Saturs
Ievads.................................................. ...................................................... ........................ 2
1. Problēmas izklāsts................................................. .............................................. 3
2. Matemātiskie un algoritmiskie pamati uzdevuma risināšanai................... 5
2.1 Matricas determinants................................................ ..................................... 5
2.2 Gausa metode sistēmu risināšanai lineārie vienādojumi........................ 6
2.3. Gausa metode determinanta aprēķināšanai................................................ ......... 8
3. Funkcionālie modeļi un blokshēmas problēmas risināšanai................................................ 9
4. Problēmas risinājuma programmatūras realizācija................................................ ........ .. 11
5. Programmas izpildes piemērs................................................. ...................... 16
Secinājums.................................................. .................................................. ...... .18
Izmantoto avotu un literatūras saraksts................................................. ....... 19
Ievads
Daudzas problēmas, kas rodas ekonomiskajā izpētē, plānošanā un vadībā, matemātiski formulējot, ir problēmas, kurās nepieciešams atrisināt sistēmu algebriskie vienādojumi.
Vēsturiski pirmā, visizplatītākā metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai ir Gausa metode jeb metode secīga likvidēšana nezināms. Šīs metodes būtība ir tāda, ka ar secīgu nezināmo novēršanu šī sistēma pārvēršas par pakāpenisku (īpaši trīsstūrveida) sistēmu, kas līdzvērtīga šai sistēmai.
Praktiski risinot lineāro vienādojumu sistēmu ar Gausa metodi, ir ērtāk reducēt uz pakāpenisku formu nevis pašu vienādojumu sistēmu, bet gan šīs sistēmas paplašināto matricu, veicot elementāras transformācijas tās rindās. Transformācijas laikā iegūtās secīgās matricas parasti savieno ar ekvivalences zīmi. Šī metode (saukta arī par nezināmo vielu secīgas likvidēšanas metodi) ir zināma dažādas iespējas vairāk nekā 2000 gadus.
Papildus SLAE analītiskajam risinājumam tiek izmantota arī Gausa metode, lai atrastu matricu, kas ir apgriezta dotajai matricai, noteiktu matricas rangu un atrastu determinantu.
Šīs darbības mērķis kursa darbs ir determinanta aprēķināšanas īstenošana pēc Gausa eliminācijas metodes.
1. Problēmas izklāsts
Matricas determinanta aprēķināšana ietver Gausa algoritma palaišanu matricā, lai atrisinātu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmas. Algoritma izpildes rezultātā iegūstam diagonāles matricu, kuras determinants ir vienāds ar diagonāles elementu reizinājumu.
. ~. . .Aprēķiniet matricas determinantu, izmantojot Gausa eliminācijas metodi A.
.
Samazināsim matricu līdz diagonālajai formai, izmantojot Gausa metodi.
~.
Tad matricas determinants ir vienāds ar tās elementu reizinājumu pa diagonāli:
.Zīmi nosaka rindu apmaiņu skaits, tātad matricas determinants
.2. Matemātiskie un algoritmiskie pamati uzdevuma risināšanai
2.1. Matricas determinants
Ieviesīsim jebkuras kārtas kvadrātmatricas determinanta definīciju. Šī definīcija būs atkārtota, tas ir, lai noteiktu, kas ir n kārtas matricas determinants, jums jau jāzina, kas ir n-1 kārtas matricas determinants. Ņemiet vērā arī to, ka determinants pastāv tikai kvadrātveida matricām.
Kvadrātmatricas A determinants tiks apzīmēts ar
vai det A.Definīcija. Kvadrātveida matricas determinants
tiek izsaukts otrā pasūtījuma numurs
.
Noteicējs
n kārtas kvadrāta matrica,
, zvanīja uz numuru
ir n-1 kārtas matricas determinants, kas iegūts no matricas A, izdzēšot pirmo rindu un kolonnas numuru k. 2.2 Gausa metode lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai
Dota kvadrātmatrica A ar izmēru NxN. Ir nepieciešams aprēķināt tā determinantu.
Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai izmantosim Gausa metodes idejas.
