Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Гауссын аргын урвуу

Эндээс та системийг үнэгүй шийдэж болно шугаман тэгшитгэл Гауссын арга онлайн том хэмжээтэйнийлмэл тоогоор маш нарийн шийдэлтэй. Манай тооны машин нь хязгааргүй олон шийдтэй Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн ердийн тодорхой ба тодорхойгүй системийг онлайнаар шийдэж чадна. Энэ тохиолдолд хариултанд та зарим хувьсагчийн хамаарлыг бусад, чөлөөтэй хувьсагчдаас авах болно. Та мөн Гауссын шийдлийг ашиглан тэгшитгэлийн системийг онлайнаар шалгаж болно.

Матрицын хэмжээ: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 34 3 34 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 719 82 8 8 8 8 8 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 34 343 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 8198 8388 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Аргын тухай

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх үед онлайн аргаГаусс дараах алхмуудыг гүйцэтгэнэ.

1. Бид өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.
2. Үнэн хэрэгтээ шийдэл нь Гауссын аргын урагш болон хойшхи алхамд хуваагддаг. Гауссын аргын шууд арга бол матрицыг үе шаттай хэлбэрт оруулах явдал юм. Гауссын аргын урвуу тал нь матрицыг тусгай шаталсан хэлбэрт оруулах явдал юм. Гэхдээ бодит байдал дээр тухайн элементийн дээр болон доор байрладаг зүйлийг нэн даруй тэглэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Манай тооны машин яг энэ аргыг ашигладаг.
3. Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэхдээ матрицад дор хаяж нэг тэг мөр байх нь тэг биш гэдгийг анхаарах нь чухал юм. баруун тал(чөлөөт гишүүдийн багана) нь системийн үл нийцэх байдлыг илтгэнэ. Шийдэл шугаман системэнэ тохиолдолд энэ нь байхгүй.

Гауссын алгоритм онлайнаар хэрхэн ажилладагийг хамгийн сайн ойлгохын тулд дурын жишээг оруулаад "маш нарийн шийдэл" -ийг сонгоод шийдлийг онлайнаар үзээрэй.

Гауссын аргыг бас арга гэж нэрлэдэг дараалсан арилгахүл мэдэгдэх нь дараах байдалтай байна. Энгийн хувиргалтыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг түүний коэффициентийн матриц болох хэлбэрт оруулдаг. трапец хэлбэрийн (гурвалжин эсвэл шаталсантай ижил) эсвэл трапецын ойролцоо (Гауссын аргын шууд харвалт, цаашид - зүгээр л шулуун цус харвалт). Ийм систем ба түүний шийдлийн жишээг дээрх зурагт үзүүлэв.

Ийм системд сүүлчийн тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний утгыг хоёрдмол утгагүй олох боломжтой. Дараа нь энэ хувьсагчийн утгыг өмнөх тэгшитгэлд орлуулна ( Гауссын аргын урвуу , дараа нь зүгээр л урвуу), өмнөх хувьсагчийг олох гэх мэт.

Трапец хэлбэрийн (гурвалжин) системд бидний харж байгаагаар гурав дахь тэгшитгэл нь хувьсагчийг агуулаагүй болно. yТэгээд x, хоёр дахь тэгшитгэл нь хувьсагч юм x .

Системийн матриц нь трапец хэлбэртэй болсны дараа системийн нийцтэй байдлын асуудлыг ойлгох, шийдлүүдийн тоог тодорхойлох, шийдлийг өөрсдөө олоход хэцүү байхаа больсон.

Аргын давуу талууд:

1. гурваас дээш тэгшитгэл ба үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ Гауссын арга нь Крамерын арга шиг төвөгтэй биш, учир нь Гауссын аргаар шийдвэрлэх нь бага тооцоо шаарддаг;
2. Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн тодорхойгүй системийг шийдэж болно нийтлэг шийдвэр(мөн бид энэ хичээл дээр тэдгээрийг авч үзэх болно), гэхдээ Крамерын аргыг ашиглан бид зөвхөн систем тодорхойгүй гэж хэлж болно;
3. үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү биш шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадна (бид энэ хичээлд мөн дүн шинжилгээ хийх болно);
4. Энэ арга нь анхан шатны (сургуулийн) аргууд дээр суурилдаг - үл мэдэгдэх зүйлийг орлуулах арга, тэгшитгэл нэмэх арга, бидний холбогдох нийтлэлд дурдсан.

Шугаман тэгшитгэлийн трапец хэлбэрийн (гурвалжин, шат) системийг шийдвэрлэх энгийн байдлыг ойлгохын тулд бид урвуу хөдөлгөөнийг ашиглан ийм системийн шийдлийг танилцуулж байна. Хурдан шийдвэрЭнэ системийг хичээлийн эхэнд зурагт үзүүлэв.

Жишээ 1.Урвууг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл. Энэ трапецын системд хувьсагч zГурав дахь тэгшитгэлээс өвөрмөц байдлаар олж болно. Бид түүний утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж, хувьсагчийн утгыг авна y:

Одоо бид хоёр хувьсагчийн утгыг мэдэж байна - zТэгээд y. Бид тэдгээрийг эхний тэгшитгэлд орлуулж, хувьсагчийн утгыг авна x:

Өмнөх алхмуудаас бид тэгшитгэлийн системийн шийдлийг бичдэг.

Бидний маш энгийнээр шийдсэн ийм трапец хэлбэрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авахын тулд шугаман тэгшитгэлийн системийн элементар хувиргалттай холбоотой урагшлах цохилтыг ашиглах шаардлагатай. Энэ нь бас тийм ч хэцүү биш юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн элементийн хувиргалт

Системийн тэгшитгэлүүдийг алгебрийн аргаар нэмэх сургуулийн аргыг давтаж, бид системийн нэг тэгшитгэл дээр системийн өөр нэг тэгшитгэлийг нэмж, тэгшитгэл бүрийг зарим тоогоор үржүүлж болохыг олж мэдсэн. Үүний үр дүнд бид үүнтэй тэнцэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Үүний дотор нэг тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулж байсан бөгөөд түүний утгыг бусад тэгшитгэлд орлуулж, бид шийдэлд хүрдэг. Ийм нэмэлт нь системийн үндсэн өөрчлөлтийн нэг хэлбэр юм. Гауссын аргыг ашиглахдаа бид хэд хэдэн төрлийн хувиргалтыг ашиглаж болно.

