A 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, A 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, A 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Rozwiązanie. Szuka wspólna decyzja układy równań

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

Metoda Gaussa. Aby to zrobić, zapisujemy ten jednorodny układ we współrzędnych:

Matryca systemu

Dozwolony system ma postać: (r A = 2, N= 3). System jest kooperatywny i niepewny. Jego rozwiązanie ogólne ( X 2 – zmienna wolna): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Na przykład obecność niezerowego rozwiązania konkretnego wskazuje, że wektory A 1 , A 2 , A 3 liniowo zależne.

Przykład 2.

Dowiedz się czy ten system wektory liniowo zależne lub liniowo niezależne:

1. A 1 = { -20, -15, - 4 }, A 2 = { –7, -2, -4 }, A 3 = { 3, –1, –2 }.

Rozwiązanie. Rozważmy jednorodny układ równań A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 = Θ

lub w formie rozwiniętej (według współrzędnych)

System jest jednorodny. Jeśli nie jest zdegenerowany, to ma unikalne rozwiązanie. Gdy układ jednorodny– rozwiązanie zerowe (trywialne). Oznacza to, że w tym przypadku układ wektorów jest niezależny. Jeśli układ jest zdegenerowany, to ma rozwiązania niezerowe i dlatego jest zależny.

Sprawdzamy system pod kątem degeneracji:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Układ jest niezdegenerowany, a co za tym idzie i wektory A 1 , A 2 , A 3 liniowo niezależny.

Zadania. Dowiedz się, czy dany układ wektorów jest liniowo zależny czy liniowo niezależny:

1. A 1 = { -4, 2, 8 }, A 2 = { 14, -7, -28 }.

2. A 1 = { 2, -1, 3, 5 }, A 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. A 1 = { -7, 5, 19 }, A 2 = { -5, 7 , -7 }, A 3 = { -8, 7, 14 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

5. A 1 = { 1, 8 , -1 }, A 2 = { -2, 3, 3 }, A 3 = { 4, -11, 9 }.

6. A 1 = { 1, 2 , 3 }, A 2 = { 2, -1 , 1 }, A 3 = { 1, 3, 4 }.

7. A 1 = {0, 1, 1 , 0}, A 2 = {1, 1 , 3, 1}, A 3 = {1, 3, 5, 1}, A 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. A 1 = {-1, 7, 1 , -2}, A 2 = {2, 3 , 2, 1}, A 3 = {4, 4, 4, -3}, A 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Udowodnić, że układ wektorów będzie liniowo zależny, jeżeli zawiera:

a) dwa równe wektory;

b) dwa wektory proporcjonalne.

Definicja. Liniowa kombinacja wektorów a 1 , ..., an o współczynnikach x 1 , ..., x n nazywa się wektorem

x 1 za 1 + ... + x n za n .

trywialny, jeśli wszystkie współczynniki x 1 , ..., x n są równe zero.

Definicja. Nazywa się kombinację liniową x 1 a 1 + ... + x n a n nietrywialne, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników x 1, ..., x n nie jest równy zero.

liniowo niezależny, jeśli nie ma nietrywialnej kombinacji tych wektorów równej wektorowi zerowemu.

Oznacza to, że wektory a 1, ..., a n są liniowo niezależne, jeśli x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definicja. Nazywa się wektory a 1, ..., an liniowo zależne, jeśli istnieje nietrywialna kombinacja tych wektorów równa wektorowi zerowemu.

Własności wektorów liniowo zależnych:

Dla wektorów 2 i 3 wymiarowych.

Dwa liniowe wektory zależne- współliniowy. (Wektory współliniowe są liniowo zależne.)

Dla wektorów trójwymiarowych.

Trzy liniowo zależne wektory są współpłaszczyznowe. (Trzy wektory współpłaszczyznowe są liniowo zależne.)

• Dla wektorów n-wymiarowych.

  wektory n + 1 są zawsze liniowo zależne.

Przykładowe problemy liniowej zależności i liniowej niezależności wektorów:

Przykład 1. Sprawdź, czy wektory a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) są liniowo niezależne .

Rozwiązanie:

Wektory będą liniowo zależne, ponieważ wymiar wektorów jest mniejszy niż liczba wektorów.

Przykład 2. Sprawdź, czy wektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

odejmij drugą od pierwszej linii; dodaj drugą linię do trzeciej linii:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Rozwiązanie to pokazuje, że układ ma wiele rozwiązań, czyli istnieje niezerowa kombinacja wartości liczb x 1, x 2, x 3 taka, że ​​kombinacja liniowa wektorów a, b, c jest równa wektor zerowy, na przykład:

A + b + do = 0

co oznacza, że ​​wektory a, b, c są liniowo zależne.

Odpowiedź: wektory a, b, c są liniowo zależne.

Przykład 3. Sprawdź, czy wektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) są liniowo niezależne.

Rozwiązanie: Znajdźmy wartości współczynników, przy których kombinacja liniowa tych wektorów będzie równa wektorowi zerowemu.

x 1 za + x 2 b + x 3 do 1 = 0

To równanie wektorowe można zapisać jako układ równań liniowych

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2 x 3 = 0

Rozwiążmy ten układ metodą Gaussa

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

odejmij pierwszą od drugiej linii; odejmij pierwszą od trzeciej linii:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

odejmij drugą od pierwszej linii; dodaj drugą do trzeciej linii.

Zależność liniowa i niezależność liniowa wektory.
Baza wektorów. Afiniczny układ współrzędnych

Na widowni stoi wózek z czekoladkami, a każdy dzisiejszy gość otrzyma słodką parę – geometrię analityczną z algebrą liniową. W tym artykule poruszymy jednocześnie dwa działy wyższej matematyki i zobaczymy, jak współistnieją one w jednym opakowaniu. Zrób sobie przerwę, zjedz Twix! ... cholera, co za bzdury. Chociaż ok, nie zdobędę punktów, ostatecznie powinieneś mieć pozytywne nastawienie do nauki.