Dotā sistēma:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2
an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn
Izpildīsim šādu algoritmu.
Pirmajā solī pirmajā kolonnā atradīsim elementu ar lielāko moduli, pirmajā rindā ievietosim vienādojumu ar šo elementu (apmainoties ar divām atbilstošajām matricas A rindām un diviem atbilstošajiem vektora B elementiem) , un tad mēs atņemsim šo vienādojumu no visiem pārējiem, lai pirmajā kolonnā visi elementi (izņemot pirmo) pārvērstos par nulli. Piemēram, pievienojot otrajai rindai, pirmo rindu reizinām ar -a21/a11, pievienojot trešajai - ar -a31/a11 utt.
Otrajā solī otrajā kolonnā, sākot no otrā elementa, atradīsim elementu ar lielāko absolūto vērtību, vienādojumu ar šo elementu ievietosim otrajā rindā un atņemsim šo vienādojumu no visiem pārējiem (ieskaitot pirmo ), lai otrajā kolonnā visi elementi (izņemot otro) būtu pagriezti uz nulli. Ir skaidrs, ka šī darbība nekādā veidā nemainīs pirmo kolonnu - galu galā no katras rindas mēs atņemsim otro rindu, kas reizināta ar noteiktu koeficientu, un otrajā rindā pirmajā kolonnā ir nulle.
Tie. i-tajā solī i-tajā kolonnā, sākot no i-tā elementa, atradīsim elementu ar lielāko absolūto vērtību, vienādojumu ar šo elementu ievietosim i-tajā rindā un atņemsim šo vienādojumu no visiem pārējiem. Ir skaidrs, ka tas neietekmēs visas iepriekšējās kolonnas (no pirmās līdz (i-1)).
Galu galā mēs reducēsim sistēmu līdz tā sauktajai diagonālajai formai:
Tie. esam atraduši sistēmas risinājumu.
Piezīme 1. Katrā iterācijā ir vismaz viens elements, kas nav nulle, pretējā gadījumā sistēmai būtu nulles determinants, kas ir pretrunā ar nosacījumu.
2. piezīme. Prasība, ka katrā solī jāizvēlas elements ar lielāko absolūto vērtību, ir ļoti svarīga metodes skaitliskās stabilitātes ziņā. Ja izvēlaties patvaļīgu elementu, kas nav nulle, tas var izraisīt milzīgu kļūdu, ja iegūtais risinājums vairākas reizes atšķiras no pareizā.
2.3. Gausa metode determinanta aprēķināšanai
Mēs veiksim tādas pašas darbības kā risinot lineāro vienādojumu sistēmu, izslēdzot tikai pašreizējās rindas dalīšanu ar a[i][i] (precīzāk, var veikt pašu dalīšanu, bet pieņemot, ka skaitlis tiek izņemts no noteicošās zīmes). Tad visas darbības, kuras veiksim ar matricu, nemainīs matricas determinanta vērtību, iespējams, izņemot zīmi (mainām tikai divas rindas, kas maina zīmi uz pretējo, vai pievienojam vienu rindu uz citu, kas nemaina vērtības noteicēju).
Bet matrica, kuru mēs nonākam pēc Gausa algoritma izpildes, ir diagonāla, un tās determinants ir vienāds ar diagonāles elementu reizinājumu. Zīmi, kā jau minēts, noteiks līniju apmaiņu skaits (ja tie ir nepāra, tad noteicēja zīme jāmaina uz pretējo). Tādējādi mēs varam izmantot Gausa algoritmu, lai aprēķinātu matricas determinantu O(N3).
Atliek tikai atzīmēt, ka, ja kādā brīdī mēs neatrodam elementu, kas nav nulle pašreizējā kolonnā, tad algoritmam jāapstājas un jāatgriež 0.
3. Funkcionālie modeļi un blokshēmas problēmas risināšanai
Problēmas risināšanas blokshēma ir parādīta 1. attēlā.
