Dom Zabieg dentystyczny Wykres online do obliczania objętości ciała wirującego. Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót

Zabieg dentystyczny

Wykres online do obliczania objętości ciała wirującego. Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót

Temat: „Obliczanie objętości ciał obrotowych za pomocą określona całka»

Typ lekcji:łączny.

Cel lekcji: nauczyć się obliczać objętości ciał obrotowych za pomocą całek.

Zadania:

utrwalić umiejętność identyfikacji zakrzywionych trapezów z serii figury geometryczne i ćwiczyć umiejętność obliczania pól trapezów krzywoliniowych;

zapoznać się z koncepcją figury trójwymiarowej;

nauczyć się obliczać objętości ciał wirujących;

promować rozwój logiczne myślenie, kompetentna mowa matematyczna, dokładność przy konstruowaniu rysunków;

kultywowanie zainteresowania przedmiotem, operacją pojęciami i obrazami matematycznymi, kultywowanie woli, samodzielności i wytrwałości w osiągnięciu końcowego rezultatu.

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Pozdrowienia od grupy. Przekaż uczniom cele lekcji.

Dzisiejszą lekcję chciałbym rozpocząć od przypowieści. „Dawno, dawno temu żył mądry człowiek, który wiedział wszystko. Pewien człowiek chciał udowodnić, że mędrzec nie wie wszystkiego. Trzymając w rękach motyla, zapytał: „Powiedz mi, mędrcze, który motyl jest w moich rękach: żywy czy martwy?” I myśli: „Jeśli Żywa powie, zabiję ją, jeśli umarła powie, wypuszczę ją”. Mędrzec po namyśle odpowiedział: „Wszystko w twoich rękach”.

Dlatego dziś pracujmy owocnie, zdobywajmy nowy zasób wiedzy, a zdobyte umiejętności i zdolności wykorzystamy w przyszłym życiu i w działaniach praktycznych. „Wszystko jest w Twoich rękach”.

II. Powtórzenie wcześniej przestudiowanego materiału.

Pamiętajmy o głównych punktach wcześniej przestudiowanego materiału. Aby to zrobić, wykonajmy zadanie „Wyklucz zbędne słowo”.

(Uczniowie mówią dodatkowe słowo.)

Prawidłowy "Mechanizm różnicowy". Spróbuj nazwać pozostałe słowa jednym wspólnym słowem. (Rachunek całkowy.)

Przypomnijmy sobie główne etapy i pojęcia związane z rachunkiem całkowym.

Ćwiczenia. Odzyskaj luki. (Uczeń wychodzi i pisze markerem wymagane słowa.)

Pracuj w notatnikach.

Wzór Newtona-Leibniza został wyprowadzony przez angielskiego fizyka Izaaka Newtona (1643-1727) i niemieckiego filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716). I nie jest to zaskakujące, ponieważ matematyka jest językiem, którym mówi sama natura.

Zastanówmy się, jak ta formuła jest wykorzystywana do rozwiązywania praktycznych problemów.

Przykład 1: Oblicz pole figury ograniczone liniami

Rozwiązanie: Skonstruujmy wykresy funkcji na płaszczyźnie współrzędnych . Wybierzmy obszar figury, który należy znaleźć.

III. Nauka nowego materiału.

Zwróć uwagę na ekran. Co jest pokazane na pierwszym obrazku? (Rysunek przedstawia płaską figurę.)

Co jest pokazane na drugim obrazku? Czy ta figura jest płaska? (Rysunek przedstawia figurę trójwymiarową.)

W kosmosie, na ziemi i w Życie codzienne Spotykamy nie tylko figury płaskie, ale także trójwymiarowe, ale jak obliczyć objętość takich ciał? Na przykład: objętość planety, komety, meteorytu itp.

Ludzie myślą o objętości zarówno podczas budowy domów, jak i podczas przelewania wody z jednego naczynia do drugiego. Musiały się wyłonić zasady i techniki obliczania objętości; to, jak dokładne i uzasadnione były, to inna sprawa.

