Үйлчилгээний зорилго. Онлайн тооцоолуур нь SLAE-ийн энгийн бөгөөд үндсэн шийдлийг олоход зориулагдсан. Үүссэн шийдлийг Word файлд хадгална (шийдэл жишээг үзнэ үү).
Зааварчилгаа. Матрицын хэмжээсийг сонгох:
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шинж чанарууд
Системтэй байхын тулд энгийн бус шийдлүүд, түүний матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.Теорем. m=n тохиолдолд систем нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л чухал бус шийдэлтэй байна.
Теорем. Системийн шийдлүүдийн шугаман хослол нь мөн энэ системийн шийдэл юм.
Тодорхойлолт. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн багцыг гэнэ шийдлийн үндсэн систем, хэрэв энэ олонлог нь шугаман бие даасан шийдлүүдээс бүрдэх ба системийн аливаа шийдэл нь эдгээр шийдлүүдийн шугаман хослол юм.
Теорем. Хэрэв системийн матрицын r зэрэглэл нь үл мэдэгдэх n тооноос бага байвал (n-r) шийдлүүдээс бүрдсэн шийдлийн үндсэн систем бий болно.
Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх алгоритм
- Матрицын зэрэглэлийг олох.
- Бид үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг сонгодог. Бид хамааралтай (үндсэн) болон чөлөөт үл мэдэгдэхийг ялгадаг.
- Коэффициент нь минорын үндсэнд ороогүй системийн тэгшитгэлүүдийг бид хасдаг, учир нь тэдгээр нь бусдын үр дагавар юм (минорын үндсэн дээрх теоремийн дагуу).
- Бид чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан тэгшитгэлийн нөхцлүүдийг шилжүүлдэг баруун тал. Үүний үр дүнд бид тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай r үл мэдэгдэх r тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.
- Бид үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах замаар үүссэн системийг шийддэг. Бид чөлөөт хувьсагчаар дамжуулан хамааралтай хувьсагчдыг илэрхийлдэг харилцааг олдог.
- Хэрэв матрицын зэрэглэл нь хувьсагчийн тоотой тэнцүү биш бол системийн үндсэн шийдлийг олно.
- Rang = n тохиолдолд бидэнд өчүүхэн шийдэл байна.
Жишээ. Векторуудын системийн суурийг (a 1, a 2,...,a m) олж, суурь дээр үндэслэн векторуудыг эрэмбэлж, илэрхийл. Хэрэв 1 =(0,0,1,-1), 2 =(1,1,2,0), 3 =(1,1,1,1), 4 =(3,2,1) байвал ,4), 5 =(2,1,0,3).
Системийн үндсэн матрицыг бичье.
3-р мөрийг (-3) үржүүлнэ. 4-р мөрийг 3-т нэмье:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
4-р мөрийг (-2) үржүүлнэ. 5-р мөрийг (3) үржүүлье. 5-р мөрийг 4-р мөрөнд нэмье:
1-р мөрөнд 2-р мөрийг нэмье:
Матрицын зэрэглэлийг олцгооё.
Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд дараах хэлбэртэй байна.
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид энгийн бус шийдлийг олдог.
Бид x 1 , x 2 , x 3 хамааралтай хувьсагчдыг x 4 чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдлийг олсон.
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Гауссын арга нь хэд хэдэн сул талуудтай: Гауссын аргад шаардлагатай бүх хувиргалтыг хийх хүртэл систем нь нийцэж байгаа эсэхийг мэдэх боломжгүй; Гауссын арга нь үсгийн коэффициент бүхий системд тохиромжгүй.
Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх бусад аргуудыг авч үзье. Эдгээр аргууд нь матрицын зэрэглэлийн үзэл баримтлалыг ашигладаг бөгөөд аливаа тууштай системийн шийдлийг Крамерын дүрэм хамаарах системийн шийдэл болгон бууруулдаг.
Жишээ 1.Ерөнхий шийдлийг олох дараагийн систембууруулсан нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба нэгэн төрлийн бус системийн тодорхой шийдийг ашиглан шугаман тэгшитгэл.
