Metody najbardziej stromy zjazd i zejście według współrzędnych nawet dla funkcja kwadratowa wymagać nieskończona liczba iteracje. Można jednak skonstruować takie kierunki opadania, jak dla funkcji kwadratowej

• (3.12)
• (gdzie r jest wektorem n-wymiarowym) z symetryczną dodatnio określoną macierzą A, proces opadania zbiega się dokładnie do minimum w skończonej liczbie kroków.

Dodatnio określona macierz pozwala nam wprowadzić normę wektora w następujący sposób:

Definicja (3.13) oznacza, że ​​iloczyn skalarny dwóch wektorów x i y oznacza teraz wielkość (x, Ау). Wektory ortogonalne w sensie tego iloczynu skalarnego

(x, Ау) = 0 (3,14)

nazywane są koniugatem (w odniesieniu do danej macierzy A).

Oparte na tym duża grupa metody: gradienty sprzężone, kierunki sprzężone, styczne równoległe i inne.

W przypadku funkcji kwadratowej stosuje się je z równym powodzeniem. Metoda kierunku sprzężonego, w której szczegółowo dobiera się szczegóły algorytmu, najlepiej uogólnia na dowolne funkcje.

Rozważmy najpierw, jak zastosować tę metodę do postaci kwadratowej (3.12). Aby to zrobić, potrzebujemy pewnych właściwości wektorów sprzężonych.

Niech istnieje jakiś układ wektorów sprzężonych parami x i. Normalizujemy każdy z tych wektorów w sensie normy (3.14), wówczas relacje między nimi przyjmują postać

Udowodnimy, że wzajemnie sprzężone wektory są liniowo niezależne. Od równości

co przeczy dodatniej określoności macierzy. Ta sprzeczność potwierdza nasze stwierdzenie. Oznacza to, że układ n-sprzężonych wektorów jest bazą w przestrzeni n-wymiarowej. Dla danej macierzy istnieje nieskończona liczba baz składających się z wzajemnie sprzężonych wektorów.

Znajdźmy jakąś bazę sprzężoną x i, 1 in. Wybierzmy dowolny punkt r 0 . Każdy ruch od tego punktu można rozszerzyć na podstawę sprzężoną

Podstawiając to wyrażenie do prawa strona wzór (3.12) przekształcamy go, uwzględniając koniugację bazy (3.15), do postaci:

Ostatnia suma składa się z wyrazów, z których każdy odpowiada tylko jednemu składnikowi sumy (3.16). Oznacza to, że ruch wzdłuż jednego z kierunków sprzężonych x i zmienia tylko jeden składnik sumy (3.17), nie wpływając na resztę.

Od punktu r 0 wykonujemy naprzemienne zjazdy do minimum wzdłuż każdego z kierunków sprzężonych x i . Każde zejście minimalizuje swój człon w sumie (3.17), tak że minimum funkcji kwadratowej zostaje dokładnie osiągnięte po wykonaniu jednego cyklu zniżek, czyli w skończonej liczbie kroków.

Bazę sprzężoną można skonstruować metodą równoległych płaszczyzn stycznych.

Niech pewna prosta będzie równoległa do wektora x i niech funkcja kwadratowa na tej prostej osiągnie swoją minimalną wartość w punkcie r 0 . Podstawmy równanie tej prostej r = r 0 + bx do wyrażenia (3.12) i wymagajmy, aby warunek minimum funkcji był spełniony

c(b) = Ф(r 0) + b 2 + b (x, 2Аr 0 + b),

i postaw (dts/db) b-0 = 0. Oznacza to równanie, które jest spełnione przez punkt minimalny:

(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3,18)

Niech na innej prostej, równoległej do pierwszej, funkcja przyjmuje wartość minimalną w punkcie r 1, wtedy podobnie znajdujemy (x, 2Аr 1 + b) = 0. Odejmując tę ​​równość od (3.18), otrzymujemy;

(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3,19)

W konsekwencji kierunek łączący minimalne punkty na dwóch równoległych liniach jest sprzężony z kierunkiem tych linii.

Zatem zawsze możliwe jest skonstruowanie koniugatu wektora z dowolnym danym wektorem x. Aby to zrobić, wystarczy narysować dwie linie równoległe do x i znaleźć na każdej linii minimum postaci kwadratowej (3.12). Wektor r 1 r 0 łączący te minima jest sprzężony z x. Należy zwrócić uwagę, że prosta styka się z linią poziomu w punkcie, w którym funkcja na tej prostej przyjmuje wartość minimalną; Z tym wiąże się nazwa metody.

Niech istnieją dwie równoległe m-wymiarowe płaszczyzny generowane przez układ wektorów sprzężonych x i, 1 imn. Niech funkcja kwadratowa osiągnie swoją minimalną wartość na tych płaszczyznach odpowiednio w punktach r 0 i r 1. Stosując podobne rozumowanie można udowodnić, że wektor r 1 r 0 łączący punkty minimalne jest sprzężony ze wszystkimi wektorami x i. W konsekwencji, jeżeli dany jest niekompletny układ wektorów sprzężonych x i, to stosując tę ​​metodę zawsze można skonstruować wektor r 1 r 0 sprzężony ze wszystkimi wektorami tego układu.

