Šodien nodarbībā mēs mācīsimies atrast nosacīti vai, kā tos sauc arī relatīvās galējības vairāku mainīgo funkcijas, un, pirmkārt, mēs, protams, runāsim par nosacītajām ekstremitātēm divu funkcijas Un trīs mainīgie, kas ir sastopami lielākajā daļā tematisko problēmu.

Kas jums jāzina un jāprot Šis brīdis? Neskatoties uz to, ka šis raksts ir tēmas “nomalē”, materiāla veiksmīgai apguvei nav nepieciešams daudz. Šajā brīdī jums jāapzinās pamata telpas virsmas, var atrast daļēji atvasinājumi (vismaz vidējā līmenī) un, kā to nosaka nežēlīgā loģika, saprast beznosacījuma galējības. Bet pat tad, ja tu zems līmenis sagatavošanās, nesteidzieties doties prom - visas trūkstošās zināšanas/prasmes tiešām var “paņemt pa ceļam”, un bez stundu mocībām.

Pirmkārt, analizēsim pašu koncepciju un tajā pašā laikā ātri atkārtosim visizplatītāko virsmas. Tātad, kas tas ir nosacīta galējība? ...Loģika šeit ir ne mazāk nežēlīga =) Funkcijas nosacītais ekstrēms ir ekstrēms šī vārda parastajā nozīmē, kas tiek sasniegts, ja ir izpildīts noteikts nosacījums (vai nosacījumi).

Iedomājieties patvaļīgu "slīpu" lidmašīna V Dekarta sistēma. Nav ekstremitātešeit no tā nav ne miņas. Bet tas ir pagaidām. Apsvērsim eliptisks cilindrs, vienkāršības labad - bezgalīga apaļa “caurule”, kas ir paralēla asij. Acīmredzot šī "caurule" "izgriezīsies" no mūsu plaknes elipse, kā rezultātā tā augšējā punktā būs maksimums, bet apakšējā punktā - minimums. Citiem vārdiem sakot, funkcija, kas nosaka plakni, sasniedz galējību Atsaucoties uz ka to šķērsoja dots riņķveida cilindrs. Tieši “nodrošināts”! Cits eliptisks cilindrs, kas krusto šo plakni, gandrīz noteikti radīs dažādas minimālās un maksimālās vērtības.

Ja tas nav ļoti skaidrs, situāciju var simulēt reāli (lai gan iekšā apgrieztā secībā) : ņem cirvi, ej ārā un nocirsti... nē, Greenpeace tev vēlāk nepiedos - labāk notekcauruli pārgriezt ar dzirnaviņām =). Nosacītais minimums un nosacītais maksimums būs atkarīgs no tā, kādā augstumā un zem kāda (nehorizontāli) griezums tiek veikts leņķī.

Ir pienācis laiks ietērpt aprēķinus matemātiskā tērpā. Apsvērsim eliptisks paraboloīds, kam ir absolūtais minimums punktā. Tagad atradīsim galējību Atsaucoties uz. Šis lidmašīna paralēli asij, kas nozīmē, ka tas “izgriežas” no paraboloīda parabola. Šīs parabolas augšdaļa būs nosacītais minimums. Turklāt plakne nešķērso koordinātu sākumpunktu, tāpēc punkts paliks nesvarīgs. Vai neiesniedzāt attēlu? Tūlīt sekosim saitēm! Tas prasīs vēl daudzas, daudzas reizes.

Jautājums: kā atrast šo nosacīto ekstrēmu? Vienkāršākais veids risinājums ir tāds, ka no vienādojuma (ko sauc - stāvokli vai savienojuma vienādojums) izteikt, piemēram: – un aizstāt to funkcijā:

Rezultāts ir viena mainīgā funkcija, kas definē parabolu, kuras virsotne tiek “aprēķināta” ar aizvērtām acīm. Atradīsim kritiskie punkti:

- kritiskais punkts.

Nākamā vienkāršākā lieta ir otrais pietiekams nosacījums ekstremitātei:

Jo īpaši: tas nozīmē, ka funkcija sasniedz minimumu punktā . To var aprēķināt tieši: , bet mēs izvēlēsimies akadēmiskāku ceļu. Atradīsim “spēles” koordinātu:
,

pierakstiet nosacīto minimālo punktu, pārliecinieties, vai tas tiešām atrodas plaknē (apmierina savienojuma vienādojumu):

un aprēķiniet funkcijas nosacīto minimumu:
Atsaucoties uz (nepieciešama "piedeva"!!!).

Aplūkoto metodi bez šaubām var izmantot praksē, tomēr tai ir vairāki trūkumi. Pirmkārt, problēmas ģeometrija ne vienmēr ir skaidra, un, otrkārt, bieži vien ir neizdevīgi izteikt “x” vai “y” no savienojuma vienādojuma (ja vispār ir iespēja kaut ko izteikt). Un tagad mēs apsvērsim universālu metodi nosacīto ekstrēmu atrašanai, ko sauc Lagranža reizinātāja metode:

1. piemērs

Atrodiet funkcijas nosacīto ekstrēmu ar norādīto savienojuma vienādojumu ar argumentiem.

Vai atpazīstat virsmas? ;-) ...priecājos redzēt jūsu priecīgās sejas =)

Starp citu, no šīs problēmas formulējuma kļūst skaidrs, kāpēc stāvoklis tiek saukts savienojuma vienādojums– funkciju argumenti savienots papildu nosacījums, tas ir, atrastajiem ekstremitāšu punktiem obligāti jāpieder apļveida cilindram.

Risinājums: pirmajā solī ir jāuzrāda savienojuma vienādojums formā un jāsastāda Lagranža funkcija:
, kur ir tā sauktais Lagranža reizinātājs.

Mūsu gadījumā un:

Algoritms nosacīto galējību atrašanai ir ļoti līdzīgs “parastā” atrašanas shēmai. galējības. Atradīsim daļēji atvasinājumi Lagranža funkcijas, savukārt “lambda” jāuzskata par konstanti:

Sastādīsim un risināsim šādu sistēmu:

Mudžeklis tiek atšķetināts kā standarts:
no pirmā vienādojuma, ko mēs izsakām ;
no otrā vienādojuma mēs izsakām .

Aizstāsim savienojumus vienādojumā un veiksim vienkāršojumus:

Rezultātā mēs iegūstam divus stacionārus punktus. Ja tad:

ja tad:

Ir viegli redzēt, ka abu punktu koordinātas apmierina vienādojumu . Skrupulozi cilvēki var arī veikt pilnu pārbaudi: tas ir jāaizstāj sistēmas pirmajā un otrajā vienādojumā un pēc tam dariet to pašu ar kopu . Visam ir "jānāk kopā".

Pārbaudīsim izpildi pietiekamā stāvoklī ekstrēmums atrastajiem stacionārajiem punktiem. Es apspriedīšu trīs pieejas šīs problēmas risināšanai:

1) Pirmā metode ir ģeometriskais pamatojums.

Aprēķināsim funkcijas vērtības stacionāros punktos:

Tālāk mēs pierakstām frāzi ar aptuveni šādu saturu: plaknes griezums ar apļveida cilindru ir elipse, kuras augšējā virsotnē tiek sasniegts maksimums, bet apakšējā virsotnē - minimums. Tādējādi lielāka vērtība ir nosacītais maksimums, bet mazāka vērtība ir nosacīta minimums.

Ja iespējams, labāk izmantot šo metodi – tā ir vienkārša, un šo lēmumu uzskaita skolotāji (liels pluss ir tas, ka parādījāt sapratni ģeometriskā nozīme uzdevumi). Tomēr, kā jau minēts, ne vienmēr ir skaidrs, kas ar ko krustojas un kur, un tad palīgā nāk analītiskā pārbaude:

2) Otrā metode ir balstīta uz otrās kārtas diferenciālzīmju izmantošanu. Ja izrādās, ka stacionārā punktā, tad tur funkcija sasniedz maksimumu, bet ja sasniedz, tad minimumu.

