Rindas teorija ir viena no varbūtību teorijas nozarēm. Šī teorija uzskata varbūtības uzdevumi un matemātiskie modeļi(pirms tam mēs uzskatījām deterministiskus matemātiskos modeļus). Atgādināsim, ka:
Deterministiskais matemātiskais modelis atspoguļo objekta (sistēmas, procesa) uzvedību no perspektīvas pilnīga pārliecība tagadnē un nākotnē.
Varbūtības matemātiskais modelisņem vērā nejaušu faktoru ietekmi uz objekta (sistēmas, procesa) uzvedību un līdz ar to izvērtē nākotni no noteiktu notikumu iespējamības viedokļa.
Tie. šeit, kā, piemēram, spēļu teorijā tiek aplūkotas problēmas apstākļosnenoteiktība.
Vispirms apskatīsim dažus jēdzienus, kas raksturo “stohastisko nenoteiktību”, kad problēmā iekļautie nenoteiktie faktori ir nejauši mainīgie (vai gadījuma funkcijas), kuru varbūtības raksturlielumi ir zināmi vai iegūstami no pieredzes. Šādu nenoteiktību sauc arī par “labvēlīgu”, “labdabīgu”.
Izlases procesa jēdziens
Stingri sakot, nejauši traucējumi ir raksturīgi jebkuram procesam. Ir vieglāk sniegt piemērus nejaušam procesam nekā “nejaušam” procesam. Pat, piemēram, pulksteņa darbināšanas process (šķiet, ka tas ir stingri kalibrēts darbs - “darbojas kā pulkstenis”) ir pakļauts nejaušām izmaiņām (virzīšanās uz priekšu, atpalikšana, apstāšanās). Bet, kamēr šie traucējumi ir nenozīmīgi un maz ietekmē mūs interesējošos parametrus, mēs varam tos atstāt novārtā un uzskatīt procesu par deterministisku, nejaušu.
Lai ir kāda sistēma S(tehniskā iekārta, šādu ierīču grupa, tehnoloģiskā sistēma - mašīna, objekts, darbnīca, uzņēmums, rūpniecība utt.). Sistēmā S noplūdes nejaušs process, ja tas laika gaitā maina savu stāvokli (pāriet no viena stāvokļa citā), turklāt iepriekš nezināmā nejaušā veidā.
Piemēri: 1. Sistēma S– tehnoloģiskā sistēma (mašīnu sekcija). Mašīnas ik pa laikam sabojājas un tiek remontētas. Šajā sistēmā notiekošais process ir nejaušs.
2. Sistēma S- gaisa kuģis, kas lido noteiktā augstumā noteiktā maršrutā. Traucējošie faktori – laikapstākļi, apkalpes kļūdas u.c., sekas – nelīdzenumi, lidojumu grafika pārkāpšana u.c.
Markova izlases process
Tiek saukts nejaušs process, kas notiek sistēmā Markovskis, ja uz kādu brīdi t 0 procesa varbūtības raksturlielumi nākotnē ir atkarīgi tikai no tā pašreizējā stāvokļa t 0 un nav atkarīgi no tā, kad un kā sistēma sasniedza šo stāvokli.
Ļaujiet sistēmai atrasties noteiktā stāvoklī brīdī t 0 S 0 . Mēs zinām sistēmas stāvokļa raksturlielumus tagadnē, visu, kas notika, kad t<t 0 (procesa vēsture). Vai varam paredzēt (paredzēt) nākotni, t.i. kas notiks kad t>t 0 ? Ne gluži, bet nākotnē var atrast dažus procesa varbūtības raksturlielumus. Piemēram, varbūtība, ka pēc kāda laika sistēma S varēs S 1 vai paliks stāvoklī S 0 utt.
Piemērs. Sistēma S- gaisa kuģu grupa, kas piedalās gaisa kaujās. Ļaujiet x– “sarkano” lidmašīnu skaits, y– “zilo” lidmašīnu skaits. Ar laiku t 0 izdzīvojušo (nav notriekto) lidmašīnu skaits attiecīgi – x 0 ,y 0 . Mūs interesē varbūtība, ka uz doto brīdi skaitliskais pārsvars būs “sarkano” pusē. Šī varbūtība ir atkarīga no tā, kādā stāvoklī sistēma tajā laikā bija t 0, nevis par to, kad un kādā secībā notriektie gāja bojā līdz pat brīdim t 0 lidmašīnas.
Praksē Markovs apstrādā tīrā formā parasti nav atrasts. Bet ir procesi, kuros “aizvēstures” ietekmi var atstāt novārtā. Un, pētot šādus procesus, var izmantot Markova modeļus (rindu teorijā netiek ņemtas vērā Markova rindu sistēmas, bet matemātiskais aparāts, kas tos apraksta, ir daudz sarežģītāks).
Operāciju izpētē liela nozīme ir Markova izlases procesi ar diskrētiem stāvokļiem un nepārtrauktu laiku.