Rozważmy jeden cykl procesu konstruowania bazy sprzężonej. Niech została już skonstruowana baza, w której ostatnie m wektorów są wzajemnie sprzężone, i pierwszy n-m wektory nie są koniugowane jako ostatnie. Znajdźmy minimum funkcji kwadratowej (3.12) w jakiejś m-wymiarowej płaszczyźnie utworzonej przez ostatnie m wektorów podstawy. Ponieważ wektory te są wzajemnie sprzężone, wystarczy w tym celu dowolnie wybrać punkt r 0 i zejść z niego naprzemiennie w każdym z tych kierunków (do minimum). Oznaczmy minimalny punkt tej płaszczyzny przez r 1 .

Teraz od punktu r 1 wykonamy naprzemienne zejście wzdłuż pierwszych n - m wektorów bazowych. To zejście wyprowadzi trajektorię z pierwszej płaszczyzny i doprowadzi ją do pewnego punktu r 2 . Z punktu r 2 ponownie zejdziemy w dół po ostatnich m kierunkach, które doprowadzą do punktu r 3 . To zejście oznacza dokładne znalezienie minimum w drugiej płaszczyźnie równoległej do pierwszej płaszczyzny. W konsekwencji kierunek r 3 - r 1 jest sprzężony z ostatnimi m wektorami bazowymi.

Jeśli jeden z niesprzężonych kierunków w bazie zostanie zastąpiony kierunkiem r 3 - r 1, to w nowej bazie już kierunek m + 1 będzie wzajemnie sprzężony.

Zacznijmy obliczać cykle od dowolnej podstawy; dla tego możemy założyć, że m=1. Opisany proces w jednym cyklu zwiększa o jeden liczbę wektorów sprzężonych w bazie. Oznacza to, że w n - 1 cyklu wszystkie wektory bazowe staną się sprzężone, a kolejny cykl doprowadzi trajektorię do punktu minimalnego funkcji kwadratowej (3.12).

Chociaż pojęcie bazy sprzężonej jest zdefiniowane tylko dla funkcji kwadratowej, opisany powyżej proces jest skonstruowany w taki sposób, że można go formalnie zastosować do dowolnej funkcji. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest znalezienie minimum wzdłuż kierunku metodą paraboli, bez stosowania gdziekolwiek wzorów związanych z określonym rodzajem funkcji kwadratowej (3.12).

W małym sąsiedztwie minimum przyrost wystarczająco gładkiej funkcji jest zwykle przedstawiany w postaci symetrycznej, dodatnio określonej postaci kwadratowej typu (3.2). Gdyby ta reprezentacja była dokładna, wówczas metoda kierunku sprzężonego zbiegałaby się w skończonej liczbie kroków. Ale reprezentacja jest przybliżona, więc liczba kroków będzie nieskończona; ale zbieżność tej metody w pobliżu minimum będzie kwadratowa.

Dzięki zbieżności kwadratowej metoda kierunku sprzężonego pozwala znaleźć minimum z dużą dokładnością. Metody ze zbieżnością liniową zwykle mniej dokładnie wyznaczają skrajne wartości współrzędnych.

Metoda kierunków sprzężonych jest najwyraźniej najbardziej skuteczna skuteczna metoda zejście Dobrze sprawdza się przy zdegenerowanym minimum i przy rozpuszczalnych wąwozach oraz w obecności słabo nachylonych odcinków płaskowyżu - „płaskowyży” i przy dużej liczbie zmiennych - do dwudziestu.

Próby zastosowania mechaniki klasycznej i elektrodynamiki do wyjaśnienia zjawisk atomowych doprowadziły do ​​​​wyników ostro sprzecznych z eksperymentem. Najbardziej uderzającym tego przykładem jest próba zastosowania klasycznej elektrodynamiki do modelu atomu, w którym elektrony poruszają się wokół jądra po klasycznych orbitach. Przy takim ruchu, jak przy każdym ruchu ładunków z przyspieszeniem, elektrony musiałyby w sposób ciągły emitować energię w postaci fal elektromagnetycznych i ostatecznie nieuchronnie spadłyby na dodatnio naładowane jądro. Zatem – z punktu widzenia elektrodynamiki klasycznej – atom jest niestabilny. Jak widzimy, teza ta nie jest prawdziwa. Tak głęboka sprzeczność między teorią a eksperymentem wskazuje, że opis mikroobiektów wymaga zasadniczej zmiany w podstawowych klasycznych pojęciach i prawach.