Liniowa zależność wektorów, niezależność wektora liniowego, baza wektorów i inne terminy mają nie tylko interpretację geometryczną, ale przede wszystkim znaczenie algebraiczne. Samo pojęcie „wektora” z punktu widzenia algebry liniowej nie zawsze jest „zwykłym” wektorem, który możemy przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Dowodów nie trzeba szukać daleko, spróbuj narysować wektor przestrzeni pięciowymiarowej . Albo wektor pogodowy, po który właśnie pojechałem do Gismeteo: – temperatura i Ciśnienie atmosferyczne odpowiednio. Przykład jest oczywiście niepoprawny z punktu widzenia właściwości przestrzeni wektorowej, niemniej jednak nikt nie zabrania sformalizowania tych parametrów jako wektora. Oddech jesieni...

Nie, nie będę Was zanudzać teorią, liniowymi przestrzeniami wektorowymi, zadaniem jest to zrobić zrozumieć definicje i twierdzenia. Nowe terminy (zależność liniowa, niezależność, kombinacja liniowa, baza itp.) mają zastosowanie do wszystkich wektorów z algebraicznego punktu widzenia, ale zostaną podane przykłady geometryczne. Dzięki temu wszystko jest proste, dostępne i przejrzyste. Oprócz problemów geometrii analitycznej rozważymy także niektóre typowe problemy algebry. Aby opanować materiał, wskazane jest zapoznanie się z lekcjami Wektory dla manekinów I Jak obliczyć wyznacznik?

Liniowa zależność i niezależność wektorów płaskich.
Podstawa płaska i afiniczny układ współrzędnych

Rozważmy płaszczyznę biurka komputerowego (tylko stół, stolik nocny, podłoga, sufit, co tylko chcesz). Zadanie będzie następne kroki:

1) Wybierz podstawę płaszczyzny. Z grubsza rzecz biorąc, blat ma długość i szerokość, więc intuicyjnie wiadomo, że do zbudowania podstawy potrzebne będą dwa wektory. Jeden wektor to zdecydowanie za mało, trzy wektory to za dużo.

2) Na podstawie wybranej podstawy ustawić układ współrzędnych(siatka współrzędnych), aby przypisać współrzędne wszystkim obiektom na stole.

Nie zdziw się, na początku wyjaśnienia będą na palcach. Co więcej, na twoim. Proszę umieścić palec wskazujący lewa ręka na krawędzi blatu, tak aby patrzył na monitor. To będzie wektor. Teraz miejsce mały palec prawa ręka na krawędzi stołu w ten sam sposób - tak, aby był skierowany w stronę ekranu monitora. To będzie wektor. Uśmiechnij się, wyglądasz świetnie! Co możemy powiedzieć o wektorach? Wektory danych współliniowy, co znaczy liniowy wyrażane przez siebie:
, cóż, lub odwrotnie: , gdzie jest pewna liczba różna od zera.

Możesz zobaczyć zdjęcie tego działania w klasie. Wektory dla manekinów, gdzie wyjaśniłem zasadę mnożenia wektora przez liczbę.

Czy Twoje palce postawią podstawę na płaszczyźnie biurka komputerowego? Oczywiście, że nie. Wektory współliniowe przemieszczają się tam i z powrotem sam kierunku, a płaszczyzna ma długość i szerokość.

Takie wektory nazywane są liniowo zależne.

Odniesienie: Słowa „liniowy”, „liniowy” oznaczają fakt, że w równaniach i wyrażeniach matematycznych nie ma kwadratów, sześcianów, innych potęg, logarytmów, sinusów itp. Istnieją tylko wyrażenia i zależności liniowe (1. stopnia).

Dwa wektory płaskie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są współliniowe.

Skrzyżuj palce na stole tak, aby powstał między nimi kąt inny niż 0 lub 180 stopni. Dwa wektory płaskieliniowy Nie zależne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są współliniowe. Tak więc uzyskano podstawę. Nie trzeba się wstydzić, że podstawa okazała się „przekrzywiona” nieprostopadłymi wektorami o różnych długościach. Już wkrótce przekonamy się, że do jego konstrukcji odpowiedni jest nie tylko kąt 90 stopni i nie tylko wektory jednostkowe o jednakowej długości

Każdy wektor samolotu jedyny sposób rozwija się według podstawy:
, gdzie są liczbami rzeczywistymi. Numery są nazywane współrzędne wektora na tej podstawie.

Mówi się też, że wektorprzedstawiony jako kombinacja liniowa wektory bazowe. Oznacza to, że wyrażenie nazywa się rozkład wektorowywedług podstawy Lub kombinacja liniowa wektory bazowe.

Na przykład możemy powiedzieć, że wektor jest rozłożony wzdłuż ortonormalnej podstawy płaszczyzny lub możemy powiedzieć, że jest on reprezentowany jako liniowa kombinacja wektorów.

Sformułujmy definicja podstawy formalnie: Podstawa samolotu nazywa się parą liniowo niezależnych (niewspółliniowych) wektorów, , w której każdy wektor płaski jest liniową kombinacją wektorów bazowych.

Istotnym punktem definicji jest fakt, że wektory są brane w określonej kolejności. Bazy – to dwie zupełnie różne bazy! Jak mówią, nie można zastąpić małego palca lewej ręki małym palcem prawej ręki.