Дээрх хөдөлгөөнт дүрс нь тэгшитгэлийн систем хэрхэн аажмаар трапец хэлбэртэй болж байгааг харуулж байна. Энэ нь таны анхны анимэйшн дээр харсан бөгөөд үүнээс үл мэдэгдэх бүх утгыг олоход хялбар гэж өөртөө итгүүлсэн зүйл юм. Ийм өөрчлөлтийг хэрхэн хийх, мэдээжийн хэрэг жишээнүүдийг цаашид авч үзэх болно.

Тэгшитгэлийн систем болон системийн өргөтгөсөн матрицад хэдэн ч тооны тэгшитгэлтэй ба үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ Чадах:

1. мөрүүдийг дахин цэгцлэх (энэ тухай өгүүллийн эхэнд дурдсан);
2. хэрэв бусад хувиргалтуудын үр дүнд тэнцүү эсвэл пропорциональ мөрүүд байвал нэгээс бусад тохиолдолд тэдгээрийг устгаж болно;
3. бүх коэффициентүүд тэгтэй тэнцүү байх "тэг" мөрүүдийг арилгах;
4. дурын мөрийг тодорхой тоогоор үржүүлэх буюу хуваах;
5. дурын мөрөнд тодорхой тоогоор үржүүлсэн өөр мөр нэмнэ.

Өөрчлөлтийн үр дүнд бид үүнтэй тэнцэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.

Гауссын аргыг ашиглан системийн квадрат матрицтай шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритм ба жишээнүүд

Үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байх шугаман тэгшитгэлийн системийг эхлээд авч үзье. Ийм системийн матриц нь дөрвөлжин, өөрөөр хэлбэл доторх мөрүүдийн тоо нь баганын тоотой тэнцүү байна.

Жишээ 2.Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Сургуулийн аргуудыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ бид тэгшитгэлийн аль нэг гишүүнийг тодорхой тоогоор үржүүлснээр хоёр тэгшитгэлийн эхний хувьсагчийн коэффициентүүд нь эсрэг тоо байсан. Тэгшитгэл нэмэх үед энэ хувьсагчийг хасна. Гауссын арга нь мөн адил ажилладаг.

Хялбаршуулахын тулд Гадаад төрхшийдлүүд системийн өргөтгөсөн матрицыг үүсгэцгээе:

Энэ матрицад үл мэдэгдэх коэффициентүүд нь босоо шугамын өмнө зүүн талд, чөлөөт гишүүн нь босоо шугамын дараа баруун талд байрлана.

Хувьсагчдын коэффициентийг хуваахад тохиромжтой байхын тулд (нэгдмэл байдлаар хуваахыг олж авах) Системийн матрицын эхний болон хоёр дахь мөрийг сольж үзье. Шугаман тэгшитгэлийн системд тэгшитгэлүүдийг сольж болох тул бид үүнтэй ижил төстэй системийг олж авдаг.

Эхний шинэ тэгшитгэлийг ашиглах хувьсагчийг арилгах xхоёр дахь болон дараагийн бүх тэгшитгэлээс. Үүнийг хийхийн тулд матрицын хоёр дахь эгнээнд бид үржүүлсэн эхний мөрийг (бидний тохиолдолд -ээр), гурав дахь эгнээнд - эхний мөрийг үржүүлсэн (бидний тохиолдолд ) нэмнэ.

Учир нь энэ нь боломжтой юм

Хэрэв манай тэгшитгэлийн систем байсан бол гурваас дээш, дараа нь дараагийн бүх тэгшитгэлд хасах тэмдгээр авсан харгалзах коэффициентүүдийн харьцаагаар үржүүлсэн эхний мөрийг нэмэх шаардлагатай болно.

Үүний үр дүнд бид шинэ тэгшитгэлийн системийн энэ системтэй тэнцэх матрицыг олж авдаг бөгөөд үүнд хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлүүд орно. хувьсагч агуулаагүй x :

Үүссэн системийн хоёр дахь мөрийг хялбарчлахын тулд үүнийг дахин дахин үржүүлж, энэ системтэй тэнцэх тэгшитгэлийн системийн матрицыг олоорой.

Одоо үүссэн системийн эхний тэгшитгэлийг хэвээр үлдээвэл, Хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглан бид хувьсагчийг арилгана y дараагийн бүх тэгшитгэлээс. Үүнийг хийхийн тулд системийн матрицын гурав дахь эгнээнд бид хоёр дахь эгнээ нэмж, үржүүлсэн (бидний тохиолдолд ).

Хэрэв манай системд гурваас илүү тэгшитгэл байсан бол бид дараагийн бүх тэгшитгэлд хасах тэмдгээр авсан харгалзах коэффициентүүдийн харьцаагаар үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмэх шаардлагатай болно.

Үүний үр дүнд бид шугаман тэгшитгэлийн системтэй тэнцэх системийн матрицыг дахин олж авна.

Бид шугаман тэгшитгэлийн эквивалент трапецын системийг олж авлаа.

Хэрэв тэгшитгэл ба хувьсагчийн тоо бидний жишээнээс их байвал хувьсагчдыг дэс дараалан арилгах үйл явц нь бидний үзүүлэх жишээн дээрх шиг системийн матриц трапец хэлбэртэй болох хүртэл үргэлжилнэ.

Бид "эцсээс нь" шийдлийг олох болно - урвуу хөдөлгөөн. Үүний төлөө Сүүлийн тэгшитгэлээс бид тодорхойлно z:
.
Энэ утгыг өмнөх тэгшитгэлд орлуулж, бид олох болно y:

Эхний тэгшитгэлээс бид олох болно x:

Хариулт: Энэ тэгшитгэлийн системийн шийдэл .