Z szeregu danych eksperymentalnych (takich jak dyfrakcja elektronów) wynika, że ​​mechanika rządząca zjawiskami atomowymi – mechanika kwantowa – musi opierać się na koncepcjach ruchu, które zasadniczo różnią się od idei mechaniki klasycznej. W mechanice kwantowej nie ma pojęcia trajektorii cząstek, a co za tym idzie, innych właściwości dynamicznych. TEZA NINIEJSZA JEST FORMUŁOWANA W ZASADIE NIEPEWNOŚCI HEISENBERGA:

Nie da się jednocześnie zmierzyć współrzędnych i pędu mikroobiektu z jakąkolwiek dokładnością:

DXDP³ H (II.1)

Należy zauważyć (co zostanie omówione później), że relacja niepewności łączy nie tylko współrzędną i pęd, ale także szereg innych wielkości.

Wróćmy teraz do rozważań na temat aparatu matematycznego mechaniki kwantowej.

Operator A zwyczajowo wywołuje się regułę, zgodnie z którą każda funkcja F odpowiada funkcji J :

j= A F (II.3)

Najprostsze przykłady operatorów: pierwiastek kwadratowy, różniczkowanie itp.

Nie na każdą funkcję może mieć wpływ dowolny operator; na przykład na funkcję nieróżniczkowalną nie może wpływać operator różniczkowania. Dlatego dowolny operator można zdefiniować tylko na określonej klasie funkcji i uważa się go za zdefiniowany, jeśli zostanie określona nie tylko reguła, według której przekształca jedną funkcję w drugą, ale także zbiór funkcji, na których działa.

Przez analogię do algebry liczb możemy wprowadzić algebrę operatorów:

1) Operatory sumy lub różnicy

(A ± B ) · F = A · F ± B · F (II.4)

2) Produkt operatorów

AB · F = A (B · F ) (II.5)

te. najpierw o funkcji F operator działa B , tworząc nową funkcję, na którą następnie reaguje operator A . W przypadek ogólny działanie operatora AB nie odpowiada działaniu operatora licencjat .

Rzeczywiście, jeśli A=d/dx I B=x ,

To AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

A BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Jeśli AB=BA, wówczas operatory nazywane są dojazdami do pracy i if AB-BA°(A,B) (II.6), to nie dojeżdżają. Wyrażenie w nawiasach nazywa się komutatorem.

W mechanice kwantowej powszechnie stosuje się liniowe operatory samosprzężone (lub hermitowskie). Oznacza to właściwość liniowości

A(C 1 F 1 + c 2 F 2 )F =C 1 AF 1 + c 2 AF 2 (II.7)

Gdzie C 1 I C 2 - stałe i F 1 I F 2 - dowolne funkcje, na których zdefiniowany jest operator A. Ten własność matematyczna jest ściśle powiązana z zasadą superpozycji.

Samosprzężony operator hermitowski to operator, dla którego zachodzi równość:

z 1 * (x)(Af 2 (x))dx = z 2 (x)(A * F 1 * (x))dx (II.8)

zakłada się, że A zdefiniowany na F 1 * (X) I F 2 (X) oraz wszystkie całki zawarte w (1.8) istnieją. Wymóg hermityzmu jest bardzo ważny dla mechaniki kwantowej i poniżej dowiemy się dlaczego.

Jak już wspomniano, działanie operatora sprowadza się do przekształcenia jednej funkcji w drugą, jednak zdarzają się również przypadki, gdy w wyniku działania operatora pierwotna funkcja nie ulega zmianie lub zostaje pomnożona przez stałą. Najprostszy przykład:

Można argumentować, że każdy operator A można porównać równanie liniowe typ:

AF = af (II.9) ,

Gdzie A = konst. A jest wartością własną operatora, i F - funkcja własna operatora. Równanie to nazywa się równaniem wartości własnej. Wartości stałych, dla których równanie (1.9) przyjmuje rozwiązania nietrywialne, nazywane są wartościami własnymi. Razem tworzą spektrum wartości własnych, które mogą być dyskretne, ciągłe lub mieszane. Każda wartość odpowiada jednej lub większej liczbie funkcji własnych F T , a jeśli tylko jedna funkcja odpowiada jednej wartości własnej, to jest niezdegenerowana, a jeśli jest ich kilka, to jest zdegenerowana.

Funkcje własne i wartości własne Hermitowski (samosprzężone) operatory mają szereg właściwości:

1. Wartości własne takich operatorów są rzeczywiste.

2. Funkcje własne F 1 I F 2 takie operatory należące do różnych wartości własnych Z 1 I C 2 odpowiednio ortogonalne względem siebie, tj. ò F 1 * (X) F 2 (X) dx = 0 (II.10)

3. Należy je znormalizować do jedności poprzez wprowadzenie specjalnego współczynnika normalizacyjnego, który w ogólnym przypadku opisuje warunek ortonormalności: ò F M * (X) F N (X) dx =D mn , D mn =0 Na M ¹ N I D mn =1 Na M = N (II.11)

4. Jeśli dwóch operatorów A I B mają wspólny układ funkcji własnych, to dojeżdżają do pracy i stwierdzenie odwrotne jest również prawdziwe

5. Funkcje własne operatora hermitowskiego tworzą pełny zbiór ortonormalny, tj. dowolną funkcję zdefiniowaną w tej samej dziedzinie zmiennych można przedstawić jako szereg funkcji własnych operatora A:

(II.12),

Gdzie C N- pewne stałe i to rozwinięcie będzie dokładne.