Ustaliliśmy podstawę, ale nie wystarczy ustawić siatkę współrzędnych i przypisać współrzędne każdemu elementowi na biurku komputera. Dlaczego to nie wystarczy? Wektory są swobodne i wędrują po całej płaszczyźnie. Jak więc przypisać współrzędne do tych małych brudnych miejsc na stole pozostałych po szalonym weekendzie? Potrzebny jest punkt wyjścia. A taki punkt orientacyjny to punkt znany wszystkim - pochodzenie współrzędnych. Rozumiemy układ współrzędnych:

Zacznę od systemu „szkolnego”. Już na lekcji wprowadzającej Wektory dla manekinów Podkreśliłem pewne różnice pomiędzy prostokątnym układem współrzędnych a bazą ortonormalną. Oto standardowe zdjęcie:

Kiedy o tym mówią prostokątny układ współrzędnych, to najczęściej oznaczają początek, osie współrzędnych i skalę wzdłuż osi. Spróbuj wpisać w wyszukiwarkę „prostokątny układ współrzędnych”, a zobaczysz, że wiele źródeł podpowie Ci o osiach współrzędnych znanych z V-VI klasy i o tym, jak nanosić punkty na płaszczyznę.

Z drugiej strony wydaje się, że prostokątny układ współrzędnych można całkowicie zdefiniować w oparciu o bazę ortonormalną. I to prawie prawda. Sformułowanie jest następujące:

pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański układ współrzędnych płaszczyzny prostokątnej . Oznacza to prostokątny układ współrzędnych zdecydowanie jest zdefiniowany przez pojedynczy punkt i dwa jednostkowe wektory ortogonalne. Dlatego widzisz rysunek, który podałem powyżej - w zadaniach geometrycznych często (ale nie zawsze) rysowane są zarówno wektory, jak i osie współrzędnych.

Myślę, że każdy to rozumie, używając punktu (początku) i podstawy ortonormalnej DOWOLNY PUNKT na płaszczyźnie i DOWOLNY WEKTOR na płaszczyźnie można przypisać współrzędne. Mówiąc obrazowo, „wszystko na płaszczyźnie można policzyć”.

Czy wektory współrzędnych muszą być jednostkowe? Nie, mogą mieć dowolną niezerową długość. Rozważmy punkt i dwa wektory ortogonalne o dowolnej niezerowej długości:

Taka podstawa nazywa się prostokątny. Początek współrzędnych z wektorami jest określony przez siatkę współrzędnych, a każdy punkt na płaszczyźnie, dowolny wektor ma swoje współrzędne w danej bazie. Na przykład lub. Oczywistą niedogodnością jest to, że wektory współrzędnych V przypadek ogólny mają różne długości inne niż jedność. Jeśli długości są równe jedności, wówczas uzyskuje się zwykłą podstawę ortonormalną.

! Notatka : w bazie ortogonalnej, a także poniżej w podstawach afinicznych płaszczyzny i przestrzeni, uwzględniane są jednostki wzdłuż osi WARUNKOWY. Na przykład jedna jednostka na osi x zawiera 4 cm, jedna jednostka na osi rzędnych zawiera 2 cm.Ta informacja wystarczy, aby w razie potrzeby zamienić „niestandardowe” współrzędne na „nasze zwykłe centymetry”.

Drugie pytanie, na które właściwie już udzielono odpowiedzi, brzmi: czy kąt między wektorami bazowymi musi wynosić 90 stopni? NIE! Jak mówi definicja, wektory bazowe muszą być tylko niewspółliniowe. Odpowiednio kąt może wynosić dowolna wartość z wyjątkiem 0 i 180 stopni.

Punkt na płaszczyźnie tzw pochodzenie, I niewspółliniowy wektory, , ustawić układ współrzędnych płaszczyzny afinicznej :

Czasami nazywany jest taki układ współrzędnych skośny system. Jako przykład, rysunek pokazuje punkty i wektory:

Jak rozumiesz, afiniczny układ współrzędnych jest jeszcze mniej wygodny, nie działają w nim wzory na długości wektorów i odcinków, które omówiliśmy w drugiej części lekcji Wektory dla manekinów, wiele pysznych receptur związanych Iloczyn skalarny wektorów. Ale zasady dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, wzory na dzielenie segmentu w tej relacji, a także niektóre inne rodzaje problemów, które wkrótce rozważymy.

Wniosek jest taki, że najwygodniejszym szczególnym przypadkiem afinicznego układu współrzędnych jest kartezjański układ prostokątny. Dlatego najczęściej musisz ją widywać, moja droga. ...Jednak wszystko w tym życiu jest względne - jest wiele sytuacji, w których kąt skośny (lub jakiś inny, np. polarny) system współrzędnych. A humanoidom mogą spodobać się takie systemy =)

Przejdźmy do części praktycznej. Wszystkie problemy z tej lekcji obowiązują zarówno dla prostokątnego układu współrzędnych, jak i dla ogólnego przypadku afinicznego. Nie ma tu nic skomplikowanego, cały materiał jest dostępny nawet dla ucznia.

Jak określić współliniowość wektorów płaskich?

Typowa rzecz. Aby uzyskać dwa wektory płaskie były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne Zasadniczo jest to szczegółowy opis oczywistej relacji współrzędna po współrzędnej.

Przykład 1

a) Sprawdź, czy wektory są współliniowe .
b) Czy wektory tworzą bazę? ?

