Pelbagai cara bukti teorem Pythagoras
pelajar kelas 9 "A".
Sekolah menengah institusi pendidikan perbandaran No. 8
Penasihat saintifik:
guru matematik,
Sekolah menengah institusi pendidikan perbandaran No. 8
Seni. Novorozhdestvenskaya
Wilayah Krasnodar.
Seni. Novorozhdestvenskaya
ANOtasi.
Teorem Pythagoras dianggap paling penting dalam perjalanan geometri dan patut diberi perhatian. Ia adalah asas untuk menyelesaikan banyak masalah geometri, asas untuk mempelajari kursus geometri teori dan praktikal pada masa hadapan. Teorem ini dikelilingi oleh banyak bahan sejarah yang berkaitan dengan penampilan dan kaedah pembuktiannya. Mempelajari sejarah perkembangan geometri menanamkan kecintaan terhadap subjek ini, menggalakkan perkembangan minat kognitif, budaya umum dan kreativiti, dan juga membangunkan kemahiran penyelidikan.
Hasil daripada aktiviti pencarian, matlamat kerja telah dicapai, iaitu untuk menambah dan menyamaratakan pengetahuan tentang pembuktian teorem Pythagoras. Adalah mungkin untuk mencari dan mempertimbangkan pelbagai kaedah pembuktian dan mendalami pengetahuan mengenai topik itu, melangkaui halaman buku teks sekolah.
Bahan yang dikumpul seterusnya meyakinkan kita bahawa teorem Pythagoras adalah teorem geometri yang hebat dan mempunyai kepentingan teori dan praktikal yang sangat besar.
pengenalan. Rujukan sejarah 5 Bahagian utama 8
3. Kesimpulan 19
4. Sastera yang digunakan 20
1. PENGENALAN. RUJUKAN SEJARAH.
Intipati kebenaran adalah untuk kita selama-lamanya,
Apabila sekurang-kurangnya sekali dalam pandangannya kita melihat cahaya,
Dan teorem Pythagoras selepas bertahun-tahun
Bagi kami, baginya, ia tidak dapat dinafikan, sempurna.
Untuk bergembira, Pythagoras bersumpah kepada para dewa:
Untuk menyentuh kebijaksanaan yang tidak terhingga,
Dia menyembelih seratus lembu jantan, terima kasih kepada yang kekal;
Dia menyampaikan doa dan pujian selepas mangsa.
Sejak itu, apabila lembu jantan menghidunya, mereka menolak,
Bahawa jejak itu sekali lagi membawa orang kepada kebenaran baru,
Mereka mengaum dengan marah, jadi tidak ada gunanya mendengar,
Pythagoras seperti itu menanamkan ketakutan kepada mereka selama-lamanya.
Lembu jantan, tidak berdaya untuk menentang kebenaran baru,
Apa yang tinggal? - Hanya memejamkan mata, mengaum, menggeletar.
Tidak diketahui bagaimana Pythagoras membuktikan teoremnya. Apa yang pasti beliau menemuinya di bawah pengaruh kuat sains Mesir. Kes khas teorem Pythagoras - sifat segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 - diketahui oleh pembina piramid lama sebelum kelahiran Pythagoras, dan dia sendiri belajar dengan imam Mesir selama lebih dari 20 tahun. Legenda telah dipelihara yang mengatakan bahawa, setelah membuktikan teoremnya yang terkenal, Pythagoras mengorbankan seekor lembu jantan kepada para dewa, dan menurut sumber lain, bahkan 100 lembu jantan. Ini, bagaimanapun, bercanggah dengan maklumat tentang pandangan moral dan agama Pythagoras. Dalam sumber sastera anda boleh membaca bahawa dia "melarang membunuh haiwan, apalagi memberi makan kepada mereka, kerana haiwan mempunyai jiwa, sama seperti kita." Pythagoras hanya makan madu, roti, sayur-sayuran dan kadangkala ikan. Sehubungan dengan semua ini, entri berikut boleh dianggap lebih masuk akal: "... dan walaupun dia mendapati bahawa dalam segi tiga tepat hipotenus sepadan dengan kaki, dia mengorbankan seekor lembu jantan yang diperbuat daripada doh gandum."
Populariti teorem Pythagoras sangat hebat sehingga buktinya ditemui walaupun dalam fiksyen, contohnya, dalam cerita "Young Archimedes" oleh penulis Inggeris terkenal Huxley. Bukti yang sama, tetapi untuk kes khas segi tiga tegak sama kaki, diberikan dalam dialog Plato "Meno".
Kisah dongeng "Rumah".
"Jauh, jauh, di mana pesawat tidak terbang, adalah negara Geometri. Di negara yang luar biasa ini terdapat satu bandar yang menakjubkan - bandar Teorem. Suatu hari saya datang ke bandar ini perempuan cantik bernama Hypotenuse. Dia cuba menyewa bilik, tetapi tidak kira di mana dia memohon, dia ditolak. Akhirnya dia menghampiri rumah reyot itu dan mengetuk. Seorang lelaki yang menggelar dirinya Right Angle membuka pintu kepadanya, dan dia menjemput Hypotenuse untuk tinggal bersamanya. Hipotenus kekal di rumah di mana Sudut Tepat dan dua anak lelakinya yang bernama Katetes tinggal. Sejak itu, kehidupan di rumah Sudut Kanan telah berubah dengan cara yang baharu. Si hipotenus menanam bunga di tingkap dan menanam bunga ros merah di taman hadapan. Rumah itu berbentuk segi tiga tepat. Kedua-dua kakinya sangat menyukai Hypotenuse dan memintanya untuk tinggal selama-lamanya di rumah mereka. Pada sebelah malam, keluarga yang mesra ini berkumpul di meja keluarga. Kadangkala Right Angle bermain sorok-sorok dengan anak-anaknya. Selalunya dia perlu melihat, dan Hypotenuse bersembunyi dengan begitu mahir sehingga sukar dicari. Pada suatu hari, semasa bermain, Sudut Kanan melihat sifat yang menarik: jika dia berjaya mencari kaki, maka mencari Hypotenuse tidak sukar. Jadi Sudut Tepat menggunakan corak ini, saya mesti katakan, sangat berjaya. Teorem Pythagoras adalah berdasarkan sifat segi tiga tegak ini.”
(Dari buku oleh A. Okunev "Terima kasih atas pelajaran, anak-anak").
Rumusan lucu teorem:
Jika kita diberi segitiga
Dan dengan sudut tepat,
Itulah kuasa dua hipotenus
Kami sentiasa boleh mencari dengan mudah:
Kami persegi kaki,
Kami dapati jumlah kuasa -
Dan dengan cara yang begitu mudah
Kami akan sampai kepada keputusannya.