Atradīsim otrās kārtas daļēji atvasinājumi:

un izveidojiet šo diferenciāli:

Kad , tas nozīmē , ka funkcija sasniedz maksimumu punktā ;
pie , kas nozīmē, ka funkcija punktā sasniedz minimumu .

Aplūkotā metode ir ļoti laba, bet tai ir trūkums, ka dažos gadījumos ir gandrīz neiespējami noteikt 2. diferenciāļa zīmi (parasti tas notiek, ja un/vai ir dažādas pazīmes). Un tad palīgā nāk “smagā artilērija”:

3) Atšķirsim savienojuma vienādojumu ar “X” un “Y”:

un sastādiet sekojošo simetrisks matrica:

Ja stacionārā punktā, tad funkcija sasniedz tur ( uzmanību!) minimums, ja – tad maksimums.

Uzrakstīsim vērtības matricu un atbilstošo punktu:

Aprēķināsim noteicējs:
, tādējādi funkcijai ir maksimums punktā .

Tāpat par vērtību un punktu:

Tādējādi funkcijai punktā ir minimums.

Atbilde: Atsaucoties uz :

Pēc rūpīgas materiāla analīzes es vienkārši nevaru jums piedāvāt pāris tipiski uzdevumi pašpārbaudei:

2. piemērs

Atrodiet funkcijas nosacīto ekstrēmu, ja tās argumenti ir saistīti ar vienādojumu

3. piemērs

Atrodiet funkcijas galējību, ņemot vērā nosacījumu

Un vēlreiz es ļoti iesaku izprast uzdevumu ģeometrisko būtību, īpaši tas attiecas uz pēdējo piemēru, kur pietiekama stāvokļa analītiskā pārbaude nav dāvana. Atcerieties, ko 2. kārtas rinda nosaka vienādojumu, un ko virsmasšī līnija ģenerē telpā. Analizējiet, pa kuru līkni cilindrs krustos plakni un kur šajā līknē būs minimums un kur maksimums.

Risinājumi un atbildes nodarbības beigās.

Attiecīgā problēma tiek atrasta plašs pielietojums dažādās jomās, jo īpaši - mēs netiksim tālu, ģeometrijā. Atrisināsim visu iemīļoto problēmu par puslitra pudeli (skatiet raksta 7. piemēruEkstrēmi izaicinājumi ) otrais veids:

4. piemērs

Kādiem jābūt cilindriskas skārda kārbas izmēriem, lai skārdenes izgatavošanai tiktu izmantots vismazākais materiāla daudzums, ja skārdenes tilpums ir vienāds ar

Risinājums: ņemiet vērā mainīgu pamatnes rādiusu, mainīgu augstumu un izveidojiet funkciju no tvertnes kopējās virsmas laukuma:
(divu vāku laukums + sānu virsmas laukums)

• Apmācība

Visi laba diena. Šajā rakstā es vēlos parādīt vienu no grafiskās metodes celtniecība matemātiskie modeļi dinamiskām sistēmām, ko sauc saišu grafiks("saite" - savienojumi, "grafiks" - grafiks). Krievu literatūrā šīs metodes aprakstus atradu tikai Tomska mācību grāmatā Politehniskā universitāte, A.V. Voroņins “MEHATRONISKO SISTĒMU MODELĒŠANA” 2008 Arī raidījums klasiskā metode izmantojot 2. veida Lagranža vienādojumu.

Lagranža metode

Teoriju neaprakstīšu, parādīšu aprēķinu stadijas ar dažiem komentāriem. Personīgi man ir vieglāk mācīties no piemēriem, nekā 10 reizes lasīt teoriju. Man šķita, ka krievu literatūrā šīs metodes skaidrojums, kā arī matemātikā vai fizikā kopumā ir ļoti bagātīgs. sarežģītas formulas, kas attiecīgi prasa nopietnu matemātisko priekšzināšanu. Studējot Lagranža metodi (studēju Turīnas Politehniskajā universitātē, Itālijā), es studēju krievu literatūru, lai salīdzinātu aprēķinu metodes, un man bija grūti sekot līdzi šīs metodes risināšanas gaitai. Pat atceroties modelēšanas kursus Harkovas Aviācijas institūtā, šādu metožu atvasināšana bija ļoti apgrūtinoša, un neviens netraucēja izprast šo jautājumu. Tas ir tas, ko es nolēmu uzrakstīt, rokasgrāmatu matemātisko modeļu konstruēšanai pēc Lagranža, jo izrādījās, ka tas nemaz nav grūti, pietiek zināt, kā aprēķināt atvasinājumus attiecībā uz laiku un daļējos atvasinājumus. Sarežģītākiem modeļiem tiek pievienotas arī rotācijas matricas, taču arī tajās nav nekā sarežģīta.

Modelēšanas metožu iezīmes:

• Ņūtons-Eulers: vektoru vienādojumi, kuru pamatā ir dinamiskais līdzsvars spēku Un mirkļi
• Lagranžs: skalārie vienādojumi, kuru pamatā ir stāvokļa funkcijas, kas saistītas ar kinētiku un potenciālu enerģijas
• Bondu skaits: uz plūsmu balstīta metode jauda starp sistēmas elementiem

Sāksim ar vienkāršs piemērs. Masa ar atsperi un amortizatoru. Mēs ignorējam gravitācijas spēku.

1. att. Masa ar atsperi un slāpētāju

Pirmkārt, mēs nosakām:

• sākotnējā sistēma koordinātas(NSK) vai fiksēts sk R0(i0,j0,k0). Kur? Jūs varat rādīt ar pirkstu uz debesīm, bet, saraujot smadzeņu neironu galus, ideja nonāk cauri, lai novietotu NSC uz M1 ķermeņa kustības līnijas.
• koordinātu sistēmas katram ķermenim ar masu(mums ir M1 R1(i1,j1,k1)), orientācija var būt patvaļīga, bet kāpēc sarežģīt savu dzīvi, iestatiet to ar minimālu atšķirību no NSC
• vispārinātas koordinātas q_i(minimālais mainīgo skaits, kas var aprakstīt kustību), šajā piemērā ir viena vispārināta koordināta, kustība tikai pa j asi

2. att. Mēs nolikām koordinātu sistēmas un vispārinātas koordinātas

3. att. Ķermeņa novietojums un ātrums M1

Pēc tam mēs atradīsim amortizatora kinētisko (C) un potenciālo (P) enerģiju un izkliedes funkciju (D), izmantojot formulas:

4. att. Pilnīga formula kinētiskā enerģija

Mūsu piemērā nav rotācijas, otrais komponents ir vienāds ar 0.

5. att. Kinētiskās, potenciālās enerģijas un izkliedes funkcijas aprēķins

Lagranža vienādojumam ir šāda forma:

6. att. Lagranža vienādojums un Lagranža vienādojums

Delta W_i Tas ir virtuāls darbs, ko veic pielietoti spēki un momenti. Atradīsim viņu:

7. att. Virtuālā darba aprēķins

Kur delta q_1 virtuālā kustība.

Mēs visu aizstājam Lagranža vienādojumā:

8. att. Iegūtais masas modelis ar atsperi un amortizatoru

Šeit Lagranža metode beidzās. Kā redzat, tas nav tik sarežģīti, taču tas joprojām ir ļoti vienkāršs piemērs, kuram, visticamāk, Ņūtona-Eilera metode būtu vēl vienkāršāka. Sarežģītākām sistēmām, kur būs vairāki ķermeņi, kas pagriezti viens pret otru dažādos leņķos, Lagranža metode būs vienkāršāka.

