Definīcija 7.1. Tiek saukta visu plaknes punktu kopa, kurai attālumu summa līdz diviem fiksētiem punktiem F 1 un F 2 ir noteikta nemainīga vērtība elipse.
Elipses definīcija sniedz šādu tās ģeometriskās uzbūves metodi. Mēs nofiksējam divus punktus F 1 un F 2 plaknē un apzīmējam nenegatīvu konstantu vērtību ar 2a. Lai attālums starp punktiem F 1 un F 2 ir 2c. Iedomāsimies, ka punktos F 1 un F 2, piemēram, izmantojot divas adatas, tiek fiksēts nestiepjams pavediens ar garumu 2a. Ir skaidrs, ka tas ir iespējams tikai ≥ c. Izvelkot pavedienu ar zīmuli, novelciet līniju, kas būs elipse (7.1. att.).
Tātad aprakstītā kopa nav tukša, ja a ≥ c. Ja a = c, elipse ir segments ar galiem F 1 un F 2, un kad c = 0, t.i. Ja elipses definīcijā norādītie fiksētie punkti sakrīt, tas ir aplis ar rādiusu a. Atmetot šos deģenerētos gadījumus, mēs parasti pieņemsim, ka a > c > 0.
Fiksētos punktus F 1 un F 2 elipses 7.1. definīcijā (skat. 7.1. att.) sauc elipses perēkļi, attālums starp tiem, kas norādīts ar 2c, - fokusa attālums, un segmenti F 1 M un F 2 M, kas savieno patvaļīgu elipses punktu M ar tā fokusiem, ir fokusa rādiusi.
Elipses formu pilnībā nosaka fokusa attālums |F 1 F 2 | = 2c un parametrs a, un tā atrašanās vieta plaknē - punktu pāris F 1 un F 2.
No elipses definīcijas izriet, ka tā ir simetriska attiecībā pret līniju, kas iet cauri fokusiem F 1 un F 2, kā arī attiecībā pret līniju, kas sadala nogriezni F 1 F 2 uz pusēm un ir tai perpendikulāra. (7.2. att., a). Šīs līnijas sauc elipses asis. To krustošanās punkts O ir elipses simetrijas centrs, un to sauc elipses centrs, un elipses krustpunktus ar simetrijas asīm (7.2. att. punkti A, B, C un D, a) - elipses virsotnes.
Tiek izsaukts numurs a elipses puslielākā ass, un b = √(a 2 - c 2) - tā mazā ass. Ir viegli redzēt, ka c > 0 puslielākā ass a ir vienāda ar attālumu no elipses centra līdz tām virsotnēm, kas atrodas uz vienas ass ar elipses fokusiem (virsotnes A un B 7.2. attēlā, a), un daļēji mazā ass b ir vienāda ar attālumu no centra elipses līdz divām citām tās virsotnēm (virsotnēm C un D 7.2. attēlā, a).
Elipses vienādojums. Aplūkosim kādu elipsi plaknē ar fokusiem punktos F 1 un F 2, galvenajā ass 2a. Lai 2c ir fokusa attālums, 2c = |F 1 F 2 |
Izvēlēsimies taisnstūra koordinātu sistēmu Oxy plaknē tā, lai tās izcelsme sakristu ar elipses centru un tās fokuss būtu uz x-ass(7.2. att., b). Tādu koordinātu sistēmu sauc kanonisks attiecīgajai elipsei, un atbilstošie mainīgie ir kanonisks.
Izvēlētajā koordinātu sistēmā fokusiem ir koordinātas F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Izmantojot formulu attālumam starp punktiem, rakstām nosacījumu |F 1 M| + |F 2 M| = 2a koordinātēs:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Šis vienādojums ir neērts, jo tajā ir divi kvadrātveida radikāļi. Tātad pārveidosim to. Pārvietosim otro radikāli vienādojumā (7.2) uz labā puse un kvadrātā:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
Atverot iekavas un ienesot līdzīgus terminus, mēs iegūstam
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
kur ε = c/a. Atkārtojam kvadrātēšanas darbību, lai noņemtu otro radikāli: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 vai, ņemot vērā ievadītā parametra ε vērtību, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Tā kā a 2 - c 2 = b 2 > 0, tad
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4.)
Vienādojumu (7.4) apmierina visu elipsē esošo punktu koordinātas. Bet, atvasinot šo vienādojumu, tika izmantotas sākotnējā vienādojuma (7.2) neekvivalentas transformācijas - divi kvadrāti, kas noņem kvadrātveida radikāļus. Vienādojuma sadalīšana kvadrātā ir līdzvērtīga transformācija, ja abām pusēm ir lielumi ar vienādu zīmi, taču mēs to nepārbaudījām savās transformācijās.
Mēs varam izvairīties no pārveidojumu līdzvērtības pārbaudes, ja ņemam vērā sekojošo. Punktu pāris F 1 un F 2, |F 1 F 2 | = 2c, plaknē definē elipsi saimi ar perēkļiem šajos punktos. Katrs plaknes punkts, izņemot nogriežņa F 1 F 2 punktus, pieder kādai norādītās saimes elipsei. Šajā gadījumā divas elipses nekrustojas, jo fokusa rādiusu summa unikāli nosaka konkrētu elipsi. Tātad aprakstītā elipšu saime bez krustojumiem aptver visu plakni, izņemot segmenta F 1 F 2 punktus. Apskatīsim punktu kopu, kuru koordinātas apmierina vienādojumu (7.4) ar doto parametra a vērtību. Vai šo kopu var sadalīt pa vairākām elipsēm? Daži kopas punkti pieder elipsei ar puslielo asi a. Lai šajā kopā ir punkts, kas atrodas uz elipses ar puslielo asi a. Tad šī punkta koordinātas pakļaujas vienādojumam
tie. vienādojumi (7.4) un (7.5) ir vispārīgi risinājumi. Tomēr ir viegli pārbaudīt, vai sistēma
ã ≠ a nav risinājumu. Lai to izdarītu, pietiek izslēgt, piemēram, x no pirmā vienādojuma:
kas pēc transformācijām noved pie vienādojuma
kurai nav atrisinājumu ã ≠ a, jo . Tātad, (7.4) ir vienādojums elipsei ar puslielo asi a > 0 un daļēji mazāko asi b =√(a 2 - c 2) > 0. To sauc kanoniskais elipses vienādojums.
