Tidak ramai orang di dunia yang tidak pernah mendengar tentang Teorem Terakhir Fermat - mungkin ini satu-satunya masalah matematik yang telah diketahui secara meluas dan telah menjadi legenda sebenar. Ia disebut dalam banyak buku dan filem, dan konteks utama hampir semua sebutan adalah kemustahilan untuk membuktikan teorem.
Ya, teorem ini sangat terkenal dan, dalam erti kata lain, telah menjadi "berhala" yang disembah oleh ahli matematik amatur dan profesional, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahawa buktinya ditemui, dan ini berlaku pada tahun 1995. Tetapi perkara pertama dahulu.
Jadi, Teorem Terakhir Fermat (sering dipanggil teorem terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematik Perancis yang cemerlang Pierre Fermat, pada dasarnya sangat mudah dan boleh difahami oleh sesiapa sahaja yang mempunyai pendidikan menengah. Ia mengatakan bahawa formula a kepada kuasa n + b kepada kuasa n = c kepada kuasa n tidak mempunyai penyelesaian semula jadi (iaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya kelihatan mudah dan jelas, tetapi ahli matematik terbaik dan amatur biasa bergelut dengan mencari penyelesaian selama lebih daripada tiga setengah abad.
Mengapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mengetahui...
Adakah terdapat banyak teorem yang telah terbukti, belum terbukti dan masih belum terbukti? Intinya di sini ialah Teorem Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kerumitan bukti. Teorem Terakhir Fermat adalah masalah yang sangat sukar, namun perumusannya boleh difahami oleh sesiapa sahaja yang mempunyai gred 5 sekolah menengah, tetapi tidak setiap ahli matematik profesional dapat memahami buktinya. Baik dalam fizik, mahupun dalam kimia, mahupun dalam biologi, mahupun dalam matematik, tidak ada satu masalah yang boleh dirumuskan dengan begitu mudah, tetapi kekal tidak diselesaikan untuk sekian lama. 2. Apakah kandungannya?
Mari kita mulakan dengan seluar Pythagoras. Perkataannya sangat mudah - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui dari zaman kanak-kanak, "Seluar Pythagoras adalah sama pada semua sisi." Masalahnya kelihatan begitu mudah kerana ia berdasarkan pernyataan matematik yang semua orang tahu - teorem Pythagoras: dalam mana-mana segi tiga tepat, segi empat yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat yang dibina pada kaki.
Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mengasaskan persaudaraan Pythagoras. Pythagoreans, antara lain, mengkaji triplet integer yang memenuhi kesamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahawa terdapat banyak tak terhingga tripel Pythagoras dan memperoleh formula am untuk mencari mereka. Mereka mungkin cuba mencari C dan ijazah yang lebih tinggi. Yakin bahawa ini tidak berjaya, Pythagoreans meninggalkan percubaan mereka yang tidak berguna. Ahli-ahli persaudaraan adalah lebih ahli falsafah dan estetik daripada ahli matematik.
Iaitu, mudah untuk memilih set nombor yang memenuhi kesamaan x²+y²=z² dengan sempurna
Bermula dari 3, 4, 5 - sememangnya seorang pelajar junior faham bahawa 9 + 16 = 25.
Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.
Jadi, ternyata mereka TIDAK. Di sinilah muslihat bermula. Kesederhanaan adalah jelas, kerana sukar untuk membuktikan bukan kehadiran sesuatu, tetapi, sebaliknya, ketiadaannya. Apabila anda perlu membuktikan bahawa terdapat penyelesaian, anda boleh dan hanya perlu mengemukakan penyelesaian ini.
Membuktikan ketidakhadiran adalah lebih sukar: sebagai contoh, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak mempunyai penyelesaian. Letakkan dia dalam lopak? mudah: bam - dan inilah penyelesaiannya! (berikan penyelesaian). Dan itu sahaja, pihak lawan dikalahkan. Bagaimana untuk membuktikan ketidakhadiran?