Semasa mempelajari algebra dan permulaan analisis dan geometri dalam gred ke-10, saya menjadi yakin bahawa sebagai tambahan kepada kaedah pembuktian teorem Pythagoras yang dibincangkan dalam gred ke-8, terdapat kaedah pembuktian lain. Saya mengemukakannya untuk pertimbangan anda.
2. BAHAGIAN UTAMA.
Teorem. Dalam segi tiga tegak terdapat segi empat sama
Hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat sama kaki.
1 KAEDAH.
Dengan menggunakan sifat kawasan poligon, kita akan mewujudkan hubungan yang luar biasa antara hipotenus dan kaki segi tiga tegak.
Bukti.
a, c dan hipotenus Dengan(Gamb. 1, a).
Mari kita buktikan c²=a²+b².
Bukti.
Mari lengkapkan segi tiga kepada segi empat sama dengan sisi a + b seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 1, b. Luas S bagi segi empat sama ini ialah (a + b)². Sebaliknya, segi empat sama ini terdiri daripada empat segi tiga sama sudut tegak, setiap satunya mempunyai luas ½ aw , dan segi empat sama dengan sisi dengan, oleh itu S = 4 * ½ aw + s² = 2aw + s².
Oleh itu,
(a + b)² = 2 aw + s²,
c²=a²+b².
Teorem terbukti.
2 KAEDAH.
Selepas mempelajari topik "Segitiga serupa", saya mendapati bahawa anda boleh menggunakan persamaan segitiga kepada bukti teorem Pythagoras. Iaitu, saya menggunakan pernyataan bahawa kaki segi tiga tepat adalah berkadar min dengan hipotenus dan segmen hipotenus yang tertutup di antara kaki dan ketinggian yang dilukis dari bucu. sudut tepat.
Pertimbangkan segi tiga tegak dengan sudut tegak C, CD – ketinggian (Rajah 2). Mari kita buktikan AC² +NE² = AB²
.
Bukti.
Berdasarkan pernyataan tentang kaki segi tiga tegak:
AC = , SV = .
Mari kita kuasai dua dan tambahkan kesamaan yang terhasil:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), di mana AD+DB=AB, kemudian
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Buktinya sudah lengkap.
3 KAEDAH.
Untuk membuktikan teorem Pythagoras, anda boleh menggunakan takrifan kosinus sudut akut segi tiga tepat. Mari lihat Rajah. 3.
Bukti:
Biarkan ABC ialah segi tiga tegak yang diberi dengan sudut tegak C. Mari kita lukis CD altitud dari bucu sudut tegak C.
Mengikut takrifan kosinus sudut:
cos A = AD/AC = AC/AB. Oleh itu AB * AD = AC²
Begitu juga,
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Oleh itu AB * BD = BC².
Menambah istilah kesamaan yang terhasil mengikut sebutan dan mencatat bahawa AD + DB = AB, kita memperoleh:
AC² + matahari² = AB (AD + DB) = AB²
Buktinya sudah lengkap.
4 KAEDAH.
Setelah mempelajari topik "Hubungan antara sisi dan sudut segi tiga tepat", saya berpendapat bahawa teorem Pythagoras boleh dibuktikan dengan cara lain.
Pertimbangkan segi tiga tepat dengan kaki a, c dan hipotenus Dengan. (Gamb. 4).
Mari kita buktikan c²=a²+b².
Bukti.
dosa B= kualiti tinggi ; cos B= a/c , kemudian, mengkuadratkan kesamaan yang terhasil, kita dapat:
dosa² B= dalam²/s²; cos² DALAM= a²/c².
Menambahnya, kita dapat:
dosa² DALAM+cos² B=в²/с²+ а²/с², di mana sin² DALAM+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², oleh itu,
c²= a² + b².
Buktinya sudah lengkap.
5 KAEDAH.
Bukti ini berdasarkan petak pemotongan yang dibina pada kaki (Rajah 5) dan meletakkan bahagian yang terhasil pada petak yang dibina di atas hipotenus.
6 KAEDAH.
Untuk bukti di sebelah matahari kami sedang membina BCD ABC(Gamb. 6). Kita tahu bahawa kawasan bagi rajah yang serupa adalah berkaitan sebagai kuasa dua dimensi linear yang serupa:
Menolak yang kedua daripada kesamaan pertama, kita dapat
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
7 KAEDAH.
Diberi(Gamb. 7):
ABC,= 90° , matahari= a, AC=b, AB = c.
Buktikan:c2 = a2 +b2.
Bukti.
Biarkan kaki b A. Jom teruskan segmen NE setiap mata DALAM dan membina segitiga BMD supaya mata M Dan A berbaring di sebelah garis lurus CD dan selain itu, BD =b, BDM= 90°, DM= a, maka BMD= ABC pada dua sisi dan sudut di antara mereka. Mata A dan M berhubung dengan segmen pagi. Kami ada M.D. CD Dan A.C. CD, itu bermakna ia lurus AC selari dengan garisan M.D. Kerana M.D.< АС, kemudian lurus CD Dan A.M. tidak selari. Oleh itu, AMDC- trapezoid segi empat tepat.
Dalam segi tiga tepat ABC dan BMD 1 + 2 = 90° dan 3 + 4 = 90°, tetapi sejak = =, maka 3 + 2 = 90°; Kemudian AVM=180° - 90° = 90°. Ia ternyata bahawa trapezoid AMDC dibahagikan kepada tiga segi tiga tepat tidak bertindih, kemudian dengan aksiom luas
(a+b)(a+b)
Membahagikan semua sebutan ketaksamaan dengan , kita dapat
Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
8 KAEDAH.
Kaedah ini adalah berdasarkan hipotenus dan kaki segi tiga tegak ABC. Dia membina petak yang sepadan dan membuktikan bahawa petak yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah petak yang dibina pada kaki (Rajah 8).
Bukti.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, Bermaksud, FBC = DBA.
Oleh itu, FBC=ABD(pada dua sisi dan sudut di antara mereka).
2) 
,
di mana AL DE, kerana BD ialah asas biasa, DL- jumlah ketinggian.
3) 
, kerana FB adalah asas, AB- jumlah ketinggian.
4) 
5) Begitu juga, boleh dibuktikan bahawa 
6) Menambah istilah demi istilah, kita dapat:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Buktinya sudah lengkap.
9 KAEDAH.
Bukti.
