Бернулли тэгшитгэлийг шийд. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл ба Бернулли тэгшитгэл

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм

Энд n≠0,n≠1.

Энэ тэгшитгэлийг орлуулах аргыг ашиглан дахин зохион байгуулж болно

В шугаман тэгшитгэл

Практик дээр дифференциал тэгшитгэлБернулли нь ихэвчлэн шугаман тэгшитгэлд хүргэдэггүй боловч шугаман тэгшитгэлтэй ижил аргуудыг ашиглан шууд шийдэгддэг - Бернулли арга эсвэл дурын тогтмолыг өөрчлөх арга.

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлийг y=uv (Бернуллийн арга) орлуулах аргыг ашиглан хэрхэн шийдвэрлэхийг харцгаая. Шийдлийн схем нь .

Жишээ. Тэгшитгэлийг шийдэх:

1) y’x+y=-xy².

Энэ бол Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэл юм. Үүнийг стандарт хэлбэрт оруулъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр хэсгийг х-д хуваана: y’+y/x=-y². Энд p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2 байна. Гэхдээ бид үүнийг шийдэх шаардлагагүй стандарт харагдах байдал. Нөхцөлд өгөгдсөн бичлэгийн маягттай ажиллах болно.

1) y=uv орлуулах, энд u=u(x) ба v=v(x) нь x-ийн зарим шинэ функцууд юм. Дараа нь y’=(uv)’=u’v+v’u. Бид үүссэн илэрхийллүүдийг дараах нөхцөлд орлуулна: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Хаалтуудыг нээцгээе: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Одоо нөхцөлүүдийг v-ээр бүлэглэцгээе: v+v’ux=-xu²v² (I) (бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа v зэрэгтэй нэр томьёог хөндөхгүй). Одоо бид хаалтанд байгаа илэрхийлэл тэгтэй тэнцүү байхыг шаардаж байна: u’x+u=0. Мөн энэ бол салгаж болох u, x хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдсэний дараа бид таныг олох болно. Бид u=du/dx-г орлуулж, хувьсагчдыг тусгаарлана: x·du/dx=-u. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, xu≠0-д хуваана.

(u C-г олохдоо бид үүнийг тэгтэй тэнцүү авна).

3) (I) тэгшитгэлд =0 ба олсон функц u=1/x-ийг орлуулна. Бид тэгшитгэлтэй байна: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Хялбаршуулсаны дараа: v’=-(1/x)·v². Энэ бол v ба x салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бид v’=dv/dx-г орлуулж, хувьсагчдыг тусгаарлана: dv/dx=-(1/x)·v². Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, v²≠0-д хуваана.

(бид -C-г авсан тул хоёр талыг -1-ээр үржүүлснээр бид хасахаас салж болно). Тиймээс (-1) -ээр үржүүлнэ:

(хүн C биш харин ln│C│ авч болох ба энэ тохиолдолд v=1/ln│Cx│ байх болно).

2) 2y’+2y=xy².

Энэ бол Бернуллигийн тэгшитгэл мөн гэдэгт итгэлтэй байцгаая. Хоёр хэсгийг 2-т хуваахад y’+y=(x/2) y² гарна. Энд p(x)=1, q(x)=x/2, n=2 байна. Бид Бернуллигийн аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийддэг.

1) y=uv, y’=u’v+v’u-г солих. Бид эдгээр илэрхийллүүдийг анхны нөхцөлд орлуулна: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Хаалтуудыг нээ: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Одоо v агуулсан нэр томъёог бүлэглэе: +2v’u=xu²v² (II). Бид хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү байхыг шаарддаг: 2u’+2u=0, иймээс u’+u=0. Энэ бол u ба x-ийн салгаж болох тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэж, таныг олъё. Бид u’=du/dx гэж орлуулж, эндээс du/dx=-u. Тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, u≠0-д хуваахад: du/u=-dx болно. Нэгтгэцгээе:

3) (II) =0 гэж орлуул

Одоо бид v’=dv/dx гэж орлуулж, хувьсагчдыг тусгаарлана.

Нэгтгэцгээе:

Тэгш байдлын зүүн тал нь хүснэгтийн интеграл, баруун талд байгаа интегралыг хэсгүүдийн интегралын томъёогоор олно.

