Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн СИСТЕМ

Нэг төрлийн систем шугаман тэгшитгэлхэлбэрийн систем гэж нэрлэдэг

Энэ тохиолдолд энэ нь тодорхой байна , учир нь Эдгээр тодорхойлогчдын аль нэг баганын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна.

Учир нь үл мэдэгдэх нь томьёоны дагуу олддог , дараа нь Δ ≠ 0 тохиолдолд систем нь өвөрмөц тэг шийдэлтэй байна x = y = z= 0. Гэсэн хэдий ч олон асуудалд нэгэн төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй эсэх нь сонирхолтой асуулт юм.

Теорем.Шугаман системийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэгээс өөр шийдэлтэй байсан бол Δ ≠ 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Тэгэхээр тодорхойлогч Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна. Хэрэв Δ ≠ 0 бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем хязгааргүй тооны шийдтэй байна.

Жишээ.

Матрицын хувийн вектор ба хувийн утга

Квадрат матрицыг өгье , X– өндөр нь матрицын дараалалтай давхцдаг зарим матриц-багана А. .

Олон асуудалд бид тэгшитгэлийг авч үзэх хэрэгтэй X

Энд λ нь тодорхой тоо юм. Аливаа λ-ийн хувьд энэ тэгшитгэл нь тэг шийдэлтэй байх нь ойлгомжтой.

Энэ тэгшитгэл нь тэгээс өөр шийдэлтэй байх λ тоог нэрлэнэ хувийн утгаматрицууд А, А XУчир нь ийм λ гэж нэрлэдэг өөрийн векторматрицууд А.

Матрицын хувийн векторыг олъё А. Учир нь Э∙X = X, дараа нь матрицын тэгшитгэлийг дахин бичиж болно эсвэл . Өргөтгөсөн хэлбэрээр энэ тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэлийн систем болгон дахин бичиж болно. Үнэхээр .

Тиймээс

Тиймээс бид координатыг тодорхойлох нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авлаа x 1, x 2, x 3вектор X. Систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд системийн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Энэ нь λ-ийн 3-р зэргийн тэгшитгэл юм. Энэ нь гэж нэрлэгддэг шинж чанарын тэгшитгэлматрицууд Аба λ-ийн хувийн утгыг тодорхойлоход үйлчилдэг.

Хувийн утга бүр λ нь хувийн вектортой тохирч байна X, тэдгээрийн координатууд нь системээс λ-ийн харгалзах утгаар тодорхойлогддог.

Жишээ.

ВЕКТОР АЛГЕБР. ВЕКТОРЫН ОЙЛГОЛТ

Физикийн янз бүрийн салбарыг судлахдаа урт, талбай, масс, температур гэх мэт тоон утгыг зааж өгөх замаар бүрэн тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнүүд байдаг. Ийм хэмжигдэхүүнийг скаляр гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч тэдгээрээс гадна тоон утгаас гадна тэдгээрийн орон зай дахь чиглэлийг мэдэх шаардлагатай хэмжигдэхүүнүүд байдаг, тухайлбал, биед үйлчлэх хүч, хурд, хурдатгал зэргийг мэдэх шаардлагатай. орон зайд шилжих үед бие, хурцадмал байдал соронзон оронорон зайн өгөгдсөн цэгт гэх мэт. Ийм хэмжигдэхүүнийг вектор хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.

Бид хатуу тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Чиглүүлсэн сегментТөгсгөлд нь аль нь эхнийх нь, аль нь хоёрдугаарт байгаа нь тодорхой болсон сегментийг нэрлэе.

Вектортодорхой урттай чиглэсэн сегмент гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. Энэ бол тодорхой урттай сегмент бөгөөд үүнийг хязгаарлах цэгүүдийн нэгийг эхлэл, хоёр дахь нь төгсгөл гэж авдаг. Хэрэв А- векторын эхлэл; Бнь түүний төгсгөл бол векторыг тэмдгээр тэмдэглэдэг бөгөөд үүнээс гадна векторыг ихэвчлэн нэг үсгээр тэмдэглэдэг. Зураг дээр векторыг сегментээр, чиглэлийг сумаар зааж өгсөн болно.

Модульэсвэл уртВекторыг түүнийг тодорхойлсон чиглүүлсэн сегментийн урт гэж нэрлэдэг. ||-ээр тэмдэглэнэ эсвэл ||.

Бид мөн эхлэл ба төгсгөл нь давхцаж байгаа тэг векторыг вектор болгон оруулах болно. Энэ нь томилогдсон. Тэг вектор нь тодорхой чиглэлгүй бөгөөд модуль нь тэг ||=0 байна.

Векторуудыг дууддаг collinear, хэрэв тэдгээр нь нэг мөрөнд эсвэл зэрэгцээ шугам дээр байрладаг бол. Түүнээс гадна, хэрэв ба векторууд нэг чиглэлд байвал бид эсрэгээр нь бичнэ.

Нэг хавтгайд параллель шулуун шугамууд дээр байрлах векторуудыг нэрлэдэг хавтгай.

Хоёр векторыг нэрлэдэг тэнцүү, хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал ижил чиглэлтэй, урт нь тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд тэд бичдэг.

Векторуудын тэгш байдлын тодорхойлолтоос үзэхэд векторыг сансар огторгуйн аль ч цэгт гарал үүслийг нь байрлуулж, өөртэйгөө параллель зөөвөрлөх боломжтой.

Жишээлбэл.

