Persamaan kuadratik - mudah untuk diselesaikan! *Selepas ini dirujuk sebagai “KU”. Kawan-kawan, nampaknya tidak ada yang lebih mudah dalam matematik daripada menyelesaikan persamaan sedemikian. Tetapi sesuatu memberitahu saya bahawa ramai orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tera atas permintaan Yandex berikan setiap bulan. Inilah yang berlaku, lihat:
Apakah maksudnya? Ini bermakna kira-kira 70,000 orang setiap bulan sedang mencari maklumat ini, apakah kaitan musim panas ini dengannya, dan apa yang akan berlaku di kalangan tahun sekolah— akan ada dua kali lebih banyak permintaan. Ini tidak menghairankan, kerana lelaki dan perempuan yang lulus dari sekolah lama dahulu dan sedang bersiap untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu sedang mencari maklumat ini, dan pelajar sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.
Walaupun terdapat banyak tapak yang memberitahu anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk turut menyumbang dan menerbitkan bahan tersebut. Pertama, saya mahu pelawat datang ke tapak saya berdasarkan permintaan ini; kedua, dalam artikel lain, apabila topik "KU" muncul, saya akan memberikan pautan kepada artikel ini; ketiga, saya akan memberitahu anda lebih sedikit tentang penyelesaiannya daripada yang biasanya dinyatakan di tapak lain. Mari kita mulakan! Kandungan artikel:
Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk:
di mana pekali a,bdan c ialah nombor arbitrari, dengan a≠0.
Dalam kursus sekolah, bahan diberikan dalam bentuk berikut - persamaan dibahagikan kepada tiga kelas:
1. Mereka mempunyai dua akar.
2. *Mempunyai satu punca sahaja.
3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu diperhatikan terutamanya di sini bahawa mereka tidak mempunyai akar sebenar
Bagaimanakah akar dikira? Cuma!
Kami mengira diskriminasi. Di bawah perkataan "mengerikan" ini terdapat formula yang sangat mudah:
Rumus akar adalah seperti berikut:
*Anda perlu mengetahui formula ini dengan hati.
Anda boleh segera menulis dan menyelesaikan:
Contoh:
1. Jika D > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca.
2. Jika D = 0, maka persamaan itu mempunyai satu punca.
3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Mari kita lihat persamaan:
Oleh pada kesempatan ini, apabila diskriminasi sama dengan sifar, kursus sekolah mengatakan bahawa hasilnya adalah satu punca, di sini ia sama dengan sembilan. Semuanya betul, memang begitu, tetapi...
Idea ini agak tidak betul. Sebenarnya, terdapat dua akar. Ya, ya, jangan terkejut, anda mendapat dua punca yang sama, dan untuk menjadi tepat secara matematik, maka jawapannya harus menulis dua punca:
x 1 = 3 x 2 = 3
Tetapi ini begitu - penyimpangan kecil. Di sekolah anda boleh menulisnya dan mengatakan bahawa terdapat satu akar.
Sekarang contoh seterusnya:
Seperti yang kita ketahui, punca nombor negatif tidak diekstrak, jadi penyelesaian dalam dalam kes ini Tidak.
Itulah keseluruhan proses keputusan.
Fungsi kuadratik.
Ini menunjukkan rupa penyelesaian secara geometri. Ini amat penting untuk difahami (pada masa hadapan, dalam salah satu artikel kami akan menganalisis secara terperinci penyelesaian kepada ketaksamaan kuadratik).
Ini adalah fungsi borang:
di mana x dan y ialah pembolehubah
a, b, c – nombor yang diberi, dengan ≠ 0
Graf ialah parabola:
Iaitu, ternyata bahawa dengan menyelesaikan persamaan kuadratik dengan "y" sama dengan sifar, kita dapati titik persilangan parabola dengan paksi x. Terdapat dua daripada perkara ini (diskriminan adalah positif), satu (diskriminan adalah sifar) dan tiada (diskriminasi adalah negatif). Butiran tentang fungsi kuadratik Anda boleh melihat artikel oleh Inna Feldman.
Mari lihat contoh:
Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Jawapan: x 1 = 8 x 2 = –12
*Ia adalah mungkin untuk segera meninggalkan dan sebelah kanan bahagikan persamaan dengan 2, iaitu, permudahkan. Pengiraan akan lebih mudah.
