Persamaan linear. Penyelesaian, contoh.
Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak sangat..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Persamaan linear.
Persamaan linear- bukan topik yang paling sukar dalam matematik sekolah. Tetapi terdapat beberapa helah di sana yang boleh membingungkan walaupun pelajar terlatih. Mari kita fikirkan?)
Biasanya persamaan linear ditakrifkan sebagai persamaan bentuk:
kapak + b = 0 di mana a dan b– sebarang nombor.
2x + 7 = 0. Di sini a=2, b=7
0.1x - 2.3 = 0 Di sini a=0.1, b=-2.3
12x + 1/2 = 0 Di sini a=12, b=1/2
Tidak ada yang rumit, bukan? Terutama jika anda tidak perasan perkataan: "di mana a dan b ialah sebarang nombor"... Dan jika anda perasan dan sambil lewa memikirkannya?) Lagipun, jika a=0, b=0(ada sebarang nombor yang mungkin?), maka kita mendapat ungkapan lucu:
Tetapi bukan itu sahaja! Jika, katakan, a=0, A b=5, Ini ternyata sesuatu yang luar biasa:
Yang menjengkelkan dan melemahkan keyakinan terhadap matematik, ya...) Lebih-lebih lagi semasa peperiksaan. Tetapi daripada ungkapan aneh ini anda juga perlu mencari X! Yang tidak wujud sama sekali. Dan, yang menghairankan, X ini sangat mudah dicari. Kami akan belajar untuk melakukan ini. Dalam pelajaran ini.
Bagaimana untuk mengenali persamaan linear dengan penampilannya? Ia bergantung kepada apa penampilan.) Caranya ialah bukan sahaja persamaan bentuk dipanggil persamaan linear kapak + b = 0 , tetapi juga sebarang persamaan yang boleh dikurangkan kepada bentuk ini melalui transformasi dan pemudahan. Dan siapa tahu sama ada ia turun atau tidak?)
Persamaan linear boleh dikenal pasti dalam beberapa kes. Katakan, jika kita mempunyai persamaan di mana terdapat hanya yang tidak diketahui pada darjah dan nombor pertama. Dan dalam persamaan tidak ada pecahan dibahagikan dengan tidak diketahui , ia penting! Dan pembahagian oleh nombor, atau pecahan berangka - itu dialu-alukan! Sebagai contoh:
Ini adalah persamaan linear. Terdapat pecahan di sini, tetapi tiada x dalam segi empat sama, kubus, dsb., dan tiada x dalam penyebutnya, i.e. Tidak pembahagian dengan x. Dan inilah persamaannya
tidak boleh dipanggil linear. Di sini X adalah semua dalam ijazah pertama, tetapi ada pembahagian dengan ungkapan dengan x. Selepas pemudahan dan transformasi, anda boleh mendapatkan persamaan linear, persamaan kuadratik, atau apa sahaja yang anda mahukan.
Ternyata mustahil untuk mengenali persamaan linear dalam beberapa contoh rumit sehingga anda hampir menyelesaikannya. Ini menjengkelkan. Tetapi dalam tugasan, sebagai peraturan, mereka tidak bertanya tentang bentuk persamaan, bukan? Tugasan meminta persamaan memutuskan. Ini membuatkan saya gembira.)
Menyelesaikan persamaan linear. Contoh.
Keseluruhan penyelesaian persamaan linear terdiri daripada transformasi persamaan yang sama. Dengan cara ini, transformasi ini (dua daripadanya!) adalah asas penyelesaian semua persamaan matematik. Dengan kata lain, penyelesaiannya mana-mana persamaan bermula dengan transformasi ini. Dalam kes persamaan linear, ia (penyelesaian) adalah berdasarkan transformasi ini dan berakhir dengan jawapan penuh. Ia masuk akal untuk mengikuti pautan, bukan?) Selain itu, terdapat juga contoh penyelesaian persamaan linear di sana.
Pertama, mari kita lihat contoh paling mudah. Tanpa sebarang perangkap. Katakan kita perlu menyelesaikan persamaan ini.
x - 3 = 2 - 4x
Ini adalah persamaan linear. X semua berada dalam kuasa pertama, tiada pembahagian oleh X. Tetapi, sebenarnya, tidak penting bagi kami jenis persamaan itu. Kita perlu menyelesaikannya. Skim di sini adalah mudah. Kumpulkan semua dengan X di sebelah kiri persamaan, semuanya tanpa X (nombor) di sebelah kanan.
Untuk melakukan ini, anda perlu memindahkan - 4x masuk sebelah kiri, dengan perubahan tanda, sudah tentu, dan - 3 - ke kanan. By the way, ini adalah penjelmaan persamaan pertama yang serupa. Terkejut? Ini bermakna anda tidak mengikuti pautan, tetapi sia-sia...) Kami mendapat:
x + 4x = 2 + 3
Berikut adalah yang serupa, kami pertimbangkan:
Apa yang kita perlukan untuk kebahagiaan yang lengkap? Ya, supaya terdapat X tulen di sebelah kiri! Lima menghalang. Menghilangkan lima dengan bantuan penjelmaan persamaan kedua yang serupa. Iaitu, kami membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 5. Kami mendapat jawapan sedia:
Contoh asas, sudah tentu. Ini untuk memanaskan badan.) Tidak begitu jelas mengapa saya teringat perubahan yang serupa di sini? OKEY. Mari kita mengambil lembu jantan dengan tanduk.) Mari kita memutuskan sesuatu yang lebih kukuh.