Олсон v ба du-г хэсгүүдийн интеграцчлалын томъёогоор орлуулбал бидэнд:

Тэгээд тэрнээс хойш

C=-C болгоё:

4) y=uv тул олсон u ба v функцийг орлуулна.

3) x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0 тэгшитгэлийг нэгтгэ.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг x²(x-1)≠0-д хувааж, y²-тэй гишүүнийг баруун тал руу шилжүүлье.

Энэ бол Бернуллигийн тэгшитгэл юм

1) y=uv, y’=u’v+v’u-г солих. Ердийнх шигээ бид эдгээр илэрхийллийг анхны нөхцөл болгон орлуулдаг: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Тиймээс x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Бид v (v² - бүү хүр):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Одоо бид хаалтанд байгаа илэрхийлэл тэгтэй тэнцүү байхыг шаардаж байна: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, тэгэхээр x²(x-1)u’=x(x-2)u. Тэгшитгэлд бид u ба x хувьсагчдыг салгаж, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг dx-ээр үржүүлж, x²(x-1)u≠0-д хуваана.

Тэгшитгэлийн зүүн талд хүснэгт хэлбэрийн интеграл байна. Рационал бутархайбаруун талд та энгийн бутархай хэсгүүдэд задлах хэрэгтэй:

x=1 үед: 1-2=A·0+B·1, үүнээс B=-1.

x=0 үед: 0-2=A(0-1)+B·0, үүнээс A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Логарифмын шинж чанарын дагуу: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, эндээс u=x²/(x-1).

3) (III) тэгш байдалд =0 ба u=x²/(x-1)-ийг орлуулна. Бид дараахийг авна: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, орлуулах:

С-ийн оронд бид - C-г авдаг тул хоёр хэсгийг (-1) үржүүлснээр бид хасах зүйлээс ангижрах болно.

Одоо баруун талын илэрхийллүүдийг нийтлэг хуваагч болгон бууруулж v-г олъё:

4) y=uv тул олсон u ба v функцийг орлуулснаар бид дараахийг авна.

Өөрийгөө шалгах жишээ:

1) Энэ нь Бернуллигийн тэгшитгэл мөн эсэхийг шалгацгаая. Хоёр талыг х-д хуваахад бид дараах байдалтай байна.

1) y=uv-г орлуулах, эндээс y’=u’v+v’u. Бид эдгээр y ба y'-г анхны нөхцөлд орлуулна:

2) Нэр томъёог v-ээр бүлэглээрэй:

Одоо бид хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь 0-тэй тэнцүү байхыг шаардаж, энэ нөхцлөөс u-ийг олно:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье:

3) (*) тэгшитгэлд =0 ба u=1/x²-г орлуулна:

Гарсан тэгшитгэлийн хоёр талыг нэгтгэж үзье.

y' + P(x)y = Q(x) хэлбэрийн тэгшитгэлийг P(x) ба Q(x) нь х-ийн мэдэгдэж байгаа функцууд, у функц ба түүний дериватив у'-тай харьцуулахад шугаман байна. нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл.

Хэрэв q(x)=0 бол тэгшитгэлийг шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэнэ. q(x)=0 – шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэл.

Шугаман тэгшитгэлийг y = u*v орлуулгыг ашиглан салгах хувьсагчтай хоёр тэгшитгэл болгон бууруулсан ба энд u = u(x) ба v = v(x) нь зарим туслах тасралтгүй функцууд юм.

Тэгэхээр, y = u*v, y’ = u’*v + u * v’ (1),

дараа нь бид анхны тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичнэ: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).

Үл мэдэгдэх y функцийг хоёр функцийн үржвэр болгон хайж байгаа тул тэдгээрийн аль нэгийг нь дур мэдэн сонгож, нөгөөг нь (2) тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

v’ + P(x)*v = 0 (3) байхаар сонгоцгооё. Үүний тулд v(x) нь (3) тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдэл байхад хангалттай (C = 0 үед). Энэ шийдлийг олцгооё:

V*P(x); = -;ln |v| = -;v = (4)

(4) функцийг (2) тэгшитгэлд орлуулснаар бид салангид хувьсагчтай хоёр дахь тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс бид u(x) функцийг олно:

u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; у = +C (5)

Эцэст нь бид:

y(x) = u(x)*v(x) = *( +C)

Бернуллигийн тэгшитгэл:y’ + y = x* y 3

Энэ тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), P(x) ба Q(x) нь тасралтгүй функцууд.