Contoh 2: buat keputusan x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Kami mendapati bahawa x 1 = 11 dan x 2 = 11
Ia dibenarkan untuk menulis x = 11 dalam jawapan.
Jawapan: x = 11
Contoh 3: buat keputusan x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminasi adalah negatif, tiada penyelesaian dalam nombor nyata.
Jawapan: tiada penyelesaian
Diskriminasi adalah negatif. Ada penyelesaiannya!
Di sini kita akan bercakap tentang menyelesaikan persamaan dalam kes apabila diskriminasi negatif diperoleh. Adakah anda tahu apa-apa tentang nombor kompleks? Saya tidak akan menerangkan secara terperinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apakah peranan dan keperluan khusus mereka dalam matematik; ini adalah topik untuk artikel berasingan yang besar.
Konsep nombor kompleks.
Sedikit teori.
Nombor kompleks z ialah nombor bagi bentuk
z = a + bi
di mana a dan b ialah nombor nyata, i ialah unit khayalan yang dipanggil.
a+bi – ini adalah NOMBOR TUNGGAL, bukan tambahan.
Unit khayalan adalah sama dengan punca tolak satu:
Sekarang pertimbangkan persamaan:
Kami mendapat dua akar konjugat.
Persamaan kuadratik tidak lengkap.
Mari kita pertimbangkan kes khas, ini adalah apabila pekali "b" atau "c" bersamaan dengan sifar (atau kedua-duanya sama dengan sifar). Mereka boleh diselesaikan dengan mudah tanpa sebarang diskriminasi.
Kes 1. Pekali b = 0.
Persamaan menjadi:
Mari kita ubah:
Contoh:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Kes 2. Pekali c = 0.
Persamaan menjadi:
Mari kita ubah dan pemfaktoran:
*Produk adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar.
Contoh:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Kes 3. Pekali b = 0 dan c = 0.
Di sini adalah jelas bahawa penyelesaian kepada persamaan akan sentiasa x = 0.
Sifat berguna dan corak pekali.
Terdapat sifat yang membolehkan anda menyelesaikan persamaan dengan pekali yang besar.
Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang
a + b+ c = 0, Itu
- jika bagi pekali persamaan Ax 2 + bx+ c=0 kesaksamaan dipegang
a+ c =b, Itu
Sifat ini membantu menyelesaikan jenis persamaan tertentu.
Contoh 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Jumlah kemungkinan ialah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, yang bermaksud
Contoh 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Kesaksamaan dipegang a+ c =b, Bermakna
Keteraturan pekali.
1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 pekali "b" adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali "c" secara berangka sama dengan pekali "a", maka puncanya adalah sama.
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Contoh. Pertimbangkan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Jika dalam persamaan ax 2 – bx + c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 +1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Contoh. Pertimbangkan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Jika dalam Pers. ax 2 + bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali “c” secara berangka sama dengan pekali "a", maka akarnya adalah sama
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Contoh. Pertimbangkan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Jika dalam persamaan ax 2 – bx – c = 0 pekali “b” adalah sama dengan (a 2 – 1), dan pekali c secara berangka sama dengan pekali “a”, maka punca-puncanya adalah sama.
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Contoh. Pertimbangkan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Teorem Vieta.
Teorem Vieta dinamakan sempena ahli matematik Perancis terkenal Francois Vieta. Menggunakan teorem Vieta, kita boleh menyatakan jumlah dan hasil darab punca KU sewenang-wenangnya dari segi pekalinya.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Secara keseluruhan, nombor 14 hanya memberikan 5 dan 9. Ini adalah akar. Dengan kemahiran tertentu, menggunakan teorem yang dibentangkan, anda boleh menyelesaikan banyak persamaan kuadratik secara lisan serta-merta.
Teorem Vieta, sebagai tambahan. mudah kerana selepas menyelesaikan persamaan kuadratik akar yang terhasil boleh disemak dengan cara biasa (melalui diskriminasi). Saya mengesyorkan melakukan ini sentiasa.
KAEDAH PENGANGKUTAN
Dengan kaedah ini, pekali "a" didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dilemparkan" kepadanya, itulah sebabnya ia dipanggil kaedah "pemindahan". Kaedah ini digunakan apabila punca-punca persamaan boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.
Jika A± b+c≠ 0, maka teknik pemindahan digunakan, contohnya:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Menggunakan teorem Vieta dalam persamaan (2), adalah mudah untuk menentukan bahawa x 1 = 10 x 2 = 1
Akar-akar persamaan yang terhasil mesti dibahagikan dengan 2 (memandangkan kedua-duanya "dilemparkan" daripada x 2), kita dapat
x 1 = 5 x 2 = 0.5.