Procesu sauc diskrēta stāvokļa process, ja tas ir iespējams S 1 ,S 2, ... var noteikt iepriekš, un sistēmas pāreja no stāvokļa uz stāvokli notiek “lēcienā”, gandrīz acumirklī.
Procesu sauc nepārtraukts laika process, ja iespējamo pāreju no stāvokļa uz stāvokli momenti nav iepriekš fiksēti, bet ir nenoteikti, nejauši un var iestāties jebkurā brīdī.
Piemērs. Tehnoloģiskā sistēma (sadaļa) S sastāv no divām mašīnām, no kurām katra ir nejaušs brīdis laiks var neizdoties (izgāzties), pēc kura nekavējoties sākas agregāta remonts, arī turpinot nezināmu, nejaušu laiku. Ir iespējami šādi sistēmas stāvokļi:
S 0 - abas mašīnas darbojas;
S 1 - pirmā mašīna tiek remontēta, otrā darbojas;
S 2 - otrā mašīna tiek remontēta, pirmā strādā;
S 3 - abas mašīnas tiek remontētas.
Sistēmas pārejas S no stāvokļa uz stāvokli notiek gandrīz acumirklī, nejaušos brīžos, kad kāda konkrēta iekārta sabojājas vai tiek pabeigts remonts.
Analizējot nejaušus procesus ar diskrētiem stāvokļiem, ir ērti izmantot ģeometrisko shēmu - stāvokļa grafiks. Grafa virsotnes ir sistēmas stāvokļi. Grafika loki – iespējamās pārejas no stāvokļa uz
1. att. Sistēmas stāvokļa grafiks
Valsts. Mūsu piemērā stāvokļa grafiks ir parādīts 1. attēlā.
Piezīme. Pāreja no stāvokļa S 0 collas S 3 attēlā nav norādīts, jo tiek pieņemts, ka mašīnas nedarbojas neatkarīgi viena no otras. Mēs neņemam vērā iespēju vienlaikus sabojāt abas mašīnas.
Kuru attīstība pēc jebkuras laika parametra noteiktās vērtības t (\displaystyle t) nav atkarīgs no iepriekš notikušās evolūcijas t (\displaystyle t), ar nosacījumu, ka procesa vērtība šajā brīdī ir fiksēta (procesa “nākotne” nav atkarīga no “pagātnes” ar zināmu “tagadni”; cita interpretācija (Vencels): procesa “nākotne” ir atkarīga par “pagātni” tikai caur “tagadni”).
Enciklopēdisks YouTube
1 / 3
15. lekcija: Markova izlases procesi
Markova ķēžu izcelsme
Vispārināts Markova procesa modelis
Subtitri
Stāsts
Īpašumu, kas definē Markova procesu, parasti sauc par Markova; to pirmais formulēja A. A. Markovs, kurš 1907. gada darbos aizsāka atkarīgo testu secību un ar tiem saistīto summu izpēti. nejaušie mainīgie. Šis pētījumu virziens ir pazīstams kā Markova ķēdes teorija.
Nepārtraukta laika Markova procesu vispārīgās teorijas pamatus lika Kolmogorovs.
Markova īpašums
Vispārējs gadījums
Ļaujiet (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- varbūtības telpa ar filtrēšanu (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T)) pār kādu (daļēji pasūtītu) komplektu T (\displaystyle T); ļaujiet tai iet (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- izmērāma telpa. Nejaušs process X = (X t , t ∈ T) (\displeja stils X=(X_(t),\ t\in T)), kas definēts filtrētajā varbūtības telpā, tiek uzskatīts par atbilstošu Markova īpašums, ja katram A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S))) Un s , t ∈ T: s<
t
{\displaystyle s,t\in T:s
Markova process ir nejaušs process, kas apmierina Markova īpašums ar dabisko filtrēšanu.
Diskrētā laika Markova ķēdēm
Ja S (\displaystyle S) ir diskrta kopa un T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ), definīciju var pārformulēt:
P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1 , X n - 2 = x n - 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n - 1 = x n - 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\dots, X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).Markova procesa piemērs
Apskatīsim vienkāršu Markova izlases procesa piemēru. Punkts nejauši pārvietojas pa abscisu asi. Nulles brīdī punkts atrodas sākuma punktā un paliek tur vienu sekundi. Pēc sekundes tiek iemesta monēta - ja nomet ģerboni, tad punkts X pārceļ vienu garuma vienību pa labi, ja cipars - pa kreisi. Pēc sekundes monēta tiek iemesta vēlreiz un tiek veikta tāda pati nejauša kustība utt. Punkta pozīcijas maiņas process (“staigāšana”) ir nejaušs process ar diskrētu laiku (t=0, 1, 2, ...) un saskaitāmu stāvokļu kopu. Šāds nejaušs process tiek saukts par Markovu, jo nākamais punkta stāvoklis ir atkarīgs tikai no pašreizējā (pašreizējā) stāvokļa un nav atkarīgs no pagātnes stāvokļiem (nav svarīgi, kādā veidā un uz kādu laiku punkts nokļuva pašreizējā koordinātā) .