Elipses skats. Iepriekš apskatītā elipses konstruēšanas ģeometriskā metode sniedz pietiekamu priekšstatu par izskats elipse. Bet elipses formu var izpētīt arī, izmantojot tās kanonisko vienādojumu (7.4). Piemēram, pieņemot, ka y ≥ 0, var izteikt y caur x: y = b√(1 - x 2 /a 2) un, izpētījis šo funkciju, izveidot tās grafiku. Ir vēl viens veids, kā izveidot elipsi. Apli ar rādiusu a ar centru elipses (7.4) kanoniskās koordinātu sistēmas sākumā apraksta ar vienādojumu x 2 + y 2 = a 2. Ja tas ir saspiests ar koeficientu a/b > 1 gar y ass, tad jūs iegūstat līkni, kas aprakstīta ar vienādojumu x 2 + (ya/b) 2 = a 2, t.i., elipse.
Piezīme 7.1. Ja to pašu apli saspiež ar koeficientu a/b
Elipses ekscentriskums. Elipses fokusa attāluma attiecību pret tās galveno asi sauc elipses ekscentriskums un apzīmē ar ε. Par doto elipsi
kanoniskais vienādojums (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Ja (7.4) parametri a un b ir saistīti ar nevienādību a
Kad c = 0, kad elipse pārvēršas aplī, un ε = 0. Citos gadījumos 0
Vienādojums (7.3) ir līdzvērtīgs (7.4) vienādojumam, jo vienādojumi (7.4) un (7.2) ir līdzvērtīgi. Tāpēc arī elipses vienādojums ir (7.3). Turklāt sakarība (7.3) ir interesanta, jo sniedz vienkāršu, bez radikāļiem formulu garumam |F 2 M| viens no elipses punkta M(x; y) fokusa rādiusiem: |F 2 M| = a + εx.
Līdzīgu formulu otrajam fokusa rādiusam var iegūt no simetrijas apsvērumiem vai atkārtojot aprēķinus, kuros pirms vienādojuma (7.2) kvadrātā pirmais radikāls tiek pārnests uz labo pusi, nevis otrais. Tātad jebkuram elipses punktam M(x; y) (sk. 7.2. att.)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
un katrs no šiem vienādojumiem ir elipses vienādojums.
Piemērs 7.1. Atradīsim elipses ar puslielo asi 5 un ekscentricitāti 0,8 kanonisko vienādojumu un konstruēsim to.
Zinot elipses puslielo asi a = 5 un ekscentricitāti ε = 0,8, atradīsim tās pusmazo asi b. Tā kā b = √(a 2 - c 2) un c = εa = 4, tad b = √(5 2 - 4 2) = 3. Tātad kanoniskajam vienādojumam ir forma x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Lai konstruētu elipsi, ir ērti uzzīmēt taisnstūri ar centru kanoniskās koordinātu sistēmas sākumpunktā, kura malas ir paralēlas elipses simetrijas asīm un vienādas ar tai atbilstošajām asīm (Zīm. 7.4). Šis taisnstūris krustojas ar
elipses asis tās virsotnēs A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), tajā ierakstīta pati elipse. Attēlā 7.4 parāda arī elipses perēkļus F 1,2 (±4; 0).
Elipses ģeometriskās īpašības. Pārrakstīsim pirmo vienādojumu (7.6) kā |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Ņemiet vērā, ka a/ε - x vērtība a > c ir pozitīva, jo fokuss F 1 nepieder elipsei. Šī vērtība atspoguļo attālumu līdz vertikālajai līnijai d: x = a/ε no punkta M(x; y), kas atrodas pa kreisi no šīs līnijas. Elipses vienādojumu var uzrakstīt kā
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Tas nozīmē, ka šī elipse sastāv no tiem plaknes punktiem M(x; y), kuriem fokusa rādiusa garuma F 1 M attiecība pret attālumu līdz taisnei d ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar ε (att. 7.5).
Taisnei d ir “dubults” — vertikālā taisne d, kas ir simetriska pret d attiecībā pret elipses centru, kas iegūta ar vienādojumu x = -a/ε. Attiecībā uz d elipse ir aprakstīta tāpat kā attiecībā uz d. Tiek izsauktas abas līnijas d un d elipses virzieni. Elipses virzieni ir perpendikulāri elipses simetrijas asij, uz kuras atrodas tās perēkļi, un atrodas attālumā no elipses centra attālumā a/ε = a 2 /c (sk. 7.5. att.).
Attālumu p no virziena līdz tai tuvākajam fokusam sauc elipses fokusa parametrs. Šis parametrs ir vienāds ar
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Elipsei ir vēl viena svarīga ģeometriskā īpašība: fokusa rādiusi F 1 M un F 2 M veido vienādus leņķus ar elipses pieskari punktā M (7.6. att.).
Šim īpašumam ir skaidrs fiziskā nozīme. Ja gaismas avots tiek novietots fokusā F 1, tad no šī fokusa izplūstošais stars pēc atstarošanas no elipses iet pa otro fokusa rādiusu, jo pēc atstarošanas tas būs tādā pašā leņķī pret līkni kā pirms atstarošanas. Tādējādi visi stari, kas izplūst no fokusa F 1, tiks koncentrēti otrajā fokusā F 2 un otrādi. Pamatojoties uz šo interpretāciju, šo īpašumu sauc elipses optiskā īpašība.
