Эхлээд асуудлын талаархи мэдэгдлийн талаар бага зэрэг яръя ерөнхий үзэл, дараа нь орлуулах замаар нэгтгэх жишээнүүд рүү шилжинэ. Бид тодорхой интегралтай байна гэж бодъё $\int g(x) \; dx$. Гэсэн хэдий ч интегралын хүснэгтэд шаардлагатай томьёо агуулаагүй бөгөөд өгөгдсөн интегралыг хэд хэдэн хүснэгтэд хуваах боломжгүй (өөрөөр хэлбэл шууд интеграл арилсан). Гэхдээ бидний интеграл $\int g(x) \; dx$-д зарим хүснэгтийн интеграл $\int f(u) \; du=F(u)+C$. Томьёог хэрэглэсний дараа $\int f(u)\; du=F(u)+C$ бидний хийх ёстой зүйл бол $x$ хувьсагчийг буцаана. Албан ёсоор үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Асуудал нь ийм орлуулалтыг хэрхэн сонгох вэ $u$. Үүнийг хийхийн тулд танд нэгдүгээрт, деривативын хүснэгт, нийлмэл функцийг ялгахад ашиглах чадвар, хоёрдугаарт, тодорхойгүй интегралын хүснэгт хэрэгтэй болно. Нэмж дурдахад бид доор бичих томъёолол маш их хэрэгтэй болно. Хэрэв $y=f(x)$ бол:

\begin(equation)dy=y"dx\end(тэгшитгэл)

Тэдгээр. зарим функцийн дифференциал нь энэ функцийн деривативыг бие даасан хувьсагчийн дифференциалаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Энэ дүрэм нь маш чухал бөгөөд энэ дүрэм нь орлуулах аргыг ашиглах боломжийг танд олгоно. Энд бид (1) томъёоноос олж авсан хэд хэдэн онцгой тохиолдлыг зааж өгөх болно. $y=x+C$ байг, $C$ нь тодорхой тогтмол (тоо, энгийнээр хэлбэл). Дараа нь $x+C$ илэрхийллийг $y$-ийн оронд (1) томъёонд орлуулснаар бид дараахийг олж авна.

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

$(x+C)"=x"+C"=1+0=1$ тул дээрх томъёо дараах байдалтай болно.

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Бид олж авсан үр дүнг тусад нь бичье, өөрөөр хэлбэл.

\begin(equation)dx=d(x+C)\end(тэгшитгэл)

Үүссэн томъёо нь дифференциал дор тогтмолыг нэмэх нь энэ дифференциалыг өөрчлөхгүй гэсэн үг юм. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ гэх мэт.

Дахиад нэгийг харцгаая онцгой тохиолдолтомъёоны хувьд (1). $y=Cx$ байг, энд $C$ дахин тогтмол байна. Томъёо (1)-д $y$-ийн оронд $Cx$ илэрхийллийг орлуулж энэ функцийн дифференциалыг олъё:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

$(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$ тул дээрх $d(Cx)=(Cx)"dx$ томъёо нь: $d(Cx)=Cdx $ болно. Хэрэв бид энэ томьёоны хоёр талыг $C$-д хуваавал ($C\neq 0$ гэж үзвэл) $\frac(d(Cx))(C)=dx$ гарна. Энэ үр дүнг арай өөр хэлбэрээр бичиж болно. :

\begin(equation)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(тэгшитгэл)

Үүссэн томьёо нь дифференциал дор байгаа илэрхийллийг тэгээс бусад тогтмолоор үржүүлэхэд ийм үржүүлгийг нөхөх харгалзах үржүүлэгчийг оруулах шаардлагатайг харуулж байна. Жишээлбэл, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

1 ба 2 дугаар жишээнүүдэд (2) ба (3) томъёог нарийвчлан авч үзэх болно.

Томъёоны тухай тэмдэглэл

Энэ сэдвээр 1-3-р томьёо болон тодорхой бус интегралын хүснэгтийн томъёог хоёуланг нь ашиглах бөгөөд тэдгээр нь мөн өөрийн гэсэн дугаартай байдаг. Төөрөгдөл гаргахгүйн тулд дараахь зүйлийг тохиролцъё: хэрэв сэдэвт "томьёо №1 ашиглах" гэсэн бичвэр гарч ирвэл энэ нь шууд утгаараа дараахь утгатай болно: "томьёо №1 ашиглах, энэ хуудсан дээр байрладаг". Хэрэв бидэнд интегралын хүснэгтээс томьёо хэрэгтэй бол бид үүнийг тухай бүр тусад нь зааж өгөх болно. Жишээ нь: "бид интегралын хүснэгтээс №1 томъёог ашигладаг."