1. attēls – funkcijas DETERMINATE problēmas risināšanas blokshēma
4 Problēmas risinājuma programmatūras ieviešana
; FUNKCIJA, KAS APRĒĶINA DETERMINANTU
(DEFUN DETERMINANT (MATRIKSAS IZMĒRS)
;MAINĪGO DEKLARĒŠANA
;DETERMINANTS
(DEKLARĒT (ĪPAŠS DET))
;PALĪGMASVI UN MAINĪGIE
(DEKLARĒT (ĪPAŠĀ PAR))
(DEKLARĒT (ĪPAŠS R))
(DEKLARĒT (ĪPAŠS T_))
(DEKLARĒT (ĪPAŠAIS I))
(DEKLARĒT (ĪPAŠAIS II))
;*********************
(SETQ R (MAKE-ARRAY SIZE:ELEMENT-TYPE "FLOAT:INITIAL-ELEMENT 0))
((>= J (- 1. IZMĒRS))
;IZSLĒGT DALĪJUMU AR 0
(IF (= (AREF MATRIKS J J) 0)
(SETQ II (+ J 1))
;MEKLĒ RINDU, KURĀ JTH ELEMENTS NAV 0
((VAI (/= (AREF MATRIKS II J) 0) (= II (- 1. IZMĒRS))))
(SETQ II (+ II 1))
;JA TĀDAS VĒRNES NAV, DETERMINANTS IR 0
(IF (UN (= (AREF MATRIKS II J) 0) (= II (- 1. IZMĒRS))) (SETQ T_ 0))
Aprēķināsim determinantu, izmantojot Gausa metodi.
Metodes būtība ir šāda: determinants tiek reducēts līdz trīsstūrveida formai, izmantojot elementāras pārvērtības, un pēc tam tas ir vienāds ar elementu reizinājumu galvenajā diagonālē.
Metodes ideja ir šāda: dot trešās kārtas determinantu
elements 
jābūt vienādam 
, šim mēs sadalām pirmo rindiņu 
.
Mēs iegūstam formas noteicēju 
(2)
Atiestatīsim elementus pirmajā kolonnā, izņemot pirmo. Lai to izdarītu, no otrās rindas atņemiet pirmo rindu, reizinot ar 
, tad no trešās rindas mēs atņemam pirmo, reizinot ar 
. Mēs iegūstam formas noteicēju 
.
Apzīmēsim tā elementus ar burtu c
(3)
Tagad mums ir jāatiestata elements 
. Elements 
jābūt vienādam 
, lai to izdarītu, sadaliet otro rindiņu uz 
. Mēs iegūstam formas noteicēju 
.
.
Apzīmēsim tā elementus ar burtu t
(4)
Tagad mēs esam samazinājuši determinantu līdz trīsstūrveida formai, tagad tas ir vienāds ar 
.
Tagad aplūkosim to, izmantojot konkrētu piemēru.
4. piemērs: Aprēķināt determinantu 
Gausa metode.
Risinājums: samainiet pirmo un trešo rindu (aizvietojot divas kolonnas (rindas), determinants maina zīmi pret pretējo).
Saņemts 
No otrās rindas atņemam pirmo, reizinām ar 2, tad no trešās rindas atņemam pirmo, reizinām ar 3. Iegūstam 
Saņemts - 
§2.Matricas Matricu veidi
7. definīcija: Ja matricai ir m rindas un n kolonnas, tad to sauc dimensiju m 
n un rakstiet 
.
8. definīcija: Ja 
, tad matricu sauc par kvadrātu.
9. definīcija: Matricu, kas sastāv tikai no vienas rindas (kolonnas), sauc par rindu (kolonnas) matricu.
10. definīcija: Matricu, kas sastāv no nullēm, sauc par nulles matricu.
11. definīcija: Diagonālā matrica ir kvadrātveida matrica, kurā visi elementi, kas nepieder pie galvenās diagonāles, ir vienādi ar nulli.
12. definīcija: Identitātes matrica ir diagonāla matrica, kurā visi elementi galvenajā diagonālē ir vienādi ar vienu.
13. definīcija: Trīsstūrveida matrica ir kvadrātveida matrica, kurā elementi, kas atrodas vienā galvenās diagonāles pusē, ir vienādi ar nulli.
Operācijas ar matricām.