: энэ тохиолдолд систем өвөрмөц шийдэлтэй бол ижил хариулт өгнө. Хэрэв системд хязгааргүй тооны шийдэл байгаа бол энэ нь хариулт байх болно, энэ нь энэ хичээлийн тав дахь хэсгийн сэдэв юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Энд дахин тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байх шугаман тэгшитгэлийн тууштай бөгөөд тодорхой системийн жишээг үзүүлэв. Манай демо жишээнээс алгоритмаас ялгаатай нь аль хэдийн дөрвөн тэгшитгэл, дөрвөн үл мэдэгдэх зүйл байна.

Жишээ 4.Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

Одоо та дараагийн тэгшитгэлээс хувьсагчийг хасахын тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах хэрэгтэй. Гүйцэе бэлтгэл ажил. Коэффициентийн харьцаагаар илүү тохиромжтой болгохын тулд та хоёр дахь эгнээний хоёр дахь баганад нэгийг авах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь мөрөөс гурав дахь хэсгийг хасаад, үүссэн хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлнэ.

Одоо гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлээс хувьсагчийн бодит хасалтыг хийцгээе. Үүнийг хийхийн тулд гурав дахь мөрөнд -ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг, дөрөв дэх мөрөнд -ээр үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг нэмнэ.

Одоо гурав дахь тэгшитгэлийг ашиглан дөрөв дэх тэгшитгэлээс хувьсагчийг хасна. Үүнийг хийхийн тулд дөрөв дэх мөрөнд гурав дахь мөрийг нэмээд үржүүлнэ. Бид өргөтгөсөн трапец хэлбэрийн матрицыг олж авдаг.

Бид тэнцүү тэгшитгэлийн системийг олж авсан энэ систем:

Иймээс үүссэн болон өгөгдсөн системүүд нь нийцтэй бөгөөд тодорхой юм. Эцсийн шийдвэрБид "эцсээс" олдог. Дөрөв дэх тэгшитгэлээс бид "x-four" хувьсагчийн утгыг шууд илэрхийлж болно.

Бид энэ утгыг системийн гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, авна

,

,

Эцэст нь үнэ цэнийг орлуулах

Эхний тэгшитгэл өгдөг

,

Бид "х"-ийг хаанаас олох вэ:

Хариулт: Энэ тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй .

Та мөн системийн шийдлийг Крамерын аргыг ашиглан тооцоолуур дээр шалгаж болно: энэ тохиолдолд систем нь өвөрмөц шийдэлтэй бол ижил хариулт өгнө.

Хайлш дээрх бодлогын жишээг ашиглан Гауссын аргыг ашиглан хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэх

Шугаман тэгшитгэлийн системийг физик ертөнц дэх бодит объектуудыг загварчлахад ашигладаг. Эдгээр асуудлын нэг болох хайлшийг шийдье. Үүнтэй төстэй асуудлууд - хольц, зардал эсвэл тодорхой татах хүч бие даасан бараабүтээгдэхүүний бүлэгт гэх мэт.

Жишээ 5.Гурван ширхэг хайлш нь нийт 150 кг жинтэй. Эхний хайлш нь 60% зэс, хоёр дахь нь 30%, гурав дахь нь 10% -ийг агуулдаг. Түүгээр ч зогсохгүй хоёр, гурав дахь хайлшийг нийлүүлэхэд эхний хайлшаас 28.4 кг, гурав дахь хайлш нь хоёр дахь хайлшаас 6.2 кг бага зэс байна. Хайлш бүрийн массыг ол.

Шийдэл. Бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

Бид хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийг 10-аар үржүүлснээр шугаман тэгшитгэлийн эквивалент системийг олж авна.

Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг үүсгэдэг:

Анхаар, урагшаа. Нэг мөрийг тоогоор үржүүлсэн (бидний хувьд хасах) нэмснээр (бид үүнийг хоёр удаа ашигладаг) системийн өргөтгөсөн матрицад дараахь өөрчлөлтүүд хийгдэнэ.

Шууд нүүдэл дууслаа. Бид өргөтгөсөн трапец хэлбэрийн матрицыг олж авсан.

Бид урвуу хөдөлгөөнийг хийдэг. Бид төгсгөлөөс нь шийдлийг олдог. Бид үүнийг харж байна.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог

Гурав дахь тэгшитгэлээс -

Та мөн системийн шийдлийг Крамерын аргыг ашиглан тооцоолуур дээр шалгаж болно: энэ тохиолдолд системд өвөрмөц шийдэл байгаа бол ижил хариулт өгнө.

Гауссын аргын энгийн гэдгийг Германы математикч Карл Фридрих Гаусс зохион бүтээхэд ердөө 15 минут зарцуулсан нь нотолж байна. Түүний нэрээр нэрлэгдсэн аргаас гадна "Бидэнд итгэмээргүй, байгалийн бус мэт санагдаж буй зүйлийг туйлын боломжгүй зүйлтэй андуурч болохгүй" гэсэн хэллэгийг Гауссын бүтээлүүдээс мэддэг. товч зааварнээлт хийх.

Хэрэглэсэн олон асуудалд гуравдахь хязгаарлалт, өөрөөр хэлбэл гурав дахь тэгшитгэл байхгүй байж болно, тэгвэл та Гауссын аргыг ашиглан гурван үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй, эсвэл эсрэгээрээ тэгшитгэлээс цөөн үл мэдэгдэх нь байдаг. Одоо бид ийм тэгшитгэлийн системийг шийдэж эхэлнэ.

Гауссын аргыг ашиглан аливаа систем нийцтэй эсвэл нийцэхгүй байгаа эсэхийг тодорхойлох боломжтой nшугаман тэгшитгэлүүд nхувьсагч.