1. Матриц хийх Аболон өргөтгөсөн системийн матриц (1)
2. Системийг судлах (1) эв нэгдлийн төлөө. Үүнийг хийхийн тулд бид матрицуудын зэрэглэлийг олдог Аболон https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Хэрэв энэ нь илэрвэл систем (1) нийцэхгүй. Хэрэв бид үүнийг олж авбал , тэгвэл энэ систем тууштай байгаа бөгөөд бид үүнийг шийдэх болно. (Тохирлын судалгаа нь Кронекер-Капелли теорем дээр үндэслэсэн).
а. Бид олдог rA.
Олох rA, бид матрицын эхний, хоёр дахь гэх мэт эрэмбийн 0 биш жижиг хэсгүүдийг дараалан авч үзэх болно. АТэдний эргэн тойронд байгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд.
М1=1≠0 (бид матрицын зүүн дээд булангаас 1-ийг авна А).
Бид хиллэдэг М1энэ матрицын хоёр дахь мөр ба хоёр дахь багана. 
. Бид хилээ үргэлжлүүлсээр байна М1хоёр дахь мөр ба гурав дахь багана..gif" width="37" height="20 src=">. Одоо бид тэгээс өөр баганатай хиллэдэг. М2′хоёр дахь захиалга.
Бидэнд байгаа: 
(эхний хоёр багана ижил учраас)
(хоёр ба гурав дахь мөр нь пропорциональ учраас).
Бид үүнийг харж байна rA=2, a нь матрицын суурь минор юм А.
б. Бид олдог.
Нэлээд энгийн бага М2′матрицууд Ачөлөөт нэр томъёоны багана болон бүх мөртэй хиллэдэг (бидэнд зөвхөн сүүлийн мөр байна).
. Үүнийг дагадаг М3′′матрицын үндсэн бага хэвээр байна https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Учир нь М2′- матрицын суурь минор Асистемүүд (2) , тэгвэл энэ систем нь системтэй тэнцэнэ (3) , системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ (2) (for М2′ A) матрицын эхний хоёр мөрөнд байна.
(3)
Үндсэн жижиг оноос хойш https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Энэ системд хоёр үнэгүй үл мэдэгдэх зүйл байдаг ( x2 Тэгээд x4 ). Тийм ч учраас FSR системүүд (4) хоёр шийдлээс бүрдэнэ. Тэдгээрийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлсийг хуваарилдаг (4) үнэт зүйлс хамгийн түрүүнд x2=1 , x4=0 , Тэгээд - x2=0 , x4=1 .
At x2=1 , x4=0 бид авах:
.
Энэ систем аль хэдийн бий цорын ганц зүйл шийдэл (үүнийг Крамерын дүрэм эсвэл бусад аргыг ашиглан олж болно). Хоёр дахь тэгшитгэлээс эхнийхийг хасвал бид дараахь зүйлийг авна.
Түүний шийдэл байх болно x1= -1 , x3=0 . Үнэт зүйлсийг өгсөн x2 Тэгээд x4 , бидний нэмснээр бид системийн анхны үндсэн шийдлийг олж авдаг (2) : .
Одоо бид итгэж байна (4) x2=0 , x4=1 . Бид авах:
.
Бид энэ системийг Крамерын теоремыг ашиглан шийддэг.
.
Бид системийн хоёр дахь үндсэн шийдлийг олж авдаг (2) : .
Шийдэл β1 , β2 мөн бүрдүүлэх FSR системүүд (2) . Дараа нь түүний ерөнхий шийдэл байх болно
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Энд C1 , C2 - дурын тогтмолууд.
4. Нэгийг нь олъё хувийн шийдэл гетероген систем(1) . Догол мөрөнд дурдсанчлан 3 , системийн оронд (1) Үүнтэй ижил төстэй системийг авч үзье (5) , системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бүрдэнэ (1) .
(5)
Үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлсийг баруун тал руу шилжүүлье x2Тэгээд x4.
(6)
Үл мэдэгдэх зүйлсийг үнэгүй өгье x2 Тэгээд x4 дурын утгууд, жишээлбэл, x2=2 , x4=1 мөн тэдгээрийг оруулна уу (6) . Системийг нь авч үзье
Энэ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй (тодорхойлогч учраас М2′0). Үүнийг шийдэж (Крамерын теорем эсвэл Гауссын аргыг ашиглан) бид олж авна x1=3 , x3=3 . Үнэгүй үл мэдэгдэх утгыг өгсөн x2 Тэгээд x4 , бид авдаг нэгэн төрлийн бус системийн тусгай шийдэл(1)α1=(3,2,3,1).