14. definīcija: Divas matricas tiek uzskatītas par vienādām, ja tām ir vienāds rindu un kolonnu skaits un vienādi atbilstošie elementi.
5. piemērs:
Matricas A un B ir vienādas, t.i. 
15. definīcija: Matricu A un B summa (starpība) ir matrica C, kurā katrs elements ir vienāds ar 
.
6. piemērs: Atrodi matricu 
, Ja
Risinājums:
Papildinājuma īpašības
A+B=B+A (komutatīva)
2 0 A+O=A, kur O ir nulles matrica
3 0 A+(B+C)=(A+B)+C (izplatošs)
4 0 A+(-A)=O, kur – A ir pretēja matrica
(t.i., elementiem ir pretējas zīmes)
16. definīcija: Matricas A reizinājums pēc skaitļa 
ir matrica, kas iegūta no dotās, visus tās elementus reizinot ar skaitli 
.
7. piemērs:
Matricas reizināšana
Šī darbība attiecas uz tā sauktajām saskaņotajām matricām.
17. definīcija: Tiek uzskatīts, ka matrica A atbilst matricai B, ja matricas A kolonnu skaits ir vienāds ar rindu skaitu matricā B.
8. piemērs:
Un 
- vienojās
Un 
- nekonsekventi
Un 
nekonsekventi
18. definīcija: Divu matricu A un B reizinājums ir matrica C, kuras katrs elements vienāds ar summu matricas A i rindas elementu un atbilstošo matricas B j-tās kolonnas elementu reizinājumus.
Ja matricai A ir dimensija 
, un matrica B 
, Tas 
.
9. piemērs: Reiziniet matricas
Risinot augstākās matemātikas uzdevumus, ļoti bieži rodas nepieciešamība aprēķināt matricas determinantu. Matricas determinants parādās lineārajā algebrā, analītiskajā ģeometrijā, matemātiskā analīze un citas augstākās matemātikas nozares. Tādējādi bez determinantu risināšanas prasmes vienkārši nav iespējams iztikt. Arī pašpārbaudei varat bez maksas lejupielādēt determinantu kalkulatoru, kas pats par sevi nemācīs atrisināt determinantus, taču tas ir ļoti ērti, jo vienmēr ir izdevīgi zināt pareizo atbildi!
Es nesniegšu stingru determinanta matemātisko definīciju, un kopumā es centīšos samazināt matemātisko terminoloģiju vairumam lasītāju. Šī raksta mērķis ir iemācīt jums atrisināt otrās, trešās un ceturtās kārtas noteicošos faktorus. Viss materiāls ir parādīts vienkāršā un pieejamā formā, un pat pilna (tukša) tējkanna augstākajā matemātikā, rūpīgi izpētot materiālu, spēs pareizi atrisināt noteicošos faktorus.
Praksē visbiežāk var atrast otrās kārtas determinantu, piemēram: un trešās kārtas determinantu, piemēram: 
.
Ceturtās kārtas noteicējs 
Tas arī nav antikvariāts, un mēs to aplūkosim nodarbības beigās.
Es ceru, ka visi saprot sekojošo: Skaitļi determinanta iekšienē dzīvo paši no sevis, un par atņemšanu nav ne runas! Ciparus nevar apmainīt!
(Jo īpaši, ir iespējams veikt determinanta rindu vai kolonnu pāru permutācijas, mainot tā zīmi, bet bieži tas nav nepieciešams - skatiet nākamo nodarbību Determinanta īpašības un tā secības samazināšana)
Tādējādi, ja ir dots kāds determinants, tad Mēs tajā neko neaiztiekam!
Apzīmējumi: Ja dota matrica 
, tad tā determinants tiek apzīmēts . Arī ļoti bieži tiek apzīmēts determinants Latīņu burts vai grieķu.
1)Ko nozīmē atrisināt (atrast, atklāt) noteicēju? Aprēķināt determinantu nozīmē ATRAST SKAITLU. Iepriekš minētajos piemēros esošās jautājuma zīmes ir pilnīgi parasti skaitļi.
2) Tagad atliek izdomāt KĀ atrast šo numuru? Lai to izdarītu, jums jāpiemēro noteikti noteikumi, formulas un algoritmi, kas tiks apspriesti tagad.
