Ņemot standarta skats$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, kurā kreisā puse attēlo kopējo diferenciāli kādai funkcijai $F\left(x,y\right)$, ko sauc par vienādojumu pilni diferenciāļi.

Kopējo diferenciāļu vienādojumu vienmēr var pārrakstīt kā $dF\left(x,y\right)=0$, kur $F\left(x,y\right)$ ir tāda funkcija, ka $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Integrēsim abas vienādojuma puses $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; nulles labās puses integrālis ir vienāds ar patvaļīgu konstanti $C$. Tādējādi kopīgs lēmumsšī vienādojuma implicītā formā ir forma $F\left(x,y\right)=C$.

Lai dotais diferenciālvienādojums būtu vienādojums kopējos diferenciāļos, ir nepieciešams un pietiekami, lai nosacījums $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ esi apmierināts. Ja norādītais nosacījums ir izpildīts, tad ir funkcija $F\left(x,y\right)$, kurai varam ierakstīt: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, no kuras iegūstam divas relācijas : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ un $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

Mēs integrējam pirmo relāciju $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ virs $x$ un iegūstam $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, kur $U\left(y\right)$ ir patvaļīga $y$ funkcija.

Atlasīsim to tā, lai būtu izpildīta otrā relācija $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Lai to izdarītu, mēs diferencējam iegūto relāciju $F\left(x,y\right)$ attiecībā pret $y$ un pielīdzinām rezultātu $Q\left(x,y\right)$. Mēs iegūstam: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\pa labi)$.

Tālākais risinājums ir:

• no pēdējās vienādības atrodam $U"\left(y\right)$;
• integrēt $U"\left(y\right)$ un atrast $U\left(y\right)$;
• aizstājiet $U\left(y\right)$ vienādībā $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ un visbeidzot iegūstam funkciju $F\left(x,y\right)$.

\

Mēs atklājam atšķirību:

Mēs integrējam $U"\left(y\right)$ virs $y$ un atrodam $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Atrodiet rezultātu: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Mēs rakstām vispārīgo risinājumu formā $F\left(x,y\right)=C$, proti:

Atrodiet konkrētu risinājumu $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, kur $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Daļējam risinājumam ir šāda forma: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Definīcija 8.4. Formas diferenciālvienādojums

Kur
sauc par kopējo diferenciālvienādojumu.

Ņemiet vērā, ka šāda vienādojuma kreisā puse ir kādas funkcijas kopējā diferenciāle
.

Kopumā vienādojumu (8.4) var attēlot kā

Vienādojuma (8.5) vietā mēs varam uzskatīt vienādojumu

,

kura atrisinājums ir (8.4) vienādojuma vispārējais integrālis. Tādējādi, lai atrisinātu (8.4) vienādojumu, ir jāatrod funkcija
. Saskaņā ar (8.4) vienādojuma definīciju mums ir

(8.6)

Funkcija
mēs meklēsim funkciju, kas atbilst vienam no šiem nosacījumiem (8.6):

Kur - patvaļīga funkcija, kas nav atkarīga no .

Funkcija
ir definēts tā, lai būtu izpildīts otrais izteiksmes nosacījums (8.6).

(8.7)

No izteiksmes (8.7) tiek noteikta funkcija
. Aizstājot to izteiksmē for
un iegūstiet sākotnējā vienādojuma vispārējo integrāli.

Problēma 8.3. Integrēt vienādojumu

Šeit
.

Tāpēc šis vienādojums pieder pie diferenciālvienādojumu veida kopējās diferenciālēs. Funkcija
mēs to meklēsim formā

.

Citā pusē,

.

Dažos gadījumos stāvoklis
var netikt izpildīts.

Tad šādus vienādojumus reducē līdz apskatāmajam veidam, reizinot ar tā saukto integrējošo koeficientu, kas vispārējs gadījums, ir tikai funkcija vai .

Ja kādam vienādojumam ir integrējošs faktors, kas ir atkarīgs tikai no , tad to nosaka pēc formulas

kur ir attiecības jābūt tikai funkcijai .