Гауссын арга ба хязгааргүй олон шийд бүхий шугаман тэгшитгэлийн систем

Дараагийн жишээ бол шугаман тэгшитгэлийн тууштай боловч тодорхой бус систем, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй тооны шийдлүүд юм.

Системийн өргөтгөсөн матрицад өөрчлөлт хийсний дараа (мөрүүдийг дахин зохион байгуулах, мөрийг тодорхой тоогоор үржүүлэх, хуваах, нэг мөрөнд өөр нэг мөр нэмэх) маягтын мөрүүд гарч ирж болно.

Хэрэв бүх тэгшитгэлд хэлбэртэй байвал

Чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү, энэ нь систем нь тодорхойгүй, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй, ийм төрлийн тэгшитгэлүүд "илүүдэл" бөгөөд бид тэдгээрийг системээс хасдаг гэсэн үг юм.

Жишээ 6.

Шийдэл. Системийн өргөтгөсөн матрицыг үүсгэцгээе. Дараа нь эхний тэгшитгэлийг ашиглан бид дараагийн тэгшитгэлээс хувьсагчийг хасна. Үүнийг хийхийн тулд хоёр, гурав, дөрөв дэх мөрөнд эхнийхийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлнэ.

Одоо гурав, дөрөвт хоёр дахь мөрийг нэмье.

Үүний үр дүнд бид системд хүрдэг

Сүүлийн хоёр тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл болж хувирав. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь үл мэдэгдэх бүх утгын хувьд хангагдсан бөгөөд үүнийг хаяж болно.

Хоёрдахь тэгшитгэлийг хангахын тулд бид дурын утгуудыг сонгож болно, дараа нь утгыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлно. . Эхний тэгшитгэлээс утгыг мөн өвөрмөц байдлаар олно: .

Өгөгдсөн болон сүүлийн систем хоёулаа нийцтэй, гэхдээ тодорхойгүй, томъёонууд

дур зоргоороо, өгөгдсөн системийн бүх шийдлийг бидэнд өгнө.

Гауссын арга ба шийдэлгүй шугаман тэгшитгэлийн систем

Дараагийн жишээ бол шугаман тэгшитгэлийн үл нийцэх систем, өөрөөр хэлбэл шийдэлгүй систем юм. Иймэрхүү асуудлын хариултыг ингэж томъёолдог: системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Эхний жишээн дээр дурьдсанчлан хувиргалт хийсний дараа системийн өргөтгөсөн матрицад маягтын мөрүүд гарч ирж болно.

хэлбэрийн тэгшитгэлд харгалзах

Хэрэв тэдгээрийн дунд дор хаяж нэг тэгшитгэл байгаа бол тэгээс өөр чөлөөт гишүүнтэй (өөрөөр хэлбэл ) тэгшитгэлийн систем нь нийцэхгүй, өөрөөр хэлбэл шийдэлгүй бөгөөд шийдэл нь бүрэн дүүрэн байна.

Жишээ 7.Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд.

Шийдэл. Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бүрдүүлдэг. Эхний тэгшитгэлийг ашиглан бид хувьсагчийг дараагийн тэгшитгэлээс хасдаг. Үүнийг хийхийн тулд эхний мөрийг хоёр дахь мөрөнд, эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд, эхний мөрийг дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ.

Одоо та дараагийн тэгшитгэлээс хувьсагчийг хасахын тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах хэрэгтэй. Коэффициентийн бүхэл тооны харьцааг олж авахын тулд бид системийн өргөтгөсөн матрицын хоёр ба гурав дахь мөрийг сольдог.

Гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийг хасахын тулд гурав дахь мөрөнд хоёр дахь нь -ээр үржүүлсэнийг, дөрөв дэх мөрөнд хоёр дахь нь -ээр үржүүлсэнийг нэмнэ.

Одоо гурав дахь тэгшитгэлийг ашиглан дөрөв дэх тэгшитгэлээс хувьсагчийг хасна. Үүнийг хийхийн тулд дөрөв дэх мөрөнд гурав дахь мөрийг нэмээд үржүүлнэ.

Тиймээс өгөгдсөн систем нь дараахтай тэнцүү байна.

Үүссэн систем нь үл нийцэх, учир нь түүний сүүлчийн тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх утгуудаар хангагдах боломжгүй юм. Тиймээс энэ системд ямар ч шийдэл байхгүй.

Гауссын аргаШугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAEs) шийдвэрлэхэд тохиромжтой. Энэ нь бусад аргуудтай харьцуулахад хэд хэдэн давуу талтай:

• нэгдүгээрт, тэгшитгэлийн системийг тууштай байдлын үүднээс эхлээд шалгах шаардлагагүй;
• Хоёрдугаарт, Гауссын арга нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцаж, системийн үндсэн матриц нь дан биш байх SLAE-ийг төдийгүй тэгшитгэлийн тоо нь давхцдаггүй тэгшитгэлийн системийг шийдэж чадна. үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоо эсвэл үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна;
• гуравдугаарт, Гауссын арга нь харьцангуй цөөн тооны тооцооллын үйлдлүүдтэй үр дүнд хүргэдэг.

Өгүүллийн товч тойм.

Нэгдүгээрт, бид шаардлагатай тодорхойлолтуудыг өгч, тэмдэглэгээг нэвтрүүлдэг.

Дараа нь бид Гауссын аргын алгоритмыг хамгийн энгийн тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системүүдийн хувьд тодорхойгүй хувьсагчдын тоотой давхцаж байгаа тэгшитгэлийн тоо, системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тодорхойлогдоно. тэгтэй тэнцүү биш. Ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ Гауссын аргын мөн чанар хамгийн тод харагддаг бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах явдал юм. Тиймээс Гауссын аргыг үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга гэж бас нэрлэдэг. Бид хэд хэдэн жишээнүүдийн нарийвчилсан шийдлүүдийг харуулах болно.