1) Biarkan ABDE- segi empat sama (Rajah 9), sisi yang sama dengan hipotenus segi tiga tepat ABC= s, BC = a, AC =b).
2) Biarkan DK B.C. Dan DK = matahari, sejak 1 + 2 = 90° (seperti sudut akut segi tiga tepat), 3 + 2 = 90° (seperti sudut segi empat sama), AB= BD(sisi petak).
Bermaksud, ABC= BDK(mengikut hipotenus dan sudut akut).
3) Biarkan EL D.K., A.M. E.L. Ia boleh dibuktikan dengan mudah bahawa ABC = BDK = DEL = EAM (dengan kaki A Dan b). Kemudian KS= CM= M.L.= L.K.= A -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),Dengan2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
10 KAEDAH.
Buktinya boleh dilakukan pada angka berseloroh dipanggil "seluar Pythagoras" (Rajah 10). Ideanya adalah untuk mengubah segi empat sama yang dibina pada sisi menjadi segi tiga sama yang bersama-sama membentuk segi empat sama hipotenus.
ABC gerakkannya seperti yang ditunjukkan oleh anak panah, dan ia mengambil kedudukan KDN. Selebihnya angka itu AKTCB luas segi empat sama AKDC ini ialah segi empat selari AKNB.
Model segi empat selari telah dibuat AKNB. Kami menyusun semula segi empat selari seperti yang dilakarkan dalam kandungan kerja. Untuk menunjukkan transformasi segi empat selari kepada segi tiga sama luas, di hadapan mata pelajar, kami memotong segi tiga pada model dan menggerakkannya ke bawah. Oleh itu, luas segi empat sama AKDC ternyata sama dengan luas segi empat tepat. Begitu juga, kita menukarkan luas segi empat sama kepada luas segi empat tepat.
Mari kita buat transformasi untuk segi empat sama yang dibina pada sisi A(Gamb. 11,a):
a) segi empat sama diubah menjadi segi empat selari yang sama (Rajah 11.6):
b) segi empat selari berputar suku pusingan (Rajah 12):
c) segi empat selari diubah menjadi segi empat sama (Rajah 13): 11 KAEDAH.
Bukti:
PCL- lurus (Rajah 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah habis .
12 KAEDAH.
nasi. Rajah 15 menggambarkan satu lagi bukti asal teorem Pythagoras.
Di sini: segitiga ABC dengan sudut tepat C; segmen garisan B.F. berserenjang NE dan sama dengannya, segmen JADILAH berserenjang AB dan sama dengannya, segmen AD berserenjang AC dan sama dengannya; mata F, C,D tergolong dalam barisan yang sama; segi empat ADFB Dan ASVE sama saiz, sejak ABF = ECB; segi tiga ADF Dan ACE sama saiz; tolak daripada kedua-dua segi empat sama segi tiga yang mereka kongsi ABC, kita mendapatkan
, c2 = a2 +
b2.
Buktinya sudah lengkap.
13 KAEDAH.
Luas segi tiga tepat yang diberikan, pada satu sisi, adalah sama dengan ,
dengan yang lain, ,
3. KESIMPULAN.
Hasil daripada aktiviti pencarian, matlamat kerja itu tercapai, iaitu untuk menambah dan menyamaratakan pengetahuan tentang pembuktian teorem Pythagoras. Ia adalah mungkin untuk mencari dan mempertimbangkan pelbagai cara untuk membuktikannya dan mendalami pengetahuan mengenai topik itu, melangkaui halaman buku teks sekolah.
Bahan yang saya kumpulkan lebih meyakinkan saya bahawa teorem Pythagoras ialah teorem geometri yang hebat dan mempunyai kepentingan teori dan praktikal yang sangat besar. Sebagai kesimpulan, saya ingin mengatakan: sebab populariti teorem triune Pythagoras adalah keindahan, kesederhanaan dan kepentingannya!
4. LITERATUR YANG DIGUNAKAN.
1. Algebra yang menghiburkan. . Moscow "Sains", 1978.
2. Tambahan pendidikan dan metodologi mingguan kepada akhbar "Pertama September", 24/2001.
3. Geometri 7-9. dan sebagainya.
4. Geometri 7-9. dan sebagainya.
(menurut papirus 6619 Muzium Berlin). Menurut Cantor, harpedonaptes, atau "penarik tali," membina sudut tegak menggunakan segi tiga tepat dengan sisi 3, 4, dan 5.
Ia sangat mudah untuk menghasilkan semula kaedah pembinaan mereka. Mari kita ambil seutas tali sepanjang 12 m dan ikat jalur berwarna padanya pada jarak 3 m dari satu hujung dan 4 meter dari hujung yang lain. Sudut tepat akan berada di antara sisi 3 dan 4 meter panjang. Ia boleh dibantah oleh Harpedonaptian bahawa kaedah pembinaan mereka menjadi berlebihan jika seseorang menggunakan, sebagai contoh, persegi kayu, yang digunakan oleh semua tukang kayu. Malah, lukisan Mesir diketahui di mana alat sedemikian ditemui, sebagai contoh, lukisan yang menggambarkan bengkel pertukangan.
Lebih banyak diketahui tentang teorem Pythagoras di kalangan orang Babylon. Dalam satu teks sejak zaman Hammurabi, iaitu 2000 SM. e. , pengiraan anggaran hipotenus segi tiga tegak diberikan. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa di Mesopotamia mereka dapat melakukan pengiraan dengan segi tiga tepat, sekurang-kurangnya dalam beberapa kes. Berdasarkan, di satu pihak, pada tahap pengetahuan semasa tentang matematik Mesir dan Babylon, dan sebaliknya, pada kajian kritikal sumber Yunani, Van der Waerden (seorang ahli matematik Belanda) menyimpulkan bahawa terdapat kebarangkalian yang tinggi bahawa teorem pada segi empat sama hipotenus telah diketahui di India sekitar abad ke-18 SM. e.
Sekitar 400 SM. BC, menurut Proclus, Plato memberikan kaedah untuk mencari kembar tiga Pythagoras, menggabungkan algebra dan geometri. Sekitar 300 SM. e. Bukti aksiomatik tertua teorem Pythagoras muncul dalam Elemen Euclid.
Formulasi
Formulasi geometri:
Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:
Perumusan algebra:
Iaitu, menandakan panjang hipotenus segi tiga dengan , dan panjang kaki oleh dan :
Kedua-dua rumusan teorem adalah setara, tetapi rumusan kedua adalah lebih asas; ia tidak memerlukan konsep luas. Iaitu, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang luas dan dengan mengukur hanya panjang sisi segi tiga tepat.