Sebagai contoh, inilah persamaannya:
Di mana kita bermula? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Boleh jadi begitu. Langkah kecil di sepanjang jalan yang panjang. Atau anda boleh serta-merta, secara universal dan dengan cara yang berkuasa. Jika, sudah tentu, anda mempunyai transformasi persamaan yang sama dalam senjata anda.
Saya bertanya kepada anda satu soalan penting: Apakah yang paling anda tidak suka tentang persamaan ini?
95 daripada 100 orang akan menjawab: pecahan ! Jawapannya betul. Jadi mari kita singkirkan mereka. Oleh itu, kita mulakan segera dengan transformasi identiti kedua. Apakah yang anda perlukan untuk mendarab pecahan di sebelah kiri supaya penyebutnya dikurangkan sepenuhnya? Betul, pada pukul 3. Dan di sebelah kanan? Dengan 4. Tetapi matematik membolehkan kita mendarab kedua-dua belah dengan nombor yang sama. Bagaimana kita boleh keluar? Mari kita darab kedua-dua belah dengan 12! Itu. kepada penyebut biasa. Kemudian kedua-dua tiga dan empat akan dikurangkan. Jangan lupa bahawa anda perlu mendarab setiap bahagian sepenuhnya. Inilah rupa langkah pertama:
Memperluas kurungan:
Catatan! Penbilang (x+2) Saya meletakkannya dalam kurungan! Ini kerana apabila mendarab pecahan, keseluruhan pengangka didarab! Kini anda boleh mengurangkan pecahan:
Kembangkan kurungan yang tinggal:
Bukan contoh, tetapi keseronokan murni!) Sekarang mari kita ingat ejaan dari kelas junior: dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan! Dan gunakan transformasi ini:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Dan bahagikan kedua-dua bahagian dengan 25, i.e. gunakan transformasi kedua sekali lagi:
Itu sahaja. Jawapan: X=0,16
Sila ambil perhatian: untuk membawa persamaan mengelirukan asal ke dalam bentuk yang bagus, kami menggunakan dua (hanya dua!) transformasi identiti– terjemahan kiri-kanan dengan perubahan tanda dan darab-bahagi persamaan dengan nombor yang sama. Ini adalah kaedah universal! Kami akan bekerja dengan cara ini mana-mana persamaan! Sesiapa sahaja. Itulah sebabnya saya membosankan mengulangi tentang transformasi yang serupa ini sepanjang masa.)
Seperti yang anda lihat, prinsip penyelesaian persamaan linear adalah mudah. Kami mengambil persamaan dan memudahkannya menggunakan transformasi yang sama sehingga kami mendapat jawapannya. Masalah utama di sini adalah dalam pengiraan, bukan dalam prinsip penyelesaian.
Tetapi... Terdapat kejutan sedemikian dalam proses menyelesaikan persamaan linear paling asas yang boleh menyebabkan anda menjadi pingsan yang kuat...) Nasib baik, hanya terdapat dua kejutan seperti itu. Mari kita panggil mereka kes khas.
Kes khas dalam menyelesaikan persamaan linear.
Kejutan pertama.
Katakan anda menjumpai persamaan yang sangat asas, seperti:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Sedikit bosan, kami mengalihkannya dengan X ke kiri, tanpa X - ke kanan... Dengan perubahan tanda, semuanya sempurna... Kami mendapat:
2x-5x+3x=5-2-3
Kami mengira, dan... oops!!! Kita mendapatkan:
Persamaan ini dengan sendirinya tidak boleh dipertikaikan. Sifar benar-benar sifar. Tetapi X hilang! Dan kita mesti menulis dalam jawapan, x sama dengan apa? Jika tidak, penyelesaiannya tidak dikira, kan...) Kebuntuan?
Tenang! Dalam kes yang meragukan sedemikian, peraturan yang paling umum akan menyelamatkan anda. Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan? Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan? Ini bermaksud, cari semua nilai x yang, apabila digantikan dengan persamaan asal, akan memberi kita kesaksamaan yang sebenar.
Tetapi kita mempunyai kesaksamaan yang sebenar sudah berlaku! 0=0, berapa lebih tepat?! Ia masih perlu memikirkan apa x ini berlaku. Apakah nilai X yang boleh digantikan asal persamaan jika x ini adakah mereka masih akan dikurangkan kepada sifar? Jom?)
ya!!! X boleh diganti mana-mana! yang mana satu yang anda mahu? Sekurang-kurangnya 5, sekurang-kurangnya 0.05, sekurang-kurangnya -220. Mereka tetap akan mengecut. Jika anda tidak percaya saya, anda boleh menyemaknya.) Gantikan sebarang nilai X ke dalam asal persamaan dan mengira. Sepanjang masa anda akan mendapat kebenaran tulen: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 dan seterusnya.
