaitli

punktu skaits, metot kauliņu, un notikums B ir tādu punktu skaita zaudējums, kas ir trīs reizes reizināts, tad notikumam (A vai B) tiek piešķirts 2, 3, 4 un 6 punktu zaudējums, tas ir

No otras puses, tas ir. Tātad šajā gadījumā

No tā ir skaidrs, ka saderīgu notikumu gadījumā ir jāmaina varbūtību saskaitīšanas teorēma. Kā tagad redzēsim, to var noformulēt tā, lai tas būtu derīgs gan saderīgiem, gan nesavienojamiem notikumiem, tā ka iepriekš aplūkotā saskaitīšanas teorēma izrādās jaunajam īpašais gadījums.

Notikumi, kas nav labvēlīgi A.

Visiem elementārajiem notikumiem, kas dod priekšroku kādam notikumam (A vai B), ir jāatbalsta vai nu tikai A, vai tikai B, vai abi A un B. Tādējādi kopējais šādu notikumu skaits ir vienāds ar

un varbūtību

Q.E.D.

Piemērojot formulu (9) iepriekš minētajam piemēram par punktu skaitu, kas parādās, metot kauliņu, mēs iegūstam:

kas sakrīt ar tiešā aprēķina rezultātu.

Acīmredzot formula (1) ir (9) īpašs gadījums. Patiešām, ja notikumi A un B nav savienojami, tad kombinācijas varbūtība

Piemēram. Elektriskajai ķēdei virknē ir pievienoti divi drošinātāji. Pirmā drošinātāja atteices varbūtība ir 0,6, bet otrā - 0,2. Noteiksim strāvas padeves pārtraukuma varbūtību vismaz viena no drošinātāju atteices rezultātā.

Risinājums. Tā kā notikumi A un B, kas sastāv no pirmā un otrā drošinātāja atteices, ir saderīgi, nepieciešamo varbūtību noteiks pēc formulas (9):

Vingrinājumi

Notikuma jēdziens un notikuma iespējamība. Uzticami un neiespējami notikumi. Klasiskā varbūtības definīcija. Varbūtību saskaitīšanas teorēma. Varbūtību reizināšanas teorēma. Vienkāršāko varbūtības noteikšanas uzdevumu risināšana, izmantojot varbūtību saskaitīšanu.

Vadlīnijas tēmai 3.1:

Notikuma jēdziens un notikuma iespējamība. Uzticami un neiespējami notikumi. Klasiskā varbūtību definīcija:

Katras parādības izpēte novērošanas vai eksperimentēšanas secībā ir saistīta ar noteikta nosacījumu kopuma (testu) ieviešanu. Katrs testa rezultāts vai iznākums tiek saukts notikumu.

Ja notikums noteiktos apstākļos var notikt vai nenotikt, tad to sauc nejauši. Kad notikums noteikti notiks, to sauc uzticams, un gadījumā, ja tas acīmredzami nevar notikt, - neiespējami.

Pasākumi tiek saukti nesaderīgs, ja katru reizi ir iespējams parādīties tikai vienam no tiem. Pasākumi tiek saukti locītava, ja noteiktos apstākļos viens no šiem notikumiem neizslēdz cita notikuma rašanos tās pašas pārbaudes laikā.

Pasākumi tiek saukti pretī, ja testa apstākļos tie, kas ir vienīgie tā rezultāti, ir nesaderīgi.

Notikuma iespējamība tiek uzskatīta par nejauša notikuma iestāšanās objektīvās iespējas mēru.

Varbūtība notikumus sauc par iznākumu skaita attiecību m, labvēlīgs dotā notikuma iestāšanās brīdim, uz visu iznākumu skaitu n (nesaderīgs, tikai iespējams un vienlīdz iespējams), t.i.

Jebkura notikuma varbūtība nevar būt mazāka par nulli un lielāka par vienu, t.i. . Neiespējamais notikums atbilst varbūtībai, un ticams notikums atbilst varbūtībai

Piemērs 1. Loterijā ar 1000 biļetēm ir 200 laimētās. Viena biļete tiek izņemta pēc nejaušības principa. Kāda ir varbūtība, ka šī biļete ir uzvarētāja?

Kopējais dažādu rezultātu skaits ir n= 1000. Uzvarai labvēlīgo iznākumu skaits ir m= 200. Pēc formulas iegūstam .

Piemērs 2. No urnas, kurā ir 5 baltas un 3 melnas bumbiņas, tiek izvilkta viena bumbiņa. Atrodiet varbūtību, ka bumbiņa ir melna.

Notikumu, kas sastāv no melnas bumbiņas parādīšanās, apzīmēsim ar . Kopējais lietu skaits. Lietu skaits m, labvēlīgs notikuma iestāšanās brīdim, ir vienāds ar 3. Izmantojot formulu, iegūstam .

3. piemērs. No urnas, kurā ir 12 baltas un 8 melnas bumbiņas, pēc nejaušības principa tiek izvilktas divas bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka abas bumbiņas ir melnas?

Notikumu, kas sastāv no divu melnu bumbiņu parādīšanās, apzīmēsim ar . Kopējais iespējamo gadījumu skaits n vienāds ar 20 elementu kombināciju skaitu (12 + 8) ar diviem:

Lietu skaits m, labvēlīgs pasākumam, ir

Izmantojot formulu, mēs atrodam divu melnu bumbiņu parādīšanās varbūtību:

Varbūtību saskaitīšanas teorēma. Vienkāršāko varbūtības noteikšanas problēmu risināšana, izmantojot varbūtības saskaitīšanas teorēmu:

Teorēma nesaderīgu notikumu varbūtību saskaitīšanai. Viena no vairāku pāru nesaderīgu notikumu iestāšanās iespējamība neatkarīgi no tā, kurš no tiem, ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu:

Teorēma kopīgu notikumu varbūtību saskaitīšanai. Vismaz viena no divu kopīgu notikumu iestāšanās varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu bez to kopīgas iestāšanās varbūtības:

4. piemērs. Kastē ir 20 nejaušā secībā sakārtotas detaļas, no kurām piecas ir standarta. Darbinieks pēc nejaušības principa paņem trīs daļas. Atrodiet varbūtību, ka vismaz viena no ņemtajām daļām būs standarta.