Bonda grafika metode

Tūlīt parādīšu, kā modelis izskatās obligāciju grafikā, piemēram, ar masu, atsperi un amortizatoru:

9. att. Bond-graph masas ar atsperi un amortizatoru

Šeit jums būs jāpastāsta nedaudz teorijas, ar kuru pietiks, lai izveidotu vienkārši modeļi. Ja kādam ir interese, var izlasīt grāmatu ( Bonda grafika metodoloģija) vai ( Voroņins A.V. Mehatronisko sistēmu modelēšana: pamācība. – Tomska: Tomskas Politehniskās universitātes izdevniecība, 2008).

Vispirms noteiksim to sarežģītas sistēmas sastāv no vairākiem domēniem. Piemēram, elektromotors sastāv no elektriskām un mehāniskām daļām vai domēniem.

saišu grafiks balstās uz jaudas apmaiņu starp šīm jomām, apakšsistēmām. Ņemiet vērā, ka jebkura veida elektroenerģijas apmaiņu vienmēr nosaka divi mainīgie ( mainīga jauda), ar kuras palīdzību varam pētīt dažādu apakšsistēmu mijiedarbību dinamiskas sistēmas ietvaros (skat. tabulu).

Kā redzams no tabulas, spēka izpausme visur ir gandrīz vienāda. Kopsavilkumā, Jauda- Šis darbs " plūsma - f"uz" pūles - e».

Pūles(Angļu) pūles) elektriskajā jomā tas ir spriegums (e), mehāniskajā jomā tas ir spēks (F) vai griezes moments (T), hidraulikā tas ir spiediens (p).

Plūsma(Angļu) plūsma) elektriskajā jomā tā ir strāva (i), mehāniskajā jomā tas ir ātrums (v) vai leņķiskais ātrums(omega), hidraulikā – šķidruma plūsma jeb plūsmas ātrums (Q).

Ņemot vērā šos apzīmējumus, mēs iegūstam spēka izteiksmi:

10. attēls. Jaudas formula, izmantojot jaudas mainīgos

Saistību grafu valodā savienojums starp divām apakšsistēmām, kas apmainās ar jaudu, tiek attēlots ar saiti. obligāciju). Tāpēc šo metodi sauc obligāciju grafiks vai g raf-savienojumi, savienots grafiks. Apsvērsim blokshēma savienojumi modelī ar elektromotoru (tas vēl nav saišu grafiks):

11. attēls. Jaudas plūsmas blokshēma starp domēniem

Ja mums ir sprieguma avots, tad attiecīgi tas ģenerē spriegumu un nodod to motoram tinumam (tāpēc bultiņa ir vērsta pret motoru), atkarībā no tinuma pretestības parādās strāva pēc Oma likuma (virzīta no motora uz avotu). Attiecīgi viens mainīgais ir ievade apakšsistēmā, bet otrajam ir jābūt Izeja no apakšsistēmas. Šeit spriegums ( pūles) – ieeja, strāva ( plūsma) - Izeja.

Ja izmantojat strāvas avotu, kā diagramma mainīsies? Pa labi. Strāva tiks novirzīta uz motoru, bet spriegums - uz avotu. Tad pašreizējā ( plūsma) – ieeja, spriegums ( pūles) - Izeja.

Apskatīsim piemēru mehānikā. Spēks, kas iedarbojas uz masu.

12. attēls. Masai pielikts spēks

Blokshēma būs šāda:

13. attēls. Blokshēma

Šajā piemērā spēks ( pūles) – masas ievades mainīgais. (Masai pielikts spēks)
Saskaņā ar otro Ņūtona likumu:

Masa reaģē ar ātrumu:

Šajā piemērā, ja viens mainīgais ( spēku - pūles) ir ieeja mehāniskajā jomā, pēc tam citu jaudas mainīgo ( ātrumu - plūsma) – automātiski kļūst Izeja.

Lai atšķirtu, kur atrodas ieeja un kur ir izeja, bultiņas galā (savienojumā) starp elementiem izmanto vertikālu līniju, šo līniju sauc. cēloņsakarības pazīme vai cēloņsakarība (cēloņsakarība). Izrādās: pielietotais spēks ir cēlonis, un ātrums ir sekas. Šī zīme ir ļoti svarīga pareizai sistēmas modeļa uzbūvei, jo cēloņsakarība ir sekas fiziskā uzvedība un divu apakšsistēmu pilnvaru apmaiņa, tāpēc cēloņsakarības zīmes atrašanās vietas izvēle nevar būt patvaļīga.

14. attēls. Cēloņsakarības apzīmējums

Šī vertikālā līnija parāda, kura apakšsistēma saņem spēku ( pūles) un rezultātā rada plūsmu ( plūsma). Piemērā ar masu tas būtu šādi:

14. attēls. Cēloņsakarība spēkam, kas iedarbojas uz masu

No bultiņas ir skaidrs, ka masas ievade ir - spēku, un izvade ir ātrumu. Tas tiek darīts, lai nepārblīvētu diagrammu ar bultiņām un sistematizētu modeļa uzbūvi.

Nākamais svarīgs punkts. Ģeneralizēts impulss(kustību apjoms) un pārvietojas(enerģijas mainīgie).

Jaudas un enerģijas mainīgo lielumu tabula dažādās jomās

Iepriekšējā tabulā ir parādīti divi papildu fizikālie lielumi, kas tiek izmantoti obligāciju grafika metodē. Viņus sauc vispārināts impulss (R) Un vispārināta kustība (q) vai enerģijas mainīgie, un tos var iegūt, integrējot jaudas mainīgos laika gaitā:

15. attēls. Jaudas un enerģijas mainīgo lielumu saistība

Elektriskajā jomā :

Pamatojoties uz Faradeja likumu, spriegums vadītāja galos ir vienāds ar magnētiskās plūsmas atvasinājumu caur šo vadītāju.

A Pašreizējais spēks - fiziskais daudzums, kas vienāds ar lādiņa Q daudzuma attiecību, kas iet caur kādu laiku t šķērsgriezums diriģents, šī laika perioda vērtībā.

Mehāniskais domēns:

No Ņūtona 2. likuma Spēks– impulsa laika atvasinājums

Un attiecīgi, ātrumu- nobīdes laika atvasinājums:

Apkoposim:

Pamatelementi

Visus elementus dinamiskajās sistēmās var iedalīt divpolu un četrpolu komponentos.
Apsvērsim bipolāri komponenti:

Avoti
Ir gan pūļu, gan plūsmas avoti. Analoģija elektriskajā jomā: piepūles avots – sprieguma avots, straumes avots – pašreizējais avots. Avotu cēloņsakarībām vajadzētu būt tikai šādām.

16. attēls. Cēloņsakarības un avotu apzīmējums

Komponents R – izkliedējošais elements

I sastāvdaļa – inerciālais elements

Komponents C – kapacitatīvs elements

Kā redzams no attēliem, dažādi viena un tā paša elementi tips R,C,I apraksta ar tiem pašiem vienādojumiem. Atšķirība ir TIKAI elektriskajai kapacitātei, tā tikai jāatceras!

Četrupolu sastāvdaļas:

Apskatīsim divas sastāvdaļas: transformatoru un žiratoru.

Pēdējie svarīgie elementi obligāciju grafika metodē ir savienojumi. Ir divu veidu mezgli:

Tā tas ir ar komponentiem.

Galvenie soļi cēloņsakarību noteikšanai pēc saišu grafika izveidošanas:

1. Piešķiriet cēloņsakarības ikvienam avoti
2. Izejiet cauri visiem mezgliem un pēc 1. punkta norādiet cēloņsakarības
3. Priekš sastāvdaļas I piešķirt ievades cēloņsakarību (šajā komponentā ir iekļautas pūles), par sastāvdaļas C piešķirt izejas cēloņsakarību (centieni nāk no šī komponenta)
4. Atkārtojiet 2. punktu
5. Ievietojiet cēloņsakarības par R komponenti

Ar to noslēdzies teorijas minikurss. Tagad mums ir viss, kas nepieciešams, lai izveidotu modeļus.
Atrisināsim pāris piemērus. Sāksim ar elektrisko ķēdi, labāk ir saprast obligāciju grafika konstruēšanas analoģiju.