Хэрэв n = 0 бол Бернуллигийн тэгшитгэл нь шугаман дифференциал тэгшитгэл болно. Хэрэв n = 1 бол тэгшитгэл нь салгаж болох тэгшитгэл болно.

Ерөнхийдөө n ≠ 0, 1 үед тэгшитгэл. Бернуллиг орлуулалтыг ашиглан шугаман дифференциал тэгшитгэлд буулгана: z = y 1- n

z(x) функцийн шинэ дифференциал тэгшитгэл нь z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) хэлбэртэй бөгөөд шугаман дифференциалтай ижил аргаар шийдэж болно. 1-р эрэмбийн тэгшитгэл.

20. Дээд зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэл.

Функцийг тодорхой агуулаагүй тэгшитгэлийг авч үзье.

Энэ тэгшитгэлийн дарааллыг орлуулгыг ашиглан нэгээр бууруулна.

Үнэхээр тэгвэл:

Бид дарааллыг нэгээр бууруулсан тэгшитгэлийг олж авна.

ялгаа. Хоёр дахь хэмжээнээс өндөр эрэмбийн тэгшитгэлүүд нь ба хэлбэртэй байна, энд бодит тоо, функц байна f(x)интеграцийн интервал дээр тасралтгүй X.

Ийм тэгшитгэлийг аналитик аргаар шийдвэрлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг бөгөөд ихэвчлэн ойролцоо аргыг ашигладаг. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд үүнийг олох боломжтой нийтлэг шийдвэр.

Теорем.

Ерөнхий шийдэл y 0 интервал дээрх шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл Xтасралтгүй коэффициентүүдтэй Xшугаман хослол юм n LODE-ийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлүүд дур зоргоороо тогтмол коэффициентүүд , тэр бол .

Теорем.

Нийтлэг шийдвэр yшугаман нэг төрлийн бус дифференциал

интервал дээрх тэгшитгэлүүд Xижил дээр үргэлжилсэн хүмүүстэй

хооронд Xкоэффициент ба функц f(x)хэмжээг илэрхийлнэ

Хаана y 0 нь харгалзах LODE-ийн ерөнхий шийдэл бөгөөд анхны LODE-ийн тодорхой шийдэл юм.

Ийнхүү тогтмол тоотой шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл

хэлбэрээр коэффициент хайж байна , хаана - зарим

түүний хувийн шийдэл, мөн – харгалзах нэгэн төрлийн дифференциалын ерөнхий шийдэл

тэгшитгэл

21. Туршилт, үйл явдал. Үйл явдлын төрлүүд. Жишээ.

Туршилт гэдэг нь үйл явдал тохиолдох тодорхой нөхцлийг бүрдүүлэх явдал юм. Жишээ нь: шоо шидэх

Үйл явдал - нэг буюу өөр туршилтын үр дүн гарах/байхгүй байх; туршилтын үр дүн. Жишээ нь: 2-ын тоог эргүүлэх

Санамсаргүй үйл явдал нь тухайн туршилтын явцад тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болзошгүй үйл явдал юм. Жишээ нь: 5-аас их тоог эргүүлэх

Найдвартай - өгөгдсөн туршилтын явцад зайлшгүй тохиолддог үйл явдал. Жишээ нь: 1-ээс их буюу тэнцүү тоог эргүүлэх

Боломжтой - өгөгдсөн туршилтын явцад тохиолдож болох үйл явдал. Жишээ нь: 6 дугаарыг эргүүлэх

Боломжгүй - өгөгдсөн туршилтын явцад тохиолдох боломжгүй үйл явдал. Жишээ нь: 7 дугаарыг эргүүлэх

А үйл явдал байг. Үүний эсрэг үйл явдлаар бид А үйл явдал тохиолдохгүй байгаа үйл явдлыг ойлгох болно. Зориулалт: Ᾱ. Жишээ нь: A – 2 дугаар эргэлдэнэ, Ᾱ – өөр ямар ч дугаар эргэлдэнэ

Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдсон нь нөгөө нь ижил шүүх хуралдаанд тохиолдохыг үгүйсгэж байвал А ба В үйл явдлууд нийцэхгүй байна. Жишээ нь: 1 ба 3-ын тоог ижил өнхрүүлгээр авах.