Acīmredzot vismaz viena no ņemtajām daļām būs standarta, ja notiek kāds no trim nesaderīgiem notikumiem: B- viena daļa ir standarta, divas ir nestandarta; C- divas standarta daļas, viena nestandarta un D- trīs daļas ir standarta.

Tātad pasākums A var attēlot kā šo trīs notikumu summu: A = B + C + D. Ar saskaitīšanas teorēmu mums ir P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Atrodiet katra no šiem notikumiem iespējamību:

Saskaitot atrastās vērtības, iegūstam

Piemērs 5. Atrodiet varbūtību, ka nejauši pieņemts divciparu skaitlis būs 3 vai 5 vai abu reizinājums.

Ļaujiet A- notikums, kas sastāv no tā, ka nejauši izvēlēts skaitlis ir reizināts ar 3, un B- ir tas, ka tas ir reizināts ar 5. Atradīsim Kopš A Un B kopīgus pasākumus, tad izmantojam formulu:

Pavisam ir 90 divciparu skaitļi: 10, 11, 98, 99. No tiem 30 ir 3 reizinātāji (labvēlīgi notikuma iestāšanos A); 18 — 5 reizinātāji (atbalsta notikuma iestāšanos B) un 6 — skaitļu 3 un 5 reizinātāji vienlaikus (atbalsta notikuma iestāšanos AB). Tādējādi, t.i.

Varbūtības reizināšanas teorēma:

Teorēma neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanai. Divu neatkarīgu notikumu kopīgas iestāšanās varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību reizinājumu:

Vairāku kopumā neatkarīgu notikumu iestāšanās varbūtību aprēķina pēc formulas:

Teorēma atkarīgo notikumu varbūtību reizināšanai. Divu atkarīgu notikumu kopīgas iestāšanās varbūtība ir vienāda ar viena no tiem un otrā nosacītās varbūtības reizinājumu:

Piemērs 6. Vienā urnā ir 4 baltas un 8 melnas bumbiņas, otrā ir 3 baltas un 9 melnas bumbiņas. No katras urnas tika paņemta bumbiņa. Atrodiet varbūtību, ka abas bumbiņas ir baltas.

Lai būtu baltas bumbas izskats no pirmās urnas, un lai būtu baltas bumbiņas izskats no otrās urnas. Ir skaidrs, ka notikumi ir neatkarīgi. Mēs atradīsim

Izmantojot formulu, mēs iegūstam:

Pašpārbaudes jautājumi par tēmu 3.1:

1. Kas ir pasākums?

2. Kādus notikumus sauc par uzticamiem?

3. Kādus notikumus sauc par neiespējamiem?

4. Definējiet varbūtību.

5. Formulējiet varbūtību saskaitīšanas teorēmu.

6. Formulējiet varbūtības reizināšanas teorēmu.

Uzdevumi priekš neatkarīgs lēmums par tēmu 3.1:

1. Kastītē ir 10 daļas nejaušā secībā, no kurām 4 ir standarta. Inspektors pēc nejaušības principa paņēma 3 daļas. Atrodiet varbūtību, ka vismaz viena no ņemtajām daļām izrādījās standarta.

2. Urnā ir 10 baltas, 15 melnas, 20 zilas un 25 sarkanas bumbiņas. Atrodi varbūtību, ka izvilktā bumbiņa būs: 1) balta; 2) melns vai sarkans.

3. Atrodiet varbūtību, ka nejauši izvēlēts divciparu skaitlis būs 4 vai 5, vai abu reizinājums.

4. Darbinieks apkalpo divas mašīnas, kas darbojas neatkarīgi viena no otras. Varbūtība, ka pirmajai mašīnai stundas laikā nebūs nepieciešama darbinieka uzmanība, ir 0,8, bet otrajai mašīnai šī varbūtība ir 0,7. Atrodiet varbūtību, ka stundas laikā nevienai mašīnai nebūs nepieciešama strādnieka uzmanība.

5. Urnā ir 6 bumbiņas, no kurām 3 ir baltas. Pēc nejaušības principa viena pēc otras tiek izvilktas divas bumbiņas. Aprēķiniet varbūtību, ka abas bumbiņas ir baltas.

6. Urnā ir 10 baltas un 6 melnas bumbiņas. Atrodi iespējamību, ka trīs bumbiņas, kas nejauši izvilktas viena pēc otras, izrādīsies melnas.

Tiek apsvērts eksperiments E. Tiek pieņemts, ka to var veikt atkārtoti. Eksperimenta rezultātā var parādīties dažādi notikumi, kas veido noteiktu kopumu F. Novērojamos notikumus iedala trīs veidos: ticami, neiespējami, nejauši.

Uzticams tiek saukts notikums, kas noteikti notiks eksperimenta rezultātā E. Apzīmē ar Ω.

Neiespējami tiek saukts notikums, kas, kā zināms, nenotiek eksperimenta rezultātā E. Apzīmē ar .

Nejauši sauc notikumu, kas var notikt vai nevar notikt eksperimenta rezultātā E.

Papildu (pretēji) notikumu A ir notikums, kas apzīmēts ar , kas notiek tad un tikai tad, ja notikums nenotiek A.

Summa (kombinācija) notikumi ir notikums, kas notiek tad un tikai tad, ja notiek vismaz viens no šiem notikumiem (3.1. attēls). Apzīmējums.

3.1.attēls

Produkts (krustojums) notikumi ir notikums, kas notiek tad un tikai tad, ja visi šie notikumi notiek kopā (vienlaicīgi) (3.2. attēls). Apzīmējums. Ir skaidrs, ka notikumi A un B nesaderīgi , Ja.

3.2.attēls

Pilna pasākumu grupa ir notikumu kopums, kuru summa ir noteikts notikums:

Pasākums IN sauca īpašs notikuma gadījums A, ja ar notikuma iestāšanos IN parādīsies notikums A. Viņi arī saka, ka pasākums IN ietver notikumu A(3.3. attēls). Apzīmējums

3.3.attēls

Pasākumi A Un IN tiek saukti ekvivalents , ja eksperimenta laikā tie rodas vai nenotiek kopā E. Apzīmējums Ir skaidrs, ka, ja.

Sarežģīts pasākums izsaukt novēroto notikumu, kas izteikts ar citiem notikumiem, kas novēroti tajā pašā eksperimentā, izmantojot algebriskas darbības.