Бас нэг жижиг тэмдэглэл

Жишээнүүдтэй ажиллахаасаа өмнө тодорхойгүй интеграл ба ойлголтод зориулагдсан өмнөх сэдвүүдэд танилцуулсан материалтай танилцахыг зөвлөж байна. Энэ сэдвийн материалын танилцуулга нь дурдсан сэдвүүдэд өгсөн мэдээлэлд үндэслэсэн болно.

Жишээ №1

$\int \frac(dx)(x+4)$-г ол.

Хэрэв бид - руу хандвал $\int \frac(dx)(x+4)$ интегралтай яг таарах томьёог олж чадахгүй. Интегралын хүснэгтийн 2-р томьёо нь энэ интегралтай хамгийн ойр, i.e. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Асуудал нь дараах байдалтай байна: $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ томьёо нь $\int \frac(du)(u)$ интегралд хуваагч дахь илэрхийллүүд болон дор байх ёстой дифференциал нь ижил байх ёстой (хоёул ижил $u$ үсэгтэй). Манай тохиолдолд $\int \frac(dx)(x+4)$-д $x$ үсэг дифференциалын доор, $x+4$ илэрхийлэл нь хуваарьт, өөрөөр хэлбэл. Хүснэгтийн томьёотой тодорхой зөрүүтэй байна. Хүснэгтийн интегралыг "тохируулах" оролдлого хийцгээе. Хэрэв бид дифференциалыг $x$-ийн оронд $x+4$-г орлуулбал юу болох вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд $y$-ийн оронд $x+4$ илэрхийллийг орлуулж ашиглая:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

$(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$ тул $ d(x+4)=(x+4)"dx $ тэнцүү болно:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Тэгэхээр $dx=d(x+4)$. Үнэнийг хэлэхэд, тогтмол $C$-ын оронд $4$-ын тоог орлуулснаар ижил үр дүнд хүрч болох байсан. Ирээдүйд бид үүнийг хийх болно, гэхдээ бид анх удаа $dx=d(x+4)$ тэгшитгэлийг олж авах журмыг нарийвчлан судалсан. Гэхдээ $dx=d(x+4)$ тэгш байдал бидэнд юу өгөх вэ?

Энэ нь бидэнд дараах дүгнэлтийг өгдөг: хэрэв $dx=d(x+4)$ бол $\int \frac(dx)(x+4)$ интегралд $dx$-ийн оронд $d(x)-г орлуулж болно. +4)$ ба интеграл нь үр дүнд нь өөрчлөгдөхгүй:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Үүссэн интеграл нь $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ хүснэгтийн томьёотой бүрэн тохирч байхаар л бид энэ хувиргалтыг хийсэн. Энэ захидал харилцааг бүрэн тодорхой болгохын тулд $x+4$ илэрхийллийг $u$ үсгээр орлуулъя (өөрөөр хэлбэл, бид орлуулах$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u) )=\ln|u|+C.$$

Уг нь асуудал аль хэдийн шийдэгдсэн. Үлдсэн зүйл бол $x$ хувьсагчийг буцаах явдал юм. $u=x+4$ гэдгийг санахад бид дараахыг авна: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Бүрэн шийдэлтайлбаргүйгээр дараах байдалтай байна.

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u) )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Хариулт: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Жишээ №2

$\int e^(3x) dx$-г ол.

Хэрэв бид тодорхой бус интегралын хүснэгт рүү эргэвэл $\int e^(3x) dx$ интегралтай яг таарах томьёог олж чадахгүй. Интегралын хүснэгтээс 4-р томьёо нь энэ интегралтай хамгийн ойр, i.e. $\int e^u du=e^u+C$. Асуудал нь дараах байдалтай байна: $\int e^u du=e^u+C$ томьёо нь $\int e^u du$ интеграл дахь $e$ ба дифференциал дор байгаа илэрхийллүүд байх ёстой гэж үздэг. адилхан (хоёулаа нэг үсэг $u$ байна). Манай тохиолдолд $\int e^(3x) dx$-д дифференциал дор $x$ үсэг, $e$-ийн хүчинд $3x$ илэрхийлэл байдаг, өөрөөр хэлбэл. Хүснэгтийн томьёотой тодорхой зөрүүтэй байна. Хүснэгтийн интегралыг "тохируулах" оролдлого хийцгээе. Хэрэв та дифференциалыг $x$-ийн оронд $3x$-г орлуулбал юу болох вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд $y$-ийн оронд $3x$ илэрхийллийг орлуулж ашиглацгаая:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

$(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$ байх тул $d(3x)=(3x)"dx$ тэгшитгэл дараах байдалтай болно.

$$ d(3x)=3dx $$

Үүссэн тэгш байдлын хоёр талыг $3$-д хуваахад бид: $\frac(d(3x))(3)=dx$, өөрөөр хэлбэл. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Үнэн хэрэгтээ $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ тэгш байдлыг $C$ тогтмолын оронд $3$ тоог зүгээр л орлуулснаар олж авч болно. Ирээдүйд бид үүнийг хийх болно, гэхдээ бид анх удаа $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ тэгшитгэлийг олж авах журмыг нарийвчлан судалсан.