Tāpat integrējošais faktors ir atkarīgs tikai no , nosaka pēc formulas

kur ir attiecības
jābūt tikai funkcijai .

Mainīgā lieluma trūkums dotajās attiecībās, pirmajā gadījumā , bet otrajā - mainīgais , ir zīme, ka konkrētajam vienādojumam ir integrējošais faktors.

Problēma 8.4. Samaziniet šo vienādojumu līdz vienādojumam kopējās diferenciālēs.

.

Apsveriet attiecības:

.

Tēma 8.2. Lineārie diferenciālvienādojumi

Definīcija 8.5. Diferenciālvienādojums
tiek saukts par lineāru, ja tas ir lineārs attiecībā pret vēlamo funkciju , tā atvasinājums un nesatur vajadzīgās funkcijas un tās atvasinājuma reizinājumu.

Lineārā diferenciālvienādojuma vispārējo formu attēlo šāda sakarība:

(8.8)

Ja attiecībā (8.8) labā puse
, tad šādu vienādojumu sauc par lineāri viendabīgu. Gadījumā labā daļa
, tad šādu vienādojumu sauc par lineāri nehomogēnu.

Parādīsim, ka vienādojumu (8.8) var integrēt kvadrātā.

Pirmajā posmā mēs uzskatām lineāru viendabīgu vienādojumu.

Šāds vienādojums ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem. Tiešām,

;

/

Pēdējā sakarība nosaka lineāra viendabīga vienādojuma vispārējo atrisinājumu.

Lai atrastu vispārīgu risinājumu lineāram nehomogēna vienādojumam, tiek izmantota konstantes atvasinājuma variācijas metode. Metodes ideja ir tāda, ka lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējais risinājums ir tādā pašā formā kā atbilstošā homogēnā vienādojuma risinājums, bet patvaļīga konstante aizstāts ar kādu funkciju
tiks noteikts. Tātad mums ir:

(8.9)

Aizvietojot relācijā (8.8) atbilstošās izteiksmes
Un
, saņemam

Aizvietojot pēdējo izteiksmi attiecībā (8.9), iegūstam lineārā nehomogēnā vienādojuma vispārējo integrāli.

Tādējādi lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējo atrisinājumu nosaka divas kvadratūras: lineāra viendabīga vienādojuma vispārīgais risinājums un lineāra nehomogēna vienādojuma konkrētais risinājums.

Problēma 8.5. Integrēt vienādojumu

Tādējādi sākotnējais vienādojums pieder pie lineāro nehomogēnu diferenciālvienādojumu veida.

Pirmajā posmā mēs atradīsim vispārīgu risinājumu lineāram viendabīgam vienādojumam.

;

Otrajā posmā mēs nosakām lineārā nehomogēnā vienādojuma vispārējo atrisinājumu, kas atrodams formā

,

Kur
- funkcija, kas jānosaka.

Tātad mums ir:

Attiecību aizstāšana ar Un sākotnējā lineārā nehomogēnā vienādojumā mēs iegūstam:

;

;

.

Lineāra nehomogēna vienādojuma vispārējam risinājumam būs šāda forma:

.

Šajā tēmā mēs aplūkosim funkcijas atjaunošanas metodi no tās kopējā diferenciāļa, sniegsim piemērus problēmām ar pilnīga analīze risinājumus.

Gadās, ka diferenciālvienādojumi (DE) formā P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 kreisajā pusē var saturēt pilnīgus dažu funkciju diferenciāļus. Tad mēs varam atrast diferenciālvienādojuma vispārējo integrāli, ja vispirms rekonstruējam funkciju no tās kopējā diferenciāļa.

1. piemērs

Apsveriet vienādojumu P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Kreisajā pusē ir noteiktas funkcijas diferenciālis U(x, y) = 0. Lai to izdarītu, ir jāizpilda nosacījums ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Funkcijas U (x, y) = 0 kopējā diferenciāļa forma ir d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y. Ņemot vērā nosacījumu ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x mēs iegūstam:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Pārveidojot pirmo vienādojumu no iegūtās vienādojumu sistēmas, mēs varam iegūt:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkciju φ (y) varam atrast no iepriekš iegūtās sistēmas otrā vienādojuma:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Tādā veidā mēs atradām vēlamo funkciju U (x, y) = 0.