Konkrēta sarežģīta notikuma iestāšanās iespējamību aprēķina, izmantojot varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas formulas.

Varbūtību saskaitīšanas teorēma

Sekas:

1) ja notikumi A Un IN ir nekonsekventi, saskaitīšanas teorēma izpaužas šādā formā:

2) trīs terminu gadījumā saskaitīšanas teorēmu raksta formā

3) savstarpēji pretēju notikumu varbūtību summa ir vienāda ar 1:

Notikumu kopa ,, ..., tiek saukta pilna pasākumu grupa , Ja

To notikumu varbūtību summa, kas veido pilnīgu grupu, ir vienāda ar 1:

Notikuma iestāšanās varbūtība A ar nosacījumu, ka pasākums IN notika, viņi to sauc nosacītā varbūtība un apzīmē vai.

A Un IN – atkarīgi notikumi , Ja.

A Un IN – neatkarīgi notikumi , Ja.

Varbūtību reizināšanas teorēma

Sekas:

1) neatkarīgiem pasākumiem A Un IN

2) iekšā vispārējs gadījums trīs notikumu reizinājumam varbūtības reizināšanas teorēmai ir šāda forma:

Problēmu risināšanas piemēri

Piemērs1 - Trīs elementi ir virknē savienoti ar elektrisko ķēdi, kas darbojas neatkarīgi viens no otra. Pirmā, otrā un trešā elementa atteices varbūtība ir attiecīgi vienāda ar ,. Atrodiet varbūtību, ka ķēdē nebūs strāvas.

Risinājums

Pirmais veids.

Apzīmēsim šādus notikumus: - ķēdē radās attiecīgi pirmā, otrā un trešā elementa atteice.

Pasākums A- ķēdē nebūs strāvas (vismaz viens no elementiem neizdosies, jo tie ir savienoti virknē).

Notikums - ķēdē ir strāva (darbojas trīs elementi), . Pretēju notikumu iespējamība ir saistīta ar formulu (3.4). Notikums ir trīs notikumu rezultāts, kas ir neatkarīgi no pāriem. Izmantojot teorēmu neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanai, iegūstam

Tad vēlamā notikuma varbūtība ir .

Otrais veids.

Ņemot vērā iepriekš pieņemto apzīmējumu, pierakstām vēlamo notikumu A– vismaz viens no elementiem neizdosies:

Tā kā summā iekļautie termini ir saderīgi, ir jāpiemēro varbūtību saskaitīšanas teorēma vispārējs skats trīs terminu gadījumā (3.3.):

Atbilde: 0,388.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1 Lasītavā ir sešas varbūtību teorijas mācību grāmatas, no kurām trīs ir iesietas. Bibliotekāre nejauši paņēma divas mācību grāmatas. Atrodiet varbūtību, ka abas mācību grāmatas tiks iesietas.

2 Maisiņā ir sajaukti pavedieni, no kuriem 30% ir balti, bet pārējie sarkani. Nosakiet varbūtību, ka divi nejauši novilkti pavedieni būs: vienāda krāsa; dažādas krāsas.

3 Ierīce sastāv no trim elementiem, kas darbojas neatkarīgi. Pirmā, otrā un trešā elementa bezatteices darbības varbūtība noteiktā laika periodā attiecīgi ir 0,6; 0,7; 0.8. Atrodiet varbūtību, ka šajā laikā tikai viens elements darbosies bez kļūmēm; tikai divi elementi; visi trīs elementi; vismaz divi elementi.

4 Trīs iemesti kauliņi. Atrodiet šādu notikumu iespējamības:

a) katrā novilktajā pusē parādīsies pieci punkti;

b) visās nomestajās malās parādīsies vienāds punktu skaits;

c) viens punkts parādīsies divās nomestajās malās, bet cits punktu skaits - trešajā pusē;

d) uz visām nomestajām sejām parādīsies atšķirīgs punktu skaits.

5 Varbūtība, ka šāvējs ar vienu šāvienu trāpīs mērķī, ir 0,8. Cik šāvienu jāizšauj šāvējam, lai ar varbūtību, kas mazāka par 0,4, varētu sagaidīt, ka nebūtu netrāpījumu?

6 No cipariem 1, 2, 3, 4, 5 vispirms tiek izvēlēts viens, un pēc tam tiek izvēlēts otrais cipars no atlikušajiem četriem. Tiek pieņemts, ka visi 20 iespējamie iznākumi ir vienlīdz iespējami. Atrodi varbūtību, ka tiks izvēlēts nepāra skaitlis: pirmo reizi; otro reizi; abas reizes.

7 Varbūtība, ka veikala vīriešu apavu nodaļā atkal tiks pārdots 46. izmēra apavu pāris, ir 0,01. Cik apavu pāru ir jāpārdod veikalā, lai ar vismaz 0,9 varbūtību varētu sagaidīt, ka tiks pārdots vismaz viens 46. izmēra apavu pāris?

8 Kastītē ir 10 daļas, tai skaitā divas nestandarta. Atrodiet varbūtību, ka no sešām nejauši izvēlētajām daļām būs ne vairāk kā viena nestandarta daļa.

9 Tehniskās kontroles nodaļa pārbauda produktu standartitāti. Varbūtība, ka produkts ir nestandarta, ir 0,1. Atrodiet varbūtību, ka:

a) no trim pārbaudītajiem produktiem tikai divi izrādīsies nestandarta;

b) tikai ceturtais pārbaudītais produkts izrādīsies nestandarta.

10 Uz izgrieztām alfabēta kartēm ir uzrakstīti 32 krievu alfabēta burti:

a) pēc nejaušības principa vienu pēc otras izņem trīs kārtis un novieto uz galda parādīšanās secībā. Atrodiet varbūtību, ka tiks iegūts vārds “pasaule”;

b) trīs izņemtās kartes var apmainīt jebkurā veidā. Kāda ir varbūtība, ka tos var izmantot, lai izveidotu vārdu “pasaule”?

11 Iznīcinātājs uzbrūk bumbvedējam un izšauj divus neatkarīgus uzliesmojumus. Varbūtība notriekt bumbvedēju ar pirmo sprādzienu ir 0,2, bet otrā - 0,3. Ja bumbvedējs netiek notriekts, tas šauj uz iznīcinātāju no aizmugures lielgabaliem un notriek ar varbūtību 0,25. Atrodiet varbūtību, ka gaisa kaujas rezultātā tiek notriekts bumbvedējs vai iznīcinātājs.