Ta ostatnia właściwość jest bardzo ważna dla aparatu mechaniki kwantowej, gdyż na jej podstawie można skonstruować macierzową reprezentację operatorów i zastosować potężny aparat algebry liniowej.

Rzeczywiście, od r (II.12) funkcje natywne F N (X) uważa się za znane, a następnie znaleźć funkcję F(x) konieczne i wystarczające jest znalezienie wszystkich współczynników rozszerzalności ( C N). Rozważmy teraz pewien operator B, który działa na funkcję c(x) i przekazuje go do F(x):

F(X) = BC(X) (II.13)

Wyobraźmy sobie teraz funkcje F(x) I Bc(x) w postaci rzędów (II.12):

(II.14)

i włóż je (II.13)

(II.15)

(II.16)

Pomnóżmy obie strony równości przez F k * (X) i całkować, biorąc pod uwagę warunki ortonormalności:

Równość (II.17) opisuje przejście od funkcji c(x) funkcjonować F(x), co odbywa się poprzez ustawienie wszystkich współczynników M kn. Zestaw wszystkich ilości M kn jest operator B w reprezentacji macierzowej i można ją zapisać jako

Zatem dowolny operator B w reprezentacji macierzowej można przedstawić jako kwadratową tablicę liczb, macierz, a reprezentację tę będzie determinować jedynie rodzaj operatora i początkowy zbiór funkcji bazowych.

Przypomnijmy teraz pokrótce główne założenia teorii macierzy. Ogólnie rzecz biorąc, macierz jest zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych A ja, zwane elementami macierzy, ułożonymi w prostokątnej tabeli

Indeksy I I J pokaż ten element A ja zlokalizowany na skrzyżowaniu I linia i J kolumna. Jeśli macierz ma N linie i M kolumn, wówczas mówi się, że ma wymiar ( N X M), Jeśli N = M, wówczas macierz nazywa się kwadratem. Prostokątna macierz o rozmiarze ( 1 X M) nazywa się wektorem wierszowym, a ( N x1) jest wektorem kolumnowym. Element macierzy A ja Na I = J nazywa się przekątną, macierz, w której wszystkie elementy oprócz przekątnych są równe zeru, nazywa się przekątną, a macierz przekątna, w której wszystkie elementy są równe jeden, nazywa się jednością. Suma elementów przekątnych nazywana jest śladem: Sp.

Łatwo jest skonstruować algebrę macierzową, którą sprowadzimy do następujących zasad:

1. Macierze i są uważane za równe, jeśli dla wszystkich I I J równość jest prawdziwa: A ja = B ja

2. Suma macierzy i wymiarów ( N X M) będzie macierzą wymiaru ( N X M) tak, żeby było dla każdego I I J równość jest prawdziwa: C ja = A ja + B ja

3. Iloczyn macierzy przez dowolną liczbę A będzie matryca o tym samym wymiarze, taka, że ​​dla wszystkich I I J równość jest prawdziwa: C ja = aa ja

4. Iloczyn macierzy wymiarowej ( N X M) na macierz wymiarów ( M X P) nazywa się macierzą wymiaru ( N X P) tak

(II.20)

5. Macierz nazywa się koniugatem złożonym, jeśli zawiera wszystkie elementy macierzy A ja zastąpione przez złożone koniugaty A ja * . Mówi się, że macierz ulega transpozycji, jeżeli otrzymuje się ją poprzez zastąpienie wierszy kolumnami i odwrotnie: A ’ ja = A ji. Transponowana i złożona macierz koniugatu nazywana jest koniugatem i jest oznaczana

FUNKCJA PODŁĄCZONA

Pojęcie teorii funkcji, które jest konkretnym odzwierciedleniem pewnego operatora inwolucyjnego dla odpowiedniej klasy funkcji.
1) S.f. do funkcji o wartościach zespolonych . zwany funkcja, której wartości są złożonymi koniugacjami do wartości f.
2) S.f. do funkcji harmonicznej - patrz Sprzężone funkcje harmoniczne.
3) S.f. k -okresowa całkowalna na funkcji f(x). funkcjonować

istnieje i pokrywa się prawie wszędzie z sumą -lub sumą Abela-Poissona sprzężony szereg trygonometryczny.
4) S.f. funkcjonować zdefiniowane na przestrzeni wektorowej X, która jest dualna (w odniesieniu do postaci dwuliniowej ) z przestrzenią wektorową T- funkcja na Y, dana przez relację

Dla funkcji określonej w Y, funkcja koniugatu jest zdefiniowana podobnie.