1. piemērs

Sāksim veidot saites grafiku ar sprieguma avotu. Vienkārši uzrakstiet Se un ielieciet bultiņu.

Redzi, viss ir vienkārši! Paskatīsimies tālāk, R un L ir savienoti virknē, kas nozīmē, ka tajos plūst viena un tā pati strāva, ja runājam jaudas mainīgajos - vienāda plūsma. Kuram mezglam ir tāda pati plūsma? Pareizā atbilde ir 1 mezgls. Mēs savienojam avotu, pretestību (komponents - R) un induktivitāti (komponents - I) ar 1-mezglu.

Tālāk mums ir paralēli kapacitāte un pretestība, kas nozīmē, ka tiem ir vienāds spriegums vai spēks. 0 mezgls ir piemērots kā neviens cits. Mēs savienojam kapacitāti (komponents C) un pretestību (komponents R) ar 0-mezglu.

Mēs arī savienojam mezglus 1 un 0 savā starpā. Bultiņu virziens tiek izvēlēts patvaļīgi, savienojuma virziens ietekmē tikai zīmi vienādojumos.

Jūs iegūsit šādu savienojuma grafiku:

Tagad mums ir jānosaka cēloņsakarības. Ievērojot norādījumus par to izvietošanas secību, sāksim ar avotu.

1. Mums ir sprieguma (pūles) avots, tādam avotam ir tikai viens cēloņsakarības variants – izeja. Uzvelkam.
2. Tālāk ir I komponents, paskatīsimies, ko viņi iesaka. Mēs liekam
3. Mēs to noliekam 1 mezglam. Ēst
4. 0-mezglam ir jābūt vienai ieejai un visiem izejas cēloņsavienojumiem. Mums pagaidām ir viena brīva diena. Mēs meklējam komponentus C vai I. Mēs to atradām. Mēs liekam
5. Uzskaitīsim, kas palicis

Tas ir viss. Bond grafiks ir izveidots. Urā, biedri!

Atliek tikai uzrakstīt vienādojumus, kas apraksta mūsu sistēmu. Lai to izdarītu, izveidojiet tabulu ar 3 kolonnām. Pirmajā būs visas sistēmas sastāvdaļas, otrajā būs katra elementa ievades mainīgais, bet trešajā būs tā paša komponenta izejas mainīgais. Mēs jau esam definējuši ievadi un izvadi ar cēloņsakarībām. Tātad problēmām nevajadzētu būt.

Numurēsim katru savienojumu, lai atvieglotu līmeņu ierakstīšanu. Katra elementa vienādojumus ņemam no komponentu saraksta C, R, I.

Sastādot tabulu, mēs definējam stāvokļa mainīgos, šajā piemērā tie ir 2, p3 un q5. Tālāk jums jāpieraksta stāvokļa vienādojumi:

Tas arī viss, modelis ir gatavs.

Piemērs 2. Uzreiz gribu atvainoties par bildes kvalitāti, galvenais lai var izlasīt

Atrisināsim citu piemēru mehāniskai sistēmai, to pašu, kuru mēs atrisinājām, izmantojot Lagranža metodi. Es parādīšu risinājumu bez komentāriem. Pārbaudīsim, kura no šīm metodēm ir vienkāršāka un vienkāršāka.

Matbalā tika apkopoti abi matemātiskie modeļi ar vienādiem parametriem, kas iegūti ar Lagranža metodi un obligāciju grafiku. Rezultāts ir zemāk: Pievienojiet tagus

Pirmkārt, aplūkosim divu mainīgo funkcijas gadījumu. Funkcijas $z=f(x,y)$ nosacītā galējība punktā $M_0(x_0;y_0)$ ir šīs funkcijas ekstrēmums, kas sasniegts ar nosacījumu, ka mainīgie $x$ un $y$ šī punkta tuvumā atbilst savienojuma vienādojums $\ varphi (x,y)=0$.

Nosaukums “nosacīts” ekstrēms ir saistīts ar faktu, ka mainīgie ir pakļauti papildu nosacījums$\varphi(x,y)=0$. Ja vienu mainīgo var izteikt no savienojuma vienādojuma caur citu, tad nosacījuma ekstrēma noteikšanas problēma tiek reducēta uz viena mainīgā funkcijas parastā ekstrēma noteikšanas problēmu. Piemēram, ja savienojuma vienādojums nozīmē $y=\psi(x)$, tad $y=\psi(x)$ aizstājot ar $z=f(x,y)$, mēs iegūstam viena mainīgā $z funkciju. =f\left (x,\psi(x)\right)$. IN vispārējs gadījums Tomēr šī metode ir maz lietderīga, tāpēc ir jāievieš jauns algoritms.

Lagranža reizinātāja metode divu mainīgo funkcijām.

Lagranža reizinātāja metode sastāv no Lagranža funkcijas konstruēšanas, lai atrastu nosacījuma ekstrēmu: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametrs $\lambda$ tiek saukts Lagranža reizinātājs). Ekstrēmumam nepieciešamos nosacījumus nosaka vienādojumu sistēma, no kuras nosaka stacionāros punktus:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \beigas (līdzināts) \pa labi.

Pietiekams nosacījums, pēc kura var noteikt ekstrēmuma raksturu, ir zīme $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ja stacionārā punktā $d^2F > 0$, tad funkcijai $z=f(x,y)$ šajā punktā ir nosacīts minimums, bet ja $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ir vēl viens veids, kā noteikt ekstremuma raksturu. No savienojuma vienādojuma iegūstam: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, tāpēc jebkurā stacionārā punktā mums ir:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \pa labi)$$

Otro faktoru (atrodas iekavās) var attēlot šādā formā:

Determinanta $\left| elementi ir iezīmēti sarkanā krāsā. \begin(masīvs) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (masīvs)\right|$, kas ir Lagranža funkcijas Hess. Ja $H > 0$, tad $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, t.i. mums ir funkcijas $z=f(x,y)$ nosacījuma minimums.

Piezīme par determinanta $H$ apzīmējumu. parādīt\slēpt

$$ H=-\left|\begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ beigas(masīvs) \right| $$

Šajā situācijā iepriekš formulētais noteikums mainīsies šādi: ja $H > 0$, tad funkcijai ir nosacījuma minimums, un ja $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritms divu mainīgo funkcijas izpētei nosacījuma ekstrēmumam

1. Izveidojiet Lagranža funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Atrisiniet sistēmu $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(līdzināts) \right.$
3. Nosakiet ekstrēma raksturu katrā no stacionārajiem punktiem, kas atrasti iepriekšējā punktā. Lai to izdarītu, izmantojiet kādu no šīm metodēm:
   • Sastādiet $H$ determinantu un noskaidrojiet tā zīmi
   • Ņemot vērā savienojuma vienādojumu, aprēķiniet $d^2F$ zīmi

Lagranža reizinātāja metode n mainīgo funkcijām

Pieņemsim, ka mums ir funkcija no $n$ mainīgajiem $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ un $m$ savienojuma vienādojumiem ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Apzīmējot Lagranža reizinātājus kā $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Nepieciešamos nosacījumus nosacījuma ekstrēma klātbūtnei nosaka vienādojumu sistēma, no kuras tiek atrastas stacionāro punktu koordinātas un Lagranža reizinātāju vērtības:

$$\left\(\begin(līdzināts) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(līdzināts) \right.$$

To, vai funkcijai atrastajā punktā ir nosacīts minimums vai nosacīts maksimums, tāpat kā iepriekš, var noskaidrot, izmantojot zīmi $d^2F$. Ja atrastajā punktā $d^2F > 0$, tad funkcijai ir nosacījuma minimums, bet ja $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matricas $\left| determinants \begin(masīvs) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\lpunkti & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \lpunkti & \lpunkti & \lpunkti &\lpunkti & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( masīvs) \right|$, kas matricā $L$ iezīmēts sarkanā krāsā, ir Lagranža funkcijas Hesenes valoda. Mēs izmantojam šādu noteikumu:

• Ja leņķisko nepilngadīgo pazīmes $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matricas $L$ sakrīt ar $(-1)^m$ zīmi, tad pētāmais stacionārais punkts ir funkcijas $ nosacītais minimums. z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ja leņķisko nepilngadīgo pazīmes $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ mijas, un minora $H_(2m+1)$ zīme sakrīt ar skaitļa $(-1)^(m+1 )$, tad stacionārais punkts ir funkcijas $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ nosacījuma maksimālais punkts.