MARKOVA PROCESS
Process bez sekām - nejaušs process, kura attīstība pēc jebkuras laika parametra t vērtības nav atkarīga no evolūcijas, kas bija pirms tās t, ar nosacījumu, ka procesa vērtība tajā ir fiksēta (īsi sakot: procesa “nākotne” un “pagātne” nav viena no otras atkarīgas ar zināmu “tagadni”).
Īpašību, kas nosaka magnētisko lauku, parasti sauc Markovs; to pirmais formulēja A. A. Markovs. Taču jau L. Bakeljē darbā var saskatīt mēģinājumu interpretēt Braunu kā magnētisko lauku, kas attaisnojās pēc N. Vīnera pētījumiem (N. Vīners, 1923). Nepārtrauktā laika magnētisko procesu vispārējās teorijas pamatus lika A. N. Kolmogorovs.
Markova īpašums. Ir M. definīcijas, kas būtiski atšķiras viena no otras.Viena no izplatītākajām ir šāda. Ļaujiet nejaušam procesam ar vērtībām no izmērāmas telpas norādīt uz varbūtības telpas, kur T - reālās ass apakškopa Let Nt(attiecīgi Nt).iekšpusē ir s-algebra
ģenerē lielumi X(s).at
Kur
Citiem vārdiem sakot, Nt(attiecīgi Nt) ir notikumu kopums, kas saistīts ar procesa evolūciju līdz brīdim t (sākot no t) .
Tiek izsaukts process X(t). Markova process, ja (gandrīz noteikti) Markova īpašums attiecas uz visiem:
vai, kas ir tas pats, ja kāds
M. p., kuram T ir ietverts naturālo skaitļu kopā, sauc. Markova ķēde(tomēr pēdējais termins visbiežāk tiek saistīts ar ne vairāk kā saskaitāmo E gadījumu) .
Ja ir intervāls vairāk nekā saskaitāms, tiek izsaukts M.. nepārtraukts laiks Markova ķēde. Nepārtraukta laika magnētisko procesu piemēri ir difūzijas procesi un procesi ar neatkarīgiem pieaugumiem, tostarp Puasona un Vīnera procesi.
Tālāk, skaidrības labad, mēs runāsim tikai par lietu 
Formulas (1) un (2) sniedz skaidru “pagātnes” un “nākotnes” neatkarības principa interpretāciju, ņemot vērā zināmo “tagadni”, taču uz tām balstītā M. definīcija izrādījās nepietiekami elastīga. tās daudzās situācijas, kad jāapsver nevis viens, bet gan 1. vai 2. tipa nosacījumu kopums, kas atbilst dažādiem, kaut arī zināmā veidā saskaņotiem pasākumiem. Šāda veida apsvērumi lika pieņemt šādu definīciju (sk.,).
Ļaujiet dot sekojošo:
a) kur s-algebra satur visas E vienpunktu kopas;
b) izmērāms, kas aprīkots ar s-algebru saimi tā, ka, ja
V) (" ") x t =xt(w) ,
definēšana jebkurai izmērāmai kartēšanai
d) katram un varbūtības mēram s-algebrā, lai funkcija 
izmērāms attiecībā pret ja un
Vārdu komplekts (nebeidzams) Markova process, kas definēts ar if -gandrīz droši
lai kas arī būtu Šeit - elementāru notikumu telpa, - fāzu telpa vai stāvokļa telpa, P( s, x, t, V)- pārejas funkcija vai procesa pārejas varbūtība X(t) .
Ja E ir apveltīta ar topoloģiju un ir Borela kolekcija E, tad pieņemts teikt, ka iedod M. p E. Parasti M. p. definīcija ietver prasību, ka un pēc tam jāinterpretē kā varbūtība, ja vien x s =x.
