Problēma 1.6. Grafiski atrodiet pārvietojumu un nobraukto ceļu t 1 = 5 ar materiāla punktu, kura kustība pa asi Ak! apraksta vienādojums X = 6 – 4t + t 2, kur visi daudzumi ir izteikti SI vienībās.
Risinājums. 1.5. uzdevumā mēs atradām (4) ātruma projekciju uz asi Ak!:
Šai izteiksmei atbilstošais ātruma grafiks parādīts 1.6. attēlā. Kustības projekcija uz asi Ak! vienāds ar trīsstūru laukumu algebrisko summu AOB Un BCD. Tā kā ātruma projekcija pirmajā sadaļā ir negatīva, trijstūra laukums AOBņemt ar mīnusa zīmi; un ātruma projekcija otrajā sadaļā ir pozitīva, tad trijstūra laukums BCDņem ar plus zīmi:
Tā kā ceļš ir trajektorijas garums un nevar samazināties, lai to atrastu, mēs pievienojam šo trīsstūru laukumus, vienlaikus uzskatot par pozitīvu ne tikai trīsstūra laukumu BCD, bet arī trīsstūris AOB:
Agrāk (skat. 1.5. uzdevumu) mēs šo ceļu atradām citādā veidā – analītiski.
Problēma 1.7. Attēlā 1,7, a parādīts grafiks par kāda ķermeņa koordinātu atkarību, kas virzās taisni pa asi Ak!, ik pa laikam. Diagrammas izliektās sadaļas ir parabolu daļas. Zīmējiet ātruma un paātrinājuma un laika grafikus.
Risinājums. Lai izveidotu ātruma un paātrinājuma grafikus, mēs iestatām saskaņā ar šo grafiku (1.7. att., A) ķermeņa kustību raksturs dažādos laika periodos.
Intervālā 0- t 1 koordinātu grafiks ir parabolas daļa, kuras zari ir vērsti uz augšu. Tāpēc vienādojumā
izsakoties vispārējs skats koordinātu atkarība X ik pa laikam t, koeficients pirms t 2 ir pozitīvs, t.i. A x > 0. Un tā kā parabola ir nobīdīta pa labi, tas nozīmē, ka v 0x < 0, т.е. тело имело начальную скорость, направленную противоположно направлению оси ОХ. В течение промежутка 0 – t 1 ķermeņa ātruma modulis vispirms samazinās līdz nullei, un tad ātrums maina virzienu uz pretējo un tā modulis palielinās līdz noteiktai vērtībai v 1. Ātruma grafiks šajā sadaļā ir taisnas līnijas segments, kas iet noteiktā leņķī pret asi t(1.7. att. b), un paātrinājuma grafiks ir horizontālas taisnes segments, kas atrodas virs laika ass (1.7. att., V). Parabolas virsotne attēlā. 1,7, A atbilst vērtībai v 0x= 0 attēlā. 1,7, b.
Pagaidām t 1 – t 2 ķermenis pārvietojās vienmērīgi ar ātrumu v 1 .
Pa vidu t 2 – t 3 koordinātu grafiks ir daļa no parabolas, kuras zari ir vērsti uz leju. Tāpēc šeit a x < 0, скорость тела убывает до нуля к моменту времени t 3, un starpposmā t 3 – t 4 ķermenis atrodas miera stāvoklī. Pēc tam noteiktā laika periodā t 4 – t 5 ķermenis pārvietojas vienmērīgi ar ātrumu v 2 collas otrā puse. Laika momentā t 5 tas sasniedz sākuma punktu un apstājas.
Ņemot vērā ķermeņa kustības raksturu, mēs izveidosim atbilstošus ātruma un paātrinājuma projekciju grafikus (1.7. att., b, c).
Problēma 1.8.Ļaujiet ātruma grafikam parādīties attēlā. 1.8. Pamatojoties uz šo grafiku, uzzīmējiet ceļa un laika grafiku.
Risinājums. Sadalīsim visu apskatāmo laika periodu trīs daļās: 1, 2, 3. 1. sadaļā ķermenis pārvietojas vienmērīgi paātrināti bez sākuma ātruma. Šīs sadaļas ceļa formulai ir forma
Kur A- ķermeņa paātrinājums.