Mājasdarbs

1 Kopējās varbūtības formula. Beijesa formula.

2 Atrisināt problēmas

Uzdevums1 . Darbinieks apkalpo trīs mašīnas, kas darbojas neatkarīgi viena no otras. Varbūtība, ka pirmā mašīna stundas laikā neprasīs darbinieka uzmanību, ir 0,9, otrā – 0,8, bet trešā – 0,85. Atrodiet varbūtību, ka stundas laikā vismaz vienai mašīnai būs nepieciešama darbinieka uzmanība.

Uzdevums2 . Datorcentrā, kuram nepārtraukti jāapstrādā ienākošā informācija, ir divas skaitļošanas ierīces. Ir zināms, ka katrai no tām kāda laika atteices varbūtība ir vienāda ar 0,2. Jums ir jānosaka varbūtība:

a) fakts, ka viena no ierīcēm nedarbosies, bet otrā darbosies;

b) katras ierīces darbība bez traucējumiem.

Uzdevums3 . Četri mednieki vienojās šaut pa medījumu noteiktā secībā: nākamais mednieks izšauj tikai tad, ja iepriekšējais netrāpa. Pirmajam medniekam trāpījuma iespējamība ir 0,6, otrajam – 0,7, trešajam – 0,8. Atrodiet varbūtību, ka tiks raidīti šāvieni:

d) četri.

Uzdevums4 . Daļai tiek veiktas četras apstrādes darbības. Varbūtība saņemt defektu pirmās operācijas laikā ir 0,01, otrajā - 0,02, trešajā - 0,03, bet ceturtās - 0,04. Atrodiet varbūtību saņemt detaļu bez defektiem pēc četrām operācijām, pieņemot, ka defektu saņemšanas notikumi atsevišķās operācijās ir neatkarīgi.

Izglītības iestāde "Baltkrievijas valsts

lauksaimniecības akadēmija"

Augstākās matemātikas katedra

IESPĒJAMĪBU SADALĪŠANA UN REIKINĀŠANA. ATKĀRTOTI NEATKARĪGI TESTI

Lekcija Zemes ierīcības fakultātes studentiem

neklātienes kursi

Gorki, 2012. gads

Varbūtību saskaitīšana un reizināšana. Atkārtoti

neatkarīgi testi

Varbūtību saskaitīšana

Divu kopīgu pasākumu summa A Un IN sauc par notikumu AR, kas sastāv no vismaz viena notikuma iestāšanās A vai IN. Tāpat vairāku kopīgu notikumu summa ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no šiem notikumiem.

Divu nesaderīgu notikumu summa A Un IN sauc par notikumu AR kas sastāv no notikuma vai notikuma A, vai notikumiem IN. Tāpat vairāku nesaderīgu notikumu summa ir notikums, kas sastāv no jebkura no šiem notikumiem.

Teorēma nesaderīgu notikumu varbūtību pievienošanai ir spēkā: divu nesavienojamu notikumu summas varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu , t.i. . Šo teorēmu var attiecināt uz jebkuru ierobežotu skaitu nesaderīgu notikumu.

No šīs teorēmas izriet:

notikumu varbūtību summa, kas veido pilnīgu grupu, ir vienāda ar vienu;

pretēju notikumu varbūtību summa ir vienāda ar vienu, t.i.
.

1. piemērs . Kastītē ir 2 baltas, 3 sarkanas un 5 zilas bumbiņas. Bumbiņas sajauc un pēc nejaušības principa izlozē vienu. Kāda ir iespējamība, ka bumba būs iekrāsota?

Risinājums . Apzīmēsim notikumus:

A=(izvilkta krāsaina bumbiņa);

B=(izvilkta balta bumbiņa);

C=(izvilkta sarkana bumbiņa);

D=(izvilkta zilā bumbiņa).

Tad A= C+ D. Kopš notikumiem C, D ir nekonsekventi, tad nesaderīgu notikumu varbūtību saskaitīšanai izmantosim teorēmu: .

2. piemērs . Urnā ir 4 baltas bumbiņas un 6 melnas. No urnas nejauši tiek izvilktas 3 bumbiņas. Kāda ir varbūtība, ka tie visi ir vienā krāsā?

Risinājums . Apzīmēsim notikumus:

A=(izvilktas vienādas krāsas bumbiņas);

B=(izņem baltās bumbiņas);

C=(melnās bumbiņas tiek izņemtas).

Jo A= B+ C un notikumi IN Un AR ir nekonsekventi, tad ar nesaderīgu notikumu varbūtību saskaitīšanas teorēmu
. Notikuma varbūtība IN vienāds ar
, Kur
4,

. Aizstāsim k Un n formulā un mēs iegūstam
Līdzīgi mēs atrodam notikuma varbūtību AR:
, Kur
,
, t.i.
. Tad
.

3. piemērs . No 36 kāršu klāja nejauši tiek izvilktas 4 kārtis. Atrodiet varbūtību, ka starp tiem būs vismaz trīs dūži.

Risinājums . Apzīmēsim notikumus:

A=(starp izņemtajām kārtīm ir vismaz trīs dūži);

B=(starp izņemtajām kārtīm ir trīs dūži);

C=(starp izņemtajām kārtīm ir četri dūži).

Jo A= B+ C, un notikumi IN Un AR tad nav savienojami
. Noskaidrosim notikumu varbūtības IN Un AR:

,
. Tāpēc varbūtība, ka starp izvilktajām kārtīm ir vismaz trīs dūži, ir vienāda ar

0.0022.

Varbūtību reizināšana

Darbs divi notikumi A Un IN sauc par notikumu AR, kas sastāv no šādu notikumu kopīgas rašanās:
. Šī definīcija attiecas uz jebkuru ierobežotu notikumu skaitu.

Abi notikumi tiek saukti neatkarīgs , ja viena no tām iestāšanās iespējamība nav atkarīga no tā, vai otrs notikums ir noticis vai nē. Pasākumi ,, … ,tiek saukti kolektīvi neatkarīgs , ja katra no tām iestāšanās iespējamība nav atkarīga no tā, vai citi notikumi notika vai nenotika.