S.f. do funkcji jednej zmiennej będzie funkcja

S.f. funkcjonować w przestrzeni Hilberta X iloczyn skalarny jest funkcją S.f. Do normalności w przestrzeni znormalizowanej będzie funkcja N*(y) , równe zeru, jeśli i równe, jeśli
Jeśli f jest gładkie i rośnie szybciej w nieskończoności funkcja liniowa, to f* to nic innego jak Legendre funkcje f. Dla jednowymiarowych funkcji ściśle wypukłych definicję równoważną (*) podał W. Young w innym ujęciu. W. Jung zdefiniował S. f. funkcjonować

gdzie jest ciągły i ściśle rosnący, według relacji

gdzie jest funkcją odwrotną do definicji (*) dla funkcji jednowymiarowych po raz pierwszy zaproponował S. Mandelbrojt, w przypadku skończenie wymiarowym – V. Fenchel, w przypadku nieskończenie wymiarowym – J. Moreau i A. Brønsted . Dla funkcji wypukłej n sprzężonej z nią, Younga

Funkcja S. jest funkcją wypukłą, domkniętą. Operator koniugacji*: jednoznacznie wyświetla zbiór właściwych wypukłości funkcje zamknięte na X do zbioru właściwych wypukłych funkcji domkniętych na Y (Koper włoski - Moreau).
Zobacz i aby uzyskać więcej szczegółów.
Zobacz też Analiza wypukła, funkcja podporowa, dualność w problemach ekstremalnych i analizie wypukłej.

Oświetlony.: Joung W. H., lProc. Roy. Towarzystwo A

Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Zobacz, co oznacza „FUNKCJA POŁĄCZONA” w innych słownikach:

Funkcjonał wsparcia zbioru A leżącego w przestrzeni wektorowej X jest funkcją sA zdefiniowaną w przestrzeni wektorowej Y, która jest z nią dualna poprzez relację Na przykład O. f. kontener jednostkowy w znormalizowanej przestrzeni rozważanej w... ... Encyklopedia matematyczna

Funkcja związana z całkową reprezentacją rozwiązań problemów brzegowych równań różniczkowych. G.f. Problem wartości brzegowych liniowego równania różniczkowego rozwiązanie podstawowe równania spełniające jednorodne warunki brzegowe.... ... Encyklopedia matematyczna

Funkcja antyanalityczna, funkcja jednej lub większej liczby zmiennych złożonych, która jest złożona sprzężona z funkcją holomorficzną (patrz Funkcja analityczna). E. D. Solomentsev ... Encyklopedia matematyczna

Sterowanie, funkcja u(t), zawarte w równanie różniczkowe wartości roju w każdym momencie czasu można wybrać dowolnie. Zwykle narzucane jest ograniczenie zakresu zmian u(t) dla każdego t, gdzie U jest danym zbiorem zamkniętym w... ... Encyklopedia matematyczna

Ciągły wyświetlacz, który zachowuje kształt nieskończenie małych cyfr. Podstawowe koncepcje. Nazywa się ciągłe odwzorowanie w=f(z) obszaru G n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej na n-wymiarową przestrzeń euklidesową. w pewnym momencie zgodny, jeśli w tym momencie ma ... Encyklopedia matematyczna

1) Transformacja matematyczna analiza, realizująca dualizm obiektów w przestrzeni dualnej (wraz z dualizmem rzutowym w geometrii analitycznej i dualizmem biegunowym w geometrii wypukłej). Niech płynna funkcja... ... Encyklopedia matematyczna

1) P. t. o funkcjach sprzężonych: niech okresowe funkcja ciągła z okresem 2p i funkcją trygonometrycznie sprzężoną z f(t); to jeśli f(t).spełnia warunek Lipschitza dotyczący wykładnika w punkcie 0 Encyklopedia matematyczna

- (mod k) funkcja c(n)=c(n; k) na zbiorze liczb całkowitych, spełniająca warunki: Innymi słowy D. x. (mod k) jest arytmetyką. funkcje, które nie są identyczne z zerem, są całkowicie multiplikatywne i okresowe z okresem k. Koncepcja D.x. wszedł P.... ... Encyklopedia matematyczna

Jedno z uogólnień całki Lebesgue’a zaproponowane przez A. Denjoya (A. Denjoy, 1919), szczegółowo zbadane przez T. J. Boxa (T. J. Boks, 1921). Funkcja rzeczywista f(x).na odcinku [a, b]okresowo (z okresem b a) przebiega wzdłuż całej prostej. Dla… … Encyklopedia matematyczna

Całka podwójna gdzie jest daną (ogólnie rzecz biorąc, o wartościach zespolonych) funkcją zmiennych rzeczywistych, funkcjami całkowalnymi do kwadratu, funkcjami arbitralnymi (również o wartościach zespolonych), całkowalnymi do kwadratów i zespoloną funkcją sprzężoną c. Jeśli,… … Encyklopedia matematyczna

1 1 4 ZAŁĄCZNIK B: KONCEPCJA TEORETYCZNA

Zasada sprzężonych podsystemów

Wraz z identyfikacją dowolnego systemu materialnego automatycznie pojawia się odpowiednie środowisko, w którym ten system istnieje. Ponieważ środowisko jest zawsze większe niż system, ewolucja systemu jest podyktowana zmianami w środowisku. Idea ewolucji implikuje dwa główne i w pewnym sensie alternatywne aspekty: konserwację (C) i zmianę (I). Jeśli brakuje jednego z nich, nie ma ewolucji: system albo znika, albo jest stabilny. Stosunek zmiany i zachowania (I/S) charakteryzuje ewolucyjną plastyczność układu. Zauważ, że te warunki są alternatywne: im więcej A, tym mniej C i odwrotnie, ponieważ uzupełniają się one do jedności: C + I = 1.