Teorem Converse Pythagoras:
Bukti
hidup masa ini 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin, teorem Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Kepelbagaian tersebut hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.
Sudah tentu, secara konsep semuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal: bukti dengan kaedah kawasan, bukti aksiomatik dan eksotik (contohnya, menggunakan persamaan pembezaan).
Melalui segi tiga yang serupa
Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti yang paling mudah, dibina terus daripada aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.
biarlah ABC terdapat segi tiga tegak dengan sudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan nyatakan pangkalannya dengan H. Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga ABC di dua sudut. Begitu juga, segi tiga CBH serupa ABC. Dengan memperkenalkan notasi
kita mendapatkan
Apa yang setara
Menambahnya, kita dapat
, itulah yang perlu dibuktikanBukti menggunakan kaedah kawasan
Bukti-bukti di bawah, walaupun nampak sederhana, tidaklah begitu mudah sama sekali. Mereka semua menggunakan sifat kawasan, buktinya lebih kompleks daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.
Bukti melalui equicomplementarity
- Mari kita susun empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1.
- Segi empat dengan sisi c ialah segi empat sama, kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90°, dan sudut lurus ialah 180°.
- Luas keseluruhan rajah adalah sama, dalam satu tangan, dengan luas segi empat sama dengan sisi (a + b), dan sebaliknya, dengan jumlah luas empat segi tiga dan luas segi empat dalam.
Q.E.D.
Bukti Euclid
Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh luas segi empat yang dibina di atas kaki, dan kemudian luas petak besar dan dua petak kecil adalah sama.
Mari lihat lukisan di sebelah kiri. Di atasnya kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga tepat dan melukis sinar s dari bucu sudut tepat C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina di atas hipotenus, kepada dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan.
Mari cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama segi empat tepat yang diberi adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberi. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini, maka luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan dalam rajah), yang seterusnya adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK.
Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat mengikut sifat di atas). Kesamaan ini jelas: segi tiga adalah sama pada kedua-dua belah dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK, AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: kita memutarkan segitiga CAK 90° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi kedua-dua segi tiga dalam soalan akan bertepatan (kerana sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°).
Alasan untuk kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya.
Oleh itu, kami membuktikan bahawa luas segi empat yang dibina di atas hipotenus terdiri daripada kawasan segi empat sama yang dibina di atas kaki. Idea di sebalik bukti ini diilustrasikan lagi oleh animasi di atas.
Bukti Leonardo da Vinci
Elemen utama pembuktian ialah simetri dan gerakan.
Mari kita pertimbangkan lukisan itu, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen memotong segi empat sama kepada dua bahagian yang sama (kerana segi tiga adalah sama dalam pembinaan).
Menggunakan putaran 90 darjah lawan jam di sekeliling titik, kita melihat kesamaan angka berlorek dan.
Kini jelas bahawa luas rajah yang telah kita lorekkan adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak kecil (dibina pada kaki) dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia adalah sama dengan separuh luas segi empat sama besar (dibina pada hipotenus) ditambah dengan luas segi tiga asal. Oleh itu, separuh jumlah luas segi empat sama kecil adalah sama dengan separuh luas segi empat sama besar, dan oleh itu jumlah luas segi empat sama yang dibina di atas kaki adalah sama dengan luas segi empat sama yang dibina di atas. hipotenus.
Bukti dengan kaedah paling kecil
Bukti berikut menggunakan persamaan pembezaan sering dikaitkan dengan ahli matematik Inggeris terkenal Hardy, yang hidup pada separuh pertama abad ke-20.
Melihat lukisan yang ditunjukkan dalam rajah dan memerhatikan perubahan di sebelah a, kita boleh menulis hubungan berikut untuk kenaikan sisi yang sangat kecil Dengan Dan a(menggunakan persamaan segi tiga):
Menggunakan kaedah pengasingan pembolehubah, kita dapati
Lagi ungkapan umum untuk menukar hipotenus sekiranya berlaku kenaikan kedua-dua kaki
Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan keadaan awal, kami memperoleh
Oleh itu kita sampai pada jawapan yang dikehendaki
Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh perkadaran linear antara sisi segitiga dan kenaikan, manakala jumlahnya dikaitkan dengan sumbangan bebas daripada kenaikan kaki yang berbeza.
Bukti yang lebih mudah boleh diperoleh jika kita mengandaikan bahawa salah satu kaki tidak mengalami peningkatan (dalam dalam kes ini kaki). Kemudian untuk pemalar penyepaduan yang kami perolehi
Variasi dan generalisasi
Bentuk geometri yang serupa pada tiga sisi
Generalisasi untuk segi tiga yang serupa, luas bentuk hijau A + B = luas biru C
Teorem Pythagoras menggunakan segi tiga tepat serupa
Euclid menyamaratakan teorem Pythagoras dalam karyanya Permulaan, mengembangkan kawasan segi empat sama pada sisi ke kawasan angka geometri yang serupa:
Jika anda membina serupa angka geometri(lihat geometri Euclidean) pada sisi segi tiga tepat, maka hasil tambah dua angka yang lebih kecil akan sama dengan luas angka yang lebih besar.
Idea utama generalisasi ini adalah bahawa luas rajah geometri sedemikian adalah berkadar dengan kuasa dua mana-mana dimensi linearnya dan, khususnya, dengan kuasa dua panjang mana-mana sisi. Oleh itu, untuk angka yang sama dengan kawasan A, B Dan C dibina pada sisi dengan panjang a, b Dan c, kami ada:
Tetapi, menurut teorem Pythagoras, a 2 + b 2 = c 2 kemudian A + B = C.
Sebaliknya, jika kita boleh membuktikannya A + B = C untuk tiga angka geometri yang serupa tanpa menggunakan teorem Pythagoras, maka kita boleh membuktikan teorem itu sendiri, bergerak ke arah yang bertentangan. Sebagai contoh, segitiga pusat permulaan boleh digunakan semula sebagai segi tiga C pada hipotenus, dan dua segi tiga tepat serupa ( A Dan B), dibina pada dua sisi yang lain, yang dibentuk dengan membahagikan segitiga pusat dengan ketinggiannya. Jumlah kawasan dua segi tiga yang lebih kecil kemudiannya jelas sama dengan luas ketiga, oleh itu A + B = C dan, memenuhi bukti sebelumnya dalam susunan terbalik, kita memperoleh teorem Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 .
Teorem kosinus
Teorem Pythagoras ialah kes istimewa teorem kosinus yang lebih umum, yang mengaitkan panjang sisi dalam segi tiga arbitrari:
di mana θ ialah sudut antara sisi a Dan b.