ВЕКТОР ДЭЭР ШУГААН ҮЙЛ АЖИЛЛАГАА

1. Векторыг тоогоор үржүүлэх.

   Вектор ба λ тооны үржвэр нь шинэ вектор бөгөөд дараах байдлаар:

   Вектор ба λ тооны үржвэрийг -ээр тэмдэглэнэ.

   

   Жишээлбэл,вектортой ижил чиглэлд чиглэсэн, векторын хагасын урттай вектор байна.

   Оруулсан үйл ажиллагаа нь дараах байдалтай байна шинж чанарууд:

2. Вектор нэмэх.

   Дурын хоёр вектор ба байг. Дурын нэг цэгийг авч үзье Оба вектор барих. Үүний дараа цэгээс Авекторыг хойш тавья. Эхний векторын эхлэлийг хоёр дахь векторын төгсгөлтэй холбосон векторыг нэрлэнэ хэмжээЭдгээр векторуудын ба тэмдэглэсэн байна .

   

   Вектор нэмэхийн томъёолсон тодорхойлолт гэж нэрлэдэг параллелограммын дүрэм, учир нь ижил векторуудын нийлбэрийг дараах байдлаар авч болно. Асуудлаас хойш хойшлуулъя Овекторууд ба . Эдгээр векторууд дээр параллелограмм байгуулъя OABC. Векторууд тул оройноос татсан параллелограммын диагональ болох вектор болно О, векторуудын нийлбэр байх нь ойлгомжтой.

   

   Дараахь зүйлийг шалгахад хялбар байдаг вектор нэмэх шинж чанарууд.

3. Вектор ялгаа.

   Өгөгдсөн вектортой ижил урттай, эсрэг чиглэлтэй коллинеар векторыг гэнэ эсрэгвекторын хувьд вектор бөгөөд -ээр тэмдэглэнэ. Эсрэг векторыг векторыг λ = –1: тоогоор үржүүлсний үр дүн гэж үзэж болно.

Хувийн утга (тоо) ба хувийн векторууд.
Шийдлийн жишээ

Өөрийнхөөрөө бай

Хоёр тэгшитгэлээс дараахь зүйлийг гаргаж болно.

Ингээд оруулъя: .

Үр дүнд нь: – хоёр дахь хувийн вектор.

Дахин хэлье чухал цэгүүдшийдэл:

– Үүссэн систем нь гарцаагүй бий нийтлэг шийдвэр(тэгшитгэлүүд нь шугаман хамааралтай);

– бид “y”-г бүхэл тоо, эхний “х” координат нь бүхэл тоо, эерэг, аль болох жижиг байхаар сонгоно.

- тодорхой шийдэл нь системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж байгаа эсэхийг бид шалгадаг.

Хариулах .

Дунд " хяналтын цэгүүд" хангалттай байсан тул тэгш байдлыг шалгах нь зарчмын хувьд шаардлагагүй юм.

Төрөл бүрийн мэдээллийн эх сурвалжид хувийн векторуудын координатыг ихэвчлэн багана биш, харин мөрөнд бичдэг, жишээлбэл: (Үнэнийг хэлэхэд би өөрөө тэдгээрийг мөр болгон бичдэг байсан). Энэ сонголтыг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой, гэхдээ сэдвийн хүрээнд шугаман хувиргалттехникийн хувьд ашиглахад илүү тохиромжтой баганын векторууд.

Магадгүй шийдэл нь танд маш урт мэт санагдаж магадгүй, гэхдээ энэ нь зөвхөн эхний жишээн дээр маш дэлгэрэнгүй тайлбар хийсэн учраас л ийм байна.

Жишээ 2

Матрицууд

Өөрсдөө бэлтгэл хийцгээе! Хичээлийн төгсгөлд хийх эцсийн даалгаврын ойролцоо жишээ.

Заримдаа хийх хэрэгтэй нэмэлт даалгавар, тухайлбал:

каноник матрицын задралыг бичнэ

Энэ юу вэ?

Хэрэв матрицын хувийн векторууд үүссэн бол суурь, дараа нь үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Хувийн векторуудын координатаас бүрдэх матриц хаана байна вэ? диагональхаргалзах хувийн утга бүхий матриц.

Энэ матрицын задрал гэж нэрлэгддэг каноникэсвэл диагональ.

Эхний жишээний матрицыг харцгаая. Түүний хувийн векторууд шугаман бие даасан(конлинеар бус) ба суурь болдог. Тэдний координатын матрицыг үүсгэцгээе:

Асаалттай үндсэн диагональматрицууд зохих дарааллаархувийн утгууд байрладаг бөгөөд үлдсэн элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна.
- Би дарааллын ач холбогдлыг дахин нэг удаа онцолж байна: "хоёр" нь 1-р вектортой тохирч байгаа тул 1-р баганад, "гурав" нь 2-р векторт байрлана.

By ердийн алгоритм рууолох урвуу матрицэсвэл Гаусс-Жорданы аргабид олдог . Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш! - Урвуу нь анхны матрицтай давхцах нарны хиртэлт шиг ховор үйл явдал таны өмнө байна.

Матрицын каноник задралыг бичихэд л үлддэг.

Системийг энгийн хувиргалтуудыг ашиглан шийдэж болох бөгөөд бид дараах жишээнүүдэд хандах болно энэ арга. Гэхдээ энд "сургууль" арга илүү хурдан ажилладаг. 3-р тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ: - хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна:

Эхний координат нь тэг тул бид тэгшитгэл бүрээс дараах системийг олж авдаг.