Dla lepszej realizacji tylko pierwszego aspektu – zachowania – bardziej opłaca się, aby system był trwały, stabilny, niezmienny, czyli jak najdalej (nie w sensie geometrycznym, ale w sensie informacyjnym) od destrukcyjnego czynniki środowiskowe (ryc. B.1). Jednak te same czynniki jednocześnie dostarczają użytecznych informacji o kierunku zmian środowiskowych. A jeśli system musi się do nich dostosowywać, zmieniać w zależności od zmian w otoczeniu (drugi aspekt), to musi być wrażliwy, labilny i zmienny, czyli być jak najbardziej „bliższy” (w sensie informacyjnym) szkodliwemu środowisku czynniki, jak to możliwe. W konsekwencji dochodzi do sytuacji konfliktowej, gdy system z jednej strony musi być „dalej” od otoczenia, a z drugiej „bliżej”.

Problem środowiska

Aby się zmienić (otrzymać przydatne informacje) musisz być „bliżej”

Możliwe rozwiązania

Zachowaj „optymalną odległość”

Podzielony na dwa połączone podsystemy

Ryż. B.1 Relacja pomiędzy systemem a otoczeniem

Pierwsze możliwe rozwiązanie: system jako całość powinien znajdować się w pewnej optymalnej „odległości” od otoczenia, wybierając pewne kompromisowe optymalne I/C. Drugie rozwiązanie: podzielić na dwa sprzężone podsystemy, usunąć jeden „z dala” od otoczenia, a drugiego przysuń „bliżej”. Drugie rozwiązanie eliminuje sprzeczne wymagania dotyczące zachowania (C) i zmiany (I) systemu i pozwala nam jednocześnie maksymalizować oba, zwiększając stabilność systemu jako całości. Wniosek ten leży u podstaw nowej koncepcji.

ZAŁĄCZNIK B: PODSTAWOWE PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1 5

ZASADA POŁĄCZONYCH PODSYSTEMÓW

ZRÓŻNICOWANIE SYSTEMÓW ADAPTACYJNYCH, EWOLUUJĄCYCH W ZMIENNYM ŚRODOWISKU, W DWA POŁĄCZONE PODSYSTEMY O SPECJALIZACJI KONSERWATYWNEJ I OPERACYJNEJ, ZWIĘKSZA ICH STABILNOŚĆ.

Oddzielenie podsystemów wewnętrznych i zewnętrznych należy rozumieć nie w sensie geometrycznym (morfologicznym), ale informacyjnym, to znaczy przepływy informacji z otoczenia o zmianach, które w nim zaszły, w pierwszej kolejności wpadają do podsystemów zewnętrznych („RAM ”), a następnie do wewnętrznych („pamięć stała”) systemu.

W tej ogólnej formie koncepcja ma zastosowanie do ewoluujących, adaptacyjnych systemów, niezależnie od ich specyficznego charakteru – biologicznego, technicznego, rozrywkowego czy społecznego. Można się spodziewać, że wśród systemów ewoluujących, adaptacyjnych dość często powinny pojawiać się struktury składające się z dwóch sprzężonych podsystemów. We wszystkich przypadkach, gdy system zmuszony jest monitorować „zachowanie wroga” (otoczenia) i zgodnie z tym budować swoje „zachowanie”, zróżnicowanie, podział usług na konserwatywne i operacyjne zwiększa stabilność. Armia przydziela oddziały zwiadowcze i wysyła je w różnych kierunkach na spotkanie wroga. Statek posiada stępkę (służba konserwacyjna) i oddzielny ster (sprawny), samoloty stałe i lotki; stabilizatory rakietowe i stery.

Ogólna charakterystyka różnicowań koniugatów binarnych

Przed pojawieniem się podsystemów sprzężonych, będących główną kontrolą ewolucji, przepływ informacji szedł bezpośrednio z otoczenia do systemu: E →S. Po powstaniu podsystemów operacyjnych jako pierwsze otrzymują informacje z otoczenia: środowisko → podsystemy operacyjne → konserwatywne, E →o →k. Dlatego nowy podsystem jest zawsze sprawny i

powstaje pomiędzy podsystemem konserwatywnym a otoczeniem.

Podstawowa różnica pomiędzy unitarnymi i binarnymi układami sprzężonymi polega na ich informacyjnym kontakcie z otoczeniem. W pierwszym przypadku informacja przepływa z otoczenia bezpośrednio do każdego elementu systemu, w przypadku drugiego w pierwszej kolejności do elementów podsystemu operacyjnego, a od nich do elementów podsystemu konserwatywnego.