А ба В үйл явдлууд нэг туршилтаар тохиолдох боломжтой бол хамтарсан гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: 2-оос их тоо болон 4-ийг нэг өнхрүүлгээр авах.

22. Бүтэн үйл явдлын бүлэг. Жишээ.

Бүрэн бүлэг үйл явдлууд - A, B, C, D, ..., L үйл явдлууд, хэрэв туршилт бүрийн үр дүнд ядаж нэг нь гарцаагүй тохиолдох юм бол цорын ганц боломжтой гэж үздэг. Жишээ нь: шоо дээр 1, 2, 3, 4, 5, 6 гэсэн тоо гарч ирнэ.

23. Үйл явдлын давтамж. Магадлалын статистик тодорхойлолт.

n туршилт явуулъя, А үйл явдал m удаа тохиолдоно. Энэ m:n харьцаа нь А үйл явдал тохиолдох давтамж юм.

Def. Санамсаргүй тохиолдлын магадлал нь өгөгдсөн үйл явдалтай холбоотой тогтмол тоо бөгөөд түүний эргэн тойронд энэ үйл явдлын давтамж нь урт цуврал туршилтаар хэлбэлздэг.

Магадлалыг туршилтын өмнө, дараа нь давтамжийг тооцдог.

24. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт. Үйл явдлын магадлалын шинж чанарууд.

X үйл явдлын магадлал нь А үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог туршилтын бүх ижил боломжит хосоор үл нийцэх, онцгой боломжтой үр дүнгийн нийт тоонд харьцуулсан харьцаа юм. P(A) =

Үйл явдлын магадлалын шинж чанарууд:

Аливаа үйл явдлын хувьд A 0<=m<=n

Нэр томьёо бүрийг n-д хуваахад бид аливаа үйл явдлын магадлалын хувьд А: 0 гарна<=Р(А) <=1

Хэрэв m=0 бол үйл явдал боломжгүй болно: P(A)=0

Хэрэв m=n бол үйл явдал найдвартай болно: P(A)=1

Хэрэв м

25. Магадлалын геометрийн тодорхойлолт. Жишээ.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь хязгаарлагдмал тооны энгийн үр дүнг авч үзэхийг шаарддаг, мөн адил боломжтой. Гэвч бодит байдал дээр үр дүнгийн тоо хязгааргүй байдаг тестүүд ихэвчлэн байдаг.

ODA. Хэрэв цэг нь нэг хэмжээст, хоёр хэмжээст эсвэл гурван хэмжээст S мужид санамсаргүй байдлаар гарч ирвэл (хэмжих хэмжээ нь түүний урт, талбай эсвэл эзэлхүүн юм) S хэмжүүрийн энэ мужид түүний харагдах магадлал тэнцүү байна. руу

Энд S нь нийт тоог илэрхийлдэг геометрийн хэмжүүр юм бүгд боломжтой, адилхан боломжтойэнэ туршилтын үр дүн, мөн С би– А үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог илэрхийлсэн хэмжүүр.

Жишээ 1. R радиустай тойргийг r радиустай жижиг тойрогт байрлуулсан. Том тойрог руу санамсаргүй байдлаар шидсэн цэг мөн жижиг тойрогт унах магадлалыг ол.

Жишээ 2. l урттай хэрчмийг L урттай хэрчимд оруулъя. А үйл явдлын магадлалыг олоорой “Санамсаргүй шидсэн цэг l урттай хэрчим дээр унах”.

Жишээ 3. Тойрог дотор санамсаргүй байдлаар цэгийг сонгоно. Тойргийн төв хүртэлх зай нь хагасаас их байх магадлал хэд вэ?

Жишээ 4.Хоёр хүн үдээс хойш хоёроос гурван цагийн хооронд тодорхой газар уулзахаар тохиролцов. Эхний ирсэн хүн нөгөө хүнээ 10 минут хүлээгээд гараад явчихдаг. Эдгээр хүмүүс заасан цагт, нөгөөгөөсөө үл хамааран хүссэн цагтаа ирэх боломжтой бол уулзах магадлал хэд вэ?

26. Комбинаторикийн элементүүд: Байршил, орлуулах, хослолууд.

