Матрицын арга SLAU шийдэлтэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тохирч байгаа тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд хэрэглэнэ. Энэ аргыг бага эрэмбийн системийг шийдвэрлэхэд хамгийн сайн ашигладаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга нь матрицын үржүүлэх шинж чанарыг ашиглахад суурилдаг.
Энэ арга нь өөрөөр хэлбэл урвуу матрицын арга,Шийдэл нь ердийн матрицын тэгшитгэл болж буурдаг тул үүнийг шийдвэрлэхийн тулд урвуу матрицыг олох хэрэгтэй.
Матрицын шийдлийн аргаТэгээс их эсвэл бага тодорхойлогчтой SLAE нь дараах байдалтай байна.
-тэй SLE (шугаман тэгшитгэлийн систем) байна гэж бодъё nүл мэдэгдэх (дурын талбар дээр):
Энэ нь матриц хэлбэрт амархан хөрвүүлэх боломжтой гэсэн үг юм:
AX=B, Хаана А- системийн үндсэн матриц; БТэгээд X- системийн үнэ төлбөргүй нөхцөл ба шийдлүүдийн багана, тус тус:
Энэ матрицын тэгшитгэлийг зүүн талаас нь үржүүлье A−1- урвуу матрицаас матриц A: A −1 (AX)=A −1 B.
Учир нь A −1 A=E, гэсэн үг, X=A −1 B. Баруун талтэгшитгэл нь шийдлийн баганыг өгдөг анхны систем. Матрицын аргыг хэрэглэх нөхцөл нь матрицын доройтолгүй байх явдал юм А. Шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлЭнэ нь матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш гэсэн үг юм А:
detA≠0.
Учир нь шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем, өөрөөр хэлбэл хэрэв вектор B=0, эсрэг дүрэм баримталдаг: систем AX=0үед л өчүүхэн бус (өөрөөр хэлбэл тэгтэй тэнцүү биш) шийдэл байдаг detA=0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүдийн хоорондох ийм холболтыг нэрлэдэг Фредхолмын хувилбар.
Тиймээс SLAE-ийн шийдэл матрицын аргатомъёоны дагуу үйлдвэрлэсэн 
. Эсвэл SLAE-ийн шийдлийг ашиглан олж болно урвуу матриц A−1.
Квадрат матрицын хувьд энэ нь мэдэгдэж байна Азахиалга nдээр nБайна урвуу матриц A−1зөвхөн тодорхойлогч нь тэгээс өөр байвал. Тиймээс систем nшугаман алгебрийн тэгшитгэл-тай nСистемийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш тохиолдолд л бид үл мэдэгдэх зүйлсийг матрицын аргаар шийддэг.
Хэдийгээр энэ аргыг ашиглах боломж хязгаарлагдмал байгаа бөгөөд коэффициент, системийн том утгыг тооцоолоход бэрхшээлтэй байдаг. өндөр захиалга, аргыг компьютер дээр хялбархан хэрэгжүүлэх боломжтой.
Нэг төрлийн бус SLAE-ийг шийдэх жишээ.
Эхлээд үл мэдэгдэх SLAE-ийн коэффициент матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш эсэхийг шалгая.
Одоо бид олдог нэгдлийн матриц, түүнийг шилжүүлж, урвуу матрицыг тодорхойлохын тулд томьёонд орлуулна.
Хувьсагчдыг томъёонд орлуулна уу:
Одоо бид урвуу матриц болон чөлөөт нэр томъёоны баганыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэхийг олно.
Тэгэхээр, x=2; y=1; z=4.
SLAE-ийн ердийн хэлбэрээс матриц хэлбэрт шилжихдээ системийн тэгшитгэл дэх үл мэдэгдэх хувьсагчдын дарааллыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Жишээ нь:
Үүнийг дараах байдлаар бичиж БОЛОХГҮЙ.
Юуны өмнө системийн тэгшитгэл бүрт үл мэдэгдэх хувьсагчдыг эрэмблэх шаардлагатай бөгөөд үүний дараа л матрицын тэмдэглэгээ рүү орно.
Нэмж дурдахад үл мэдэгдэх хувьсагчийн тэмдэглэгээнд болгоомжтой хандах хэрэгтэй x 1, x 2 , …, x nөөр үсэг байж болно. Жишээ нь:
матриц хэлбэрээр бид үүнийг дараах байдлаар бичнэ.