Paātrinājums ir ātruma izmaiņu attiecība pret laika periodu, kurā šīs izmaiņas notika. Tas ir vienāds ar segmentu attiecību.
2. sadaļā ķermenis pārvietojas vienmērīgi ar ātrumu v iegūta līdz 1. sadaļas beigām. Vienveidīga kustība nesākās plkst sākuma moments laikā un šobrīd t 1. Šajā brīdī ķermenis jau ir šķērsojis ceļu. Ceļa atkarība no laika 2. sadaļai ir šāda:
3. sadaļā kustība ir vienmērīgi lēna. Šīs sadaļas ceļa formula ir šāda:
Kur A 1 – paātrinājums 3. sadaļā. Tas ir puse no paātrinājuma A 1. sadaļā, jo 3. sadaļa ir divreiz garāka nekā 1. sadaļa.
Izdarīsim secinājumus. 1. sadaļā ceļa grafiks izskatās kā parabola, 2. griezumā - taisne, 3. sadaļā - arī parabola, bet apgriezta (ar izliekto uz augšu) (skat. 1.9. att.).
Ceļa grafikā nedrīkst būt līkumu, tas ir attēlots kā gluda līnija, tas ir, parabolas ir konjugētas ar taisnu līniju. Tas izskaidrojams ar to, ka pieskares slīpuma leņķa tangensa pret laika asi nosaka ātruma vērtību laika momentā t, t.i. Pēc ceļa grafika pieskares slīpuma jūs varat atrast ķermeņa ātrumu vienā vai otrā laikā. Un tā kā ātruma grafiks ir nepārtraukts, no tā izriet, ka ceļa grafikā nav pārtraukumu.
Turklāt apgrieztās parabolas virsotnei jāatbilst laika momentam t 3. Parabolu virsotnēm jāatbilst momentiem 0 un t 3, jo šajos momentos ķermeņa ātrums ir nulle un ceļiem, kas pieskaras grafikam, šiem punktiem jābūt horizontāliem.
Ceļš, ko ķermenis nostaigājis laikā t 2, skaitliski vienāds ar laukumu figūras OABG, ko veido ātruma grafiks uz intervāla No 2 .
Problēma 1.9. Attēlā 1.10. attēlā parādīts kāda ķermeņa ātruma projekcijas grafiks, kas kustas taisni pa asi Ak!, ik pa laikam. Izveidojiet grafikus par paātrinājumu, pozīciju un ceļu pret laiku. Sākotnējā brīdī ķermenis atradās punktā X 0 = –3 m Visas vērtības ir norādītas SI vienībās.
Risinājums. Lai attēlotu paātrinājuma atkarību a x(t), noteiksim saskaņā ar grafiku v x(t) ķermeņa kustību raksturs dažādos laika periodos. Atcerēsimies to pēc definīcijas
kur ir ātruma projekcija , .
Laika intervālā c:
Šajā sadaļā un (zīmes ir vienādas), t.i. ķermenis pārvietojas ar vienmērīgu paātrinājumu.
Laika intervālā c:
tie. un (projekcijas zīmes ir pretējas) – kustība ir tikpat lēna.
C sadaļā ātruma projekcija, t.i. kustība notiek ass pozitīvajā virzienā Ak!.
C sadaļā ātruma projekcija ir tāda, ka ķermenis atrodas miera stāvoklī (un ).
Sadaļā c:
Un (zīmes tās pašas) – kustība vienmērīgi paātrināta, bet kopš , tad ķermenis virzās pret asi Ak!.
Pēc sestās sekundes ķermenis vienmērīgi () pārvietojas pret asi Ak!. izskatās kā parādīts attēlā. 1.11,.
G
Apsvērsim šādu problēmu risināšanu.
1. Caur dzīvnieka ķermeņa zonu iet strāvas impulss, kas laika gaitā mainās atbilstoši mA likumam. Impulsa ilgums 0,1 s. Nosakiet strāvas veikto darbu šajā laikā, ja sekcijas pretestība ir 20 kOhm. tĪsā laika intervālā d , kad strāva praktiski nemainās, pāri pretestībai R
.
darbs ir padarīts. Darbs tiks veikts visa pulsa laikā
Aizvietojot pašreizējo vērtību iegūtajā izteiksmē, mēs iegūstam. 