2. piemērs

Atrodiet vispārīgo risinājumu diferenciālvienādojumam (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

Risinājums

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Pārbaudīsim, vai nosacījums ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ir izpildīts:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Mūsu nosacījums ir izpildīts.

Pamatojoties uz aprēķiniem, varam secināt, ka sākotnējā diferenciālvienādojuma kreisā puse ir kādas funkcijas U (x, y) = 0 kopējā diferenciāle. Mums ir jāatrod šī funkcija.

Tā kā (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ir funkcijas U (x, y) = 0 kopējā diferenciāle, tad

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integrēsim sistēmas pirmo vienādojumu attiecībā pret x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Tagad mēs diferencējam iegūto rezultātu attiecībā uz y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

Pārveidojot sistēmas otro vienādojumu, iegūstam: ∂ U ∂ y = - 2 x y . Tas nozīmē, ka
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

kur C ir patvaļīga konstante.

Mēs iegūstam: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Vispārējais integrālis sākotnējais vienādojums ir x 3 3 - x y 2 + C = 0.

Apskatīsim citu metodi funkcijas atrašanai, izmantojot zināmu kopējo diferenciāli. Tas ietver līklīnijas integrāļa izmantošanu no fiksēta punkta (x 0, y 0) līdz punktam ar mainīgām koordinātām (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

Šādos gadījumos integrāļa vērtība nekādā veidā nav atkarīga no integrācijas ceļa. Par integrācijas ceļu varam ņemt lauztu līniju, kuras saites atrodas paralēli koordinātu asīm.

3. piemērs

Atrodiet vispārīgo atrisinājumu diferenciālvienādojumam (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

Risinājums

Pārbaudīsim, vai nosacījums ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ir izpildīts:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Izrādās, ka diferenciālvienādojuma kreiso pusi attēlo kādas funkcijas kopējā diferenciāle U (x, y) = 0. Lai atrastu šo funkciju, ir jāaprēķina punkta taisnes integrālis (1 ; 1) pirms tam (x, y). Ņemsim par integrācijas ceļu lauztu līniju, kuras posmi iet pa taisnu līniju y = 1 no punkta (1, 1) uz (x, 1) un pēc tam no punkta (x, 1) uz (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Mēs esam ieguvuši vispārīgu risinājumu diferenciālvienādojumam formā x y - x y 2 + C = 0.

4. piemērs

Nosakiet diferenciālvienādojuma y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 vispārīgo risinājumu.

Risinājums

Pārbaudīsim, vai nosacījums ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ir izpildīts.

Tā kā ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x, tad nosacījums netiks izpildīts. Tas nozīmē, ka diferenciālvienādojuma kreisā puse nav pilnīgs funkcijas diferenciālis. Šis ir diferenciālvienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem, un tā risināšanai ir piemēroti citi risinājumi.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Definīcija: formas vienādojums

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

kur kreisā puse ir divu mainīgo kādas funkcijas kopējā diferenciāle, to sauc par kopējo diferenciālvienādojumu.

Apzīmēsim šo divu mainīgo funkciju ar F(x,y). Tad vienādojumu (9) var pārrakstīt kā dF(x,y) = 0, un šim vienādojumam ir vispārīgs risinājums F(x,y) = C.

Dots formas (9) vienādojums. Lai noskaidrotu, vai tas ir kopējais diferenciālvienādojums, jums jāpārbauda, ​​vai izteiksme ir

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

divu mainīgo kādas funkcijas kopējā diferenciālis. Lai to izdarītu, jums jāpārbauda vienlīdzība

Pieņemsim, ka noteiktai izteiksmei (10) vienādība (11) ir izpildīta kādā vienkārši savienotā domēnā (S), un tāpēc izteiksme (10) ir kādas funkcijas F(x,y) kopējā diferenciāle (S) ).