1) Өөрчлөлтхязгаарлагдмал олонлогт тогтсон дараалал гэж нэрлэдэг.

Бүх өөр өөр орлуулалтын тоог томъёогоор тооцоолно

2) Байршил-аас nэлементүүд мюу ч гэж нэрлэдэг эмх цэгцтэй m элемент агуулсан үндсэн олонлогийн дэд олонлог.

3) хослол-аас nэлементүүд мюу ч гэж нэрлэдэг эмх замбараагүй элементүүдийг агуулсан үндсэн багцын дэд олонлог.

y" +a 0 (x)y=b(x)y n дифференциал тэгшитгэлийг нэрлэнэ Бернуллигийн тэгшитгэл.
n=0 байхад шугаман тэгшитгэл, n=1 - салангид хувьсагчтай байх тул n ≠ 0 ба n ≠ 1 гэж үзнэ. (1)-ийн хоёр талыг y n-д хуваа. Дараа нь бид . Энэ илэрхийлэлийг орлуулснаар бид олж авна , эсвэл, энэ нь ижил зүйл, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Энэ бол бидний хэрхэн шийдэхийг мэддэг шугаман тэгшитгэл юм.

Үйлчилгээний зорилго. Шийдлийг шалгахын тулд онлайн тооцоолуур ашиглаж болно Бернулли дифференциал тэгшитгэл.

=

Жишээ 1. y" + 2xy = 2xy 3 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. Энэ бол n=3-ын хувьд Бернуллигийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг y 3-т хуваахад бид олдоно. Өөрчлөлт хийнэ. Тэгэхлээр тэгшитгэлийг -z гэж дахин бичнэ. " + 4xz = 4x. Энэ тэгшитгэлийг дурын тогтмолыг өөрчлөх аргаар шийдэж, бид олж авна хаана эсвэл ижил зүйл юу вэ, .

Жишээ 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2

y 2-т хуваана
y"/y 2 + 1/y = -1

Бид орлуулалт хийдэг:
z=1/y n-1 , i.e. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2

Бид дараахийг авна: -z" + z = -1 эсвэл z" - z = 1

Жишээ 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Шийдэл.
a) Бернулли тэгшитгэлээр шийдэх.
Үүнийг xy’+2y=-x 5 y 3 e x хэлбэрээр үзүүлье. Энэ бол n=3-ын хувьд Бернуллигийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг y 3-т хуваавал: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Бид орлуулалтыг хийнэ: z=1/y 2. Дараа нь z"=-2/y 3 болно. тиймээс тэгшитгэлийг : -xz"/2+2z=-x 5 e x хэлбэрээр бичнэ. Энэ нь нэг төрлийн бус тэгшитгэл юм. Харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье: -xz"/2+2z=0
1. Үүнийг шийдэж, бид дараахийг олж авна: z"=4z/x

Интеграцчилснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Бид одоо анхны тэгшитгэлийн шийдлийг y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)" хэлбэрээр хайж байна.
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x эсвэл C(x)" = 2e x . Интеграцчилснаар бид дараахийг олж авна: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
y(x)=C(x)y нөхцөлөөс бид: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) эсвэл y = Cx 4 +2x 4 e x болно. z=1/y 2 тул бид: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x болно.

Бернуллигийн тэгшитгэлхамгийн алдартай нэг юм нэгдүгээр эрэмбийн шугаман бус дифференциал тэгшитгэл. Энэ нь хэлбэрээр бичигдсэн байдаг

Хаана а(x) Мөн б(x) нь тасралтгүй функцууд юм. Хэрэв м= 0 байвал Бернуллигийн тэгшитгэл нь шугаман дифференциал тэгшитгэл болно. Хэзээ м= 1, тэгшитгэл нь салгаж болох тэгшитгэл болно. Ерөнхийдөө хэзээ м≠ 0.1, Бернуллигийн тэгшитгэлийг орлуулалтыг ашиглан шугаман дифференциал тэгшитгэл болгон бууруулсан.

Функцийн шинэ дифференциал тэгшитгэл z(x) хэлбэртэй байна

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн хуудсанд тайлбарласан аргуудыг ашиглан шийдэж болно.

БЕРНУЛИЙН АРГА.