Dichronizm (asynchronia) i dymorfizm (asymetria) są ze sobą ściśle powiązane: gdy układ identycznych elementów dzieli się na dwie części, o ile są one jakościowo jednorodne, nie ma ani dymorfizmu, ani dichronizmu (ryc. B.2). Ale gdy tylko jeden z nich zacznie ewoluować, jednocześnie pojawiają się zarówno dymorfizm, jak i dichronizm. Wzdłuż osi morfologicznej są to dwie formy tworzące strukturę „stabilny rdzeń” (SC) i „labilna powłoka” (LP) (ryc. B.3). Struktura ta chroni konserwatywny podsystem przed alternatywnymi czynnikami środowiskowymi, na przykład przed niskimi i wysokimi temperaturami.

1 1 6 ZAŁĄCZNIK B: KONCEPCJA TEORETYCZNA

Wszystkie innowacje ewolucyjne pojawiają się najpierw w podsystemie operacyjnym, tam przechodzą testy, po czym (po wielu pokoleniach) wybrane trafiają do podsystemu konserwatywnego. Ewolucja podsystemu operacyjnego zaczyna się i kończy wcześniej niż podsystemu konserwatywnego. Dlatego na osi chronologicznej można je uznać za „awangardowe” i

„tylna straż” (ryc. B.4).

Na osi „system-otoczenie” system dzieli się na „stabilny rdzeń” i „labilną powłokę”

Na osi czasu podsystem operacyjny można uznać za „awangardowy” w porównaniu z podsystemem konserwatywnym.

Przepływ informacji

środowy front

Konserwatywny Operacyjny

Konserwatywny Operacyjny

Przepływ informacji

Taki podział i specjalizacja podsystemów dla alternatywnych zadań konserwacji i zmiany zapewnia optymalne warunki do realizacji głównej metody ewolucji systemów żywych - w pewnym sensie metody prób i błędów. Wraz z koncentracją próbek w pamięci RAM, tam również lokalizowane są błędy i ustalenia. Umożliwia to system

wypróbuj różne opcje rozwiązywania problemów ewolucyjnych bez ryzyka utrwalenia nieudanych rozwiązań.

Rozróżnienie na podsystemy konserwatywne i operacyjne nie jest absolutne, ale względne. Mogą istnieć kolejne serie podsystemów: α, β, γ,…..ω, gdzie najbardziej konserwatywnym (fundamentalnym) ogniwem jest α, a najbardziej operacyjnym ω. A wewnątrz rzędu, w każdej parze, po lewej stronie znajduje się podsystem konserwatywny, po prawej podsystem operacyjny (jak seria napięć metali w elektrochemii).

Aby nowa informacja ekologiczna dostała się do podsystemu operacyjnego, rozproszenie fenotypowe jej elementów musi być większe niż elementów podsystemu konserwatywnego, wówczas ich przystosowanie będzie niższe, a współczynnik selekcji wyższy od tego drugiego. Aby to zrobić, muszą mieć tę samą normę reakcji. Ponieważ zachowanie systemu jest często ważniejsze niż zmiana (bo brak tej ostatniej grozi stagnacją, a tej pierwszej wyginięciem), podsystemy potomne są nierówne. Podsystem konserwatywny jest ważniejszy i cenniejszy niż operacyjny. Zachowuje pewne cechy i funkcje macierzystego, jednolitego układu, natomiast podsystem operacyjny zyskuje nowe. Aby więc zrozumieć ewolucyjne znaczenie zróżnicowań binarnych, wystarczy zrozumieć jedynie znaczenie podsystemów operacyjnych.

ZAŁĄCZNIK B: KONCEPCJA TEORETYCZNA 1 1 7

W CELU WEJŚCIA NOWYCH INFORMACJI EKOLOGICZNYCH DO PODSYSTEMU DZIAŁANIA, Wariancja FENOTYPOWA

JEGO ELEMENTY POWINNY BYĆ SZEROKIE, A NORMA REAKCJI WIĘŻSZA NIŻ ELEMENTY PODSYSTEMU KONSERWATYWNEGO.

Dla efektywnego przekazywania informacji pomiędzy podsystemami (PO CP) elementy podsystemu operacyjnego muszą posiadać także szerszy „przekrój kanału” komunikacji niż elementy podsystemu zachowawczego.

Asynchroniczna ewolucja podsystemów

Ewolucję systemu (S) determinuje środowisko (E), ES. Przepływ informacji płynących z otoczenia pełni rolę swego rodzaju potencjału ekologicznego, który wymusza na systemie zmianę. Wzrost rozproszenia elementów systemów unitarnych prędzej czy później automatycznie prowadzi do ich zróżnicowania na podsystemy konserwatywne i operacyjne. Jeśli porównamy potencjał środowiska z potencjałem elektrycznym, a układ unitarny z żarówką, to układ binarny to dwie żarówki, które można podłączyć do źródła prądu równolegle lub szeregowo (ryc. B.5). Jest to zasadniczo nowa szansa, której nie miały systemy unitarne.