Rodas jautājums: vai katra Markova pārejas funkcija ir P( s, x;t, V),
uzdots izmērāmā telpā, var uzskatīt par noteiktas M. telpas pārejas funkciju. Atbilde ir pozitīva, ja, piemēram, E ir atdalāma lokāli kompakta telpa un ir Borela kopu kopums E. Turklāt ļaujiet E - pilna metrika vietu un ļauj
jebkuram kur a ir punkta e-apkaimes papildinājums X. Tad atbilstošo magnētisko lauku var uzskatīt par nepārtrauktu labajā pusē un ar ierobežojumiem kreisajā pusē (tas ir, tā trajektorijas var izvēlēties kā tādas). Nepārtraukta magnētiskā lauka esamību nodrošina nosacījums pie (sk., ). Mehānisko procesu teorijā galvenā uzmanība tiek pievērsta procesiem, kas ir viendabīgi (laikā). Atbilstošā definīcija pieņem noteiktu sistēmu objektus a) - d) ar atšķirību, ka parametriem s un u, kas parādījās tā aprakstā, tagad ir atļauta tikai vērtība 0. Apzīmējums ir arī vienkāršots:
Turklāt tiek postulēta telpas W viendabīgums, t.i., ir nepieciešams, lai jebkurai 
bija tāda lieta 
(w) par Sakarā ar to, s-algebrā N, mazākā s-algebra W, kas satur jebkuru formas notikumu 
ir norādīti laika maiņas operatori q t, kas saglabā kopu savienošanas, krustošanās un atņemšanas darbības un kurām
Vārdu komplekts (nebeidzams) viendabīgs Markova process, kas definēts ar ja -gandrīz noteikti
procesa X(t) pārejas funkcijai tiek uzskatīts par P( t, x, V), un, ja vien nav īpašu atrunu, tās papildus pieprasa, lai Ir lietderīgi paturēt prātā, ka, pārbaudot (4), pietiek ņemt vērā tikai tādas formas kopas, kurās 
un tas (4) vienmēr Ft var aizstāt ar s-algebru, kas vienāda ar pabeigšanu krustpunktu Ft visiem iespējamajiem mēriem. Bieži vien tiek fiksēts varbūtības mērs m ("sākotnējais") un tiek ņemta vērā Markova nejaušības funkcija 
kur ir vienlīdzības dotais mērs
M. p. zvanīja. pakāpeniski izmērāma, ja katrai t>0 funkcija inducē izmērāmu, kur atrodas s-algebra
Borel apakškopas iekšā . Pareizie nepārtrauktie deputāti ir pakāpeniski izmērāmi. Ir veids, kā heterogēnu lietu reducēt uz viendabīgu (sk.), un turpmāk runāsim par viendabīgiem deputātiem.
Stingri.Ļaujiet izmērāmu vietu dot ar m.
Funkcija tiek izsaukta Markova brīdis, Ja 
visiem
Šajā gadījumā tie pieder saimei F t ja at (visbiežāk F t tiek interpretēts kā notikumu kopums, kas saistīts ar X(t) evolūciju līdz brīdim t). Par ticību
Pakāpeniski izmērāms M. p. Xnaz. stingri Markova process (s.m.p.), ja par kādu Markova momentu m un viss 
un attiecība
(stingri Markova īpašums) gandrīz noteikti attiecas uz komplektu W t . Pārbaudot (5), pietiek ņemt vērā tikai formas kopas, kur 
šajā gadījumā S. m telpa ir, piemēram, jebkura taisnā nepārtrauktā Feller M. telpa topoloģiskā. telpa E. M. p. zvanīja. Feller Markov process, ja funkcija
ir nepārtraukts, kad f ir nepārtraukts un ierobežots.
Klasē ar. m.p. izšķir noteiktas apakšklases. Ļaujiet Markovian P( t, x, V),
definēts lokāli kompaktā metriskā telpā E, stohastiski nepārtraukts:
jebkurai katra punkta apkaimē U. Tad, ja operatori uzņem sevī nepārtrauktas funkcijas un izzūd bezgalībā, tad funkcijas P( t, x, V) atbilst standartam M. p. X, i., nepārtraukts labajā pusē ar. m.p., kam
- gandrīz droši vien uz daudziem 
a ir Pmarkova momenti, kas ar izaugsmi nesamazinās. Markova procesa izbeigšana. Bieži fiziski Sistēmas ieteicams aprakstīt, izmantojot nebeidzamu magnētisko lauku, bet tikai nejauša garuma laika intervālā. Turklāt pat vienkāršas magnētisko procesu transformācijas var novest pie procesa ar trajektorijām, kas norādītas nejaušā intervālā (sk. Funkcionāls no Markova procesa). Vadoties no šiem apsvērumiem, tiek ieviests salauzta deputāta jēdziens.
Ļaut būt viendabīgam M.P. fāzes telpā ar pārejas funkciju 
un lai ir punkts un funkcija 
tā, ka ja un citādi (ja nav īpašu klauzulu, apsveriet ). Jauna trajektorija x t(w) ir norādīts tikai ) ar vienlīdzības palīdzību 
a Ft definēts kā komplektā
Iestatiet, kur 
sauca ar izbeigšanas Markova procesu (o.m.p.), kas iegūts, pārtraucot (vai nogalinot) laikā z. Tiek izsaukta z vērtība pārtraukuma brīdis vai dzīves laiks, o. m.p. Jaunā procesa fāzes telpa ir vieta, kur ir s-algebras pēda E. Pārejas funkcija o. m.p. ir komplekta ierobežojums 
Tiek izsaukts process X(t). stingri Markova process, vai standarta Markova process, ja tam ir attiecīga īpašība.. Nebeidzamo MP var uzskatīt par o. ku.p. ar pārrāvuma brīdi Heterogēns o. ku.p. nosaka līdzīgi. M.