Харж байгаа тэгшитгэлийг Бернуллигийн аргаар шийдэж болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хоёр функцийн үржвэр хэлбэрээр анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хайж байна: хаана у, v-аас функцууд x. Ялгах: Анхны тэгшитгэлд орлуулна (1): (2) гэх мэт vТэгшитгэлийн ямар ч тэг биш шийдлийг авч үзье: (3) Тэгшитгэл (3) нь салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Бид түүний тодорхой шийдлийг олсны дараа v = v(x), (2) -д орлуулна уу. Энэ нь (3) тэгшитгэлийг хангаж байгаа тул хаалтанд байгаа илэрхийлэл тэг болно. Бид авах: Энэ нь бас салгаж болох тэгшитгэл юм. Бид түүний ерөнхий шийдлийг олж, анхны тэгшитгэлийн шийдлийг олдог y = uv.

64. Нийт дифференциал дахь тэгшитгэл. Интеграцийн хүчин зүйл. Шийдлийн аргууд

Маягтын нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл

дуудсан нийт дифференциал дахь тэгшитгэл, хэрэв түүний зүүн тал нь зарим функцийн нийт дифференциалыг илэрхийлж байвал, i.e.

Теорем.(1) тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл байхын тулд хувьсагчийн өөрчлөлтийн энгийн холбогдсон мужид нөхцөл хангагдсан байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

(1) тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл нь эсвэл хэлбэртэй байна

Жишээ 1. Дифференциал тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл. Энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал тэгшитгэл гэдгийг шалгацгаая.

тийм байна нөхцөл (2) хангагдсан байна. Иймээс энэ тэгшитгэл нь нийт дифференциал дахь тэгшитгэл ба

тиймээс хаана нь тодорхойгүй хэвээр байна.

Интеграцчилснаар бид . Олдсон функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь хаанаас өгдөг тул Тиймээс,.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл.

Зарим дифференциал тэгшитгэлийг интеграци хийхдээ нэр томьёог хялбархан интегралдах хослолыг олж авах байдлаар бүлэглэж болно.

65. Дээд зэрэглэлийн энгийн дифференциал шугаман тэгшитгэл: нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус. Шугаман дифференциал оператор, түүний шинж чанар (баталгаатай).

Шугаман дифференциал оператор ба түүний шинж чанарууд.Интервал дээр байгаа функцүүдийн багц ( а , б ) багагүй n дериватив, шугаман орон зайг бүрдүүлдэг. Операторыг анхаарч үзээрэй Л n (y ), функцийг харуулдаг y (x ), have derivative, into a function has к - n деривативууд.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь үл мэдэгдэх функц болон түүний деривативтай харьцуулахад шугаман тэгшитгэл юм. Энэ нь иймэрхүү байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

Энд p(x) ба q(x) нь (1) тэгшитгэлийг нэгтгэх шаардлагатай мужид үргэлжилсэн х-ийн функцууд өгөгдсөн.

Хэрэв q(x)\equiv0 бол (1) тэгшитгэлийг дуудна шугаман нэгэн төрлийн. Энэ нь салгаж болох тэгшитгэл бөгөөд ерөнхий шийдэлтэй

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\баруун)\!,

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж болно дурын тогтмолыг өөрчлөх арга, энэ нь (1) тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайж байгаа явдал юм

Y=C(x)\exp\!\зүүн(-\int(p(x))\,dx\баруун), энд C(x) нь x-ийн шинэ үл мэдэгдэх функц юм.

Жишээ 1. y"+2xy=2xe^(-x^2) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэцгээе. Энэхүү нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлд харгалзах нэгэн төрлийн y"+2xy=0 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Түүний ерөнхий шийдэл нь y=Ce^(-x^2) хэлбэртэй байна.

Бид нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг y=C(x)e^(-x^2) хэлбэрээр хайдаг бөгөөд C(x) нь х-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулбал C"(x)=2x, үүнээс C(x)=x^2+C болно. Тэгэхээр нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=(x^2+C)e^(-x^) болно. 2) , энд C - интегралын тогтмол.