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje dla wektorów współczynnik proporcjonalności, taki, że równości są spełnione:

Na pewno opowiem Ci o aplikacji typu „foppish”. tej zasady, co w praktyce sprawdza się całkiem nieźle. Chodzi o to, żeby od razu uzupełnić proporcję i sprawdzić, czy się zgadza:

Zróbmy proporcję ze stosunków odpowiednich współrzędnych wektorów:

Skróćmy:
, zatem odpowiednie współrzędne są proporcjonalne, zatem

Zależność można odwrócić; jest to opcja równoważna:

Do autotestu można wykorzystać fakt, że wektory współliniowe wyrażają się liniowo względem siebie. W w tym przypadku istnieją równości . Ich zasadność można łatwo zweryfikować poprzez elementarne operacje na wektorach:

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Badamy wektory pod kątem kolinearności . Stwórzmy system:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, z drugiego równania wynika, że ​​, co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem odpowiednie współrzędne wektorów nie są proporcjonalne.

Wniosek: wektory są liniowo niezależne i tworzą bazę.

Uproszczona wersja rozwiązania wygląda następująco:

Zróbmy proporcję z odpowiednich współrzędnych wektorów :
, co oznacza, że ​​wektory te są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Zwykle opcja ta nie jest odrzucana przez recenzentów, jednak problem pojawia się w przypadkach, gdy niektóre współrzędne są równe zeru. Lubię to: . Lub tak: . Lub tak: . Jak tu zastosować proporcję? (w rzeczywistości nie można dzielić przez zero). Z tego powodu uproszczone rozwiązanie nazwałem „fantastycznym”.

Odpowiedź: a), b) forma.

Mały kreatywny przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 2

Przy jakiej wartości parametru znajdują się wektory czy będą współliniowe?

W przykładowym rozwiązaniu parametr znajduje się poprzez proporcję.

Istnieje elegancki algebraiczny sposób sprawdzenia wektorów pod kątem kolinearności.Usystematyzujmy naszą wiedzę i dodajmy ją jako piąty punkt:

Dla dwóch wektorów płaskich poniższe stwierdzenia są równoważne:

2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współliniowe;

+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest niezerowy.

Odpowiednio, poniższe przeciwstawne stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo zależne;
2) wektory nie stanowią bazy;
3) wektory są współliniowe;
4) wektory mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
+ 5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru.

Naprawdę mam taką nadzieję ten moment rozumiesz już wszystkie terminy i stwierdzenia, z którymi się spotykasz.

Przyjrzyjmy się bliżej nowemu, piątemu punktowi: dwa wektory płaskie są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru:. Do użycia tej cechy Naturalnie, trzeba to umieć znaleźć determinanty.

Zdecydujmy Przykład 1 w drugi sposób:

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorów :
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe.

b) Dwa wektory płaskie tworzą bazę, jeśli nie są współliniowe (liniowo niezależne). Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych :
, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią bazę.

Odpowiedź: a), b) forma.

Wygląda znacznie bardziej kompaktowo i ładniej niż rozwiązanie o proporcjach.

Za pomocą rozważanego materiału można ustalić nie tylko współliniowość wektorów, ale także udowodnić równoległość odcinków i linii prostych. Rozważmy kilka problemów z określonymi kształtami geometrycznymi.

Przykład 3

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest równoległobokiem.

Dowód: Nie ma potrzeby tworzenia rysunku w zadaniu, ponieważ rozwiązanie będzie czysto analityczne. Przypomnijmy definicję równoległoboku:
Równoległobok Nazywa się czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.

Należy zatem udowodnić:
1) równoległość przeciwnych stron i;
2) równoległość przeciwnych stron i.

Udowodnimy:

1) Znajdź wektory:

2) Znajdź wektory:

Wynikiem jest ten sam wektor („według szkoły” – wektory równe). Kolinearność jest dość oczywista, ale lepiej sformalizować decyzję jasno, z układem. Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:
, co oznacza, że ​​wektory te są współliniowe, oraz .

Wniosek: Przeciwległe boki czworokąta są równoległe parami, co oznacza, że ​​z definicji jest to równoległobok. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Więcej dobrych i różnych liczb:

Przykład 4

Dane są wierzchołki czworokąta. Udowodnić, że czworokąt jest trapezem.

Dla bardziej rygorystycznego sformułowania dowodu lepiej oczywiście uzyskać definicję trapezu, ale wystarczy po prostu przypomnieć sobie, jak on wygląda.

To zadanie, które możesz rozwiązać samodzielnie. Kompletne rozwiązanie na koniec lekcji.

A teraz czas powoli przenieść się z samolotu w kosmos:

Jak określić kolinearność wektorów przestrzennych?

Zasada jest bardzo podobna. Aby dwa wektory przestrzenne były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby odpowiadające im współrzędne były proporcjonalne.

Przykład 5

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:

A) ;
B)
V)

Rozwiązanie:
a) Sprawdźmy, czy istnieje współczynnik proporcjonalności dla odpowiednich współrzędnych wektorów:

Układ nie ma rozwiązania, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

„Uproszczenie” jest sformalizowane poprzez sprawdzenie proporcji. W tym przypadku:
– odpowiadające im współrzędne nie są proporcjonalne, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe.

Odpowiedź: wektory nie są współliniowe.

b-c) Są to punkty do samodzielnej decyzji. Wypróbuj na dwa sposoby.

Istnieje metoda sprawdzania kolinearności wektorów przestrzennych poprzez wyznacznik trzeciego rzędu, Ta metoda omówione w artykule Iloczyn wektorowy wektorów.

Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, rozważane narzędzia można wykorzystać do badania równoległości odcinków przestrzennych i prostych.

Witamy w drugiej części:

Liniowa zależność i niezależność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.
Baza przestrzenna i afiniczny układ współrzędnych

Wiele wzorów, które sprawdziliśmy w samolocie, będzie dotyczyć przestrzeni kosmicznej. Próbowałem zminimalizować notatki z teorii, ponieważ lwia część informacja została już przeżuta. Zalecam jednak uważne przeczytanie części wprowadzającej, gdyż pojawią się nowe terminy i koncepcje.