Definīcija. Elipse ir plaknes punktu ģeometriskais lokuss, kura attālumu summa no diviem dotajiem šīs plaknes punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība (ar nosacījumu, ka šī vērtība ir lielāka par attālumu starp fokusiem). .
Apzīmēsim fokusus caur attālumu starp tiem - caur , un konstantu vērtību, vienāds ar summu attālumi no katra elipses punkta līdz perēkļiem, cauri (atbilstoši nosacījumam).
Konstruēsim Dekarta koordinātu sistēmu tā, lai perēkļi būtu uz abscisu ass, un koordinātu sākumpunkts sakristu ar nogriežņa vidu (44. att.). Tad fokusiem būs šādas koordinātas: fokuss pa kreisi un labais fokuss. Atvasināsim elipses vienādojumu mūsu izvēlētajā koordinātu sistēmā. Šim nolūkam apsveriet patvaļīgu elipses punktu. Pēc elipses definīcijas attālumu summa no šī punkta līdz fokusam ir vienāda ar:
Izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem, mēs iegūstam
Lai vienkāršotu šo vienādojumu, mēs to rakstām formā
Tad abas vienādojuma puses kvadrātā iegūstam
vai pēc acīmredzamiem vienkāršojumiem:
Tagad mēs atkal kvadrātā abas vienādojuma puses, pēc tam mums ir:
vai pēc identiskiem pārveidojumiem:
Tā kā saskaņā ar nosacījumu elipses definīcijā skaitlis ir pozitīvs. Iepazīstinām ar apzīmējumu
Tad vienādojumam būs šāda forma:
Pēc elipses definīcijas jebkura tās punkta koordinātas atbilst (26) vienādojumam. Taču (29) vienādojums ir (26) vienādojuma sekas. Līdz ar to to apmierina arī jebkura elipses punkta koordinātas.
Var parādīt, ka punktu koordinātas, kas neatrodas uz elipses, neapmierina (29) vienādojumu. Tādējādi vienādojums (29) ir elipses vienādojums. To sauc par elipses kanonisko vienādojumu.
Nosakīsim elipses formu, izmantojot tās kanonisko vienādojumu.
Pirmkārt, pievērsīsim uzmanību tam, ka šis vienādojums satur tikai pat grādi x un y. Tas nozīmē, ka, ja kāds punkts pieder elipsei, tad tajā ir arī punkts, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret abscisu asi, un punkts, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret ordinātu asi. Tādējādi elipsē ir divas savstarpēji perpendikulāras simetrijas asis, kuras mūsu izvēlētajā koordinātu sistēmā sakrīt ar koordinātu asīm. Turpmāk elipses simetrijas asis sauksim par elipses asīm, bet to krustošanās punktu – par elipses centru. Ass, uz kuras atrodas elipses perēkļi (in šajā gadījumā x-ass) sauc par fokusa asi.
Vispirms noteiksim elipses formu pirmajā ceturksnī. Lai to izdarītu, atrisināsim vienādojumu (28) y:
Ir skaidrs, ka šeit , jo y ņem iedomātas vērtības. Palielinoties no 0 līdz a, y samazinās no b līdz 0. Elipses daļa, kas atrodas pirmajā ceturksnī, būs loks, ko ierobežo punkti B (0; b) un atrodas uz koordinātu asīm (45. att.). Tagad izmantojot elipses simetriju, mēs nonākam pie secinājuma, ka elipsei ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 45.
Elipses krustošanās punktus ar asīm sauc par elipses virsotnēm. No elipses simetrijas izriet, ka bez virsotnēm elipsei ir vēl divas virsotnes (skat. 45. att.).
Elipses segmentus un savienojošās pretējās virsotnes, kā arī to garumus sauc attiecīgi par elipses galveno un mazo asi. Skaitļus a un b sauc attiecīgi par elipses lielo un mazo pusasi.
Puses attāluma starp fokusiem un elipses daļēji galveno asi attiecību sauc par elipses ekscentriskumu, un to parasti apzīmē ar burtu:
Tā kā , Elipses ekscentriskums ir mazāks par vienotību: Ekscentriskums raksturo elipses formu. Patiešām, no formulas (28) izriet, ka, jo mazāka ir elipses ekscentricitāte, jo mazāk tās pusmazās ass b atšķiras no puslielās ass a, t.i., jo mazāka ir elipse izstiepta (gar fokusa asi).
Ierobežojošā gadījumā rezultāts ir aplis ar rādiusu a: , vai . Tajā pašā laikā elipses perēkļi it kā saplūst vienā punktā – apļa centrā. Apļa ekscentriskums ir nulle:
Saikni starp elipsi un apli var noteikt no cita skatu punkta. Parādīsim, ka elipsi ar pusasīm a un b var uzskatīt par apļa ar rādiusu a projekciju.
Aplūkosim divas plaknes P un Q, kas savā starpā veido tādu leņķi a, kuram (46. att.). Konstruēsim koordinātu sistēmu P plaknē un Q plaknē sistēmu Oxy ar kopīgu sākumu O un kopēju abscisu asi, kas sakrīt ar plakņu krustošanās līniju. Aplūkosim apli plaknē P
ar centru sākuma punktā un rādiusu, kas vienāds ar a. Ļaut būt patvaļīgi izvēlētam apļa punktam, tā projekcijai Q plaknē un punkta M projekcijai uz Ox asi. Parādīsim, ka punkts atrodas uz elipses ar pusasīm a un b.