Бас дахин шугаман харилцааг заавал байлгахад анхаарлаа хандуулаарай. Хэрэв зүгээр л өчүүхэн шийдлийг олж авбал , дараа нь хувийн утгыг буруу олсон эсвэл системийг алдаатай эмхэтгэсэн/шийдвэрлэсэн.

Компакт координатууд нь утгыг өгдөг

Өвөрмөц вектор:

Дахин нэг удаа бид шийдэл олдсон эсэхийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангана. Дараагийн догол мөрүүд болон дараагийн даалгаваруудад би энэ хүслийг заавал дагаж мөрдөх дүрэм болгон авахыг зөвлөж байна.

2) Хувийн утгын хувьд ижил зарчмыг ашиглан бид олж авна дараах систем:

Системийн 2-р тэгшитгэлээс бид дараахыг илэрхийлнэ: - гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна:

"Зета" координат нь тэгтэй тэнцүү тул бид үүнийг дагаж мөрдөх тэгшитгэл бүрээс системийг олж авна. шугаман хамаарал.

Болъё

Шийдэл байгаа эсэхийг шалгаж байна системийн тэгшитгэл бүрийг хангана.

Тиймээс хувийн вектор нь: .

3) Эцэст нь систем нь хувийн утгатай тохирч байна:

Хоёр дахь тэгшитгэл нь хамгийн энгийн мэт харагдаж байгаа тул үүнийг илэрхийлж, 1, 3-р тэгшитгэлд орлъё.

Бүх зүйл сайхан байна - шугаман харилцаа үүссэн бөгөөд бид үүнийг илэрхийлэл болгон орлуулж байна:

Үүний үр дүнд “x” болон “y”-г “z”-ээр илэрхийлсэн: . Практикт яг ийм харилцааг бий болгох шаардлагагүй, зарим тохиолдолд аль алинаар нь эсвэл дамжуулан илэрхийлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Эсвэл бүр "галт тэрэг" - жишээлбэл "X" -ээс "I", "I" -ээс "Z"

Ингээд оруулъя:

Бид шийдэл олдсон эсэхийг шалгана системийн тэгшитгэл бүрийг хангаж, гурав дахь хувийн векторыг бичнэ

Хариулах: хувийн векторууд:

Геометрийн хувьд эдгээр векторууд нь орон зайн гурван өөр чиглэлийг тодорхойлдог ("Тэнд, дахиад буцаж"), үүний дагуу шугаман хувиргалттэг биш векторуудыг (өөрийн векторууд) коллинеар вектор болгон хувиргадаг.

Хэрэв нөхцөл нь каноник задралыг олох шаардлагатай бол энэ нь энд боломжтой, учир нь Янз бүрийн хувийн утгууд нь өөр өөр шугаман бие даасан хувийн векторуудтай тохирдог. Матриц хийх тэдгээрийн координатаас диагональ матриц -аас хамааралтайхувийн утгууд ба олох урвуу матриц .

Хэрэв нөхцөл байдлын дагуу та бичих шаардлагатай бол хувийн векторуудын суурь дахь шугаман хувиргах матриц, дараа нь бид хариултыг хэлбэрээр өгнө. Ялгаатай, ялгаа нь мэдэгдэхүйц юм!Учир нь энэ матриц нь "de" матриц юм.

Илүү их асуудал энгийн тооцоололУчир нь бие даасан шийдвэр:

Жишээ 5

Матрицаар өгөгдсөн шугаман хувиргалтын хувийн векторуудыг ол

Өөрийнхөө тоог олохдоо 3-р зэргийн олон гишүүнт хүртэл явахгүй байхыг хичээгээрэй. Нэмж дурдахад, таны системийн шийдлүүд миний шийдлүүдээс ялгаатай байж магадгүй - энд ямар ч баталгаа байхгүй; мөн таны олсон векторууд нь түүврийн векторуудаас тус тусын координатын пропорциональ хүртэл ялгаатай байж болно. Жишээлбэл, ба. Хариултыг маягтаар танилцуулах нь илүү гоо зүйн хувьд тааламжтай боловч хоёр дахь хувилбар дээр зогсвол зүгээр. Гэсэн хэдий ч, бүх зүйлд боломжийн хязгаарлалт байдаг; хувилбар нь тийм ч сайн харагдахаа больсон.

Хичээлийн төгсгөлд даалгаврын ойролцоо эцсийн түүвэр.

Олон тооны хувийн утгатай тохиолдолд асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

Ерөнхий алгоритмхэвээр байгаа боловч энэ нь өөрийн гэсэн онцлогтой бөгөөд шийдлийн зарим хэсгийг илүү хатуу эрдэм шинжилгээний хэв маягаар хадгалахыг зөвлөж байна.

Жишээ 6

Хувийн утга ба хувийн векторыг ол

Шийдэл

Мэдээжийн хэрэг, гайхалтай эхний баганыг томоор бичье:

Мөн задралын дараа квадрат гурвалжинүржүүлэгчээр:

Үүний үр дүнд хувийн утгыг олж авдаг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь үржвэр юм.

Хувийн векторуудыг олцгооё:

1) "Хялбаршуулсан" схемийн дагуу ганц бие цэрэгтэй харьцъя:

Сүүлийн хоёр тэгшитгэлээс тэгшитгэл нь тодорхой харагдаж байгаа бөгөөд үүнийг системийн 1-р тэгшитгэлд орлуулах нь ойлгомжтой.