Katakan: "Saya tidak menemui penyelesaian sedemikian"? Atau mungkin anda tidak kelihatan sihat? Bagaimana jika ia wujud, hanya sangat besar, sangat besar, sehinggakan komputer yang sangat berkuasa pun masih tidak mempunyai kekuatan yang mencukupi? Ini yang susah.
Ini boleh ditunjukkan secara visual seperti ini: jika anda mengambil dua petak dengan saiz yang sesuai dan membukanya menjadi petak unit, maka daripada tandan petak unit ini anda mendapat petak ketiga (Gamb. 2): 
Tetapi mari kita lakukan perkara yang sama dengan dimensi ketiga (Rajah 3) - ia tidak berfungsi. Kiub tidak mencukupi, atau ada kiub tambahan yang tinggal:
Tetapi ahli matematik abad ke-17 Perancis Pierre de Fermat dengan penuh semangat mengkaji persamaan am x n + y n = z n. Dan akhirnya, saya membuat kesimpulan: untuk n>2 tidak ada penyelesaian integer. Bukti Fermat hilang tanpa dapat dipulihkan. Manuskrip terbakar! Yang tinggal hanyalah kenyataannya dalam Aritmetik Diophantus: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar menakjubkan tentang cadangan ini, tetapi margin di sini terlalu sempit untuk mengandunginya."
Sebenarnya, teorem tanpa bukti dipanggil hipotesis. Tetapi Fermat mempunyai reputasi yang tidak pernah membuat kesilapan. Walaupun dia tidak meninggalkan bukti kenyataan, ia kemudiannya disahkan. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Oleh itu, hipotesis ahli matematik Perancis turun dalam sejarah sebagai Teorem Terakhir Fermat.
Selepas Fermat, minda hebat seperti Leonhard Euler berusaha mencari bukti (pada tahun 1770 dia mencadangkan penyelesaian untuk n = 3),
Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (ahli sains ini bersama-sama menemui bukti untuk n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemui bukti untuk n = 7) dan ramai lagi. Menjelang pertengahan 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahawa dunia saintifik sedang menuju ke penyelesaian akhir Teorem Terakhir Fermat, tetapi hanya pada tahun 1993 ahli matematik melihat dan percaya bahawa epik tiga abad mencari bukti Teorem terakhir Fermat hampir tamat.
Ia mudah ditunjukkan bahawa cukup untuk membuktikan teorem Fermat hanya untuk n mudah: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk n komposit, bukti kekal sah. Tetapi terdapat banyak nombor perdana...
Pada tahun 1825, menggunakan kaedah Sophie Germain, ahli matematik wanita, Dirichlet dan Legendre secara bebas membuktikan teorem untuk n=5. Pada tahun 1839, menggunakan kaedah yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorem untuk n=7. Secara beransur-ansur teorem telah dibuktikan untuk hampir semua n kurang daripada seratus.
Akhirnya, ahli matematik Jerman Ernst Kummer, dalam kajian yang cemerlang, menunjukkan bahawa teorem secara umum tidak boleh dibuktikan menggunakan kaedah matematik abad ke-19. Hadiah Akademi Sains Perancis, yang ditubuhkan pada tahun 1847 untuk bukti teorem Fermat, kekal tidak dianugerahkan.
Pada tahun 1907, industrialis Jerman kaya Paul Wolfskehl memutuskan untuk mengambil nyawanya sendiri kerana cinta yang tidak berbalas. Seperti seorang Jerman sejati, dia menetapkan tarikh dan masa membunuh diri: tepat pada tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat wasiat dan menulis surat kepada kawan-kawan dan saudara-mara. Perkara berakhir sebelum tengah malam. Ia mesti dikatakan bahawa Paul berminat dalam matematik. Tidak ada kerja lain, dia pergi ke perpustakaan dan mula membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba nampaknya Kummer telah membuat kesilapan dalam alasannya. Wolfskel mula menganalisis bahagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Jurang dalam bukti telah diisi. Dan sebab bunuh diri kini kelihatan sangat tidak masuk akal. Paul mengoyakkan surat perpisahannya dan menulis semula wasiatnya.