Otrās kārtas līknes plaknē ir līnijas, kas noteiktas ar vienādojumiem, kuros mainīgā koordinātas x Un y ir ietverti otrajā pakāpē. Tie ietver elipsi, hiperbolu un parabolu.
Otrās kārtas līknes vienādojuma vispārējā forma ir šāda:
Kur A, B, C, D, E, F- skaitļi un vismaz viens no koeficientiem A, B, C nav vienāds ar nulli.
Risinot uzdevumus ar otrās kārtas līknēm, visbiežāk tiek ņemti vērā elipses, hiperbolas un parabolas kanoniskie vienādojumi. Uz tiem ir viegli pāriet no vispārējiem vienādojumiem; tam tiks veltīts elipses problēmu 1. piemērs.
Elipse, kas dota ar kanonisko vienādojumu
Elipses definīcija. Elipse ir visu plaknes punktu kopa, kurā attālumu summa līdz punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība, kas ir lielāka par attālumu starp fokusiem.
Fokusi ir norādīti, kā parādīts attēlā zemāk.
Elipses kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma:
Kur a Un b (a > b) - pusasu garumi, t.i., puse no elipses nogriezto segmentu garumiem uz koordinātu asīm.
Taisnā līnija, kas iet caur elipses perēkļiem, ir tās simetrijas ass. Vēl viena elipses simetrijas ass ir taisna līnija, kas iet caur segmenta vidu, kas ir perpendikulāra šim segmentam. Punkts PARšo līniju krustpunkts kalpo kā elipses simetrijas centrs vai vienkārši elipses centrs.
Elipses abscisu ass krustojas punktos ( a, PAR) Un (- a, PAR), un ordinātu ass ir punktos ( b, PAR) Un (- b, PAR). Šos četrus punktus sauc par elipses virsotnēm. Segmentu starp elipses virsotnēm uz x ass sauc par tās galveno asi, bet uz ordinātu asi - par tās mazo asi. To segmentus no elipses augšdaļas līdz centram sauc par pusasīm.
Ja a = b, tad elipses vienādojums iegūst formu . Šis ir apļa ar rādiusu vienādojums a, un aplis ir īpašs gadījums elipse. Elipsi var iegūt no rādiusa apļa a, ja to saspiežat a/b reizes pa asi Oy .
1. piemērs. Pārbaudiet, vai ir tāda līnija, kas dota ar vispārīgu vienādojumu 
, elipse.
Risinājums. Veicam pārvērtības vispārējais vienādojums. Mēs izmantojam brīvā vārda pārnešanu uz labo pusi, vienādojuma dalījumu pa jēdzieniem ar to pašu skaitli un daļskaitļu samazināšanu:
Atbilde. Pārveidojumu rezultātā iegūtais vienādojums ir elipses kanoniskais vienādojums. Tāpēc šī līnija ir elipse.
2. piemērs. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja tās pusasis ir attiecīgi 5 un 4.
Risinājums. Mēs aplūkojam elipses un aizvietotāja kanoniskā vienādojuma formulu: puslielākā ass ir a= 5, pusmazākā ass ir b= 4. Mēs iegūstam elipses kanonisko vienādojumu:
Punkti un , kas norādīti zaļā krāsā uz galvenās ass, kur
tiek saukti triki.
sauca ekscentriskums elipse.
Attieksme b/a raksturo elipses “noplakšanu”. Jo mazāka šī attiecība, jo vairāk elipse ir izstiepta gar galveno asi. Tomēr elipses pagarinājuma pakāpi biežāk izsaka ar ekscentriskumu, kuras formula ir dota iepriekš. Dažādām elipsēm ekscentricitāte svārstās no 0 līdz 1, vienmēr paliekot mazāka par vienību.
3. piemērs. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja attālums starp fokusiem ir 8 un galveno asi ir 10.
Risinājums. Izdarīsim dažus vienkāršus secinājumus:
Ja galvenā ass ir vienāda ar 10, tad tās puse, t.i., pusass a = 5 ,
Ja attālums starp perēkļiem ir 8, tad skaitlis c fokusa koordinātas ir vienādas ar 4.
Mēs aizstājam un aprēķinām:
Rezultāts ir elipses kanoniskais vienādojums:
4. piemērs. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja tās galvenā ass ir 26 un ekscentricitāte ir .
Risinājums. Kā izriet gan no galvenās ass lieluma, gan no ekscentricitātes vienādojuma, elipses puslielākā ass a= 13. No ekscentricitātes vienādojuma izsakām skaitli c, kas nepieciešams, lai aprēķinātu mazākās pusass garumu:
.
Mēs aprēķinām mazākās pusass garuma kvadrātu:
Mēs sastādām elipses kanonisko vienādojumu:
5. piemērs. Nosakiet elipses fokusus, kas doti ar kanonisko vienādojumu.
Risinājums. Atrodiet numuru c, kas nosaka elipses fokusa pirmās koordinātas:
.
Mēs iegūstam elipses fokusus:
6. piemērs. Elipses perēkļi atrodas uz ass Vērsis simetriski attiecībā uz izcelsmi. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja:
1) attālums starp fokusiem ir 30, un galvenā ass ir 34
2) mazā ass 24, un viens no fokusiem atrodas punktā (-5; 0)
3) ekscentriskums, un viens no fokusiem atrodas punktā (6; 0)
Turpināsim kopīgi risināt elipses uzdevumus
Ja ir patvaļīgs elipses punkts (zīmējumā elipses augšējā labajā daļā norādīts zaļā krāsā) un ir attālums līdz šim punktam no fokusa, tad attālumu formulas ir šādas:
Katram elipsei piederošajam punktam attālumu summa no fokusiem ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar 2 a.
Līnijas, ko nosaka vienādojumi
tiek saukti direktores elipse (zīmējumā gar malām ir sarkanas līnijas).