Та илүү сайн хослолыг олохгүй:
Өвөрмөц вектор:

2-3) Одоо бид хэд хэдэн харуулуудыг устгаж байна. IN энэ тохиолдолдэнэ нь бүтэж магадгүй юм хоёр эсвэл нэгөөрийн вектор. Үндэсийн олон байдлаас үл хамааран бид утгыг тодорхойлогч болгон орлуулна Энэ нь бидэнд дараагийнхыг авчирдаг шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем:

Өвөрмөц векторууд нь яг векторууд юм
шийдлийн үндсэн систем

Үнэндээ бүх хичээлийн туршид бид үндсэн системийн векторуудыг олохоос өөр юу ч хийсэнгүй. Одоогийн байдлаар энэ нэр томьёо онцгой шаардлагагүй байсан. Дашрамд хэлэхэд өнгөлөн далдлах хувцастай сэдвээ алдсан тэдгээр ухаалаг оюутнууд нэгэн төрлийн тэгшитгэл, одоо тамхи татахаас өөр аргагүй болно.

Цорын ганц үйлдэл нь нэмэлт мөрүүдийг арилгах явдал байв. Үр дүн нь дунд нь албан ёсны "алхам" бүхий нэгээс гурав матриц юм.
– үндсэн хувьсагч, – чөлөөт хувьсагч. Тиймээс хоёр чөлөөт хувьсагч байдаг үндсэн системийн хоёр вектор байдаг.

Үндсэн хувьсагчийг чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлье: . "X"-ийн урд байгаа тэг үржүүлэгч нь ямар ч утгыг авах боломжийг олгодог (энэ нь тэгшитгэлийн системээс тодорхой харагдаж байна).

Энэ асуудлын хүрээнд ерөнхий шийдлийг мөрөнд биш, харин баганад бичих нь илүү тохиромжтой.

Энэ хос нь хувийн вектортой тохирч байна:
Энэ хос нь хувийн вектортой тохирч байна:

Анхаарна уу : Нарийвчилсан уншигчид эдгээр векторуудыг амаар сонгох боломжтой - зүгээр л системд дүн шинжилгээ хийх замаар , гэхдээ энд тодорхой мэдлэг хэрэгтэй: гурван хувьсагч байдаг, системийн матрицын зэрэглэл- нэг гэсэн үг үндсэн шийдвэрийн систем 3 – 1 = 2 вектороос бүрдэнэ. Гэсэн хэдий ч олсон векторууд нь энэ мэдлэггүй байсан ч гэсэн зөвхөн зөн совингийн түвшинд тодорхой харагдаж байна. Энэ тохиолдолд гурав дахь вектор илүү "сайхан" бичигдэх болно: . Гэсэн хэдий ч, өөр жишээнд энгийн сонголт хийх боломжгүй байж магадгүй тул энэ заалт нь туршлагатай хүмүүст зориулагдсан болно гэдгийг би анхааруулж байна. Үүнээс гадна, яагаад гурав дахь вектор гэж авч болохгүй гэж? Эцсийн эцэст түүний координатууд нь системийн тэгшитгэл, вектор бүрийг хангадаг шугаман бие даасан. Энэ сонголт нь зарчмын хувьд тохиромжтой боловч "бусад" вектор нь үндсэн системийн векторуудын шугаман хослол тул "тахир" юм.

Хариулах: хувийн утга: , хувийн вектор:

Бие даасан шийдлийн ижил төстэй жишээ:

Жишээ 7

Хувийн утга ба хувийн векторыг ол

Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

6 ба 7-р жишээн дээр гурвалсан шугаман бие даасан хувийн векторуудыг олж авсан тул анхны матрицыг каноник задралд төлөөлөх боломжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Гэхдээ ийм бөөрөлзгөнө бүх тохиолдолд тохиолддоггүй:

Жишээ 8

Шийдэл: Онцлог тэгшитгэлийг үүсгэж, шийдье:

Эхний баганад тодорхойлогчийг өргөжүүлье:

Бид гуравдахь зэрэглэлийн олон гишүүнтээс зайлсхийж, авч үзсэн аргын дагуу нэмэлт хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэдэг.

- хувийн үнэ цэнэ.

Хувийн векторуудыг олцгооё:

1) Үндэстэй холбоотой ямар ч бэрхшээл байхгүй:

Гайхах хэрэггүй, иж бүрдэлээс гадна ашиглагдаж буй хувьсагчууд бас байдаг - энд ямар ч ялгаа байхгүй.

3-р тэгшитгэлээс бид үүнийг илэрхийлж, 1, 2-р тэгшитгэлд орлуулна.

Хоёр тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Дараа нь зөвшөөр:

2-3) Олон утгын хувьд бид системийг авдаг .