Apakah rasionalnya? Lihat apa yang berlaku.
Diskriminasi persamaan (1) dan (2) adalah sama:
Jika anda melihat punca-punca persamaan, anda hanya mendapat penyebut yang berbeza, dan hasilnya bergantung tepat pada pekali x 2:
Yang kedua (diubah suai) mempunyai akar yang 2 kali lebih besar.
Oleh itu, kami membahagikan hasilnya dengan 2.
*Jika kita melancarkan semula ketiga-tiga, kita akan membahagikan hasilnya dengan 3, dsb.
Jawapan: x 1 = 5 x 2 = 0.5
Sq. ur-ie dan Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Saya akan memberitahu anda secara ringkas tentang kepentingannya - ANDA MESTI BOLEH MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berfikir, anda perlu mengetahui formula akar dan diskriminasi dengan hati. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu bermuara kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (termasuk yang geometri).
Sesuatu yang patut diberi perhatian!
1. Bentuk penulisan persamaan boleh "tersirat". Sebagai contoh, entri berikut mungkin:
15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.
Awak perlu bawa dia ke pandangan standard(supaya tidak keliru ketika membuat keputusan).
2. Ingat bahawa x ialah kuantiti yang tidak diketahui dan ia boleh dilambangkan dengan mana-mana huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.
Dalam artikel ini kita akan melihat penyelesaian persamaan kuadratik tidak lengkap.
Tetapi pertama, mari kita ulang apa persamaan yang dipanggil kuadratik. Persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana x ialah pembolehubah, dan pekali a, b dan c ialah beberapa nombor, dan a ≠ 0, dipanggil segi empat sama. Seperti yang kita lihat, pekali untuk x 2 tidak sama dengan sifar, dan oleh itu pekali untuk x atau sebutan bebas boleh sama dengan sifar, dalam hal ini kita mendapat persamaan kuadratik yang tidak lengkap.
Terdapat tiga jenis persamaan kuadratik tidak lengkap:
1) Jika b = 0, c ≠ 0, maka ax 2 + c = 0;
2) Jika b ≠ 0, c = 0, maka ax 2 + bx = 0;
3) Jika b = 0, c = 0, maka ax 2 = 0.
- Mari kita fikirkan bagaimana untuk menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.
Untuk menyelesaikan persamaan, kita memindahkan sebutan bebas c ke sebelah kanan persamaan, kita dapat
ax 2 = ‒s. Oleh kerana a ≠ 0, kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan a, maka x 2 = ‒c/a.
Jika ‒с/а > 0, maka persamaan itu mempunyai dua punca
x = ±√(–c/a) .
Jika ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Mari kita cuba memahami dengan contoh bagaimana untuk menyelesaikan persamaan tersebut.
Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 ‒ 32 = 0.
Jawapan: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.
Jawapan: persamaan tidak mempunyai penyelesaian.
- Mari kita fikirkan bagaimana untuk menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.
Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx = 0, mari kita memfaktorkannya, iaitu, ambil x daripada kurungan, kita dapat x(ax + b) = 0. Hasil darab adalah sama dengan sifar jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama. kepada sifar. Kemudian sama ada x = 0, atau ax + b = 0. Menyelesaikan persamaan ax + b = 0, kita dapat ax = - b, dari mana x = - b/a. Persamaan bentuk ax 2 + bx = 0 sentiasa mempunyai dua punca x 1 = 0 dan x 2 = ‒ b/a. Lihat rupa penyelesaian kepada persamaan jenis ini dalam rajah. 
Mari kita satukan pengetahuan kita dengan contoh khusus.
Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 ‒ 12x = 0.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 atau 3x – 12 = 0
Jawapan: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Persamaan jenis ketiga ax 2 = 0 diselesaikan dengan sangat mudah.
Jika ax 2 = 0, maka x 2 = 0. Persamaan mempunyai dua punca yang sama x 1 = 0, x 2 = 0.
Untuk kejelasan, mari lihat gambar rajah. 
Marilah kita pastikan semasa menyelesaikan Contoh 4 bahawa persamaan jenis ini boleh diselesaikan dengan sangat mudah.
Contoh 4. Selesaikan persamaan 7x 2 = 0.