Rok 1612 był bardzo owocny dla mieszkańców austriackiego miasta Linz, gdzie mieszkał słynny astronom Johannes Kepler, zwłaszcza dla winogron. Ludzie przygotowywali beczki z winem i chcieli wiedzieć, jak w praktyce określić ich objętość.

Tym samym rozważane prace Keplera zapoczątkowały cały nurt badań, którego kulminacja przypada na ostatnią ćwierć XVII wieku. projekt w pracach I. Newtona i G.V. Leibniz rachunku różniczkowego i całkowego. Od tego czasu matematyka zmiennych zajęła wiodące miejsce w systemie wiedzy matematycznej.

Dzisiaj ty i ja będziemy angażować się w takie praktyczne działania, dlatego

Temat naszej lekcji: „Obliczanie objętości ciał wirujących za pomocą całki oznaczonej”.

W praktyce poznasz definicję ciała rewolucyjnego następne zadanie.

"Labirynt".

Ćwiczenia. Znajdź wyjście z tej zagmatwanej sytuacji i zapisz definicję.

IVObliczanie objętości.

Za pomocą całki oznaczonej można obliczyć objętość konkretnego ciała, w szczególności ciała obrotowego.

Ciało obrotowe to bryła uzyskana poprzez obrót zakrzywionego trapezu wokół jego podstawy (ryc. 1, 2)

Objętość ciała obrotowego oblicza się za pomocą jednego ze wzorów:

1. wokół osi OX.

2. , jeśli obrót zakrzywionego trapezu wokół osi wzmacniacza operacyjnego.

Uczniowie zapisują w zeszycie podstawowe formuły.

Nauczyciel wyjaśnia rozwiązania przykładów na tablicy.

1. Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi rzędnych krzywoliniowego trapezu ograniczonego liniami: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Rozwiązanie.

Odpowiedź: 1163 cm3.

2. Znajdź objętość ciała uzyskaną poprzez obrót trapezu parabolicznego wokół osi x y = , x = 4, y = 0.

Rozwiązanie.

V. Symulator matematyki.

2. Nazywa się zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji

A) Całka nieoznaczona,

B) funkcja,

B) różnicowanie.

7. Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych krzywoliniowego trapezu ograniczonego liniami:

D/Z. Konsolidacja nowego materiału

Oblicz objętość ciała, utworzone przez obrót płatek wokół osi x y = x2, y2 = x.

Zbudujmy wykresy funkcji. y = x2, y2 = x. Przekształćmy wykres y2 = x do postaci y = .

Mamy V = V1 - V2 Obliczmy objętość każdej funkcji:

Wniosek:

Całka oznaczona jest pewną podstawą studiowania matematyki, która wnosi niezastąpiony wkład w rozwiązywanie problemów praktycznych.

Temat „Integralność” wyraźnie ukazuje związek matematyki z fizyką, biologią, ekonomią i technologią.

Rozwój nowoczesna nauka jest nie do pomyślenia bez użycia całki. W związku z tym konieczne jest rozpoczęcie badania w ramach średniej Specjalna edukacja!

VI. Cieniowanie.(Z komentarzem.)

Świetny homar Khayyam - matematyk, poeta, filozof. Zachęca nas, abyśmy byli panami własnego losu. Posłuchajmy fragmentu jego twórczości:

Mówisz, że to życie to jedna chwila.
Doceniaj to, czerp z tego inspirację.
Jak je wydasz, tak minie.
Nie zapomnij: ona jest twoim dziełem.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego za pomocą całki oznaczonej?

Oprócz znajdowanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej najważniejszym zastosowaniem tematu jest obliczanie objętości ciała wirującego. Materiał jest prosty, ale czytelnik musi być przygotowany: musisz umieć rozwiązać Całki nieoznaczone średniej złożoności i zastosować wzór Newtona-Leibniza w określona całka . Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, potrzebujesz pewnych umiejętności rysowania - to prawie najważniejsza rzecz (ponieważ same całki często będą łatwe). Za pomocą materiału metodologicznego możesz opanować kompetentne i szybkie techniki tworzenia wykresów . Ale tak naprawdę o znaczeniu rysunków mówiłem już kilka razy na zajęciach. .