Inilah jawapan anda: x - sebarang nombor.
Jawapan boleh ditulis dalam simbol matematik yang berbeza, intipati tidak berubah. Ini adalah jawapan yang betul dan lengkap.
Kejutan kedua.
Mari kita ambil persamaan linear asas yang sama dan tukar hanya satu nombor di dalamnya. Inilah yang akan kami putuskan:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Selepas transformasi yang sama, kami mendapat sesuatu yang menarik:
Macam ni. Kami menyelesaikan persamaan linear dan mendapat kesamaan pelik. Bercakap bahasa matematik, kami mendapat kesamarataan palsu. Dan bercakap dalam bahasa mudah, ini tidak benar. Rave. Namun begitu, karut ini adalah sebab yang sangat baik untuk penyelesaian persamaan yang betul.)
Sekali lagi kita berfikir berdasarkan peraturan umum. Apa x, apabila digantikan ke dalam persamaan asal, akan berikan kepada kita benar kesaksamaan? Ya, tiada! Tiada X seperti itu. Tidak kira apa yang anda masukkan, semuanya akan dikurangkan, hanya karut yang akan kekal.)
Inilah jawapan anda: tiada penyelesaian.
Ini juga merupakan jawapan yang lengkap. Dalam matematik, jawapan sedemikian sering dijumpai.
Macam ni. Sekarang, saya harap, kehilangan X dalam proses menyelesaikan mana-mana (bukan hanya linear) persamaan tidak akan mengelirukan anda sama sekali. Ini sudah menjadi perkara biasa.)
Sekarang bahawa kita telah menangani semua perangkap dalam persamaan linear, masuk akal untuk menyelesaikannya.
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Mari belajar - dengan minat!)
Anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Salah satu kemahiran yang paling penting apabila kemasukan ke darjah 5 ialah keupayaan untuk menyelesaikan persamaan mudah. Memandangkan darjah 5 masih belum begitu jauh dari sekolah rendah, maka tidak begitu banyak jenis persamaan yang boleh diselesaikan oleh pelajar. Kami akan memperkenalkan anda kepada semua jenis asas persamaan yang anda perlukan untuk dapat diselesaikan jika anda mahu masuk sekolah fizik dan matematik.
Jenis 1: "mentol"
Ini adalah persamaan yang hampir mungkin anda hadapi apabila kemasukan ke mana-mana sekolah atau kelab gred 5 sebagai tugas yang berasingan. Mereka mudah dibezakan daripada yang lain: di dalamnya pembolehubah hadir sekali sahaja. Sebagai contoh, atau.
Mereka diselesaikan dengan sangat mudah: anda hanya perlu "mendapatkan" ke yang tidak diketahui, secara beransur-ansur "mengeluarkan" semua yang tidak perlu yang mengelilinginya - seolah-olah mengupas bawang - maka namanya. Untuk menyelesaikannya, hanya ingat beberapa peraturan dari kelas kedua. Mari senaraikan kesemuanya:
Penambahan
- sebutan1 + sebutan2 = jumlah
- penggal1 = jumlah - penggal2
- penggal2 = jumlah - penggal1
Penolakan
- minuend - subtrahend = perbezaan
- minuend = subtrahend + perbezaan
- subtrahend = minuend - perbezaan
Pendaraban
- faktor1 * faktor2 = produk
- faktor1 = produk: faktor2
- faktor2 = produk: faktor1
Bahagian
- dividen: pembahagi = hasil bagi
- dividen = pembahagi * hasil bagi
- pembahagi = dividen: hasil bagi
Mari lihat contoh cara menggunakan peraturan ini.
Perhatikan bahawa kita membahagikan 
pada dan kami menerima . Dalam keadaan ini, kita tahu pembahagi dan hasil bagi. Untuk mencari dividen, anda perlu mendarabkan pembahagi dengan hasil bagi:
Kami telah menjadi sedikit lebih dekat dengan diri sendiri. Sekarang kita lihat itu 
ditambah dan ternyata . Ini bermakna untuk mencari salah satu istilah, anda perlu menolak istilah yang diketahui daripada jumlah:
Dan satu lagi "lapisan" telah dikeluarkan dari yang tidak diketahui! Sekarang kita melihat keadaan dengan nilai yang diketahui produk () dan satu faktor yang diketahui ().
Sekarang keadaannya ialah "minuend - subtrahend = perbezaan"
Dan langkah terakhir ialah produk yang diketahui () dan salah satu faktor () 
Jenis 2: persamaan dengan kurungan
Persamaan jenis ini paling kerap dijumpai dalam masalah - 90% daripada semua masalah untuk kemasukan ke darjah 5. Tidak seperti "persamaan bawang" pembolehubah di sini boleh muncul beberapa kali, jadi adalah mustahil untuk menyelesaikannya menggunakan kaedah dari perenggan sebelumnya. Persamaan biasa: atau
Kesukaran utama ialah membuka kurungan dengan betul. Selepas anda berjaya melakukan ini dengan betul, anda harus mengurangkan istilah yang serupa (nombor kepada nombor, pembolehubah kepada pembolehubah), dan selepas itu kami mendapat yang paling mudah "persamaan bawang" yang boleh kita selesaikan. Tetapi perkara pertama dahulu.