Jawapan: x 1, 2 = 0.
Ia tidak selalu jelas dengan segera jenis persamaan kuadratik tidak lengkap yang perlu kita selesaikan. Pertimbangkan contoh berikut.
Contoh 5. Selesaikan persamaan
Mari kita darab kedua-dua belah persamaan dengan penyebut sepunya, iaitu, dengan 30
Mari kita mengurangkannya
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.
Jom buka kurungan
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.
Mari kita berikan yang serupa
Mari kita gerakkan 99 dari sebelah kiri persamaan ke kanan, menukar tanda ke sebaliknya
Jawapan: tiada akar.
Kami melihat bagaimana persamaan kuadratik tidak lengkap diselesaikan. Saya berharap bahawa sekarang anda tidak akan menghadapi sebarang kesulitan dengan tugasan sedemikian. Berhati-hati apabila menentukan jenis persamaan kuadratik yang tidak lengkap, maka anda akan berjaya.
Jika anda mempunyai soalan mengenai topik ini, daftarlah untuk pelajaran saya, kami akan menyelesaikan masalah yang timbul bersama-sama.
laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.
Contohnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminasi akan sama dengan \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), ia akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Diskriminasi dilambangkan dengan \(D\) dan sering digunakan dalam penyelesaian. Selain itu, dengan nilai diskriminasi, anda boleh memahami rupa graf yang lebih kurang (lihat di bawah).
Diskriminasi dan punca-punca persamaan kuadratik
Nilai diskriminasi menunjukkan bilangan persamaan kuadratik:
- jika \(D\) adalah positif, persamaan akan mempunyai dua punca;
- jika \(D\) sama dengan sifar – terdapat hanya satu punca;
- jika \(D\) negatif, tiada punca.
Ini tidak perlu diajar, tidak sukar untuk membuat kesimpulan sedemikian, hanya mengetahui bahawa dari diskriminasi (iaitu, \(\sqrt(D)\) termasuk dalam formula untuk mengira punca kuadratik persamaan: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Mari kita lihat setiap kes dengan lebih terperinci.
Sekiranya diskriminasi itu positif
Dalam kes ini, puncanya ialah beberapa nombor positif, yang bermaksud \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan mempunyai makna yang berbeza, kerana dalam formula pertama \(\sqrt(D)\ ) ditambah , dan pada yang kedua ia ditolak. Dan kita mempunyai dua akar yang berbeza.
Contoh
: Cari punca-punca persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Penyelesaian
:
Jawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Jika diskriminasi adalah sifar
Berapa banyak punca yang akan ada jika diskriminasi adalah sifar? Mari beralasan.
Rumus akar kelihatan seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminasi adalah sifar, maka akarnya juga sifar. Kemudian ternyata:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Iaitu, nilai akar persamaan akan sama, kerana menambah atau menolak sifar tidak mengubah apa-apa.
Contoh
: Cari punca-punca persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Penyelesaian
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Kami menulis pekali: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Kami mengira diskriminasi menggunakan formula \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Mencari punca-punca persamaan |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Kami mendapat dua akar yang sama, jadi tidak ada gunanya menulisnya secara berasingan - kami menulisnya sebagai satu. |
Jawab : \(x=2\)
Masalah persamaan kuadratik juga dikaji dalam kurikulum sekolah dan di universiti. Mereka bermaksud persamaan bentuk a*x^2 + b*x + c = 0, di mana x- pembolehubah, a, b, c – pemalar; a<>0 . Tugasnya ialah mencari punca-punca persamaan.
Makna geometri persamaan kuadratik
Graf fungsi yang diwakili oleh persamaan kuadratik ialah parabola. Penyelesaian (akar) persamaan kuadratik ialah titik persilangan parabola dengan paksi absis (x). Ia berikutan bahawa terdapat tiga kes yang mungkin:
1) parabola tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi absis. Ini bermakna ia berada di satah atas dengan cawangan ke atas atau bahagian bawah dengan cawangan ke bawah. Dalam kes sedemikian, persamaan kuadratik tidak mempunyai punca sebenar (ia mempunyai dua punca kompleks).
2) parabola mempunyai satu titik persilangan dengan paksi Lembu. Titik sedemikian dipanggil puncak parabola, dan persamaan kuadratik padanya memperoleh nilai minimum atau maksimumnya. Dalam kes ini, persamaan kuadratik mempunyai satu punca nyata (atau dua punca yang sama).