4. piemērs . Divi šāvēji šauj mērķī. Apzīmēsim notikumus:

A=(pirmais šāvējs trāpīja mērķī);

B=(otrais šāvējs trāpīja mērķī).

Acīmredzot, varbūtība, ka pirmais šāvējs trāpīs mērķī, nav atkarīga no tā, vai otrais šāvējs trāpīja vai netrāpīja, un otrādi. Tāpēc notikumi A Un IN neatkarīgs.

Teorēma neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanai ir spēkā: divu neatkarīgu notikumu reizinājuma varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību reizinājumu : .

Šī teorēma ir spēkā arī n kolektīvi neatkarīgi notikumi: .

5. piemērs . Divi šāvēji šauj pa vienu mērķi. Varbūtība trāpīt pirmajam šāvējam ir 0,9, bet otrajam ir 0,7. Abi šāvēji izšauj pa vienam šāvienam. Nosakiet varbūtību, ka mērķī būs divi trāpījumi.

Risinājums . Apzīmēsim notikumus:

A

B

C=(abi šāvēji trāpīs mērķī).

Jo
, un notikumi A Un IN tad ir neatkarīgi
, t.i..

Pasākumi A Un IN tiek saukti atkarīgi , ja viena no tām iestāšanās iespējamība ir atkarīga no tā, vai ir noticis cits notikums. Notikuma rašanās varbūtība A ar nosacījumu, ka pasākums IN tas jau ir atnācis, to sauc nosacītā varbūtība un ir norādīts
vai
.

6. piemērs . Urnā ir 4 baltas un 7 melnas bumbiņas. No urnas tiek izvilktas bumbiņas. Apzīmēsim notikumus:

A=(izvilkta balta bumbiņa) ;

B=(izvilkta melnā bumba).

Pirms sākat izņemt bumbiņas no urnas
. No urnas tika izņemta viena bumbiņa, un tā izrādījās melna. Tad notikuma varbūtība A pēc pasākuma IN būs cits, līdzvērtīgs . Tas nozīmē, ka notikuma varbūtība A atkarīgs no notikuma IN, t.i. šie notikumi būs atkarīgi.

Teorēma atkarīgo notikumu varbūtību reizināšanai ir spēkā: divu atkarīgu notikumu iestāšanās iespējamība ir vienāda ar viena no tiem iespējamības un otra nosacītās varbūtības reizinājumu, ko aprēķina, pieņemot, ka pirmais notikums jau ir noticis, t.i. vai.

7. piemērs . Urnā ir 4 baltas bumbiņas un 8 sarkanas bumbiņas. No tā pēc nejaušības principa secīgi tiek izvilktas divas bumbiņas. Atrodiet varbūtību, ka abas bumbiņas ir melnas.

Risinājums . Apzīmēsim notikumus:

A=(pirmā izvilkta melnā bumba);

B=(izvilkta otrā melnā bumbiņa).

Pasākumi A Un IN atkarīgs, jo
, A
. Tad
.

8. piemērs . Trīs šāvēji šauj mērķī neatkarīgi viens no otra. Iespējamība trāpīt mērķī pirmajam šāvējam ir 0,5, otrajam – 0,6 un trešajam – 0,8. Atrodiet varbūtību, ka mērķī būs divi trāpījumi, ja katrs šāvējs izšauj vienu šāvienu.

Risinājums . Apzīmēsim notikumus:

A=(mērķī būs divi sitieni);

B=(pirmais šāvējs trāpīs mērķī);

C=(otrais šāvējs trāpīs mērķī);

D=(trešais šāvējs trāpīs mērķī);

=(pirmais šāvējs mērķī netrāpīs);

=(otrais šāvējs mērķī netrāpīs);

=(trešais šāvējs mērķī netrāpīs).

Saskaņā ar piemēru
,
,
,

,
,
. Tā kā, izmantojot teorēmu nesaderīgu notikumu varbūtību saskaitīšanai un teorēmu neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanai, mēs iegūstam:

Ļaujiet notikumiem
veido pilnīgu kāda testa notikumu grupu un notikumus A var notikt tikai ar vienu no šiem notikumiem. Ja ir zināmas notikuma varbūtības un nosacītās varbūtības A, tad notikuma A varbūtību aprēķina pēc formulas:

vai
. Šo formulu sauc kopējās varbūtības formula , un notikumi
hipotēzes .

9. piemērs . Montāžas līnija saņem 700 detaļas no pirmās mašīnas un 300 detaļas no otrā. Pirmā iekārta saražo 0,5% lūžņu, bet otrā - 0,7%. Atrodiet varbūtību, ka paņemtā daļa būs bojāta.

Risinājums . Apzīmēsim notikumus:

A=(paņemtā daļa būs bojāta);

=(detaļa izgatavota uz pirmās mašīnas);

=(detaļa ir izgatavota uz otrās mašīnas).

Varbūtība, ka detaļa ir izgatavota pirmajā mašīnā, ir vienāda ar
. Par otro mašīnu
. Saskaņā ar nosacījumu, varbūtība saņemt bojātu daļu, kas izgatavota uz pirmo mašīnu, ir vienāda ar
. Otrajai mašīnai šī varbūtība ir vienāda ar
. Pēc tam, izmantojot kopējās varbūtības formulu, tiek aprēķināta varbūtība, ka paņemtā daļa būs bojāta

Ja ir zināms, ka kāds notikums noticis testa rezultātā A, tad varbūtība, ka šis notikums notika saskaņā ar hipotēzi
, ir vienāds
, Kur
- kopējā notikuma varbūtība A. Šo formulu sauc Bayes formula un ļauj aprēķināt notikumu varbūtības
pēc tam, kad kļuva zināms, ka notikums A jau ir ieradies.

10. piemērs . Viena veida automašīnu daļas tiek ražotas divās rūpnīcās un piegādātas veikalam. Pirmā iekārta ražo 80% no kopējā detaļu skaita, bet otrā - 20%. Pirmās rūpnīcas produkti satur 90% standarta detaļu, bet otrā - 95%. Pircējs nopirka vienu detaļu un tā izrādījās standarta. Atrodiet varbūtību, ka šī daļa tika ražota otrajā rūpnīcā.