Mengembangkan kurungan. Kami akan memberikan beberapa peraturan yang harus digunakan dalam kes ini. Tetapi, seperti yang ditunjukkan oleh latihan, pelajar mula membuka kurungan dengan betul hanya selepas 70-80 masalah selesai. Peraturan asasnya ialah: sebarang faktor di luar kurungan mesti didarab dengan setiap sebutan di dalam kurungan. Dan tanda tolak di hadapan kurungan mengubah tanda semua ungkapan di dalamnya. Jadi, peraturan asas pendedahan: 
Membawa serupa. Di sini semuanya lebih mudah: anda perlu, dengan memindahkan syarat melalui tanda yang sama, untuk memastikan bahawa di satu pihak terdapat hanya istilah dengan yang tidak diketahui, dan di sisi lain - hanya nombor. Peraturan asas adalah ini: setiap istilah yang dipindahkan melalui menukar tandanya - jika ia dengan, ia akan menjadi dengan, dan sebaliknya. Selepas pemindahan berjaya, adalah perlu untuk mengira jumlah bilangan yang tidak diketahui, jumlah nombor di sisi lain kesamaan daripada pembolehubah, dan menyelesaikan satu "persamaan bawang".
Dalam video ini kita akan menganalisis satu set keseluruhan persamaan linear yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah sebabnya ia dipanggil yang paling mudah.
Pertama, mari kita tentukan: apakah persamaan linear dan yang manakah dipanggil paling mudah?
Persamaan linear ialah persamaan yang hanya terdapat satu pembolehubah, dan hanya pada darjah pertama.
Persamaan termudah bermaksud pembinaan:
Semua persamaan linear lain dikurangkan kepada yang paling mudah menggunakan algoritma:
- Kembangkan kurungan, jika ada;
- Pindahkan istilah yang mengandungi pembolehubah ke satu sisi tanda sama, dan istilah tanpa pembolehubah ke yang lain;
- Berikan istilah serupa di kiri dan kanan tanda sama;
- Bahagikan persamaan yang terhasil dengan pekali pembolehubah $x$.
Sudah tentu, algoritma ini tidak selalu membantu. Hakikatnya kadangkala selepas semua komplot ini, pekali pembolehubah $x$ ternyata sama dengan sifar. Dalam kes ini, dua pilihan adalah mungkin:
- Persamaan tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Sebagai contoh, apabila sesuatu seperti $0\cdot x=8$ ternyata, i.e. di sebelah kiri ialah sifar, dan di sebelah kanan ialah nombor selain daripada sifar. Dalam video di bawah kita akan melihat beberapa sebab mengapa keadaan ini mungkin.
- Penyelesaiannya ialah semua nombor. Satu-satunya kes apabila ini mungkin adalah apabila persamaan telah dikurangkan kepada pembinaan $0\cdot x=0$. Adalah agak logik bahawa tidak kira apa yang $x$ kita gantikan, ia tetap akan menjadi "sifar bersamaan dengan sifar", i.e. kesamaan berangka yang betul.
Sekarang mari kita lihat bagaimana semua ini berfungsi menggunakan contoh kehidupan sebenar.
Contoh penyelesaian persamaan
Hari ini kita berurusan dengan persamaan linear, dan hanya yang paling mudah. Secara umum, persamaan linear bermaksud sebarang kesamaan yang mengandungi tepat satu pembolehubah, dan ia hanya pergi ke tahap pertama.
Pembinaan sedemikian diselesaikan dengan cara yang hampir sama:
- Pertama sekali, anda perlu mengembangkan kurungan, jika ada (seperti dalam contoh terakhir kami);
- Kemudian gabungkan serupa
- Akhir sekali, asingkan pembolehubah, i.e. alihkan semua yang berkaitan dengan pembolehubah—istilah yang terkandung di dalamnya—ke satu sisi, dan alihkan semua yang tertinggal tanpanya ke sisi yang lain.
Kemudian, sebagai peraturan, anda perlu memberikan yang serupa pada setiap sisi kesamaan yang terhasil, dan selepas itu semua yang tinggal ialah membahagikan dengan pekali "x", dan kami akan mendapat jawapan akhir.
Secara teori, ini kelihatan bagus dan mudah, tetapi dalam praktiknya, pelajar sekolah menengah yang berpengalaman pun boleh membuat kesilapan yang menyinggung perasaan dalam persamaan linear yang agak mudah. Biasanya, ralat dibuat sama ada semasa membuka kurungan atau semasa mengira "tambah" dan "tolak".
Di samping itu, ia berlaku bahawa persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, atau penyelesaiannya ialah keseluruhan garis nombor, i.e. sebarang nombor. Kita akan melihat kehalusan ini dalam pelajaran hari ini. Tetapi kami akan mulakan, seperti yang telah anda fahami, dengan sangat tugasan mudah.
