"Эрчим хүчний функц. Шинж чанар. График" сэдвээр хичээл, танилцуулга.
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.
11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
9-11-р ангийн "Тригонометр" интерактив гарын авлага
10-11-р ангийн "Логарифм" интерактив гарын авлага
Эрчим хүчний функцууд, тодорхойлолтын домэйн.
Залуус аа, сүүлийн хичээлээр бид рационал илтгэгчтэй тоонуудтай хэрхэн ажиллах талаар сурсан. Энэ хичээлээр бид чадлын функцуудыг авч үзээд илтгэгч нь оновчтой байх тохиолдлоор хязгаарлагдах болно.Бид дараах хэлбэрийн функцуудыг авч үзэх болно: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Эхлээд $\frac(m)(n)>1$ илтгэгч функцүүдийг авч үзье.
$y=x^2*5$ тодорхой функц өгье.
Сүүлийн хичээл дээр бидний өгсөн тодорхойлолтын дагуу: хэрэв $x≥0$ бол бидний функцийг тодорхойлох муж нь $(x)$ туяа болно. Функцийн графикийг бүдүүвчээр дүрсэлцгээе.
$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 функцийн шинж чанарууд 2. Энэ нь тэгш, сондгой ч биш.
3. $$-р өснө,
б) $(2,10)$,
в) $$ туяа дээр.
Шийдэл.
Залуус аа, бид 10-р ангид сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг хэрхэн олсоноо санаж байна уу?
Энэ нь зөв, бид деривативыг ашигласан. Жишээгээ шийдэж, хамгийн жижиг ба олох алгоритмыг давтъя хамгийн өндөр үнэ цэнэ.
1. Өгөгдсөн функцийн деривативыг ол.
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Дериватив нь анхны функцийг тодорхойлох бүхэл бүтэн мужид байдаг, тэгвэл ямар ч чухал цэг байхгүй. Тогтмол цэгүүдийг олцгооё:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ ба $x_2=\sqrt(64)=4$.
Өгөгдсөн сегмент нь зөвхөн нэг шийдлийг агуулна $x_2=4$.
Сегментийн төгсгөл ба экстремум цэг дээр функцийнхээ утгуудын хүснэгтийг байгуулъя.
Хариулт: $y_(нэр)=-862.65$ үед $x=9$; $y_(макс.)=38.4$, $x=4$.
Жишээ. Тэгшитгэлийг шийд: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Шийдэл. $y=x^(\frac(4)(3))$ функцийн график нэмэгдэж, $y=24-x$ функцийн график буурч байна. Залуус аа, та бид хоёр мэднэ: хэрэв нэг функц нэмэгдэж, нөгөө нь буурч байвал тэдгээр нь зөвхөн нэг цэг дээр огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл бидэнд зөвхөн нэг шийдэл байна.
Жич:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Өөрөөр хэлбэл, $x=8$ байхад бид $16=16$ зөв тэгшитгэлийг авсан бөгөөд энэ нь бидний тэгшитгэлийн шийдэл юм.
Хариулт: $x=8$.
Жишээ.
Функцийн график зур: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Шийдэл.
Манай функцын графикийг $y=x^(\frac(3)(4))$ функцийн графикаас 3 нэгж баруун тийш, 2 нэгж дээш шилжүүлж гаргав. 
Жишээ. $x=1$ цэг дээрх $y=x^(-\frac(4)(5))$ шулууны шүргэгчийн тэгшитгэлийг бич.
Шийдэл. Шүргэх тэгшитгэлийг бидний мэддэг томъёогоор тодорхойлно.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Манай тохиолдолд $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Деривативыг олцгооё:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Тооцоолъё:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Шүргэх тэгшитгэлийг олъё:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Хариулт: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Бие даан шийдвэрлэх асуудал
1. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол: $y=x^\frac(4)(3)$ сегмент дээр:a) $$.
б) $(4.50)$.
в) $$ туяа дээр.
3. Тэгшитгэлийг шийд: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Функцийн графикийг байгуул: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $x=1$ цэг дээрх $y=x^(-\frac(3)(7))$ шулуун шугамын шүргэгчийн тэгшитгэлийг үүсгэ.