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele interesujących zastosowań rachunku całkowego; za pomocą całki oznaczonej można obliczyć pole figury, objętość ciała obrotowego, długość łuku, pole powierzchni ciało i wiele więcej. Będzie więc zabawnie, bądź optymistą!

Wyobraź sobie kilka płaska figura na płaszczyźnie współrzędnych. Wprowadzony? ...ciekawe kto co przedstawił... =))) Już znaleźliśmy jego teren. Ale dodatkowo figurę tę można również obracać i obracać na dwa sposoby:

– wokół osi x; – wokół osi rzędnych.

W tym artykule omówimy oba przypadki. Szczególnie interesująca jest druga metoda rotacji, która sprawia najwięcej trudności, ale w zasadzie rozwiązanie jest prawie takie samo, jak w przypadku bardziej powszechnego rotacji wokół osi x. Jako bonus wrócę do problem znalezienia obszaru figury , a powiem ci, jak znaleźć obszar w drugi sposób - wzdłuż osi. To nie tyle bonus, ile materiał dobrze wpasowany w temat.

Zacznijmy od najpopularniejszego rodzaju rotacji.

Przykład 1

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót figury ograniczonej liniami wokół osi.

Rozwiązanie: Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, rozwiązanie zaczyna się od rysunku płaskiej figury. Oznacza to, że na płaszczyźnie konieczne jest skonstruowanie figury ograniczonej liniami i nie zapominaj, że równanie określa oś. Jak sprawniej i szybciej wykonać rysunek dowiesz się na stronach Wykresy i własności funkcji elementarnych I Określona całka. Jak obliczyć pole figury . To chińskie przypomnienie i w tym miejscu nie będę się dalej rozwodzić.

Rysunek tutaj jest dość prosty:

Pożądana płaska figura jest zacieniona na niebiesko, to ta, która obraca się wokół osi. W wyniku obrotu powstaje lekko owalny latający spodek, który jest symetryczny względem osi. W rzeczywistości ciało ma matematyczną nazwę, ale jestem zbyt leniwy, aby zajrzeć do podręcznika, więc idziemy dalej.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego?

Objętość ciała obrotowego można obliczyć ze wzoru:

We wzorze liczba musi występować przed całką. I tak się stało – wszystko, co kręci się w życiu, jest związane z tą stałą.

Myślę, że łatwo zgadnąć, jak wyznaczyć granice całkowania „a” i „być” na podstawie gotowego rysunku.

Funkcja... co to za funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona wykresem paraboli u góry. Jest to funkcja zawarta we wzorze.

W zadania praktyczne płaska figura może czasami znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia – funkcja we wzorze jest podniesiona do kwadratu: zatem objętość ciała obrotowego jest zawsze nieujemna, co jest bardzo logiczne.

Obliczmy objętość ciała wirującego, korzystając ze wzoru:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiedź:

W swojej odpowiedzi musisz podać wymiar - jednostki sześcienne. Oznacza to, że w naszym ciele rotacyjnym znajduje się około 3,35 „kostek”. Dlaczego sześcienny jednostki? Ponieważ najbardziej uniwersalny preparat. Mogą to być centymetry sześcienne, mogą to być metry sześcienne, mogą być kilometry sześcienne itd. – tyle zielonych ludzików może pomieścić twoja wyobraźnia w latającym spodku.

Przykład 2

Znajdź objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi figury ograniczonej liniami,

To jest przykład dla niezależna decyzja. Kompletne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy dwa bardziej złożone problemy, które również często spotyka się w praktyce.