Ryż. B.5 Synchroniczna ewolucja systemów unitarnych (USA) i binarnych systemów niesprzężonych (BNS)

Analog obwodu równoległego. Asynchroniczna ewolucja binarnych różnic koniugowanych (BCD) jest analogiem schematu sekwencyjnego. Kręcone strzałki wskazują kierunek ewolucji, proste strzałki wskazują przepływ elektronów i informacji (Geodakyan, 2005).

Trzy diagramy-modele trzech głównych metod reprodukcji i asymetrii. Obwód jednej żarówki jest analogiem metody bezpłciowej, obwód równoległy jest metodą hermafrodytyczną, a obwód sekwencyjny jest analogiczny do mózgu dwupiennego (i asymetrycznego).

Powiązane funkcje. Subróżnice. Zasada minimaxu. Zadania z dualnością rzutową Termin 18 kwietnia 2014 (1) Znajdź koniugaty funkcji p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q jest symetryczną dodatnią macierzą d × d, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) δA , gdzie A jest zbiorem w Rd i δA (x) = 0 jeśli x ∈ A, δA (x) = +∞ jeśli x∈ /A (i) hA , gdzie A jest zbiorem w Rd i hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) Udowodnij nierówność p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Kiedy zostaje osiągnięta dokładna równość? Jak działa funkcja koniugująca z funkcją, której wykresem jest wielościan wypukły? Rozważmy zbiór odcinków o długości 1 na R+ ×R+ z końcami na liniach współrzędnych. Udowodnić, że asteroida jest obwiednią tego zbioru. Która funkcja jest koniugatem funkcji, której wykresem jest asroida? Niech f będzie funkcją niewypukłą. Opisz jego drugi koniugat. Niech f, f ∗ będą gładkimi funkcjami wypukłymi i w każdym punkcie macierze drugich pochodnych (Hesjanów) D2 f, D2 f ∗ nie są zdegenerowane. Udowodnić, że dla dowolnego x zachodzi relacja D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I, gdzie I jest macierzą jednostkową. (7) Znajdź rozwiązanie ogólne poniższego równania różniczkowego f 00 = (f − xf 0)2. (8) Oblicz podróżniczkę funkcji wypukłej w punkcie zero (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | (c) max1≤i≤d |xi | (9) Udowodnij, że x0 jest punktem minimalnym funkcji wypukłej f wtedy i tylko wtedy, gdy 0 ∈ ∂f (x0). (10) Znajdź minimum funkcji (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) Udowodnij relacja (f ⊕ g)∗ = fa ∗ + g ∗ , 1 gdzie f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Udowodnić (bez stosowania zasady minimax), że maksimum w zadaniu programowania liniowego nie przekracza minimum w zadaniu dualnym. (13) Sformułuj problem dualny do programowania liniowego i rozwiąż go. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Problemy dualności projekcyjnej Definicja. Podwójna płaszczyzna rzutowa RP2∗ jest przestrzenią linii na płaszczyźnie rzutowej RP2. 14) Udowodnić, że podwójna płaszczyzna rzutowa ma naturalną strukturę płaszczyzny rzutowej, w której linia jest rodziną linii w RP2 przechodzących przez dany punkt. (W szczególności odmiany RP2 i RP2∗ są dyfeomorficzne.) 15) Rozważmy dowolne dwie różne linie a, b ⊂ RP2, oznaczmy O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. Na każdej linii znajduje się naturalna rzeczywista współrzędna afiniczna, jednoznacznie zdefiniowana aż do złożenia z transformacją afiniczną: a, b " R. Dla dowolnego x ∈ a i y ∈ b niech l(x, y) będzie linią przechodzącą przez x oraz y. Udowodnić, że odwzorowanie a × b → RP2∗ , (x, y) 7 → l(x, y) jest odwzorowaniem afinicznym. Definicja Niech γ ⊂ RP2 będzie krzywą gładką będącą rodziną linii stycznych do γ. 16) Udowodnić, że γ ∗∗ = γ. 17) Niech f (x) będzie funkcją gładką ściśle wypukłą, a f ∗ (x∗) jej sprzężeniem Γ(f ∗) w odpowiednich płaszczyznach afinicznych (x, y ) i (x∗, y ∗) (dokładniej skończone części wykresów, w których wartości funkcji są skończone). Udowodnić, że krzywa Γ(f ∗) przekształca się poprzez transformację afiniczną w krzywą dualną do Γ(f). Wskazówka: wykorzystaj wynik zadania 2). 18) Udowodnić, że krzywa dualna do stożka gładkiego (krzywa drugiego rzędu, której nie można sprowadzić do pary prostych) jest również stożkiem gładkim. 19) Podaj definicję podwójnej prostej łamanej (dual wielokąta) i rozwiąż analogie zadań 3) i 4) dla prostej łamanej γ i odcinkowej funkcji afinicznej f (wykres – linia przerywana). 2