2. Punkta ātrums ir (m/s). Atrodi ceļu S tšķērsojis laika punkts
=4s pagājuši no kustības sākuma.
Atradīsim ceļu, ko nobraucis punkts bezgalīgi mazā laika periodā. Tā kā šajā laikā ātrumu var uzskatīt par nemainīgu, tad . Integrējot, mums ir a 3. Atrodiet šķidruma spiediena spēku uz vertikālas trīsstūrveida plāksnes ar pamatni un augstums h
iegremdēts šķidrumā tā, lai tā augšdaļa būtu uz virsmas.
Mēs novietosim koordinātu sistēmu, kā parādīts attēlā. 5. x Apsveriet horizontālu bezgalīgi mazu sloksni ar biezumu d x, kas atrodas patvaļīgā dziļumā . Ņemot šo sloksni kā taisnstūri, mēs atrodam tā pamatni E.F. . No trīsstūru līdzības Un ABC AEF
mēs saņemam
Tad sloksnes laukums ir Kopš spēka P (m/s). Atrodi ceļu, kura iegremdēšanas dziļums r, saskaņā ar Paskāla likumu ir vienāds ar
kur r ir šķidruma blīvums, g- gravitācijas paātrinājums, tad vēlamais spiediena spēks uz aplūkojamo laukumu d (m/s). Atrodi ceļu aprēķina pēc formulas
.
Tāpēc spiediena spēks Kopš spēkašķidrumi uz platformas . No trīsstūru līdzības
.
Atrisiniet problēmas.
5.41 Punkta ātrumu nosaka vienādojums 
cm/s. Atrodiet ceļu, ko nobraucis laika punkts t=5s pagājušas no kustības sākuma.
5.42 Ķermeņa ātrumu izsaka ar formulu m/s. Atrodiet ķermeņa noieto ceļu pirmajās trīs sekundēs pēc kustības sākuma.
5.43. Ķermeņa ātrumu nosaka vienādojums 
cm/s. Uz kuru pusi ķermenis pāries trešajā kustības sekundē?
5.44 Divi ķermeņi sāk kustēties vienlaicīgi no viena punkta: viens ar ātrumu (m/min), bet otrs ar ātrumu (m/min). Kādā attālumā viens no otra tie būs pēc 10 minūtēm, ja tie virzīsies pa vienu līniju vienā virzienā?
5.45. Uz ķermeni ar masu 5 g, kas kustas pa taisnu līniju, iedarbojas spēks (dīns). Atrodiet ķermeņa nobraukto attālumu trešajā kustības sekundē.
5.46 Svārstību punkta ātrums mainās saskaņā ar likumu 
(sm/s). Nosakiet punkta nobīdi 0,1 s pēc kustības sākuma.
5.47 Cik daudz darba jāpaveic, lai atsperu izstieptu par 0,06 m, ja 1 N spēks to izstiepj par 0,01 m?
5.48 Svārstību punkta ātrums mainās saskaņā ar likumu 
(m/s). Nosakiet attālumu, ko nobraucis punkts s no kustības sākuma.
5.49 Slāpeklis, kura masa ir 7 g, pastāvīgā 300°K temperatūrā izplešas tā, ka tā tilpums dubultojas. Nosakiet gāzes veikto darbu. Universāla gāzes konstante 
J/kmol.
5.50 Cik daudz jāstrādā, lai 25 cm garu atsperi izstieptu līdz 35 cm garumā, ja zināms, ka atsperes stinguma koeficients ir 400 N/m?
5.51 Caur dzīvnieka ķermeni iet strāvas impulss, kas laika gaitā mainās atbilstoši likumam (mA). Impulsa ilgums ir 0,1 s. Nosakiet lādiņu, kas plūst caur dzīvnieka ķermeni.
5.52 Kāds darbs tiek veikts, kad muskuļi ir izstiepti? l mm, ja zināms, ka zem slodzes Kopš spēka 0 muskulis tiek izstiepts l 0 mm? Pieņemsim, ka spēks, kas nepieciešams, lai izstieptu muskuļu, ir proporcionāls tā pagarinājumam.