No diviem iepriekš minētajiem vienādojumiem izriet, ka jebkuram elipses punktam
,
kur un ir šī punkta attālumi līdz virzieniem un .
7. piemērs. Dota elipse. Uzrakstiet vienādojumu tā virzieniem.
Risinājums. Apskatām virziena vienādojumu un atklājam, ka jāatrod elipses ekscentricitāte, t.i. Mums ir visi dati par to. Mēs aprēķinām:
.
Iegūstam elipses virzienu vienādojumu:
8. piemērs. Sastādiet elipses kanonisko vienādojumu, ja tās perēkļi ir punkti un virzieni ir taisnes.
Lekcijas par algebru un ģeometriju. 1. semestris.
Lekcija 15. Elipse.
Nodaļa 15. Elipse.
1. punkts. Pamatdefinīcijas.
Definīcija. Elipse ir plaknes GMT, attālumu summa līdz diviem fiksētiem plaknes punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība.
Definīcija. Attālumu no plaknes patvaļīga punkta M līdz elipses fokusam sauc par punkta M fokusa rādiusu.
Apzīmējumi: 
- elipses perēkļi, 
- punkta M fokusa rādiusi.
Pēc elipses definīcijas punkts M ir elipses punkts tad un tikai tad 
- nemainīga vērtība. Šo konstanti parasti apzīmē kā 2a:
.
(1)
ievērojiet, tas 
.
Pēc elipses definīcijas tās perēkļi ir fiksēti punkti, tāpēc attālums starp tiem ir arī konstanta vērtība noteiktai elipsei.
Definīcija. Attālumu starp elipses perēkļiem sauc par fokusa attālumu.
Apzīmējums: 
.
No trīsstūra 
tam seko 
, t.i.
.
Apzīmēsim ar b skaitli, kas vienāds ar 
, t.i.
.
(2)
Definīcija. Attieksme
(3)
sauc par elipses ekscentriskumu.
Ieviesīsim šajā plaknē koordinātu sistēmu, ko elipsei sauksim par kanonisku.
Definīcija. Asi, uz kuras atrodas elipses perēkļi, sauc par fokusa asi.
Konstruēsim elipsei kanonisko PDSC, skat. 2. att.
Mēs izvēlamies fokusa asi kā abscisu asi un zīmējam ordinātu asi caur segmenta vidu 
perpendikulāri fokusa asij.
Tad fokusiem ir koordinātas 
,
.
2. punkts. Elipses kanoniskais vienādojums.
Teorēma. Elipses kanoniskajā koordinātu sistēmā elipses vienādojumam ir šāda forma:
.
(4)
Pierādījums. Mēs veicam pierādīšanu divos posmos. Pirmajā posmā mēs pierādīsim, ka jebkura punkta koordinātas, kas atrodas uz elipses, atbilst vienādojumam (4). Otrajā posmā mēs pierādīsim, ka jebkurš (4) vienādojuma risinājums dod uz elipses esošā punkta koordinātas. No šejienes izriet, ka vienādojumu (4) apmierina tie un tikai tie koordinātu plaknes punkti, kas atrodas uz elipses. No tā un no līknes vienādojuma definīcijas izriet, ka (4) vienādojums ir elipses vienādojums.
1) Pieņemsim, ka punkts M(x, y) ir elipses punkts, t.i. tā fokusa rādiusu summa ir 2a:
.
Izmantosim formulu attālumam starp diviem punktiem koordinātu plaknē un izmantosim šo formulu, lai atrastu dotā punkta M fokusa rādiusus:
,
, no kurienes mēs iegūstam:
Pārvietosim vienu sakni uz vienādības labo pusi un kvadrātā:
Samazinot, mēs iegūstam:
Mēs piedāvājam līdzīgus, samazinām par 4 un noņemam radikāli:
.
Kvadrātēšana
Atveriet iekavas un saīsiniet par 
:
kur mēs iegūstam:
Izmantojot vienādību (2), mēs iegūstam:
.
Pēdējo vienādību dalot ar 
, iegūstam vienlīdzību (4) utt.
2) Tagad skaitļu pāris (x, y) izpilda vienādojumu (4) un lai M(x, y) ir atbilstošais punkts koordinātu plaknē Oxy.
Tad no (4) izriet:
.
Mēs aizstājam šo vienādību punkta M fokusa rādiusu izteiksmē:
.
Šeit mēs izmantojām vienādību (2) un (3).
Tādējādi 
. Tāpat 
.
Tagad ņemiet vērā, ka no vienlīdzības (4) izriet, ka
vai 
utt. 
, tad seko nevienlīdzība:
.
No šejienes savukārt izriet, ka
vai 
Un
,
.
(5)
No vienādībām (5) izriet, ka 
, t.i. punkts M(x, y) ir elipses punkts utt.
Teorēma ir pierādīta.
Definīcija. Vienādojumu (4) sauc par elipses kanonisko vienādojumu.
Definīcija. Elipses kanoniskās koordinātu asis sauc par elipses galvenajām asīm.
Definīcija. Elipses kanoniskās koordinātu sistēmas izcelsmi sauc par elipses centru.
3. punkts. Elipses īpašības.
Teorēma. (Elipses īpašības.)
1. Kanoniskajā koordinātu sistēmā elipsei viss
elipses punkti atrodas taisnstūrī
,
.
2. Punkti atrodas uz
3. Elipse ir līkne, kas ir simetriska attiecībā pret
to galvenās asis.
4. Elipses centrs ir tās simetrijas centrs.
Pierādījums. 1, 2) Tūlīt izriet no elipses kanoniskā vienādojuma.
