Hari ini dalam pelajaran kita akan belajar untuk mencari bersyarat atau, sebagaimana mereka juga dipanggil, keterlaluan relatif fungsi beberapa pembolehubah, dan, pertama sekali, kita akan bercakap, tentu saja, tentang extrema bersyarat fungsi dua Dan tiga pembolehubah, yang terdapat dalam kebanyakan masalah tematik.

Apa yang anda perlu tahu dan boleh lakukan pada masa ini? Walaupun artikel ini "di pinggir" topik, tidak banyak yang diperlukan untuk berjaya menguasai bahan. Pada ketika ini anda harus mengetahui asasnya permukaan ruang, boleh cari terbitan separa (sekurang-kurangnya pada tahap purata) dan, seperti yang ditentukan oleh logik tanpa belas kasihan, untuk memahami keterlaluan tanpa syarat. Tetapi walaupun anda tahap rendah persediaan, jangan tergesa-gesa untuk pergi - semua pengetahuan/kemahiran yang hilang benar-benar boleh "dikumpul di sepanjang jalan", dan tanpa sebarang siksaan berjam-jam.

Pertama, mari kita menganalisis konsep itu sendiri dan pada masa yang sama menjalankan pengulangan pantas yang paling biasa permukaan. Jadi apa itu melampau bersyarat? ...Logik di sini tidak kurang belas kasihan =) Ekstrem bersyarat bagi fungsi ialah ekstrem dalam erti kata biasa, yang dicapai apabila syarat (atau syarat) tertentu dipenuhi.

Bayangkan "serong" sewenang-wenangnya kapal terbang V Sistem kartesian. tiada melampau tiada kesannya di sini. Tetapi ini buat sementara waktu. Mari kita pertimbangkan silinder elips, untuk kesederhanaan - "paip" bulat yang tidak berkesudahan selari dengan paksi. Jelas sekali, "paip" ini akan "memotong" pesawat kita elips, akibatnya akan terdapat maksimum pada titik atasnya, dan minimum pada titik bawahnya. Dalam erti kata lain, fungsi yang mentakrifkan satah mencapai extrema memandangkan itu bahawa ia telah dilintasi oleh silinder bulat yang diberikan. Betul-betul "disediakan"! Satu lagi silinder elips yang bersilang satah ini hampir pasti akan menghasilkan nilai minimum dan maksimum yang berbeza.

Jika ia tidak begitu jelas, maka keadaan boleh disimulasikan secara realistik (walaupun dalam susunan terbalik) : ambil kapak, pergi ke luar dan potong... tidak, Greenpeace tidak akan memaafkan anda kemudian - lebih baik memotong paip longkang dengan pengisar =). Minimum bersyarat dan maksimum bersyarat akan bergantung pada ketinggian apa dan di bawah apa (bukan mendatar) potongan dibuat secara bersudut.

Masanya telah tiba untuk memakai pengiraan dalam pakaian matematik. Mari kita pertimbangkan paraboloid elips, yang mempunyai minimum mutlak pada titik. Sekarang mari kita cari yang melampau memandangkan itu. ini kapal terbang selari dengan paksi, yang bermaksud ia "memotong" daripada paraboloid parabola. Bahagian atas parabola ini akan menjadi minimum bersyarat. Selain itu, satah itu tidak melalui asal koordinat, oleh itu, titik itu akan kekal tidak relevan. Tidak memberikan gambar? Jom ikuti pautan dengan segera! Ia akan mengambil banyak, lebih banyak kali.

Soalan: bagaimana untuk mencari ekstrem bersyarat ini? Cara paling mudah penyelesaian ialah daripada persamaan (yang dipanggil - syarat atau persamaan sambungan) nyatakan, sebagai contoh: – dan gantikannya ke dalam fungsi:

Hasilnya ialah fungsi satu pembolehubah yang mentakrifkan parabola, yang puncaknya "dikira" dengan mata anda tertutup. Jom cari titik kritikal:

– titik kritikal.

Perkara seterusnya yang paling mudah digunakan ialah syarat kedua yang mencukupi untuk ekstrem:

Khususnya: ini bermakna bahawa fungsi mencapai minimum pada titik . Ia boleh dikira secara langsung: , tetapi kami akan mengambil laluan yang lebih akademik. Mari cari koordinat "permainan":
,

tuliskan titik minimum bersyarat, pastikan ia benar-benar terletak di dalam pesawat (memenuhi persamaan gandingan):

dan hitung minimum bersyarat bagi fungsi:
memandangkan itu (“aditif” diperlukan!!!).

Kaedah yang dipertimbangkan boleh digunakan dalam amalan tanpa keraguan, bagaimanapun, ia mempunyai beberapa kelemahan. Pertama, geometri masalah tidak selalu jelas, dan kedua, selalunya tidak menguntungkan untuk menyatakan "x" atau "y" daripada persamaan sambungan (jika ada cara untuk menyatakan apa-apa sama sekali). Dan sekarang kita akan mempertimbangkan kaedah universal untuk mencari extrema bersyarat, dipanggil Kaedah pengganda Lagrange:

Contoh 1

Cari extrema bersyarat bagi fungsi dengan persamaan sambungan yang ditentukan kepada hujah.

Adakah anda mengenali permukaan? ;-) ...saya gembira melihat wajah gembira awak =)

Dengan cara ini, dari perumusan masalah ini menjadi jelas mengapa keadaan itu dipanggil persamaan sambungan– hujah fungsi bersambung syarat tambahan, iaitu, titik ekstrem yang ditemui mestilah tergolong dalam silinder bulat.

Penyelesaian: dalam langkah pertama anda perlu membentangkan persamaan sambungan dalam bentuk dan mengarang Fungsi Lagrange:
, di manakah pengganda Lagrange yang dipanggil.

Dalam kes kami dan:

Algoritma untuk mencari ekstrem bersyarat adalah sangat serupa dengan skema untuk mencari "biasa" melampau. Jom cari terbitan separa Fungsi Lagrange, manakala "lambda" harus dianggap sebagai pemalar:

Mari kita karang dan selesaikan sistem berikut:

Kusut dirungkai sebagai standard:
daripada persamaan pertama yang kita nyatakan ;
daripada persamaan kedua kita nyatakan .

Mari kita gantikan sambungan ke dalam persamaan dan lakukan penyederhanaan:

Akibatnya, kami memperoleh dua mata pegun. Jika , maka:

jika , maka:

Adalah mudah untuk melihat bahawa koordinat kedua-dua titik memenuhi persamaan . Orang yang teliti juga boleh melakukan pemeriksaan penuh: untuk ini anda perlu menggantikannya ke dalam persamaan pertama dan kedua sistem, dan kemudian lakukan perkara yang sama dengan set . Segala-galanya mesti "bersatu".

Mari kita semak pelaksanaan keadaan yang mencukupi ekstrem untuk titik pegun yang ditemui. Saya akan membincangkan tiga pendekatan untuk menyelesaikan isu ini:

1) Kaedah pertama ialah justifikasi geometri.

Mari kita hitung nilai fungsi pada titik pegun:

Seterusnya, kami menulis frasa dengan lebih kurang kandungan berikut: bahagian satah dengan silinder bulat ialah elips, di puncak atas yang mana maksimum dicapai, dan pada puncak bawah adalah minimum. Oleh itu, nilai yang lebih besar ialah maksimum bersyarat, dan nilai yang lebih kecil ialah minimum bersyarat.

Jika boleh, lebih baik menggunakan kaedah ini - ia mudah, dan keputusan ini dikira oleh guru (tambahan besar ialah anda menunjukkan pemahaman makna geometri tugasan). Walau bagaimanapun, seperti yang telah dinyatakan, tidak selalunya jelas apa yang bersilang dengan apa dan di mana, dan kemudian pengesahan analitik datang untuk menyelamatkan:

2) Kaedah kedua adalah berdasarkan penggunaan tanda pembezaan urutan kedua. Jika ternyata pada titik pegun, maka fungsi mencapai maksimum di sana, tetapi jika ia berlaku, maka ia mencapai minimum.