Apsvērsim šādu šī antiatvasinājuma atrašanas metodi. Jāatrod tāda funkcija F(x,y), ka

kur funkcija (y) tiks definēta tālāk. No formulas (12) izriet, ka

visos reģiona punktos (S). Tagad atlasīsim funkciju (y), lai vienādība būtu spēkā

Lai to izdarītu, mēs pārrakstām mums nepieciešamo vienādību (14), aizstājot F(x,y) tās izteiksmi saskaņā ar formulu (12):

Diferencēsim attiecībā pret y zem integrāļa zīmes (to var izdarīt, jo P(x,y) un - nepārtrauktas funkcijas divi mainīgie):

Tā kā saskaņā ar (11), tad, aizstājot ar zem integrālās zīmes (16), mums ir:

Integrējot virs y, mēs atrodam pašu funkciju (y), kas ir konstruēta tā, ka ir izpildīta vienādība (14). Izmantojot vienādības (13) un (14), mēs to redzam

apgabalā (S). (18)

Piemērs 5. Pārbaudiet, vai dotais diferenciālvienādojums ir kopējais diferenciālvienādojums, un atrisiniet to.

Šis ir diferenciālvienādojums kopējos diferenciālos. Faktiski, ieceļot, mēs esam pārliecināti, ka

un tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums, lai izteiciens

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

ir kādas funkcijas U(x,y) kopējā diferenciāle. Turklāt šīs ir funkcijas, kas ir nepārtrauktas R.

Tāpēc, lai integrētu šo diferenciālvienādojumu, ir jāatrod funkcija, kurai diferenciālvienādojuma kreisā puse ir kopējā diferenciāle. Lai šāda funkcija ir U(x,y), tad

Integrējot kreiso un labo pusi virs x, mēs iegūstam:

Lai atrastu q(y), mēs izmantojam faktu, ka

Aizvietojot atrasto vērtību μ(y) ar (*), beidzot iegūstam funkciju U(x,y):

Sākotnējā vienādojuma vispārējam integrālim ir forma

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumu pamatveidi (turpinājums).

Lineārie diferenciālvienādojumi

Definīcija: pirmās kārtas lineārais vienādojums ir formas vienādojums

y" + P(x)y = f(x), (21)

kur P(x) un f(x) ir nepārtrauktas funkcijas.

Vienādojuma nosaukums ir izskaidrojams ar to, ka atvasinājums y" ir lineārā funkcija no y, tas ir, ja pārraksta vienādojumu (21) formā y" = - P(x) + f(x), tad labā puse satur y tikai uz pirmo pakāpi.

Ja f(x) = 0, tad vienādojums

yґ+ P(x) y = 0 (22)

sauc par lineāru viendabīgs vienādojums. Acīmredzot homogēns lineārais vienādojums ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem:

y" +P(x)y = 0; ,

Ja f(x) ? 0, tad vienādojums

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

sauc par lineāru nehomogēnu vienādojumu.

Kopumā (21) vienādojumā mainīgos nevar atdalīt.

(21) vienādojums tiek atrisināts šādi: mēs meklēsim risinājumu divu funkciju U(x) un V(x) reizinājuma formā:

Atradīsim atvasinājumu:

y" = U"V + UV" (25)

un aizstājiet šīs izteiksmes vienādojumā (1):

UV"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Sagrupēsim terminus kreisajā pusē:

UV"V + U = f(x). (26)

Uzliksim nosacījumu vienam no faktoriem (24), proti, pieņemsim, ka funkcija V(x) ir tāda, ka tā kvadrātiekavās (26) esošo izteiksmi pārvērš identiski par nulli, t.i. ka tas ir diferenciālvienādojuma risinājums

V" + P(x)V = 0. (27)

Šis ir vienādojums ar atdalāmiem mainīgajiem, no tā mēs atrodam V(x):

Tagad atradīsim tādu funkciju U(x), ka ar jau atrastu funkciju V(x) reizinājums U V ir (26) vienādojuma risinājums. Lai to izdarītu, ir nepieciešams, lai U(x) būtu vienādojuma risinājums

Tas ir atdalāms vienādojums, tāpēc

Aizvietojot atrastās funkcijas (28) un (30) formulā (4), iegūstam (21) vienādojuma vispārīgu risinājumu:

Tādējādi aplūkotā metode (Bernulli metode) samazina risinājumu lineārais vienādojums(21) divu vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem atrisinājumam.