3, 4) M(x, y) ir elipses patvaļīgs punkts. Tad tā koordinātas atbilst (4) vienādojumam. Bet tad arī punktu koordinātas atbilst (4) vienādojumam, un tāpēc tie ir elipses punkti, no kuriem izriet teorēmas apgalvojumi.
Teorēma ir pierādīta.
Definīcija. Lielumu 2a sauc par elipses galveno asi, lielumu a sauc par elipses puslielo asi.
Definīcija. Lielumu 2b sauc par elipses mazo asi, lielumu b sauc par elipses puslielo asi.
Definīcija. Elipses krustpunktus ar tās galvenajām asīm sauc par elipses virsotnēm.
komentēt. Elipsi var izveidot šādi. Lidmašīnā mēs “ieliekam naglu fokusa punktos” un piestiprinām pie tiem vītnes garumu 
. Tad ņemam zīmuli un ar to stiepjam pavedienu. Tad mēs pārvietojam zīmuļa vadu pa plakni, pārliecinoties, ka pavediens ir nostiepts.
No ekscentriskuma definīcijas izriet, ka
Fiksēsim skaitli a un novirzīsim skaitli c uz nulli. Tad plkst 
,
Un 
. Ierobežojumā, ko mēs iegūstam
vai 
– apļa vienādojums.
Ļaujiet mums tagad virzīt 
. Tad 
,
un mēs redzam, ka robežā elipse deģenerējas taisnās līnijas segmentā 
3. attēla apzīmējumā.
4. punkts. Elipses parametru vienādojumi.
Teorēma. Ļaujiet 
– patvaļīgi reālie skaitļi. Tad vienādojumu sistēma
,
(6)
ir elipses parametriski vienādojumi elipses kanoniskajā koordinātu sistēmā.
Pierādījums. Pietiek pierādīt, ka (6) vienādojumu sistēma ir līdzvērtīga (4) vienādojumam, t.i. tiem ir vienāds risinājumu kopums.
1) Pieņemsim, ka (x, y) ir patvaļīgs sistēmas (6) risinājums. Sadaliet pirmo vienādojumu ar a, otro ar b, izgrieziet abus vienādojumus kvadrātā un pievienojiet:
.
Tie. jebkurš sistēmas (6) risinājums (x, y) apmierina (4) vienādojumu.
2) Un otrādi, lai pāris (x, y) ir (4) vienādojuma risinājums, t.i.
.
No šīs vienādības izriet, ka punkts ar koordinātām 
atrodas uz apļa ar vienības rādiusu, kura centrs atrodas sākumā, t.i. ir punkts uz trigonometriskā apļa, kuram atbilst noteikts leņķis 
:
No sinusa un kosinusa definīcijas uzreiz izriet, ka
,
, Kur 
, no kā izriet, ka pāris (x, y) ir sistēmas (6) risinājums utt.
Teorēma ir pierādīta.
komentēt. Elipsi var iegūt, vienmērīgi "saspiežot" apli ar rādiusu a pret abscisu asi.
Ļaujiet 
– apļa vienādojums, kura centrs atrodas sākuma punktā. Apļa “saspiešana” uz abscisu asi ir nekas cits kā koordinātu plaknes transformācija, kas tiek veikta saskaņā ar šādu noteikumu. Katram punktam M(x, y) mēs saistām punktu tajā pašā plaknē 
, Kur 
,
- kompresijas pakāpe.
Ar šo transformāciju katrs riņķa punkts “pāriet” uz citu plaknes punktu, kuram ir tāda pati abscisa, bet mazāka ordināta. Izteiksim punkta veco ordinātu caur jauno:
un vienādojumā aizstājiet apļus:
.
No šejienes mēs iegūstam:
.
(7)
No tā izriet, ka, ja pirms “saspiešanas” transformācijas punkts M(x, y) atrodas uz apļa, t.i. tā koordinātes apmierināja riņķa vienādojumu, tad pēc “saspiešanas” transformācijas šis punkts “pārveidojās” par punktu 
, kuras koordinātas apmierina elipses vienādojumu (7). Ja vēlamies iegūt elipses vienādojumu ar pusmazo asib, tad jāņem kompresijas koeficients
.
5. punkts. Elipses pieskares.
Teorēma. Ļaujiet 
– patvaļīgs elipses punkts
.
Tad šīs elipses pieskares vienādojums punktā 
ir šāda forma:
.
(8)
Pierādījums. Pietiek ņemt vērā gadījumu, kad pieskares punkts atrodas koordinātu plaknes pirmajā vai otrajā ceturksnī: 
. Elipses vienādojumam augšējā pusplaknē ir šāda forma:
.
(9)
Izmantosim pieskares vienādojumu funkcijas grafikam 
punktā 
:
Kur 
– dotās funkcijas atvasinājuma vērtība punktā 
. Elipsi pirmajā ceturksnī var uzskatīt par funkcijas (8) grafiku. Atradīsim tā atvasinājumu un vērtību pieskares punktā:
,
. Šeit mēs izmantojām to, ka pieskares punkts 
ir elipses punkts un tāpēc tā koordinātes apmierina elipses vienādojumu (9), t.i.
.
Atvasinātā atvasinājuma atrasto vērtību aizstājam ar pieskares vienādojumu (10):
,
kur mēs iegūstam:
Tas nozīmē:
Sadalīsim šo vienādību ar 
:
.
Atliek to atzīmēt 
, jo punkts 
pieder elipsei, un tās koordinātas atbilst tās vienādojumam.
Līdzīgā veidā pieskares vienādojums (8) tiek pierādīts pieskares punktā, kas atrodas koordinātu plaknes trešajā vai ceturtajā ceturksnī.
Un visbeidzot, mēs varam viegli pārbaudīt, vai vienādojums (8) dod pieskares vienādojumu punktos 
,
:
vai 
, Un 
vai 
.