Jom cari derivatif separa tertib kedua:

dan buat pembezaan ini:

Apabila , ini bermakna bahawa fungsi mencapai maksimum pada titik ;
at , yang bermaksud fungsi mencapai minimum pada titik itu .

Kaedah yang dipertimbangkan adalah sangat baik, tetapi mempunyai kelemahan yang dalam beberapa kes hampir mustahil untuk menentukan tanda pembezaan ke-2 (biasanya ini berlaku jika dan/atau mempunyai tanda yang berbeza). Dan kemudian "artileri berat" datang untuk menyelamatkan:

3) Mari bezakan persamaan sambungan dengan "X" dan "Y":

dan karang yang berikut simetri matriks:

Jika pada titik pegun, maka fungsi itu sampai di sana ( perhatian!) minimum, jika – maka maksimum.

Mari kita tulis matriks untuk nilai dan titik yang sepadan:

Mari kita mengiranya penentu:
, oleh itu, fungsi mempunyai maksimum pada titik .

Begitu juga untuk nilai dan mata:

Oleh itu, fungsi mempunyai minimum pada titik .

Jawab: memandangkan :

Selepas analisis menyeluruh bahan, saya tidak dapat membantu tetapi menawarkan pasangan tugas biasa untuk ujian kendiri:

Contoh 2

Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi jika hujahnya dikaitkan dengan persamaan

Contoh 3

Cari ekstrem bagi fungsi yang diberi keadaan

Dan sekali lagi, saya amat mengesyorkan memahami intipati geometri tugasan, terutamanya dalam contoh terakhir, di mana pengesahan analisis keadaan yang mencukupi bukanlah hadiah. Ingat apa baris pesanan ke-2 menetapkan persamaan, dan apa permukaan garisan ini menjana dalam ruang. Analisis di sepanjang lengkung mana silinder akan bersilang dengan satah dan di mana pada lengkung ini akan ada minimum dan di mana akan ada maksimum.

Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Masalah yang dipersoalkan menemui aplikasi yang luas dalam pelbagai bidang, khususnya - kita tidak akan pergi jauh, dalam geometri. Jom selesaikan masalah kegemaran semua tentang botol separuh liter (lihat Contoh 7 artikelCabaran Melampau ) cara kedua:

Contoh 4

Apakah ukuran tin silinder yang sepatutnya supaya jumlah bahan yang paling sedikit digunakan untuk membuat tin, jika isipadu tin adalah sama dengan

Penyelesaian: pertimbangkan jejari tapak berubah-ubah, ketinggian berubah-ubah dan karang fungsi luas jumlah permukaan tin:
(luas dua penutup + luas permukaan sisi)

• Tutorial

Semua orang selamat tengahari. Dalam artikel ini saya ingin menunjukkan salah satu daripadanya kaedah grafik pembinaan model matematik untuk sistem dinamik, yang dipanggil graf bon("ikatan" - sambungan, "graf" - graf). Dalam kesusasteraan Rusia, saya mendapati penerangan mengenai kaedah ini hanya dalam Buku Teks Tomsky Universiti Politeknik, A.V. Voronin "PEMODELAN SISTEM MECHATRONIC" 2008 Juga tunjukkan kaedah klasik melalui persamaan Lagrange jenis ke-2.

Kaedah Lagrange

Saya tidak akan menerangkan teori, saya akan menunjukkan peringkat pengiraan dengan beberapa ulasan. Secara peribadi, lebih mudah untuk saya belajar daripada contoh daripada membaca teori 10 kali. Nampaknya saya dalam kesusasteraan Rusia, penjelasan kaedah ini, dan sememangnya matematik atau fizik secara umum, sangat kaya. formula kompleks, yang sewajarnya memerlukan latar belakang matematik yang serius. Semasa mempelajari kaedah Lagrange (saya belajar di Universiti Politeknik Turin, Itali), saya mempelajari kesusasteraan Rusia untuk membandingkan kaedah pengiraan, dan sukar bagi saya untuk mengikuti kemajuan penyelesaian kaedah ini. Walaupun mengingati kursus pemodelan di Institut Penerbangan Kharkov, derivasi kaedah sedemikian sangat menyusahkan, dan tiada siapa yang mengganggu diri mereka dalam cuba memahami isu ini. Inilah yang saya putuskan untuk menulis, manual untuk membina model matematik mengikut Lagrange, kerana ternyata ia tidak sama sekali sukar, cukup untuk mengetahui cara mengira derivatif berkenaan dengan masa dan derivatif separa. Untuk model yang lebih kompleks, matriks putaran juga ditambah, tetapi tidak ada yang rumit di dalamnya.

Ciri kaedah pemodelan:

• Newton-Euler: persamaan vektor berdasarkan keseimbangan dinamik memaksa Dan detik-detik
• Lagrange: persamaan skalar berdasarkan fungsi keadaan yang dikaitkan dengan kinetik dan potensi tenaga
• Kiraan Bon: kaedah berasaskan aliran kuasa antara elemen sistem

Mari kita mulakan dengan contoh mudah. Jisim dengan spring dan peredam. Kami mengabaikan kuasa graviti.

Rajah 1. Jisim dengan spring dan peredam

Pertama sekali, kami menetapkan:

• sistem permulaan koordinat(NSK) atau sk tetap R0(i0,j0,k0). di mana? Anda boleh menuding jari anda ke langit, tetapi dengan menggerakkan hujung neuron di otak, idea itu berlalu untuk meletakkan NSC pada garis pergerakan badan M1.
• sistem koordinat bagi setiap jasad dengan jisim(kami ada M1 R1(i1,j1,k1)), orientasi boleh sewenang-wenangnya, tetapi mengapa merumitkan hidup anda, tetapkannya dengan perbezaan minimum daripada NSC
• koordinat umum q_i(bilangan minimum pembolehubah yang boleh menerangkan pergerakan), dalam contoh ini terdapat satu koordinat umum, pergerakan hanya di sepanjang paksi j

Rajah 2. Kami meletakkan sistem koordinat dan koordinat umum

Rajah 3. Kedudukan dan kelajuan badan M1

Kemudian kita akan mencari tenaga kinetik (C) dan potensi (P) dan fungsi pelesapan (D) untuk peredam menggunakan formula:

Rajah 4. Formula lengkap tenaga kinetik

Dalam contoh kami tidak ada putaran, komponen kedua ialah 0.

Rajah 5. Pengiraan kinetik, tenaga keupayaan dan fungsi pelesapan

Persamaan Lagrange mempunyai bentuk berikut:

Rajah 6. Persamaan Lagrange dan Lagrangian

Delta W_i Ini adalah kerja maya yang dilakukan oleh daya dan momen yang digunakan. Mari cari dia:

Rajah 7. Pengiraan kerja maya

di mana delta q_1 pergerakan maya.

Kami menggantikan semuanya ke dalam persamaan Lagrange:

Rajah 8. Model jisim yang terhasil dengan spring dan peredam

Di sinilah kaedah Lagrange berakhir. Seperti yang anda lihat, ia tidak begitu rumit, tetapi ia masih merupakan contoh yang sangat mudah, yang kemungkinan besar kaedah Newton-Euler akan menjadi lebih mudah. Untuk sistem yang lebih kompleks, di mana terdapat beberapa badan yang diputar secara relatif antara satu sama lain pada sudut yang berbeza, kaedah Lagrange akan menjadi lebih mudah.