Системийг матрицын аргыг ашиглан шийдэх нь дээр шугаман тэгшитгэл, тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой давхцаж, системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Хэрэв системд 3-аас дээш тэгшитгэл байгаа бол урвуу матрицыг олоход илүү их хүчин чармайлт шаардагдах тул энэ тохиолдолд Гауссын аргыг шийдвэрлэх нь зүйтэй.
Үйлчилгээний зорилго. Энэхүү онлайн тооны машиныг ашиглан үл мэдэгдэх (x 1, x 2, ..., x n) -ийг тэгшитгэлийн системд тооцдог. Шийдвэр хэрэгжиж байна урвуу матрицын арга. Энэ тохиолдолд:- А матрицын тодорхойлогчийг тооцоолсон;
- дамжуулан алгебрийн нэмэлтүүдурвуу матриц A -1 олдсон;
- Excel-д шийдлийн загварыг бий болгосон;
Заавар. Урвуу матрицын аргыг ашиглан шийдлийг олж авахын тулд та матрицын хэмжээсийг зааж өгөх хэрэгтэй. Дараа нь шинэ харилцах цонхонд А матриц болон В үр дүнгийн векторыг бөглөнө үү.
Мөн матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийг үзнэ үү.Шийдлийн алгоритм
- А матрицын тодорхойлогчийг тооцоолно. Тодорхойлогч нь тэг байвал шийдэл дууссан гэсэн үг. Систем нь хязгааргүй олон тооны шийдэлтэй.
- Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай үед урвуу матриц A -1-ийг алгебрийн нэмэлтээр олно.
- Уусмалын вектор X =(x 1, x 2, ..., x n) урвуу матрицыг үр дүнгийн В вектороор үржүүлснээр гарна.
Алгебрийн нэмэлтүүд.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Шалгалт:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Матрицын арга нь аливаа нарийн төвөгтэй байдлын SLAE (шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем) -ийн шийдлийг олох боломжийг танд олгоно. SLAE-ийг шийдвэрлэх бүх үйл явц нь хоёр үндсэн үйлдлээс бүрддэг:
Үндсэн матриц дээр үндэслэн урвуу матрицыг тодорхойлох:
Үүссэн урвуу матрицыг уусмалын баганын вектороор үржүүлэх.
Бидэнд дараах хэлбэрийн SLAE өгсөн гэж бодъё:
\[\зүүн\(\эхлэх(матриц) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \төгсгөл(матриц)\баруун.\]
Системийн матрицыг бичих замаар энэ тэгшитгэлийг шийдэж эхэлцгээе.
Баруун талын матриц:
Урвуу матрицыг тодорхойлъё. Та 2-р эрэмбийн матрицыг дараах байдлаар олж болно: 1 - матриц өөрөө ганц биш байх ёстой; 2 - үндсэн диагональ дээр байрлах түүний элементүүдийг сольж, хоёрдогч диагональ элементүүдийн хувьд бид тэмдгийг эсрэгээр нь сольж, дараа нь үүссэн элементүүдийг матрицын тодорхойлогчоор хуваана. Бид авах:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Баруун сум \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ эхлэл(pmatrix) -11 \\ 31 \төгсгөл(pmatrix) \]
Харгалзах элементүүд нь тэнцүү бол 2 матрицыг тэнцүү гэж үзнэ. Үүний үр дүнд бид SLAE шийдлийн дараах хариултыг авах болно.
Матрицын аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг онлайнаар хаана шийдэж болох вэ?
Та манай вэбсайтаас тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн манай вэбсайтаас тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдэх боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс асууж болно.
Ингээд авч үзье шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем(SLAU) харьцангуй nүл мэдэгдэх x 1 , x 2 , ..., x n :
Энэ системийг "нурсан" хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.
С n i=1 а ij x j = б би , i=1,2, ..., n.
Матрицыг үржүүлэх дүрмийн дагуу шугаман тэгшитгэлийн авч үзсэн системийг бичиж болно матриц хэлбэр Сүх=б, Хаана
,
,.
Матриц А, баганууд нь харгалзах үл мэдэгдэх коэффициентүүд, мөрүүд нь харгалзах тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм. системийн матриц. Баганын матриц б, элементүүд нь системийн тэгшитгэлийн баруун гар талуудыг баруун талын матриц эсвэл энгийнээр нэрлэдэг. системийн баруун тал. Баганын матриц x , тэдгээрийн элементүүд нь үл мэдэгдэх үл мэдэгдэхийг дууддаг системийн шийдэл.