Dia tidak lama kemudian meninggal dunia kerana sebab semula jadi. Pewaris agak terkejut: 100,000 markah (lebih daripada 1,000,000 pound sterling semasa) telah dipindahkan ke akaun Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan pertandingan untuk Hadiah Wolfskehl. 100,000 markah telah diberikan kepada orang yang membuktikan teorem Fermat. Tiada pfennig dianugerahkan kerana menyangkal teorem...
Kebanyakan ahli matematik profesional menganggap pencarian bukti Teorem Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas enggan membuang masa untuk latihan yang tidak berguna itu. Tetapi amatur mempunyai letupan. Beberapa minggu selepas pengumuman itu, runtuhan "bukti" melanda Universiti Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggungjawab menganalisis bukti yang dihantar, mengedarkan kad kepada pelajarnya:
sayang. . . . . . . .
Terima kasih kerana menghantar saya manuskrip dengan bukti Teorem Terakhir Fermat. Ralat pertama adalah pada halaman ... dalam baris... . Kerana itu, seluruh bukti kehilangan kesahihannya.
Profesor E. M. Landau
Pada tahun 1963, Paul Cohen, bergantung pada penemuan Gödel, membuktikan ketidakbolehpecahan salah satu daripada dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorem Terakhir Fermat juga tidak dapat ditentukan?! Tetapi fanatik Teorem Besar yang benar tidak kecewa sama sekali. Kemunculan komputer tiba-tiba memberi ahli matematik kaedah pembuktian baru. Selepas Perang Dunia II, pasukan pengaturcara dan ahli matematik membuktikan Teorem Terakhir Fermat untuk semua nilai n sehingga 500, kemudian sehingga 1,000, dan kemudian sehingga 10,000.
Pada 1980-an, Samuel Wagstaff menaikkan had kepada 25,000, dan pada 1990-an, ahli matematik mengisytiharkan bahawa Teorem Terakhir Fermat adalah benar untuk semua nilai n sehingga 4 juta. Tetapi jika anda menolak walaupun satu trilion trilion daripada infiniti, ia tidak akan menjadi lebih kecil. Ahli matematik tidak yakin dengan statistik. Untuk membuktikan Teorem Besar bermaksud untuk membuktikannya untuk SEMUA n pergi ke infiniti.
Pada tahun 1954, dua rakan ahli matematik Jepun mula meneliti bentuk modular. Borang ini menjana siri nombor, setiap satu dengan sirinya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan siri ini dengan siri yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka sepadan! Tetapi bentuk modular adalah objek geometri, dan persamaan elips adalah algebra. Tiada sambungan pernah ditemui antara objek yang berbeza itu.
Walau bagaimanapun, selepas ujian yang teliti, rakan-rakan mengemukakan hipotesis: setiap persamaan elips mempunyai kembar - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi asas kepada keseluruhan arah dalam matematik, tetapi sehingga hipotesis Taniyama-Shimura dibuktikan, seluruh bangunan itu boleh runtuh pada bila-bila masa.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahawa penyelesaian kepada persamaan Fermat, jika wujud, boleh dimasukkan dalam beberapa persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahawa persamaan hipotesis ini tidak boleh mempunyai pasangan dalam dunia modular. Mulai sekarang, Teorem Terakhir Fermat berkait rapat dengan sangkaan Taniyama-Shimura. Setelah membuktikan bahawa mana-mana lengkung elips adalah modular, kami membuat kesimpulan bahawa tidak ada persamaan elips dengan penyelesaian kepada persamaan Fermat, dan Teorem Terakhir Fermat akan dibuktikan dengan serta-merta. Tetapi selama tiga puluh tahun tidak mungkin untuk membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura, dan semakin kurang harapan untuk berjaya.
Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona dengan matematik. Apabila dia mengetahui tentang Teorem Besar, dia menyedari bahawa dia tidak boleh menyerah padanya. Sebagai pelajar sekolah, pelajar dan pelajar siswazah, dia menyediakan dirinya untuk tugas ini.