Risinājums . Apzīmēsim notikumus:

A=(iegādāta standarta daļa);

=(detaļa tika ražota pirmajā rūpnīcā);

=(detaļa tika ražota otrajā rūpnīcā).

Saskaņā ar piemēru
,
,
Un
. Aprēķināsim notikuma kopējo varbūtību A: 0,91. Mēs aprēķinām varbūtību, ka daļa tika ražota otrajā rūpnīcā, izmantojot Bayes formulu:

.

Uzdevumi patstāvīgam darbam

Iespējamība trāpīt mērķī pirmajam šāvējam ir 0,8, otrajam – 0,7 un trešajam – 0,9. Šāvēji izšāva pa vienam šāvienam. Atrodiet varbūtību, ka mērķī ir vismaz divi trāpījumi.

Remontdarbnīca saņēma 15 traktorus. Ir zināms, ka 6 no tiem ir jāmaina dzinējs, bet pārējiem ir jānomaina atsevišķas sastāvdaļas. Trīs traktori tiek atlasīti pēc nejaušības principa. Atrodiet varbūtību, ka dzinēja nomaiņa ir nepieciešama ne vairāk kā diviem atlasītajiem traktoriem.

Dzelzsbetona rūpnīcā tiek ražoti paneļi, no kuriem 80% ir augstākās kvalitātes. Atrodiet varbūtību, ka no trim nejauši izvēlētiem paneļiem vismaz divi būs augstākās pakāpes.

Trīs strādnieki montē gultņus. Varbūtība, ka pirmā strādnieka samontētais gultnis ir visaugstākās kvalitātes, ir 0,7, otrā – 0,8 un trešā – 0,6. Kontrolei pēc nejaušības principa tika ņemts viens gultnis no katra darbinieka samontētajiem gultņiem. Atrodiet varbūtību, ka vismaz divi no tiem būs augstākās kvalitātes.

Varbūtība laimēt pirmo loterijas biļeti ir 0,2, otrā ir 0,3 un trešā ir 0,25. Katram numuram ir viena biļete. Atrodiet varbūtību, ka uzvarēs vismaz divas biļetes.

Grāmatvedis veic aprēķinus, izmantojot trīs uzziņu grāmatas. Varbūtība, ka viņu interesējošie dati atrodas pirmajā direktorijā, ir 0,6, otrajā - 0,7 un trešajā - 0,8. Atrodiet varbūtību, ka dati, kas interesē grāmatvedi, ir ietverti ne vairāk kā divos direktorijos.

Trīs mašīnas ražo detaļas. Pirmā iekārta ražo augstākās kvalitātes daļu ar varbūtību 0,9, otrā ar varbūtību 0,7 un trešā ar varbūtību 0,6. No katras mašīnas nejauši tiek ņemta viena daļa. Atrodiet varbūtību, ka vismaz divi no tiem ir augstākās kvalitātes.

Viena veida detaļas tiek apstrādātas divās mašīnās. Nestandarta detaļu saražošanas iespējamība pirmajai mašīnai ir 0,03, otrajai – 0,02. Apstrādātās detaļas tiek glabātas vienuviet. No tiem 67% ir no pirmās mašīnas, bet pārējie ir no otrās. Nejauši ņemtā daļa izrādījās standarta. Atrodiet varbūtību, ka tas tika izgatavots pirmajā mašīnā.

Darbnīca saņēma divas kastes ar tāda paša veida kondensatoriem. Pirmajā kastē bija 20 kondensatori, no kuriem 2 bija bojāti. Otrajā kastē ir 10 kondensatori, no kuriem 3 ir bojāti. Kondensatori tika ievietoti vienā kastē. Atrodiet varbūtību, ka kondensators, kas nejauši ņemts no kastes, būs labā stāvoklī.

Trīs mašīnas ražo viena veida detaļas, kuras tiek piegādātas kopējam konveijeram. No visām detaļām 20% ir no pirmās mašīnas, 30% no otrās un 505 no trešās. Standarta daļas izgatavošanas varbūtība pirmajā mašīnā ir 0,8, otrā - 0,6 un trešā - 0,7. Paņemtā daļa izrādījās standarta. Atrodiet varbūtību, ka šī daļa ir izgatavota trešajā mašīnā.

Montētājs no rūpnīcas saņem 40% detaļu montāžai A, bet pārējais - no rūpnīcas IN. Varbūtība, ka daļa ir no rūpnīcas A– augstākā kvalitāte, vienāda ar 0,8, un no rūpnīcas IN– 0,9. Montētājs pēc nejaušības principa paņēma vienu detaļu, un tā izrādījās nekvalitatīva. Atrodiet varbūtību, ka šī daļa ir no rūpnīcas IN.

Dalībai skolēnu sporta sacensībās tika atvēlēti 10 skolēni no pirmās grupas un 8 no otrās. Varbūtība, ka akadēmijas komandā tiks iekļauts students no pirmās grupas, ir 0,8, bet no otrās - 0,7. Komandā tika iekļauts nejauši izvēlēts students. Atrodiet varbūtību, ka viņš ir no pirmās grupas.

Bernulli formula

Pārbaudes sauc neatkarīgs , ja katram no tiem pasākums A notiek ar tādu pašu varbūtību
, neatkarīgi no tā, vai šis notikums parādījās vai neparādījās citos izmēģinājumos. Pretēja notikuma varbūtība šajā gadījumā vienāds
.

11. piemērs . Tiek mesti kauliņi n vienreiz. Apzīmēsim notikumu A=(ripina trīs punktus). Notikuma rašanās varbūtība A katrā izmēģinājumā ir vienāds un nav atkarīgs no tā, vai šis notikums notika vai nenotika citos izmēģinājumos. Tāpēc šie testi ir neatkarīgi. Pretēja notikuma varbūtība
(neripina trīs punktus) ir vienāds ar
.

Varbūtība, ka in n neatkarīgi izmēģinājumi, no kuriem katrā tiek noteikta notikuma rašanās varbūtība A vienāds ar lpp, notikums notiks tieši k reizes (nav svarīgi, kādā secībā), ko aprēķina pēc formulas
, Kur
. Šo formulu sauc Bernulli formula un tas ir ērti, ja testu skaits n nav pārāk liels.

12. piemērs . Ar slimību latentā formā inficēto augļu īpatsvars ir 25%. Nejauši tiek atlasīti 6 augļi. Atrodi varbūtību, ka starp atlasītajiem būs: a) tieši 3 inficēti augļi; b) ne vairāk kā divus inficētus augļus.