Piemērs Nr.1

Atrodiet funkcijas $z(x,y)=x+3y$ nosacīto ekstrēmu ar nosacījumu $x^2+y^2=10$.

Šīs problēmas ģeometriskā interpretācija ir šāda: jums jāatrod lielākais un mazākā vērtība piemēro plakni $z=x+3y$ tās krustošanās punktiem ar cilindru $x^2+y^2=10$.

Ir nedaudz grūti izteikt vienu mainīgo ar citu no savienojuma vienādojuma un aizstāt to ar funkciju $z(x,y)=x+3y$, tāpēc izmantosim Lagranža metodi.

Apzīmējot $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, mēs veidojam Lagranža funkciju:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\daļējs x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Uzrakstīsim vienādojumu sistēmu, lai noteiktu Lagranža funkcijas stacionāros punktus:

$$ \left \( \begin(līdzināts) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (līdzināts)\pa labi.$$

Ja pieņemam $\lambda=0$, tad pirmais vienādojums kļūst: $1=0$. Iegūtā pretruna norāda, ka $\lambda\neq 0$. Saskaņā ar nosacījumu $\lambda\neq 0$ no pirmā un otrā vienādojuma mums ir: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Aizvietojot iegūtās vērtības trešajā vienādojumā, mēs iegūstam:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(līdzināts) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(līdzināts) \right.\\ \begin(līdzināts) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(līdzināts) $$

Tātad sistēmai ir divi risinājumi: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ un $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Noskaidrosim ekstrēma raksturu katrā stacionārajā punktā: $M_1(1;3)$ un $M_2(-1;-3)$. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām determinantu $H$ katrā punktā.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masīvs) \right|= \pa kreisi| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right| $$

Punktā $M_1(1;3)$ iegūstam: $H=8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(masīvs) \right|=40 > 0$, tātad pie punkts Funkcijai $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Līdzīgi, punktā $M_2(-1,-3)$ atrodam: $H=8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(masīvs) \right|= 8\cdot\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(masīvs) \right|=-40 $. Kopš $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Es atzīmēju, ka tā vietā, lai aprēķinātu determinanta $H$ vērtību katrā punktā, ir daudz ērtāk to paplašināt vispārējs skats. Lai nepārblīvētu tekstu ar detaļām, šo metodi paslēpšu zem piezīmes.

Determinanta $H$ rakstīšana vispārīgā formā. parādīt\slēpt

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(masīvs)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

Principā jau ir skaidrs, kāda zīme ir $H$. Tā kā neviens no punktiem $M_1$ vai $M_2$ nesakrīt ar izcelsmi, tad $y^2+x^2>0$. Tāpēc $H$ zīme ir pretēja zīmei $\lambda$. Jūs varat pabeigt aprēķinus:

$$ \begin(līdzināts) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(līdzināts) $$

Jautājumu par ekstrēma raksturu stacionārajos punktos $M_1(1;3)$ un $M_2(-1;-3)$ var atrisināt, neizmantojot determinantu $H$. Atradīsim $d^2F$ zīmi katrā stacionārajā punktā:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Ļaujiet man atzīmēt, ka apzīmējums $dx^2$ nozīmē tieši $dx$, kas pacelts līdz otrajai pakāpei, t.i. $\left(dx \right)^2$. Tādējādi mums ir: $dx^2+dy^2>0$, tāpēc ar $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ mēs iegūstam $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Atbilde: punktā $(-1;-3)$ funkcijai ir nosacījuma minimums, $z_(\min)=-10$. Punktā $(1;3)$ funkcijai ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=10$

Piemērs Nr.2

Atrodiet funkcijas $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ nosacīto ekstrēmu saskaņā ar nosacījumu $x+y=0$.

Pirmā metode (Lagranža reizinātāja metode)

Apzīmējot $\varphi(x,y)=x+y$, mēs veidojam Lagranža funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0 \\ & x+y=0 \end(līdzināts) \right.

Atrisinot sistēmu, mēs iegūstam: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ un $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Mums ir divi stacionāri punkti: $M_1(0;0)$ un $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Noskaidrosim ekstrēma raksturu katrā stacionārajā punktā, izmantojot determinantu $H$.

$$H=\left| \begin(masīvs) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(masīvs) \right|= \pa kreisi| \begin(masīvs) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(masīvs) \right|=-10-18y $$

Punktā $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, tāpēc šajā brīdī funkcijai ir nosacīts maksimums $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Mēs pētām ekstrēma raksturu katrā punktā, izmantojot citu metodi, pamatojoties uz $ d^2F$ zīmi:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

No savienojuma vienādojuma $x+y=0$ mums ir: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Tā kā $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, tad $M_1(0;0)$ ir funkcijas $z(x,y)=3y^3+ nosacītais minimālais punkts. 4x^ 2-xy$. Līdzīgi $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Otrais veids

No savienojuma vienādojuma $x+y=0$ iegūstam: $y=-x$. Aizvietojot $y=-x$ funkcijā $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, iegūstam kādu mainīgā $x$ funkciju. Apzīmēsim šo funkciju kā $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Tādējādi mēs reducējām divu mainīgo funkcijas nosacītā galējības atrašanas problēmu līdz viena mainīgā funkcijas ekstrēma noteikšanas problēmai.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Mēs ieguvām punktus $M_1(0;0)$ un $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Turpmākie pētījumi ir zināmi no viena mainīgā lieluma funkciju diferenciālrēķinu gaitas. Izpētot $u_(xx)^("")$ zīmi katrā stacionārajā punktā vai pārbaudot $u_(x)^(")$ zīmes izmaiņas atrastajos punktos, mēs iegūstam tādus pašus secinājumus kā tad, kad risinot pirmajā veidā, piemēram, mēs pārbaudīsim zīmi $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Tā kā $u_(xx)^("")(M_1)>0$, tad $M_1$ ir funkcijas $u(x)$ minimālais punkts un $u_(\min)=u(0)=0 $ . Kopš $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Funkcijas $u(x)$ vērtības noteiktajam savienojuma nosacījumam sakrīt ar funkcijas $z(x,y)$ vērtībām, t.i. atrastās funkcijas $u(x)$ ekstrēmas ir funkcijas $z(x,y)$ meklētās nosacītās ekstremitātes.

Atbilde: punktā $(0;0)$ funkcijai ir nosacījuma minimums, $z_(\min)=0$. Punktā $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcijai ir nosacīts maksimums, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Apskatīsim vēl vienu piemēru, kurā mēs noskaidrosim ekstrēma būtību, nosakot $d^2F$ zīmi.

Piemērs Nr.3

Atrodiet funkcijas $z=5xy-4$ lielāko un mazāko vērtību, ja mainīgie $x$ un $y$ ir pozitīvi un apmierina savienojuma vienādojumu $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Izveidosim Lagranža funkciju: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Atradīsim Lagranža funkcijas stacionāros punktus:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin (līdzināts) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0. \end(līdzināts) \pa labi;

Visas turpmākās transformācijas tiek veiktas, ņemot vērā $x > 0; \; y > 0$ (tas ir norādīts problēmas paziņojumā). No otrā vienādojuma mēs izsakām $\lambda=-\frac(5x)(y)$ un aizstājam atrasto vērtību pirmajā vienādojumā: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Trešajā vienādojumā aizstājot $x=2y$, mēs iegūstam: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1$.