Setelah mengetahui tentang penemuan Ken Ribet, Wiles terjun ke dalam membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja secara terpencil dan rahsia. "Saya menyedari bahawa segala-galanya yang ada kaitan dengan Teorem Terakhir Fermat menimbulkan minat yang terlalu tinggi... Terlalu ramai penonton jelas mengganggu pencapaian gol." Kerja keras tujuh tahun membuahkan hasil, Wiles akhirnya menyelesaikan bukti sangkaan Taniyama-Shimura.
Pada tahun 1993, ahli matematik Inggeris Andrew Wiles membentangkan kepada dunia bukti Teorem Terakhir Fermat (Wiles membaca kertas sensasinya pada persidangan di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), Kerja yang berlangsung lebih daripada tujuh tahun.
Walaupun gembar-gembur itu berterusan di akhbar, kerja serius mula mengesahkan bukti. Setiap bukti mesti diteliti dengan teliti sebelum bukti itu boleh dianggap ketat dan tepat. Wiles menghabiskan musim panas yang tidak tenang menunggu maklum balas daripada pengulas, dengan harapan dia akan dapat memenangi kelulusan mereka. Pada penghujung Ogos, pakar mendapati penghakiman itu tidak cukup berasas.
Ternyata keputusan ini mengandungi kesilapan besar, walaupun secara umum ia betul. Wiles tidak berputus asa, meminta bantuan pakar terkenal dalam teori nombor Richard Taylor, dan sudah pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorem yang diperbetulkan dan diperluas. Perkara yang paling menakjubkan ialah kerja ini mengambil sebanyak 130 (!) halaman dalam jurnal matematik "Annals of Mathematics". Tetapi cerita itu tidak berakhir di sana - titik akhir dicapai hanya pada tahun berikutnya, 1995, apabila versi bukti yang terakhir dan "ideal", dari sudut pandangan matematik, diterbitkan.
“...setengah minit selepas permulaan makan malam perayaan sempena hari lahirnya, saya menghadiahkan Nadya dengan manuskrip bukti lengkap” (Andrew Wales). Adakah saya belum mengatakan bahawa ahli matematik adalah orang yang pelik?
Kali ini tiada keraguan tentang bukti. Dua artikel tertakluk kepada analisis yang paling teliti dan diterbitkan pada Mei 1995 dalam Annals of Mathematics.
Banyak masa telah berlalu sejak saat itu, tetapi masih terdapat pendapat dalam masyarakat bahawa Teorem Terakhir Fermat tidak dapat diselesaikan. Tetapi mereka yang mengetahui tentang bukti yang ditemui terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang berpuas hati bahawa Teorem Besar memerlukan penyelesaian 130 muka surat!
Oleh itu, kini usaha ramai ahli matematik (kebanyakannya amatur, bukan saintis profesional) dilemparkan ke dalam pencarian untuk bukti yang mudah dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa ke mana-mana...
sumber
Kuliah 6. Aplikasi derivatif untuk kajian fungsi
Jika fungsi f(x) mempunyai terbitan pada setiap titik segmen [ A, b], maka kelakuannya boleh dikaji menggunakan derivatif f"(X).
Mari kita lihat teorem asas kalkulus pembezaan yang mendasari aplikasi terbitan.
Teorem Fermat
Teorem(Ladang) ( tentang kesamaan terbitan kepada sifar ). Jika fungsi f(x), boleh dibezakan pada selang waktu (a, b) dan mencapai nilai terbesar atau terkecil pada titik c є ( a, b), maka terbitan bagi fungsi pada titik ini ialah sifar, iaitu f"(Dengan) = 0.
Bukti. Biarkan fungsi f(x) boleh dibezakan pada selang ( a, b) dan pada titik itu X = Dengan mengambil nilai yang paling besar M di Dengan є ( a, b) (Rajah 1), i.e.
f(Dengan) ≥ f(x) atau f(x) – f(c) ≤ 0 atau f(s +Δ X) – f(Dengan) ≤ 0.