6. piemērs. Atrodiet vienādojuma vispārējo integrāli.

Šis vienādojums nav lineārs attiecībā pret y un y", bet tas izrādās lineārs, ja mēs uzskatām x par vēlamo funkciju un y par argumentu. Patiešām, pārejot uz, mēs iegūstam

Lai atrisinātu iegūto vienādojumu, mēs izmantojam aizstāšanas metodi (Bernulli). Mēs meklēsim vienādojuma atrisinājumu formā x(y)=U(y)V(y), tad. Mēs iegūstam vienādojumu:

Izvēlēsimies funkciju V(y) tā, lai. Tad

Pirmās kārtas diferenciālvienādojums kopējos diferenciālos ir formas vienādojums:
(1) ,
kur vienādojuma kreisā puse ir kādas funkcijas U kopējā diferenciāle (x, y) no mainīgajiem x, y:
.
Kurā .

Ja tiek atrasta šāda funkcija U (x, y), tad vienādojums iegūst šādu formu:
dU (x, y) = 0.
Tās vispārējais integrālis ir:
U (x, y) = C,
kur C ir konstante.

Ja pirmās kārtas diferenciālvienādojums ir uzrakstīts tā atvasinājuma izteiksmē:
,
tad to ir viegli ieviest formā (1) . Lai to izdarītu, reiziniet vienādojumu ar dx. Tad . Rezultātā mēs iegūstam vienādojumu, kas izteikts ar diferenciāļiem:
(1) .

Diferenciālvienādojuma īpašība kopējos diferenciāļos

Lai vienādojums (1) bija vienādojums kopējos diferenciālos, tas ir nepieciešams un pietiekams, lai attiecība pastāvētu:
(2) .

Pierādījums

Turklāt mēs pieņemam, ka visas pierādījumā izmantotās funkcijas ir definētas un tām ir atbilstoši atvasinājumi dažos mainīgo x un y vērtību diapazonos. Punkts x 0, g 0 arī pieder šai zonai.

Pierādīsim nosacījuma (2) nepieciešamību.
Ļaujiet vienādojuma kreisajai pusei (1) ir kādas funkcijas U diferenciālis (x, y):
.
Tad
;
.
Tā kā otrais atvasinājums nav atkarīgs no diferenciācijas kārtības, tad
;
.
No tā izriet, ka . Nepieciešamības nosacījums (2) pierādīts.

Pierādīsim nosacījuma (2) pietiekamību.
Lai nosacījums ir izpildīts (2) :
(2) .
Parādīsim, ka ir iespējams atrast šādu funkciju U (x, y) ka tā atšķirība ir:
.
Tas nozīmē, ka pastāv šāda funkcija U (x, y), kas apmierina vienādojumus:
(3) ;
(4) .
Atradīsim šādu funkciju. Integrēsim vienādojumu (3) ar x no x 0 uz x, pieņemot, ka y ir konstante:
;
;
(5) .
Mēs atšķiram attiecībā pret y, pieņemot, ka x ir konstante un tiek piemērota (2) :

.
Vienādojums (4) tiks izpildīts, ja
.
Integrēt virs y no y 0 rotaļlieta:
;
;
.
Aizstāt iekšā (5) :
(6) .
Tātad, mēs esam atraduši funkciju, kuras diferenciālis
.
Pietiekamība ir pierādīta.

Formulā (6) , U (x 0, y 0) ir konstante - funkcijas U vērtība (x, y) punktā x 0, g 0. Tam var piešķirt jebkuru vērtību.

Kā atpazīt diferenciālvienādojumu kopējos diferenciāļos

Apsveriet diferenciālvienādojumu:
(1) .
Lai noteiktu, vai šis vienādojums ir kopējos diferenciālos, jums jāpārbauda nosacījums (2) :
(2) .
Ja tas ir spēkā, tad šis vienādojums ir kopējos diferenciālos. Ja nē, tad tas nav kopējais diferenciālvienādojums.

Piemērs

Pārbaudiet, vai vienādojums ir kopējos diferenciālos:
.