Teorēma ir pierādīta.
6. punkts. Elipses spoguļa īpašība.
Teorēma. Elipses pieskarei ir vienādi leņķi ar pieskares punkta fokusa rādiusiem.
Ļaujiet 
- kontaktpunkts, 
,
– pieskares punkta fokusa rādiusi, P un Q – fokusa projekcijas uz pieskares punktu, kas pievilktas elipsei punktā 
.
Teorēma nosaka, ka
.
(11)
Šo vienlīdzību var interpretēt kā no fokusa atbrīvotas elipses gaismas stara krišanas un atstarošanas leņķu vienādību. Šo īpašību sauc par elipses spoguļa īpašību:
No elipses fokusa atbrīvotais gaismas stars pēc atstarošanas no elipses spoguļa iziet cauri citam elipses fokusam.
Teorēmas pierādījums. Lai pierādītu leņķu vienādību (11), mēs pierādām trīsstūru līdzību 
Un 
, kurā puses 
Un 
būs līdzīgi. Tā kā trīsstūri ir taisnleņķi, pietiek ar to, lai pierādītu vienādību
Elipse ir plaknes punktu ģeometriskais lokuss, attālumu summa no katra no tiem līdz diviem dotajiem punktiem F_1, un F_2 ir nemainīga vērtība (2a), kas ir lielāka par attālumu (2c) starp tiem. dotos punktus(3.36. att., a). Šī ģeometriskā definīcija izsaka elipses fokusa īpašība.
Elipses fokusa īpašība
Punktus F_1 un F_2 sauc par elipses fokusiem, attālums starp tiem 2c=F_1F_2 ir fokusa attālums, segmenta F_1F_2 vidus O ir elipses centrs, skaitlis 2a ir elipses galvenās ass garums. elipse (attiecīgi skaitlis a ir elipses puslielākā ass). Segmentus F_1M un F_2M, kas savieno patvaļīgu elipses punktu M ar tā perēkļiem, sauc par punkta M fokusa rādiusiem. Nozaru, kas savieno divus elipses punktus, sauc par elipses akordu.
Attiecību e=\frac(c)(a) sauc par elipses ekscentriskumu. No definīcijas (2a>2c) izriet, ka 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Elipses ģeometriskā definīcija, kas izsaka tā fokusa īpašību, ir līdzvērtīga tās analītiskajai definīcijai - taisnei, ko dod elipses kanoniskais vienādojums:
Patiešām, ieviesīsim taisnstūra koordinātu sistēmu (3.36.c att.). Par koordinātu sistēmas sākumpunktu ņemam elipses centru O; par abscisu asi ņemam taisnu līniju, kas iet caur fokusu (fokusa asi vai elipses pirmo asi) (pozitīvais virziens uz tās ir no punkta F_1 uz punktu F_2); pieņemsim taisnu līniju, kas ir perpendikulāra fokusa asij un iet caur elipses centru (otrā elipses asi) par ordinātu asi (virziens uz ordinātu ass ir izvēlēts tā, lai taisnstūra koordinātu sistēma Oxy būtu pareiza) .
Izveidosim vienādojumu elipsei, izmantojot tās ģeometrisko definīciju, kas izsaka fokusa īpašību. Izvēlētajā koordinātu sistēmā mēs nosakām fokusu koordinātas F_1(-c,0),~F_2(c,0). Patvaļīgam punktam M(x,y), kas pieder elipsei, mums ir:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Ierakstot šo vienādību koordinātu formā, mēs iegūstam:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Mēs pārvietojam otro radikāli uz labo pusi, kvadrātā abas vienādojuma puses un iegūstam līdzīgus terminus:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\bultiņa pa kreisi ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Dalot ar 4, vienādojuma abas puses kvadrātā:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\bultiņa pa kreisi~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Norādījis b=\sqrt(a^2-c^2)>0, saņemam b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Sadalot abas puses ar a^2b^2\ne0 , nonākam pie kanoniskais vienādojums elipse:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Tāpēc izvēlētā koordinātu sistēma ir kanoniska.
Ja elipses perēkļi sakrīt, tad elipse ir aplis (3.36.,6. att.), jo a=b. Šajā gadījumā jebkura taisnstūra koordinātu sistēma ar sākumu punktā būs kanoniska O\equiv F_1\equiv F_2, un vienādojums x^2+y^2=a^2 ir apļa vienādojums, kura centrs atrodas punktā O un rādiuss ir vienāds ar a.
Ar argumentāciju iekšā apgrieztā secībā, var parādīt, ka visi punkti, kuru koordinātas atbilst vienādojumam (3.49), un tikai tie pieder pie punktu ģeometriskā lokusa, ko sauc par elipsi. Citiem vārdiem sakot, elipses analītiskā definīcija ir līdzvērtīga tās ģeometriskajai definīcijai, kas izsaka elipses fokusa īpašību.
Elipses direktorijas īpašums
Elipses virzieni ir divas taisnes, kas iet paralēli kanoniskās koordinātu sistēmas ordinātu asij tādā pašā attālumā \frac(a^2)(c) no tās. Pie c=0, kad elipse ir aplis, virzienu nav (var pieņemt, ka virzieni atrodas bezgalībā).
Elipse ar ekscentriskumu 0
Faktiski, piemēram, fokusam F_2 un virzienam d_2 (3.37.,6. att.) nosacījums \frac(r_2)(\rho_2)=e var rakstīt koordinātu formā:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Atbrīvošanās no iracionalitātes un aizstāšana e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, mēs nonākam pie kanoniskā elipses vienādojuma (3.49). Līdzīgu argumentāciju var veikt fokusam F_1 un režisoram d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Elipses vienādojums polāro koordinātu sistēmā
Elipses vienādojumam polārajā koordinātu sistēmā F_1r\varphi (3.37. att., c un 3.37 (2)) ir forma
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kur p=\frac(b^2)(a) ir elipses fokusa parametrs.