Markova procesi un . Brauna kustības tipa MP ir cieši saistīti ar paraboliskajiem diferenciālvienādojumiem. veids. Pārejas p(s, x, t, y) difūzijas procesā, ievērojot noteiktus papildu pieņēmumus, apmierina Kolmogorova apgrieztos un tiešos diferenciālvienādojumus:
Funkcija p( s, x, t, y).ir vienādojumu (6) - (7) Grīna funkcija, un pirmās zināmās metodes difūzijas procesu konstruēšanai balstījās uz teorēmām par šīs funkcijas esamību diferenciālvienādojumiem (6) - (7). Laikā vienmērīgam procesam L( s, x)= L(x).uz gludām funkcijām sakrīt ar raksturlielumu. operators M. p. (sk Pārejas operatora pusgrupa).
Matemātika. dažādu funkcionālo funkciju gaidas no difūzijas procesiem kalpo kā risinājumi atbilstošām robežvērtību problēmām diferenciālvienādojums(1). Ļaujiet - matemātiski. gaidīšana pie mēra Tad funkcija apmierina pie s
Tāpat arī funkcija
apmierina ar s
un nosacījums un 2 ( T, x) = 0.
Ļaujiet tt būt brīdis, kad pirmais tiek sasniegts robeža dD novads
procesa trajektorija
Tad noteiktos apstākļos funkcija
apmierina vienādojumu
un komplektā ņem vērtības cp
1. robežuzdevuma risinājums vispārējai lineārai parabolai. 2. kārtas vienādojumi
saskaņā ar diezgan vispārīgiem pieņēmumiem var rakstīt formā
Gadījumā, ja L un funkcijas s, f nav atkarīgi no s, Lineāras elipses risināšanai ir iespējams arī attēlojums, kas līdzīgs (9). vienādojumi Precīzāk, funkcija
pie noteiktiem pieņēmumiem ir problēmas
Gadījumā, ja operators L deģenerējas (del b( s, x) = 0
).vai dD nav pietiekami “labs”; funkcijas (9), (10) var nepieņemt robežvērtības atsevišķos punktos vai veselās kopās. Operatora regulārā robežpunkta jēdziens L ir varbūtības interpretācija. Regulāros robežas punktos robežvērtības tiek sasniegtas ar funkcijām (9), (10). Problēmu (8), (11) risināšana ļauj izpētīt atbilstošo difūzijas procesu īpašības un to funkcionālās īpašības.
Ir metodes MP konstruēšanai, kas nepaļaujas, piemēram, uz (6), (7) vienādojumu risinājumu konstruēšanu. metodi stohastiskie diferenciālvienādojumi, absolūti nepārtraukta mēra maiņa utt. Šis apstāklis kopā ar formulām (9), (10) ļauj varbūtēji konstruēt un pētīt vienādojuma (8) robežuzdevumu īpašības, kā arī risinājuma īpašības. atbilstošā eliptiskā. vienādojumi
Tā kā stohastiskā diferenciālvienādojuma risinājums ir nejutīgs pret matricas deģenerāciju b( s, x), Tas varbūtības metodes tika izmantotas, lai izveidotu risinājumus eliptisku un parabolisku diferenciālvienādojumu deģenerācijai. N. M. Krilova un N. N. Bogoļubova vidējās noteikšanas principa paplašināšana uz stohastiskajiem diferenciālvienādojumiem ļāva, izmantojot (9), iegūt atbilstošos rezultātus eliptiskajiem un paraboliskajiem diferenciālvienādojumiem. Izrādījās, ka ir iespējams atrisināt noteiktas sarežģītas problēmas, kas saistītas ar šāda veida vienādojumu risinājumu īpašību izpēti ar mazu parametru pie augstākā atvasinājuma, izmantojot varbūtības apsvērumus. Vienādojuma (6) 2. robežvērtību uzdevuma risinājumam ir arī varbūtības nozīme. Robežvērtību problēmu formulēšana neierobežotam domēnam ir cieši saistīta ar atbilstošā difūzijas procesa atkārtošanos.
Laika homogēna procesa gadījumā (L nav atkarīgs no s) vienādojuma pozitīvais atrisinājums līdz reizināšanas konstantei pie noteiktiem pieņēmumiem sakrīt ar MP stacionāro sadalījuma blīvumu. Arī varbūtības apsvērumi izrādās noderēs, apsverot robežvērtību problēmas nelineārām parabolām. vienādojumi. R. 3. Hasminskis.