Risinājums

Šeit
, .
Mēs atšķiram attiecībā pret y, ņemot vērā x konstanti:


.
Atšķirsim


.
Tāpēc ka:
,
tad dotais vienādojums ir summāros diferenciālos.

Kopējo diferenciāļu diferenciālvienādojumu risināšanas metodes

Secīgās diferenciālās ekstrakcijas metode

Lielākā daļa vienkārša metode vienādojuma atrisināšana kopējos diferenciāļos ir diferenciāļa secīgas atlases metode. Lai to izdarītu, mēs izmantojam diferenciācijas formulas, kas rakstītas diferenciālā formā:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Šajās formulās u un v ir patvaļīgas izteiksmes, ko veido jebkura mainīgo kombinācija.

1. piemērs

Atrisiniet vienādojumu:
.

Risinājums

Iepriekš mēs noskaidrojām, ka šis vienādojums ir kopējos diferenciālos. Pārveidosim to:
(P1) .
Mēs atrisinām vienādojumu, secīgi izolējot diferenciāli.
;
;
;
;

.
Aizstāt iekšā (P1):
;
.

Atbilde

Secīgās integrācijas metode

Šajā metodē mēs meklējam funkciju U (x, y), kas apmierina vienādojumus:
(3) ;
(4) .

Integrēsim vienādojumu (3) x, ņemot vērā y konstantu:
.
Šeit φ (y)- patvaļīga y funkcija, kas ir jānosaka. Tā ir integrācijas konstante. Aizstāt vienādojumā (4) :
.
No šejienes:
.
Integrējot, mēs atrodam φ (y) un tādējādi U (x, y).

2. piemērs

Atrisiniet vienādojumu kopējos diferenciālos:
.

Risinājums

Iepriekš mēs noskaidrojām, ka šis vienādojums ir kopējos diferenciālos. Ieviesīsim šādu apzīmējumu:
, .
Meklēju funkciju U (x, y), kuras diferenciālis ir vienādojuma kreisā puse:
.
Pēc tam:
(3) ;
(4) .
Integrēsim vienādojumu (3) x, ņemot vērā y konstantu:
(P2)
.
Atšķirt attiecībā uz y:

.
Aizstāsim (4) :
;
.
Integrēsim:
.
Aizstāsim (P2):

.
Vienādojuma vispārējais integrālis:
U (x, y) = konst.
Mēs apvienojam divas konstantes vienā.

Atbilde

Integrācijas pa līkni metode

Funkcija U, ko nosaka attiecība:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
var atrast, integrējot šo vienādojumu pa līkni, kas savieno punktus (x 0, y 0) Un (x, y):
(7) .
Tāpēc ka
(8) ,
tad integrālis ir atkarīgs tikai no sākuma koordinātām (x 0, y 0) un galīgs (x, y) punktu un nav atkarīgs no līknes formas. No (7) Un (8) mēs atradām:
(9) .
Šeit x 0 un y 0 - pastāvīgs. Tāpēc U (x 0, y 0)- arī nemainīgs.

Šādas U definīcijas piemērs tika iegūts pierādījumā:
(6) .
Šeit integrācija tiek veikta vispirms pa segmentu, kas ir paralēls y asij no punkta (x 0 , y 0 ) līdz punktam (x 0, y). Pēc tam tiek veikta integrācija pa segmentu, kas ir paralēls x asij no punkta (x 0, y) līdz punktam (x, y) .

Vispārīgāk, jums ir jāattēlo līknes vienādojums, kas savieno punktus (x 0 , y 0 ) Un (x, y) parametru formā:
x 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
x 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
un integrēt pa t 1 no t 0 uz t.

Vienkāršākais veids, kā veikt integrāciju, ir segmenta savienojuma punkti (x 0 , y 0 ) Un (x, y). Šajā gadījumā:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Pēc aizstāšanas mēs iegūstam integrāli virs t of 0 pirms tam 1 .
Šī metode tomēr rada diezgan apgrūtinošus aprēķinus.

Atsauces:
V.V. Stepanovs, Diferenciālvienādojumu kurss, "LKI", 2015.