Teraz zamiast płaszczyzny biurka komputerowego eksplorujemy trójwymiarową przestrzeń. Najpierw stwórzmy jego podstawę. Ktoś jest teraz w pomieszczeniu, ktoś na zewnątrz, ale w każdym razie nie możemy uciec od trzech wymiarów: szerokości, długości i wysokości. Dlatego do skonstruowania podstawy potrzebne będą trzy wektory przestrzenne. Jeden lub dwa wektory nie wystarczą, czwarty jest zbędny.

I znowu rozgrzewamy się na palcach. Proszę podnieść rękę do góry i rozłożyć ją w różnych kierunkach kciuk, indeks i środkowy palec . Będą to wektory, patrzą w różnych kierunkach, mają różne długości i mają między sobą różne kąty. Gratulacje, podstawa trójwymiarowej przestrzeni jest gotowa! Swoją drogą, nie ma potrzeby demonstrowania tego nauczycielom, bez względu na to, jak mocno kręcisz palcami, ale od definicji nie ma ucieczki =)

Dalej, zapytajmy ważna kwestia, czy dowolne trzy wektory tworzą bazę przestrzeń trójwymiarowa ? Naciśnij mocno trzema palcami na blat biurka komputera. Co się stało? Trzy wektory znajdują się w tej samej płaszczyźnie i, z grubsza rzecz biorąc, straciliśmy jeden z wymiarów - wysokość. Takie wektory są współpłaszczyznowy i jest całkiem oczywiste, że podstawa przestrzeni trójwymiarowej nie jest tworzona.

Należy zauważyć, że wektory współpłaszczyznowe nie muszą leżeć w tej samej płaszczyźnie, mogą leżeć w płaszczyznach równoległych (tylko nie rób tego palcami, zrobił to tylko Salvador Dali =)).

Definicja: wektory są nazywane współpłaszczyznowy, jeśli istnieje płaszczyzna, do której są one równoległe. Logiczne jest tutaj dodanie, że jeśli taka płaszczyzna nie istnieje, to wektory nie będą współpłaszczyznowe.

Trzy wektory współpłaszczyznowe są zawsze liniowo zależne, to znaczy, że są wyrażane liniowo przez siebie. Dla uproszczenia wyobraźmy sobie jeszcze raz, że leżą one w tej samej płaszczyźnie. Po pierwsze, wektory są nie tylko współpłaszczyznowe, mogą być również współliniowe, wtedy dowolny wektor można wyrazić poprzez dowolny wektor. W drugim przypadku, jeśli np. wektory nie są współliniowe, to trzeci wektor wyraża się przez nie w unikalny sposób: (i dlaczego łatwo zgadnąć z materiałów w poprzedniej sekcji).

Odwrotna sytuacja jest również prawdą: trzy niewspółpłaszczyznowe wektory są zawsze liniowo niezależne to znaczy nie wyrażają się one poprzez siebie nawzajem. I oczywiście tylko takie wektory mogą stanowić podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja: Podstawa przestrzeni trójwymiarowej nazywa się potrójną liniowo niezależnymi (niewspółpłaszczyznowymi) wektorami, podjęte w określonej kolejności i dowolny wektor przestrzeni jedyny sposób jest rozkładany na zadaną bazę, gdzie są współrzędne wektora w tej bazie

Przypomnę, że możemy również powiedzieć, że wektor jest przedstawiony w postaci kombinacja liniowa wektory bazowe.

Pojęcie układu współrzędnych wprowadza się dokładnie tak samo, jak w przypadku płaszczyzny, wystarczy jeden punkt i dowolne trzy liniowo niezależne wektory:

pochodzenie, I niewspółpłaszczyznowe wektory, podjęte w określonej kolejności, ustawić afiniczny układ współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej :

Oczywiście siatka współrzędnych jest „ukośna” i niewygodna, ale mimo to skonstruowany układ współrzędnych pozwala nam zdecydowanie określić współrzędne dowolnego wektora i współrzędne dowolnego punktu w przestrzeni. Podobnie jak w przypadku płaszczyzny, niektóre formuły, o których już wspomniałem, nie będą działać w afinicznym układzie współrzędnych przestrzeni.

Najbardziej znanym i wygodnym przypadkiem specjalnym afinicznego układu współrzędnych, jak wszyscy się domyślają, jest prostokątny układ współrzędnych przestrzeni:

Punkt w przestrzeni zwany pochodzenie, I ortonormalny podstawa jest ustalona Kartezjański prostokątny układ współrzędnych przestrzeni . Znajomy obrazek:

Zanim przejdziemy do zadań praktycznych, ponownie usystematyzujmy informacje:

Dla trzech wektorów przestrzennych poniższe stwierdzenia są równoważne:
1) wektory są liniowo niezależne;
2) wektory stanowią bazę;
3) wektory nie są współpłaszczyznowe;
4) wektory nie mogą być wyrażane liniowo przez siebie;
5) wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest różny od zera.

Myślę, że przeciwne stwierdzenia są zrozumiałe.

Liniową zależność/niezależność wektorów przestrzennych tradycyjnie sprawdza się za pomocą wyznacznika (punkt 5). Pozostały zadania praktyczne będzie miał wyraźny charakter algebraiczny. Czas odłożyć kij do geometrii i chwycić kij baseballowy algebry liniowej:

Trzy wektory przestrzeni są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych danych wektorów jest równy zeru: .

Zwracam uwagę na mały szczegół niuans techniczny: współrzędne wektorów można zapisywać nie tylko w kolumnach, ale także w wierszach (wartość wyznacznika nie zmieni się od tego - patrz właściwości wyznaczników). Ale jest znacznie lepszy w kolumnach, ponieważ jest bardziej korzystny w rozwiązywaniu niektórych praktycznych problemów.