Хаана функц X- хувьсах хэмжигдэхүүн, А– өгөгдсөн дугаарыг дуудаж байна Эрчим хүчний функц .
Хэрэв шугаман функц байвал түүний график нь шулуун байна (4.3-р догол мөр, 4.7-р зургийг үз).
Хэрэв тэгвэл - квадрат функц, түүний график нь парабол юм (4.3-р догол мөр, 4.8-р зургийг үз).
Хэрэв түүний график нь куб парабол юм (4.3-р догол мөр, 4.9-р зургийг үз).
Энэ бол урвуу функц юм
1. Домэйн: 
2. Олон утгатай:
3. Тэгш ба сондгой:функц нь сондгой юм.
4. Функцийн давтамж:үе үе бус.
5. Функцийн тэг: X= 0 - цорын ганц тэг.
6. Функц нь хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгатай байдаггүй.
7.
8. Функцийн графикШулуун шугамтай харьцуулахад куб параболын графикт тэгш хэмтэй байна Y=Xба Зураг дээр үзүүлэв. 5.1.
 |
Эрчим хүчний функц
1. Домэйн: 
2. Олон утгатай:
3. Тэгш ба сондгой:функц нь жигд байна.
4. Функцийн давтамж:үе үе бус.
5. Функцийн тэг:ганц тэг X = 0.
6. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд:нь хамгийн бага утгыг авдаг X= 0, энэ нь 0-тэй тэнцүү байна.
7. Интервалыг нэмэгдүүлэх, багасгах:функц нь интервал дээр буурч, интервал дээр нэмэгдэж байна
8. Функцийн график(тус бүр Н Î Н) нь квадрат параболын графиктай "ижил төстэй" байна (функцийн графикийг 5.2-р зурагт үзүүлэв).
Эрчим хүчний функц
1. Домэйн:
2. Олон утгатай: 
3. Тэгш ба сондгой:функц нь сондгой юм.
4. Функцийн давтамж:үе үе бус.
5. Функцийн тэг: X= 0 - цорын ганц тэг.
6. Хамгийн их ба хамгийн бага утга:
7. Интервалыг нэмэгдүүлэх, багасгах:функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгдэж байна.
8. Функцийн график(тус бүрийн хувьд) нь куб параболын графиктай "ижил төстэй" байна (функцийн графикийг 5.3-р зурагт үзүүлэв).
 |
Эрчим хүчний функц
1. Домэйн:
2. Олон утгатай:
3. Тэгш ба сондгой:функц нь сондгой юм.
4. Функцийн давтамж:үе үе бус.
5. Функцийн тэг:тэг байхгүй.
6. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд:Энэ функц нь аль нэгнийх нь хувьд хамгийн том, хамгийн бага утгыг агуулдаггүй
7. Интервалыг нэмэгдүүлэх, багасгах:функц нь өөрийн тодорхойлолтын хүрээнд буурч байна.
8. Асимптотууд:(тэнхлэг OU) – босоо асимптот;
(тэнхлэг Өө) – хэвтээ асимптот.
9. Функцийн график(хэнд ч Н) нь гиперболын графиктай "ижил төстэй" байна (функцийн графикийг 5.4-р зурагт үзүүлэв).
 |
Эрчим хүчний функц
1. Домэйн:
2. Олон утгатай:
3. Тэгш ба сондгой:функц нь жигд байна.
4. Функцийн давтамж:үе үе бус.
5. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд:Энэ функц нь аль нэгнийх нь хувьд хамгийн том, хамгийн бага утгыг агуулдаггүй
6. Интервалыг нэмэгдүүлэх, багасгах:функц нь нэмэгдэж, буурч байна
7. Асимптотууд: X= 0 (тэнхлэг OU) – босоо асимптот;
Ю= 0 (тэнхлэг Өө) – хэвтээ асимптот.