Derivatif f"(x) pada titik X = Dengan: .
Jika x> c, Δ X> 0 (iaitu Δ X→ 0 di sebelah kanan titik Dengan), Itu 
dan oleh itu f"(Dengan) ≤ 0.
Jika x< с
, Δ X< 0 (т.е. ΔX→ 0 di sebelah kiri titik Dengan), Itu 
, dari mana ia mengikutinya f"(Dengan) ≥ 0.
Dengan syarat f(x) boleh dibezakan pada titik itu Dengan, oleh itu, hadnya pada x→ Dengan tidak bergantung kepada pilihan arah pendekatan hujah x to the point Dengan, iaitu .
Kami memperoleh sistem yang mengikutinya f"(Dengan) = 0.
Dalam kes f(Dengan) = T(mereka. f(x) mengambil pada titik Dengan nilai terkecil), buktinya adalah serupa. Teorem telah terbukti.
Makna geometri teorem Fermat: pada titik nilai terbesar atau terkecil yang dicapai dalam selang waktu, tangen kepada graf fungsi adalah selari dengan paksi-x.
Jadi, Teorem Terakhir Fermat (sering dipanggil teorem terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematik Perancis yang cemerlang Pierre Fermat, sangat mudah dan boleh difahami oleh sesiapa sahaja yang mempunyai pendidikan menengah. Ia mengatakan bahawa formula a kepada kuasa n + b kepada kuasa n = c kepada kuasa n tidak mempunyai penyelesaian semula jadi (iaitu, bukan pecahan) untuk n > 2. Semuanya kelihatan mudah dan jelas, tetapi ahli matematik terbaik dan amatur biasa bergelut dengan mencari penyelesaian selama lebih daripada tiga setengah abad.
Mengapa dia begitu terkenal? Sekarang kita akan mengetahui...
Adakah terdapat banyak teorem yang telah terbukti, belum terbukti dan masih belum terbukti? Intinya di sini ialah Teorem Terakhir Fermat mewakili kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kerumitan bukti. Teorem Terakhir Fermat adalah masalah yang sangat sukar, namun perumusannya boleh difahami oleh sesiapa sahaja yang mempunyai gred 5 sekolah menengah, tetapi tidak setiap ahli matematik profesional dapat memahami buktinya. Baik dalam fizik, mahupun dalam kimia, mahupun dalam biologi, mahupun dalam matematik, tidak ada satu masalah yang boleh dirumuskan dengan begitu mudah, tetapi kekal tidak diselesaikan untuk sekian lama. 2. Apakah kandungannya?
Mari kita mulakan dengan seluar Pythagoras. Perkataannya sangat mudah - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui dari zaman kanak-kanak, "Seluar Pythagoras adalah sama pada semua sisi." Masalahnya kelihatan begitu mudah kerana ia berdasarkan pernyataan matematik yang semua orang tahu - teorem Pythagoras: dalam mana-mana segi tiga tepat, segi empat yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat yang dibina pada kaki.
Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mengasaskan persaudaraan Pythagoras. Pythagoreans, antara lain, mengkaji triplet integer yang memenuhi kesamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahawa terdapat banyak tak terhingga tripel Pythagoras dan memperoleh formula am untuk mencari mereka. Mereka mungkin cuba mencari C dan ijazah yang lebih tinggi. Yakin bahawa ini tidak berjaya, Pythagoreans meninggalkan percubaan mereka yang tidak berguna. Ahli-ahli persaudaraan adalah lebih ahli falsafah dan estetik daripada ahli matematik.
Iaitu, mudah untuk memilih set nombor yang memenuhi kesamaan x²+y²=z² dengan sempurna
Bermula dari 3, 4, 5 - sememangnya seorang pelajar junior faham bahawa 9 + 16 = 25.
Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.
Dan sebagainya. Bagaimana jika kita mengambil persamaan yang serupa x³+y³=z³? Mungkin ada juga nombor sedemikian?
Dan seterusnya (Gamb. 1).