Przykład 3

Oblicz objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi odciętych figury ograniczonej liniami , oraz

Rozwiązanie: Przedstawmy na rysunku płaską figurę ograniczoną liniami ,,,, nie zapominając, że równanie definiuje oś:

Pożądana liczba jest zacieniowana na niebiesko. Kiedy obraca się wokół własnej osi, okazuje się, że jest to surrealistyczny pączek z czterema narożnikami.

Obliczmy objętość ciała obrotowego jako różnica objętości ciał.

Najpierw spójrzmy na figurę zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka przez.

Rozważmy figurę zakreśloną w kółku zielony. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez.

I oczywiście różnica objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Aby znaleźć objętość ciała wirującego, używamy standardowego wzoru:

1) Figura zakreślona na czerwono jest ograniczona od góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona u góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego ciała obrotowego:

Odpowiedź:

Ciekawe, że w w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić korzystając ze szkolnego wzoru na obliczenie objętości ściętego stożka.

Sama decyzja jest często zapisywana krócej, mniej więcej tak:

Teraz odpocznijmy trochę i opowiedzmy o iluzjach geometrycznych.

Często ludzie mają złudzenia związane z tomami, co zauważył w książce Perelman (nie ten). Zabawna geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym problemie - wydaje się, że ma niewielką powierzchnię, a objętość korpusu obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Swoją drogą, przeciętny człowiek przez całe życie wypija równowartość pokoju 18 metrów kwadratowych płynu, co wręcz przeciwnie wydaje się zbyt małą objętością.

Ogólnie rzecz biorąc, system edukacji w ZSRR był naprawdę najlepszy. Ta sama książka Perelmana, napisana przez niego w 1950 roku, bardzo dobrze rozwija, jak stwierdził humorysta, myślenie i uczy poszukiwania oryginalnych, niestandardowych rozwiązań problemów. Niedawno z dużym zainteresowaniem przeczytałem ponownie niektóre rozdziały, polecam, są przystępne nawet dla humanistów. Nie, nie musisz się uśmiechać, że zaoferowałem wolny czas, erudycja i szerokie horyzonty w komunikacji to świetna rzecz.

Po lirycznej dygresji wypada rozwiązać zadanie twórcze:

Przykład 4

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami, gdzie, gdzie.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Proszę zwrócić uwagę, że w paśmie wszystko się dzieje, czyli podane są praktycznie gotowe granice integracji. Spróbuj także poprawnie narysować wykresy. funkcje trygonometryczne, jeśli argument zostanie podzielony przez dwa:, wówczas wykresy zostaną dwukrotnie rozciągnięte wzdłuż osi. Spróbuj znaleźć co najmniej 3-4 punkty zgodnie z tabelami trygonometrycznymi i dokładniej uzupełnij rysunek. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót płaskiej figury wokół osi

Drugi akapit będzie jeszcze bardziej interesujący niż pierwszy. Zadanie obliczenia objętości ciała obrotowego wokół osi rzędnych jest również dość częstym gościem w pracach testowych. Po drodze zostanie to rozważone problem znalezienia obszaru figury druga metoda to integracja wzdłuż osi, pozwoli Ci to nie tylko udoskonalić swoje umiejętności, ale także nauczy Cię znajdować najbardziej opłacalną ścieżkę rozwiązania. Jest w tym także praktyczny sens życia! Jak z uśmiechem wspominała moja nauczycielka od metod nauczania matematyki, wielu absolwentów dziękowało jej słowami: „Twój przedmiot bardzo nam pomógł, teraz jesteśmy skutecznymi menadżerami i optymalnie zarządzamy kadrą”. Korzystając z okazji, również jej wyrażam ogromną wdzięczność, zwłaszcza, że zdobytą wiedzę wykorzystuję zgodnie z jej przeznaczeniem=).

Przykład 5

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami ,,.

1) Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami. 2) Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz przeczytać tylko drugi punkt, najpierw Koniecznie przeczytaj pierwszy!

Rozwiązanie: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od kwadratu.

1) Zróbmy rysunek:

Łatwo zauważyć, że funkcja określa górną gałąź paraboli, a funkcja określa dolną gałąź paraboli. Przed nami trywialna parabola, która „leży na boku”.