3) Kes terakhir lebih menarik dalam amalan - terdapat dua titik persilangan parabola dengan paksi absis. Ini bermakna terdapat dua punca sebenar persamaan.
Berdasarkan analisis pekali kuasa pembolehubah, kesimpulan yang menarik boleh dibuat tentang peletakan parabola.
1) Jika pekali a lebih besar daripada sifar, maka cabang parabola diarahkan ke atas; jika negatif, cabang parabola diarahkan ke bawah.
2) Jika pekali b lebih besar daripada sifar, maka puncak parabola terletak pada separuh satah kiri, jika ia mengambil nilai negatif, maka di sebelah kanan.
Terbitan formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik
Mari kita pindahkan pemalar daripada persamaan kuadratik 
untuk tanda sama, kita mendapat ungkapan
Darab kedua-dua belah dengan 4a 
Untuk pergi ke kiri segi empat tepat tambah b^2 pada kedua-dua belah dan jalankan penjelmaan
Dari sini kita dapati
Formula untuk diskriminasi dan punca persamaan kuadratik
Diskriminasi ialah nilai ungkapan radikal. Jika ia positif, maka persamaan mempunyai dua punca nyata, dikira dengan formula 
Apabila diskriminasi adalah sifar, persamaan kuadratik mempunyai satu penyelesaian (dua punca bertepatan), yang boleh didapati dengan mudah daripada formula di atas untuk D = 0. diskriminasi negatif tiada persamaan punca sebenar. Walau bagaimanapun, penyelesaian kepada persamaan kuadratik ditemui dalam satah kompleks, dan nilainya dikira menggunakan formula 
Teorem Vieta
Mari kita pertimbangkan dua punca persamaan kuadratik dan bina persamaan kuadratik berdasarkan asasnya. Teorem Vieta itu sendiri mudah mengikuti dari notasi: jika kita mempunyai persamaan kuadratik bentuk 
maka jumlah puncanya adalah sama dengan pekali p yang diambil daripada tanda bertentangan, dan hasil darab punca-punca persamaan adalah sama dengan sebutan bebas q. Perwakilan formula di atas akan kelihatan seperti Jika dalam persamaan klasik pemalar a adalah bukan sifar, maka anda perlu membahagikan keseluruhan persamaan dengannya, dan kemudian menggunakan teorem Vieta.
Jadual persamaan kuadratik pemfaktoran
Biarkan tugasan ditetapkan: faktorkan persamaan kuadratik. Untuk melakukan ini, kita terlebih dahulu menyelesaikan persamaan (cari punca). Seterusnya, kita menggantikan punca yang ditemui ke dalam formula pengembangan untuk persamaan kuadratik. Ini akan menyelesaikan masalah.
Masalah persamaan kuadratik
Tugasan 1. Cari punca-punca persamaan kuadratik
x^2-26x+120=0 .
Penyelesaian: Tuliskan pekali dan gantikannya ke dalam formula diskriminasi
Punca nilai ini ialah 14, ia mudah dicari dengan kalkulator, atau ingat dengan penggunaan yang kerap, bagaimanapun, untuk kemudahan, pada akhir artikel saya akan memberikan anda senarai petak nombor yang sering dijumpai dalam masalah sebegini.
Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula akar 
dan kita dapat 
Tugasan 2. Selesaikan persamaan
2x 2 +x-3=0.
Penyelesaian: Kami mempunyai persamaan kuadratik lengkap, tulis pekali dan cari diskriminasi 
Oleh formula yang diketahui mencari punca-punca persamaan kuadratik 
Tugasan 3. Selesaikan persamaan
9x 2 -12x+4=0.
Penyelesaian: Kami mempunyai persamaan kuadratik lengkap. Menentukan diskriminasi
Kami mendapat kes di mana akarnya bertepatan. Cari nilai akar menggunakan formula 
Tugasan 4. Selesaikan persamaan
x^2+x-6=0 .
Penyelesaian: Dalam kes di mana terdapat pekali kecil untuk x, adalah dinasihatkan untuk menggunakan teorem Vieta. Dengan keadaannya kita memperoleh dua persamaan
Daripada syarat kedua kita dapati bahawa produk mestilah sama dengan -6. Ini bermakna bahawa salah satu akar adalah negatif. Kami mempunyai pasangan penyelesaian yang mungkin berikut (-3;2), (3;-2) . Dengan mengambil kira syarat pertama, kami menolak pasangan penyelesaian kedua.