Skema untuk menyelesaikan persamaan linear mudah
Pertama sekali, izinkan saya menulis keseluruhan skema untuk menyelesaikan persamaan linear termudah:
- Kembangkan kurungan, jika ada.
- Kami mengasingkan pembolehubah, i.e. Kami mengalihkan semua yang mengandungi "X" ke satu sisi, dan semuanya tanpa "X" ke sisi yang lain.
- Kami membentangkan istilah yang serupa.
- Kami membahagikan semuanya dengan pekali "x".
Sudah tentu, skim ini tidak selalu berfungsi; terdapat kehalusan dan helah tertentu di dalamnya, dan sekarang kita akan mengenalinya.
Menyelesaikan contoh sebenar persamaan linear mudah
Tugasan No 1
Langkah pertama memerlukan kita membuka kurungan. Tetapi mereka tiada dalam contoh ini, jadi kami melangkau langkah ini. Dalam langkah kedua kita perlu mengasingkan pembolehubah. Sila ambil perhatian: kami hanya bercakap tentang istilah individu. Mari kita tuliskannya:
Kami membentangkan istilah yang sama di kiri dan kanan, tetapi ini telah dilakukan di sini. Oleh itu, kita beralih ke langkah keempat: bahagikan dengan pekali:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Jadi kami mendapat jawapannya.
Tugasan No. 2
Kita boleh melihat tanda kurung dalam masalah ini, jadi mari kita kembangkan:
Kedua-dua di sebelah kiri dan di sebelah kanan kita melihat lebih kurang reka bentuk yang sama, tetapi mari kita bertindak mengikut algoritma, i.e. memisahkan pembolehubah:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Pada akar apakah ini berfungsi? Jawapan: untuk mana-mana. Oleh itu, kita boleh menulis bahawa $x$ ialah sebarang nombor.
Tugasan No. 3
Persamaan linear ketiga adalah lebih menarik:
\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]
Terdapat beberapa kurungan di sini, tetapi ia tidak didarab dengan apa-apa, ia hanya didahului oleh tanda yang berbeza. Mari pecahkan mereka:
Kami melakukan langkah kedua yang telah kami ketahui:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Mari kita buat matematik:
Kami menjalankan langkah terakhir - bahagikan semuanya dengan pekali "x":
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Perkara yang Perlu Diingati Semasa Menyelesaikan Persamaan Linear
Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu mudah, saya ingin menyatakan perkara berikut:
- Seperti yang saya katakan di atas, tidak setiap persamaan linear mempunyai penyelesaian - kadangkala tiada punca;
- Walaupun terdapat akar, mungkin ada sifar di antara mereka - tidak ada yang salah dengan itu.
Sifar ialah nombor yang sama dengan yang lain; anda tidak sepatutnya mendiskriminasikannya dalam apa jua cara atau menganggap bahawa jika anda mendapat sifar, maka anda melakukan sesuatu yang salah.
Ciri lain adalah berkaitan dengan pembukaan kurungan. Sila ambil perhatian: apabila terdapat "tolak" di hadapannya, kami mengeluarkannya, tetapi dalam kurungan kami menukar tanda itu kepada bertentangan. Dan kemudian kita boleh membukanya menggunakan algoritma standard: kita akan mendapat apa yang kita lihat dalam pengiraan di atas.
Memahami fakta mudah ini akan membantu anda mengelak daripada membuat kesilapan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah, apabila melakukan perkara sebegitu dianggap remeh.
Menyelesaikan persamaan linear kompleks
Mari kita beralih kepada persamaan yang lebih kompleks. Kini pembinaan akan menjadi lebih kompleks dan apabila melakukan pelbagai transformasi fungsi kuadratik akan muncul. Walau bagaimanapun, kita tidak perlu takut tentang ini, kerana jika, mengikut rancangan pengarang, kita menyelesaikan persamaan linear, maka semasa proses transformasi semua monomial yang mengandungi fungsi kuadratik semestinya akan dibatalkan.
Contoh No. 1
Jelas sekali, langkah pertama ialah membuka kurungan. Mari lakukan ini dengan berhati-hati:
Sekarang mari kita lihat privasi:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami akan menulis ini dalam jawapan:
\[\varnothing\]
atau tiada akar.
Contoh No. 2
Kami melakukan tindakan yang sama. Langkah pertama:
Mari kita gerakkan segala-galanya dengan pembolehubah ke kiri, dan tanpanya - ke kanan:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Jelas sekali, persamaan linear ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami akan menulisnya dengan cara ini:
\[\varnothing\],
atau tiada akar.
Nuansa penyelesaian
Kedua-dua persamaan diselesaikan sepenuhnya. Menggunakan kedua-dua ungkapan ini sebagai contoh, kami sekali lagi yakin bahawa walaupun dalam persamaan linear yang paling mudah, semuanya mungkin tidak begitu mudah: boleh ada sama ada satu, atau tiada, atau banyak punca yang tidak terhingga. Dalam kes kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, kedua-duanya tidak mempunyai punca.