Pożądana figura, której obszar należy znaleźć, jest zacieniona na niebiesko.

Jak znaleźć obszar figury? Można go znaleźć w „zwykły” sposób, który był omawiany na zajęciach Określona całka. Jak obliczyć pole figury . Ponadto obszar figury oblicza się jako sumę obszarów: – na segmencie ; - na odcinku.

Dlatego:

Dlaczego w tym przypadku zwykłe rozwiązanie jest złe? Po pierwsze, otrzymaliśmy dwie całki. Po drugie, całki są pierwiastkami, a pierwiastki w całkach nie są darem, a poza tym można się pomylić podstawiając granice całkowania. Tak naprawdę całki oczywiście nie są zabójcze, ale w praktyce wszystko może być znacznie smutniejsze, po prostu wybrałem „lepsze” funkcje do problemu.

Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie: polega ono na przejściu na funkcje odwrotne i całkowaniu wzdłuż osi.

Jak dostać się do funkcji odwrotnych? Z grubsza rzecz biorąc, musisz wyrazić „x” do „y”. Najpierw spójrzmy na parabolę:

To wystarczy, ale upewnijmy się, że tę samą funkcję można wyprowadzić z dolnej gałęzi:

Łatwiej jest z linią prostą:

Teraz spójrz na oś: podczas wyjaśniania okresowo przechyl głowę w prawo o 90 stopni (to nie jest żart!). Potrzebna nam liczba leży na segmencie oznaczonym czerwoną przerywaną linią. Co więcej, na odcinku linia prosta znajduje się nad parabolą, co oznacza, że pole figury należy obliczyć za pomocą znanego już wzoru: . Co zmieniło się w formule? Tylko list i nic więcej.

! Uwaga: Należy ustawić granice całkowania wzdłuż osiściśle od dołu do góry !

Znalezienie obszaru:

Zatem w segmencie:

Proszę zwrócić uwagę jak przeprowadziłem integrację, jest to najbardziej racjonalny sposób, a w kolejnym akapicie zadania będzie jasne dlaczego.

Dla czytelników wątpiących w poprawność całkowania znajdę pochodne:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że całkowanie zostało wykonane poprawnie.

Odpowiedź:

2) Obliczmy objętość ciała utworzonego przez obrót tej figury wokół osi.

Przerysuję rysunek w nieco innym stylu:

Zatem postać zacieniowana na niebiesko obraca się wokół osi. Rezultatem jest „unoszący się motyl”, który obraca się wokół własnej osi.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, całkujemy wzdłuż osi. Najpierw musimy przejść do funkcji odwrotnych. Zostało to już zrobione i szczegółowo opisane w poprzednim akapicie.

Teraz ponownie przechylamy głowę w prawo i przyglądamy się naszej sylwetce. Oczywiście objętość ciała wirującego należy obliczyć jako różnicę objętości.

Obracamy figurę zakreśloną na czerwono wokół osi, tworząc ścięty stożek. Oznaczmy tę objętość przez.

Obracamy figurę zakreśloną na zielono wokół osi i oznaczamy objętość powstałego ciała obrotowego.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy objętości.

Korzystamy ze wzoru na obliczenie objętości ciała obrotowego:

Jaka jest różnica w stosunku do wzoru z poprzedniego akapitu? Tylko w piśmie.

Ale zaletę integracji, o której ostatnio mówiłem, jest dużo łatwiej znaleźć , zamiast najpierw podnosić całkę do potęgi czwartej.

Jak obliczyć objętość ciała wirującego
używając całki oznaczonej?

Ogólnie rzecz biorąc, istnieje wiele interesujących zastosowań rachunku całkowego; za pomocą całki oznaczonej można obliczyć pole figury, objętość ciała obrotowego, długość łuku, pole powierzchni rotacja i wiele więcej. Będzie więc zabawnie, bądź optymistą!