Lit.: Markovs A. A., "Izvestija. Kazaņas Universitātes Fiz.-matemātikas biedrība", 1906, 15. sēj., 4. nr., 4. lpp. 135-56; V a s h e l i e r L., "Ann. scient. Ecole norma, super.", 1900, v. 17. lpp. 21-86; Kolmogorovs A.N., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; rus. Tulk. - "Uspekhi Matematicheskikh Nauk", 1938, gadsimts. 5. lpp. 5-41; Žun Kai-lai, Homogēnās Markova ķēdes, trans. no angļu val., M., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60. lpp. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., “Varbūtību teorija un tās pielietojumi”, 1956, 1. sēj., gadsimts. 1. lpp. 149-55; Ksants J.-A., Markova procesi un potenciāli, tulk. no angļu val., M., 1962; D e l l a s h e r i K., Jaudas un nejaušības procesi, trans. no franču valodas, M., 1975; Dinks un E.V., Markova procesu teorijas pamati, M., 1959; viņš, Markov Processes, M., 1963; G un h cilvēks I. I., S k o r o x o d A. V., Nejaušo procesu teorija, 2. sēj., M., 1973; Freidlins M.I. grāmatā: Zinātnes rezultāti. Varbūtību teorija,. - Teorētiski. 1966, M., 1967, 1. lpp. 7-58; X a sminskiy R. 3., “Varbūtību teorija un tās pielietojumi”, 1963, 8. sēj.
Markova process- diskrēts vai nepārtraukts nejaušības process X(t), ko var pilnībā norādīt, izmantojot divus lielumus: varbūtību P(x,t), ka gadījuma lielums x(t) brīdī t ir vienāds ar x un varbūtību P(x2, t2½x1t1), kas...... Ekonomiskā-matemātikas vārdnīca
Markova process- Diskrēts vai nepārtraukts gadījuma process X(t), ko var pilnībā norādīt, izmantojot divus lielumus: varbūtību P(x,t), ka gadījuma lielums x(t) brīdī t ir vienāds ar x un varbūtību P(x2 , t2? x1t1), ja x pie t = t1... ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata
Svarīgs īpašs nejaušo procesu veids. Markova procesa piemērs ir radioaktīvās vielas sabrukšana, kur dotā atoma sabrukšanas iespējamība īsā laika periodā nav atkarīga no procesa norises iepriekšējā periodā... ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca — Markovo proceso statusas T jomas automatika atitikmenys: engl. Markovprocess vok. Markovprozeß, m rus. Markova process, m; Markova process, m pranc. processus markovien, m … Automatikos terminų žodynas
Markova process- Markovo vyksmas statusas T joma fizika atitikmenys: engl. Markova process; Markova process vok. Markovs Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. Markova process, m; Markova process, m pranc. processus de Markoff, m; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas
Svarīgs īpašs nejaušo procesu veids. Markova procesa piemērs ir radioaktīvās vielas sabrukšana, kur dotā atoma sabrukšanas iespējamība īsā laika periodā nav atkarīga no procesa norises iepriekšējā periodā... ... enciklopēdiskā vārdnīca
Nozīmīgs īpašs nejaušo procesu veids (Skatīt Random process), kam ir liela nozīme varbūtību teorijas pielietojumos dažādās dabaszinātņu un tehnoloģiju nozarēs. Magnētiskā procesa piemērs ir radioaktīvās vielas sabrukšana.… … Lielā padomju enciklopēdija
Izcils atklājums matemātikas jomā, ko 1906. gadā veica krievu zinātnieks A.A. Markovs.
Pieņēmumi par pieprasījumu plūsmas Puasona raksturu un par apkalpošanas laika eksponenciālo sadalījumu ir vērtīgi ar to, ka ļauj rindu teorijā pielietot tā saukto Markova gadījuma procesu aparātu.
Fiziskā sistēmā notiekošu procesu sauc par Markova procesu (vai procesu bez pēcefekta), ja katrā laika brīdī jebkura sistēmas stāvokļa iespējamība nākotnē ir atkarīga tikai no sistēmas stāvokļa pašreizējā brīdī un nav atkarīgs no tā, kā sistēma nonāca šajā stāvoklī.
Apskatīsim elementāru Markova nejaušības procesa piemēru. Punkts nejauši pārvietojas pa abscisu asi. Šobrīd punkts atrodas izcelsmē un paliek tur vienu sekundi. Pēc sekundes tiek iemesta monēta; ja ģerbonis izkrīt, punkts pārvietojas par vienu garuma vienību pa labi, ja cipars pārvietojas pa kreisi. Pēc sekundes monēta tiek mētāta vēlreiz un tiek veikta tā pati nejauša kustība utt. Punkta pozīcijas maiņas process (jeb, kā saka, “staigāšana”) ir nejaušs process ar diskrētu laiku un saskaitāmu kopu. valstīm
Šī procesa iespējamo pāreju diagramma ir parādīta attēlā. 19.7.1.
Parādīsim, ka šis process ir Markovisks. Patiešām, iedomāsimies, ka kādā brīdī sistēma atrodas, piemēram, stāvoklī – vienu vienību pa labi no izcelsmes. Iespējamās punkta pozīcijas pēc laika vienības būs ar varbūtību 1/2 un 1/2; caur divām vienībām - , , ar varbūtību 1/4, ½, 1/4 un tā tālāk. Acīmredzot visas šīs varbūtības ir atkarīgas tikai no tā, kur konkrētajā brīdī atrodas punkts, un ir pilnīgi neatkarīgas no tā, kā tas tur nokļuva.