Tā kā $y=1$, tad $x=2$, $\lambda=-10$. Ekstrēmuma raksturu mēs nosakām punktā $(2;1)$, pamatojoties uz $d^2F$ zīmi.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Tā kā $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, tad:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Principā šeit uzreiz var aizstāt stacionārā punkta $x=2$, $y=1$ koordinātas un parametru $\lambda=-10$, iegūstot:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Tomēr citās problēmās nosacītā galējībā var būt vairāki stacionāri punkti. Šādos gadījumos labāk ir attēlot $d^2F$ vispārīgā formā un pēc tam aizstāt katra atrastā stacionārā punkta koordinātas iegūtajā izteiksmē:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Aizstājot $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, mēs iegūstam:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Kopš $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Atbilde: punktā $(2;1)$ funkcijai ir nosacījuma maksimums, $z_(\max)=6$.

Nākamajā daļā aplūkosim Lagranža metodes pielietojumu lielāka skaita mainīgo funkcijām.

Lagranža reizinātāja metode.

Lagranža reizinātāja metode ir viena no metodēm, kas ļauj atrisināt problēmas bez lineārā programmēšana.

Nelineārā programmēšana ir matemātiskās programmēšanas nozare, kas pēta metodes ekstremālu problēmu risināšanai ar nelineāru mērķa funkciju un iespējamu risinājumu reģionu, ko nosaka nelineāri ierobežojumi. Ekonomikā tas atbilst tam, ka rezultāti (efektivitāte) pieaug vai samazinās nesamērīgi ar resursu izmantošanas apjoma (vai, kas tas ir, ražošanas apjoma) izmaiņām: piemēram, sakarā ar ražošanas izmaksu sadali uzņēmumus mainīgos un daļēji fiksētos; preču pieprasījuma piesātinājuma dēļ, kad katru nākamo vienību ir grūtāk pārdot nekā iepriekšējo utt.

Nelineārās programmēšanas problēma tiek izvirzīta kā noteiktas optimuma atrašanas problēma mērķa funkcija

F(x 1,…x n), F (x) → maks

kad nosacījumi ir izpildīti

g j (x 1,…x n) ≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

Kur x-nepieciešamo mainīgo vektors;

F (x) -objektīva funkcija;

g (x) - ierobežojuma funkcija (nepārtraukti diferencējama);

b - ierobežojumu konstantu vektors.

Nelineāras programmēšanas problēmas risinājums (globālais maksimums vai minimums) var piederēt pie pieļaujamās kopas robežas vai iekšpuses.

Atšķirībā no lineārās programmēšanas problēmas, nelineārās programmēšanas uzdevumā optimālais ne vienmēr atrodas uz ierobežojumu definētā reģiona robežas. Citiem vārdiem sakot, uzdevums ir atlasīt tādas nenegatīvas mainīgo vērtības, kas pakļautas ierobežojumu sistēmai nevienlīdzību veidā, saskaņā ar kurām tiek sasniegts noteiktās funkcijas maksimums (vai minimums). Šajā gadījumā nav norādītas ne mērķfunkcijas, ne nevienlīdzību formas. Var būt dažādi gadījumi: mērķa funkcija ir nelineāra, un ierobežojumi ir lineāri; mērķa funkcija ir lineāra, un ierobežojumi (vismaz viens no tiem) ir nelineāri; gan mērķa funkcija, gan ierobežojumi ir nelineāri.

Nelineārās programmēšanas problēma ir sastopama dabaszinātnēs, tehnoloģijās, ekonomikā, matemātikā un biznesa attiecības un valdības zinātnē.

Piemēram, nelineārā programmēšana ir saistīta ar ekonomikas pamatproblēmu. Tādējādi ierobežoto resursu piešķiršanas problēmā vai nu efektivitāte, vai, ja tiek pētīts patērētājs, patēriņš tiek maksimizēts ierobežojumu klātbūtnē, kas izsaka resursu trūkuma nosacījumus. Šādā vispārīgā formulējumā problēmas matemātiskā formulēšana var būt neiespējama, bet konkrētos lietojumos visu funkciju kvantitatīvo formu var noteikt tieši. Piemēram, rūpniecības uzņēmums ražo plastmasas izstrādājumus. Ražošanas efektivitāte šeit tiek mērīta ar peļņu, un ierobežojumi tiek interpretēti kā nauda darbaspēks, ražošanas zonas, iekārtu veiktspēja utt.

Izmaksu efektivitātes metode iekļaujas arī nelineārās programmēšanas shēmā. Šī metode tika izstrādāts izmantošanai lēmumu pieņemšanā valdībā. Kopēja efektivitātes funkcija ir labklājība. Šeit rodas divas nelineāras programmēšanas problēmas: pirmā ir efekta maksimizēšana ar ierobežotām izmaksām, otrā ir izmaksu samazināšana, ja efekts pārsniedz noteiktu minimālo līmeni. Šī problēma parasti ir labi modelēta, izmantojot nelineāro programmēšanu.

Nelineāras programmēšanas problēmas risināšanas rezultāti ir noderīgi valdības lēmumu pieņemšanā. Iegūtais risinājums, protams, ir ieteicams, tāpēc pirms galīgā lēmuma pieņemšanas ir jāpārbauda nelineārās programmēšanas problēmas pieņēmumi un precizitāte.

Nelineāras problēmas ir sarežģītas, tās bieži vien tiek vienkāršotas, novedot pie lineārām. Lai to izdarītu, parasti tiek pieņemts, ka noteiktā apgabalā mērķa funkcija palielinās vai samazinās proporcionāli neatkarīgo mainīgo izmaiņām. Šo pieeju sauc par pa daļām lineāro aproksimāciju metodi, taču tā ir piemērojama tikai noteikta veida nelineārām problēmām.

Nelineāras problēmas noteiktos apstākļos tiek atrisinātas, izmantojot Lagranža funkciju: atrodot tā seglu punktu, tiek atrasts problēmas risinājums. Starp skaitļošanas algoritmiem N. lpp. lieliska vieta ieņemt gradienta metodes. Nav nevienas universālas metodes nelineārām problēmām, un acīmredzot arī var nebūt, jo tās ir ļoti dažādas. Īpaši grūti ir atrisināt multiextremālas problēmas.

Viena no metodēm, kas ļauj reducēt nelineāras programmēšanas problēmu līdz vienādojumu sistēmas risināšanai, ir Lagranža metode nenoteiktajiem reizinātājiem.

Izmantojot Lagranža reizinātāja metodi, mēs būtībā izveidojam nepieciešamos nosacījumus, kas ļauj identificēt optimālos punktus optimizācijas problēmās ar ierobežojumiem vienādību veidā. Šajā gadījumā problēma ar ierobežojumiem tiek pārveidota par līdzvērtīgu problēmu beznosacījumu optimizācija, kas ietver dažus nezināmus parametrus, ko sauc par Lagranža reizinātājiem.

Lagranža reizinātāja metode sastāv no nosacītā ekstrēma problēmu samazināšanas līdz uzdevumiem palīgfunkcijas beznosacījuma galējībā - tā sauktajā. Lagranža funkcijas.

Funkcijas galējības problēmai f(x 1, x 2,..., x n) ar nosacījumiem (ierobežojumu vienādojumi) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, Lagranža funkcijai ir forma

L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,… λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Reizinātāji λ 1 , λ 2 , ..., λm sauca Lagranža reizinātāji.

Ja vērtības x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm vienādojumu atrisinājumu būtība, kas nosaka Lagranža funkcijas stacionāros punktus, proti, diferencējamām funkcijām ir vienādojumu sistēmas risinājumi

tad ar diezgan vispārīgiem pieņēmumiem x 1 , x 2 , ..., x n nodrošina funkcijas f ekstrēmu.

Apsveriet problēmu samazināt n mainīgo funkciju, kas pakļauta vienam ierobežojumam vienādības formā:

Samazināt f(x 1, x 2… x n) (1)

ar ierobežojumiem h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Saskaņā ar Lagranža reizinātāja metodi šī problēma tiek pārveidota par šādu neierobežotu optimizācijas problēmu:

samazināt L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

kur funkciju L(x;λ) sauc par Lagranža funkciju,

λ ir nezināma konstante, ko sauc par Lagranža reizinātāju. λ zīmei nav prasību.

Pieņemsim, ka noteiktai vērtībai λ=λ 0 funkcijas L(x,λ) beznosacījuma minimums attiecībā pret x punktos x=x 0 un x 0 apmierina vienādojumu h 1 (x 0)=0 . Tad, kā ir viegli redzēt, x 0 samazina (1), ņemot vērā (2), jo visām x vērtībām, kas atbilst (2), h 1 (x) = 0 un L(x, λ) = min f(x).

Protams, ir jāizvēlas vērtība λ=λ 0, lai beznosacījuma minimālā punkta koordināte x 0 atbilstu vienādībai (2). To var izdarīt, ja, uzskatot λ par mainīgo, funkcijas (3) beznosacījuma minimumu atrast funkcijas λ formā un pēc tam izvēlēties λ vērtību, pie kuras ir izpildīta vienādība (2). Ilustrēsim to ar konkrētu piemēru.

Samaziniet f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

saskaņā ar ierobežojumu h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Atbilstošā neierobežotās optimizācijas problēma ir uzrakstīta šādi:

samazināt L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Risinājums. Pielīdzinot abas gradienta L sastāvdaļas nullei, mēs iegūstam

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Lai pārbaudītu, vai stacionārais punkts x° atbilst minimumam, mēs aprēķinām funkcijas L(x;u) Hesa ​​matricas elementus, kas tiek uzskatīti par x funkciju,

kas izrādās pozitīvs noteikts.

Tas nozīmē, ka L(x,u) ir x izliekta funkcija. Līdz ar to koordinātas x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 nosaka globālo minimālo punktu. Optimāla vērtībaλ tiek atrasts, aizstājot vērtības x 1 0 un x 2 0 vienādojumā 2x 1 + x 2 =2, no kura 2λ+λ/2=2 vai λ 0 =4/5. Tādējādi nosacītais minimums tiek sasniegts pie x 1 0 =4/5 un x 2 0 =2/5 un ir vienāds ar min f(x) = 4/5.

Risinot piemēra uzdevumu, mēs uzskatījām L(x;λ) kā divu mainīgo x 1 un x 2 funkciju un papildus pieņēmām, ka parametra λ vērtība ir izvēlēta tā, lai ierobežojums būtu izpildīts. Ja sistēmas risinājums

J=1,2,3,…,n

λ nevar iegūt eksplicītu funkciju veidā, tad x un λ vērtības tiek atrastas, atrisinot šādu sistēmu, kas sastāv no n+1 vienādojumiem ar n+1 nezināmajiem:

J = 1, 2, 3, …, n., h 1 (x) = 0

Lai atrastu visus iespējamie risinājumiŠī sistēma var izmantot skaitliskās meklēšanas metodes (piemēram, Ņūtona metodi). Katram no risinājumiem () jāaprēķina funkcijas L Hesa ​​matricas elementi, kas tiek uzskatīti par x funkciju, un jānoskaidro, vai šī matrica ir pozitīva noteikta (lokālais minimums) vai negatīva noteikta (lokālais maksimums). ).

Lagranža reizinātāja metodi var attiecināt uz gadījumu, kad problēmai ir vairāki ierobežojumi vienādību veidā. Apsveriet vispārīgu problēmu, kas prasa

Samazināt f(x)

ar ierobežojumiem h k =0, k=1, 2, ..., K.

Lagranža funkcijai ir šāda forma:

Šeit λ 1 , λ 2 , ..., λk-Lagranža reizinātāji, t.i. nezināmi parametri, kuru vērtības ir jānosaka. Pielīdzinot L daļējos atvasinājumus attiecībā pret x ar nulli, mēs iegūstam šādu n vienādojumu sistēmu ar n nezināmajiem:

Ja iepriekšminētajai sistēmai ir grūti atrast risinājumu vektora λ funkciju veidā, tad sistēmu var paplašināt, iekļaujot ierobežojumus vienādību veidā

Paplašinātās sistēmas atrisinājums, kas sastāv no n + K vienādojumiem ar n + K nezināmajiem, nosaka funkcijas L stacionāro punktu. Pēc tam tiek realizēta minimuma vai maksimuma pārbaudes procedūra, kas tiek veikta, pamatojoties uz aprēķinu. funkcijas L Hesa ​​matricas elementi, kas tiek uzskatīti par x funkciju, līdzīgi kā tas tika darīts problēmas ar vienu ierobežojumu gadījumā. Dažām problēmām paplašinātajai n+K vienādojumu sistēmai ar n+K nezināmajiem var nebūt atrisinājumu, un Lagranža reizinātāja metode izrādās nepiemērota. Tomēr jāatzīmē, ka šādi uzdevumi praksē ir diezgan reti.

Apsvērsim īpašs gadījums kopīgs uzdevums nelineārā programmēšana, pieņemot, ka ierobežojumu sistēma satur tikai vienādojumus, nav nosacījumu mainīgo lielumu nenegatīvumam un un - funkcijas ir nepārtrauktas kopā ar to daļējiem atvasinājumiem. Tāpēc, atrisinot vienādojumu sistēmu (7), iegūstam visus punktus, kuros funkcijai (6) var būt galējās vērtības.

Algoritms Lagranža reizinātāja metodei

1. Sastādiet Lagrange funkciju.

2. Atrodiet Lagranža funkcijas daļējos atvasinājumus attiecībā pret mainīgajiem lielumiem x J ,λ i un pielīdziniet tos nullei.

3. Atrisinām vienādojumu sistēmu (7), atrodam punktus, kuros uzdevuma mērķfunkcijai var būt ekstrēmums.

4. Starp punktiem, kas ir aizdomīgi par ekstrēmu, mēs atrodam tos, kuros tiek sasniegts galējības punkts, un aprēķinām funkcijas (6) vērtības šajos punktos.

Piemērs.

Sākotnējie dati: Saskaņā ar ražošanas plānu uzņēmumam nepieciešams saražot 180 produktus. Šos produktus var ražot divos tehnoloģiskos veidos. Ražojot x 1 produktu ar 1. metodi, izmaksas ir 4x 1 +x 1 2 rubļi, un, ražojot x 2 produktus ar 2. metodi, tie ir 8x 2 +x 2 2 rubļi. Nosakiet, cik daudz produktu vajadzētu ražot, izmantojot katru metodi, lai ražošanas izmaksas būtu minimālas.

Noteiktās problēmas mērķa funkcijai ir forma
® min apstākļos x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Sastādiet Lagrange funkciju
.
2. Mēs aprēķinām daļējos atvasinājumus attiecībā uz x 1, x 2, λ un pielīdzinām tos nullei:

3. Atrisinot iegūto vienādojumu sistēmu, atrodam x 1 =91,x 2 =89

4. Veicot aizvietošanu mērķa funkcijā x 2 =180-x 1, iegūstam viena mainīgā funkciju, proti, f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Mēs aprēķinām vai 4x 1 -364=0 ,

no kurienes mums ir x 1 * = 91, x 2 * = 89.

Atbilde: Ar pirmo metodi ražoto produktu skaits ir x 1 =91, ar otro metodi x 2 =89, savukārt mērķa funkcijas vērtība ir vienāda ar 17 278 rubļiem.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

sastāv no patvaļīgu konstantu ck aizstāšanas vispārējā risinājumā

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

atbilstošs homogēns vienādojums

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

uz palīgfunkcijām ck(t), kuru atvasinājumi apmierina lineāro algebrisko sistēmu

Sistēmas (1) determinants ir funkciju z1,z2,...,zn Vronskis, kas nodrošina tās unikālo atrisināmību attiecībā pret .

Ja ir antiatvasinājumi, kas ņemti ar fiksētām integrācijas konstantu vērtībām, tad funkcija

ir sākotnējā lineārā nehomogēnā diferenciālvienādojuma risinājums. Integrācija nehomogēns vienādojums atbilstošā viendabīgā vienādojuma vispārīga risinājuma klātbūtnē tas tādējādi tiek reducēts līdz kvadratūrām.

Lagranža metode (patvaļīgu konstantu variācijas metode)

Metode nehomogēna vienādojuma vispārīga risinājuma iegūšanai, zinot homogēna vienādojuma vispārējo atrisinājumu, neatrodot konkrētu risinājumu.

Lineāram homogēnam n-tās kārtas diferenciālvienādojumam

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

kur y = y(x) ir nezināma funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) ir zināmi, nepārtraukti, patiesi: 1) ir n lineāri neatkarīgi risinājumi vienādojumi y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) jebkurām konstantu c1, c2, ..., cn vērtībām funkcija y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ir vienādojuma risinājums; 3) jebkurām sākotnējām vērtībām x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 ir vērtības c*1, c*n, ..., c*n, lai risinājums y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) pie x = x0 apmierina sākotnējos nosacījumus y*(x0)=y0, (y *)"(x0) =y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Izteiksme y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) tiek saukta vispārējs lēmums lineārs homogēns n-tās kārtas diferenciālvienādojums.

Lineāra homogēna diferenciālvienādojuma n-tās kārtas y1(x), y2(x), ..., yn(x) lineāri neatkarīgu risinājumu kopu sauc par vienādojuma atrisinājumu pamatsistēmu.

Lineāram viendabīgam diferenciālvienādojumam ar pastāvīgie koeficienti ir vienkāršs algoritms fundamentālas risinājumu sistēmas izveidošanai. Mēs meklēsim vienādojuma risinājumu formā y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, t.i., skaitlis l ir sakne raksturīgais vienādojums ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Raksturīgā vienādojuma kreiso pusi sauc par lineārā diferenciālvienādojuma raksturīgo polinomu: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Tādējādi n-tās kārtas lineāra homogēna vienādojuma ar nemainīgiem koeficientiem atrisināšanas problēma tiek reducēta līdz algebriskā vienādojuma atrisināšanai.

Ja raksturojošajam vienādojumam ir n dažādas reālās saknes l1№ l2 № ... № ln, tad atrisinājumu pamatsistēmu veido funkcijas y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), un viendabīgā vienādojuma vispārīgais risinājums ir: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

fundamentāla risinājumu sistēma un vispārējs risinājums vienkāršu reālu sakņu gadījumam.

Ja kāda no raksturīgā vienādojuma reālajām saknēm atkārtojas r reizes (r-multiple sakne), tad fundamentālajā atrisinājumu sistēmā ir tai atbilstošas ​​r funkcijas; ja lk=lk+1 = ... = lk+r-1, tad in pamatsistēma vienādojuma risinājumi ietver r funkcijas: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1(x) =xr-1 exp(lnx).

PIEMĒRS 2. Fundamentāla risinājumu sistēma un vispārējs risinājums vairāku reālu sakņu gadījumam.

Ja raksturīgajam vienādojumam ir sarežģītas saknes, tad katrs vienkāršu (ar reizinājumu 1) komplekso sakņu pāris lk,k+1=ak ± ibk fundamentālajā risinājumu sistēmā atbilst funkciju pārim yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

PIEMĒRS 4. Fundamentāla risinājumu sistēma un vispārīgs risinājums vienkāršu sarežģītu sakņu gadījumam. Iedomātas saknes.

Ja kompleksam sakņu pārim ir daudzkārtība r, tad šāds pāris lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, fundamentālajā risinājumu sistēmā atbilst funkcijām exp(akx)cos( bkx), exp(akx)sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

PIEMĒRS 5. Fundamentāla risinājumu sistēma un vispārējs risinājums vairāku sarežģītu sakņu gadījumam.

Tātad, lai rastu vispārīgu risinājumu lineāram homogēnam diferenciālvienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem, vajadzētu: pierakstīt raksturīgo vienādojumu; atrast visas raksturīgā vienādojuma l1, l2, ... , ln saknes; pierakstiet atrisinājumu fundamentālo sistēmu y1(x), y2(x), ..., yn(x); pierakstiet izteiksmi vispārīgajam risinājumam y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Lai atrisinātu Košī problēmu, vispārējā risinājuma izteiksme ir jāaizstāj ar sākotnējiem nosacījumiem un jānosaka konstantu c1,..., cn vērtības, kas ir lineārās sistēmas risinājumi. algebriskie vienādojumi c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Lineāram nehomogēnam n-tās kārtas diferenciālvienādojumam

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

kur y = y(x) ir nezināma funkcija, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) ir zināmi, nepārtraukti, derīgi: 1 ) ja y1(x) un y2(x) ir divi atrisinājumi neviendabīgam vienādojumam, tad funkcija y(x) = y1(x) - y2(x) ir atbilstošā homogēnā vienādojuma atrisinājums; 2) ja y1(x) ir nehomogēna vienādojuma risinājums un y2(x) ir atbilstošā viendabīgā vienādojuma risinājums, tad funkcija y(x) = y1(x) + y2(x) ir atrisinājums nehomogēns vienādojums; 3) ja y1(x), y2(x), ..., yn(x) ir n lineāri neatkarīgi viendabīga vienādojuma atrisinājumi, un ych(x) - patvaļīgs lēmums nehomogēns vienādojums, tad jebkurām sākotnējām vērtībām x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 pastāv tādas vērtības c*1, c*n, ..., c*n, lai risinājums y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) apmierina sākotnējos nosacījumus y*(x0)=y0 , (y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Izteiksmi y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) sauc par n-tās kārtas lineāra nehomogēna diferenciālvienādojuma vispārīgo risinājumu.

Atrast konkrētus nehomogēnu risinājumus diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem ar formas labajām malām: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), kur Pk(x), Qm(x) ir polinomi k un m pakāpes Attiecīgi ir vienkāršs algoritms konkrēta risinājuma konstruēšanai, ko sauc par atlases metodi.

Atlases metode vai metode nenoteikti koeficienti, ir šāds. Nepieciešamo vienādojuma atrisinājumu raksta šādā formā: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, kur Pr(x), Qr(x ) ir r = max(k, m) pakāpes polinomi ar nezināmiem koeficientiem pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Faktoru xs sauc par rezonanses faktoru. Rezonanse notiek gadījumos, kad starp raksturīgā vienādojuma saknēm ir daudzkārtības s sakne l =a ± ib. Tie. ja starp atbilstošā homogēnā vienādojuma raksturīgā vienādojuma saknēm ir tāds, ka tā reālā daļa sakrīt ar koeficientu eksponenta eksponentā un tā iedomātā daļa sakrīt ar koeficientu argumentā trigonometriskā funkcija vienādojuma labajā pusē, un šīs saknes reizinājums ir s, tad nepieciešamais daļējais risinājums satur rezonanses koeficientu xs. Ja šādas sakritības nav (s=0), tad nav arī rezonanses faktora.

Konkrētā risinājuma izteiksmes aizstāšana ar kreisā puse vienādojumu, iegūstam tādas pašas formas vispārinātu polinomu kā polinoms vienādojuma labajā pusē, kura koeficienti nav zināmi.

Divi vispārināti polinomi ir vienādi tad un tikai tad, ja formas xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) koeficienti ar vienādām pakāpēm t ir vienādi. Pielīdzinot šādu faktoru koeficientus, iegūstam 2(r+1) lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu 2(r+1) nezināmajiem. Var pierādīt, ka šāda sistēma ir konsekventa un tai ir unikāls risinājums.