Дүгнэж хэлэхэд гол матриц нь тэгш өнцөгт эсвэл дан хэлбэртэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн Гауссын аргын шийдлийг авч үзэх болно. Ийм системийн шийдэл нь зарим онцлог шинж чанартай байдаг бөгөөд бид үүнийг жишээн дээр нарийвчлан авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Үндсэн тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ.

n үл мэдэгдэх p шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзье (p нь n-тэй тэнцүү байж болно):

Үүнд үл мэдэгдэх хувьсагч, тоо (бодит эсвэл нийлмэл), чөлөөт нэр томъёо байна.

Хэрэв , дараа нь шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг нэрлэнэ нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - гетероген.

Системийн бүх тэгшитгэлүүд нь таних тэмдэг болдог үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багцыг нэрлэдэг SLAU-ийн шийдвэр.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн ядаж нэг шийдэл байгаа бол түүнийг дуудна хамтарсан, эс бөгөөс - хамтарсан бус.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой. Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол системийг дуудна тодорхойгүй.

Тэд систем нь бичигдсэн гэж хэлдэг координатын хэлбэр, хэрэв энэ нь маягттай бол
.

Энэ системд матриц хэлбэрбүртгэл нь хаана гэсэн хэлбэртэй байна - SLAE-ийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчдын баганын матриц, - чөлөөт нэр томъёоны матриц.

Хэрэв бид чөлөөт нөхцлүүдийн матриц баганыг А матрицад (n+1)-р багана болгон нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн өргөтгөсөн матрицыг T үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд чөлөөт нэр томъёоны баганыг үлдсэн баганаас босоо шугамаар тусгаарладаг, өөрөөр хэлбэл,

А квадрат матриц гэж нэрлэдэг доройтох, хэрэв түүний тодорхойлогч нь тэг бол. Хэрэв бол А матрицыг дуудна доройтдоггүй.

Дараахь зүйлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системээр гүйцэтгэх юм бол дараах үйлдлүүд

• хоёр тэгшитгэл солих,
• аливаа тэгшитгэлийн хоёр талыг дурын ба тэг биш бодит (эсвэл комплекс) k тоогоор үржүүлэх,
• дурын тэгшитгэлийн хоёр талд өөр тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг дурын k тоогоор үржүүлж нэмнэ.

тэгвэл та ижил шийдэлтэй (эсвэл анхных шиг шийдэлгүй) ижил төстэй системийг авах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн өргөтгөсөн матрицын хувьд эдгээр үйлдлүүд нь эгнээнүүдийн үндсэн хувиргалтыг хийх болно.

• хоёр мөр солих,
• T матрицын аль ч эгнээний бүх элементүүдийг тэгээс өөр k тоогоор үржүүлэх,
• матрицын аль ч эгнээний элементүүдэд өөр эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дурын k тоогоор үржүүлнэ.

Одоо бид Гауссын аргын тайлбар руу орж болно.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү, системийн үндсэн матриц нь ганц биш байх шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Хэрэв бидэнд тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох даалгавар өгвөл бид сургуульд юу хийх байсан бэ? .

Зарим нь үүнийг хийх байсан.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмэхийг анхаарна уу зүүн талэхлээд, баруун талд - баруун талд нь үл мэдэгдэх x 2 ба x 3 хувьсагчдаас салж, тэр даруй x 1-ийг олох боломжтой.

Олдсон утгыг x 1 =1 системийн эхний ба гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Хэрэв бид системийн гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр талыг -1-ээр үржүүлж, эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдэд нэмбэл бид үл мэдэгдэх х 3 хувьсагчаас салж, x 2-ыг олж болно.

Гурав дахь тэгшитгэлд үүссэн x 2 = 2 утгыг орлуулж, үл мэдэгдэх хувьсагч x 3-ыг олно.

Бусад нь өөрөөр хийх байсан.

Үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчтай холбоотой системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг системийн хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, энэ хувьсагчийг тэдгээрээс хасъя.

Одоо x 2 системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэж, олж авсан үр дүнг гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, үл мэдэгдэх х 2 хувьсагчийг хасъя.

Системийн гурав дахь тэгшитгэлээс x 3 =3 гэдэг нь тодорхой байна. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог , мөн эхний тэгшитгэлээс бид .

Танил шийдлүүд, тийм үү?

Энд хамгийн сонирхолтой зүйл бол хоёр дахь шийдлийн арга нь үндсэндээ үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах арга буюу Гауссын арга юм. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (эхний x 1, дараагийн шатанд x 2) илэрхийлж, системийн үлдсэн тэгшитгэлд орлуулах үед бид тэдгээрийг хассан. Сүүлийн тэгшитгэлд үл мэдэгдэх нэг хувьсагч үлдэх хүртэл бид арилгах ажлыг хийсэн. Үл мэдэгдэх зүйлийг дараалан арилгах үйл явц гэж нэрлэдэг шууд Гауссын арга. Дуусгасны дараа урагш цус харвалтСүүлийн тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг тооцоолох боломж бидэнд одоо байна. Үүний тусламжтайгаар бид эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг олох гэх мэт. Сүүлчийн тэгшитгэлээс эхнийх рүү шилжих явцад үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан олох үйл явцыг гэнэ Гауссын аргын урвуу.

Эхний тэгшитгэлд x 1-ийг x 2 ба x 3-аар илэрхийлж, дараа нь гарсан илэрхийлэлийг хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулах үед дараах үйлдлүүд ижил үр дүнд хүргэдэг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Үнэн хэрэгтээ ийм журам нь системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасах боломжийг олгодог.

Гауссын аргыг ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах нюансууд нь системийн тэгшитгэлд зарим хувьсагч агуулаагүй тохиолдолд үүсдэг.