Wyobraź sobie płaską figurę na płaszczyźnie współrzędnych. Wprowadzony? ...ciekawe kto co przedstawił... =))) Już znaleźliśmy jego teren. Ale dodatkowo figurę tę można również obracać i obracać na dwa sposoby:

- wokół osi odciętej;
- wokół osi rzędnych.

W tym artykule omówimy oba przypadki. Szczególnie interesująca jest druga metoda rotacji, która sprawia najwięcej trudności, ale w zasadzie rozwiązanie jest prawie takie samo, jak w przypadku bardziej powszechnego rotacji wokół osi x. Jako bonus wrócę do problem znalezienia obszaru figury, a powiem ci, jak znaleźć obszar w drugi sposób - wzdłuż osi. To nie tyle bonus, ile materiał dobrze wpasowany w temat.

Zacznijmy od najpopularniejszego rodzaju rotacji.

płaska figura wokół osi

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót figury ograniczonej liniami wokół osi.

Rozwiązanie: Podobnie jak w przypadku problemu znalezienia obszaru, rozwiązanie zaczyna się od rysunku płaskiej figury. Oznacza to, że na płaszczyźnie konieczne jest skonstruowanie figury ograniczonej liniami i nie zapominaj, że równanie określa oś. Jak sprawniej i szybciej wykonać rysunek dowiesz się na stronach Wykresy i własności funkcji elementarnych I . To chińskie przypomnienie i tak dalej w tym momencie Już nie przestaję.

Rysunek tutaj jest dość prosty:

Pożądana płaska figura jest zacieniowana na niebiesko, to ta, która obraca się wokół osi.W wyniku obrotu powstaje lekko owalny latający spodek, symetryczny względem osi. W rzeczywistości ciało ma matematyczną nazwę, ale jestem zbyt leniwy, aby wyjaśnić cokolwiek w podręczniku, więc idziemy dalej.

Jak obliczyć objętość ciała obrotowego?

Objętość ciała obrotowego można obliczyć ze wzoru:

We wzorze liczba musi występować przed całką. I tak się stało – wszystko, co kręci się w życiu, jest związane z tą stałą.

Myślę, że łatwo zgadnąć, jak wyznaczyć granice całkowania „a” i „być” na podstawie gotowego rysunku.

Funkcja... co to za funkcja? Spójrzmy na rysunek. Płaska figura jest ograniczona u góry wykresem paraboli. Jest to funkcja zawarta we wzorze.

W zadaniach praktycznych płaska figura może czasami znajdować się poniżej osi. To niczego nie zmienia – całkę we wzorze podnosi się do kwadratu: , zatem całka jest zawsze nieujemna, co jest bardzo logiczne.

Obliczmy objętość ciała wirującego, korzystając ze wzoru:

Jak już zauważyłem, całka prawie zawsze okazuje się prosta, najważniejsze jest zachowanie ostrożności.

Odpowiedź:

Znajdź objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi figury ograniczonej liniami , ,

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Rozważmy dwa bardziej złożone problemy, które również często spotyka się w praktyce.

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osi odciętej figury ograniczonej liniami , i

Rozwiązanie: Przedstawmy na rysunku figurę płaską ograniczoną liniami , , , , nie zapominając, że równanie definiuje oś:

Pożądana liczba jest zacieniowana na niebiesko. Kiedy obraca się wokół własnej osi, okazuje się, że jest to surrealistyczny pączek z czterema narożnikami.

Obliczmy objętość ciała obrotowego jako różnica objętości ciał.

Najpierw spójrzmy na figurę zakreśloną na czerwono. Kiedy obraca się wokół osi, uzyskuje się ścięty stożek. Oznaczmy objętość tego ściętego stożka przez .

Rozważmy figurę zakreśloną na zielono. Jeśli obrócisz tę figurę wokół osi, otrzymasz również ścięty stożek, tylko trochę mniejszy. Oznaczmy jego objętość przez .

I oczywiście różnica objętości to dokładnie objętość naszego „pączka”.