5. Одоо үүнийг бичих л үлдлээ нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдэл α(1) : нийлбэртэй тэнцүү байна хувийн шийдэлэнэ систем ба түүний багасгасан нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Энэ нь: 
(7)
6. Шалгалт.Та системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгахын тулд (1) , бидэнд ерөнхий шийдэл хэрэгтэй (7) -д орлуулах (1) . Хэрэв тэгшитгэл бүр ижил төстэй байдал болж хувирвал ( C1 Тэгээд C2 устгах ёстой), дараа нь шийдлийг зөв олно.
Бид орлуулах болно (7) жишээ нь системийн зөвхөн сүүлчийн тэгшитгэл (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Бид дараахыг авна: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Энд –1=–1. Бид таних тэмдэгтэй болсон. Бид үүнийг системийн бусад бүх тэгшитгэлүүдээр хийдэг (1) .
Сэтгэгдэл.Шалгалт нь ихэвчлэн нэлээд төвөгтэй байдаг. Дараах "хэсэгчилсэн шалгалт" -ыг санал болгож болно: системийн ерөнхий шийдэлд (1) дурын тогтмолуудад зарим утгыг оноож, үүссэн хэсэгчилсэн шийдлийг зөвхөн хасагдсан тэгшитгэлд (өөрөөр хэлбэл эдгээр тэгшитгэлүүдэд) орлуулна. (1) -д ороогүй (5) ). Хэрэв та хэн болохыг олж мэдвэл илүү магадлалтай, системийн шийдэл (1) зөв олсон (гэхдээ ийм шалгалт нь зөв байдлын бүрэн баталгаа өгөхгүй!). Жишээлбэл, хэрэв байгаа бол (7) тавих C2=- 1 , C1=1, тэгвэл бид: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0 болно. Системийн (1) сүүлчийн тэгшитгэлийг орлуулбал бид: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , өөрөөр хэлбэл –1=–1. Бид таних тэмдэгтэй болсон.
Жишээ 2.Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдийг ол (1) , үндсэн үл мэдэгдэх зүйлсийг чөлөөт хэлбэрээр илэрхийлэх.
Шийдэл.Шиг жишээ 1, матриц зохиох Аболон https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> эдгээр матрицууд. Одоо бид зөвхөн системийн тэгшитгэлүүдийг л үлдээж байна. (1) , коэффициентүүд нь энэ үндсэн бага хэсэгт багтсан (өөрөөр хэлбэл, бид эхний хоёр тэгшитгэлтэй) бөгөөд тэдгээрээс бүрдэх системийг (1) системтэй тэнцүү гэж үзнэ.
Чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлсийг эдгээр тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлье.
систем (9) Бид баруун гар талыг чөлөөт нөхцөл гэж үзэж Гауссын аргаар шийддэг.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Сонголт 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" өргөн "192" өндөр "106 src=">
Сонголт 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" өргөн "172" өндөр "80">
Сонголт 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Сонголт 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" өргөн "195" өндөр "106">
Талбай дээрх шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем
ТОДОРХОЙЛОЛТ. Тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн үндсэн систем (1) нь түүний шийдлүүдийн хоосон бус шугаман бие даасан систем бөгөөд шугаман хүрээ нь (1) системийн бүх шийдлүүдийн багцтай давхцдаг.
Зөвхөн тэг шийдтэй шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системд шийдлийн үндсэн систем байдаггүй гэдгийг анхаарна уу.
САНАЛ 3.11. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн аль ч хоёр үндсэн систем нь ижил тооны шийдээс бүрдэнэ.
Баталгаа. Үнэн хэрэгтээ нэгэн төрлийн (1) тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийн аль ч хоёр үндсэн систем нь эквивалент ба шугаман бие даасан байдаг. Тиймээс 1.12-р саналын дагуу тэдний зэрэглэл тэнцүү байна. Үүний үр дүнд нэг үндсэн системд багтсан шийдлүүдийн тоо нь бусад үндсэн шийдлүүдийн системд багтсан шийдлүүдийн тоотой тэнцүү байна.