Системийн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтыг ашиглан алхам алхмаар хэлбэрт аваачъя.

www.siteолох боломжийг танд олгоно. Энэ сайт нь тооцоолол хийдэг. Хэдэн секундын дараа сервер зөв шийдлийг өгөх болно. Матрицын шинж чанарын тэгшитгэлбайх болно алгебрийн илэрхийлэл, тодорхойлогчийг тооцоолох дүрмээр олно матрицууд матрицууд, гол диагональ дагуу диагональ элементүүд болон хувьсагчийн утгуудын ялгаа байх болно. Тооцоолох үед матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн, элемент бүр матрицуудхаргалзах бусад элементүүдээр үржүүлнэ матрицууд. горимд хайх онлайнзөвхөн квадратад л боломжтой матрицууд. Хайлтын ажиллагаа матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнэлементүүдийн үржвэрийн алгебрийн нийлбэрийг тооцоолох хүртэл бууруулна матрицуудтодорхойлогчийг олсны үр дүнд матрицууд, зөвхөн тодорхойлох зорилгоор матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Энэ ажиллагааонолын хувьд онцгой байр суурь эзэлдэг матрицууд, үндэс ашиглан хувийн утга ба векторуудыг олох боломжийг танд олгоно. олох даалгавар матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнүржүүлэх элементүүдээс бүрдэнэ матрицууддараа нь эдгээр бүтээгдэхүүнийг тодорхой дүрмийн дагуу нэгтгэн дүгнэнэ. www.siteолдог матрицын шинж чанарын тэгшитгэлгоримд өгөгдсөн хэмжээс онлайн. Тооцоолол матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнхэмжигдэхүүнийг харгалзан энэ нь тодорхойлогчийг тооцоолох дүрмийн дагуу олдсон тоон эсвэл симболын коэффициент бүхий олон гишүүнтийг олох явдал юм. матрицууд- харгалзах элементүүдийн бүтээгдэхүүний нийлбэрээр матрицууд, зөвхөн тодорхойлох зорилгоор матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Квадрат хувьсагчийн хувьд олон гишүүнтийг олох матрицууд, тодорхойлолт болгон матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, онолын хувьд нийтлэг байдаг матрицууд. Олон гишүүнтийн язгуурын утга матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнхувийн вектор ба хувийн утгыг тодорхойлоход ашигладаг матрицууд. Түүнээс гадна тодорхойлогч бол матрицуудтэгтэй тэнцүү байх болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэлурвуу байдлаас ялгаатай нь хэвээр байх болно матрицууд. Тооцоолохын тулд матрицын шинж чанарын тэгшитгэлэсвэл нэг дор хэд хэдэн хайж олох матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, та маш их цаг хугацаа, хүчин чармайлт гаргах хэрэгтэй, харин манай сервер хэдхэн секундын дотор олох болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Энэ тохиолдолд олох хариулт матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнолох үед тоо байсан ч гэсэн зөв, хангалттай нарийвчлалтай байх болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнүндэслэлгүй байх болно. Сайт дээр www.siteэлементүүдэд тэмдэгт оруулахыг зөвшөөрдөг матрицууд, тэр бол матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнтооцоолохдоо ерөнхий бэлгэдлийн хэлбэрээр илэрхийлж болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Олж олох асуудлыг шийдэхдээ олж авсан хариултыг шалгах нь ашигтай байдаг матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайнсайтыг ашиглан www.site. Олон гишүүнтийг тооцоолох үйлдлийг гүйцэтгэх үед - матрицын шинж чанарын тэгшитгэл, та энэ асуудлыг шийдэхдээ болгоомжтой, онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Хариуд нь манай сайт тухайн сэдвээр шийдвэрээ шалгахад тань туслах болно матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн. Хэрэв та шийдэгдсэн асуудлуудыг удаан хугацаанд шалгаж үзэх цаг байхгүй бол www.siteолох, тооцоолохдоо шалгахад тохиромжтой хэрэгсэл байх нь дамжиггүй матрицын шинж чанарын тэгшитгэл онлайн.

Квадрат матрицын хувийн вектор нь өгөгдсөн матрицаар үржүүлснээр коллинеар вектор гарч ирдэг. Энгийн үгээр хэлбэл, матрицыг хувийн вектороор үржүүлэхэд сүүлийнх нь хэвээр байх боловч тодорхой тоогоор үржүүлнэ.

Тодорхойлолт

Өвөрмөц вектор нь тэг биш V вектор бөгөөд M квадрат матрицаар үржүүлснээр өөрөө λ тоогоор нэмэгддэг. Алгебрийн тэмдэглэгээнд дараах байдлаар харагдана.

M × V = λ × V,

Энд λ нь M матрицын хувийн утга юм.

Ингээд авч үзье тоон жишээ. Бичлэг хийхэд хялбар болгох үүднээс матриц дахь тоонуудыг цэг таслалаар тусгаарлана. Бид матрицтай болцгооё:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Үүнийг баганын вектороор үржүүлье:

• V = -2;

Бид матрицыг баганын вектороор үржүүлэхэд мөн баганын вектор гарч ирнэ. Хатуу математик хэл 2 × 2 матрицыг баганын вектороор үржүүлэх томъёо дараах байдалтай байна.

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 нь эхний мөр, эхний баганад байрлах M матрицын элементийг, M22 нь хоёр дахь мөр, хоёрдугаар баганад байрлах элементийг хэлнэ. Манай матрицын хувьд эдгээр элементүүд нь M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10-тай тэнцүү байна. Баганын векторын хувьд эдгээр утгууд нь V11 = –2, V21 = 1-тэй тэнцүү байна. Энэ томьёоны дагуу, квадрат матрицыг вектороор үржүүлсний дараах үр дүнг бид авна.