Risinājums . Saskaņā ar piemēra nosacījumiem.

a) Saskaņā ar Bernulli formulu varbūtība, ka no sešiem atlasītajiem augļiem būs inficēti tieši trīs, ir vienāda ar

0.132.

b) Apzīmēsim notikumu A=(tiks inficēti ne vairāk kā divi augļi). Tad . Saskaņā ar Bernulli formulu:

0.297.

Tāpēc
0.178+0.356+0.297=0.831.

Laplasa un Puasona teorēmas

Bernulli formula tiek izmantota, lai noteiktu varbūtību, ka notikums A atnāks k reizi katrā n neatkarīgi izmēģinājumi un katrā izmēģinājumā notikuma varbūtība A ir nemainīgs. Lielām n vērtībām aprēķini, izmantojot Bernulli formulu, kļūst darbietilpīgi. Šajā gadījumā, lai aprēķinātu notikuma iespējamību A Labāk būtu izmantot citu formulu.

Lokālā Laplasa teorēma . Ļaujiet varbūtībai lpp notikuma rašanos A katrā izmēģinājumā ir nemainīgs un atšķiras no nulles un viena. Tad varbūtība, ka notikums A atnāks tieši k reizes ar pietiekami lielu n testu skaitu, aprēķina pēc formulas

, Kur
, un funkcijas vērtības
ir norādīti tabulā.

Funkcijas galvenās īpašības
ir:

Funkcija
definēts un nepārtraukts intervālā
.

Funkcija
ir pozitīva, t.i.
>0.

Funkcija
pat, t.i.
.

Kopš funkcijas
ir vienmērīgs, tad tabulā ir parādītas tās vērtības tikai pozitīvajām vērtībām X.

13. piemērs . Kviešu sēklu dīgtspēja ir 80%. Eksperimentam tiek atlasītas 100 sēklas. Atrodiet varbūtību, ka uzdīgs tieši 90 no atlasītajām sēklām.

Risinājums . Saskaņā ar piemēru n=100, k=90, lpp=0.8, q=1-0,8=0,2. Tad
. Izmantojot tabulu, mēs atrodam funkcijas vērtību
:
. Varbūtība, ka uzdīgs tieši 90 no izvēlētajām sēklām, ir vienāda ar
0.0044.

Risinot praktiskas problēmas, rodas nepieciešamība atrast kāda notikuma rašanās varbūtību A plkst n neatkarīgi testi ne mazāk vienreiz un ne vairāk vienreiz. Šī problēma tiek atrisināta, izmantojot Laplasa integrāļa teorēma : Ļaujiet varbūtību lpp notikuma rašanos A katrā n neatkarīgie testi ir nemainīgi un atšķiras no nulles un viena. Tad varbūtība, ka notikums notiks, ir vismaz vienreiz un ne vairāk reizes ar pietiekami lielu pārbaužu skaitu, aprēķina pēc formulas

Kur
,
.

Funkcija
sauca Laplasa funkcija un netiek izteikts ar elementārām funkcijām. Šīs funkcijas vērtības ir norādītas īpašās tabulās.

Funkcijas galvenās īpašības
ir:

.

Funkcija
intervālā palielinās
.

plkst
.

Funkcija
nepāra, t.i.
.

14. piemērs . Uzņēmums ražo produkciju, no kuras 13% nav augstākās kvalitātes. Nosakiet varbūtību, ka nepārbaudītā augstākās kvalitātes produkta 150 vienību partijā būs ne mazāk kā 125 un ne vairāk kā 135.

Risinājums . Apzīmēsim . Aprēķināsim
,

Varbūtību saskaitīšanas un reizināšanas teorēmas.

Teorēma divu notikumu varbūtību saskaitīšanai. Divu notikumu summas varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu bez to kopīgas iestāšanās varbūtības:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Teorēma divu nesaderīgu notikumu varbūtību saskaitīšanai. Divu nesaderīgu notikumu summas varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Piemērs 2.16.Šāvējs šauj pa mērķi, kas sadalīts 3 zonās. Varbūtība trāpīt pirmajā zonā ir 0,45, otrā - 0,35. Atrodiet varbūtību, ka šāvējs ar vienu šāvienu trāpīs vai nu pirmajā, vai otrajā zonā.

Risinājums.

Pasākumi A- "šāvējs trāpīja pirmajā zonā" un IN- "šāvējs trāpīja otrajā zonā" - ir nekonsekventi (iekļūšana vienā zonā izslēdz nokļūšanu citā), tāpēc ir piemērojama saskaitīšanas teorēma.

Nepieciešamā varbūtība ir:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Varbūtību saskaitīšanas teorēma P nesavienojami notikumi. n nesaderīgu notikumu summas varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Pretēju notikumu varbūtību summa ir vienāda ar vienu:

Notikuma varbūtība IN ar nosacījumu, ka notikums noticis A, sauc par notikuma nosacīto varbūtību IN un tiek apzīmēts šādi: P(V/A), vai RA (B).

. Divu notikumu iestāšanās varbūtība ir vienāda ar viena no tiem iespējamības un otra nosacītās varbūtības reizinājumu, ja noticis pirmais notikums:

P(AB)=P(A)P A (B).

Pasākums IN nav atkarīgs no notikuma A, Ja

RA (V) = R (V),

tie. notikuma varbūtība IN nav atkarīgs no tā, vai notikums noticis A.

Teorēma divu neatkarīgu notikumu varbūtību reizināšanai.Divu neatkarīgu notikumu reizinājuma varbūtība ir vienāda ar to varbūtību reizinājumu:

P(AB)=P(A)P(B).

Piemērs 2.17. Iespējas trāpīt mērķī, izšaujot pirmo un otro pistoli, ir attiecīgi vienādas: 1. lpp = 0,7; 2. lpp= 0,8. Atrodiet varbūtību, ka vismaz viens no ieročiem trāpīs ar vienu salveti (no abiem ieročiem).

Risinājums.

Varbūtība, ka katrs ierocis trāpīs mērķī, nav atkarīga no izšaušanas rezultāta no otra pistoles, tāpēc notikumi A– “trāpīt ar pirmo ieroci” un IN– “trāpīt ar otro ieroci” ir neatkarīgi.