Хэрэв (1) тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн А матриц тэг байвал -аас авсан дурын вектор нь (1) системийн шийдэл болно; энэ тохиолдолд аливаа цуглуулга шугаман байна бие даасан векторууднь шийдлийн үндсэн систем юм. Хэрэв А матрицын баганын зэрэглэл нь -тэй тэнцүү бол систем (1) нь зөвхөн нэг шийдэлтэй - тэг; тиймээс энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн систем (1) нь шийдлийн үндсэн системгүй болно.
ТЕОРЕМ 3.12. Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэглэл (1) нь хувьсагчийн тооноос бага бол (1) систем нь шийдлүүдээс бүрдсэн үндсэн шийдлийн системтэй байна.
Баталгаа. Нэг төрлийн системийн (1) үндсэн А матрицын зэрэглэл нь 0 буюу -тэй тэнцүү бол теорем үнэн болохыг дээр харуулсан. Тиймээс, доор нь бид А матрицын эхний баганууд шугаман бие даасан байна гэж таамаглах болно. Энэ тохиолдолд А матриц нь багассан шаталсан матрицтай эгнээний дагуу тэнцүү, систем (1) нь дараах бууруулсан шаталсан тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна.
Үнэгүй үнэ цэнийн аливаа системийг шалгахад хялбар байдаг системийн хувьсагч(2) систем (2) ба иймээс (1) системд нэг бөгөөд цорын ганц шийдэлтэй тохирч байна. Ялангуяа систем (2) ба системийн (1) зөвхөн тэг шийдэл нь тэг утгын системд тохирно.
(2) системд бид үнэ төлбөргүй аль нэгийг нь оноох болно хувьсагчийн утга, 1-тэй тэнцүү, үлдсэн хувьсагчид тэг утгатай байна. Үүний үр дүнд бид (2) тэгшитгэлийн системийн шийдлүүдийг олж авдаг бөгөөд үүнийг бид дараахь С матрицын эгнээ хэлбэрээр бичнэ.
Энэ матрицын эгнээний систем нь шугаман бие даасан байна. Үнэн хэрэгтээ, тэгш байдлаас ямар ч скалярын хувьд
тэгш байдал дагадаг
улмаар тэгш байдал
С матрицын эгнээний системийн шугаман зай нь (1) системийн бүх шийдлийн олонлогтой давхцаж байгааг баталцгаая.
Системийн дурын шийдэл (1). Дараа нь вектор
нь мөн системийн (1) шийдэл бөгөөд
Болъё М 0 – шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн (4) шийдлийн багц.
Тодорхойлолт 6.12.Векторууд -тай 1 ,-тай 2 , …, хамт p, нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлүүд гэж нэрлэдэг шийдлүүдийн үндсэн багц(товчилсон FNR), хэрэв
1) векторууд -тай 1 ,-тай 2 , …, хамт pшугаман бие даасан (өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн аль нь ч бусдаас илэрхийлэгдэх боломжгүй);
2) шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн бусад шийдлийг шийдлээр илэрхийлж болно. -тай 1 ,-тай 2 , …, хамт p.
гэдгийг анхаарна уу -тай 1 ,-тай 2 , …, хамт p– дурын f.n.r., дараа нь илэрхийлэл к 1× -тай 1 + к 2× -тай 2 + … + k p× хамт pта бүхэл бүтэн багцыг дүрсэлж болно М(4) системийн 0 шийдэлтэй тул үүнийг нэрлэдэг системийн шийдлийн ерөнхий дүр төрх (4).
Теорем 6.6.Аливаа тодорхойгүй нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем нь үндсэн шийдлүүдийг агуулсан байдаг.
Үндсэн шийдлүүдийг олох арга нь дараах байдалтай байна.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийг олох;
барих ( n – r) энэ системийн хэсэгчилсэн шийдлүүд, харин чөлөөт үл мэдэгдэх утгууд нь таних матрицыг бүрдүүлэх ёстой;
Бичих ерөнхий хэлбэршийдлүүд багтсан М 0 .
Жишээ 6.5.Дараах системийн шийдлүүдийн үндсэн багцыг ол.