8. Функцийн графикуудЭдгээр нь квадрат гипербол (Зураг 5.5).
 |
Эрчим хүчний функц
1. Домэйн:
2. Олон утгатай:
3. Тэгш ба сондгой:функц нь тэгш, сондгой гэсэн шинж чанартай байдаггүй.
4. Функцийн давтамж:үе үе бус.
5. Функцийн тэг: X= 0 - цорын ганц тэг.
6. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд:функц нь цэг дээр 0-тэй тэнцүү хамгийн бага утгыг авдаг X= 0; хамгийн чухал биш.
7. Интервалыг нэмэгдүүлэх, багасгах:функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгдэж байна.
8. Тодорхой илтгэгчийн ийм функц бүр нь өгөгдсөн функцийн урвуу функц юм
9. Функцийн графикаль ч функцийн графиктай "санаатай" Нба Зураг дээр үзүүлэв. 5.6.
Эрчим хүчний функц
1. Домэйн:
2. Олон утгатай:
3. Тэгш ба сондгой:функц нь сондгой юм.
4. Функцийн давтамж:үе үе бус.
5. Функцийн тэг: X= 0 - цорын ганц тэг.
6. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд:Энэ функц нь аль нэгнийх нь хувьд хамгийн том, хамгийн бага утгыг агуулдаггүй
7. Интервалыг нэмэгдүүлэх, багасгах:функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгдэж байна.
8. Функцийн графикЗурагт үзүүлэв. 5.7.
 |
Бүхэл тоо бүхий чадлын функцүүдийн шинж чанар, графикийг эргэн санацгаая сөрөг үзүүлэлт.
n-ийн хувьд:
Жишээ функц:
Ийм функцүүдийн бүх графикууд нь хоёр тогтмол цэгээр дамждаг: (1;1), (-1;1). Энэ төрлийн функцүүдийн онцлог нь тэдгээрийн паритет юм; графикууд нь op-amp тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг.
Цагаан будаа. 1. Функцийн график
сондгой n хувьд:
Жишээ функц:
Ийм функцүүдийн бүх графикууд нь хоёр тогтмол цэгээр дамждаг: (1;1), (-1;-1). Энэ төрлийн функцүүдийн онцлог нь сондгой, графикууд нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг.
Цагаан будаа. 2. Функцийн график
Үндсэн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.
Рационал эерэг илтгэгчтэй сөрөг бус a тооны хүчийг тоо гэнэ.
Рационал сөрөг илтгэгчтэй эерэг а тооны хүчийг тоо гэнэ.
Тэгш байдлын хувьд:
Жишээлбэл: 
; - Тодорхойлолтоор сөрөг рациональ илтгэгчтэй зэрэглэлийн илэрхийлэл байхгүй; илтгэгч нь бүхэл тоо учраас оршин байна, 
Рационал сөрөг илтгэгчтэй чадлын функцуудыг авч үзье.
Жишээлбэл:
Энэ функцийн графикийг зурахын тулд та хүснэгт үүсгэж болно. Бид үүнийг өөрөөр хийх болно: эхлээд хуваагчийн графикийг барьж, судлах болно - энэ нь бидэнд мэдэгдэж байна (Зураг 3).
Цагаан будаа. 3. Функцийн график
Хуваарийн функцийн график нь тогтмол цэгээр (1;1) дамждаг. Анхны функцийг зурахдаа өгсөн оноохэвээр үлдэнэ, үндэс нь мөн тэг рүү чиглэх үед функц нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Мөн эсрэгээр, x нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул функц нь тэг рүү чиглэдэг (Зураг 4).
Цагаан будаа. 4. Функцийн график
Судалж буй функцүүдийн бүлгээс өөр нэг функцийг авч үзье.
Тодорхойлолтоор энэ нь чухал юм
Функцийн графикийг хуваарьт авч үзье: , энэ функцийн график нь бидэнд мэдэгдэж байгаа бөгөөд энэ нь өөрийн тодорхойлолтын мужид нэмэгдэж, (1;1) цэгээр дамжин өнгөрдөг (Зураг 5).