Үүссэн $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ тэгш байдал бидэнд юу өгсөн бэ? Энэ нь $dx$-ийн оронд $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$-г $\int e^(3x) dx$ интегралд орлуулж болох ба интеграл өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг.

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Интеграл тэмдгээс $\frac(1)(3)$ тогтмолыг аваад $3x$ илэрхийллийг $u$ үсгээр орлуулъя (өөрөөр хэлбэл, бид үүнийг хийцгээе). орлуулах$u=3x$), үүний дараа бид $\int e^u du=e^u+C$ хүснэгтийн томъёог хэрэглэнэ.

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Өмнөх жишээний нэгэн адил бид $x$ анхны хувьсагчийг буцаах хэрэгтэй. $u=3x$ тул $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Сэтгэгдэлгүй бүрэн шийдэл нь дараах байдалтай байна.

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Хариулт: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Жишээ №3

$\int (3x+2)^2 dx$-г ол.

Энэ интегралыг олохын тулд бид хоёр аргыг ашигладаг. Эхний арга бол хаалтуудыг нээж, шууд нэгтгэх явдал юм. Хоёр дахь арга нь орлуулах аргыг ашиглах явдал юм.

Эхний арга

$(3x+2)^2=9x^2+12x+4$ тул $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. $\int (9x^2+12x+4)dx$ интегралыг гурван интегралын нийлбэрээр илэрхийлж, харгалзах интегралын тэмдгүүдээс тогтмолуудыг авч үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

$\int x^2 dx$-г олохын тулд интегралын хүснэгтийн 1-р томьёонд $u=x$, $\alpha=2$-г орлуулна: $\int x^2 dx=\frac(x^(2) +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Үүний нэгэн адил, $u=x$ болон $\alpha=1$-г хүснэгтээс ижил томьёонд орлуулснаар бид дараах байдалтай болно: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1) )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. $\int 1 dx=x+C$ тул:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^) 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

Хоёрдахь арга

Бид хаалт нээхгүй. Дифференциал дор $x$ биш $3x+2$ илэрхийлэл гарч ирэхийг оролдъё. Ингэснээр та шинэ хувьсагч оруулж, хүснэгтийн томъёог ашиглах боломжтой болно. Дифференциал доор гарч ирэхийн тулд $3$ хүчин зүйл хэрэгтэй тул утгад $C=3$ гэж орлуулбал $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ болно. Үүнээс гадна дифференциалын дор $2$ гэсэн нэр томъёо байхгүй байна. Дифференциал тэмдгийн дор тогтмол нэмэхийн дагуу энэ дифференциал өөрчлөгдөхгүй, i.e. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ ба $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2) нөхцлөөс ) $ бидэнд байна: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

$dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ тэгшитгэлийг өөр аргаар олж авч болохыг анхаарна уу.

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Бид $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ тэгшитгэлийг ашиглан $\frac(1)(3)d(3x) илэрхийллийг $\int (3x+2) интеграл болгон орлуулна. )^$dx$-ийн оронд 2 dx$ +2)$. Үүссэн интегралын тэмдэг болгон $\frac(1)(3)$ тогтмолыг гаргая:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Цаашдын шийдэл нь $u=3x+2$ орлуулалтыг хийж, интегралын хүснэгтээс №1 томъёог хэрэглэнэ.

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

$u$-ын оронд $3x+2$ илэрхийлэлийг буцааснаар бид дараахийг авна:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Тайлбаргүй бүрэн шийдэл нь:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Би хэд хэдэн асуултыг урьдчилан харж байгаа тул тэдгээрийг томъёолж, хариулт өгөхийг хичээх болно.

Асуулт №1

Энд ямар нэг зүйл тохирохгүй байна. Эхний аргаар шийдэхэд бид $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$-г олж авсан. Хоёрдахь аргыг шийдэхэд хариулт нь: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$ болсон. Гэсэн хэдий ч хоёр дахь хариултаас эхнийх рүү шилжих боломжгүй юм! Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг авна.

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Хариултууд нь таарахгүй байна! $\frac(8)(9)$ нэмэлт бутархай хаанаас ирсэн бэ?

Энэ асуулт нь өмнөх сэдвүүдийг үзэхийг зөвлөж байна. Тодорхой бус интегралын тухай сэдвийг уншина уу (анхаарал онцгой анхааралхуудасны төгсгөлд 2-р асуулт) болон шууд интеграцчилал (энэ нь 4-р асуултанд анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй). Эдгээр сэдвүүд нь энэ асуудлыг нарийвчлан тусгасан болно. Товчхондоо, интеграл тогтмол $C$-г төлөөлж болно янз бүрийн хэлбэрүүд. Жишээ нь, бидний хувьд $C_1=C+\frac(8)(9)$-г дахин төлөвлөхөд бид дараахыг авна:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Тиймээс хариултыг $3x^3+6x^2+4x+C$ хэлбэрээр эсвэл $\frac((3x+2)^3)(9)+ хэлбэрээр бичиж болно; канад доллар.