Faktiski par polāro koordinātu sistēmas polu izvēlēsimies elipses kreiso fokusu F_1, bet par polāro asi – staru F_1F_2 (3.37. att., c). Tad patvaļīgam punktam M(r,\varphi) saskaņā ar elipses ģeometrisko definīciju (fokusa īpašību) mums ir r+MF_2=2a. Mēs izsakām attālumu starp punktiem M(r,\varphi) un F_2(2c,0) (sk.):
\begin(līdzināts)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(līdzināts)
Tāpēc koordinātu formā elipses vienādojumam F_1M+F_2M=2a ir forma
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Mēs izdalām radikāli, kvadrātā abas vienādojuma puses, dalām ar 4 un uzrāda līdzīgus terminus:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Izsakiet polāro rādiusu r un veiciet nomaiņu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftright arrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftright arrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Koeficientu ģeometriskā nozīme elipses vienādojumā
Atradīsim elipses (skat. 3.37.a att.) krustošanās punktus ar koordinātu asīm (elipses virsotnēm). Aizvietojot vienādojumā y=0, atrodam elipses krustošanās punktus ar abscisu asi (ar fokusa asi): x=\pm a. Tāpēc elipsē esošā fokusa ass segmenta garums ir vienāds ar 2a. Šo segmentu, kā minēts iepriekš, sauc par elipses galveno asi, un skaitlis a ir elipses daļēji galvenā asi. Aizstājot x=0, iegūstam y=\pm b. Tāpēc elipses otrās ass segmenta garums elipsē ir vienāds ar 2b. Šo segmentu sauc par elipses mazo asi, un skaitlis b ir elipses pusmazā asi.
Tiešām, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, un vienādība b=a tiek iegūta tikai gadījumā c=0, kad elipse ir aplis. Attieksme k=\frac(b)(a)\leqslant1 sauc par elipses kompresijas pakāpi.
Piezīmes 3.9
1. Taisnes x=\pm a,~y=\pm b koordinātu plaknē ierobežo galveno taisnstūri, kura iekšpusē atrodas elipse (sk. 3.37. att., a).
2. Elipsi var definēt kā punktu lokuss, kas iegūts, saspiežot apli līdz tā diametram.
Patiešām, apļa vienādojums taisnstūra koordinātu sistēmā Oxy ir x^2+y^2=a^2. Saspiežot uz x asi ar koeficientu 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Aizvietojot vienādojumā apļus x=x" un y=\frac(1)(k)y", iegūstam vienādojumu punkta M(x,y) attēla M"(x",y") koordinātām. ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} jo b=k\cdot a . Šis ir elipses kanoniskais vienādojums. 3. Koordinātu asis (kanoniskās koordinātu sistēmas) ir elipses simetrijas asis (sauktas par elipses galvenajām asīm), un tās centrs ir simetrijas centrs. Patiešām, ja punkts M(x,y) pieder elipsei . tad punkti M"(x,-y) un M""(-x,y), kas ir simetriski punktam M attiecībā pret koordinātu asīm, arī pieder pie vienas elipses. 4. No elipses vienādojuma polāro koordinātu sistēmā r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(skat. 3.37. att., c), tiek precizēta fokusa parametra ģeometriskā nozīme - tā ir puse no elipses horda garuma, kas iet caur tās fokusu perpendikulāri fokusa asij (r=p plkst. \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ekscentriskums e raksturo elipses formu, proti, starpību starp elipsi un apli. Jo lielāks e, jo izstieptāka ir elipse, un jo tuvāk e ir nullei, jo tuvāk elipse atrodas aplī (3.38.a att.). Patiešām, ņemot vērā, ka e=\frac(c)(a) un c^2=a^2-b^2 , mēs iegūstam e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} kur k ir elipses saspiešanas pakāpe, 0 6. Vienādojums \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 pie a 7. Vienādojums \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definē elipsi ar centru punktā O"(x_0,y_0), kuras asis ir paralēlas koordinātu asīm (3.38. att., c). Šis vienādojums tiek reducēts uz kanonisko, izmantojot paralēlo tulkošanu (3.36). Kad a=b=R vienādojums (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 apraksta apli ar rādiusu R, kura centrs atrodas punktā O"(x_0,y_0) . Elipses parametru vienādojums kanoniskajā koordinātu sistēmā ir forma \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Patiešām, aizstājot šīs izteiksmes vienādojumā (3.49), mēs nonākam pie galvenās trigonometriskās identitātes \cos^2t+\sin^2t=1. Piemērs 3.20. Uzzīmējiet elipsi \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanoniskajā koordinātu sistēmā Oxy. Atrodiet pusasis, fokusa attālumu, ekscentriskumu, saspiešanas pakāpi, fokusa parametru, virziena vienādojumus. Risinājums. Salīdzinot doto vienādojumu ar kanonisko, nosakām pusasis: a=2 - puslielā ass, b=1 - elipses pusmazsī ass. Uzbūvējam galveno taisnstūri ar malām 2a=4,~2b=2 ar centru izcelsmē (3.39. att.). Ņemot vērā elipses simetriju, mēs to ievietojam galvenajā taisnstūrī. Ja nepieciešams, nosakiet dažu elipses punktu koordinātas. Piemēram, elipses vienādojumā aizstājot x=1, mēs iegūstam \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftright \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Tāpēc punkti ar koordinātām \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pieder elipsei. Kompresijas pakāpes aprēķināšana k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); fokusa attālums 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentriskums e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokusa parametrs p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Mēs veidojam virziena vienādojumus: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftright arrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Elipses parametru vienādojums