Tetapi saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta lain: cara bekerja dengan kurungan dan cara membukanya jika terdapat tanda tolak di hadapannya. Pertimbangkan ungkapan ini:
Sebelum membuka, anda perlu mendarabkan semuanya dengan "X". Sila ambil perhatian: berganda setiap istilah individu. Di dalamnya terdapat dua sebutan - masing-masing, dua sebutan dan didarab.
Dan hanya selepas transformasi yang kelihatan asas, tetapi sangat penting dan berbahaya ini telah selesai, anda boleh membuka kurungan dari sudut pandangan fakta bahawa terdapat tanda tolak selepasnya. Ya, ya: hanya sekarang, apabila transformasi selesai, kami ingat bahawa terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, yang bermaksud bahawa segala-galanya di bawah hanya menukar tanda. Pada masa yang sama, kurungan itu sendiri hilang dan, yang paling penting, "tolak" depan juga hilang.
Kami melakukan perkara yang sama dengan persamaan kedua:
Bukan secara kebetulan saya memberi perhatian kepada fakta-fakta kecil yang kelihatan tidak penting ini. Kerana menyelesaikan persamaan sentiasa merupakan urutan transformasi asas, di mana ketidakupayaan untuk melakukan tindakan mudah dengan jelas dan cekap membawa kepada fakta bahawa pelajar sekolah menengah datang kepada saya dan sekali lagi belajar untuk menyelesaikan persamaan mudah tersebut.
Sudah tentu, harinya akan tiba apabila anda akan mengasah kemahiran ini ke tahap automatik. Anda tidak perlu lagi melakukan begitu banyak transformasi setiap kali; anda akan menulis semuanya pada satu baris. Tetapi semasa anda baru belajar, anda perlu menulis setiap tindakan secara berasingan.
Menyelesaikan persamaan linear yang lebih kompleks
Apa yang akan kita selesaikan sekarang hampir tidak boleh dipanggil tugas yang paling mudah, tetapi maknanya tetap sama.
Tugasan No 1
\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]
Mari kita darabkan semua unsur dalam bahagian pertama:
Mari lakukan beberapa privasi:
Berikut adalah beberapa yang serupa:
Mari selesaikan langkah terakhir:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Inilah jawapan terakhir kami. Dan, walaupun fakta bahawa dalam proses penyelesaian kami mempunyai pekali dengan fungsi kuadratik, mereka membatalkan satu sama lain, yang menjadikan persamaan linear dan bukan kuadratik.
Tugasan No. 2
\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]
Mari lakukan langkah pertama dengan teliti: darab setiap elemen daripada kurungan pertama dengan setiap elemen daripada kedua. Perlu ada sejumlah empat istilah baharu selepas transformasi:
Sekarang mari kita lakukan pendaraban dengan teliti dalam setiap sebutan:
Mari alihkan istilah dengan "X" ke kiri, dan istilah tanpa - ke kanan:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Berikut adalah istilah yang serupa:
Sekali lagi kami telah menerima jawapan muktamad.
Nuansa penyelesaian
Nota yang paling penting tentang kedua-dua persamaan ini ialah yang berikut: sebaik sahaja kita mula mendarab kurungan yang mengandungi lebih daripada satu sebutan, ini dilakukan mengikut peraturan berikut: kita mengambil sebutan pertama daripada yang pertama dan mendarab dengan setiap unsur daripada yang kedua; kemudian kita mengambil elemen kedua dari yang pertama dan sama darab dengan setiap elemen dari yang kedua. Akibatnya, kita akan mempunyai empat penggal.
Mengenai jumlah algebra
Dengan contoh terakhir ini, saya ingin mengingatkan pelajar apa itu jumlah algebra. Dalam matematik klasik, dengan $1-7$ kami maksudkan pembinaan mudah: tolak tujuh daripada satu. Dalam algebra, kami bermaksud yang berikut dengan ini: kepada nombor "satu" kami menambah nombor lain, iaitu "tolak tujuh". Ini adalah bagaimana jumlah algebra berbeza daripada jumlah aritmetik biasa.
Sebaik sahaja, apabila melakukan semua transformasi, setiap penambahan dan pendaraban, anda mula melihat pembinaan yang serupa dengan yang diterangkan di atas, anda tidak akan menghadapi sebarang masalah dalam algebra apabila bekerja dengan polinomial dan persamaan.
Akhir sekali, mari kita lihat beberapa lagi contoh yang akan menjadi lebih kompleks daripada yang baru kita lihat, dan untuk menyelesaikannya, kita perlu mengembangkan sedikit algoritma standard kita.
Menyelesaikan persamaan dengan pecahan
Untuk menyelesaikan tugasan tersebut, kami perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma kami. Tetapi pertama-tama, izinkan saya mengingatkan anda tentang algoritma kami:
- Buka kurungan.
- Pembolehubah berasingan.
- Bawa yang serupa.
- Bahagikan dengan nisbah.
Malangnya, algoritma yang hebat ini, untuk semua keberkesanannya, ternyata tidak sepenuhnya sesuai apabila kita mempunyai pecahan di hadapan kita. Dan dalam apa yang akan kita lihat di bawah, kita mempunyai pecahan di kedua-dua kiri dan kanan dalam kedua-dua persamaan.