Tym czytelnikom, którzy trochę zapomnieli o metodach obliczania wyznaczników, a może w ogóle ich nie rozumieją, polecam jedną z moich najstarszych lekcji: Jak obliczyć wyznacznik?

Przykład 6

Sprawdź, czy następujące wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej:

Rozwiązanie: Tak naprawdę całe rozwiązanie sprowadza się do obliczenia wyznacznika.

a) Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych (wyznacznik ujawnia się w pierwszym wierszu):

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne (nie współpłaszczyznowe) i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

Odpowiedź: te wektory tworzą bazę

b) Jest to punkt do samodzielnej decyzji. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Istnieją również zadania twórcze:

Przykład 7

Przy jakiej wartości parametru wektory będą współpłaszczyznowe?

Rozwiązanie: Wektory są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów jest równy zeru:

Zasadniczo musisz rozwiązać równanie z wyznacznikiem. Spadamy na zera niczym latawce na skoczkach - najlepiej otworzyć wyznacznik w drugiej linii i od razu pozbyć się minusów:

Dokonujemy kolejnych uproszczeń i sprowadzamy sprawę do najprostszego równanie liniowe:

Odpowiedź: Na

Tutaj łatwo to sprawdzić, w tym celu należy podstawić wynikową wartość do pierwotnego wyznacznika i upewnić się, że , otwierając je ponownie.

Podsumowując, spójrzmy na jeszcze jedno typowe zadanie, która ma charakter bardziej algebraiczny i jest tradycyjnie uwzględniana w kursie algebry liniowej. Jest to tak powszechne, że zasługuje na własny temat:

Udowodnić, że 3 wektory stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej
i znajdź na tej podstawie współrzędne czwartego wektora

Przykład 8

Podano wektory. Pokaż, że wektory tworzą bazę w przestrzeni trójwymiarowej i znajdź na tej bazie współrzędne wektora.

Rozwiązanie: Najpierw zajmijmy się warunkiem. Warunkowo podano cztery wektory i, jak widać, mają one już w jakiejś bazie współrzędne. Nie interesuje nas, jaka jest ta podstawa. Interesująca jest następująca rzecz: trzy wektory mogą stanowić nową bazę. A pierwszy etap całkowicie pokrywa się z rozwiązaniem z Przykładu 6, należy sprawdzić, czy wektory są rzeczywiście liniowo niezależne:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych wektorowych:

, co oznacza, że ​​wektory są liniowo niezależne i stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej.

! Ważny : współrzędne wektora Koniecznie zanotować w kolumny wyznacznik, a nie w łańcuchach. W przeciwnym razie w dalszym algorytmie rozwiązania wystąpi zamieszanie.

Wprowadzony przez nas operacje liniowe na wektorach umożliwiają tworzenie różnych wyrażeń wielkości wektorowe i przekształcaj je, korzystając z właściwości ustawionych dla tych operacji.

Na podstawie danego zbioru wektorów a 1, ..., a n można utworzyć wyrażenie postaci

gdzie a 1, ... i n są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. To wyrażenie nazywa się liniowa kombinacja wektorów a 1, ..., n. Liczby α i, i = 1, n reprezentują współczynniki kombinacji liniowej. Zbiór wektorów nazywany jest również układ wektorów.

W związku z wprowadzoną koncepcją kombinacji liniowej wektorów pojawia się problem opisania zbioru wektorów, który można zapisać jako kombinację liniową danego układu wektorów a 1, ..., a n. Poza tym naturalne są pytania o warunki, w jakich istnieje reprezentacja wektora w postaci kombinacji liniowej oraz o jednoznaczność takiej reprezentacji.

Definicja 2.1. Nazywa się wektory a 1, ... i n liniowo zależne, jeśli istnieje zbiór współczynników α 1 , ... , α n taki, że

α 1 za 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

i co najmniej jeden z tych współczynników jest niezerowy. Jeśli określony zbiór współczynników nie istnieje, wywoływane są wektory liniowo niezależny.

Jeśli α 1 = ... = α n = 0, to oczywiście α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Mając to na uwadze, możemy powiedzieć tak: wektory a 1, ... i n są liniowo niezależne, jeżeli z równości (2.2) wynika, że ​​wszystkie współczynniki α 1 , ... , α n są równe zeru.

Poniższe twierdzenie wyjaśnia, dlaczego nowe pojęcie nosi nazwę „zależność” (lub „niezależność”) i dostarcza prostego kryterium zależności liniowej.

Twierdzenie 2.1. Aby wektory a 1, ... i n, n > 1 były liniowo zależne, konieczne i wystarczające jest, aby jeden z nich był liniową kombinacją pozostałych.

◄ Konieczność. Załóżmy, że wektory a 1, ... i n są liniowo zależne. Zgodnie z definicją 2.1 zależności liniowej, w równości (2.2) po lewej stronie znajduje się co najmniej jeden niezerowy współczynnik, np. α 1. Pozostawiając pierwszy wyraz po lewej stronie równości, resztę przenosimy do prawa strona, jak zwykle zmieniając znaki. Dzieląc wynikową równość przez α 1, otrzymujemy

za 1 =-α 2 /α 1 ⋅ za 2 - ... - α n /α 1 ⋅ za n

te. reprezentacja wektora a 1 jako kombinacja liniowa pozostałych wektorów a 2, ..., an.