Punca-punca persamaan adalah sama
Masalah 5. Cari panjang sisi sebuah segi empat tepat jika perimeternya ialah 18 cm dan luasnya ialah 77 cm 2.
Penyelesaian: Separuh perimeter segi empat tepat adalah sama dengan hasil tambah sisi bersebelahan. Mari kita nyatakan x sebagai sisi yang lebih besar, maka 18-x ialah sisi yang lebih kecil. Luas segi empat tepat adalah sama dengan hasil darab panjang ini:
x(18-x)=77;
atau
x 2 -18x+77=0.
Mari kita cari diskriminasi persamaan
Mengira punca-punca persamaan 
Jika x=11, Itu 18's=7 , sebaliknya juga benar (jika x=7, maka 21's=9).
Masalah 6. Faktorkan persamaan kuadratik 10x 2 -11x+3=0.
Penyelesaian: Mari kita hitung punca persamaan, untuk melakukan ini kita dapati diskriminasi 
Kami menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula akar dan mengira 
Kami menggunakan formula untuk mengurai persamaan kuadratik dengan punca 
Membuka kurungan kita memperoleh identiti.
Persamaan kuadratik dengan parameter
Contoh 1. Apakah nilai parameter A , adakah persamaan (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 mempunyai satu punca?
Penyelesaian: Dengan penggantian langsung nilai a=3 kita melihat bahawa ia tidak mempunyai penyelesaian. Seterusnya, kita akan menggunakan fakta bahawa dengan diskriminasi sifar persamaan mempunyai satu punca multiplicity 2. Mari kita tuliskan diskriminasi 
Mari kita permudahkan dan samakan dengan sifar
Kami telah memperoleh persamaan kuadratik berkenaan dengan parameter a, penyelesaiannya boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta. Jumlah punca ialah 7, dan hasil darabnya ialah 12. Dengan carian mudah kita menetapkan bahawa nombor 3,4 akan menjadi punca persamaan. Oleh kerana kita sudah menolak penyelesaian a=3 pada permulaan pengiraan, satu-satunya yang betul ialah - a=4. Oleh itu, untuk a=4 persamaan mempunyai satu punca.
Contoh 2. Apakah nilai parameter A , persamaan a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 mempunyai lebih daripada satu punca?
Penyelesaian: Mari kita pertimbangkan titik tunggal, ia akan menjadi nilai a=0 dan a=-3. Apabila a=0, persamaan akan dipermudahkan kepada bentuk 6x-9=0; x=3/2 dan akan ada satu punca. Untuk a= -3 kita memperoleh identiti 0=0.
Mari kita mengira diskriminasi 
dan cari nilai a di mana ia adalah positif 
Daripada syarat pertama kita mendapat a>3. Untuk yang kedua, kita dapati diskriminasi dan punca persamaan 
Mari kita tentukan selang di mana fungsi mengambil nilai positif. Dengan menggantikan titik a=0 kita dapat 3>0
.
Jadi, di luar selang (-3;1/3) fungsinya adalah negatif. Jangan lupa maksudnya a=0, yang harus dikecualikan kerana ia persamaan asal mempunyai satu akar.
Akibatnya, kami memperoleh dua selang yang memenuhi syarat masalah 
Terdapat banyak tugas yang serupa dalam amalan, cuba fikirkan tugas itu sendiri dan jangan lupa untuk mengambil kira syarat-syarat yang saling eksklusif. Kaji dengan baik formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik; ia sering diperlukan dalam pengiraan dalam pelbagai masalah dan sains.
Diskriminasi, seperti persamaan kuadratik, mula dipelajari dalam kursus algebra dalam gred 8. Anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi dan menggunakan teorem Vieta. Kaedah mengkaji persamaan kuadratik, serta formula diskriminasi, agak tidak berjaya diajarkan kepada pelajar sekolah, seperti banyak perkara dalam pendidikan sebenar. Oleh itu mereka lulus tahun sekolah, pendidikan dalam gred 9-11 menggantikan " pendidikan tinggi"dan semua orang melihat lagi - "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik?", "Bagaimana untuk mencari punca persamaan?", "Bagaimana untuk mencari diskriminasi?" Dan...
Formula diskriminasi
Diskriminasi D bagi persamaan kuadratik a*x^2+bx+c=0 adalah sama dengan D=b^2–4*a*c.