Сэтгэгдэл.Дифференциал тэгшитгэл нь у-ийн функцээр x-д шугаман байна. Ийм тэгшитгэлийн хэвийн хэлбэр нь

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

Жишээ 2.Тэгшитгэлийг шийд \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

Шийдэл.Хэрэв бид x-г y-ийн функц гэж үзвэл энэ тэгшитгэл нь шугаман байна:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

Бид дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг ашигладаг. Эхлээд бид харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

Энэ нь салангид хувьсагчтай тэгшитгэл юм. Үүний ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг x=C(y)e^(\sin(y)) хэлбэрээр хайдаг бөгөөд C(y) нь у-ийн үл мэдэгдэх функц юм. Орлуулж, бид авдаг

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yэсвэл C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

Эндээс хэсэг хэсгээр нь нэгтгэх нь бидэнд бий

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

Тэгэхээр,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

Энэ тэгшитгэлийг x=C(y)e^(\sin(y)) гэж орлуулснаар бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

Анхны тэгшитгэлийг мөн дараах байдлаар нэгтгэж болно. Бид итгэж байна

Y=u(x)v(x),

Энд u(x) ба v(x) нь x-ийн үл мэдэгдэх функцууд бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь жишээ нь v(x)-ыг дур мэдэн сонгож болно.

y=u(x)v(x)-г -д орлуулснаар хувиргасны дараа олж авна

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 нөхцлөөс v(x)-ыг тодорхойлохдоо vu"+(pv+v")u=q(x)-аас u(x) функцийг олж, улмаар y=uv-ийн шийдийг олно. тэгшитгэл \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x)-ын хувьд бид тэгшитгэлийн аль ч байнгын шийдлийг авч болно v"+pv=0,~v\not\equiv0.

Жишээ 3.Кошигийн асуудлыг шийд: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

Шийдэл.Бид y=u(x)v(x) хэлбэрээр тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна; Бидэнд y"=u"v+uv" байна. Анхны тэгшитгэлд y ба y"-ийн илэрхийлэлийг орлуулбал бид дараах байдалтай болно.

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)эсвэл x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

Бид x(x-1)v"+v=0 нөхцөлөөс v=v(x) функцийг олно. Сүүлчийн тэгшитгэлийн аливаа тодорхой шийдийг авч, жишээ нь v=\frac(x)(x-1) ба түүнийг орлуулахад бид u"=2x-1 тэгшитгэлийг олж авах ба үүнээс u(x)=x^2-x+C функцийг олно. Тиймээс тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)болно

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),эсвэл y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

Анхны y|_(x=2)=4 нөхцөлийг ашиглан С-г олох тэгшитгэлийг олж авна 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, эндээс C=0; тэгэхээр заасан Коши бодлогын шийдэл нь y=x^2 функц байх болно.

Жишээ 4. R эсэргүүцэл ба өөрийн индукц L-тэй хэлхээнд гүйдэл i ба цахилгаан хөдөлгөгч хүч Е хооронд хамаарал байдаг нь мэдэгдэж байна. E=Ri+L\frac(di)(dt), энд R ба L тогтмол байна. Хэрэв бид E-г t хугацааны функц гэж үзвэл одоогийн i-ийн шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг олж авна.

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

Хэзээ тохиолдолд одоогийн хүчийг i(t) ол E=E_0=\text(const)мөн i(0)=I_0.

Шийдэл.Бидэнд байгаа \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Анхны нөхцөлийг (13) ашиглан бид -аас авна C=I_0-\frac(E_0)(R), тиймээс хүссэн шийдэл байх болно

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\баруун)\!e^(-(R/L)t).

Энэ нь t\to+\infty үед i(t) гүйдлийн хүч \frac(E_0)(R) тогтмол утга руу чиглэж байгааг харуулж байна.

Жишээ 5.Шугаман нэг төрлийн бус y"+p(x)y=q(x) тэгшитгэлийн интеграл муруй C_\alpha бүлгийг өгөв.

Шугаман тэгшитгэлээр тодорхойлсон C_\alpha муруйн харгалзах цэгүүдийн шүргэгч нь нэг цэгт огтлолцож байгааг харуул (Зураг 13).

Шийдэл. M(x,y) цэг дээрх дурын C_\alpha муруйн шүргэгчийг авч үзье

\eta-q(x)(\xi-x)=y, энд \xi,\eta нь шүргэгч цэгийн одоогийн координат юм.

Тодорхойлолтоор харгалзах цэгүүдэд х тогтмол, у хувьсагч байна. Харгалзах цэгүүдэд C_\alpha шулуунуудын аль ч хоёр шүргэгчийг авч үзвэл тэдгээрийн огтлолцлын S цэгийн координатыг олж авна.