Kaedah graf bon

Saya akan menunjukkan kepada anda dengan segera rupa model dalam graf ikatan sebagai contoh dengan jisim, spring dan peredam:

Rajah 9. Jisim graf ikatan dengan spring dan peredam

Di sini anda perlu memberitahu sedikit teori, yang cukup untuk dibina model ringkas. Jika ada yang berminat, boleh baca buku tersebut ( Metodologi Graf Bon) atau ( Voronin A.V. Pemodelan sistem mekatronik: manual latihan. – Tomsk: Rumah Penerbitan Universiti Politeknik Tomsk, 2008).

Mari kita tentukan dahulu sistem yang kompleks terdiri daripada beberapa domain. Sebagai contoh, motor elektrik terdiri daripada bahagian atau domain elektrik dan mekanikal.

graf bon berdasarkan pertukaran kuasa antara domain ini, subsistem. Ambil perhatian bahawa pertukaran kuasa, dalam sebarang bentuk, sentiasa ditentukan oleh dua pembolehubah ( kuasa berubah-ubah) dengan bantuan yang mana kita boleh mengkaji interaksi pelbagai subsistem dalam sistem dinamik (lihat jadual).

Seperti yang dapat dilihat dari jadual, ekspresi kuasa hampir sama di mana-mana. Secara ringkasnya, kuasa- kerja ini" aliran - f"kepada" usaha - e».

usaha(Bahasa Inggeris) usaha) dalam domain elektrik ini adalah voltan (e), dalam domain mekanikal ia adalah daya (F) atau tork (T), dalam hidraulik ia adalah tekanan (p).

Aliran(Bahasa Inggeris) aliran) dalam domain elektrik ia adalah arus (i), dalam domain mekanikal ia adalah kelajuan (v) atau halaju sudut(omega), dalam hidraulik – aliran bendalir atau kadar aliran (Q).

Mengambil notasi ini, kami memperoleh ungkapan untuk kuasa:

Rajah 10. Formula kuasa melalui pembolehubah kuasa

Dalam bahasa graf ikatan, hubungan antara dua subsistem yang bertukar kuasa diwakili oleh ikatan. ikatan). Itulah sebabnya kaedah ini dipanggil graf ikatan atau g raf-sambungan, graf bersambung. Mari kita pertimbangkan gambarajah blok sambungan dalam model dengan motor elektrik (ini bukan graf ikatan lagi):

Rajah 11. Gambar rajah blok aliran kuasa antara domain

Jika kita mempunyai sumber voltan, maka dengan itu ia menghasilkan voltan dan memindahkannya ke motor untuk penggulungan (inilah sebabnya anak panah diarahkan ke motor), bergantung pada rintangan belitan, arus muncul mengikut undang-undang Ohm (diarahkan dari motor ke sumber). Oleh itu, satu pembolehubah adalah input kepada subsistem, dan yang kedua mestilah keluar daripada subsistem. Di sini voltan ( usaha) – input, semasa ( aliran) - keluar.

Jika anda menggunakan sumber semasa, bagaimanakah rajah akan berubah? Betul. Arus akan diarahkan ke motor, dan voltan ke punca. Kemudian arus ( aliran) – input, voltan ( usaha) - keluar.

Mari kita lihat contoh dalam mekanik. Daya bertindak ke atas jisim.

Rajah 12. Daya dikenakan pada jisim

Rajah blok adalah seperti berikut:

Rajah 13. Gambar rajah blok

Dalam contoh ini, Kekuatan ( usaha) – pembolehubah input untuk jisim. (Daya dikenakan pada jisim)
Menurut hukum kedua Newton:

Jisim bertindak balas dengan kelajuan:

Dalam contoh ini, jika satu pembolehubah ( kekuatan - usaha) ialah pintu masuk ke dalam domain mekanikal, kemudian pembolehubah kuasa lain ( kelajuan - aliran) – secara automatik menjadi keluar.

Untuk membezakan di mana input dan di mana output, garis menegak digunakan pada hujung anak panah (sambungan) antara elemen, garis ini dipanggil tanda kausalitas atau sebab musabab (sebab musabab). Ternyata: daya yang dikenakan adalah punca, dan kelajuan adalah kesannya. Tanda ini sangat penting untuk pembinaan model sistem yang betul, kerana sebab akibat adalah akibat tingkah laku fizikal dan pertukaran kuasa dua subsistem, oleh itu pilihan lokasi tanda kausalitas tidak boleh sewenang-wenangnya.

Rajah 14. Penetapan sebab akibat

Garis menegak ini menunjukkan subsistem yang menerima daya ( usaha) dan sebagai hasilnya menghasilkan aliran ( aliran). Dalam contoh dengan jisim ia akan menjadi seperti ini:

Rajah 14. Hubungan sebab bagi daya yang bertindak ke atas jisim

Jelas daripada anak panah bahawa input untuk jisim ialah - kekuatan, dan outputnya ialah kelajuan. Ini dilakukan supaya tidak mengacaukan rajah dengan anak panah dan mensistematikkan pembinaan model.

Seterusnya perkara penting. Impuls umum(jumlah pergerakan) dan bergerak(pembolehubah tenaga).

Jadual pembolehubah kuasa dan tenaga dalam domain yang berbeza

Jadual di atas memperkenalkan dua kuantiti fizik tambahan yang digunakan dalam kaedah graf ikatan. Mereka dipanggil impuls umum (r) Dan pergerakan umum (q) atau pembolehubah tenaga, dan ia boleh diperoleh dengan menyepadukan pembolehubah kuasa dari semasa ke semasa:

Rajah 15. Hubungan antara pembolehubah kuasa dan tenaga

Dalam domain elektrik :

Berdasarkan hukum Faraday, voltan pada hujung konduktor adalah sama dengan terbitan fluks magnet melalui konduktor ini.

A Kekuatan semasa - kuantiti fizikal, sama dengan nisbah jumlah cas Q yang melalui beberapa masa t keratan rentas konduktor, kepada nilai tempoh masa ini.

Domain mekanikal:

Daripada hukum ke-2 Newton, kekuatan– terbitan masa bagi impuls

Dan sewajarnya, kelajuan- terbitan masa bagi sesaran:

Mari kita ringkaskan:

Elemen asas

Semua elemen dalam sistem dinamik boleh dibahagikan kepada komponen dua kutub dan empat kutub.
Mari kita pertimbangkan komponen bipolar:

Sumber
Terdapat sumber kedua-dua usaha dan aliran. Analogi dalam domain elektrik: sumber usaha – punca voltan, sumber aliran – sumber semasa. Tanda-tanda sebab untuk sumber hanya sepatutnya seperti ini.

Rajah 16. Sambungan sebab dan penetapan sumber

Komponen R - unsur pelesapan

Komponen I – unsur inersia

Komponen C – unsur kapasitif

Seperti yang dapat dilihat dari angka, unsur-unsur yang berbeza yang sama jenis R,C,I diterangkan oleh persamaan yang sama. HANYA terdapat perbezaan untuk kapasiti elektrik, anda hanya perlu mengingatinya!

Komponen quadrupole:

Mari kita lihat dua komponen: pengubah dan girator.

Komponen penting terakhir dalam kaedah graf ikatan ialah sambungan. Terdapat dua jenis nod:

Itu sahaja dengan komponen.

Langkah-langkah utama untuk mewujudkan hubungan sebab akibat selepas membina graf ikatan:

1. Berikan hubungan sebab akibat kepada semua orang sumber
2. Pergi melalui semua nod dan letakkan hubungan sebab akibat selepas titik 1
3. Untuk komponen I tetapkan hubungan sebab input (usaha disertakan dalam komponen ini), untuk komponen C tetapkan kausalitas output (usaha keluar dari komponen ini)
4. Ulang titik 2
5. Sisipkan sambungan sebab untuk komponen R

Ini menyimpulkan kursus mini tentang teori. Sekarang kita mempunyai semua yang kita perlukan untuk membina model.
Mari kita selesaikan beberapa contoh. Mari kita mulakan dengan litar elektrik adalah lebih baik untuk memahami analogi membina graf ikatan.