Jadi, ternyata mereka TIDAK. Di sinilah muslihat bermula. Kesederhanaan adalah jelas, kerana sukar untuk membuktikan bukan kehadiran sesuatu, tetapi, sebaliknya, ketiadaannya. Apabila anda perlu membuktikan bahawa terdapat penyelesaian, anda boleh dan hanya perlu mengemukakan penyelesaian ini.
Membuktikan ketidakhadiran adalah lebih sukar: sebagai contoh, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak mempunyai penyelesaian. Letakkan dia dalam lopak? mudah: bam - dan inilah penyelesaiannya! (berikan penyelesaian). Dan itu sahaja, pihak lawan dikalahkan. Bagaimana untuk membuktikan ketidakhadiran?
Katakan: "Saya tidak menemui penyelesaian sedemikian"? Atau mungkin anda tidak kelihatan sihat? Bagaimana jika ia wujud, hanya sangat besar, sangat besar, sehinggakan komputer yang sangat berkuasa pun masih tidak mempunyai kekuatan yang mencukupi? Ini yang susah.
Ini boleh ditunjukkan secara visual seperti ini: jika anda mengambil dua petak dengan saiz yang sesuai dan membukanya menjadi petak unit, maka daripada tandan petak unit ini anda mendapat petak ketiga (Gamb. 2):
Tetapi mari kita lakukan perkara yang sama dengan dimensi ketiga (Rajah 3) - ia tidak berfungsi. Kiub tidak mencukupi, atau ada kiub tambahan yang tinggal:
Tetapi ahli matematik Perancis abad ke-17 Pierre de Fermat dengan penuh semangat mengkaji persamaan umum x n +y n =z n . Dan akhirnya, saya membuat kesimpulan: untuk n>2 tidak ada penyelesaian integer. Bukti Fermat hilang tanpa dapat dipulihkan. Manuskrip terbakar! Yang tinggal hanyalah kenyataannya dalam Aritmetik Diophantus: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar menakjubkan tentang cadangan ini, tetapi margin di sini terlalu sempit untuk mengandunginya."
Sebenarnya, teorem tanpa bukti dipanggil hipotesis. Tetapi Fermat mempunyai reputasi yang tidak pernah membuat kesilapan. Walaupun dia tidak meninggalkan bukti kenyataan, ia kemudiannya disahkan. Selain itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Oleh itu, hipotesis ahli matematik Perancis turun dalam sejarah sebagai Teorem Terakhir Fermat.
Selepas Fermat, minda hebat seperti Leonhard Euler berusaha mencari bukti (pada tahun 1770 dia mencadangkan penyelesaian untuk n = 3),
Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (ahli sains ini bersama-sama menemui bukti untuk n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lamé (yang menemui bukti untuk n = 7) dan ramai lagi. Menjelang pertengahan 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahawa dunia saintifik sedang menuju ke penyelesaian akhir Teorem Terakhir Fermat, tetapi hanya pada tahun 1993 ahli matematik melihat dan percaya bahawa epik tiga abad mencari bukti teorem terakhir Fermat hampir tamat.
Ia mudah ditunjukkan bahawa cukup untuk membuktikan teorem Fermat hanya untuk n mudah: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Untuk n komposit, bukti kekal sah. Tetapi terdapat banyak nombor perdana...
Pada tahun 1825, menggunakan kaedah Sophie Germain, ahli matematik wanita, Dirichlet dan Legendre secara bebas membuktikan teorem untuk n=5. Pada tahun 1839, menggunakan kaedah yang sama, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorem untuk n=7. Secara beransur-ansur teorem telah dibuktikan untuk hampir semua n kurang daripada seratus.
Akhirnya, ahli matematik Jerman Ernst Kummer, dalam kajian yang cemerlang, menunjukkan bahawa teorem secara umum tidak boleh dibuktikan menggunakan kaedah matematik abad ke-19. Hadiah Akademi Sains Perancis, yang ditubuhkan pada tahun 1847 untuk bukti teorem Fermat, kekal tidak dianugerahkan.