Adekwatność. Niech na przykład pierwszy wektor a 1 można przedstawić jako kombinację liniową pozostałych wektorów: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Przenosząc wszystkie wyrazy z prawej strony na lewą, otrzymujemy a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tj. liniowa kombinacja wektorów a 1, ..., an o współczynnikach α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, równe wektor zerowy. W tej kombinacji liniowej nie wszystkie współczynniki wynoszą zero. Zgodnie z definicją 2.1 wektory a 1, ... i n są liniowo zależne.

Definicja i kryterium zależności liniowej są sformułowane tak, aby sugerować obecność dwóch lub więcej wektorów. Można jednak mówić także o liniowej zależności jednego wektora. Aby zrealizować tę możliwość, zamiast „wektory są liniowo zależne”, należy powiedzieć „układ wektorów jest liniowo zależny”. Łatwo zauważyć, że wyrażenie „układ jednego wektora jest liniowo zależny” oznacza, że ​​ten pojedynczy wektor ma wartość zero (w kombinacji liniowej występuje tylko jeden współczynnik i nie powinien on być równy zero).

Pojęcie zależności liniowej ma prostą interpretację geometryczną. Poniższe trzy stwierdzenia wyjaśniają tę interpretację.

Twierdzenie 2.2. Dwa wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy współliniowy.

◄ Jeśli wektory a i b są liniowo zależne, to jeden z nich, na przykład a, wyraża się przez drugi, tj. a = λb dla pewnej liczby rzeczywistej λ. Zgodnie z definicją 1.7 Pracuje wektory na liczbę, wektory aib są współliniowe.

Niech teraz wektory aib będą współliniowe. Jeśli oba mają wartość zerową, to oczywiste jest, że są one liniowo zależne, ponieważ jakakolwiek ich kombinacja liniowa jest równa wektorowi zerowemu. Niech jeden z tych wektorów nie będzie równy 0, na przykład wektor b. Oznaczmy przez λ stosunek długości wektorów: λ = |a|/|b|. Mogą być wektory współliniowe jednokierunkowy Lub skierowane przeciwnie. W tym drugim przypadku zmieniamy znak λ. Następnie sprawdzając Definicję 1.7, jesteśmy przekonani, że a = λb. Zgodnie z Twierdzeniem 2.1 wektory aib są liniowo zależne.

Uwaga 2.1. W przypadku dwóch wektorów, biorąc pod uwagę kryterium zależności liniowej, sprawdzone twierdzenie można przeformułować w następujący sposób: dwa wektory są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest przedstawiony jako iloczyn drugiego przez liczbę. Jest to wygodne kryterium kolinearności dwóch wektorów.

Twierdzenie 2.3. Trzy wektory są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy współpłaszczyznowy.

◄ Jeżeli trzy wektory a, b, c są liniowo zależne, to zgodnie z Twierdzeniem 2.1 jeden z nich, np. a, jest liniową kombinacją pozostałych: a = βb + γс. Połączmy początki wektorów b i c w punkcie A. Wtedy wektory βb, γс będą miały wspólny początek w punkcie A i wzdłuż zgodnie z zasadą równoległoboku ich suma wynosi te. wektor a będzie wektorem o początku A i koniec, który jest wierzchołkiem równoległoboku zbudowanego na wektorach składowych. Zatem wszystkie wektory leżą w tej samej płaszczyźnie, tj. Współpłaszczyznowej.

Niech wektory a, b, c będą współpłaszczyznowe. Jeśli jeden z tych wektorów ma wartość zero, to będzie to oczywiście kombinacja liniowa pozostałych. Wystarczy przyjąć wszystkie współczynniki kombinacji liniowej równe zero. Dlatego możemy założyć, że wszystkie trzy wektory nie są zerowe. Zgodny Rozpoczęty tych wektorów w wspólnym punkcie O. Niech ich końcami będą odpowiednio punkty A, B, C (ryc. 2.1). Przez punkt C rysujemy proste równoległe do prostych przechodzących przez pary punktów O, A i O, B. Wyznaczając punkty przecięcia jako A” i B”, otrzymujemy równoległobok OA”CB”, zatem OC” = OA” + OB". Wektor OA" i niezerowy wektor a = OA są współliniowe, dlatego pierwszy z nich można otrzymać mnożąc drugi przez liczbę rzeczywistą α:OA" = αOA. Podobnie OB" = βOB, β ∈ R. Otrzymujemy, że OC" = α OA + βOB, czyli wektor c jest liniową kombinacją wektorów a i b. Zgodnie z Twierdzeniem 2.1 wektory a, b, c są liniowo zależne.

Twierdzenie 2.4. Dowolne cztery wektory są liniowo zależne.

◄ Dowód przeprowadzamy według tego samego schematu, co w Twierdzeniu 2.3. Rozważmy dowolne cztery wektory a, b, cid. Jeśli jeden z czterech wektorów ma wartość zero lub są wśród nich dwa wektory współliniowe lub trzy z czterech wektorów są współpłaszczyznowe, wówczas te cztery wektory są liniowo zależne. Na przykład, jeśli wektory aib są współliniowe, to możemy utworzyć ich kombinację liniową αa + βb = 0 z niezerowymi współczynnikami, a następnie dodać pozostałe dwa wektory do tej kombinacji, przyjmując zera jako współczynniki. Otrzymujemy kombinację liniową czterech wektorów równych 0, w których występują niezerowe współczynniki.