Jika θ ialah 90 darjah maka cos θ = 0 dan formula dipermudahkan kepada teorem Pythagoras biasa.
Segitiga Percuma
Ke mana-mana sudut terpilih bagi segi tiga sewenang-wenangnya dengan sisi a, b, c Mari kita tulis segitiga sama kaki sedemikian rupa sehingga sudut yang sama pada tapaknya θ adalah sama dengan sudut yang dipilih. Mari kita andaikan bahawa sudut θ yang dipilih terletak bertentangan dengan sisi yang ditetapkan c. Akibatnya, kami mendapat segitiga ABD dengan sudut θ, yang terletak bertentangan dengan sisi a dan parti r. Segitiga kedua dibentuk oleh sudut θ, yang terletak bertentangan dengan sisi b dan parti Dengan panjang s, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Thabit Ibn Qurra berpendapat bahawa sisi-sisi dalam tiga segi tiga ini adalah berkaitan seperti berikut:
Apabila sudut θ menghampiri π/2, tapak segi tiga sama kaki menjadi lebih kecil dan kedua-dua belah r dan s bertindih antara satu sama lain semakin kurang. Apabila θ = π/2, ADB menjadi segi tiga tegak, r + s = c dan kita memperoleh teorem Pythagoras awal.
Mari kita pertimbangkan salah satu hujah. Segitiga ABC mempunyai sudut yang sama dengan segitiga ABD, tetapi dalam susunan terbalik. (Dua segi tiga mempunyai sudut sepunya pada bucu B, kedua-duanya mempunyai sudut θ dan juga mempunyai sudut ketiga yang sama, dengan jumlah sudut segi tiga) Oleh itu, ABC adalah serupa dengan pantulan ABD bagi segi tiga DBA, seperti yang ditunjukkan dalam rajah bawah. Mari kita tuliskan hubungan antara sisi bertentangan dan yang bersebelahan dengan sudut θ,
Juga pantulan segitiga lain,
Mari kita darabkan pecahan dan tambah dua nisbah ini:
Q.E.D.
Generalisasi untuk segi tiga arbitrari melalui segi empat selari
Generalisasi untuk segi tiga arbitrari,
kawasan hijau plot = kawasan biru
Bukti tesis bahawa dalam rajah di atas
Mari kita buat generalisasi lanjut untuk segi tiga bukan tegak dengan menggunakan segi empat selari pada tiga sisi dan bukannya segi empat sama. (persegi empat ialah kes khas.) Rajah di atas menunjukkan bahawa bagi segi tiga akut, luas segi empat selari pada sisi panjang adalah sama dengan jumlah segiempat selari pada dua sisi yang lain, dengan syarat segi empat selari pada sisi panjang. sisi dibina seperti yang ditunjukkan dalam rajah (dimensi yang ditunjukkan oleh anak panah adalah sama dan menentukan sisi selari bawah). Penggantian segi empat sama dengan segi empat selari ini mempunyai persamaan yang jelas dengan teorem awal Pythagoras, yang dianggap telah dirumuskan oleh Pappus dari Alexandria pada 4 AD. e.
Angka bawah menunjukkan kemajuan bukti. Mari lihat bahagian kiri segi tiga. Paralelogram hijau kiri mempunyai luas yang sama dengan sebelah kiri segi empat selari biru kerana mereka mempunyai tapak yang sama b dan ketinggian h. Selain itu, segi empat selari hijau kiri mempunyai kawasan yang sama dengan segi empat selari hijau kiri dalam gambar atas kerana ia berkongsi tapak yang sama (atas sebelah kiri segi tiga) dan jumlah ketinggian yang berserenjang dengan sisi segi tiga itu. Menggunakan penaakulan yang sama untuk bahagian kanan segi tiga, kita akan membuktikan bahawa segi empat selari bawah mempunyai luas yang sama dengan dua segi empat selari hijau.
Nombor kompleks
Teorem Pythagoras digunakan untuk mencari jarak antara dua titik dalam sistem koordinat Cartesan, dan teorem ini sah untuk semua koordinat sebenar: jarak s antara dua titik ( a, b) Dan ( c, d) sama
Tiada masalah dengan formula jika nombor kompleks dianggap sebagai vektor dengan komponen sebenar x + saya y = (x, y). . Contohnya, jarak s antara 0 + 1 i dan 1 + 0 i dikira sebagai modulus vektor (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), atau
Walau bagaimanapun, untuk operasi dengan vektor dengan koordinat kompleks, perlu membuat beberapa penambahbaikan pada formula Pythagoras. Jarak antara mata dengan nombor kompleks (a, b) Dan ( c, d); a, b, c, Dan d semua kompleks, mari kita rumuskan menggunakan nilai mutlak. Jarak s berdasarkan perbezaan vektor (a − c, b − d) dalam bentuk berikut: biarkan perbezaan a − c = hlm+i q, Di mana hlm- bahagian sebenar perbezaan, q ialah bahagian khayalan, dan i = √(−1). Begitu juga, biarkan b − d = r+i s. Kemudian:
di manakah nombor konjugat kompleks bagi . Sebagai contoh, jarak antara titik (a, b) = (0, 1) Dan (c, d) = (i, 0) , jom kira bezanya (a − c, b − d) = (−i, 1) dan hasilnya akan menjadi 0 jika konjugat kompleks tidak digunakan. Oleh itu, menggunakan formula yang lebih baik, kita dapat
Modul ditakrifkan seperti berikut:
Stereometri
Generalisasi penting teorem Pythagoras untuk ruang tiga dimensi ialah teorem de Goy, dinamakan sempena J.-P. de Gois: jika tetrahedron mempunyai sudut tegak (seperti dalam kubus), maka segi empat sama luas muka yang bertentangan dengan sudut tepat adalah sama dengan jumlah segi empat sama kawasan tiga muka yang lain. Kesimpulan ini boleh diringkaskan sebagai " n-teorem Pythagoras dimensi":
Teorem Pythagoras ruang tiga dimensi menghubungkan AD pepenjuru kepada tiga sisi.
Satu lagi generalisasi: Teorem Pythagoras boleh digunakan untuk stereometri dalam bentuk berikut. Pertimbangkan sebuah paip selari segi empat tepat seperti yang ditunjukkan dalam rajah. Mari kita cari panjang pepenjuru BD menggunakan teorem Pythagoras:
di mana tiga sisi membentuk segi tiga tepat. Kami menggunakan pepenjuru mendatar BD dan tepi menegak AB untuk mencari panjang pepenjuru AD, untuk ini kami sekali lagi menggunakan teorem Pythagoras:
atau, jika kita menulis semuanya dalam satu persamaan:
Keputusan ini ialah ungkapan tiga dimensi untuk menentukan magnitud vektor v(AD pepenjuru), dinyatakan dari segi komponen serenjangnya ( v k ) (tiga sisi yang saling berserenjang):
Persamaan ini boleh dianggap sebagai generalisasi teorem Pythagoras untuk ruang berbilang dimensi. Walau bagaimanapun, hasilnya sebenarnya tidak lebih daripada penggunaan berulang teorem Pythagoras kepada urutan segi tiga tegak dalam satah berserenjang berturut-turut.
Ruang vektor
Dalam kes sistem vektor ortogon, terdapat kesamaan, yang juga dipanggil teorem Pythagoras:
Jika - ini adalah unjuran vektor pada paksi koordinat, maka formula ini bertepatan dengan jarak Euclidean - dan bermakna panjang vektor adalah sama dengan punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua komponennya.
Analog kesamaan ini dalam kes sistem vektor tak terhingga dipanggil kesamaan Parseval.
Geometri bukan Euclidean
Teorem Pythagoras diperoleh daripada aksiom geometri Euclidean dan, sebenarnya, tidak sah untuk geometri bukan Euclidean, dalam bentuk yang ditulis di atas. (Iaitu, teorem Pythagoras ternyata menjadi sejenis yang setara dengan postulat keselarian Euclid) Dalam erti kata lain, dalam geometri bukan Euclidean hubungan antara sisi segitiga semestinya akan dalam bentuk yang berbeza daripada teorem Pythagoras. Contohnya, dalam geometri sfera, ketiga-tiga sisi segi tiga tegak (katakan a, b Dan c), yang mengehadkan oktan (bahagian kelapan) sfera unit, mempunyai panjang π/2, yang bercanggah dengan teorem Pythagoras, kerana a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Mari kita pertimbangkan di sini dua kes geometri bukan Euclidean - geometri sfera dan hiperbolik; dalam kedua-dua kes, bagi ruang Euclidean untuk segi tiga tegak, hasilnya, yang menggantikan teorem Pythagoras, mengikuti daripada teorem kosinus.
Walau bagaimanapun, teorem Pythagoras kekal sah untuk geometri hiperbolik dan eliptik jika keperluan bahawa segi tiga itu adalah segi empat tepat digantikan dengan syarat bahawa jumlah dua sudut segitiga mestilah sama dengan yang ketiga, katakan. A+B = C. Kemudian hubungan antara sisi kelihatan seperti ini: jumlah kawasan bulatan dengan diameter a Dan b sama dengan luas bulatan dengan diameter c.
Geometri sfera
Untuk sebarang segi tiga tepat pada sfera dengan jejari R(contohnya, jika sudut γ dalam segitiga adalah betul) dengan sisi a, b, c Hubungan antara pihak akan kelihatan seperti ini:
Persamaan ini boleh diperolehi sebagai kes khas teorem kosinus sfera, yang sah untuk semua segi tiga sfera:
di mana kosh ialah kosinus hiperbolik. Formula ini ialah kes khas teorem kosinus hiperbolik, yang sah untuk semua segi tiga:
di mana γ ialah sudut yang bucunya bertentangan dengan sisi c.
di mana g ij dipanggil tensor metrik. Ia mungkin fungsi kedudukan. Ruang lengkung tersebut termasuk geometri Riemannian sebagai contoh umum. Rumusan ini juga sesuai untuk ruang Euclidean apabila menggunakan koordinat curvilinear. Sebagai contoh, untuk koordinat kutub:
Karya seni vektor
Teorem Pythagoras menghubungkan dua ungkapan untuk magnitud produk vektor. Satu pendekatan untuk mentakrifkan hasil silang memerlukan ia memenuhi persamaan:
Formula ini menggunakan produk titik. Sebelah kanan persamaan dipanggil penentu Gram untuk a Dan b, yang sama dengan luas segi empat selari yang dibentuk oleh kedua-dua vektor ini. Berdasarkan keperluan ini, serta keperluan bahawa produk vektor adalah berserenjang dengan komponennya a Dan b ia berikutan bahawa, kecuali untuk kes remeh dari ruang 0 dan 1 dimensi, hasil silang ditakrifkan hanya dalam tiga dan tujuh dimensi. Kami menggunakan definisi sudut dalam n-ruang dimensi:
Sifat produk silang ini memberikan magnitudnya seperti berikut:
Melalui identiti trigonometri asas Pythagoras kita memperoleh satu lagi bentuk penulisan nilainya:
Pendekatan alternatif untuk mentakrifkan hasil silang ialah menggunakan ungkapan untuk magnitudnya. Kemudian, menaakul dalam susunan terbalik, kami memperoleh sambungan dengan hasil skalar:
lihat juga
Nota
- Topik sejarah: Teorem Pythagoras dalam matematik Babylon
- ( , hlm. 351) hlm 351
- ( , Jilid I, hlm. 144)
- Perbincangan fakta sejarah diberikan dalam (, ms 351) ms 351
- Kurt Von Fritz (Apr., 1945). "Penemuan Incommensurability oleh Hippasus of Metapontum". The Annals of Mathematics, Siri Kedua(Annals of Mathematics) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, “The Story with Knots”, M., Mir, 1985, hlm. 7
- Asger Aaboe Episod dari sejarah awal matematik. - Persatuan Matematik Amerika, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Cadangan Python oleh Elisha Scott Loomis
- milik Euclid elemen: Buku VI, Proposisi VI 31: “Dalam segi tiga bersudut tegak, rajah pada sisi yang mencakar sudut tegak adalah sama dengan rajah yang serupa dan diterangkan serupa pada sisi yang mengandungi sudut tepat.”
- Lawrence S. Leff karya yang dipetik. - Siri Pendidikan Barron - P. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...generalisasi teorem Pythagoras // Detik-detik hebat dalam matematik (sebelum 1650). - Persatuan Matematik Amerika, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (nama penuh Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 AD) adalah seorang doktor yang tinggal di Baghdad yang banyak menulis mengenai Elemen Euclid dan subjek matematik lain.