Sāksim ar determinantu "divi" ar "divi":
TAS JĀATGĀDĀ, vismaz studējot augstskolā augstāko matemātiku.
Tūlīt apskatīsim piemēru:
Gatavs. Pats galvenais – NEAPJŪTĪTIES ZĪMĒS.
Trīs reiz trīs matricas determinants var atvērt 8 veidos, 2 no tiem ir vienkārši un 6 ir normāli.
Sāksim ar diviem vienkāršus veidus
Līdzīgi kā noteicošajam divreiz divi, determinantu trīs reiz trīs var paplašināt, izmantojot formulu:
Formula ir gara, un neuzmanības dēļ ir viegli kļūdīties. Kā izvairīties no kaitinošām kļūdām? Šim nolūkam tika izgudrota otrā determinanta aprēķināšanas metode, kas faktiski sakrīt ar pirmo. To sauc par Sarrus metodi vai “paralēlo sloksņu” metodi.
Apakšējā līnija ir tāda, ka pa labi no determinanta piešķiriet pirmo un otro kolonnu un uzmanīgi zīmējiet līnijas ar zīmuli:
Reizinātāji, kas atrodas uz “sarkanajām” diagonālēm, ir iekļauti formulā ar “plus” zīmi.
Reizinātāji, kas atrodas uz “zilajām” diagonālēm, formulā ir iekļauti ar mīnusa zīmi:
Piemērs:
Salīdziniet abus risinājumus. Ir viegli saprast, ka tas ir TAS PATS, tikai otrajā gadījumā formulas faktori ir nedaudz pārkārtoti, un, pats galvenais, iespēja kļūdīties ir daudz mazāka.
Tagad apskatīsim sešus normāliem veidiem lai aprēķinātu determinantu
Kāpēc normāli? Tā kā vairumā gadījumu kvalifikatori ir jāatklāj šādā veidā.
Kā jūs pamanījāt, trīs reiz trīs determinantam ir trīs kolonnas un trīs rindas.
Noteicēju var atrisināt, to atverot pēc jebkuras rindas vai jebkuras kolonnas.
Tādējādi ir 6 metodes, visos gadījumos izmantojot tāda paša veida algoritms.
Matricas determinants ir vienāds ar rindas (kolonnas) elementu reizinājumu summu ar atbilstošo algebriskie papildinājumi. Baisi? Viss ir daudz vienkāršāk, mēs izmantosim nezinātnisku, bet saprotamu pieeju, kas pieejama pat cilvēkam, kas ir tālu no matemātikas.
Nākamajā piemērā mēs paplašināsim determinantu pirmajā rindā.
Šim nolūkam mums ir nepieciešama zīmju matrica: . Ir viegli pamanīt, ka zīmes ir sakārtotas šaha zīmē.
Uzmanību! Zīmju matrica ir mans izgudrojums. Šī koncepcija nav zinātnisks, tas nav jāizmanto galīgajā uzdevumu noformējumā, tas tikai palīdz izprast determinanta aprēķināšanas algoritmu.
Vispirms es atnesīšu pilnīgs risinājums. Mēs vēlreiz ņemam eksperimentālo determinantu un veicam aprēķinus:
UN galvenais jautājums: KĀ iegūt šo no noteicēja "trīs reiz trīs": 
?
Tātad, noteicošais faktors “trīs reiz trīs” ir saistīts ar trīs mazu determinantu atrisināšanu vai, kā tos sauc arī, MINOROVS. Iesaku atcerēties terminu, jo īpaši tāpēc, ka tas ir neaizmirstams: minor – mazs.
Kad ir izvēlēta determinanta sadalīšanas metode pirmajā rindā, ir skaidrs, ka viss griežas ap viņu:
Elementi parasti tiek skatīti no kreisās puses uz labo (vai no augšas uz leju, ja ir atlasīta kolonna)
Iesim, vispirms tiekam galā ar pirmo rindas elementu, tas ir, ar vienu:
1) No zīmju matricas mēs izrakstām atbilstošo zīmi: 
2) Tad mēs rakstām pašu elementu: 
3) GALĪGI izsvītrojiet rindu un kolonnu, kurā parādās pirmais elements: 
Atlikušie četri skaitļi veido noteicēju “divi pa divi”, ko sauc MINOR dotā elementa (vienības).