Contoh 1

Mari mulakan membina graf ikatan dengan sumber voltan. Hanya tulis Se dan letakkan anak panah.

Lihat, semuanya mudah! Mari kita lihat lebih jauh, R dan L disambungkan secara bersiri, yang bermaksud arus yang sama mengalir di dalamnya, jika kita bercakap dalam pembolehubah kuasa - aliran yang sama. Nod yang manakah mempunyai aliran yang sama? Jawapan yang betul ialah 1-nod. Kami menyambungkan sumber, rintangan (komponen - R) dan kearuhan (komponen - I) ke 1-nod.

Seterusnya, kami mempunyai kapasitans dan rintangan secara selari, yang bermaksud mereka mempunyai voltan atau daya yang sama. 0-nod adalah sesuai seperti yang lain. Kami menyambungkan kapasitansi (komponen C) dan rintangan (komponen R) ke 0-nod.

Kami juga menyambungkan nod 1 dan 0 antara satu sama lain. Arah anak panah dipilih secara sewenang-wenangnya; arah sambungan hanya mempengaruhi tanda dalam persamaan.

Anda akan mendapat graf sambungan berikut:

Sekarang kita perlu mewujudkan hubungan sebab akibat. Mengikuti arahan untuk urutan penempatan mereka, mari kita mulakan dengan sumber.

1. Kami mempunyai sumber voltan (usaha), sumber sedemikian hanya mempunyai satu pilihan kausaliti - output. Jom pakai.
2. Seterusnya terdapat komponen I, mari lihat apa yang mereka cadangkan. Kami meletakkan
3. Kami meletakkannya untuk 1-nod. makan
4. Nod 0 mesti mempunyai satu input dan semua sambungan sebab keluaran. Kami mempunyai satu hari cuti buat masa ini. Kami sedang mencari komponen C atau I. Kami menjumpainya. Kami meletakkan
5. Mari senaraikan apa yang tinggal

Itu sahaja. Graf bon dibina. Hore, Kawan-kawan!

Yang tinggal hanyalah menulis persamaan yang menerangkan sistem kami. Untuk melakukan ini, buat jadual dengan 3 lajur. Yang pertama akan mengandungi semua komponen sistem, yang kedua akan mengandungi pembolehubah input untuk setiap elemen, dan yang ketiga akan mengandungi pembolehubah output untuk komponen yang sama. Kami telah pun mentakrifkan input dan output mengikut hubungan sebab akibat. Jadi tidak sepatutnya ada masalah.

Mari kita nombor setiap sambungan untuk memudahkan merekod tahap. Kami mengambil persamaan untuk setiap elemen dari senarai komponen C, R, I.

Setelah menyusun jadual, kami menentukan pembolehubah keadaan, dalam contoh ini terdapat 2 daripadanya, p3 dan q5. Seterusnya anda perlu menulis persamaan keadaan:

Itu sahaja, model sudah siap.

Contoh 2. Saya ingin segera memohon maaf atas kualiti foto, perkara utama ialah anda boleh membaca

Mari kita selesaikan contoh lain untuk sistem mekanikal, yang sama yang kita selesaikan menggunakan kaedah Lagrange. Saya akan tunjukkan penyelesaiannya tanpa komen. Mari kita semak kaedah mana yang lebih mudah dan mudah.

Di Matbala, kedua-dua model matematik dengan parameter yang sama telah disusun, diperoleh dengan kaedah Lagrange dan graf ikatan. Hasilnya adalah di bawah: Tambah tag

Pertama, mari kita pertimbangkan kes fungsi dua pembolehubah. Ekstrem bersyarat bagi fungsi $z=f(x,y)$ pada titik $M_0(x_0;y_0)$ ialah ekstrem bagi fungsi ini, dicapai di bawah syarat pembolehubah $x$ dan $y$ dalam sekitar titik ini memenuhi persamaan sambungan $\ varphi (x,y)=0$.

Nama ekstrem "bersyarat" adalah disebabkan oleh fakta bahawa pembolehubah tertakluk kepada syarat tambahan$\varphi(x,y)=0$. Jika satu pembolehubah boleh dinyatakan daripada persamaan sambungan melalui yang lain, maka masalah menentukan ekstrem bersyarat dikurangkan kepada masalah menentukan ekstrem biasa fungsi satu pembolehubah. Sebagai contoh, jika persamaan sambungan membayangkan $y=\psi(x)$, kemudian menggantikan $y=\psi(x)$ kepada $z=f(x,y)$, kita memperoleh fungsi satu pembolehubah $z =f\kiri (x,\psi(x)\kanan)$. DALAM kes am Walau bagaimanapun, kaedah ini tidak banyak digunakan, jadi pengenalan algoritma baru diperlukan.

Kaedah pengganda Lagrange untuk fungsi dua pembolehubah.

Kaedah pengganda Lagrange terdiri daripada membina fungsi Lagrange untuk mencari ekstrem bersyarat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda$ dipanggil pengganda Lagrange). Syarat-syarat yang diperlukan untuk ekstrem ditentukan oleh sistem persamaan dari mana titik pegun ditentukan:

$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & \frac(\sebahagian F)(\sebahagian x)=0;\\ & \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.

Keadaan yang mencukupi untuk menentukan sifat ekstrem ialah tanda $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jika pada titik pegun $d^2F > 0$, maka fungsi $z=f(x,y)$ mempunyai minimum bersyarat pada ketika ini, tetapi jika $d^2F< 0$, то условный максимум.

Terdapat satu lagi cara untuk menentukan sifat ekstrem. Daripada persamaan gandingan kita perolehi: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, oleh itu pada mana-mana titik pegun kita ada:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \kanan)$$

Faktor kedua (terletak dalam kurungan) boleh diwakili dalam bentuk ini:

Unsur penentu $\left| diserlahkan dengan warna merah. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, iaitu Hessian bagi fungsi Lagrange. Jika $H > 0$, maka $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, iaitu kita mempunyai minimum bersyarat bagi fungsi $z=f(x,y)$.

Nota mengenai tatatanda penentu $H$. tunjukkan\sembunyi

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

Dalam keadaan ini, peraturan yang dirumuskan di atas akan berubah seperti berikut: jika $H > 0$, maka fungsi mempunyai minimum bersyarat, dan jika $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritma untuk mengkaji fungsi dua pembolehubah untuk ekstrem bersyarat

1. Karang fungsi Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Selesaikan sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \end(aligned) \right.$
3. Tentukan sifat ekstrem pada setiap titik pegun yang terdapat dalam perenggan sebelumnya. Untuk melakukan ini, gunakan mana-mana kaedah berikut:
   • Susun penentu $H$ dan ketahui tandanya
   • Dengan mengambil kira persamaan gandingan, hitung tanda $d^2F$

Kaedah pengganda lagrange untuk fungsi n pembolehubah

Katakan kita mempunyai fungsi $n$ pembolehubah $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan $m$ persamaan gandingan ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Menandakan pengganda Lagrange sebagai $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, kami menyusun fungsi Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Syarat yang diperlukan untuk kehadiran ekstrem bersyarat diberikan oleh sistem persamaan dari mana koordinat titik pegun dan nilai pengganda Lagrange ditemui:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Anda boleh mengetahui sama ada fungsi mempunyai minimum bersyarat atau maksimum bersyarat pada titik yang ditemui, seperti sebelum ini, menggunakan tanda $d^2F$. Jika pada titik yang ditemui $d^2F > 0$, maka fungsi tersebut mempunyai minimum bersyarat, tetapi jika $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Penentu matriks $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(1)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(1)\sebahagian x_(n)) \\ \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_1) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)^(2)) & \frac(\sebahagian^2F )(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(2)\sebahagian x_(n))\\ \frac(\sebahagian^2F )(\sebahagian x_(3) \sebahagian x_(1)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(3)\sebahagian x_(2)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(1)) & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(2)) & \ frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)\sebahagian x_(3)) &\ldots & \frac(\sebahagian^2F)(\sebahagian x_(n)^(2))\\ \end( tatasusunan) \kanan|$, diserlahkan dengan warna merah dalam matriks $L$, ialah Hessian bagi fungsi Lagrange. Kami menggunakan peraturan berikut:

• Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriks $L$ bertepatan dengan tanda $(-1)^m$, maka titik pegun yang dikaji ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ berselang-seli, dan tanda kecil $H_(2m+1)$ bertepatan dengan tanda nombor $(-1)^(m+1 )$, maka titik pegun ialah titik maksimum bersyarat bagi fungsi $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Contoh No 1

Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=x+3y$ di bawah keadaan $x^2+y^2=10$.