Apskatīsim citu piemēru. Ir tehniska ierīce, kas sastāv no dažāda veida elementiem (detaļām) ar dažādu izturību. Šie elementi var neizdoties nejaušā laikā un neatkarīgi viens no otra. Katra elementa pareiza darbība ir absolūti nepieciešama ierīces darbībai kopumā. Elementa bezatteices darbības laiks ir nejaušs lielums, kas sadalīts pēc eksponenciāla likuma; tipa elementiem un šī likuma parametri ir atšķirīgi un vienādi un attiecīgi. Ierīces atteices gadījumā nekavējoties tiek veikti pasākumi, lai noteiktu cēloņus, un atklātais bojātais elements nekavējoties tiek aizstāts ar jaunu. Laiks, kas nepieciešams ierīces atjaunošanai (remontam), tiek sadalīts saskaņā ar eksponenciālu likumu ar parametru (ja tipa elements) un (ja tipa elements) neizdodas.
Šajā piemērā nejaušais process, kas notiek sistēmā, ir Markova process ar nepārtrauktu laiku un ierobežotu stāvokļu kopu:
Visi elementi ir darba kārtībā, sistēma darbojas,
Tipa elements ir bojāts, sistēma tiek remontēta,
Tipa elements ir bojāts, sistēma tiek remontēta.
Iespējamo pāreju diagramma ir parādīta attēlā. 19.7.2.
Patiešām, procesam ir Markova īpašums. Pieņemsim, piemēram, šobrīd sistēma atrodas stāvoklī (funkcionāla). Tā kā katra elementa bezatteices darbības laiks ir orientējošs, katra elementa bojājuma brīdis nākotnē nav atkarīgs no tā, cik ilgi tas jau ir nostrādājis (kad tas tika piegādāts). Tāpēc iespējamība, ka sistēma nākotnē paliks stāvoklī vai atstās to, nav atkarīga no procesa “aizvēstures”. Tagad pieņemsim, ka šobrīd sistēma atrodas stāvoklī (tipa elements ir bojāts). Tā kā remonta laiks ir arī orientējošs, varbūtība, ka remonts tiks pabeigts jebkurā laikā pēc tam, nav atkarīgs no tā, kad remonts sākās un kad tika piegādāti atlikušie (apkalpojamie) elementi. Tādējādi process ir Markovian.
Ņemiet vērā, ka elementa darbības laika eksponenciālais sadalījums un remonta laika eksponenciālais sadalījums ir būtiski nosacījumi, bez kuriem process nebūtu Markovisks. Patiešām, pieņemsim, ka elementa pareizas darbības laiks tiek sadalīts nevis pēc eksponenciāla likuma, bet pēc kāda cita likuma - piemēram, pēc viendabīga blīvuma likuma apgabalā. Tas nozīmē, ka katrs elements ir garantēts, ka darbosies noteiktu laika periodu, un posmā no līdz tas jebkurā brīdī var sabojāties ar tādu pašu varbūtības blīvumu. Pieņemsim, ka kādā brīdī elements darbojas pareizi. Acīmredzot, varbūtība, ka elements kādā brīdī nākotnē neizdosies, ir atkarīga no tā, cik sen elements tika uzstādīts, t.i., tas ir atkarīgs no iepriekšējās vēstures, un process nebūs Markovian.
Līdzīga situācija ir ar remonta laiku; ja tas nav indikatīvs un elements šobrīd tiek remontēts, tad atlikušais remonta laiks ir atkarīgs no tā, kad tas sākās; process atkal nebūs Markovisks.
Kopumā eksponenciālajam sadalījumam ir īpaša loma Markova nejaušo procesu teorijā ar nepārtrauktu laiku. Ir viegli pārbaudīt, vai stacionārā Markova procesā laiks, kurā sistēma paliek jebkurā stāvoklī, vienmēr tiek sadalīts pēc eksponenciāla likuma (ar parametru, kas, vispārīgi runājot, ir atkarīgs no šī stāvokļa). Patiešām, pieņemsim, ka šobrīd sistēma atrodas stāvoklī un ir bijusi tajā kādu laiku iepriekš. Saskaņā ar Markova procesa definīciju jebkura notikuma iespējamība nākotnē nav atkarīga no iepriekšējās vēstures; jo īpaši varbūtībai, ka sistēma laika gaitā izies no stāvokļa, nevajadzētu būt atkarīgai no tā, cik daudz laika sistēma jau ir pavadījusi šajā stāvoklī. Līdz ar to laiks, kad sistēma paliek stāvoklī, jāsadala pēc eksponenciāla likuma.