Możemy zatem założyć, że spośród wybranych czterech wektorów żaden wektor nie jest zerowy, żadne dwa nie są współliniowe i żadne trzy nie są współpłaszczyznowe. Jako ich wspólny początek wybierzmy punkt O. Wtedy końcami wektorów a, b, c, d będą punkty A, B, C, D (rys. 2.2). Przez punkt D przeciągamy trzy płaszczyzny równoległe do płaszczyzn OBC, OCA, OAB i niech A”, B”, C” będą punktami przecięcia tych płaszczyzn z prostymi, odpowiednio OA, OB, OS. Otrzymujemy równoległościan OA" C "B" C" B"DA", a wektory a, b, c leżą na jego krawędziach wychodzących z wierzchołka O. Ponieważ czworokąt OC"DC" jest równoległobokiem, to OD = OC" + OC". Z kolei odcinek OC" jest równoległobokiem ukośnym OA"C"B", zatem OC" = OA" + OB" i OD = OA" + OB" + OC" .

Pozostaje zauważyć, że pary wektorów OA ≠ 0 i OA" , OB ≠ 0 i OB" , OC ≠ 0 i OC" są współliniowe, dlatego można tak dobrać współczynniki α, β, γ, że OA" = αOA, OB" = βOB i OC" = γOC. W końcu otrzymujemy OD = αOA + βOB + γOC. W konsekwencji wektor OD jest wyrażany przez pozostałe trzy wektory, a wszystkie cztery wektory, zgodnie z Twierdzeniem 2.1, są liniowo zależne.

Nazywa się system wektorowy liniowo zależne, jeśli istnieją liczby, spośród których co najmniej jedna jest różna od zera, tak że równość https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" szerokość="57" wysokość="24 src= " >.

Jeżeli równość ta jest spełniona tylko w przypadku, gdy wszystkie , to wywoływany jest układ wektorów liniowo niezależny.

Twierdzenie. System wektorowy będzie liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego wektorów jest kombinacją liniową pozostałych.

Przykład 1. Wielomian jest liniową kombinacją wielomianów https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" szerokość="88 wysokość=24" wysokość="24">. Wielomiany stanowią układ liniowo niezależny, ponieważ wielomian https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" szerokość="129" wysokość="24">.

Przykład 2. System macierzowy, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" szerokość="51" wysokość="48 src="> jest liniowo niezależny, ponieważ kombinacja liniowa jest równa macierz zerowa tylko w przypadku, gdy https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" szerokość="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" szerokość="40" wysokość="21"> zależna liniowo.

Rozwiązanie.

Zróbmy kombinację liniową tych wektorów https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" szerokość="97" wysokość="24">=0..gif" szerokość="360" wysokość=" 22">.

Przyrównując te same współrzędne równych wektorów, otrzymujemy https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" szerokość="289" wysokość="69">

Wreszcie dostajemy

I

Układ ma unikalne rozwiązanie trywialne, więc kombinacja liniowa tych wektorów jest równa zero tylko w przypadku, gdy wszystkie współczynniki są równe zero. Dlatego ten układ wektorów jest liniowo niezależny.

Przykład 4. Wektory są liniowo niezależne. Jakie będą systemy wektorowe?

A).;

B).?

Rozwiązanie.

A). Zróbmy kombinację liniową i przyrównajmy ją do zera

Korzystając z własności operacji na wektorach w przestrzeni liniowej, przepisujemy ostatnią równość w postaci

Ponieważ wektory są liniowo niezależne, współczynniki at muszą być równe zeru, tj..gif" szerokość="12" wysokość="23 src=">

Powstały układ równań ma unikalne, trywialne rozwiązanie .

Od równości (*) wykonywany tylko wtedy, gdy https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" szerokość="115 wysokość=20" wysokość="20"> – liniowo niezależny;

B). Zróbmy równość https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" szerokość="265" wysokość="24 src="> (**)

Stosując podobne rozumowanie, otrzymujemy

Rozwiązując układ równań metodą Gaussa, otrzymujemy

Lub

Ten ostatni system ma nieskończoną liczbę rozwiązań https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" szerokość="149" wysokość="24 src=">. Zatem istnieje nie- zerowy zbiór współczynników, dla którego zachodzi równość (**) . Dlatego układ wektorów – liniowo zależny.

Przykład 5 Układ wektorów jest liniowo niezależny, a układ wektorów jest liniowo zależny..gif" szerokość="80" wysokość="24">.gif" szerokość="149 wysokość=24" wysokość="24"> (***)

W równości (***) . Rzeczywiście, w , system byłby liniowo zależny.

Z relacji (***) dostajemy Lub Oznaczmy .

Dostajemy

Problemy do samodzielnego rozwiązania (w klasie)

1. Układ zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.

2. Układ składający się z jednego wektora A, jest liniowo zależna wtedy i tylko wtedy, gdy, a=0.

3. Układ składający się z dwóch wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są proporcjonalne (to znaczy jeden z nich otrzymuje się z drugiego przez pomnożenie przez liczbę).

4. Jeśli dodasz wektor do układu liniowo zależnego, otrzymasz układ liniowo zależny.

5. Jeśli wektor zostanie usunięty z układu liniowo niezależnego, wówczas powstały układ wektorów będzie liniowo niezależny.

6. Jeśli systemu S jest liniowo niezależny, ale staje się liniowo zależny po dodaniu wektora B, następnie wektor B wyrażone liniowo poprzez wektory systemowe S.

C). Układ macierzy , , w przestrzeni macierzy drugiego rzędu.

10. Niech układ wektorów A,B,C przestrzeń wektorowa jest liniowo niezależna. Udowodnić liniową niezależność następujące systemy wektory:

A).+b, b, c.

B).+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" szerokość="15" wysokość="19">– dowolna liczba

C).+b, a+c, b+c.

11. Pozwalać A,B,C– trzy wektory na płaszczyźnie, z których można utworzyć trójkąt. Czy te wektory będą liniowo zależne?

12. Podano dwa wektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Znajdź dwa kolejne czterowymiarowe wektory a3 ia4 tak, że system a1,a2,a3,a4 był liniowo niezależny .