Pada tahun 1907, industrialis Jerman kaya Paul Wolfskehl memutuskan untuk mengambil nyawanya sendiri kerana cinta yang tidak berbalas. Seperti seorang Jerman sejati, dia menetapkan tarikh dan masa membunuh diri: tepat pada tengah malam. Pada hari terakhir dia membuat wasiat dan menulis surat kepada kawan-kawan dan saudara-mara. Perkara berakhir sebelum tengah malam. Ia mesti dikatakan bahawa Paul berminat dalam matematik. Tidak ada kerja lain, dia pergi ke perpustakaan dan mula membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba nampaknya Kummer telah membuat kesilapan dalam alasannya. Wolfskel mula menganalisis bahagian artikel ini dengan pensil di tangannya. Tengah malam telah berlalu, pagi telah tiba. Jurang dalam bukti telah diisi. Dan sebab bunuh diri kini kelihatan sangat tidak masuk akal. Paul mengoyakkan surat perpisahannya dan menulis semula wasiatnya.
Dia tidak lama kemudian meninggal dunia kerana sebab semula jadi. Pewaris agak terkejut: 100,000 markah (lebih daripada 1,000,000 pound sterling semasa) telah dipindahkan ke akaun Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan pertandingan untuk Hadiah Wolfskehl. 100,000 markah telah diberikan kepada orang yang membuktikan teorem Fermat. Tiada pfennig dianugerahkan kerana menyangkal teorem...
Kebanyakan ahli matematik profesional menganggap pencarian bukti Teorem Terakhir Fermat sebagai tugas yang sia-sia dan dengan tegas enggan membuang masa untuk latihan yang tidak berguna itu. Tetapi amatur mempunyai letupan. Beberapa minggu selepas pengumuman itu, runtuhan "bukti" melanda Universiti Göttingen. Profesor E.M. Landau, yang bertanggungjawab menganalisis bukti yang dihantar, mengedarkan kad kepada pelajarnya:
sayang. . . . . . . .
Terima kasih kerana menghantar saya manuskrip dengan bukti Teorem Terakhir Fermat. Ralat pertama adalah pada halaman ... dalam baris... . Kerana itu, seluruh bukti kehilangan kesahihannya.
Profesor E. M. Landau
Pada tahun 1963, Paul Cohen, bergantung pada penemuan Gödel, membuktikan ketidakbolehpecahan salah satu daripada dua puluh tiga masalah Hilbert - hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorem Terakhir Fermat juga tidak dapat ditentukan?! Tetapi fanatik Teorem Besar yang benar tidak kecewa sama sekali. Kemunculan komputer tiba-tiba memberi ahli matematik kaedah pembuktian baru. Selepas Perang Dunia II, pasukan pengaturcara dan ahli matematik membuktikan Teorem Terakhir Fermat untuk semua nilai n sehingga 500, kemudian sehingga 1,000, dan kemudian sehingga 10,000.
Pada 1980-an, Samuel Wagstaff menaikkan had kepada 25,000, dan pada 1990-an, ahli matematik mengisytiharkan bahawa Teorem Terakhir Fermat adalah benar untuk semua nilai n sehingga 4 juta. Tetapi jika anda menolak walaupun satu trilion trilion daripada infiniti, ia tidak akan menjadi lebih kecil. Ahli matematik tidak yakin dengan statistik. Untuk membuktikan Teorem Besar bermaksud untuk membuktikannya untuk SEMUA n pergi ke infiniti.
Pada tahun 1954, dua rakan ahli matematik Jepun mula meneliti bentuk modular. Borang ini menjana siri nombor, setiap satu dengan sirinya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan siri ini dengan siri yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka sepadan! Tetapi bentuk modular adalah objek geometri, dan persamaan elips adalah algebra. Tiada sambungan pernah ditemui antara objek yang berbeza itu.
Walau bagaimanapun, selepas ujian yang teliti, rakan-rakan mengemukakan hipotesis: setiap persamaan elips mempunyai kembar - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi asas kepada keseluruhan arah dalam matematik, tetapi sehingga hipotesis Taniyama-Shimura dibuktikan, seluruh bangunan itu boleh runtuh pada bila-bila masa.
Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahawa penyelesaian kepada persamaan Fermat, jika wujud, boleh dimasukkan dalam beberapa persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahawa persamaan hipotesis ini tidak boleh mempunyai pasangan dalam dunia modular. Mulai sekarang, Teorem Terakhir Fermat berkait rapat dengan sangkaan Taniyama–Shimura. Setelah membuktikan bahawa mana-mana lengkung elips adalah modular, kami membuat kesimpulan bahawa tidak ada persamaan elips dengan penyelesaian kepada persamaan Fermat, dan Teorem Terakhir Fermat akan dibuktikan dengan serta-merta. Tetapi selama tiga puluh tahun tidak mungkin untuk membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura, dan semakin kurang harapan untuk berjaya.
Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona dengan matematik. Apabila dia mengetahui tentang Teorem Besar, dia menyedari bahawa dia tidak boleh menyerah padanya. Sebagai pelajar sekolah, pelajar dan pelajar siswazah, dia menyediakan dirinya untuk tugas ini.
Setelah mengetahui tentang penemuan Ken Ribet, Wiles terjun ke dalam membuktikan sangkaan Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja secara terpencil dan rahsia. "Saya menyedari bahawa segala-galanya yang ada kaitan dengan Teorem Terakhir Fermat menimbulkan minat yang terlalu tinggi... Terlalu ramai penonton jelas mengganggu pencapaian gol." Kerja keras tujuh tahun membuahkan hasil; Wiles akhirnya menyelesaikan bukti sangkaan Taniyama-Shimura.
Pada tahun 1993, ahli matematik Inggeris Andrew Wiles membentangkan kepada dunia bukti Teorem Terakhir Fermat (Wiles membaca kertas sensasinya pada persidangan di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), Kerja yang berlangsung lebih daripada tujuh tahun.
Walaupun gembar-gembur itu berterusan di akhbar, kerja serius mula mengesahkan bukti. Setiap bukti mesti diteliti dengan teliti sebelum bukti itu boleh dianggap ketat dan tepat. Wiles menghabiskan musim panas yang tidak tenang menunggu maklum balas daripada pengulas, dengan harapan dia akan dapat memenangi kelulusan mereka. Pada penghujung Ogos, pakar mendapati penghakiman itu tidak cukup berasas.
Ternyata keputusan ini mengandungi kesilapan besar, walaupun secara umum ia betul. Wiles tidak berputus asa, meminta bantuan pakar terkenal dalam teori nombor Richard Taylor, dan sudah pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorem yang diperbetulkan dan diperluas. Perkara yang paling menakjubkan ialah kerja ini mengambil sebanyak 130 (!) halaman dalam jurnal matematik "Annals of Mathematics". Tetapi cerita itu tidak berakhir di sana - titik akhir dicapai hanya pada tahun berikutnya, 1995, apabila versi bukti yang terakhir dan "ideal", dari sudut pandangan matematik, diterbitkan.
“...setengah minit selepas permulaan makan malam perayaan sempena hari lahirnya, saya menghadiahkan Nadya dengan manuskrip bukti lengkap” (Andrew Wales). Adakah saya belum mengatakan bahawa ahli matematik adalah orang yang pelik?
Kali ini tiada keraguan tentang bukti. Dua artikel tertakluk kepada analisis yang paling teliti dan diterbitkan pada Mei 1995 dalam Annals of Mathematics.
Banyak masa telah berlalu sejak saat itu, tetapi masih terdapat pendapat dalam masyarakat bahawa Teorem Terakhir Fermat tidak dapat diselesaikan. Tetapi mereka yang mengetahui tentang bukti yang ditemui terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit yang berpuas hati bahawa Teorem Besar memerlukan penyelesaian 130 muka surat!
Oleh itu, kini usaha ramai ahli matematik (kebanyakannya amatur, bukan saintis profesional) dilemparkan ke dalam pencarian untuk bukti yang mudah dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa ke mana-mana...