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Тохиромжтой болгохын тулд баганын векторыг мөр болгон бичье. Тиймээс бид квадрат матрицыг вектороор (-2; 1) үржүүлснээр вектор (4; -2) гарлаа. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь λ = -2-оор үржүүлсэн ижил вектор юм. Энэ тохиолдолд ламбда нь матрицын хувийн утгыг илэрхийлнэ.

Матрицын хувийн вектор нь коллинеар вектор, өөрөөр хэлбэл матрицаар үржүүлснээр орон зай дахь байрлал өөрчлөгддөггүй объект юм. Вектор алгебр дахь коллинеарийн тухай ойлголт нь геометрийн параллелизмын нэр томъёотой төстэй юм. Геометрийн тайлбарт коллинеар векторууд нь өөр өөр урттай зэрэгцээ чиглэсэн сегментүүд юм. Евклидийн үеэс хойш бид нэг мөрөнд түүнтэй параллель хязгааргүй олон шулуун байдгийг мэддэг тул матриц бүр хязгааргүй тооны хувийн вектортой гэж үзэх нь логик юм.

Өмнөх жишээнээс харахад хувийн векторууд нь (-8; 4), (16; -8), (32, -16) байж болно. Эдгээр нь бүгд λ = -2 хувийн утгад тохирох коллинеар векторууд юм. Анхны матрицыг эдгээр векторуудаар үржүүлэхэд бид анхныхаас 2 дахин ялгаатай вектортой байх болно. Ийм учраас хувийн векторыг олох асуудлыг шийдэхдээ зөвхөн шугаман бие даасан вектор объектуудыг олох шаардлагатай болдог. Ихэнх тохиолдолд n × n матрицын хувьд n тооны хувийн вектор байдаг. Манай тооцоолуур нь хоёр дахь дарааллын квадрат матрицыг шинжлэхэд зориулагдсан тул үр дүн нь давхцахаас бусад тохиолдолд бараг үргэлж хоёр хувийн векторыг олох болно.

Дээрх жишээн дээр бид анхны матрицын хувийн векторыг урьдчилан мэдэж, ламбдагийн тоог тодорхой тодорхойлсон. Гэсэн хэдий ч практикт бүх зүйл эсрэгээрээ тохиолддог: эхлээд хувийн утгууд, дараа нь хувийн векторууд олддог.

Шийдлийн алгоритм

Анхны M матрицыг дахин харж, түүний хувийн векторуудыг хоёуланг нь олохыг хичээцгээе. Тиймээс матриц дараах байдалтай байна.

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Эхлээд бид λ хувийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай бөгөөд үүнд дараах матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох шаардлагатай.

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Энэхүү матрицыг үндсэн диагональ дээрх элементүүдээс үл мэдэгдэх λ-ийг хасч гаргана. Тодорхойлогчийг стандарт томъёогоор тодорхойлно:

• detA = M11 × M21 - M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Бидний вектор тэгээс өөр байх ёстой тул бид үүссэн тэгшитгэлийг шугаман хамааралтай гэж хүлээн авч, тодорхойлогч detA-г тэгтэй тэнцүүлнэ.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Хаалтуудыг нээж, матрицын шинж чанарын тэгшитгэлийг авцгаая.

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Энэ бол стандарт юм квадрат тэгшитгэл, үүнийг ялгаварлагчаар дамжуулан шийдвэрлэх шаардлагатай.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Дискриминантийн язгуур нь sqrt(D) = 14, тиймээс λ1 = -2, λ2 = 12. Одоо lambda утга бүрийн хувьд бид хувийн векторыг олох хэрэгтэй. λ = -2 системийн коэффициентийг илэрхийлье.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Энэ томъёонд E нь таних матриц юм. Үүссэн матриц дээр үндэслэн бид шугаман тэгшитгэлийн системийг бий болгодог.

2x + 4y = 6x + 12y,

Энд x ба y нь хувийн вектор элементүүд юм.

Зүүн талд байгаа бүх X, баруун талд байгаа бүх Y-г цуглуулцгаая. Мэдээжийн хэрэг - 4x = 8y. Илэрхийлэлийг - 4-т хувааж, x = –2y гарна. Одоо бид үл мэдэгдэх бүх утгыг авч матрицын эхний хувийн векторыг тодорхойлж болно (шугаман хамааралтай хувийн векторуудын хязгааргүйг санаарай). y = 1, тэгвэл x = –2 гэж авъя. Тиймээс эхний хувийн вектор нь V1 = (–2; 1) шиг харагдаж байна. Өгүүллийн эхэнд буцах. Чухамхүү энэ вектор объектыг бид матрицыг үржүүлж, хувийн векторын тухай ойлголтыг харуулсан.

Одоо λ = 12-ын хувийн векторыг олъё.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Шугаман тэгшитгэлийн ижил системийг байгуулъя;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3х = у.

Одоо бид x = 1 гэж авна, тиймээс у = 3. Ийнхүү хоёр дахь хувийн вектор нь V2 = (1; 3) шиг харагдаж байна. Анхны матрицыг өгөгдсөн вектороор үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж ижил векторыг 12-оор үржүүлнэ. Энд шийдлийн алгоритм дуусна. Одоо та матрицын хувийн векторыг гараар хэрхэн тодорхойлохыг мэддэг болсон.

• тодорхойлогч;
• ул мөр, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн нийлбэр;
• зэрэглэл, өөрөөр хэлбэл шугаман бие даасан мөр/баганын хамгийн их тоо.