Жишээлбэл, SLAU-д эхний тэгшитгэлд үл мэдэгдэх хувьсагч х 1 байхгүй (өөрөөр хэлбэл түүний өмнөх коэффициент нь тэг). Иймд үл мэдэгдэх хувьсагчийг үлдсэн тэгшитгэлээс хасахын тулд бид x 1 системийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж чадахгүй. Энэ байдлаас гарах арга зам бол системийн тэгшитгэлийг солих явдал юм. Бид үндсэн матрицуудын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай шугаман тэгшитгэлийн системийг авч үзэж байгаа тул бидэнд хэрэгтэй хувьсагч байх тэгшитгэл үргэлж байдаг бөгөөд бид энэ тэгшитгэлийг өөрт хэрэгтэй байрлалд шилжүүлж болно. Бидний жишээн дээр системийн эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг солиход хангалттай , тэгвэл та x 1-ийн эхний тэгшитгэлийг шийдэж, системийн үлдсэн тэгшитгэлээс хасаж болно (хэдийгээр хоёр дахь тэгшитгэлд x 1 байхгүй).

Та гол санааг ойлгосон гэж найдаж байна.

Тодорхойлъё Гауссын аргын алгоритм.

Бид n үл мэдэгдэх n шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё хэлбэрийн хувьсагч , мөн түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч тэгээс ялгаатай байг.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Хоёр дахьээс эхлэн системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэлд бид эхний тэгшитгэлийг -ээр үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэл дээр бид эхнийхийг нэмж, үржүүлж, n-р тэгшитгэлд бид эхнийхийг нэмээд үржүүлнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, ба .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийллийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулсан бол ижил үр дүнд хүрэх байсан. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй арга замаар явна, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үр дүнд бий болсон системийн нэг хэсгийг л хийнэ

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэлд бид хоёр дахь тэгшитгэлээр үржүүлж, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр бид хоёр дахь, үржүүлсэн, гэх мэт, n-р тэгшитгэлд бид хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмж, үржүүлсэн үржвэрийг нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, ба . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгахын зэрэгцээ зурагт тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй үйлдэл хийнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд явцыг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, х n-ийн олж авсан утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. .

Жишээ ашиглан алгоритмыг харцгаая.

Жишээ.

Гауссын арга.

Шийдэл.

a 11 коэффициент нь тэг биш тул Гауссын аргын шууд прогресс руу шилжье, өөрөөр хэлбэл эхнийхээс бусад системийн бүх тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 1 хувьсагчийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр, гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд эхний тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус үржүүлж нэмнэ. Мөн:

Үл мэдэгдэх хувьсагч x 1 хасагдсан тул x 2-г хасах руу шилжье. Системийн гурав, дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд бид хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус үржүүлж нэмнэ. Тэгээд :

Гауссын аргын урагшлах явцыг дуусгахын тулд системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х 3 хувьсагчийг хасах хэрэгтэй. Дөрөв дэх тэгшитгэлийн зүүн ба баруун тал дээр гурав дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус нэмээд үржүүлье. :

Та Гауссын аргын урвуу аргыг эхлүүлж болно.

Бидэнд байгаа сүүлчийн тэгшитгэлээс ,
Гурав дахь тэгшитгэлээс бид олж авна
хоёр дахь нь,
эхнийхээс.

Шалгахын тулд та үл мэдэгдэх хувьсагчдын олж авсан утгыг тэгшитгэлийн анхны системд орлуулж болно. Бүх тэгшитгэлүүд ижил төстэй байдал болж хувирдаг бөгөөд энэ нь Гауссын аргыг ашигласан шийдэл зөв олдсоныг харуулж байна.

Хариулт:

Одоо матрицын тэмдэглэгээнд Гауссын аргыг ашиглан ижил жишээний шийдлийг өгье.

Жишээ.

Тэгшитгэлийн системийн шийдийг ол Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн өргөтгөсөн матриц нь хэлбэртэй байна . Багана бүрийн дээд талд матрицын элементүүдтэй харгалзах үл мэдэгдэх хувьсагчид байна.

Гауссын аргын шууд хандлага нь системийн өргөтгөсөн матрицыг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Энэ процесс нь координат хэлбэрээр системтэй хийсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахтай төстэй юм. Одоо та үүнийг харах болно.

Матрицыг хоёр дахь баганаас эхлэн эхний баганад байгаа бүх элементүүд тэг болохын тулд хувиргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд хоёр, гурав, дөрөв дэх мөрийн элементүүдэд бид эхний мөрийн харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. ба үүний дагуу:

Дараа нь бид үүссэн матрицыг хувиргаж, хоёр дахь баганад гурав дахь баганаас эхлэн бүх элементүүд тэг болно. Энэ нь үл мэдэгдэх хувьсагч x 2-ыг арилгахад тохирно. Үүнийг хийхийн тулд гурав, дөрөв дэх эгнээний элементүүдэд бид матрицын эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг тус тусад нь үржүүлж нэмнэ. Тэгээд :

Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч x 3-ийг хасах хэвээр байна. Үүнийг хийхийн тулд үүссэн матрицын сүүлчийн эгнээний элементүүдэд бид эцсийн өмнөх эгнээний харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. :

Энэ матриц нь шугаман тэгшитгэлийн системтэй тохирч байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй

урагш хөдөлсний дараа өмнө нь олж авсан.

Буцах цаг болжээ. Матрицын тэмдэглэгээнд Гауссын аргын урвуу нь үүссэн матрицыг зураг дээр тэмдэглэсэн матрицыг хувиргах явдал юм.

диагональ болсон, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийг авсан

хэдэн тоо хаана байна.

Эдгээр хувиргалтууд нь Гауссын аргын урагшаа хувиргахтай төстэй боловч эхний мөрөөс сүүлчийнх хүртэл биш, харин сүүлчийнхээс эхнийх хүртэл хийгддэг.

Гурав, хоёр, эхний мөрийн элементүүдэд сүүлчийн мөрийн харгалзах элементүүдийг үржүүлж нэмнэ. , үргэлжилээд л байх тус тус:

Одоо хоёр дахь болон эхний мөрүүдийн элементүүдэд гурав дахь мөрийн харгалзах элементүүдийг тус тусад нь үржүүлж нэмнэ.

Урвуу Гауссын аргын сүүлчийн алхамд бид эхний эгнээний элементүүдэд хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлнэ.