Tafsiran geometri masalah ini adalah seperti berikut: diperlukan untuk mencari yang terbesar dan nilai terkecil menggunakan satah $z=x+3y$ untuk titik persilangannya dengan silinder $x^2+y^2=10$.

Agak sukar untuk menyatakan satu pembolehubah melalui yang lain daripada persamaan gandingan dan menggantikannya ke dalam fungsi $z(x,y)=x+3y$, jadi kita akan menggunakan kaedah Lagrange.

Menandakan $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, kami menyusun fungsi Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\sebahagian x)=1+2\lambda x; \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=3+2\lambda y. $$

Mari kita tulis satu sistem persamaan untuk menentukan titik pegun bagi fungsi Lagrange:

$$ \kiri \( \mulakan(diselaraskan) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \tamat (diselaraskan)\kanan.$$

Jika kita menganggap $\lambda=0$, maka persamaan pertama menjadi: $1=0$. Percanggahan yang terhasil menunjukkan bahawa $\lambda\neq 0$. Di bawah keadaan $\lambda\neq 0$, daripada persamaan pertama dan kedua kita ada: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Menggantikan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga, kita dapat:

$$ \kiri(-\frac(1)(2\lambda) \kanan)^2+\kiri(-\frac(3)(2\lambda) \kanan)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(diselaraskan) $$

Jadi, sistem mempunyai dua penyelesaian: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dan $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Mari kita ketahui sifat ekstrem pada setiap titik pegun: $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$. Untuk melakukan ini, kami mengira penentu $H$ pada setiap titik.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \kanan| $$

Pada titik $M_1(1;3)$ kita dapat: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, jadi pada titik Fungsi $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=z(1;3)=10$.

Begitu juga, pada titik $M_2(-1,-3)$ kita dapati: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Sejak $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Saya perhatikan bahawa daripada mengira nilai penentu $H$ pada setiap titik, adalah lebih mudah untuk mengembangkannya dalam pandangan umum. Untuk tidak mengacaukan teks dengan butiran, saya akan menyembunyikan kaedah ini di bawah nota.

Menulis penentu $H$ dalam bentuk am. tunjukkan\sembunyi

$$ H=8\cdot\left|\mulakan(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\kanan| =8\cdot\kiri(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\kanan) =-8\lambda\cdot\kiri(y^2+x^2\kanan). $$

Pada dasarnya, sudah jelas tanda yang ada pada $H$. Oleh kerana tiada mata $M_1$ atau $M_2$ bertepatan dengan asal, maka $y^2+x^2>0$. Oleh itu, tanda $H$ adalah bertentangan dengan tanda $\lambda$. Anda boleh melengkapkan pengiraan:

$$ \mulakan(diselaraskan) &H(M_1)=-8\cdot\kiri(-\frac(1)(2)\kanan)\cdot\kiri(3^2+1^2\kanan)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\kanan)=-40. \end(diselaraskan) $$

Soalan tentang sifat ekstrem pada titik pegun $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$ boleh diselesaikan tanpa menggunakan penentu $H$. Mari kita cari tanda $d^2F$ pada setiap titik pegun:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$

Biar saya ambil perhatian bahawa notasi $dx^2$ bermakna tepat $dx$ dinaikkan kepada kuasa kedua, i.e. $\kiri(dx \kanan)^2$. Oleh itu kita mempunyai: $dx^2+dy^2>0$, oleh itu, dengan $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ kita mendapat $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Jawab: pada titik $(-1;-3)$ fungsi mempunyai minimum bersyarat, $z_(\min)=-10$. Pada titik $(1;3)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=10$

Contoh No. 2

Cari ekstrem bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ di bawah keadaan $x+y=0$.

Kaedah pertama (kaedah pengganda Lagrange)

Menandakan $\varphi(x,y)=x+y$, kami menyusun fungsi Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\sebahagian F)(\sebahagian x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\sebahagian F)(\sebahagian y)=9y^2-x+\lambda.\\ \kiri \( \mula(dijajar) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0 \end(aligned) \right.

Setelah menyelesaikan sistem, kami memperoleh: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dan $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Kami mempunyai dua titik pegun: $M_1(0;0)$ dan $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Mari kita ketahui sifat ekstrem pada setiap titik pegun menggunakan penentu $H$.

$$H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Pada titik $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, oleh itu pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Kami menyiasat sifat ekstrem pada setiap titik menggunakan kaedah yang berbeza, berdasarkan tanda $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Daripada persamaan sambungan $x+y=0$ kita ada: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Oleh kerana $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, maka $M_1(0;0)$ ialah titik minimum bersyarat bagi fungsi $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Begitu juga, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Cara kedua

Daripada persamaan sambungan $x+y=0$ kita dapat: $y=-x$. Menggantikan $y=-x$ ke dalam fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, kita memperoleh beberapa fungsi pembolehubah $x$. Mari kita nyatakan fungsi ini sebagai $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Oleh itu, kami mengurangkan masalah mencari ekstrem bersyarat bagi fungsi dua pembolehubah kepada masalah menentukan ekstrem fungsi satu pembolehubah.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);

Kami memperoleh mata $M_1(0;0)$ dan $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Penyelidikan lanjut diketahui dari perjalanan kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah. Dengan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$ pada setiap titik pegun atau menyemak perubahan tanda $u_(x)^(")$ pada titik yang ditemui, kami memperoleh kesimpulan yang sama seperti apabila menyelesaikan dengan cara pertama Sebagai contoh, kami akan menyemak tanda $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Oleh kerana $u_(xx)^("")(M_1)>0$, maka $M_1$ ialah titik minimum bagi fungsi $u(x)$, dan $u_(\min)=u(0)=0 $ . Sejak $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Nilai fungsi $u(x)$ untuk keadaan sambungan tertentu bertepatan dengan nilai fungsi $z(x,y)$, i.e. extrema yang ditemui bagi fungsi $u(x)$ ialah extrema bersyarat yang dicari bagi fungsi $z(x,y)$.

Jawab: pada titik $(0;0)$ fungsi mempunyai minimum bersyarat, $z_(\min)=0$. Pada titik $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Mari kita pertimbangkan contoh lain di mana kita akan menjelaskan sifat ekstrem dengan menentukan tanda $d^2F$.

Contoh No. 3

Cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi $z=5xy-4$ jika pembolehubah $x$ dan $y$ adalah positif dan memenuhi persamaan gandingan $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Mari kita karang fungsi Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Mari cari titik pegun bagi fungsi Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kiri \( \mula(diselaraskan) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; y > 0. \end(aligned) \right.