Асуулт №2

Яагаад хоёр дахь аргаар шийдэх шаардлагатай байсан бэ? Энэ бол шаардлагагүй хүндрэл юм! Яагаад эхний аргыг ашиглан хэд хэдэн алхамаар олж авсан хариултыг олохын тулд олон тооны шаардлагагүй томъёог ашигладаг вэ? Сургуулийн томъёог ашиглан хаалт нээхэд л хангалттай байв.

Юуны өмнө энэ бол тийм ч төвөгтэй зүйл биш юм. Орлуулах аргыг ойлгосноор та ижил төстэй жишээнүүдийг нэг мөрөнд шийдэж эхэлнэ: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Гэсэн хэдий ч энэ жишээг өөрөөр харцгаая. Та $\int (3x+2)^2 dx$ биш, харин $\int (3x+2)^(200) dx$ тооцоолох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Хоёрдахь аргаар шийдэхдээ та зөвхөн градусыг бага зэрэг тохируулах хэрэгтэй бөгөөд хариулт бэлэн болно.

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Одоо ижил интеграл $\int (3x+2)^(200) dx$-ийг эхний аргаар авах шаардлагатай гэж төсөөлөөд үз дээ. Эхлээд та $(3x+2)^(200)$ хаалтыг нээх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр хоёр зуун нэг нөхцлийн нийлбэрийг авах болно! Дараа нь нэр томъёо бүрийг нэгтгэх шаардлагатай болно. Тиймээс эндээс дүгнэж байна: том гүрний хувьд шууд интеграцийн арга нь тохиромжгүй. Хоёрдахь арга нь илт төвөгтэй хэдий ч илүү практик юм.

Жишээ № 4

$\int \sin2x dx$-г олоорой.

Бид энэ жишээг гурван өөр аргаар шийдэх болно.

Эхний арга

Интегралын хүснэгтийг харцгаая. Энэ хүснэгтийн 5-р томъёо нь бидний жишээнд хамгийн ойр, i.e. $\int \sin u du=-\cos u+C$. $\int \sin2x dx$ интегралыг $\int \sin u du$ хэлбэрт оруулахын тулд бид дифференциал тэмдгийн доор $2$ хүчин зүйлийг оруулна. Үнэндээ бид үүнийг №2 жишээн дээр хийсэн тул дэлгэрэнгүй тайлбаргүйгээр хийж болно.

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x) )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Хариулт: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

Хоёрдахь арга

Хоёрдахь аргыг шийдэхийн тулд бид энгийн аргыг хэрэглэдэг тригонометрийн томъёо: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$-ын оронд $2 \sin x \cos x$ илэрхийллийг орлуулж, интеграл тэмдэгээс $2$ тогтмолыг авцгаая.

Ийм өөрчлөлтийн зорилго юу вэ? Хүснэгтэнд $\int \sin x\cos x dx$ интеграл байхгүй, гэхдээ бид $\int \sin x\cos x dx$-г бага зэрэг өөрчилж, хүснэгтийнхтэй илүү адилхан болгож чадна. Үүнийг хийхийн тулд $d(\cos x)$ -г ашиглан олъё. Дээрх томъёонд $y$-ын оронд $\cos x$-г орлуулъя:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

$d(\cos x)=-\sin x dx$ тул $\sin x dx=-d(\cos x)$. $\sin x dx=-d(\cos x)$ тул бид $\sin x dx$-ийн оронд $\int \sin x\cos x dx$-д $-d(\cos x)$-г орлуулж болно. Интегралын утга өөрчлөгдөхгүй:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Өөрөөр хэлбэл, бид дифференциал дор нэмсэн$\cos x$. Одоо $u=\cos x$ орлуулалтыг хийсний дараа бид интегралын хүснэгтээс №1 томьёог хэрэглэж болно.

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Хариулт нь ирсэн. Ерөнхийдөө заавал $u$ үсэг оруулах шаардлагагүй. Энэ төрлийн интегралыг шийдвэрлэх хангалттай ур чадвар эзэмшсэн тохиолдолд нэмэлт тэмдэглэгээ хийх хэрэгцээ алга болно. Тайлбаргүй бүрэн шийдэл нь:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Хариулт: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Гурав дахь зам

Гурав дахь аргаар шийдэхийн тулд бид ижил тригонометрийн томъёог хэрэглэнэ: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$-ын оронд $2 \sin x \cos x$ илэрхийллийг орлуулж, интеграл тэмдэгээс $2$ тогтмолыг авцгаая.