- Aydin Sayili (Mac. 1960). "Generalisasi Teorem Pythagoras oleh Thabit ibn Qurra." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally Latihan 2.10 (ii) // Karya yang dipetik. - P. 62. - ISBN 0821844032
- Untuk butiran pembinaan sedemikian, lihat George Jennings Rajah 1.32: Teorem Pythagoras umum // Geometri moden dengan aplikasi: dengan 150 angka. - ke-3. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy item C: Norma untuk sewenang-wenangnya n-tuple ... // Pengenalan kepada analisis . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Lihat juga muka surat 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Geometri pembezaan moden lengkung dan permukaan dengan Mathematica. - ke-3. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Analisis matriks. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking karya yang dipetik. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein CRC ensiklopedia ringkas matematik. - ke-2. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Apabila anda mula belajar tentang punca kuasa dua dan cara menyelesaikan persamaan tidak rasional (persamaan yang melibatkan yang tidak diketahui di bawah tanda punca), anda mungkin mendapat rasa pertama anda tentang kegunaan praktikalnya. Keupayaan untuk mengekstrak Punca kuasa dua daripada nombor juga perlu untuk menyelesaikan masalah menggunakan teorem Pythagoras. Teorem ini mengaitkan panjang sisi mana-mana segi tiga tegak.
Biarkan panjang kaki segi tiga tegak (kedua-dua sisi yang bertemu pada sudut tegak) ditentukan oleh huruf dan, dan panjang hipotenus (sisi terpanjang segitiga yang terletak bertentangan dengan sudut tegak) akan ditetapkan dengan surat. Kemudian panjang yang sepadan dikaitkan dengan hubungan berikut:
Persamaan ini membolehkan anda mencari panjang sisi segitiga tegak apabila panjang dua sisi yang lain diketahui. Di samping itu, ia membolehkan anda menentukan sama ada segi tiga yang dimaksudkan adalah segi tiga tepat, dengan syarat bahawa panjang ketiga-tiga sisi diketahui terlebih dahulu.
Menyelesaikan masalah menggunakan teorem Pythagoras
Untuk menyatukan bahan, kami akan menyelesaikan masalah berikut menggunakan teorem Pythagoras.
Jadi, diberikan:
- Panjang salah satu kaki ialah 48, hipotenus ialah 80.
- Panjang kaki ialah 84, hipotenus ialah 91.
Mari kita dapatkan penyelesaiannya:
a) Menggantikan data ke dalam persamaan di atas memberikan keputusan berikut:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 atau b = -64
Oleh kerana panjang sisi segitiga tidak dapat dinyatakan nombor negatif, pilihan kedua dibuang secara automatik.
Jawapan untuk gambar pertama: b = 64.
b) Panjang kaki segi tiga kedua didapati dengan cara yang sama:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 atau b = -35
Seperti dalam kes sebelumnya, keputusan negatif dibuang.
Jawapan untuk gambar kedua: b = 35
Kami diberi:
- Panjang sisi segitiga yang lebih kecil ialah 45 dan 55, masing-masing, dan sisi yang lebih besar ialah 75.
- Panjang sisi yang lebih kecil bagi segi tiga itu masing-masing ialah 28 dan 45, dan sisi yang lebih besar ialah 53.
Mari selesaikan masalah:
a) Adalah perlu untuk menyemak sama ada jumlah segi empat sama panjang sisi yang lebih pendek bagi segitiga tertentu adalah sama dengan kuasa dua panjang yang lebih besar:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Oleh itu, segitiga pertama bukan segi tiga tegak.
b) Operasi yang sama dilakukan:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Oleh itu, segitiga kedua ialah segi tiga tegak.
Mula-mula, mari kita cari panjang segmen terbesar yang dibentuk oleh titik dengan koordinat (-2, -3) dan (5, -2). Untuk ini kami gunakan formula yang terkenal untuk mencari jarak antara titik dalam sistem koordinat segi empat tepat:
Begitu juga, kita dapati panjang segmen tertutup antara titik dengan koordinat (-2, -3) dan (2, 1):
Akhir sekali, kami menentukan panjang segmen antara titik dengan koordinat (2, 1) dan (5, -2):
Oleh kerana kesaksamaan dipegang:
maka segi tiga yang sepadan adalah bersudut tegak.
Oleh itu, kita boleh merumuskan jawapan kepada masalah itu: kerana jumlah segi empat sama sisi dengan panjang terpendek adalah sama dengan segi empat sama sisi dengan panjang terpanjang, titik-titik adalah bucu segitiga tegak.
Tapak (terletak betul-betul mendatar), jamb (terletak betul-betul menegak) dan kabel (diregangkan menyerong) masing-masing membentuk segi tiga tepat, untuk mencari panjang kabel teorem Pythagoras boleh digunakan:
Oleh itu, panjang kabel adalah kira-kira 3.6 meter.
Diberi: jarak dari titik R ke titik P (kaki segitiga) ialah 24, dari titik R ke titik Q (hipotenus) ialah 26.
Jadi, jom bantu Vita selesaikan masalah. Oleh kerana sisi segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah sepatutnya membentuk segi tiga tepat, anda boleh menggunakan teorem Pythagoras untuk mencari panjang sisi ketiga:
Jadi, lebar kolam itu ialah 10 meter.
Sergey Valerievich
Teorem Pythagoras- salah satu teorem asas geometri Euclidean, mewujudkan hubungan
antara sisi segi tiga tegak.
Adalah dipercayai bahawa ia telah dibuktikan oleh ahli matematik Yunani Pythagoras, yang dinamakan sempena namanya.
Rumusan geometri teorem Pythagoras.
Teorem pada asalnya dirumuskan seperti berikut:
Dalam segi tiga tepat, luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah luas segi empat sama,
dibina di atas kaki.
Rumusan algebra bagi teorem Pythagoras.
Dalam segi tiga tegak, kuasa dua panjang hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua panjang kaki.
Iaitu, menandakan panjang hipotenus segi tiga oleh c, dan panjang kaki melalui a Dan b:
Kedua-dua formulasi Teorem Pythagoras adalah setara, tetapi rumusan kedua adalah lebih asas, ia tidak
memerlukan konsep kawasan. Maksudnya, pernyataan kedua boleh disahkan tanpa mengetahui apa-apa tentang kawasan dan
dengan hanya mengukur panjang sisi segi tiga tegak.
Teorem Converse Pythagoras.
Jika segi empat sama satu sisi segitiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, maka
segi tiga tepat.
Atau, dengan kata lain:
Untuk setiap tiga kali ganda nombor positif a, b Dan c, seperti itu
terdapat segi tiga tepat dengan kaki a Dan b dan hipotenus c.
Teorem Pythagoras untuk segi tiga sama kaki.
Teorem Pythagoras untuk segi tiga sama sisi.
Bukti teorem Pythagoras.