Хөтөлбөр нь дээрх алгоритмын дагуу ажиллаж, шийдлийн процессыг аль болох богиносгодог. Хөтөлбөрт lambda нь "c" үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоон жишээг авч үзье.

Програм хэрхэн ажилладаг тухай жишээ

Дараах матрицын хувийн векторуудыг тодорхойлохыг хичээцгээе.

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Эдгээр утгыг тооцоолуурын нүдэнд оруулаад дараах хэлбэрээр хариултыг авцгаая.

• Матрицын зэрэглэл: 2;
• Матриц тодорхойлогч: 18;
• Матрицын мөр: 19;
• Өвөрмөц векторын тооцоо: c 2 - 19.00c + 18.00 (шинжийн тэгшитгэл);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 18 (эхний ламбда утга);
• Өвөрмөц векторын тооцоо: 1 (хоёр дахь ламбда утга);
• 1-р векторын тэгшитгэлийн систем: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• 2-р векторын тэгшитгэлийн систем: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Өвөрмөц вектор 1: (1; 1);
• Өвөрмөц вектор 2: (-3.25; 1).

Тиймээс бид шугаман бие даасан хоёр хувийн векторыг олж авсан.

Дүгнэлт

Шугаман алгебр, аналитик геометр нь инженерийн чиглэлээр нэгдүгээр курсын оюутанд зориулсан стандарт хичээл юм. Олон тооны вектор, матрицууд нь аймшигтай бөгөөд ийм нүсэр тооцоололд алдаа гаргахад хялбар байдаг. Манай программ нь оюутнуудад тооцоогоо шалгах эсвэл хувийн векторыг олох асуудлыг автоматаар шийдэх боломжийг олгоно. Манай каталогид бусад шугаман алгебрийн тооны машинууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг хичээл, ажилдаа ашиглаарай.

Диагональ матрицууд нь хамгийн энгийн бүтэцтэй байдаг. Шугаман операторын матриц диагональ хэлбэртэй байх үндэслэлийг олох боломжтой юу гэсэн асуулт гарч ирнэ. Ийм суурь бий.
Шугаман орон зай R n ба түүн дээр ажиллаж байгаа шугаман оператор А өгье; энэ тохиолдолд A оператор R n-ийг өөртөө авна, өөрөөр хэлбэл A:R n → R n .

Тодорхойлолт. А оператор нь коллинеар вектор руу хөрвүүлбэл тэгээс өөр векторыг А операторын хувийн вектор гэнэ, өөрөөр хэлбэл. λ тоог хувийн векторт харгалзах А операторын хувийн утга буюу хувийн утга гэнэ.
Хувийн утга ба хувийн векторын зарим шинж чанарыг тэмдэглэе.
1. Хувийн векторуудын дурын шугаман хослол ижил хувийн утгатай λ харгалзах оператор А нь ижил хувийн утгатай хувийн вектор юм.
2. Өвөрмөц векторууд λ 1 , λ 2 , …, λ m хосоор ялгаатай хувийн утга бүхий оператор А нь шугаман бие даасан байна.
3. Хэрэв хувийн утга λ 1 =λ 2 = λ m = λ бол хувийн утга λ нь m-ээс ихгүй шугаман бие даасан хувийн вектортой тохирно.

Тэгэхээр шугаман бие даасан n хувийн вектор байвал , өөр өөр хувийн утгатай λ 1, λ 2, ..., λ n харгалзах бол тэдгээр нь шугаман хамааралгүй тул R n орон зайн үндэс болгон авч болно. Шугаман А операторын матрицын хэлбэрийг түүний хувийн векторуудын үндсэн дээр олъё, үүний тулд бид А оператортой үндсэн векторууд дээр ажиллах болно. Дараа нь .
Ийнхүү шугаман оператор А матриц нь өөрийн векторуудын үндсэн дээр диагональ хэлбэртэй, А операторын хувийн утга диагональ дагуу байна.
Матриц диагональ хэлбэртэй байх өөр үндэслэл бий юу? Энэ асуултын хариултыг дараах теоремоор өгнө.

Теорем. Суурийн (i = 1..n) шугаман операторын матриц нь суурийн бүх векторууд нь А операторын хувийн векторууд байх тохиолдолд диагональ хэлбэртэй байна.

Хувийн утга ба хувийн векторыг олох дүрэм

Вектор өгье , энд x 1, x 2, …, x n нь суурьтай харьцуулахад векторын координатууд юм. ба λ хувийн утгад харгалзах шугаман операторын хувийн вектор, өөрөөр хэлбэл. Энэ хамаарлыг матриц хэлбэрээр бичиж болно

. (*)

Тэгшитгэл (*) -ийг олох тэгшитгэл гэж үзэж болно, өөрөөр хэлбэл, хувийн вектор нь тэг байх боломжгүй тул бид энгийн бус шийдлүүдийг сонирхож байна. Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн системийн ач холбогдолгүй шийдлүүд нь зөвхөн det(A - λE) = 0 тохиолдолд л байдаг гэдгийг мэддэг. Иймд λ нь А операторын хувийн утга байхын тулд det(A - λE) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. ) = 0.
Хэрэв (*) тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр нарийвчлан бичсэн бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн системийг олж авна.

(1)
Хаана - шугаман оператор матриц.