Үүссэн матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тохирч байна , бид үл мэдэгдэх хувьсагчдыг хаанаас олдог.

Хариулт:

ЖИЧ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглахдаа ойролцоогоор тооцоолол хийхээс зайлсхийх хэрэгтэй, учир нь энэ нь бүрэн буруу үр дүнд хүргэж болзошгүй юм. Аравтын бутархайг дугуйлахгүй байхыг зөвлөж байна. -аас илүү сайн аравтын бутархайруу явах энгийн бутархай.

Жишээ.

Гауссын аргыг ашиглан гурван тэгшитгэлийн системийг шийд .

Шийдэл.

Энэ жишээнд үл мэдэгдэх хувьсагчид өөр тэмдэглэгээтэй байгааг анхаарна уу (x 1, x 2, x 3 биш, харин x, y, z). Энгийн бутархай руу шилжье:

Системийн хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х-г хасъя.

Үүссэн системд үл мэдэгдэх y хувьсагч хоёр дахь тэгшитгэлд байхгүй, харин y нь гурав дахь тэгшитгэлд байгаа тул хоёр, гурав дахь тэгшитгэлийг сольж үзье.

Ингэснээр Гауссын аргын шууд явц (энэ үл мэдэгдэх хувьсагч байхгүй болсон тул y-г гурав дахь тэгшитгэлээс хасах шаардлагагүй).

Урвуу хөдөлгөөнийг эхлүүлье.

Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог ,
эцсийн мөчөөс


Бидэнд байгаа эхний тэгшитгэлээс

Хариулт:

X = 10, y = 5, z = -20.

Тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой давхцдаггүй эсвэл системийн үндсэн матриц нь дан хэлбэртэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдвэрлэх.

Үндсэн матриц нь тэгш өнцөгт буюу дөрвөлжин дан хэлбэртэй тэгшитгэлийн систем нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно.

Одоо бид Гауссын арга нь шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлыг хэрхэн тогтоох боломжийг олгодог бөгөөд түүний нийцтэй байдлын хувьд бүх шийдлүүдийг (эсвэл нэг шийдлийг) тодорхойлох боломжийг бид ойлгох болно.

Зарчмын хувьд ийм SLAE-ийн хувьд үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах үйл явц ижил хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч үүсч болзошгүй зарим нөхцөл байдлын талаар нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Хамгийн чухал үе шат руугаа явцгаая.

Тиймээс, шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь Гауссын аргын урагшлах явцыг дуусгасны дараа хэлбэрийг авна гэж үзье. нэг ч тэгшитгэлийг бууруулаагүй (энэ тохиолдолд бид систем нь нийцэхгүй байна гэж дүгнэх болно). "Дараа нь юу хийх вэ" гэсэн логик асуулт гарч ирнэ.

Үүссэн системийн бүх тэгшитгэлд хамгийн түрүүнд орох үл мэдэгдэх хувьсагчдыг бичье.

Бидний жишээнд эдгээр нь x 1, x 4, x 5 юм. Системийн тэгшитгэлийн зүүн талд бид зөвхөн x 1, x 4, x 5 гэсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан нэр томъёог үлдээж, үлдсэн нэр томъёог тэгшитгэлийн баруун талд эсрэг тэмдэгтэй шилжүүлнэ.

Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дурын утгыг өгье. - дурын тоо:

Үүний дараа манай SLAE-ийн бүх тэгшитгэлийн баруун гар талд тоонууд байгаа бөгөөд бид Гауссын аргын урвуу руу шилжиж болно.

Бидэнд байгаа системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс бид эхний тэгшитгэлээс олж авна.

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн утгуудын багц юм

Тоо өгөх өөр өөр утгууд, бид тэгшитгэлийн системийн өөр өөр шийдлүүдийг олж авах болно. Өөрөөр хэлбэл, бидний тэгшитгэлийн систем хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг.

Хариулт:

Хаана - дурын тоо.

Материалыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.

Жишээ.

Шийдэх нэгэн төрлийн системшугаман алгебрийн тэгшитгэл Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх х хувьсагчийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд бид эхний тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг -аар үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг тус тус нэмнэ. Эхний тэгшитгэлийн баруун талыг үржүүлсэн:

Одоо үүссэн тэгшитгэлийн системийн гурав дахь тэгшитгэлээс y-г хасъя.

Үүссэн SLAE нь системтэй тэнцүү байна .

Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн үл мэдэгдэх x ба y хувьсагчдыг агуулсан нөхцөлүүдийг үлдээж, үл мэдэгдэх z хувьсагчтай нөхцөлүүдийг баруун тал руу шилжүүлнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн хоёр системийг тэдгээрийн бүх шийдлийн багц давхцаж байвал эквивалент гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийн системийн анхан шатны өөрчлөлтүүд нь:

1. Системээс өчүүхэн жижиг тэгшитгэлүүдийг устгах, i.e. бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх;
2. Аливаа тэгшитгэлийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;
3. Дурын i-р тэгшитгэлд дурын j-р тэгшитгэлийг дурын тоогоор үржүүлж нэмэх.

Хэрэв энэ хувьсагчийг зөвшөөрөхгүй, харин тэгшитгэлийн системийг бүхэлд нь зөвшөөрвөл x i хувьсагчийг чөлөөт гэж нэрлэдэг.

Теорем. Элементар хувиргалт нь тэгшитгэлийн системийг эквивалент болгон хувиргадаг.

Гауссын аргын утга нь анхны тэгшитгэлийн системийг хувиргаж, шийдвэрлэсэн эсвэл түүнтэй тэнцэх үл нийцэх системийг олж авах явдал юм.

Тиймээс Гауссын арга нь дараах үе шатуудаас бүрдэнэ.