Шийдэл. Энэ системийн ерөнхий шийдлийг олъё.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Энэ системд таван үл мэдэгдэх зүйл байна ( n= 5), үүнээс хоёр үндсэн үл мэдэгдэх зүйл байна ( r= 2), гурван үнэгүй үл мэдэгдэх зүйл байна ( n – r), өөрөөр хэлбэл үндсэн шийдлийн багц гурван шийдлийн векторыг агуулна. Тэднийг бүтээцгээе. Бидэнд байгаа x 1 ба x 3 - үндсэн үл мэдэгдэх зүйлс, x 2 , x 4 , x 5 - үнэгүй үл мэдэгдэх зүйлс
Үнэгүй үл мэдэгдэх утгууд x 2 , x 4 , x 5 нь таних матрицыг бүрдүүлнэ Эгурав дахь захиалга. Энэ векторуудыг олж авлаа -тай 1 ,-тай 2 , -тай 3 маягт f.n.r. энэ системийн. Дараа нь энэхүү нэгэн төрлийн системийн шийдлүүдийн багц болно М 0 = {к 1× -тай 1 + к 2× -тай 2 + к 3× -тай 3 , к 1 , к 2 , к 3 О R).
Одоо шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн тэгээс өөр шийд байх нөхцөл, өөрөөр хэлбэл шийдлийн үндсэн багц оршин байх нөхцөлийг олж мэдье.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь тэгээс ялгаатай шийдлүүдтэй, өөрөөр хэлбэл, тодорхойгүй байна.
1) системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тооноос бага;
2) шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага;
3) хэрэв шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү бол үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү (жишээ нь | А| = 0).
Жишээ 6.6. Ямар параметрийн утгаар ашугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем 
тэгээс өөр шийдэл байна уу?
Шийдэл. Энэ системийн үндсэн матрицыг зохиож тодорхойлогчийг олъё: = = 1×(–1) 1+1 × = – А– 4. Энэ матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү а = –4.
Хариулт: –4.
7. Арифметик n- хэмжээст вектор орон зай
Үндсэн ойлголтууд
Өмнөх хэсгүүдэд бид тодорхой дарааллаар байрлуулсан бодит тоонуудын багц гэсэн ойлголттой аль хэдийн тулгарч байсан. Энэ нь мөр матриц (эсвэл баганын матриц) ба шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм. nүл мэдэгдэх. Энэ мэдээллийг нэгтгэн дүгнэж болно.
Тодорхойлолт 7.1. n-хэмжээст арифметик векторзахиалгат багц гэж нэрлэдэг nбодит тоо.
гэсэн үг А= (a 1 , a 2 , …, a n), хаана a биО Р, би = 1, 2, …, n- векторын ерөнхий дүр төрх. Тоо nдуудсан хэмжээсвекторууд, тоонууд a битүүний гэж нэрлэдэг координатууд.
Жишээлбэл: А= (1, –8, 7, 4, ) – таван хэмжээст вектор.
Бүх багц n-хэмжээт векторуудыг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг Rn.
Тодорхойлолт 7.2.Хоёр вектор А= (a 1 , a 2 , …, a n) Мөн б= (b 1 , b 2 , …, b n) ижил хэмжээтэй тэнцүүхэрэв тэдгээрийн харгалзах координатууд тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= б n.
Тодорхойлолт 7.3.Дүнхоёр n- хэмжээст векторууд А= (a 1 , a 2 , …, a n) Мөн б= (b 1 , b 2 , …, b n) вектор гэж нэрлэдэг а + б= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+б n).
Тодорхойлолт 7.4. Ажилбодит тоо квектор руу А= (a 1 , a 2 , …, a n) вектор гэж нэрлэдэг к× А = (к×a 1, к×a 2 , …, к×a n)
Тодорхойлолт 7.5.Вектор О= (0, 0, …, 0) гэж нэрлэдэг тэг(эсвэл тэг вектор).
Вектор нэмэх, тэдгээрийг бодит тоогоор үржүүлэх үйлдэл (үйлдэл) нь дараах шинж чанартай болохыг шалгахад хялбар байдаг. а, б, в Î Rn, " к, лО R:
1) а + б = б + а;
2) а + (б+ в) = (а + б) + в;
3) а + О = а;
4) а+ (–а) = О;
5) 1× а = а, 1 О R;
6) к×( л× а) = л×( к× а) = (л× к)× а;
7) (к + л)× а = к× а + л× а;
8) к×( а + б) = к× а + к× б.
Тодорхойлолт 7.6.Цөөн хэдэн Rnвекторуудыг нэмэх, түүн дээр өгөгдсөн бодит тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд гэнэ арифметик n хэмжээст вектор орон зай.