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

-г ашиглан $d(\sin x)$-г олцгооё. Дээрх томъёонд $y$-ын оронд $\sin x$-г орлуулъя:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Тэгэхээр $d(\sin x)=\cos x dx$. Үүссэн тэгш байдлаас үзэхэд бид $d(\sin x)$-г $\int \sin x\cos x dx$-д $\cos x dx$-ийн оронд орлуулж болно. Интегралын утга өөрчлөгдөхгүй:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Өөрөөр хэлбэл, бид дифференциал дор нэмсэн$\sin x$. Одоо $u=\sin x$ орлуулалтыг хийсний дараа бид интегралын хүснэгтээс №1 томъёог хэрэглэж болно.

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Хариулт нь ирсэн. Тайлбаргүй бүрэн шийдэл нь:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin) x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Хариулт: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Энэ жишээг, ялангуяа гурван өөр (анхны харцаар) хариултыг уншсаны дараа асуулт гарч ирж магадгүй юм. Үүнийг авч үзье.

Асуулт №3

Хүлээгээрэй. Хариултууд нь ижил байх ёстой, гэхдээ тэд өөр байна! Жишээ №3-д ялгаа нь зөвхөн тогтмол $\frac(8)(9)$ байсан боловч энд хариултууд нь гадаад төрхөөрөө ч адилгүй: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Энэ бүхэн үнэхээр дахин интеграл тогтмол $C$-ийн тухай мөн үү?

Тиймээ, яг энэ тогтмол нь чухал юм. Бүх хариултыг нэг маягт болгон бууруулъя, үүний дараа тогтмолуудын энэ ялгаа бүрэн тодорхой болно. $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ гэж эхэлцгээе. Бид энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг ашигладаг: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Дараа нь $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ илэрхийлэл болно:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Одоо хоёр дахь хариулттай ажиллацгаая, өөрөөр хэлбэл. $-\cos^2x+C$. $\cos^2 x=1-\sin^2x$ тул:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

4-р жишээнээс авсан гурван хариулт нь: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. Тэд бие биенээсээ тодорхой тоогоор л ялгаатай байгаа нь одоо тодорхой болсон гэж бодож байна. Тэдгээр. Энэ асуудал дахин интеграл тогтмол болж хувирав. Таны харж байгаагаар интеграл тогтмол дахь жижиг ялгаа нь зарчмын хувьд ихээхэн өөрчлөгдөж болно гадаад төрххариулт - гэхдээ энэ нь хариултыг зөв болгоход саад болохгүй. Миний ойлгож байгаа зүйл: хэрэв та асуудлын цуглуулгаас таныхтай давхцахгүй байгаа хариултыг олж харвал энэ нь таны хариулт буруу гэсэн үг биш юм. Асуудлыг зохиогчийн санаачилсан зүйлээс өөр аргаар та хариултаа авсан байж магадгүй юм. Тодорхой бус интегралын тодорхойлолт дээр үндэслэсэн шалгалт нь хариултын зөв эсэхийг шалгахад тусална. Жишээлбэл, $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ интеграл зөв олдвол $\left(-\frac(1)(2)\cos тэгшитгэл болно. 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Тэгэхээр $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$-ийн дериватив интегралтай тэнцүү байгаа нь үнэн эсэхийг шалгая. $\sin 2x $-ын:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x.

Шалгалт амжилттай дууссан. $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ тэгш байдал хангагдсан тул $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2) )\cos 2x+C$ зөв байна. 5-р жишээн дээр бид үр дүнг зөв эсэхийг шалгах болно, гэхдээ зарим стандарт тооцоололд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай. туршилтуудаа, үр дүнг шалгах шаардлага байгаа.

Тоолуурыг дифференциал тэмдгийн доор оруулах

Энэ бол хичээлийн эцсийн хэсэг боловч ийм төрлийн интегралууд нэлээд түгээмэл байдаг! Хэрэв та ядарсан бол маргааш уншсан нь дээр болов уу? ;)

Бидний авч үзэх интегралууд нь өмнөх догол мөрийн интегралтай төстэй бөгөөд тэдгээр нь дараах хэлбэртэй байна. (коэффициент , ба тэгтэй тэнцүү биш).

Энэ нь бид тоологч дээр байна шугаман функц. Ийм интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээ 14

Болгоомжтой байгаарай, одоо бид ердийн алгоритмыг авч үзэх болно.

1) Маягтын интеграл өгөгдсөн бол эсвэл (коэффициент ба тэгтэй тэнцүү биш), дараа нь бидний хийх хамгийн эхний зүйл бол ... ноорог авах. Үнэн хэрэгтээ одоо бид жижиг сонголт хийх ёстой.