5.53. Ķermenis noteiktā vidē pārvietojas taisni saskaņā ar likumu. Vides pretestība ir proporcionāla ātruma kvadrātam. Atrodiet darbu, ko veic vides pretestības spēks, kad ķermenis pārvietojas no (m/s). Atrodi ceļu=0 līdz (m/s). Atrodi ceļu=a metri.
Kur x Un y– cm, a t- ciematā Nosakiet punkta trajektoriju, ātrumu un paātrinājumu laika momentos t 0 = 0 s, t 1 = 1 s Un t 2 = 5 s, kā arī punkta noietais ceļš 5 s.
Risinājums
Trajektorijas aprēķins
Nosakām punkta trajektoriju. Mēs reizinām pirmo doto vienādojumu ar 3, otro ar (-4) un pēc tam pievienojam to kreiso un labo pusi:
3x=6t 2 +6
-4y=-6t 2 -4
————
3x-4y=2
Rezultātā tiek iegūts pirmās pakāpes vienādojums - taisnes vienādojums, kas nozīmē, ka punkta kustība ir taisna (1.5. attēls).
Lai noteiktu punkta A 0 sākotnējās pozīcijas koordinātas, vērtības aizstājam dotajos vienādojumos t 0 =0; no pirmā vienādojuma, ko iegūstam x 0 =2 cm, no otrā y 0 = 1 cm. Jebkurai citai t vērtībai kustīgā punkta x un y koordinātas tikai palielinās, tāpēc punkta trajektorija ir puslīnija 3x-4y=2 ar sākumu punktā A 0 (2; 1).
1.5.attēls
Ātruma aprēķins
Mēs nosakām, vispirms atrodot tās projekcijas uz koordinātu asīm:
Plkst t 0 = 0 s punkta ātrums v 0 =0, plkst t 1 =1 s – v 1 =5 cm/s, plkst t 2 =5s – v2 =25cm/s.
Paātrinājuma aprēķins
Nosakiet punkta paātrinājumu. Tās projekcijas uz koordinātu asīm:
Paātrinājuma prognozes nav atkarīgas no kustības laika,
tie. punkta kustība ir vienmērīgi paātrināta, ātruma un paātrinājuma vektori sakrīt ar punkta trajektoriju un ir vērsti pa to.
No otras puses, tā kā punkta kustība ir taisna, paātrinājuma moduli var noteikt, tieši diferencējot ātruma vienādojumu.
LV 01 MATEMĀTIKA
Uzdevumu krājums ārpusstundu patstāvīgajam darbam par tēmu: “Noteikta integrāļa pielietošana fizisko problēmu risināšanā”.
specialitātei:
100126 Mājas un komunālie pakalpojumi
Vologda 2013
Matemātika: Uzdevumu krājums ārpusstundu patstāvīgajam darbam par tēmu: “Noteikta integrāļa pielietošana fizisko problēmu risināšanā” specialitātei: 100126 Sadzīves un komunālie pakalpojumi
Šis uzdevumu krājums ārpusstundu patstāvīgajam darbam par tēmu: “Noteikta integrāļa pielietošana fizisko problēmu risināšanā” ir mācību līdzeklis par neatkarīgas organizēšanu ārpusskolas darbs studenti.
Satur uzdevumus patstāvīgam ārpusstundu darbam sešām iespējām un patstāvīgā darba izpildes novērtēšanas kritērijiem.
Komplekts izstrādāts, lai palīdzētu skolēniem sistematizēt un nostiprināt mācību stundās apgūto teorētisko materiālu un attīstīt praktiskās iemaņas.
Sastādīja: E. A. Sevaļeva – matemātikas skolotāja augstākā kategorija BOU SPO VO "Vologda celtniecības koledža»
1. Paskaidrojums.
2. Patstāvīgais darbs.
3. Vērtēšanas kritēriji.
4. Literatūra.
Paskaidrojuma piezīme
Šis darbs ir izglītojoša un metodiskā rokasgrāmata patstāvīgā ārpusstundu darba organizēšanai studentiem disciplīnā EN 01 “Matemātika” specialitātē 100126 Sadzīves un komunālie pakalpojumi.