Aby znaleźć objętość ciała wirującego, używamy standardowego wzoru:

1) Figura zakreślona na czerwono jest ograniczona od góry linią prostą, zatem:

2) Figura zakreślona na zielono jest ograniczona u góry linią prostą, zatem:

3) Objętość pożądanego ciała obrotowego:

Odpowiedź:

Co ciekawe, w tym przypadku rozwiązanie można sprawdzić, korzystając ze szkolnego wzoru na obliczenie objętości ściętego stożka.

Sama decyzja jest często zapisywana krócej, mniej więcej tak:

Teraz odpocznijmy trochę i opowiedzmy o iluzjach geometrycznych.

Często ludzie mają złudzenia związane z tomami, co zauważył w książce Perelman (inny). Zabawna geometria. Spójrz na płaską figurę w rozwiązanym problemie - wydaje się, że ma niewielką powierzchnię, a objętość korpusu obrotowego wynosi nieco ponad 50 jednostek sześciennych, co wydaje się zbyt duże. Swoją drogą, przeciętny człowiek przez całe życie wypija równowartość pokoju 18 metrów kwadratowych płynu, co wręcz przeciwnie wydaje się zbyt małą objętością.

Po lirycznej dygresji wypada rozwiązać zadanie twórcze:

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi płaskiej figury ograniczonej liniami , , gdzie .

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Należy pamiętać, że wszystkie przypadki występują w paśmie, czyli tak naprawdę dane są gotowe granice całkowania. Narysuj poprawnie wykresy funkcji trygonometrycznych, przypomnę materiał lekcyjny na temat przekształcenia geometryczne grafów: jeśli argument zostanie podzielony przez dwa: , wówczas wykresy zostaną dwukrotnie rozciągnięte wzdłuż osi. Wskazane jest znalezienie co najmniej 3-4 punktów zgodnie z tabelami trygonometrycznymi aby dokładniej zakończyć rysunek. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Nawiasem mówiąc, zadanie można rozwiązać racjonalnie i niezbyt racjonalnie.

Obliczanie objętości ciała utworzonego przez obrót
płaska figura wokół osi

Drugi akapit będzie jeszcze bardziej interesujący niż pierwszy. Zadanie obliczenia objętości ciała obrotowego wokół osi rzędnych jest również dość częstym gościem testy. Po drodze zostanie to rozważone problem znalezienia obszaru figury druga metoda to integracja wzdłuż osi, pozwoli Ci to nie tylko udoskonalić swoje umiejętności, ale także nauczy Cię znajdować najbardziej opłacalną ścieżkę rozwiązania. Jest w tym także praktyczny sens życia! Jak z uśmiechem wspominała moja nauczycielka od metod nauczania matematyki, wielu absolwentów dziękowało jej słowami: „Twój przedmiot bardzo nam pomógł, teraz jesteśmy skutecznymi menadżerami i optymalnie zarządzamy kadrą”. Korzystając z okazji, również jej wyrażam ogromną wdzięczność, zwłaszcza, że zdobytą wiedzę wykorzystuję zgodnie z jej przeznaczeniem=).

Polecam każdemu, nawet kompletnym manekinom. Co więcej, materiał zdobyty w drugim akapicie będzie nieocenioną pomocą w obliczaniu całek podwójnych.

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami , , .

1) Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony tymi liniami.
2) Znajdź objętość ciała uzyskaną przez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

Uwaga! Nawet jeśli chcesz przeczytać tylko drugi punkt, koniecznie przeczytaj najpierw pierwszy!

Rozwiązanie: Zadanie składa się z dwóch części. Zacznijmy od kwadratu.

1) Zróbmy rysunek:

Łatwo zauważyć, że funkcja określa górną gałąź paraboli, a funkcja określa dolną gałąź paraboli. Przed nami trywialna parabola, która „leży na boku”.

Pożądana figura, której obszar należy znaleźć, jest zacieniona na niebiesko.