хэлбэрээр бичигдсэн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем Сүх=б, байна матрицын тэгшитгэл.
Хэрэв системийн матриц доройтдоггүй, дараа нь урвуу матрицтай ба дараа нь системийн шийдэл нь байна Сүх=бтомъёогоор өгөгдсөн:
x=A -1 б.
ЖишээСистемийг шийд 
матрицын арга.
Шийдэлсистемийн коэффициент матрицын урвуу матрицыг олъё
Тодорхойлогчийг эхний мөрийн дагуу тэлэх замаар тооцоолъё.
Учир нь Δ ≠ 0 , Тэр А -1 байдаг.
Урвуу матрицыг зөв олсон.
Системийн шийдлийг олцгооё 
Тиймээс, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Шалгалт: 
7. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлын тухай Кронекер-Капелли теорем.
Шугаман тэгшитгэлийн системхэлбэртэй байна:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Энд a i j ба b i (i = ; j = ) өгөгдсөн ба x j нь үл мэдэгдэх бодит тоо юм. Матрицын үржвэрийн тухай ойлголтыг ашиглан бид (5.1) системийг дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно.
Энд A = (a i j) нь системийн (5.1) үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матриц бөгөөд үүнийг гэж нэрлэдэг. системийн матриц, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T нь үл мэдэгдэх x j ба чөлөөт гишүүн b i-ээс бүрдэх баганын векторууд юм.
Захиалсан цуглуулга nбодит тоонуудыг (c 1 , c 2 ,..., c n) дуудна системийн шийдэл(5.1), хэрэв эдгээр тоонуудыг харгалзах x 1, x 2,..., x n хувьсагчийн оронд орлуулсны үр дүнд системийн тэгшитгэл бүр арифметик ижилсэл болж хувирвал; өөрөөр хэлбэл AC B байх C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T вектор байвал.
Систем (5.1) гэж нэрлэдэг хамтарсан,эсвэл шийдвэрлэх боломжтой,Хэрэв энэ нь дор хаяж нэг шийдэлтэй бол. Систем гэж нэрлэдэг нийцэхгүй,эсвэл шийдвэрлэх боломжгүй, хэрэв шийдэл байхгүй бол.
,
баруун талд байгаа А матрицад чөлөөт нөхцлүүдийн баганыг өгөх замаар үүссэнийг гэнэ системийн өргөтгөсөн матриц.
(5.1) системийн нийцтэй байдлын асуудлыг дараах теоремоор шийднэ.
Кронекер-Капелли теорем . Шугаман тэгшитгэлийн систем нь зөвхөн A ба A матрицуудын зэрэглэлүүд давхцаж байвал нийцтэй байна, өөрөөр хэлбэл. r(A) = r(A) = r.
(5.1) системийн шийдлийн M багцын хувьд гурван боломж байна.
1) M = (энэ тохиолдолд систем нь нийцэхгүй байна);
2) M нь нэг элементээс бүрдэнэ, өөрөөр хэлбэл. систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг (энэ тохиолдолд системийг дуудна тодорхой);
3) M нь нэгээс олон элементээс бүрддэг (дараа нь системийг дууддаг тодорхойгүй). Гурав дахь тохиолдолд (5.1) систем нь хязгааргүй олон шийдтэй байна.
Зөвхөн r(A) = n тохиолдолд л систем өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос багагүй байна (mn); хэрэв m>n бол дараа нь m-n тэгшитгэлбусдын үр дагавар юм. Хэрэв 0 Шугаман тэгшитгэлийн дурын системийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү байх системийг шийдэх чадвартай байх хэрэгтэй. Крамер төрлийн системүүд: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Системийг (5.3) дараахь аргуудын аль нэгээр шийддэг: 1) Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга; 2) Крамерын томъёоны дагуу; 3) матрицын арга. Жишээ 2.12. Тэгшитгэлийн системийг судалж, хэрэв энэ нь нийцэж байвал шийднэ үү. 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Шийдэл.Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг бичнэ.
Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг тооцоолъё. Жишээлбэл, зүүн дээд буланд байгаа хоёрдугаар эрэмбийн минор = 7 0 байх нь ойлгомжтой. түүнийг агуулсан гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү байна: Үүний үр дүнд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь 2, i.e. r(A) = 2. Өргөтгөсөн A матрицын зэрэглэлийг тооцоолохын тулд хилийн минорыг авч үзье. энэ нь өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл r(A) = 3 гэсэн үг. r(A) r(A) тул систем нь нийцэхгүй байна. Ерөнхий тэгшитгэл, шугаман алгебрийн тэгшитгэл ба тэдгээрийн систем, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргууд нь математикт онолын болон хэрэглээний аль алинд нь онцгой байр суурь эзэлдэг. Энэ нь физик, эдийн засаг, техник, сурган хүмүүжүүлэх асуудлын дийлэнх хэсгийг янз бүрийн тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг ашиглан тодорхойлж, шийдэж чаддагтай холбоотой юм. Сүүлийн үед математик загварчлал нь бараг бүх сэдвийн хүрээнд судлаачид, эрдэмтэд, дадлагажигчдын дунд ихээхэн алдартай болсон бөгөөд энэ нь янз бүрийн шинж чанартай объектуудыг судлах бусад алдартай, батлагдсан аргуудаас илт давуу талтай гэдгээрээ тайлбарлагддаг. системүүд. Эрдэмтэд өөр өөр цаг үед математик загварын талаар маш олон янзын тодорхойлолт өгдөг боловч бидний бодлоор хамгийн амжилттай нь дараах мэдэгдэл юм. Математик загвар нь тэгшитгэлээр илэрхийлэгдсэн санаа юм. Тиймээс тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг зохиох, шийдвэрлэх чадвар нь орчин үеийн мэргэжилтний салшгүй шинж чанар юм. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Крамер, Жордан-Гаусс, матрицын аргуудыг хамгийн их ашигладаг. Матрицын шийдлийн арга нь урвуу матриц ашиглан тэгээс өөр тодорхойлогчтой шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх арга юм. Хэрэв бид А матрицад xi үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүдийн коэффициентийг бичиж, X вектор баганад үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг, В вектор баганад чөлөөт гишүүнийг цуглуулвал шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг дараах хэлбэрээр бичиж болно. А матрицын тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү биш үед л цорын ганц шийдэлтэй A · X = B матрицын тэгшитгэл. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно X = А-1 · Б, Хаана А-1 нь урвуу матриц юм. Матрицын шийдлийн арга нь дараах байдалтай байна. Бидэнд шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье nүл мэдэгдэх: Үүнийг матриц хэлбэрээр дахин бичиж болно: АХ =
Б, Хаана А- системийн үндсэн матриц, БТэгээд X- системийн үнэ төлбөргүй нөхцөл ба шийдлүүдийн багана, тус тус: Энэ матрицын тэгшитгэлийг зүүн талаас нь үржүүлье А-1 - матрицын урвуу матриц А: А -1 (АХ) = А -1 Б Учир нь А -1 А = Э, бид авдаг X= А -1 Б. Энэ тэгшитгэлийн баруун тал нь анхны системийн шийдлийн баганыг өгнө. Энэ аргыг хэрэглэх нөхцөл (мөн ерөнхийдөө шийдэл байгаа эсэх) тийм биш юм нэгэн төрлийн системҮл мэдэгдэх тоотой тэнцүү тэгшитгэлийн тоо бүхий шугаман тэгшитгэл) нь матрицын доройтолгүй байдал юм. А. Үүний зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш байх явдал юм А:det А≠ 0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн хувьд, өөрөөр хэлбэл вектор байх үед Б = 0
, эсрэг дүрэм нь үнэн юм: систем АХ =
0 нь зөвхөн det бол өчүүхэн бус (өөрөөр хэлбэл, тэг биш) шийдэлтэй байна А= 0. Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн шийдүүдийн хоорондын ийм холболтыг Фредхольмын хувилбар гэнэ. Жишээ Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн шийдлүүд. Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн үл мэдэгдэх коэффициентүүдээс бүрдэх матрицын тодорхойлогч нь 0-тэй тэнцүү биш эсэхийг шалгацгаая. Дараагийн алхам бол үл мэдэгдэх коэффициентуудаас бүрдэх матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийг тооцоолох явдал юм. Тэд урвуу матрицыг олоход хэрэгтэй болно.
.