Mērķis metodiskie norādījumi sastāv no patstāvīgā darba efektivitātes nodrošināšanas, tā satura noteikšanas, prasību noteikšanas patstāvīgā darba noformējumam un rezultātiem.
Studentu patstāvīgā darba mērķi disciplīnā EN 01 “Matemātika” ir:
· iegūto teorētisko zināšanu un praktisko iemaņu sistematizēšana un nostiprināšana;
· teorētisko zināšanu padziļināšana un paplašināšana;
· attīstīt prasmi izmantot uzziņu un papildliteratūru;
· skolēnu izziņas spēju un aktivitātes, radošās iniciatīvas, patstāvības un pašorganizācijas attīstība;
· topošo speciālistu izglītojošo un izziņas aktivitāšu aktivizēšana.
Patstāvīgais darbs tiek veikts individuāli no nodarbībām brīvajā laikā.
Studentam ir pienākums:
- pirms patstāvīgā darba veikšanas atkārto mācību stundās apgūto teorētisko materiālu;
- veikt darbu atbilstoši uzdevumam;
- katram patstāvīgs darbs Iesniedziet skolotājam atskaiti rakstiska darba veidā.
Patstāvīgs darbs par tēmu:
"Noteikta integrāļa pielietošana fizisko problēmu risināšanai"
Mērķis: iemācīties pieteikties noteiktais integrālis fizisko problēmu risināšanai.
Teorija.
Punkta noietā ceļa aprēķins.
Ceļš, ko nobrauca punkts plkst nevienmērīga kustība taisnā līnijā ar mainīgu ātrumu un laika intervālu no līdz aprēķina pēc formulas
…… (1)
1. piemērs. 
m/s. Atrodiet ceļu, ko nogājis punkts 10 Ar no kustības sākuma.
Risinājums: Saskaņā ar nosacījumu 
, , .
Izmantojot formulu (1), mēs atrodam:
Atbilde: .
2. piemērs. Punkta ātrums mainās atkarībā no likuma 
m/s. Atrodiet ceļu, ko punkts nogājis 4 sekundēs.
Risinājums: Saskaņā ar nosacījumu 
, ,
Tātad:
Atbilde: .
3. piemērs. Punkta ātrums mainās atkarībā no likuma 
m/s. Atrodiet ceļu, ko nobraucis punkts no tā kustības sākuma līdz beigām.
Risinājums:
· Punkta ātrums ir 0 brīdī, kad tas sāk kustēties un brīdī, kad tas apstājas.
· Noteiksim, kurā brīdī punkts apstāsies, lai to izdarītu, atrisināsim vienādojumu: 
Tas ir, .
· Izmantojot formulu (1), mēs atrodam:
Atbilde: .
Spēka darba aprēķins.
Darbs, ko veic mainīgs spēks, pārvietojoties pa asi Ak materiālais punkts no x = a uz x =, tiek atrasts pēc formulas:
…… (2)
Risinot problēmas, kas saistītas ar spēka darba aprēķināšanu, to bieži izmanto Huka likums: ……(3), kur
Spēks ( N);
X– spēka radītais absolūtais atsperes pagarinājums (saspiešana) m);
Proporcionalitātes koeficients ( N/m).
4. piemērs. Aprēķiniet darbu, ko veic spēks, kad atspere ir saspiesta par 0,04 m, ja to saspiest par 0.01 m vajag spēku 10 N.
Risinājums:
· Tā kā x = 0,01 m pie stipruma =10 N
, atrodam, t.i. 
.
Atbilde:Dž.
5. piemērs. Pavasaris iekšā mierīgs stāvoklis garums ir 0,2 m. Spēks pie 50 N izstiepj atsperi par 0,01 m. Cik daudz jāstrādā, lai izstieptu atsperi no 0,22 m līdz 0,32 m?
Risinājums:
· Tā kā x = 0,01 pie spēka =50 N, tad, aizstājot šīs vērtības vienādībā (3): , mēs iegūstam:
· Tagad atrasto vērtību aizstājot ar to pašu vienādību 
, atrodam, t.i. 
.
· Integrācijas robežu atrašana: m, m.
· Mēs atradīsim jūsu meklēto darbu, izmantojot formulu (2):