1. Эхний тэгшитгэлийг харцгаая. Эхний тэг биш коэффициентийг сонгоод бүхэл тэгшитгэлийг түүгээр хуваая. Бид 1-ийн коэффициенттэй зарим x i хувьсагч ордог тэгшитгэлийг олж авдаг;
2. Энэ тэгшитгэлийг бусад бүх тэгшитгэлээс хасаж, үлдсэн тэгшитгэлийн x i хувьсагчийн коэффициентийг тэглэх тийм тоогоор үржүүлье. Бид x i хувьсагчтай холбоотой шийдэгдсэн системийг олж авдаг бөгөөд анхныхтай тэнцүү;
3. Хэрэв өчүүхэн тэгшитгэлүүд гарч ирвэл (ховор тохиолддог, гэхдээ энэ нь тохиолддог; жишээлбэл, 0 = 0) бид тэдгээрийг системээс хасдаг. Үүний үр дүнд нэг цөөхөн тэгшитгэл байна;
4. Бид өмнөх алхмуудыг n-ээс ихгүй удаа давтана, энд n нь систем дэх тэгшитгэлийн тоо юм. Бид "боловсруулах" шинэ хувьсагчийг сонгох бүртээ. Тохиромжгүй тэгшитгэл үүсвэл (жишээлбэл, 0 = 8) систем нь нийцэхгүй байна.

Үүний үр дүнд бид хэд хэдэн алхам хийсний дараа шийдэгдсэн систем (үнэгүй хувьсагчтай байж магадгүй) эсвэл үл нийцэх системийг олж авах болно. Зөвшөөрөгдсөн системүүд нь хоёр тохиолдолд хуваагдана:

1. Хувьсагчийн тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү байна. Энэ нь систем тодорхойлогдсон гэсэн үг юм;
2. Хувьсагчийн тоо илүү тоотэгшитгэл. Бид баруун талд байгаа бүх чөлөөт хувьсагчдыг цуглуулдаг - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдын томъёог авдаг. Эдгээр томъёог хариултанд бичсэн болно.

Тэгээд л болоо! Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдсэн! Энэ бол маш энгийн алгоритм бөгөөд үүнийг эзэмшихийн тулд та дээд түвшний математикийн багштай холбоо барих шаардлагагүй болно. Нэг жишээг харцгаая:

Даалгавар. Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Алхамуудын тайлбар:

1. Эхний тэгшитгэлийг хоёр ба гурав дахь хэсгээс хасах - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 1-ийг авна;
2. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг (−1) үржүүлж, гурав дахь тэгшитгэлийг (−3) хуваана - бид x 2 хувьсагч 1-ийн коэффициентээр ордог хоёр тэгшитгэлийг авна;
3. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний дээр нэмж, гурав дахь тэгшитгэлээс хасна. Бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагчийг авна x 2 ;
4. Эцэст нь бид гурав дахь тэгшитгэлийг эхнийхээс хасна - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 3-ийг авна;
5. Бид батлагдсан системийг хүлээн авлаа, хариугаа бичнэ үү.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг системийн ерөнхий шийдэл нь шинэ систем, бүх зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн анхны хувьсагчтай тэнцүү байна.

Ерөнхий шийдэл хэзээ хэрэгтэй болох вэ? Хэрэв та k-ээс цөөн алхам хийх шаардлагатай бол (k нь хичнээн тэгшитгэл байгааг илэрхийлнэ). Гэсэн хэдий ч үйл явц яагаад зарим үе шатанд дуусдаг шалтгаанууд l< k , может быть две:

1. l-р алхамын дараа бид тоо (l + 1) бүхий тэгшитгэл агуулаагүй системийг олж авлаа. Үнэндээ энэ бол сайн, учир нь ... эрх бүхий системийг олж авсан хэвээр байна - бүр хэдхэн алхамын өмнө.
2. l-р алхамын дараа бид хувьсагчдын бүх коэффициент нь тэгтэй тэнцүү, чөлөөт коэффициент нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэлийг олж авсан. Энэ бол зөрчилтэй тэгшитгэл бөгөөд иймээс систем нь нийцэхгүй байна.

Гауссын аргыг ашиглан үл нийцэх тэгшитгэл үүсэх нь үл нийцэх хангалттай үндэслэл гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Үүний зэрэгцээ, 1-р алхамын үр дүнд ямар ч өчүүхэн тэгшитгэл үлдэхгүй гэдгийг бид тэмдэглэж байна - тэдгээр нь процессын явцад шууд таслагдах болно.

Алхамуудын тайлбар:

1. Эхний тэгшитгэлийг 4-ээр үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг хас. Бид мөн эхний тэгшитгэлийг гурав дахь дээр нэмнэ - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 1-ийг авна;
2. Гурав дахь тэгшитгэлийг 2-оор үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг хасвал бид 0 = −5 зөрчилтэй тэгшитгэлийг авна.

Тэгэхлээр систем нь үл нийцэх тэгшитгэл илэрсэн тул зөрчилтэй байна.

Даалгавар. Тохиромжтой байдлыг судалж, системийн ерөнхий шийдлийг олох:

Алхамуудын тайлбар:

1. Бид эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь (хоёроор үржүүлсний дараа) хасч, гурав дахь нь - зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 1-ийг авна;
2. Гурав дахь тэгшитгэлээс хоёр дахь тэгшитгэлийг хас. Эдгээр тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд ижил тул гурав дахь тэгшитгэл нь ач холбогдолгүй болно. Үүний зэрэгцээ хоёр дахь тэгшитгэлийг (−1) үржүүлнэ;
3. Эхний тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгийг хас - бид зөвшөөрөгдсөн хувьсагч х 2-ийг авна. Одоо тэгшитгэлийн системийг бүхэлд нь шийдсэн;
4. x 3 ба x 4 хувьсагч нь чөлөөтэй тул зөвшөөрөгдсөн хувьсагчдыг илэрхийлэхийн тулд тэдгээрийг баруун тийш шилжүүлнэ. Энэ бол хариулт юм.

Тиймээс, зөвшөөрөгдсөн хоёр хувьсагч (x 1 ба x 2) ба хоёр чөлөөт хувьсагч (x 3 ба x 4) байдаг тул систем тогтвортой бөгөөд тодорхойгүй байна.