Bagaimana untuk bekerja dalam kes ini? Ya, ia sangat mudah! Untuk melakukan ini, anda perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma, yang boleh dilakukan sebelum dan selepas tindakan pertama, iaitu, menyingkirkan pecahan. Jadi algoritmanya adalah seperti berikut:
- Buang pecahan.
- Buka kurungan.
- Pembolehubah berasingan.
- Bawa yang serupa.
- Bahagikan dengan nisbah.
Apakah yang dimaksudkan dengan "menyingkirkan pecahan"? Dan mengapa ini boleh dilakukan selepas dan sebelum langkah standard pertama? Malah, dalam kes kami, semua pecahan adalah berangka dalam penyebutnya, i.e. Di mana-mana penyebutnya hanyalah nombor. Oleh itu, jika kita mendarab kedua-dua belah persamaan dengan nombor ini, kita akan menyingkirkan pecahan.
Contoh No. 1
\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]
Mari kita hapuskan pecahan dalam persamaan ini:
\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)\cdot 4)(4)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]
Sila ambil perhatian: semuanya didarab dengan "empat" sekali, i.e. hanya kerana anda mempunyai dua kurungan tidak bermakna anda perlu mendarab setiap satu dengan "empat." Mari kita tulis:
\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]
Sekarang mari kita kembangkan:
Kami mengasingkan pembolehubah:
Kami melakukan pengurangan istilah yang serupa:
\[-4x=-1\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Kami mendapat keputusan terakhir, mari kita beralih kepada persamaan kedua.
Contoh No. 2
\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]
Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:
\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Masalah selesai.
Sebenarnya, itu sahaja yang saya ingin beritahu anda hari ini.
Perkara utama
Penemuan utama ialah:
- Mengetahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear.
- Keupayaan untuk membuka kurungan.
- Jangan risau jika anda melihat fungsi kuadratik, kemungkinan besar, dalam proses transformasi selanjutnya mereka akan berkurangan.
- Terdapat tiga jenis punca dalam persamaan linear, walaupun yang paling mudah: satu punca tunggal, keseluruhan garis nombor ialah punca, dan tiada punca sama sekali.
Saya harap pelajaran ini akan membantu anda menguasai topik yang mudah tetapi sangat penting untuk pemahaman lanjut tentang semua matematik. Jika ada yang tidak jelas, pergi ke tapak dan selesaikan contoh yang dibentangkan di sana. Nantikan, banyak lagi perkara menarik menanti anda!
Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan susunan tindakan yang dilakukan dalam ungkapan angka, literal dan pembolehubah. Adalah mudah untuk beralih daripada ungkapan dengan kurungan kepada ungkapan yang sama tanpa kurungan. Teknik ini dipanggil kurungan pembukaan.
Mengembangkan kurungan bermaksud mengalih keluar kurungan daripada ungkapan.
Satu lagi perkara patut diberi perhatian khusus, yang berkenaan dengan keunikan keputusan rakaman semasa membuka kurungan. Kita boleh menulis ungkapan awal dengan kurungan dan hasil yang diperoleh selepas membuka kurungan sebagai kesamaan. Sebagai contoh, selepas mengembangkan kurungan dan bukannya ungkapan
3−(5−7) kita mendapat ungkapan 3−5+7. Kita boleh menulis kedua-dua ungkapan ini sebagai kesamaan 3−(5−7)=3−5+7.
Dan satu lagi perkara penting. Dalam matematik, untuk memendekkan notasi, adalah kebiasaan untuk tidak menulis tanda tambah jika ia muncul dahulu dalam ungkapan atau dalam kurungan. Sebagai contoh, jika kita menambah dua nombor positif, sebagai contoh, tujuh dan tiga, maka kita tidak menulis +7+3, tetapi hanya 7+3, walaupun pada hakikatnya tujuh juga merupakan nombor positif. Begitu juga, jika anda melihat, sebagai contoh, ungkapan (5+x) - ketahui bahawa sebelum kurungan terdapat tambah, yang tidak ditulis, dan sebelum lima ada tambah +(+5+x).
Peraturan untuk membuka kurungan semasa penambahan
Apabila membuka kurungan, jika terdapat tanda tambah di hadapan kurungan, maka tambah ini ditinggalkan bersama kurungan.
Contoh. Buka kurungan dalam ungkapan 2 + (7 + 3) Terdapat tambah di hadapan kurungan, yang bermaksud kita tidak menukar tanda di hadapan nombor dalam kurungan.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Peraturan untuk membuka kurungan semasa menolak
Jika terdapat tolak sebelum kurungan, maka tolak ini ditinggalkan bersama kurungan, tetapi istilah yang ada dalam kurungan menukar tandanya kepada sebaliknya. Ketiadaan tanda sebelum sebutan pertama dalam kurungan membayangkan tanda +.