Gadījumā, ja process, kas notiek fiziskajā sistēmā ar saskaitāmu stāvokļu kopu un nepārtrauktu laiku, ir Markova, šo procesu var aprakstīt, izmantojot parastos diferenciālvienādojumus, kuros nezināmās funkcijas ir stāvokļa varbūtības. Šādu vienādojumu sastādīšanu un atrisināšanu demonstrēsim turpmāk, izmantojot vienkāršas rindu sistēmas piemēru.
Nejaušs process ir nejaušu mainīgo kopa vai saime, kuras vērtības tiek indeksētas ar laika parametru. Piemēram, skolēnu skaits klasē, atmosfēras spiediens vai temperatūra šajā klasē kā laika funkcija ir nejauši procesi.
Nejaušie procesi tiek plaši izmantoti sarežģītu stohastisko sistēmu izpētē kā adekvāti šādu sistēmu funkcionēšanas matemātiskie modeļi.
Pamatjēdzieni nejaušiem procesiem ir jēdzieni procesa stāvoklis Un pāreja to no viena stāvokļa uz otru.
Tiek izsauktas mainīgo lielumu vērtības, kas apraksta nejaušo procesu noteiktā laikā stāvoklinejaušiprocess. Nejaušs process veic pāreju no viena stāvokļa uz otru, ja mainīgo vērtības, kas nosaka vienu stāvokli, mainās uz vērtībām, kas nosaka citu stāvokli.
Gadījuma procesa iespējamo stāvokļu (stāvokļa telpas) skaits var būt ierobežots vai bezgalīgs. Ja iespējamo stāvokļu skaits ir ierobežots vai saskaitāms (visiem iespējamajiem stāvokļiem var piešķirt kārtas numurus), tad nejaušo procesu sauc process ar diskrētiem stāvokļiem. Piemēram, klientu skaitu veikalā, klientu skaitu bankā dienas laikā raksturo nejauši procesi ar diskrētiem stāvokļiem.
Ja mainīgie, kas apraksta gadījuma procesu, var iegūt jebkuras vērtības no ierobežota vai bezgalīga nepārtraukta intervāla, un tāpēc stāvokļu skaits ir nesaskaitāms, tad nejaušo procesu sauc process ar nepārtrauktiem stāvokļiem. Piemēram, gaisa temperatūra dienas laikā ir nejaušs process ar nepārtrauktiem stāvokļiem.
Nejaušiem procesiem ar diskrētiem stāvokļiem raksturīgas pēkšņas pārejas no viena stāvokļa uz otru, savukārt procesos ar nepārtrauktiem stāvokļiem pārejas ir gludas. Tālāk mēs aplūkosim tikai procesus ar diskrētiem stāvokļiem, kurus bieži sauc ķēdes.
Apzīmēsim ar g(t) ir nejaušs process ar diskrētiem stāvokļiem un iespējamām vērtībām g(t), t.i. iespējamie ķēdes stāvokļi, - caur simboliem E 0 , E 1 , E 2 , … . Dažkārt diskrēto stāvokļu apzīmēšanai tiek izmantoti skaitļi 0, 1, 2,... no naturālās rindas.
Nejaušs process g(t) tiek saukts processArdiskrētslaiks, ja procesa pārejas no stāvokļa uz stāvokli ir iespējamas tikai stingri definētos, iepriekš fiksētos laika momentos t 0 , t 1 , t 2 , … . Ja procesa pāreja no stāvokļa uz stāvokli ir iespējama jebkurā iepriekš nezināmā brīdī, tad sauc nejaušu procesu processar nepārtrauktulaiks. Pirmajā gadījumā ir acīmredzams, ka laika intervāli starp pārejām ir deterministiski, bet otrajā tie ir nejauši mainīgie.
Diskrētā laika process notiek vai nu tad, ja ar šo procesu aprakstītās sistēmas struktūra ir tāda, ka tās stāvokļi var mainīties tikai iepriekš noteiktos laika punktos, vai arī tad, kad tiek pieņemts, ka procesa (sistēmas) aprakstīšanai pietiek ar zināt stāvokļus noteiktos laika momentos. Tad šos brīžus var skaitīt un var runāt par valsti E i kādā brīdī t i .
Nejaušus procesus ar diskrētiem stāvokļiem var attēlot kā pāreju (vai stāvokļu) grafiku, kurā virsotnes atbilst stāvokļiem, bet orientētas lokas atbilst pārejām no viena stāvokļa uz otru. Ja no valsts E i ir iespējama pāreja tikai uz vienu stāvokli E j, tad šis fakts tiek atspoguļots pārejas grafikā ar loku, kas vērsts no virsotnes E i uz augšu E j(1. att., a). Pārejas no viena stāvokļa uz vairākiem citiem stāvokļiem un no vairākiem stāvokļiem uz vienu stāvokli atspoguļojas pārejas grafikā, kā parādīts 1., b un 1., c attēlā.