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

Энэ нь харгалзах цэгүүд дэх C_\alpha муруйнуудын бүх шүргэгч (х тогтмол) нэг цэг дээр огтлолцдог болохыг харуулж байна.

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\баруун).

Систем дэх х аргументыг устгаснаар бид цэгийн байршлын тэгшитгэлийг олж авна S\колон f(\xi,\eta)=0.

Жишээ 6.Тэгшитгэлийн шийдийг ол y"-y=\cos(x)-\sin(x), нөхцөлийг хангаж байна: y нь y\to+\infty-д хязгаарлагдана.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=Ce^x+\sin(x) . C\ne0-ийн ерөнхий шийдээс олж авсан тэгшитгэлийн аливаа шийд нь хязгааргүй байх болно, учир нь x\to+\infty-ийн хувьд \sin(x) функц нь хязгаарлагдмал бөгөөд e^x\to+\infty . Үүнээс үзэхэд энэ тэгшитгэл нь x\to+\infty -д хязгаарлагдсан y=\sin(x) өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг C=0 цэгийн ерөнхий шийдээс олж авна.

Бернуллигийн тэгшитгэл

Бернуллигийн дифференциал тэгшитгэлшиг харагдаж байна

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, энд n\ne0;1 (n=0 ба n=1-ийн хувьд энэ тэгшитгэл шугаман байна).

Хувьсах орлуулалтыг ашиглах z=\frac(1)(y^(n-1))Бернуллигийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл болгон бууруулж, шугаман тэгшитгэл болгон нэгтгэв.

Жишээ 7.Бернуллигийн y"-xy=-xy^3 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Тэгшитгэлийн хоёр талыг y^3-т хуваа.

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

Хувьсагчийн өөрчлөлт хийх \frac(1)(y^2)=z\Баруун сум-\frac(2y")(y^3)=z", хаана \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Орлуулсны дараа сүүлчийн тэгшитгэл нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг

-\frac(z")(2)-xz=-xэсвэл z"+2xz=2x, ерөнхий шийдэл нь z=1+Ce^(-x^2).

Эндээс бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)эсвэл y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

Сэтгэгдэл.Бернуллигийн тэгшитгэлийг шугаман тэгшитгэл шиг тогтмол хэмжигдэхүүнийг вариацын аргаар y(x)=u(x)v(x) орлуулах аргаар нэгтгэж болно.

Жишээ 8.Бернуллигийн xy"+y=y^2\ln(x) тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.Дурын тогтмолыг өөрчлөх аргыг хэрэглэцгээе. Харгалзах нэгэн төрлийн xy"+y=0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y=\frac(C)(x) хэлбэртэй байна. Бид тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y=\frac(C(x)) хэлбэрээр хайдаг. (x) , энд C(x) - анхны тэгшитгэлд орлуулах шинэ үл мэдэгдэх функц байна

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) функцийг олохын тулд бид салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд үүнээс хувьсагчдыг салгаж, интегралчлах замаар бид олох болно.

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Баруун сум~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

Тэгэхээр анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

Зарим нэгдүгээр зэрэглэлийн шугаман бус тэгшитгэлийг хувьсагчийн амжилттай олсон өөрчлөлтийг ашиглан шугаман тэгшитгэл эсвэл Бернулли тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

Жишээ 9.Тэгшитгэлийг шийд y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах 2\cos^2\frac(y)(2), бид авдаг \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\операторын нэр(tg)\frac(y)(2)+x=0.

Солих \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))энэ тэгшитгэлийг шугаман болгож бууруулна \frac(dz)(dx)+z=-x, ерөнхий шийдэл нь z=1-x+Ce^(-x) .

z-г y-ийн илэрхийллээр орлуулснаар бид энэ тэгшитгэлийн ерөнхий интегралыг олж авна. \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

Зарим тэгшитгэлд хүссэн функц y(x) нь интеграл тэмдгийн дор байж болно. Эдгээр тохиолдолд заримдаа энэ тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл болгон багасгах боломжтой байдаг.

Жишээ 10.Тэгшитгэлийг шийд x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

Шийдэл.Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг x-тэй харьцуулбал бид олж авна

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)эсвэл мэдээллийн эх сурвалж