Semua transformasi selanjutnya dijalankan dengan mengambil kira $x > 0; \; y > 0$ (ini dinyatakan dalam pernyataan masalah). Daripada persamaan kedua kita nyatakan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dan gantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan pertama: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Menggantikan $x=2y$ ke dalam persamaan ketiga, kita dapat: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Oleh kerana $y=1$, maka $x=2$, $\lambda=-10$. Kami menentukan sifat ekstrem pada titik $(2;1)$ berdasarkan tanda $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Oleh kerana $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, maka:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Pada dasarnya, di sini anda boleh segera menggantikan koordinat titik pegun $x=2$, $y=1$ dan parameter $\lambda=-10$, mendapatkan:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \kanan)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Walau bagaimanapun, dalam masalah lain pada ekstrem bersyarat mungkin terdapat beberapa titik pegun. Dalam kes sedemikian, adalah lebih baik untuk mewakili $d^2F$ dalam bentuk umum, dan kemudian menggantikan koordinat setiap titik pegun yang ditemui ke dalam ungkapan yang terhasil:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \kanan)\cdot dx^2 $$

Menggantikan $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, kita dapat:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Oleh kerana $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Jawab: pada titik $(2;1)$ fungsi mempunyai maksimum bersyarat, $z_(\maks)=6$.

Dalam bahagian seterusnya kita akan mempertimbangkan penggunaan kaedah Lagrange untuk fungsi bilangan pembolehubah yang lebih besar.

Kaedah pengganda Lagrange.

Kaedah pengganda Lagrange adalah salah satu kaedah yang membolehkan anda menyelesaikan masalah tanpa pengaturcaraan linear.

Pengaturcaraan bukan linear ialah satu cabang pengaturcaraan matematik yang mengkaji kaedah untuk menyelesaikan masalah ekstrem dengan fungsi objektif bukan linear dan kawasan penyelesaian yang boleh dilaksanakan yang ditakrifkan oleh kekangan bukan linear. Dalam ekonomi, ini sepadan dengan fakta bahawa hasil (kecekapan) meningkat atau menurun secara tidak seimbang dengan perubahan dalam skala penggunaan sumber (atau, apa yang sama, skala pengeluaran): contohnya, disebabkan oleh pembahagian kos pengeluaran dalam perusahaan kepada berubah-ubah dan separa tetap; disebabkan ketepuan permintaan untuk barangan, apabila setiap unit berikutnya lebih sukar untuk dijual daripada yang sebelumnya, dsb.

Masalah pengaturcaraan tak linear ditimbulkan sebagai masalah mencari optimum sesuatu tertentu fungsi objektif

F(x 1 ,…x n), F (x) → maks

apabila syarat dipenuhi

g j (x 1 ,…x n)≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

di mana x-vektor pembolehubah yang diperlukan;

F (x) -fungsi objektif;

g (x) - fungsi kekangan (boleh dibezakan secara berterusan);

b - vektor pemalar kekangan.

Penyelesaian kepada masalah pengaturcaraan tak linear (maksimum atau minimum global) boleh dimiliki sama ada dalam sempadan atau bahagian dalam set yang boleh diterima.

Tidak seperti masalah pengaturcaraan linear, dalam masalah pengaturcaraan bukan linear, optimum tidak semestinya terletak pada sempadan rantau yang ditakrifkan oleh kekangan. Dalam erti kata lain, tugasnya adalah untuk memilih nilai pembolehubah bukan negatif sedemikian, tertakluk kepada sistem sekatan dalam bentuk ketidaksamaan, di mana maksimum (atau minimum) fungsi tertentu dicapai. Dalam kes ini, bentuk fungsi objektif mahupun ketaksamaan tidak dinyatakan. mungkin ada kes yang berbeza: fungsi objektif adalah tak linear, dan kekangan adalah linear; fungsi objektif adalah linear, dan kekangan (sekurang-kurangnya satu daripadanya) adalah tidak linear; kedua-dua fungsi objektif dan kekangan adalah tidak linear.

Masalah pengaturcaraan tak linear terdapat dalam sains semula jadi, teknologi, ekonomi, matematik, dan dalam bidang hubungan perniagaan dan dalam ilmu pemerintahan.

Pengaturcaraan bukan linear, sebagai contoh, berkaitan dengan masalah ekonomi asas. Oleh itu, dalam masalah memperuntukkan sumber yang terhad, sama ada kecekapan atau, jika pengguna sedang dikaji, penggunaan dimaksimumkan dengan adanya sekatan yang menyatakan keadaan kekurangan sumber. Dalam rumusan umum sedemikian, rumusan matematik masalah mungkin mustahil, tetapi dalam aplikasi khusus bentuk kuantitatif semua fungsi boleh ditentukan secara langsung. Sebagai contoh, perusahaan industri menghasilkan produk plastik. Kecekapan pengeluaran diukur di sini dengan keuntungan, dan sekatan ditafsirkan sebagai tunai tenaga buruh, kawasan pengeluaran, prestasi peralatan, dsb.

Kaedah keberkesanan kos juga sesuai dengan skim pengaturcaraan tak linear. Kaedah ini dibangunkan untuk digunakan dalam membuat keputusan dalam kerajaan. Fungsi kecekapan biasa ialah kebajikan. Di sini dua masalah pengaturcaraan tak linear timbul: yang pertama memaksimumkan kesan pada kos terhad, yang kedua meminimumkan kos dengan syarat kesannya melebihi tahap minimum tertentu. Masalah ini biasanya dimodelkan dengan baik menggunakan pengaturcaraan tak linear.

Hasil penyelesaian masalah pengaturcaraan tak linear membantu dalam membuat keputusan kerajaan. Penyelesaian yang terhasil, sudah tentu, disyorkan, jadi adalah perlu untuk memeriksa andaian dan ketepatan masalah pengaturcaraan tak linear sebelum membuat keputusan muktamad.

Masalah bukan linear adalah kompleks; ia sering dipermudahkan dengan membawa kepada masalah linear. Untuk melakukan ini, secara konvensional diandaikan bahawa dalam kawasan tertentu fungsi objektif bertambah atau berkurang mengikut kadar perubahan dalam pembolehubah bebas. Pendekatan ini dipanggil kaedah penghampiran linear sekeping, bagaimanapun, ia hanya terpakai kepada jenis masalah bukan linear tertentu.

Masalah bukan linear di bawah keadaan tertentu diselesaikan menggunakan fungsi Lagrange: dengan mencari titik pelananya, penyelesaian kepada masalah itu ditemui. Antara algoritma pengiraan N. p. tempat yang bagus menduduki kaedah kecerunan. Tiada kaedah universal untuk masalah tak linear dan, nampaknya, mungkin tidak ada, kerana ia sangat pelbagai. Masalah multiextremal amat sukar untuk diselesaikan.

Salah satu kaedah yang membolehkan anda mengurangkan masalah pengaturcaraan tak linear untuk menyelesaikan sistem persamaan ialah kaedah Lagrange bagi pengganda tak tentu.

Dengan menggunakan kaedah pengganda Lagrange, kami pada asasnya menubuhkan syarat yang perlu, membolehkan untuk mengenal pasti titik optimum dalam masalah pengoptimuman dengan kekangan dalam bentuk kesamaan. Dalam kes ini, masalah dengan sekatan diubah menjadi masalah yang setara pengoptimuman tanpa syarat, yang melibatkan beberapa parameter yang tidak diketahui dipanggil pengganda Lagrange.

Kaedah pengganda Lagrange terdiri daripada mengurangkan masalah pada ekstrem bersyarat kepada masalah pada ekstrem tanpa syarat bagi fungsi tambahan - yang dipanggil. Fungsi Lagrange.

Untuk masalah ekstrem bagi sesuatu fungsi f(x 1, x 2,..., x n) di bawah keadaan (persamaan kekangan) φ i(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, i= 1, 2,..., m, fungsi Lagrange mempunyai bentuk

L(x 1, x 2… x n,λ 1, λ 2,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Pengganda λ 1 , λ 2 , ..., λm dipanggil Pengganda Lagrange.