Contoh. Kembangkan kurungan dalam ungkapan 2 − (7 + 3)
Terdapat tolak sebelum kurungan, yang bermaksud anda perlu menukar tanda di hadapan nombor dalam kurungan. Dalam kurungan tiada tanda sebelum nombor 7, ini bermakna tujuh adalah positif, dikira ada tanda + di hadapannya.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Apabila membuka kurungan, kami mengeluarkan dari contoh tolak yang berada di hadapan kurungan, dan kurungan itu sendiri 2 − (+ 7 + 3), dan menukar tanda yang ada dalam kurungan kepada yang bertentangan.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Mengembangkan tanda kurung apabila mendarab
Jika terdapat tanda pendaraban di hadapan kurungan, maka setiap nombor di dalam kurungan didarab dengan faktor di hadapan kurungan. Dalam kes ini, mendarabkan tolak dengan tolak memberikan tambah, dan mendarab tolak dengan tambah, seperti mendarab tambah dengan tolak, memberikan tolak.
Oleh itu, kurungan dalam produk dikembangkan mengikut sifat taburan pendaraban.
Contoh. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Apabila anda mendarab kurungan dengan kurungan, setiap sebutan dalam kurungan pertama didarab dengan setiap sebutan dalam kurungan kedua.
(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5
Malah, tidak perlu mengingati semua peraturan, cukup untuk mengingati satu sahaja, ini: c(a−b)=ca−cb. kenapa? Kerana jika anda menggantikan satu daripada c, anda mendapat peraturan (a−b)=a−b. Dan jika kita menggantikan tolak satu, kita mendapat peraturan −(a−b)=−a+b. Nah, jika anda menggantikan kurungan lain dan bukannya c, anda boleh mendapatkan peraturan terakhir.
Membuka kurungan semasa membahagi
Jika terdapat tanda pembahagian selepas kurungan, maka setiap nombor di dalam kurungan dibahagikan dengan pembahagi selepas kurungan, dan begitu juga sebaliknya.
Contoh. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3
Cara mengembangkan kurungan bersarang
Jika ungkapan mengandungi kurungan bersarang, ia dikembangkan mengikut tertib, bermula dengan yang luar atau dalam.
Dalam kes ini, adalah penting apabila membuka salah satu kurungan, jangan sentuh kurungan yang tinggal, hanya menulis semula ia seperti sedia ada.
Contoh. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
Bahagian persamaan itu ialah ungkapan dalam kurungan. Untuk membuka kurungan, lihat tanda di hadapan kurungan. Jika terdapat tanda tambah, membuka kurungan dalam ungkapan tidak akan mengubah apa-apa: hanya alih keluar kurungan. Sekiranya terdapat tanda tolak, semasa membuka kurungan, anda mesti menukar semua tanda yang asalnya dalam kurungan kepada yang bertentangan. Contohnya, -(2x-3)=-2x+3.
Mendarab dua kurungan.
Jika persamaan mengandungi hasil darab dua kurungan, buka kurungan mengikut peraturan piawai. Setiap sebutan dalam kurungan pertama didarabkan dengan setiap sebutan dalam kurungan kedua. Nombor yang terhasil disimpulkan. Dalam kes ini, hasil darab dua "tambah" atau dua "tolak" memberikan istilah tanda "tambah", dan jika faktornya mempunyai tanda yang berbeza, kemudian menerima tanda tolak.
Mari kita pertimbangkan.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Dengan membuka kurungan, kadangkala menaikkan ungkapan kepada . Formula untuk kuasa dua dan kubus mesti diketahui dengan hati dan diingati.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formula untuk membina ungkapan yang lebih besar daripada tiga boleh dilakukan menggunakan segi tiga Pascal.
Sumber:
- formula pengembangan kurungan
Dikurung dalam kurungan operasi matematik boleh mengandungi pembolehubah dan ungkapan darjah yang berbeza-beza kesukaran. Untuk mendarabkan ungkapan tersebut, anda perlu mencari penyelesaian dalam Pandangan umum, membuka kurungan dan memudahkan hasilnya. Jika kurungan mengandungi operasi tanpa pembolehubah, hanya dengan nilai berangka, maka membuka kurungan tidak perlu, kerana jika anda mempunyai komputer, penggunanya mempunyai akses kepada sumber pengkomputeran yang sangat penting - lebih mudah untuk menggunakannya daripada memudahkan ungkapan.
Arahan
Darab secara berurutan setiap (atau minuend dengan ) yang terkandung dalam satu kurungan dengan kandungan semua kurungan lain jika anda ingin mendapatkan hasil dalam bentuk umum. Sebagai contoh, biarkan ungkapan asal ditulis seperti berikut: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Kemudian pendaraban berurutan (iaitu membuka kurungan) akan memberikan hasil berikut: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Permudahkan hasilnya dengan memendekkan ungkapan. Sebagai contoh, ungkapan yang diperolehi dalam langkah sebelumnya boleh dipermudahkan seperti berikut: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Gunakan kalkulator jika anda perlu mendarab x sama dengan 4.75, iaitu (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). Untuk mengira nilai ini, pergi ke tapak web enjin carian Google atau Nigma dan masukkan ungkapan dalam medan pertanyaan dalam bentuk asalnya (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google akan menunjukkan 82.265625 serta-merta, tanpa mengklik butang, tetapi Nigma perlu menghantar data ke pelayan dengan satu klik butang.