Цагаан будаа. 5. Функцийн график
Анхны функцийн графикийг зурахад (1;1) цэг хэвээр байх ба язгуур нь мөн тэг рүү чиглэдэг бол функц нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Мөн эсрэгээр, x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдаг тул функц нь тэг рүү чиглэдэг (Зураг 6).
Цагаан будаа. 6. Функцийн график
Үзсэн жишээнүүд нь график хэрхэн урсаж байгаа, судалж буй функцийн шинж чанарууд юу болохыг ойлгоход тусална - сөрөг рационал экспонент бүхий функц.
Энэ бүлгийн функцүүдийн графикууд (1;1) цэгээр дамждаг бөгөөд функц нь тодорхойлолтын бүх мужид буурдаг.
Функцийн хамрах хүрээ: 
Функц нь дээрээс хязгаарлагдахгүй, доороос нь хязгаарлагддаг. Функц нь хамгийн их ч биш, аль нь ч байхгүй хамгийн бага утга.
Функц нь тасралтгүй бөгөөд тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх бүх эерэг утгыг авдаг.
Функц нь доошоо гүдгэр (Зураг 15.7)
А ба В цэгүүдийг муруй дээр авч, тэдгээрийн дундуур сегментийг зурж, бүх муруй нь сегментийн доор байрладаг. энэ нөхцөлмуруй дээрх дурын хоёр цэгийн хувьд хангагдсан тул функц нь доошоо гүдгэр байна. Цагаан будаа. 7.
Цагаан будаа. 7. Функцийн гүдгэр байдал
Энэ гэр бүлийн функцууд нь доороос тэгээр хязгаарлагддаг боловч хамгийн бага утгатай биш гэдгийг ойлгох нь чухал юм.
Жишээ 1 - \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] интервал дээрх функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг ол.
График (Зураг 2).
Зураг 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ функцийн график
Байгалийн сондгой илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд
Тодорхойлолтын талбар нь бүх бодит тоо юм.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функц нь сондгой.
$f(x)$ нь тодорхойлолтын бүх домайн дээр тасралтгүй байна.
Хүрээ нь бүх бодит тоо юм.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгддэг.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\зүүн(x\баруун))=(\зүүн(\зүүн(2n-1\баруун)\cdot x^(2\left(n-1\баруун))\баруун))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Энэ функц нь $x\in (-\infty ,0)$ хувьд хотгор, $x\in (0,+\infty)$ хувьд гүдгэр байна.
График (Зураг 3).
Зураг 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ функцийн график
Бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц
Эхлээд бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэг гэдэг ойлголтыг танилцуулъя.
Тодорхойлолт 3
$n$ бүхэл илтгэгчтэй $a$ бодит тооны хүчийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
Зураг 4.
Одоо бүхэл тоон илтгэгчтэй чадлын функц, түүний шинж чанар, графикийг авч үзье.
Тодорхойлолт 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ нь бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц гэж нэрлэгддэг.
Хэрэв зэрэг нь тэгээс их байвал натурал илтгэгчтэй чадлын функцийн тохиолдол руу шилжинэ. Бид энэ талаар дээр аль хэдийн хэлэлцсэн. $n=0$-д бид авна шугаман функц$y=1$. Үүнийг бид уншигчдад үлдээх болно. Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функцийн шинж чанарыг авч үзэх хэвээр байна
Сөрөг бүхэл илтгэгчтэй чадлын функцийн шинж чанарууд
Тодорхойлолтын домайн нь $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ байна.
Экспонент нь тэгш бол функц нь тэгш, сондгой бол функц сондгой байна.
$f(x)$ нь тодорхойлолтын бүх домайн дээр тасралтгүй байна.
Хамрах хүрээ:
Хэрэв илтгэгч тэгш байвал $(0,+\infty)$; сондгой бол $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Сондгой илтгэгчийн хувьд функц нь $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ болж буурдаг. Хэрэв экспонент тэгш бол функц нь $x\in (0,+\infty)$ болж буурна. ба $x\in \left(-\infty ,0\right)$ болж нэмэгдэнэ.
$f(x)\ge 0$ тодорхойлолтын бүх домайн дээр