Jika nilai-nilai x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λm intipati penyelesaian kepada persamaan yang menentukan titik pegun bagi fungsi Lagrange, iaitu, untuk fungsi boleh beza ialah penyelesaian kepada sistem persamaan

maka, di bawah andaian yang agak umum, x 1 , x 2 , ..., x n memberikan ekstrem bagi fungsi f.

Pertimbangkan masalah meminimumkan fungsi n pembolehubah tertakluk kepada satu kekangan dalam bentuk kesamaan:

Minimumkan f(x 1, x 2… x n) (1)

di bawah sekatan h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)

Selaras dengan kaedah pengganda Lagrange, masalah ini diubah menjadi masalah pengoptimuman tanpa kekangan berikut:

minimumkan L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)

di mana Fungsi L(x;λ) dipanggil fungsi Lagrange,

λ ialah pemalar yang tidak diketahui, yang dipanggil pengganda Lagrange. Tiada keperluan untuk tanda λ.

Biarkan, untuk nilai tertentu λ=λ 0, minimum tanpa syarat bagi fungsi L(x,λ) berkenaan dengan x dicapai pada titik x=x 0 dan x 0 memenuhi persamaan h 1 (x 0)=0 . Kemudian, seperti yang mudah dilihat, x 0 meminimumkan (1) dengan mengambil kira (2), kerana untuk semua nilai x memuaskan (2), h 1 (x)=0 dan L(x,λ)=min f(x).

Sudah tentu, adalah perlu untuk memilih nilai λ=λ 0 supaya koordinat titik minimum tanpa syarat x 0 memenuhi kesamaan (2). Ini boleh dilakukan jika, mempertimbangkan λ sebagai pembolehubah, mencari minimum tanpa syarat fungsi (3) dalam bentuk fungsi λ, dan kemudian memilih nilai λ di mana kesamaan (2) dipenuhi. Mari kita gambarkan ini dengan contoh khusus.

Minimumkan f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0

di bawah kekangan h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0

Masalah pengoptimuman tanpa kekangan yang sepadan ditulis seperti berikut:

minimumkan L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)

Penyelesaian. Menyamakan dua komponen kecerunan L kepada sifar, kita perolehi

→ x 1 0 =λ

→ x 2 0 =λ/2

Untuk menyemak sama ada titik pegun x° sepadan dengan minimum, kami mengira unsur-unsur matriks Hessian bagi fungsi L(x;u), dianggap sebagai fungsi x,

yang ternyata positif pasti.

Ini bermakna L(x,u) ialah fungsi cembung bagi x. Akibatnya, koordinat x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 menentukan titik minimum global. Nilai optimumλ didapati dengan menggantikan nilai x 1 0 dan x 2 0 ke dalam persamaan 2x 1 + x 2 =2, dari mana 2λ+λ/2=2 atau λ 0 =4/5. Oleh itu, minimum bersyarat dicapai pada x 1 0 =4/5 dan x 2 0 =2/5 dan bersamaan dengan min f(x) = 4/5.

Apabila menyelesaikan masalah daripada contoh, kami menganggap L(x;λ) sebagai fungsi dua pembolehubah x 1 dan x 2 dan, sebagai tambahan, mengandaikan bahawa nilai parameter λ telah dipilih supaya kekangan itu dipenuhi. Jika penyelesaian sistem

J=1,2,3,…,n

λ tidak boleh diperoleh dalam bentuk fungsi eksplisit, maka nilai x dan λ didapati dengan menyelesaikan sistem berikut yang terdiri daripada persamaan n+1 dengan n+1 tidak diketahui:

J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0

Untuk mencari semua orang penyelesaian yang mungkin Sistem ini boleh menggunakan kaedah carian berangka (contohnya, kaedah Newton). Bagi setiap penyelesaian (), kita harus mengira unsur-unsur matriks Hessian bagi fungsi L, dianggap sebagai fungsi x, dan mengetahui sama ada matriks ini pasti positif (minimum tempatan) atau pasti negatif (maksimum tempatan. ).

Kaedah pengganda Lagrange boleh diperluaskan kepada kes di mana masalah mempunyai beberapa kekangan dalam bentuk kesamaan. Pertimbangkan masalah umum yang memerlukan

Minimumkan f(x)

di bawah sekatan h k =0, k=1, 2, ..., K.

Fungsi Lagrange mengambil bentuk berikut:

Di sini λ 1 , λ 2 , ..., λk-Pengganda Lagrange, i.e. parameter yang tidak diketahui yang nilainya perlu ditentukan. Menyamakan terbitan separa L berkenaan dengan x kepada sifar, kita memperoleh sistem n persamaan berikut dengan n yang tidak diketahui:

Jika ternyata sukar untuk mencari penyelesaian kepada sistem di atas dalam bentuk fungsi vektor λ, maka anda boleh mengembangkan sistem dengan memasukkan sekatan dalam bentuk persamaan

Penyelesaian sistem lanjutan, yang terdiri daripada persamaan n + K dengan n + K tidak diketahui, menentukan titik pegun fungsi L. Kemudian prosedur untuk menyemak minimum atau maksimum dilaksanakan, yang dijalankan berdasarkan pengiraan unsur-unsur matriks Hessian bagi fungsi L, dianggap sebagai fungsi x, sama seperti yang dilakukan dalam kes masalah dengan satu kekangan. Untuk beberapa masalah, sistem lanjutan persamaan n+K dengan n+K tidak diketahui mungkin tidak mempunyai penyelesaian, dan kaedah pengganda Lagrange ternyata tidak boleh digunakan. Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa tugas sedemikian agak jarang berlaku dalam amalan.

Mari kita pertimbangkan kes khas tugas biasa pengaturcaraan tak linear, dengan mengandaikan bahawa sistem kekangan hanya mengandungi persamaan, tiada syarat untuk bukan negatif pembolehubah dan dan - fungsi adalah berterusan bersama derivatif separanya. Oleh itu, dengan menyelesaikan sistem persamaan (7), kita memperoleh semua titik di mana fungsi (6) boleh mempunyai nilai ekstrem.

Algoritma untuk kaedah pengganda Lagrange

1. Karang fungsi Lagrange.

2. Cari terbitan separa bagi fungsi Lagrange berkenaan dengan pembolehubah x J ,λ i dan samakannya dengan sifar.

3. Kami menyelesaikan sistem persamaan (7), cari titik di mana fungsi objektif masalah boleh mempunyai ekstrem.

4. Antara mata yang mencurigakan untuk ekstrem, kita dapati titik di mana ekstrem dicapai, dan hitung nilai fungsi (6) pada titik ini.

Contoh.

Data awal: Mengikut rancangan pengeluaran, syarikat itu perlu mengeluarkan 180 produk. Produk ini boleh dihasilkan dalam dua cara teknologi. Apabila menghasilkan x 1 produk menggunakan kaedah pertama, kosnya ialah 4x 1 + x 1 2 rubel, dan apabila menghasilkan x 2 produk menggunakan kaedah ke-2, ia adalah 8x 2 + x 2 2 rubel. Tentukan berapa banyak produk yang perlu dikeluarkan menggunakan setiap kaedah supaya kos pengeluaran adalah minimum.

Fungsi objektif untuk masalah yang dinyatakan mempunyai bentuk
® min di bawah keadaan x 1 + x 2 =180, x 2 ≥0.
1. Karang fungsi Lagrange
.
2. Kami mengira terbitan separa berkenaan dengan x 1, x 2, λ dan menyamakannya dengan sifar:

3. Menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil, kita dapati x 1 =91,x 2 =89

4. Setelah membuat penggantian dalam fungsi objektif x 2 =180-x 1, kita memperoleh fungsi satu pembolehubah, iaitu f 1 =4x 1 +x 1 2 +8(180-x 1)+(180-x 1 ) 2

Kami mengira atau 4x 1 -364=0 ,

dari mana kita mempunyai x 1 * =91, x 2 * =89.