Punca (penyelesaian) persamaan kuadratik bergantung pada tanda diskriminasi (D):
D>0 - persamaan mempunyai 2 punca nyata yang berbeza;
D=0 - persamaan mempunyai 1 punca (2 punca yang sepadan):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula untuk mengira diskriminasi agak mudah, begitu banyak tapak web menawarkan kalkulator diskriminasi dalam talian. Kami belum mengetahui skrip jenis ini lagi, jadi jika sesiapa tahu cara melaksanakannya, sila tulis kepada kami melalui e-mel Alamat e-mel ini dilindungi daripada spambots. Anda mesti mendayakan JavaScript untuk melihatnya. .
Formula am untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik:
Kami mencari punca-punca persamaan menggunakan formula 
Jika pekali pembolehubah kuasa dua dipasangkan, maka adalah dinasihatkan untuk mengira bukan diskriminasi, tetapi bahagian keempatnya
Dalam kes sedemikian, punca-punca persamaan ditemui menggunakan formula 
Cara kedua untuk mencari punca ialah Teorem Vieta.
Teorem ini dirumuskan bukan sahaja untuk persamaan kuadratik, tetapi juga untuk polinomial. Anda boleh membaca ini di Wikipedia atau sumber elektronik lain. Walau bagaimanapun, untuk memudahkan, mari kita pertimbangkan bahagian yang berkenaan dengan persamaan kuadratik di atas, iaitu, persamaan bentuk (a=1)
Intipati formula Vieta ialah jumlah punca persamaan adalah sama dengan pekali pembolehubah, diambil dengan tanda yang bertentangan. Hasil darab punca-punca persamaan adalah sama dengan sebutan bebas. Teorem Vieta boleh ditulis dalam formula.
Derivasi formula Vieta agak mudah. Mari kita tulis persamaan kuadratik melalui faktor mudah 
Seperti yang anda lihat, segala-galanya yang bijak adalah mudah pada masa yang sama. Adalah berkesan untuk menggunakan formula Vieta apabila perbezaan modulus akar atau perbezaan modulus akar ialah 1, 2. Sebagai contoh, persamaan berikut, mengikut teorem Vieta, mempunyai punca.
Sehingga persamaan 4, analisis sepatutnya kelihatan seperti ini. Hasil darab punca persamaan ialah 6, oleh itu puncanya boleh menjadi nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah punca ialah 7 (pekali pembolehubah dengan tanda bertentangan). Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa penyelesaian kepada persamaan kuadratik ialah x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih punca persamaan antara pembahagi istilah bebas, menyesuaikan tanda mereka untuk memenuhi formula Vieta. Pada mulanya, ini kelihatan sukar untuk dilakukan, tetapi dengan latihan pada beberapa persamaan kuadratik, teknik ini akan menjadi lebih berkesan daripada mengira diskriminasi dan mencari punca persamaan kuadratik dengan cara klasik.
Seperti yang anda lihat, teori sekolah mengkaji diskriminasi dan kaedah mencari penyelesaian kepada persamaan tidak mempunyai makna praktikal - "Mengapa pelajar sekolah memerlukan persamaan kuadratik?", "Apakah maksud fizikal diskriminasi?"
Mari cuba fikirkan Apakah yang diterangkan oleh diskriminasi itu?
Dalam kursus algebra mereka mempelajari fungsi, skema untuk mengkaji fungsi dan membina graf fungsi. Daripada semua fungsi, parabola menduduki tempat yang penting, persamaannya boleh ditulis dalam bentuk 
Jadi makna fizik persamaan kuadratik ialah sifar parabola, iaitu titik persilangan graf fungsi dengan paksi absis Ox.
Saya meminta anda mengingati sifat-sifat parabola yang diterangkan di bawah. Masanya akan tiba untuk mengambil peperiksaan, ujian, atau peperiksaan kemasukan dan anda akan berterima kasih atas bahan rujukan. Tanda pembolehubah kuasa dua sepadan dengan sama ada cabang parabola pada graf akan naik (a>0),
atau parabola dengan cabang ke bawah (a<0)
.
Puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar
Makna fizikal diskriminasi:
Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar (D>0) parabola mempunyai dua titik persilangan dengan paksi Lembu. 
Jika diskriminasi adalah sifar (D=0) maka parabola pada bucu menyentuh paksi-x. 
Dan kes terakhir, apabila diskriminasi kurang daripada sifar (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