Хэрэв тодорхойлогч D нь тэгтэй тэнцүү бол (1) систем нь тэгээс өөр шийдэлтэй байна

Бид хувийн утгыг олох тэгшитгэлийг хүлээн авсан.
Энэ тэгшитгэлийг шинж чанарын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг ба түүний зүүн тал- матрицын шинж чанарын олон гишүүнт (оператор) A. Хэрэв шинж чанарын олон гишүүнт бодит язгуургүй бол А матриц нь хувийн векторгүй бөгөөд диагональ хэлбэрт буулгаж болохгүй.
λ 1, λ 2, …, λ n-ийг шинж чанарын тэгшитгэлийн жинхэнэ үндэс гэж үзье, тэдгээрийн дунд үржвэр байж болно. Эдгээр утгыг систем (1) болгон орлуулснаар бид хувийн векторуудыг олно.

Жишээ 12. Шугаман оператор A нь хуулийн дагуу R 3-т үйлчилдэг ба энд x 1, x 2, .., x n нь суурь дээрх векторын координатууд юм. , , . Энэ операторын хувийн утга ба хувийн векторыг ол.
Шийдэл. Бид энэ операторын матрицыг бүтээдэг:
.
Бид хувийн векторуудын координатыг тодорхойлох системийг бий болгодог.

Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг зохиож, үүнийг шийднэ.

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Системд λ = -1-ийг орлуулбал бид:
эсвэл
Учир нь , дараа нь хоёр хамааралтай хувьсагч ба нэг чөлөөт хувьсагч байна.
Тэгвэл x 1 нь чөлөөт үл мэдэгдэх болно Бид энэ системийг ямар ч аргаар шийдэж, энэ системийн ерөнхий шийдлийг олдог. Үндсэн систем n - r = 3 - 2 = 1 тул шийдлүүд нэг уусмалаас бүрдэнэ.
Хувийн утга λ = -1-д харгалзах хувийн векторуудын олонлог нь дараах хэлбэртэй байна, энд x 1 нь тэгээс бусад тоо юм. Энэ олонлогоос нэг векторыг сонгоцгооё, жишээлбэл, x 1 = 1 гэж тавь. .
Үүнтэй адил үндэслэлээр бид хувийн утга λ = 3-д тохирох хувийн векторыг олно. .
R 3 орон зайд суурь нь шугаман бие даасан гурван вектороос бүрдэх боловч бид зөвхөн хоёр шугаман бие даасан хувийн векторыг хүлээн авсан бөгөөд үүнээс R 3-ийн суурийг бүрдүүлэх боломжгүй юм. Иймээс бид шугаман операторын А матрицыг диагональ хэлбэрт оруулж болохгүй.

Жишээ 13. Матриц өгөгдсөн .
1. Вектор гэдгийг батал нь А матрицын хувийн вектор. Энэ хувийн векторт тохирох хувийн утгыг ол.
2. А матриц диагональ хэлбэртэй байх суурийг ол.
Шийдэл.
1. Хэрэв , дараа нь хувийн вектор байна

.
Вектор (1, 8, -1) нь хувийн вектор юм. Хувийн утга λ = -1.
Матриц нь хувийн векторуудаас бүрдэх суурь дээр диагональ хэлбэртэй байна. Тэдний нэг нь алдартай. Үлдсэнийг нь олъё.
Бид системээс өөрийн векторуудыг хайдаг.

Онцлог тэгшитгэл: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
λ = -3 хувийн утгад тохирох хувийн векторыг олъё.

Энэ системийн матрицын зэрэглэл нь хоёр бөгөөд үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү тул энэ систем нь зөвхөн тэг шийдэлтэй x 1 = x 3 = 0. Энд x 2 нь тэгээс өөр зүйл байж болно, жишээ нь x 2 =. 1. Иймд (0 ,1,0) вектор нь λ = -3-д тохирох хувийн вектор байна. Шалгацгаая:
.
Хэрэв λ = 1 бол бид системийг олж авна
Матрицын зэрэглэл нь хоёр байна. Бид сүүлчийн тэгшитгэлийг хасдаг.
x 3 нь чөлөөт үл мэдэгдэх зүйл байг. Дараа нь x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
x 3 = 1 гэж үзвэл бид (-3,-9,1) - хувийн утга λ = 1-д тохирох хувийн вектор байна. Шалгана уу:

.
Хувийн утгууд нь бодит бөгөөд тодорхой байдаг тул тэдгээрт харгалзах векторууд нь шугаман бие даасан байдаг тул тэдгээрийг R 3-д үндэс болгон авч болно. Тиймээс, үндсэн дээр , , А матриц нь дараах хэлбэртэй байна.
.
A:R n → R n шугаман операторын матриц бүрийг диагональ хэлбэрт оруулж болохгүй, учир нь зарим нь шугаман операторуудШугаман бие даасан хувийн векторууд n-ээс бага байж болно. Гэсэн хэдий ч матриц нь тэгш хэмтэй бол m үржвэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь яг m шугаман бие даасан вектортой тохирч байна.

Тодорхойлолт. Тэгш хэмтэй матриц гэдэг нь үндсэн диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй элементүүд нь тэнцүү байх дөрвөлжин матриц юм.
Тэмдэглэл. 1. Тэгш хэмт матрицын бүх хувийн утга бодит байна.
2. Хосоор ялгаатай хувийн утгуудад харгалзах тэгш хэмт матрицын хувийн векторууд нь ортогональ байна.
Судалгаанд хамрагдсан аппаратын олон хэрэглээний нэг болохын хувьд бид хоёр дахь эрэмбийн муруйн төрлийг тодорхойлох асуудлыг авч үздэг.