Notikuma varbūtība AB- "trāpīja abi ieroči":

Nepieciešamā varbūtība

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Varbūtību reizināšanas teorēma P notikumiem.N notikumu reizinājuma varbūtība ir vienāda ar viena no tiem reizinājumu ar visu pārējo nosacītajām varbūtībām, kas aprēķinātas, pieņemot, ka ir notikuši visi iepriekšējie notikumi:

Piemērs 2.18. Urnā ir 5 baltas, 4 melnas un 3 zilas bumbiņas. Katrs tests sastāv no vienas bumbiņas izņemšanas pēc nejaušības principa, neliekot to atpakaļ. Atrodi varbūtību, ka pirmajā mēģinājumā parādīsies balta bumbiņa (notikums A), otrajā – melna bumbiņa (notikums B) un trešajā – zilā bumbiņa (notikums C).

Risinājums.

Baltas bumbiņas parādīšanās varbūtība pirmajā mēģinājumā:

Melnas bumbiņas parādīšanās varbūtība otrajā izmēģinājumā, kas aprēķināta, pieņemot, ka pirmajā mēģinājumā parādījās balta bumbiņa, t.i., nosacītā varbūtība:

Zilas bumbiņas parādīšanās varbūtība trešajā mēģinājumā, kas aprēķināta, pieņemot, ka pirmajā mēģinājumā parādījās balta bumbiņa, bet otrajā - melna, t.i., nosacītā varbūtība:

Nepieciešamā varbūtība ir:

Varbūtību reizināšanas teorēma P neatkarīgi notikumi.n neatkarīgu notikumu reizinājuma varbūtība ir vienāda ar to varbūtību reizinājumu:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1) P(A 2)…P(A p).

Varbūtība, ka notiks vismaz viens no notikumiem. Vismaz viena notikuma A 1, A 2, ..., A n iestāšanās iespējamība, kas ir neatkarīga kopumā, ir vienāda ar starpību starp vienotību un pretēju notikumu varbūtību reizinājumu.:

.

Piemērs 2.19. Iespējas trāpīt mērķī, šaujot no trim lielgabaliem, ir šādas: 1. lpp = 0,8; 2. lpp = 0,7;3. lpp= 0,9. Atrodiet vismaz viena trāpījuma (notikuma) varbūtību A) ar vienu salveti no visiem ieročiem.

Risinājums.

Katra pistoles trāpījuma varbūtība mērķī nav atkarīga no izšaušanas rezultātiem no citiem ieročiem, tāpēc aplūkojamie notikumi A 1(trāpīt ar pirmo ieroci), A 2(trāpīja ar otro ieroci) un A 3(trāpīt ar trešo lielgabalu) kopumā ir neatkarīgi.

Notikumiem pretēju notikumu varbūtības A 1, A 2 Un A 3(t.i., izlaišanas varbūtība) ir attiecīgi vienādas ar:

, , .

Nepieciešamā varbūtība ir:

Ja neatkarīgi notikumi A 1, A 2, …, A lpp ir tāda pati varbūtība R, tad vismaz viena no šiem notikumiem iestāšanās varbūtību izsaka ar formulu:

Р(А)= 1 – q n ,

Kur q=1- lpp

2.7. Kopējās varbūtības formula. Beijesa formula.

Ļaujiet notikumam A var notikt, ja notiek kāds no nesaderīgiem notikumiem N 1, N 2, …, N lpp, veidojot pilnīgu pasākumu grupu. Tā kā iepriekš nav zināms, kurš no šiem notikumiem notiks, tos sauc hipotēzes.

Notikuma iestāšanās varbūtība A aprēķināja kopējās varbūtības formula:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

Pieņemsim, ka ir veikts eksperiments, kura rezultātā notikums A noticis. Nosacītās notikumu varbūtības N 1, N 2, …, N lpp saistībā ar notikumu A ir noteikti Bayes formulas:

,

Piemērs 2.20. 20 skolēnu grupā, kas ieradās uz eksāmenu, 6 bija lieliski sagatavojušies, 8 bija labi, 4 bija apmierinoši un 2 bija slikti sagatavoti. Eksāmena darbos ir 30 jautājumi. Labi sagatavots students var atbildēt uz visiem 30 jautājumiem, labi sagatavots students var atbildēt uz 24 jautājumiem, labi sagatavots students var atbildēt uz 15 jautājumiem, bet slikti sagatavots students var atbildēt uz 7 jautājumiem.

Nejauši izsaukts students nejauši atbildēja uz trim. uzdotie jautājumi. Atrodi varbūtību, ka šis students ir sagatavots: a) teicami; b) slikti.

Risinājums.

Hipotēzes – “skolēns ir labi sagatavojies”;

– “skolēns ir labi sagatavots”;

– “students ir sagatavots apmierinoši”;

- "Students ir slikti sagatavots."

Pirms pieredzes:

; ; ; ;

7. Ko sauc par pilnīgu notikumu grupu?

8. Kādus notikumus sauc par vienlīdz iespējamiem? Sniedziet šādu notikumu piemērus.

9. Ko sauc par elementāru rezultātu?

10. Kādus rezultātus es uzskatu par labvēlīgiem šim pasākumam?

11. Kādas darbības var veikt ar notikumiem? Definējiet tos. Kā tie tiek apzīmēti? Sniedziet piemērus.

12. Ko sauc par varbūtību?

13. Kāda ir ticama notikuma iespējamība?

14. Kāda ir neiespējama notikuma varbūtība?

15. Kādas ir varbūtības robežas?

16. Kā plaknē nosaka ģeometrisko varbūtību?

17. Kā telpā nosaka varbūtību?

18. Kā uz taisnes nosaka varbūtību?

19. Kāda ir divu notikumu summas varbūtība?

20. Kāda ir divu nesavienojamu notikumu summas varbūtība?

21. Kāda ir n nesavienojamu notikumu summas varbūtība?

22. Kādu varbūtību sauc par nosacīto? Sniedziet piemēru.

23. Nosakiet varbūtības reizināšanas teorēmu.

24. Kā atrast vismaz viena notikuma iestāšanās varbūtību?

25. Kādus notikumus sauc par hipotēzēm?

26. Kad tiek izmantota kopējās varbūtības formula un Beijesa formula?