Pada masa ini, 367 bukti teorem ini telah direkodkan dalam kesusasteraan saintifik. Mungkin teorem
Pythagoras adalah satu-satunya teorem dengan bilangan bukti yang mengagumkan. Kepelbagaian sedemikian
hanya boleh dijelaskan oleh kepentingan asas teorem untuk geometri.
Sudah tentu, secara konsep semuanya boleh dibahagikan kepada sebilangan kecil kelas. Yang paling terkenal di antara mereka:
bukti kaedah kawasan, aksiomatik Dan bukti eksotik(Sebagai contoh,
dengan menggunakan persamaan pembezaan).
1. Bukti teorem Pythagoras menggunakan segi tiga yang serupa.
Bukti rumusan algebra berikut adalah bukti termudah yang dibina
terus dari aksiom. Khususnya, ia tidak menggunakan konsep luas angka.
biarlah ABC terdapat segi tiga tegak dengan sudut tegak C. Mari kita lukis ketinggian dari C dan menandakan
asasnya melalui H.
Segi tiga ACH serupa dengan segi tiga AB C di dua penjuru. Begitu juga, segi tiga CBH serupa ABC.
Dengan memperkenalkan notasi:
kita mendapatkan:
,
yang sepadan dengan -
Dilipat a 2 dan b 2, kita dapat:
atau , itulah yang perlu dibuktikan.
2. Bukti teorem Pythagoras menggunakan kaedah luas.
Bukti-bukti di bawah, walaupun nampak sederhana, tidaklah begitu mudah sama sekali. Kesemuanya
gunakan sifat kawasan, buktinya lebih kompleks daripada bukti teorem Pythagoras itu sendiri.
- Bukti melalui ekuipelengkap.
Mari kita susun empat segi empat sama
segi tiga seperti yang ditunjukkan dalam rajah
di sebelah kanan.
Segi empat dengan sisi c- persegi,
kerana hasil tambah dua sudut lancip ialah 90°, dan
sudut terbentang - 180°.
Luas keseluruhan rajah adalah, di satu pihak,
luas segi empat sama dengan sisi ( a+b), dan sebaliknya, hasil tambah luas empat segi tiga dan
Q.E.D.
3. Bukti teorem Pythagoras dengan kaedah infinitesimal.
Melihat lukisan yang ditunjukkan dalam rajah dan
melihat perubahan sisia, kita boleh
tulis hubungan berikut untuk infiniti
kecil kenaikan sampinganDengan Dan a(menggunakan persamaan
segi tiga):
Menggunakan kaedah pemisahan berubah-ubah, kami dapati:
Ungkapan yang lebih umum untuk perubahan hipotenus dalam kes kenaikan pada kedua-dua belah:
Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan syarat awal, kami memperoleh:
Oleh itu kita sampai pada jawapan yang dikehendaki:
Seperti yang mudah dilihat, pergantungan kuadratik dalam formula akhir muncul disebabkan oleh linear
perkadaran antara sisi segi tiga dan kenaikan, manakala hasil tambah adalah berkaitan dengan bebas
sumbangan daripada kenaikan kaki yang berbeza.
Bukti yang lebih mudah boleh diperoleh jika kita mengandaikan bahawa sebelah kaki tidak mengalami peningkatan
(dalam kes ini kaki b). Kemudian untuk pemalar penyepaduan kita peroleh:
Teorem Pythagoras
Begitu juga, segi tiga CBH adalah serupa dengan ABC. Dengan memperkenalkan notasi 
1. Letakkan empat segi tiga sama tegak seperti yang ditunjukkan dalam rajah. 
Idea pembuktian Euclid adalah seperti berikut: mari kita cuba buktikan bahawa separuh luas segi empat sama yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah separuh luas segi empat yang dibina di atas kaki, dan kemudian luas petak besar dan dua petak kecil adalah sama. Mari lihat lukisan di sebelah kiri. Di atasnya kami membina segi empat sama pada sisi segi tiga tepat dan melukis sinar s dari bucu sudut tepat C berserenjang dengan hipotenus AB, ia memotong segi empat sama ABIK, dibina di atas hipotenus, kepada dua segi empat tepat - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas segi empat tepat ini sama dengan luas segi empat yang dibina pada kaki yang sepadan. Mari cuba buktikan bahawa luas segi empat DECA adalah sama dengan luas segi empat tepat AHJK Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan pemerhatian tambahan: Luas segi tiga dengan ketinggian dan tapak yang sama segi empat tepat yang diberi adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang diberi. Ini adalah akibat daripada menentukan luas segi tiga sebagai separuh hasil darab tapak dan ketinggian. Daripada pemerhatian ini, maka luas segi tiga ACK adalah sama dengan luas segi tiga AHK (tidak ditunjukkan dalam rajah), yang seterusnya adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat AHJK. Mari kita buktikan bahawa luas segi tiga ACK juga sama dengan separuh luas DECA persegi. Satu-satunya perkara yang perlu dilakukan untuk ini ialah membuktikan kesamaan segi tiga ACK dan BDA (kerana luas segi tiga BDA adalah sama dengan separuh luas segi empat mengikut sifat di atas). Kesamaan adalah jelas, segi tiga adalah sama pada kedua-dua belah dan sudut di antara mereka. Iaitu - AB=AK,AD=AC - kesamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan kaedah gerakan: kita memutarkan segi tiga CAK 90° lawan jam, maka jelaslah bahawa sisi yang sepadan bagi kedua-dua segi tiga dalam soalan akan bertepatan (kerana sudut pada bucu segi empat sama ialah 90°). Alasan untuk kesamaan luas segi empat sama BCFG dan segi empat tepat BHJI adalah sama sepenuhnya. Oleh itu, kami membuktikan bahawa luas segi empat yang dibina di atas hipotenus terdiri daripada kawasan segi empat sama yang dibina di atas kaki. 
Mari kita pertimbangkan lukisan itu, seperti yang dapat dilihat dari simetri, segmen CI memotong segi empat sama ABHJ kepada dua bahagian yang sama (kerana segi tiga ABC dan JHI adalah sama dalam pembinaan). Menggunakan putaran lawan jam 90 darjah, kita melihat kesamaan angka berlorek CAJI dan GDAB. Kini jelas bahawa luas rajah yang telah kita lorekkan adalah sama dengan jumlah separuh kawasan petak yang dibina di atas kaki dan luas segi tiga asal. Sebaliknya, ia adalah sama dengan separuh luas segi empat yang dibina di atas hipotenus, ditambah dengan luas segi tiga asal. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.