Jawapan: Bilangan produk yang dihasilkan oleh kaedah pertama ialah x 1 =91, dengan kaedah kedua x 2 =89, manakala nilai fungsi objektif adalah bersamaan dengan 17,278 rubel.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

terdiri daripada menggantikan pemalar arbitrari ck dalam penyelesaian am

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

persamaan homogen yang sepadan

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

kepada fungsi tambahan ck(t), yang terbitannya memenuhi sistem algebra linear

Penentu sistem (1) ialah Wronskian bagi fungsi z1,z2,...,zn, yang memastikan kebolehlarutannya yang unik berkenaan dengan .

Jika adalah antiterbitan untuk , diambil pada nilai tetap pemalar penyepaduan, maka fungsinya

ialah penyelesaian kepada persamaan pembezaan tak homogen linear asal. Integrasi persamaan tak homogen dengan adanya penyelesaian umum kepada persamaan homogen yang sepadan, maka ia dikurangkan kepada kuadratur.

Kaedah Lagrange (kaedah variasi pemalar arbitrari)

Kaedah untuk mendapatkan penyelesaian umum kepada persamaan tidak homogen, mengetahui penyelesaian umum kepada persamaan homogen tanpa mencari penyelesaian tertentu.

Untuk persamaan pembezaan homogen linear tertib ke-n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

dengan y = y(x) ialah fungsi yang tidak diketahui, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) diketahui, selanjar, benar: 1) terdapat n secara linear persamaan penyelesaian bebas y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) untuk sebarang nilai pemalar c1, c2, ..., cn, fungsi y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ialah a penyelesaian kepada persamaan; 3) untuk sebarang nilai awal x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 terdapat nilai c*1, c*n, ..., c*n supaya penyelesaian y *(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) memenuhi syarat awal y*(x0)=y0, (y*)"( x0) untuk x = x0 =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Ungkapan y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) dipanggil keputusan umum persamaan pembezaan homogen linear bagi susunan ke-n.

Set n penyelesaian bebas linear bagi persamaan pembezaan homogen linear bagi tertib ke-n y1(x), y2(x), ..., yn(x) dipanggil sistem asas penyelesaian kepada persamaan itu.

Untuk persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar terdapat algoritma mudah untuk membina sistem asas penyelesaian. Kami akan mencari penyelesaian kepada persamaan dalam bentuk y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, iaitu nombor l ialah punca persamaan ciri ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Bahagian kiri persamaan ciri dipanggil polinomial ciri bagi persamaan pembezaan linear: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Oleh itu, masalah menyelesaikan persamaan homogen linear tertib ke-n dengan pekali malar dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan algebra.

Jika persamaan ciri mempunyai n punca nyata yang berbeza l1№ l2 № ... № ln, maka sistem asas penyelesaian terdiri daripada fungsi y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), dan penyelesaian am bagi persamaan homogen mempunyai bentuk: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx ).

sistem asas penyelesaian dan penyelesaian umum untuk kes punca sebenar mudah.

Jika mana-mana punca sebenar persamaan ciri diulang r kali (r-berbilang punca), maka dalam sistem asas penyelesaian terdapat r fungsi yang sepadan dengannya; jika lk=lk+1 = ... = lk+r-1, maka masuk sistem asas penyelesaian kepada persamaan termasuk fungsi r: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r- 1( x) =xr-1 exp(lnx).

CONTOH 2. Sistem asas penyelesaian dan penyelesaian am untuk kes berbilang punca sebenar.

Jika persamaan ciri mempunyai punca kompleks, maka setiap pasangan punca mudah (dengan multiplicity 1) punca kompleks lk,k+1=ak ± ibk dalam sistem asas penyelesaian sepadan dengan sepasang fungsi yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

CONTOH 4. Sistem asas penyelesaian dan penyelesaian am bagi kes punca kompleks ringkas. Akar khayalan.

Jika pasangan akar kompleks mempunyai multiplicity r, maka pasangan tersebut lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, dalam sistem asas penyelesaian sepadan dengan fungsi exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

CONTOH 5. Sistem asas penyelesaian dan penyelesaian am untuk kes punca berbilang kompleks.

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan homogen linear dengan pekali malar, seseorang harus: menulis persamaan ciri; cari semua punca persamaan ciri l1, l2, ... , ln; tuliskan sistem asas penyelesaian y1(x), y2(x), ..., yn(x); tuliskan ungkapan untuk penyelesaian am y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Untuk menyelesaikan masalah Cauchy, anda perlu menggantikan ungkapan untuk penyelesaian umum ke dalam keadaan awal dan menentukan nilai pemalar c1,..., cn, yang merupakan penyelesaian kepada sistem linear persamaan algebra c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Untuk persamaan pembezaan tak homogen linear bagi tertib ke-n

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

dengan y = y(x) ialah fungsi yang tidak diketahui, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) diketahui, selanjar, sah: 1 ) jika y1(x) dan y2(x) ialah dua penyelesaian kepada persamaan tidak homogen, maka fungsi y(x) = y1(x) - y2(x) ialah penyelesaian kepada persamaan homogen yang sepadan; 2) jika y1(x) ialah penyelesaian kepada persamaan tak homogen, dan y2(x) ialah penyelesaian kepada persamaan homogen sepadan, maka fungsi y(x) = y1(x) + y2(x) ialah penyelesaian kepada persamaan tidak homogen; 3) jika y1(x), y2(x), ..., yn(x) ialah n penyelesaian bebas linear bagi persamaan homogen, dan ych(x) - keputusan sewenang-wenangnya persamaan tidak homogen, maka untuk sebarang nilai awal x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 wujud nilai c*1, c*n, ..., c*n supaya penyelesaian y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) memenuhi syarat awal y*(x0)=y0 , ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Ungkapan y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) dipanggil penyelesaian am bagi persamaan pembezaan tak homogen linear bagi susunan ke-n.

Untuk mencari penyelesaian tertentu bagi tidak homogen persamaan pembezaan dengan pekali malar dengan sisi kanan bentuk: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), dengan Pk(x), Qm(x) ialah polinomial darjah k dan m Sehubungan itu, terdapat algoritma mudah untuk membina penyelesaian tertentu, dipanggil kaedah pemilihan.

Kaedah pemilihan, atau kaedah pekali tidak pasti, adalah seperti berikut. Penyelesaian yang diperlukan untuk persamaan ditulis dalam bentuk: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, di mana Pr(x), Qr(x ) ialah polinomial darjah r = maks(k, m) dengan pekali tidak diketahui pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Faktor xs dipanggil faktor resonans. Resonans berlaku dalam kes di mana antara punca persamaan ciri terdapat punca l =a ± ib bagi kepelbagaian s. Itu. jika di antara punca-punca persamaan ciri persamaan homogen yang sepadan terdapat satu sehingga bahagian nyatanya bertepatan dengan pekali dalam eksponen eksponen, dan bahagian khayalannya bertepatan dengan pekali dalam hujah fungsi trigonometri di sebelah kanan persamaan, dan kepelbagaian punca ini ialah s, maka penyelesaian separa yang diperlukan mengandungi faktor resonans xs. Jika tidak ada kebetulan seperti itu (s=0), maka tidak ada faktor resonans.

Menggantikan ungkapan untuk penyelesaian tertentu ke dalam sebelah kiri persamaan, kita memperoleh polinomial umum bentuk yang sama dengan polinomial di sebelah kanan persamaan, yang pekalinya tidak diketahui.

Dua polinomial umum adalah sama jika dan hanya jika pekali faktor bentuk xtex(ax)sin(bx), xtex(ax)cos(bx) dengan kuasa yang sama t adalah sama. Dengan menyamakan pekali faktor tersebut, kita memperoleh sistem 2(r+1) persamaan algebra linear untuk 2(r+1) yang tidak diketahui. Ia boleh ditunjukkan bahawa sistem sedemikian adalah konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik.