W tej sekcji rozważymy zadania z nimi związane różne systemy współrzędne poprzez podzielenie odcinka w zadanym stosunku.
Podano współrzędne punktów: A(4; 3), W(7; 6), Z(2; 11). Udowodnimy, że trójkąt ABC prostokątny.
Znajdź długości boków trójkąta ABC. W tym celu korzystamy ze wzoru, który pozwala nam znaleźć odległość pomiędzy dwoma punktami na płaszczyźnie:
Długości boków będą równe:
Biorąc pod uwagę, że twierdzenie Pitagorasa dotyczy boków tego trójkąta
potem trójkąt ABC– prostokątny.
Przyznane punkty A(2; 1) i W(8; 4). Znajdź współrzędne punktu M(X; Na), który dzieli odcinek w stosunku 2:1.
Przypomnijmy, że o to chodzi M(X; Na) dzieli segment AB, Gdzie A(X A , y A), B(X B , y B), w odniesieniu do λ: μ, jeżeli jego współrzędne spełniają warunki:
,
.
Znajdźmy punkt M dla danego segmentu
,
.
A więc o co chodzi M(6; 3) dzieli odcinek AB w stosunku 2:1.
Znajdź prostokątne współrzędne punktu A(
3π/4), jeśli biegun pokrywa się z początkiem współrzędnych, a oś biegunowa jest skierowana wzdłuż osi odciętych.
Uwzględnienie wzorów przejścia z układu współrzędnych biegunowych na prostokątne
X = R cosφ, y = R sinφ,
dostajemy
,
.
W prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych współrzędne punktu wynoszą: A(–2; 2).
Znajdźmy współrzędne biegunowe punktów mających następujące współrzędne prostokątne:
A(
;
2),W(–4;
4), Z(–7;
0).
Korzystamy ze wzorów na przejście ze współrzędnych prostokątnych na biegunowe:
,
.
Znajdźmy współrzędne punktu A:
,
.
Zatem A(4; π/6) – współrzędne biegunowe (rys. 15).
Za punkt W(ryc. 16) mamy
,
.
Dlatego współrzędne biegunowe punktu W(
, 3π/4).
Rozważ tę kwestię Z(–7; 0) (ryc. 17). W tym przypadku
,
,
.
Można zapisać współrzędne biegunowe punktu Z(7; π).
Znajdźmy długość wektora A = 20I + 30J – 60k i jego cosinusy kierunkowe.
Przypomnijmy, że cosinusy kierunku to cosinusy kątów wektorowych A (A 1 , A 2 , A 3) formy z osiami współrzędnych:
,
,
,
Gdzie 
.
Stosując te wzory do tego wektora, otrzymujemy
,
.
Normalizujemy wektor A = 3I + 4J – 12k .
Normalizacja wektora polega na znalezieniu wektora o jednostkowej długości A
0, skierowany w taki sam sposób jak ten wektor. Dla dowolnego wektora A
(A 1 ,
A 2 ,
A 3) odpowiedni wektor długości jednostkowej można znaleźć poprzez pomnożenie A
do ułamka 
.
.
W naszym przypadku wektor o jednostkowej długości:
.
Znajdźmy iloczyn skalarny wektorów
A = 4I + 5J + 6k I B = 3I – 4J + k .
Aby znaleźć iloczyn skalarny wektorów, należy pomnożyć odpowiednie współrzędne i dodać otrzymane iloczyny. Zatem dla wektorów A = A 1 I + A 2 J + A 3 k I B = B 1 I + B 2 J + B 3 k iloczyn skalarny ma postać:
(A , B ) = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 .
Dla tych wektorów otrzymujemy
(A , B ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Pokażmy, że wektory A = 2I – 3J + 5k I B = I + 4J + 2k prostopadły.
Dwa wektory są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero.
Znajdźmy iloczyn skalarny:
(A , B ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Zatem wektory A I B prostopadły.
Dowiedzmy się, przy jakiej wartości parametru M wektory A = 2I + 3J + Mk I B = 3I + MJ – 2k prostopadły.
Znajdźmy iloczyn skalarny wektorów A I B :
(A , B ) = 2∙3 + 3∙M – 2∙M = 6 + M.
Wektory są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Przyrównujemy do zera iloczyn ( A , B ):
6 + M = 0.
Na M= – 6 wektorów A I B prostopadły.
Przykład 10.
Znajdźmy iloczyn skalarny (3 A + 4B , 2A – 3B ), jeśli | A | = 2, |B | = 1 i kąt φ pomiędzy A I B równa się π/3.
Skorzystajmy z własności iloczynu skalarnego:
(α A , β B ) = αβ( A , B ),
(A + B , C ) = (A , C ) + (B , C ),
(A , B ) = (B , A )
(A , A ) = |A | 2 ,
jak również definicję iloczynu skalarnego ( A , B ) = |A |∙|B |∙cosφ. Zapiszmy iloczyn skalarny w postaci
(3A + 4B , 2A – 3B ) = 6(A , A ) – 9(A , B ) + 8(B , A ) – 12(B , B ) =
6|A | 2 – (A , B ) – 12|B | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Przykład 11.
Wyznaczmy kąt między wektorami
A = I + 2J + 3k I B = 6I + 4J – 2k .
Aby znaleźć kąt, korzystamy z definicji iloczynu skalarnego dwóch wektorów
(A , B ) = |A |∙|B |∙cosφ,
gdzie φ jest kątem między wektorami A I B . Wyraźmy cosφ na podstawie tego wzoru
.
Biorąc pod uwagę, że ( A
,
B
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, otrzymujemy:
.
Stąd, 
.
Przykład 12.
A = 5I – 2J + 3k I B = I + 2J – 4k .
Wiadomo, że iloczyn wektorowy wektorów A = A 1 I + A 2 J + A 3 k I B = B 1 I + B 2 J + B 3 k znajduje się ze wzoru
.
Dlatego dla tych wektorów
2I + 23J + 12k .
Rozważmy przykład, w którym do znalezienia modułu iloczynu wektorowego zostanie użyta definicja iloczynu wektorowego, a nie wyrażona poprzez współrzędne czynników, jak miało to miejsce w poprzednim przykładzie.
Przykład 13.
Znajdźmy moduł iloczynu wektorów wektorów A + 2B i 2 A – 3B , jeśli | A | = 1, |B | = 2 i kąt między wektorami A I B równy 30°.
Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że dla dowolnych wektorów A I B jego moduł wynosi
|[A , B ] | = |A | ∙ |B | ∙ grzech φ.
Biorąc pod uwagę właściwości produktu wektorowego
[A , B ] = – [B , A ],
[A , A ] = 0,
[α A + β B , C ] = α[ A , C ] + β[ B , C ],
dostajemy
[A + 2B , 2A – 3B ] = 2[A , A ] – 3[A , B ] + 4[B , A ] – 6[B , B ] = –7[A , B ].
Oznacza to, że moduł iloczynu wektorowego jest równy
|[A + 2B , 2A – 3B ]| = |–7[A , B ]| = 7 ∙ |A | ∙ |B | ∙ grzech 30° = 7∙1∙2∙0,5 = 7.
Przykład 14.
Obliczmy pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
A = 6I + 3J – 2k I B = 3I – 2J + 6k .
Wiadomo, że moduł iloczynu wektorowego dwóch wektorów równa powierzchni równoległobok zbudowany na tych wektorach. Znajdźmy iloczyn wektorowy za pomocą wzoru:
,
Gdzie A = A 1 I + A 2 J + A 3 k I B = B 1 I + B 2 J + B 3 k . Następnie obliczamy jego moduł.
Dla tych wektorów otrzymujemy
14I – 42J – 21k .
Dlatego obszar równoległoboku wynosi
S = |[A , B ]| = (jednostki kwadratowe).
Przykład 15.
Oblicz pole trójkąta z wierzchołkami A(1;2;1), W(3;3;4), Z(2;1;3).
Oczywiście obszar trójkąta ABC równy połowie pola równoległoboku zbudowanego na wektorach 
I 
.
Z kolei obszar równoległoboku zbudowany na wektorach 
I 
, jest równy modułowi iloczynu wektorowego [ 
] Zatem
|[
]|.
Znajdźmy współrzędne wektorów 
I 
, odejmując odpowiednie współrzędne początku od współrzędnych końca wektora, otrzymujemy
= (3 –
1)I
+ (3 – 2)J
+ (4 – 1)k
= 2I
+ J
+ 3k
,
= (2 –
1)I
+ (1 – 2)J
+ (3 – 1)k
= I
– J
+ 2k
.
Znajdźmy iloczyn wektorowy:
[
,
]
=
5I
– J
– 3k
.
Znajdźmy moduł iloczynu wektorowego:
|[
]|
=
.
Dlatego możemy uzyskać obszar trójkąta:
(jednostki kwadratowe).
Przykład 16.
Obliczmy pole równoległoboku zbudowanego na wektorach A + 3B i 3 A – B , jeśli | A | = 2, |B | = 1 i kąt pomiędzy A I B równy 30°.
Znajdźmy moduł iloczynu wektorowego, korzystając z jego definicji i właściwości określonych w przykładzie 13, otrzymamy
[A + 3B , 3A – B ] = 3[A , A ] – [A , B ] + 9[B , A ] – 3[B , B ] = –10[A , B ].
Oznacza to, że wymagana powierzchnia jest równa
S = |[A + 3B , 3A – B ]| = |–10[A , B ]| = 10 ∙ |A | ∙ |B | ∙ grzech 30° =
10∙2∙1∙0,5 = 10 (jednostki kwadratowe).
Poniższe przykłady będą obejmować użycie mieszanego iloczynu wektorów.
Przykład 17.
Pokaż te wektory A = I + 2J – k , B = 3I + k I Z = 5I + 4J – k współpłaszczyznowy.
Wektory są współpłaszczyznowe, jeśli ich iloczyn mieszany wynosi zero. Dla dowolnych wektorów
A = A 1 I + A 2 J + A 3 k , B = B 1 I + B 2 J + B 3 k , C = C 1 I + C 2 J + C 3 k
znajdujemy zmieszany produkt za pomocą wzoru:
.
Dla tych wektorów otrzymujemy
.
Zatem wektory te są współpłaszczyznowe.
Znajdź objętość trójkątnej piramidy z wierzchołkami A(1;1;1), W(3;2;1), Z(2;4;3), D(5;2;4).
Znajdźmy współrzędne wektorów 
,
I 
, pokrywając się z krawędziami piramidy. Odejmując odpowiednie współrzędne początku od współrzędnych końca wektora, otrzymujemy
= 2I
+ 3J
,
= I
+ 3J
+ 2k
,
= 4I
+ J
+ 3k
.
Wiadomo, że objętość piramidy jest równa 1/6 objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach 
,
I 
. Zatem,
.
Z kolei objętość równoległościanu jest równa modułowi zmieszanego produktu
V paralelny
= |(
,
,
)|.
Znajdźmy produkt mieszany
(
,
,
)
=
.
Zatem objętość piramidy wynosi
(jednostki sześcienne).
W poniższych przykładach pokażemy możliwe zastosowania algebry wektorowej.
Przykład 19.
Sprawdźmy, czy wektory 2 są współliniowe A + B I A – 3B , Gdzie A = 2I + J – 3k I B = I + 2J + 4k .
Znajdźmy współrzędne wektorów 2 A + B I A – 3B :
2A + B = 2(2I + J – 3k ) + I + 2J + 4k = 5I + 4J – 2k ,
A – 3B = 2I + J – 3k – 3(I + 2J + 4k ) = –I – 5J – 15k .
Wiadomo, że wektory współliniowe mają współrzędne proporcjonalne. Biorąc pod uwagę, że
,
stwierdzamy, że istnieją 2 wektory A + B I A – 3B niewspółliniowy.
Problem ten można było rozwiązać w inny sposób. Kryterium kolinearności wektorów jest równość iloczynu wektorowego do zera:
2[A , A ] – 6[A , B ] + [B , A ] – 3[B , B ] = –7[A , B ].
Znajdźmy iloczyn wektorowy wektorów A I B :
10I – 11J + 3k ≠ 0.
Stąd,
= –7[A , B ] ≠ 0
i wektory 2 A + B I A – 3B niewspółliniowy.
Przykład 20.
Znajdźmy pracę siły F (3; 2; 1), gdy punkt jego stosowania A(2; 4;–6), poruszając się prostoliniowo, przesuwa się do punktu W(5; 2; 3).
Wiadomo, że praca siły jest iloczynem skalarnym siły F
do wektora przemieszczenia 
.
Znajdźmy współrzędne wektora 
:
= 3I
– 2J
+ 9k
.
Dlatego działanie siły F przesuwając punkt A Dokładnie W będzie równy iloczynowi skalarnemu
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Przykład 21.
Niech moc F (2;3;–1) stosuje się do punktu A(4;2;3). Pod przymusem F kropka A przechodzi do punktu W(3;1;2). Znajdźmy moduł momentu siły F w stosunku do punktu W.
Wiadomo, że moment siły jest równy iloczynowi wektorowemu siły i przemieszczenia. Znajdźmy wektor przemieszczenia 
:
= (3 –
4)I
+
(1 – 2)J
+ (2 – 3)k
= – I
–
J
– k
.
Znajdźmy moment siły jako iloczyn wektorowy:
= – 4I + 3J + k .
Dlatego moduł momentu siły jest równy modułowi iloczynu wektorowego:
|[F
,
]|
=
.
60) Biorąc pod uwagę układ wektorów a =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). Przeglądaj to dalej zależność liniowa.
a) Układ wektorów jest liniowo zależny;
b) Układ wektorów jest liniowo niezależny;
c) nie ma poprawnej odpowiedzi.
61) Zbadaj system wektorowy
a =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) do zależności liniowej.
a) układ wektorów jest liniowo niezależny;
b) układ wektorów jest liniowo zależny;
c) nie ma poprawnej odpowiedzi.
62) Jest układem wektorów a =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =( , 1) liniowo zależne?
a) nie, nie jest;
b) tak, jest.
63) Czy wektor jest wyrażony b =(2, -1, 3) poprzez układ wektorowy = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) nie, nie wyrażono;
b) tak, jest to wyrażone.
64) Zbadaj układ wektorów zależności liniowej
a = , b = , c = .
a) liniowo niezależne;
b) liniowo zależny;
c) nie ma poprawnej odpowiedzi.
65) Zbadaj układ wektorów zależności liniowej
a = , b = , c =
a) liniowo niezależne;
b) liniowo zależny;
c) nie ma poprawnej odpowiedzi.
66) Czy układ wektorów jest liniowo zależny?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) liniowo zależny;
b) liniowo niezależny;
c) nie ma poprawnej odpowiedzi.
67) Niech liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy będzie równa m, a liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy będzie równa n. Wybierz prawidłowe stwierdzenie.
d) odpowiedź zależy od macierzy.
68) Wektory bazowe przestrzeni liniowej to
a) liniowo zależny;
b) liniowo niezależny;
c) odpowiedź zależy od konkretnej podstawy.
69) co to jest wektor?
a) jest to promień wskazujący kierunek ruchu
b) jest to odcinek skierowany, mający początek w punkcie A i koniec w punkcie B, który można przesuwać równolegle do siebie
c) jest to figura złożona z wielu punktów w jednakowej odległości od siebie.
d) jest to odcinek mający początek w punkcie A i koniec w punkcie B, którego nie można przesuwać równolegle do siebie
70) Jeśli kombinacja liniowa 1 + 2 +….+ƛ r może reprezentować wektor zerowy, gdy znajduje się wśród liczb ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r istnieje co najmniej jedno niezerowe, to układ wektorów a 1, a 2,…., str zwany:
a) liniowo niezależne;
b) liniowo zależny;
c) trywialne;
d) nietrywialne.
71) Jeśli kombinacja liniowa 1 + 2 +….+ƛ r reprezentuje wektor zerowy tylko wtedy, gdy wszystkie liczby ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ r są równe zeru, to układ wektorów a 1, a 2,…., str zwany:
a) liniowo niezależne;
b) liniowo zależny;
c) trywialne;
d) nietrywialne.
72) Podstawą przestrzeni wektorowej jest układ wektorów określony w określonej kolejności i spełniający warunki:
a) Układ jest liniowo niezależny;
b) Dowolny wektor przestrzeni jest kombinacją liniową danego układu;
c) Obydwa są poprawne;
d) Obydwa są błędne.
73) Podzbiór przestrzeni R n, który ma właściwość domknięcia ze względu na operacje dodawania i mnożenia przez liczby, nazywa się:
a) Przedprzestrzeń liniowa przestrzeni Rn;
b) Rzut przestrzeni R n ;
c) Podprzestrzeń liniowa przestrzeni Rn;
d) nie ma poprawnej odpowiedzi.
74) Jeżeli skończony układ wektorów zawiera podsystem zależny liniowo, to:
a) Liniowo zależny;
b) Liniowo niezależny;
75) Jeśli system jest liniowy wektor zależny dodaj jeden lub więcej wektorów, wynikowy system będzie:
a) Liniowo zależny;
b) Liniowo niezależny;
c) Ani liniowo zależny, ani liniowo niezależny.
76) Trzy wektory nazywane są współpłaszczyznowymi, jeśli:
a) leżą na liniach równoległych;
b) Leżą na tej samej linii prostej;
c) Liniowo niezależny;
d) Leżą w równoległych płaszczyznach;
77) Dwa wektory nazywane są współliniowymi, jeśli:
a) leżą w tej samej płaszczyźnie;
b) Leżą w równoległych płaszczyznach;
c) Liniowo niezależny;
d) Leżą na liniach równoległych;
78) Aby dwa wektory były liniowo zależne konieczne jest, aby były:
a) Zabezpieczenie;
b) współpłaszczyznowy;
c) Liniowo niezależny;
d) Nie ma właściwej opcji.
79) iloczyn wektora a=(A 1 ,A 2 ,A 3) liczbę nazywamy wektorem B, równy
A) ( A 1 , A 2 , A 3)
b) ( + A 1 , +a 2 , +a 3)
V) ( /A 1 , /A 2 , /A 3)
80) jeśli dwa wektory leżą na tej samej prostej, to takie wektory są
a) równe
b) współreżyserowany
c) współliniowy
d) skierowane przeciwnie
81) iloczyn skalarny wektorów jest równy
a) iloczyn ich długości;
b) iloczyn ich długości przez cosinus kąta między nimi;
c) iloczyn ich długości przez sinus kąta między nimi;
d) iloczyn ich długości przez tangens kąta między nimi;
82) iloczyn wektora A zadzwonił do siebie
a) długość wektora A
b) kwadrat skalarny wektora A
c) kierunek wektora A
d) nie ma poprawnej odpowiedzi
83) jeśli iloczyn wektorów jest równy 0, wówczas wywoływane są takie wektory
a) współliniowy
b) współreżyserowany
c) ortogonalny
d) równoległy
84) długość wektora wynosi
a) jego kwadrat skalarny
b) pierwiastek z kwadratu skalarnego
c) sumę jego współrzędnych
d) różnica między współrzędnymi końca i początku wektora
85) jakie są zasady znajdowania sumy wektorów (wiele odpowiedzi)
a) reguła trójkąta
b) reguła koła
c) reguła równoległoboku
d) Reguła Gaussa
e) reguła wielokąta
f) reguła prostokąta
86) jeżeli pkt A pokrywa się z punktem W, wówczas wektor nazywany jest
a) wektor jednostkowy
c) wektor zerowy
d) wektor trywialny
87), aby dwa wektory były współliniowe, jest to konieczne
a) ich współrzędne były takie same
b) ich współrzędne były proporcjonalne
c) ich współrzędne były przeciwne
d) ich współrzędne były równe 0
88) dane są dwa wektory a=2m+4n i b=m-n, gdzie m i n są wektorami jednostkowymi tworzącymi kąt 120 0. Znajdź kąt między wektorami a i b.
89) Na płaszczyźnie dane są dwa wektory jednostkowe m i n. Wiadomo, że kąt między nimi wynosi 60 stopni. Znajdź długość wektora a=m+2n (zaokrąglij odpowiedź do 0,1)
90) Znajdź kąt między przekątnymi równoległoboku zbudowanego na wektorach a=-4k i b=2i+j
91) podane są długości wektorów |a|=2, |b|=3, |a-b|=1. Zdefiniuj |a+b|
92) Dane są trzy wektory: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). Znajdź współrzędne wektora p=2a-b+c.
93) Znajdź długość wektora a=2i+3j-6k.
94) Przy jakiej wartości λ wektory a=λi-3j+2k i b=i+2j-λk są prostopadłe?
95) Dane wektory a=6i-4j+k oraz b=2i-4j+k. Znajdź kąt utworzony przez wektor a-b z osią Oz.
96) Dane wektory = (4; –2; –6) i = (–3; 4; –12). Znajdź rzut wektora A do osi wektora B.
97) Znajdź kąt A trójkąt z wierzchołkami A (–1; 3; 2), W(3; 5; –2) i
Z(3; 3; –1). Wpisz swoją odpowiedź jako 15 cos A.
98) Znajdź kwadratowy moduł wektora 
, gdzie i są wektorami jednostkowymi tworzącymi kąt 60 o.
99) Znajdź iloczyn skalarny 
I 
100) Biorąc pod uwagę punkty A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). Określ typ czworokąta ABCD.
a) Równoległościan;
b) Prostokąt;
c) Trapez;
101) Wektor = (3; 4) rozkłada się na wektory = (3; –1) i = (1; –2). Wybierz właściwy rozkład.
