Энэ хэсэгт бид холбогдох ажлуудыг авч үзэх болно янз бүрийн системүүдөгөгдсөн харьцаагаар сегментийг хуваах замаар координат.
Цэгүүдийн координатыг дараах байдлаар өгөв. А(4; 3), IN(7; 6), ХАМТ(2; 11). Гурвалжин гэдгийг баталцгаая ABCтэгш өнцөгт.
Гурвалжны талуудын уртыг ол ABC. Энэ зорилгоор бид хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг олох боломжийг олгодог томьёог ашигладаг.
Хажуугийн урт нь тэнцүү байна:
Энэ гурвалжны талуудын хувьд Пифагорын теорем хэрэгжинэ гэж үзвэл
дараа нь гурвалжин ABC- тэгш өнцөгт.
Оноо өгдөг А(2; 1) ба IN(8; 4). Цэгийн координатыг ол М(X; цагт), сегментийг 2: 1 харьцаагаар хуваана.
Гол санааг эргэн санацгаая М(X; цагт) сегментийг хуваана AB, Хаана А(x А , y А), Б(x Б , y Б), λ: μ-тай холбоотой, хэрэв координатууд нь нөхцөлийг хангаж байвал:
,
.
Нэг цэг олъё Мөгөгдсөн сегментийн хувьд
,
.
Тэгэхээр гол нь М(6; 3) сегментийг хуваана AB 2: 1 харьцаатай.
Цэгийн тэгш өнцөгт координатыг ол А(
3π/4), хэрэв туйл нь координатын эхлэлтэй давхцаж, туйлын тэнхлэг нь абсцисса тэнхлэгийн дагуу чиглүүлсэн бол.
Туйлшралаас тэгш өнцөгт координатын систем рүү шилжих томъёог харгалзан үзэх
x = r cosφ, y = r sinφ,
бид авдаг
,
.
Тэгш өнцөгт декартын координатын системд цэгийн координатууд байна А(–2; 2).
Дараах тэгш өнцөгт координаттай цэгүүдийн туйлын координатыг олцгооё.
А(
;
2),IN(–4;
4), ХАМТ(–7;
0).
Бид тэгш өнцөгт координатаас туйл руу шилжих томъёог ашигладаг.
,
.
Цэгийн координатыг авцгаая А:
,
.
Тиймээс А(4; π/6) – туйлын координат (Зураг 15).
Нэг цэгийн хувьд IN(Зураг 16) бидэнд байна
,
.
Тиймээс цэгийн туйлын координатууд IN(
, 3π/4).
Гол санааг анхаарч үзээрэй ХАМТ(–7; 0) (Зураг 17). Энэ тохиолдолд
,
,
.
Та цэгийн туйлын координатыг бичиж болно ХАМТ(7; π).
Векторын уртыг олъё а = 20би + 30j – 60к ба түүний чиглэлийн косинусууд.
Чиглэлийн косинусууд нь вектор болдог өнцгийн косинусууд гэдгийг санаарай а (а 1 , а 2 , а 3) координатын тэнхлэгүүдтэй хэлбэрүүд:
,
,
,
Хаана 
.
Эдгээр томьёог энэ вектор дээр ашигласнаар бид олж авна
,
.
Бид векторыг хэвийн болгодог а = 3би + 4j – 12к .
Векторыг хэвийн болгох нь нэгж урттай векторыг олох явдал юм А
0, энэ вектортой ижил аргаар чиглүүлсэн. Дурын векторын хувьд а
(а 1 ,
а 2 ,
а 3) нэгж урттай харгалзах векторыг үржүүлэх замаар олж болно а
хэсэг рүү 
.
.
Манай тохиолдолд нэгж урттай вектор:
.
Векторуудын скаляр үржвэрийг олъё
а = 4би + 5j + 6к Тэгээд б = 3би – 4j + к .
Векторуудын скаляр үржвэрийг олохын тулд харгалзах координатыг үржүүлж, үр дүнг нэмэх шаардлагатай. Тэгэхээр векторуудын хувьд а = а 1 би + а 2 j + а 3 к Тэгээд б = б 1 би + б 2 j + б 3 к скаляр бүтээгдэхүүн нь дараах хэлбэртэй байна.
(а , б ) = а 1 б 1 + а 2 б 2 + а 3 б 3 .
Эдгээр векторуудын хувьд бид авдаг
(а , б ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Векторууд гэдгийг харуулъя а = 2би – 3j + 5к Тэгээд б = би + 4j + 2к перпендикуляр.
Хэрэв цэгийн үржвэр нь тэг байвал хоёр вектор перпендикуляр байна.
Скаляр үржвэрийг олъё:
(а , б ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Тиймээс векторууд А Тэгээд б перпендикуляр.
Параметрийн ямар утгатай болохыг олж мэдье мвекторууд а = 2би + 3j + мк Тэгээд б = 3би + мj – 2к перпендикуляр.
Векторуудын скаляр үржвэрийг олъё А Тэгээд б :
(а , б ) = 2∙3 + 3∙м – 2∙м = 6 + м.
Скаляр үржвэр нь тэг байвал векторууд перпендикуляр байна. Бид бүтээгдэхүүнийг тэгтэй тэнцүүлж байна ( А , б ):
6 + м = 0.
At м= – 6 вектор А Тэгээд б перпендикуляр.
Жишээ 10.
Скаляр үржвэрийг олцгооё (3 А + 4б , 2А – 3б ), хэрэв | а | = 2, |б | = 1 ба хоорондын өнцөг φ А Тэгээд б π/3-тай тэнцүү.
Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглая:
(α а , β б ) = αβ( а , б ),
(а + б , в ) = (а , в ) + (б , в ),
(а , б ) = (б , а )
(а , а ) = |а | 2 ,
түүнчлэн скаляр бүтээгдэхүүний тодорхойлолт ( а , б ) = |а |∙|б |∙cosφ. Скаляр үржвэрийг хэлбэрээр дахин бичье
(3а + 4б , 2а – 3б ) = 6(а , а ) – 9(а , б ) + 8(б , а ) – 12(б , б ) =
6|а | 2 – (а , б ) – 12|б | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Жишээ 11.
Векторуудын хоорондох өнцгийг тодорхойлъё
а = би + 2j + 3к Тэгээд б = 6би + 4j – 2к .
Өнцгийг олохын тулд бид хоёр векторын скаляр үржвэрийн тодорхойлолтыг ашигладаг
(а , б ) = |а |∙|б |∙cosφ,
энд φ нь векторуудын хоорондох өнцөг юм А Тэгээд б . Энэ томъёоноос cosφ-ийг илэрхийлье
.
Үүнийг харгалзан үзвэл ( А
,
б
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, бид дараахыг авна:
.
Тиймээс, 
.
Жишээ 12.
а = 5би – 2j + 3к Тэгээд б = би + 2j – 4к .
Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн гэдгийг мэддэг а = а 1 би + а 2 j + а 3 к Тэгээд б = б 1 би + б 2 j + б 3 к томъёогоор олно
.
Тиймээс эдгээр векторуудын хувьд
2би + 23j + 12к .
Өмнөх жишээн дээрх шиг вектор бүтээгдэхүүний модулийг олохын тулд вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг ашиглах бөгөөд үүнийг хүчин зүйлийн координатаар илэрхийлэхгүй байх жишээг авч үзье.
Жишээ 13.
Векторуудын вектор үржвэрийн модулийг олъё А + 2б ба 2 А – 3б , хэрэв | а | = 1, |б | = 2 ба векторуудын хоорондох өнцөг А Тэгээд б 30°-тай тэнцүү байна.
Вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос дурын векторуудын хувьд тодорхой байна А Тэгээд б түүний модуль байна
|[а , б ] | = |а | ∙ |б | ∙ нүгэл φ.
Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг харгалзан үзэх
[а , б ] = – [б , а ],
[а , а ] = 0,
[α а + β б , в ] = α[ а , в ] + β[ б , в ],
бид авдаг
[а + 2б , 2а – 3б ] = 2[а , а ] – 3[а , б ] + 4[б , а ] – 6[б , б ] = –7[а , б ].
Энэ нь вектор үржвэрийн модуль тэнцүү байна гэсэн үг юм
|[а + 2б , 2а – 3б ]| = |–7[а , б ]| = 7 ∙ |а | ∙ |б | ∙ нүгэл 30° = 7∙1∙2∙0.5 = 7.
Жишээ 14.
Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг тооцоолъё
а = 6би + 3j – 2к Тэгээд б = 3би – 2j + 6к .
Хоёр векторын вектор үржвэрийн модуль гэдгийг мэддэг талбайтай тэнцүүЭдгээр векторууд дээр баригдсан параллелограмм. Вектор үржвэрийг дараах томъёогоор олъё.
,
Хаана а = а 1 би + а 2 j + а 3 к Тэгээд б = б 1 би + б 2 j + б 3 к . Дараа нь бид түүний модулийг тооцоолно.
Эдгээр векторуудын хувьд бид авдаг
14би – 42j – 21к .
Тиймээс параллелограммын талбай нь байна
С = |[а , б ]| = (кв. нэгж).
Жишээ 15.
Оройтой гурвалжны талбайг тооцоол А(1;2;1), IN(3;3;4), ХАМТ(2;1;3).
Мэдээжийн хэрэг, гурвалжны талбай ABCвекторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайн хагастай тэнцүү байна 
Тэгээд 
.
Хариуд нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай 
Тэгээд 
, вектор үржвэрийн модультай тэнцүү [ 
]. Тиймээс
|[
]|.
Векторуудын координатыг олъё 
Тэгээд 
, векторын төгсгөлийн координатаас эхлэлийн харгалзах координатыг хасаад бид олж авна.
= (3 –
1)би
+ (3 – 2)j
+ (4 – 1)к
= 2би
+ j
+ 3к
,
= (2 –
1)би
+ (1 – 2)j
+ (3 – 1)к
= би
– j
+ 2к
.
Вектор үржвэрийг олъё:
[
,
]
=
5би
– j
– 3к
.
Вектор бүтээгдэхүүний модулийг олъё:
|[
]|
=
.
Тиймээс бид гурвалжны талбайг авч болно:
(кв. нэгж).
Жишээ 16.
Векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг тооцоолъё а + 3б ба 3 а – б , хэрэв | а | = 2, |б | = 1 ба хоорондын өнцөг А Тэгээд б 30°-тай тэнцүү байна.
13-р жишээнд заасан тодорхойлолт, шинж чанарыг ашиглан вектор бүтээгдэхүүний модулийг олъё
[а + 3б , 3а – б ] = 3[а , а ] – [а , б ] + 9[б , а ] – 3[б , б ] = –10[а , б ].
Энэ нь шаардлагатай талбай нь тэнцүү байна гэсэн үг юм
С = |[а + 3б , 3а – б ]| = |–10[а , б ]| = 10 ∙ |а | ∙ |б | ∙ гэм 30° =
10∙2∙1∙0.5 = 10 (кв. нэгж).
Дараах жишээнүүдэд векторуудын холимог үржвэрийг ашиглах болно.
Жишээ 17.
Тэр векторуудыг харуул а = би + 2j – к , б = 3би + к Тэгээд -тай = 5би + 4j – к хавтгай.
Холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү бол векторууд хоорондоо уялдаатай байна. Дурын векторуудын хувьд
а = а 1 би + а 2 j + а 3 к , б = б 1 би + б 2 j + б 3 к , в = в 1 би + в 2 j + в 3 к
Бид холимог бүтээгдэхүүнийг дараах томъёогоор олно.
.
Эдгээр векторуудын хувьд бид авдаг
.
Иймд эдгээр векторууд хоорондоо уялдаатай байна.
Оройтой гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг ол А(1;1;1), IN(3;2;1), ХАМТ(2;4;3), Д(5;2;4).
Векторуудын координатыг олъё 
,
Тэгээд 
, пирамидын ирмэгүүдтэй давхцаж байна. Векторын төгсгөлийн координатаас эхлэлийн харгалзах координатыг хасаад бид олж авна
= 2би
+ 3j
,
= би
+ 3j
+ 2к
,
= 4би
+ j
+ 3к
.
Пирамидын эзэлхүүн нь векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүний 1/6-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг. 
,
Тэгээд 
. Тиймээс,
.
Хариуд нь параллелепипедийн эзэлхүүн нь холимог бүтээгдэхүүний модультай тэнцүү байна
В парал
= |(
,
,
)|.
Холимог бүтээгдэхүүнийг олъё
(
,
,
)
=
.
Тэгэхээр пирамидын эзэлхүүн байна
(куб нэгж).
Дараах жишээн дээр бид вектор алгебрийн боломжит хэрэглээг харуулах болно.
Жишээ 19.
2-р векторууд коллинеар байгаа эсэхийг шалгая А + б Тэгээд А – 3б , Хаана а = 2би + j – 3к Тэгээд б = би + 2j + 4к .
2-р векторуудын координатыг олъё А + б Тэгээд А – 3б :
2А + б = 2(2би + j – 3к ) + би + 2j + 4к = 5би + 4j – 2к ,
А – 3б = 2би + j – 3к – 3(би + 2j + 4к ) = –би – 5j – 15к .
Коллинеар векторууд пропорциональ координаттай байдаг нь мэдэгдэж байна. Үүнийг харгалзан үзвэл
,
Бид 2 вектор байгааг олж мэдэв А + б Тэгээд А – 3б шугаман бус.
Энэ асуудлыг өөр аргаар шийдэж болох байсан. Векторуудын уялдаа холбоотой байх шалгуур нь векторын үржвэрийг тэгтэй тэнцүү байх явдал юм.
2[а , а ] – 6[а , б ] + [б , а ] – 3[б , б ] = –7[а , б ].
Векторуудын вектор үржвэрийг олъё А Тэгээд б :
10би – 11j + 3к ≠ 0.
Тиймээс,
= –7[а , б ] ≠ 0
ба векторууд 2 А + б Тэгээд А – 3б шугаман бус.
Жишээ 20.
Хүчний ажлыг олцгооё Ф (3; 2; 1), хэрэглэх цэг нь хэзээ А(2; 4;–6), шулуунаар хөдөлж, цэг рүү шилждэг IN(5; 2; 3).
Хүчний ажил нь хүчний скаляр үржвэр гэдгийг мэддэг Ф
шилжилтийн вектор руу 
.
Векторын координатыг олъё 
:
= 3би
– 2j
+ 9к
.
Тиймээс хүчний ажил Ф цэгийг хөдөлгөх замаар Аяг INскаляр үржвэртэй тэнцүү байх болно
(Ф
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Жишээ 21.
Хүч байх болтугай Ф (2;3;–1) цэгт хэрэглэнэ А(4;2;3). Хүчтэй Ф цэг Ацэг рүү шилждэг IN(3;1;2). Хүчний моментийн модулийг олъё Ф цэгтэй харьцуулахад IN.
Хүчний момент нь хүч ба шилжилтийн вектор үржвэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Шилжилтийн векторыг олъё 
:
= (3 –
4)би
+
(1 – 2)j
+ (2 – 3)к
= – би
–
j
– к
.
Хүчний моментийг вектор үржвэрээр олъё.
= – 4би + 3j + к .
Тиймээс хүчний моментийн модуль нь вектор бүтээгдэхүүний модультай тэнцүү байна.
|[Ф
,
]|
=
.
60) Векторуудын систем өгөгдсөн a =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). Үүнийг судлаарай шугаман хамаарал.
a) Векторуудын систем нь шугаман хамааралтай;
b) Векторуудын систем нь шугаман бие даасан;
в) зөв хариулт байхгүй байна.
61) Вектор системийг судлах
a =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) шугаман хамаарал руу.
а) векторын систем нь шугаман бие даасан;
б) векторын систем нь шугаман хамааралтай;
в) зөв хариулт байхгүй байна.
62) Векторуудын систем юм a =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =( , 1) шугаман хамааралтай юу?
а) үгүй, тийм биш;
б) тийм ээ.
63) илэрхийлсэн вектор байна b =(2, -1, 3) вектор системээр = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) үгүй, илэрхийлээгүй;
б) тийм ээ, энэ нь илэрхийлэгддэг.
64) Шугаман хамаарлын векторын системийг судал
a = , b = , c = .
a) шугаман бие даасан;
б) шугаман хамааралтай;
в) зөв хариулт байхгүй байна.
65) Шугаман хамаарлын векторын системийг судал
a = , b = , c =
a) шугаман бие даасан;
б) шугаман хамааралтай;
в) зөв хариулт байхгүй байна.
66) Векторуудын систем шугаман хамааралтай юу?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) шугаман хамааралтай;
б) шугаман бие даасан;
в) зөв хариулт байхгүй байна.
67) Шугаман бие даасан матрицын мөрийн тоог m-тэй, шугаман бие даасан матрицын баганын тоог n-тэй тэнцүү болго. Зөв мэдэгдлийг сонгоно уу.
г) хариулт нь матрицаас хамаарна.
68) Шугаман орон зайн суурь векторууд нь
a) шугаман хамааралтай;
б) шугаман бие даасан;
в) хариулт нь тодорхой үндэслэлээс хамаарна.
69) вектор гэж юу вэ?
a) энэ бол хөдөлгөөний чиглэлийг харуулсан туяа юм
б) энэ нь A цэг дээр эхлэл, В цэг дээр төгсгөлтэй, өөртэйгөө параллель хөдөлж болох чиглэсэн сегмент юм.
в) энэ нь бие биенээсээ ижил зайд орших олон цэгээс бүрдэх дүрс юм.
г) энэ нь эхлэл нь А цэгт, төгсгөл нь В цэгт байгаа хэрчмийг өөртэйгөө параллель шилжүүлэх боломжгүй
70) Хэрэв шугаман хослол бол 1 + 2 +….+ƛ rтоонуудын дунд байх үед тэг векторыг илэрхийлж болно ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ rнаад зах нь нэг тэг биш, тэгвэл векторын систем байна a 1, a 2,…., a pгэж нэрлэдэг:
a) шугаман бие даасан;
б) шугаман хамааралтай;
в) өчүүхэн;
г) өчүүхэн бус.
71) Хэрэв шугаман хослол бол 1 + 2 +….+ƛ rбүх тоо байх үед л тэг векторыг илэрхийлнэ ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ rтэгтэй тэнцүү бол векторуудын систем a 1, a 2,…., a pгэж нэрлэдэг:
a) шугаман бие даасан;
б) шугаман хамааралтай;
в) өчүүхэн;
г) өчүүхэн бус.
72) Вектор орон зайн үндэс нь тодорхой дарааллаар тодорхойлогдсон, дараахь нөхцлийг хангасан векторуудын систем юм.
a) Систем нь шугаман бие даасан;
б) Орон зайн дурын вектор нь өгөгдсөн системийн шугаман хослол юм;
в) хоёулаа зөв;
г) Аль аль нь буруу.
73) Тоогоор нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүдийн хувьд хаагдах шинж чанартай R n зайн дэд олонлогийг нэрлэнэ.
a) Rn зайны шугаман урьдчилсан орон зай;
b) Орон зайн проекц R n ;
в) Rn орон зайн шугаман дэд орон зай;
г) зөв хариулт байхгүй байна.
74) Хэрэв хязгаарлагдмал векторын систем нь шугаман хамааралтай дэд системийг агуулж байвал энэ нь:
a) Шугаман хамааралтай;
b) Шугаман бие даасан;
75) Хэрэв систем шугаман бол хамааралтай векторНэг буюу хэд хэдэн векторыг нэмбэл үр дүнд нь систем дараах байдалтай байна.
a) Шугаман хамааралтай;
b) Шугаман бие даасан;
в) Шугаман хамааралтай ба шугаман хамааралгүй.
76) Гурван векторыг копланар гэж нэрлэдэг, хэрэв тэдгээр нь:
a) Тэд зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг;
б) Тэд нэг шулуун шугам дээр байрладаг;
в) Шугаман бие даасан;
d) Тэд зэрэгцээ хавтгайд байрладаг;
77) Хоёр векторыг коллинеар гэнэ, хэрэв тэдгээр нь:
a) Тэд нэг хавтгайд хэвтэж байна;
б) Тэд зэрэгцээ хавтгайд байрладаг;
в) Шугаман бие даасан;
d) Тэд зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг;
78) Хоёр вектор шугаман хамааралтай байхын тулд тэдгээр нь дараах байдалтай байх шаардлагатай.
a) барьцаа хөрөнгө;
б) Хавсарсан;
в) Шугаман бие даасан;
d) Зөв сонголт байхгүй байна.
79) векторын бүтээгдэхүүн a=(а 1 ,а 2 ,а 3) тоог вектор гэж нэрлэдэг б, тэнцүү
A) ( а 1 , а 2 , а 3)
б) (+ а 1 , +a 2 , +a 3)
V) ( /а 1 , /а 2 , /а 3)
80) хэрэв хоёр вектор нэг шулуун дээр оршдог бол ийм векторууд байна
а) тэнцүү
б) хамтран найруулсан
в) хавсарсан
г) эсрэг чиглэлтэй
81) векторуудын скаляр үржвэр нь тэнцүү байна
a) тэдгээрийн уртын үржвэр;
б) тэдгээрийн уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр;
в) тэдгээрийн уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэр;
г) тэдгээрийн уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн тангенсаар үржүүлсэн үржвэр;
82) векторын бүтээгдэхүүн Аөөрийгөө дуудсан
a) векторын урт А
б) векторын скаляр квадрат А
в) вектор чиглэл А
г) зөв хариулт байхгүй байна
83) векторуудын үржвэр нь 0-тэй тэнцүү бол ийм векторуудыг дуудна
а) шугаман
б) хамтран найруулсан
в) ортогональ
г) зэрэгцээ
84) векторын урт нь
a) түүний скаляр квадрат
б) түүний скаляр квадратын үндэс
в) түүний координатын нийлбэр
г) векторын төгсгөл ба эхлэлийн координатын зөрүү
85) векторуудын нийлбэрийг олох дүрэм юу вэ (олон хариулт)
a) гурвалжингийн дүрэм
б) тойргийн дүрэм
в) параллелограммын дүрэм
г) Гауссын дүрэм
e) олон өнцөгт дүрэм
е) тэгш өнцөгтийн дүрэм
86) хэрэв цэг Ацэгтэй давхцаж байна IN, тэгвэл векторыг дуудна
a) нэгж вектор
в) тэг вектор
г) өчүүхэн вектор
87) Хоёр вектор коллинеар байхын тулд зайлшгүй шаардлагатай
a) тэдгээрийн координатууд ижил байсан
б) тэдгээрийн координатууд пропорциональ байсан
в) тэдгээрийн координатууд эсрэг байсан
г) тэдгээрийн координат нь 0-тэй тэнцүү байсан
88) a=2m+4n ба b=m-n хоёр вектор өгөгдсөн бөгөөд m ба n нь 120 0 өнцөг үүсгэгч нэгж векторууд юм. a ба b векторуудын хоорондох өнцгийг ол.
89) Хавтгай дээр m ба n хоёр нэгж вектор өгөгдсөн. Тэдний хоорондох өнцөг нь 60 градус гэдгийг мэддэг. a=m+2n векторын уртыг ол (хариултыг 0.1 болгон дугуй)
90) a=-4k ба b=2i+j векторууд дээр баригдсан параллелограммын диагональуудын хоорондох өнцгийг ол.
91) |a|=2, |b|=3, |a-b|=1 векторуудын уртыг өгөв. |a+b|-г тодорхойлно
92) Гурван вектор өгөгдсөн: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). p=2a-b+c векторын координатыг ол.
93) a=2i+3j-6k векторын уртыг ол.
94) λ-ийн ямар утгад a=λi-3j+2k ба b=i+2j-λk векторууд перпендикуляр байх вэ?
95) Өгөгдсөн векторууд a=6i-4j+k ба b=2i-4j+k. үүсгэсэн өнцгийг ол вектор a-bОз тэнхлэгтэй.
96) Өгөгдсөн векторууд = (4; –2; –6) ба = (–3; 4; –12). Векторын проекцийг ол авектор тэнхлэгт б.
97) Өнцгийг ол Аоройтой гурвалжин А (–1; 3; 2), IN(3; 5; –2) ба
ХАМТ(3; 3; –1). Хариултаа 15cos гэж оруулна уу А.
98) Векторын квадрат модулийг ол 
, энд ба нэгж векторууд нь 60 o өнцөг үүсгэнэ.
99) Цэгийн үржвэрийг ол 
Тэгээд 
100) Өгөгдсөн оноо A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). ABCD дөрвөн өнцөгтийн төрлийг тодорхойлно уу.
a) Параллелепипед;
б) Тэгш өнцөгт;
в) трапец;
101) Вектор = (3; 4) нь = (3; –1) ба = (1; –2) векторуудад задардаг. Зөв задралыг сонгоно уу.