Pārejam pie otrā līnijas elementa.
4) No zīmju matricas mēs izrakstām atbilstošo zīmi:
5) Pēc tam ierakstiet otro elementu: 
6) GARĪGI izsvītrojiet rindu un kolonnu, kurā parādās otrais elements: 
Nu, pirmās rindas trešais elements. Nav oriģinalitātes:
7) No zīmju matricas mēs izrakstām atbilstošo zīmi: 
8) Pierakstiet trešo elementu: 
9) GARĪGI izsvītrojiet rindu un kolonnu, kurā ir trešais elements: 
Mēs ierakstām atlikušos četrus skaitļus mazā determinantā.
Atlikušās darbības nesagādā nekādas grūtības, jo mēs jau zinām, kā saskaitīt divus noteicošos faktorus. NEAPJŪTIES ZĪMĒS!
Līdzīgi determinantu var izvērst jebkurā rindā vai jebkurā kolonnā. Protams, visos sešos gadījumos atbilde ir vienāda.
Četri reiz četri determinantu var aprēķināt, izmantojot to pašu algoritmu.
Šajā gadījumā mūsu zīmju matrica palielināsies:
Nākamajā piemērā esmu paplašinājis determinantu saskaņā ar ceturto kolonnu:
Kā tas notika, mēģiniet to izdomāt pats. Papildus informācija nāks vēlāk. Ja kāds vēlas atrisināt determinantu līdz galam, pareizā atbilde ir: 18. Praksei labāk determinantu atrisināt pēc kādas citas kolonnas vai citas rindas.
Praktizēties, atklāt, veikt aprēķinus ir ļoti labi un noderīgi. Bet cik daudz laika jūs pavadīsit lielajā kvalifikācijas turnīrā? Vai nav ātrāka un uzticamāka veida? Es iesaku jums iepazīties ar efektīvas metodes determinantu aprēķināšana otrajā nodarbībā - Determinanta īpašības. Noteicēja secības samazināšana.
ESIET UZMANĪGI!
Šeit jūs varat bez maksas atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu Gausa metode tiešsaistē lieli izmēri kompleksos skaitļos ar ļoti detalizētu risinājumu. Mūsu kalkulators tiešsaistē var atrisināt gan parastās noteiktas, gan nenoteiktas lineāro vienādojumu sistēmas ar Gausa metodi, kurai ir bezgalīgi daudz risinājumu. Šajā gadījumā atbildē jūs saņemsiet dažu mainīgo atkarību caur citiem, brīviem. Varat arī pārbaudīt vienādojumu sistēmas konsekvenci tiešsaistē, izmantojot Gausa risinājumu.
Par metodi
Risinot lineāro vienādojumu sistēmu tiešsaistes metode Gauss tiek veiktas šādas darbības.
- Mēs rakstām paplašināto matricu.
- Faktiski risinājums ir sadalīts Gausa metodes soļos uz priekšu un atpakaļ. Gausa metodes tiešā pieeja ir matricas reducēšana uz pakāpenisku formu. Reverss Gausa metodi sauc par matricas samazināšanu īpašā pakāpeniskā formā. Bet praksē ērtāk ir nekavējoties nullēt to, kas atrodas gan virs, gan zem attiecīgā elementa. Mūsu kalkulators izmanto tieši šo pieeju.
- Ir svarīgi atzīmēt, ka, risinot ar Gausa metodi, matricā ir vismaz viena nulles rinda ar NAV nulli. labajā pusē(brīvo dalībnieku kolonna) norāda uz sistēmas nesaderību. Risinājums lineārā sistēmašajā gadījumā tas neeksistē.
Lai vislabāk saprastu, kā Gausa algoritms darbojas tiešsaistē, ievadiet jebkuru piemēru, atlasiet “ļoti detalizēts risinājums” un skatiet tā risinājumu tiešsaistē.