2) Бид хуваарьт байгаа илэрхийллийг (үндэс дор эсвэл үндэсгүй хамаагүй) дифференциал тэмдгийн дор энэ жишээнд дүгнэж байна:

3) Дифференциалыг нээнэ үү:

Интегралынхаа тоологчийг харцгаая:

Бүх зүйл арай өөр болсон ... Одоо бид дифференциалын үржүүлэгчийг сонгох хэрэгтэй бөгөөд үүнийг нээх үед бид дор хаяж . IN энэ тохиолдолдтохиромжтой үржүүлэгч нь:

4) Өөрийгөө хянахын тулд бид дифференциалаа дахин нээнэ:

Интегралынхаа тоологчийг дахин харцгаая: .
Энэ нь илүү ойрхон, гэхдээ бидэнд буруу нэр томъёо байна:

5) Бидний дифференциал:
- бид интегралд анх байсан нэр томъёог оноож өгдөг:

- хасах ( энэ тохиолдолд бид заримдаа хасах хэрэгтэй, эсрэгээр нь нэмэх хэрэгтэй)бидний "буруу" нэр томъёо:
– Бид хоёр тогтмолыг хаалтанд хийж, баруун талд дифференциал тэмдэг онооно.

- Хасах (зарим жишээнд та нэмэх хэрэгтэй)тогтмолууд:

6) Бид шалгаж байна:

Бид яг интегралын тоог авсан бөгөөд энэ нь сонгон шалгаруулалт амжилттай болсон гэсэн үг юм.

Шийдлийн эцсийн загвар нь дараах байдалтай байна.

(1) Бид дээр дурдсан алгоритмын дагуу ноорог дээрх тоологчийг сонгоно. Сонголтыг зөв хийсэн эсэхийг шалгана. Интегралыг шийдвэрлэх зарим туршлагатай бол сонголт нь таны толгойд хийхэд хэцүү биш юм.

(2) Тоолуурыг хуваагч гишүүнд хуваа. Практик асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ алхамыг орхигдуулж болно

(3) Шугаман байдлын шинж чанарыг ашиглан бид интегралуудыг тусгаарлана. Бүх тогтмолуудыг интегралын тэмдгийн гадна шилжүүлэхийг зөвлөж байна.

(4) Эхний интеграл нь үнэндээ хүснэгтэн хэлбэртэй байна (бид дараа нь хоёр дахь интегралыг авахдаа тогтмолыг нэмнэ). Хоёрдахь интеграл дээр бид бүрэн квадратыг сонгоно (бид өмнөх догол мөрөнд ийм төрлийн интегралуудыг авч үзсэн).

Үлдсэн нь техникийн асуудал юм.

Эхлэхийн тулд хэд хэдэн жишээ хэлье бие даасан шийдвэр- Нэг нь илүү энгийн, нөгөө нь илүү хэцүү.

Жишээ 15

Тодорхой бус интегралыг ол:

Жишээ 16

Тодорхой бус интегралыг ол:

Эдгээр жишээг шийдвэрлэхийн тулд интеграцийн тусгай тохиолдол хэрэгтэй болно эрчим хүчний функцЭнэ нь миний хүснэгтэд байхгүй:

Таны харж байгаагаар фракцуудыг нэгтгэх нь маш хэцүү ажил бөгөөд та ихэвчлэн хиймэл техник, сонголтуудыг ашиглах хэрэгтэй болдог. Гэхдээ яах вэ...

Бутархай-рационал функцүүд гэж нэрлэгддэг бусад төрлийн бутархайнууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг аргаар шийддэг. тодорхойгүй коэффициентүүд. Гэхдээ энэ бол аль хэдийн хичээлийн сэдэв юм Бутархай рационал функцүүдийн интеграцчлал.

§ 5. Интеграл ба тэдгээрийн хэрэглээ

.

5.1. Үндсэн тодорхойлолт ба томьёо.Чиг үүрэг Ф(x) байна эсрэг дериватив функц е(x), хэрэв зарим багц дээр байвал Xтэгш байдал хадгалагдана Ф (x)= е(x). Бүх эсрэг деривативуудын багц е(x) дуудсан тодорхойгүй интегралболон томилогдсон. Үүний зэрэгцээ, хэрэв Ф(x) - аль ч анхдагч е(x), Тэр
, тогтмол Cбодит тоонуудын бүхэл бүтэн багцаар дамждаг. Хүснэгт 2-т үндсэн томъёог харуулав у= у(x).

Хүснэгт 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Томъёо гэдэг нь ойлгомжтой 10), 12) Тэгээд 14) томъёоны онцгой тохиолдлууд юм 11), 13) Тэгээд 15) тус тус.

Хэрэв е(x) – сегмент дээр тасралтгүй функц [ а; б], тэгээд байна тодорхой интегралтооцоолж болох энэ функцээс Ньютон-Лейбницийн томъёо:

, (5.1)

Хаана Ф(x) - аливаа эсрэг дериватив е(x). Тодорхой бус интегралаас (энэ нь функцүүдийн багц) ялгаатай нь тодорхой интеграл нь тодорхой тоо юм.

Тодорхойгүй ба тодорхой интеграл хоёулаа өмчтэй байдаг шугаман байдал(функцийн нийлбэрийн интеграл нийлбэртэй тэнцүү байнаинтеграл ба тогтмол хүчин зүйлийг интеграл тэмдгээс хасаж болно):

.

Жишээ 5.1. олох: a)
; б)
.

Шийдэл.Ажил дээрээ A)Бид эхлээд интегралыг хялбаршуулж, гишүүн гишүүн бүрийг тоологчоос хуваагчаар хувааж, дараа нь өмчийг ашиглана. шугаман байдалболон "хүснэгт" томъёо 1)-3):

Ажил дээрээ б),гадна шугаман байдалболон "хүснэгт" томъёо 3), 9), 1), Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг (5.1):

5.2. Дифференциал тэмдгийн доор оруулах, хувьсагчийг орлуулах.Заримдаа интегралын нэг хэсэг нь зарим илэрхийллийн дифференциал үүсгэдэг бөгөөд энэ нь хүснэгтийн томъёог ашиглах боломжийг олгодог.

Жишээ 5.2олох: a)
; б)
.

Шийдэл.Жишээн дээр A)та үүнийг анзаарч болно
, дараа нь томъёог ашиглана уу 5) цагт у=ln x:

тохиолдолд б)
, иймээс үүдэн 11) цагт
бид авах:

Тайлбар 1.Дифференциал тэмдгийг оруулахдаа дээр дурдсан зүйлсийн хамт дараахь хамаарлыг харгалзан үзэх нь зүйтэй.

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Тайлбар 2.-аас интеграл жишээ 5.2.мөн хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан олж болно. Үүний зэрэгцээ, in тодорхой интегралинтеграцийн хязгаарыг мөн өөрчлөх ёстой. Хөрвүүлэлтүүд 5.2.б)жишээ нь иймэрхүү харагдах болно:

IN ерөнхий тохиолдолорлуулах сонголтыг интегралын төрлөөр тодорхойлно. Зарим тохиолдолд тусгай солихыг зөвлөж байна. Жишээлбэл, хэрэв илэрхийлэл нь хэлбэрийн иррационал байдлыг агуулж байвал
, дараа нь бид тавьж болно
эсвэл
.

Жишээ 5.3олох: a)
; б)
.

Шийдэл.тохиолдолд A)бидэнд байгаа

(орлуулсны дараа бид хүснэгтийн томъёог ашигласан 11 )).

Шийдвэр гаргахдаа б)Бид интеграцийн хязгаарыг солих ёстой.

5.3. Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх.Зарим тохиолдолд "хэсгийн томъёогоор нэгтгэх" нь тусалдаг. Тодорхой бус интегралын хувьд энэ нь хэлбэртэй байна

, (5.2)

тодорхой хувьд

, (5.3)

Дараахь зүйлийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

1) Хэрэв интеграл нь олон гишүүнтийн үржвэрийг агуулж байвал xфункцууд дээр
, дараа нь уолон гишүүнт сонгогдсон бөгөөд интеграл тэмдгийн доор үлдсэн илэрхийлэл нь хамаарна dv.

2) Хэрэв интеграл нь урвуу тригонометрийг агуулж байвал ( ) эсвэл логарифм (
) функцууд, дараа нь зэрэг у нэгийг нь сонгосон.

Жишээ 5.4.олох: a)
; б)
.

Шийдэл.тохиолдолд A)томъёог хэрэглэнэ (5.2) Тэгээд хоёр дахь дүрэм. Яг л бид итгэж байна
. Дараа нь
. Дараа нь,
, тиймээс
. Тиймээс, . Үүссэн интегралд бид интегралын бүхэл хэсгийг сонгоно (энэ нь тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас багагүй байх үед хийгддэг):

.

Эцсийн шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Жишээн дээр б)бид ашигладаг (5.3) Тэгээд дүрмийн эхнийх нь.

5.4. Квадрат гурвалсан илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх. Гол санаанууд нь онцлох явдал юм квадрат гурвалжинбүрэн дөрвөлжин ба шугаман орлуулалт хийх нь анхны интегралыг хүснэгт хэлбэрт оруулах боломжийг олгодог. 10 )-16 ).

Жишээ 5.5.олох: a)
; б)
; V)
.

Шийдэл.тохиолдолд A)дараах байдлаар үргэлжлүүлнэ:

Тиймээс (харгалзаж 13) )

Жишээг шийдвэрлэх үед б)интегралын тоонд хувьсагч байгаатай холбоотой нэмэлт хувиргалт хийх шаардлагатай болно. Төгс квадратыг хуваагч () дээр сонгосноор бид дараахь зүйлийг авна.

Интегралын хоёр дахь хувьд, улмаас 11) (Хүснэгт 2) бидэнд байна:
. Эхний интегралд бид дифференциал тэмдгийн доор оруулна.

Тиймээс, бүх зүйлийг нэгтгэж, хувьсагч руу буцах x, бид авах:

Жишээн дээр V)Бид эхлээд бүрэн квадратыг сонгоно:

5.5. Энгийн тригонометрийн функцүүдийн интеграцчлал.Маягтын илэрхийллийг нэгтгэх үед
(Хаана мТэгээд n – натурал тоонууд) дараах дүрмийг анхаарч үзэхийг зөвлөж байна.

1) Хэрэв хоёр зэрэг нь тэгш байвал "зэрэг бууруулах" томъёог хэрэглэнэ: ; .

2) Аль нэг тоо гэж бодъё м Тэгээд n- хачин. Жишээлбэл, n=2 к+1. Энэ тохиолдолд функцийн зэрэглэлүүдийн нэг cosx Дифференциал тэмдгийн доор авчрахын тулд "хуваах" (түүнээс хойш). Үлдсэн илэрхийлэлд
үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг ашиглан
дамжуулан илэрхийлсэн
(). Интегралыг хувиргасны дараа (шугаман шинж чанарыг харгалзан) бид маягтын интегралын алгебрийн нийлбэрийг олж авна.
, тус бүрийг томъёог ашиглан олж болно 2) 2-р хүснэгтээс:
.

Үүнээс гадна зарим тохиолдолд томъёонууд нь бас ашигтай байдаг

Жишээ 5.6.олох: a)
; б)
; V)
.

Шийдэл. A)Интегралд сондгой (5-р) зэрэг орно синкс, тиймээс бид үүний дагуу ажилладаг хоёр дахь дүрэмҮүнийг харгалзан үзвэл .

Жишээн дээр б)томъёог ашиглацгаая (5.4 ), шугаман байдалтодорхойгүй интеграл, тэгш байдал
ба хүснэгтийн томъёо 4):

тохиолдолд V)дараалсан зэргийг бууруулна, бид шугаман байдал, дифференциал тэмдгийн дор тогтмолыг оруулах боломж, шаардлагатай хүснэгтийн томъёог харгалзан үздэг.

5.6. Тодорхой интегралын хэрэглээ.Мэдэгдэж байгаагаар, муруйн трапецын сегмент дээр сөрөг бус, тасралтгүй хамааралтай байдаг [ а; б] функцууд е(x), функцийн графикаар хязгаарлагдах талбайг гэнэ y= е(x), тэнхлэг ҮХЭРба хоёр босоо шугам x= а, x= б. Товчхондоо дараах байдлаар бичиж болно: (үзнэ үү. Зураг 3). мөн хаана

Зарим төрлийн интегралыг шийдвэрлэхдээ тэдний хэлснээр хувиргалт хийгддэг дифференциал тэмдгийн дор орох. Энэ нь хүснэгтэн интеграл олж авах, авахад хялбар болгохын тулд хийгддэг. Үүнийг хийхийн тулд дараах томъёог ашиглана: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Би үүнийг тэмдэглэхийг хүсч байна чухал нюансоюутнуудын бодож байгаа зүйл. Энэ арга нь хувьсагчийг солих (орлуулах) аргаас юугаараа ялгаатай вэ? Энэ нь адилхан зүйл, зүгээр л бичлэг дээр өөр харагдаж байна. Аль аль нь үнэн.

Томъёо

Хэрэв интеграл нь нэг нь нөгөөгийнхөө дифференциал болох хоёр функцийн үржвэрийг харуулсан бол дифференциал тэмдгийн доор хүссэн функцийг оруулна. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x)$$

Үндсэн чиг үүргийг нэгтгэн дүгнэх

Энэхүү шийдлийн аргыг амжилттай ашиглахын тулд та дериватив болон интеграцийн хүснэгтийг мэдэх хэрэгтэй. Дараахь томъёонууд нь тэдгээрээс гарна.

$ dx = d(x+c), c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) F(kx+b) + канад доллар

Шийдлийн жишээ

Жишээ 1

$$ \int \sin x \cos x dx $$ интегралыг ол

Шийдэл

Энэ жишээнд та санал болгож буй функцүүдийн аль нэгийг, тэр ч байтугай синус эсвэл косинусыг дифференциал тэмдгийн доор байрлуулж болно. Тэмдгийг өөрчлөхөд андуурахгүйн тулд $ \cos x $ оруулах нь илүү тохиромжтой. Бидэнд байгаа томъёог ашиглан: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!

Хариулт

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

Тиймээс, бид нийтлэлд зарим төрлийн интегралуудыг дифференциал тэмдгийн доор оруулах замаар хэрхэн шийддэг талаар авч үзсэн. Бид ихэвчлэн нийтлэг байдаг ялгааг санав үндсэн функцууд. Хэрэв та тестийн даалгавраа өөрөө шийдэж чадахгүй эсвэл хангалттай хугацаа байхгүй бол бид танд туслах болно. аль болох хурдан. Захиалгын маягтыг бөглөнө үү, бид тантай холбогдох болно.