Jak znaleźć obszar figury? Można go znaleźć w „zwykły” sposób, który był omawiany na zajęciach Określona całka. Jak obliczyć pole figury. Ponadto obszar figury jest sumą obszarów:
- na odcinku ;
- na odcinku.

Dlatego:

Dlaczego w tym przypadku zwykłe rozwiązanie jest złe? Po pierwsze, otrzymaliśmy dwie całki. Po drugie, pod całkami są pierwiastki, a pierwiastki w całkach nie są darem, a poza tym można się pomylić przy podstawieniu granic całkowania. Tak naprawdę całki oczywiście nie są zabójcze, ale w praktyce wszystko może być znacznie smutniejsze, po prostu wybrałem „lepsze” funkcje do problemu.

Istnieje bardziej racjonalne rozwiązanie: polega ono na przejściu na funkcje odwrotne i całkowaniu wzdłuż osi.

Jak dostać się do funkcji odwrotnych? Z grubsza rzecz biorąc, musisz wyrazić „x” do „y”. Najpierw spójrzmy na parabolę:

To wystarczy, ale upewnijmy się, że tę samą funkcję można wyprowadzić z dolnej gałęzi:

Łatwiej jest z linią prostą:

Teraz spójrz na oś: podczas wyjaśniania okresowo przechyl głowę w prawo o 90 stopni (to nie jest żart!). Potrzebna nam liczba leży na segmencie oznaczonym czerwoną przerywaną linią. W tym przypadku na odcinku linia prosta znajduje się nad parabolą, co oznacza, że pole figury należy znaleźć za pomocą znanego już wzoru: . Co zmieniło się w formule? Tylko list i nic więcej.

! Notatka: Należy wyznaczyć granice całkowania wzdłuż osi ściśle od dołu do góry!

Znalezienie obszaru:

Zatem w segmencie:

Proszę zwrócić uwagę jak przeprowadziłem integrację, jest to najbardziej racjonalny sposób, a w kolejnym akapicie zadania będzie jasne dlaczego.

Dla czytelników wątpiących w poprawność całkowania znajdę pochodne:

Otrzymano pierwotną funkcję całki, co oznacza, że całkowanie zostało wykonane poprawnie.

Odpowiedź:

2) Obliczmy objętość ciała utworzonego przez obrót tej figury wokół osi.

Przerysuję rysunek w nieco innym stylu:

Zatem postać zacieniowana na niebiesko obraca się wokół osi. Rezultatem jest „unoszący się motyl”, który obraca się wokół własnej osi.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego, całkujemy wzdłuż osi. Najpierw musimy przejść do funkcji odwrotnych. Zostało to już zrobione i szczegółowo opisane w poprzednim akapicie.

Teraz ponownie przechylamy głowę w prawo i przyglądamy się naszej sylwetce. Oczywiście objętość ciała wirującego należy obliczyć jako różnicę objętości.

Obracamy figurę zakreśloną na czerwono wokół osi, tworząc ścięty stożek. Oznaczmy tę objętość przez .

Obracamy figurę zakreśloną na zielono wokół osi i oznaczamy ją objętością powstałego ciała obrotowego.

Objętość naszego motyla jest równa różnicy objętości.

Korzystamy ze wzoru na obliczenie objętości ciała obrotowego:

Jaka jest różnica w stosunku do wzoru z poprzedniego akapitu? Tylko w piśmie.

Ale zaletę integracji, o której ostatnio mówiłem, jest dużo łatwiej znaleźć , zamiast najpierw podnosić całkę do potęgi czwartej.

Odpowiedź:

Zauważ, że jeśli tę samą płaską figurę obrócisz wokół osi, otrzymasz zupełnie inny korpus obrotowy, oczywiście o innej objętości.

Biorąc pod uwagę płaską figurę ograniczoną liniami i osią.

1) Przejdź do funkcji odwrotnych i znajdź obszar figury płaskiej ograniczony tymi liniami, całkując po zmiennej.
2) Oblicz objętość ciała uzyskaną poprzez obrót płaskiej figury ograniczonej tymi liniami wokół osi.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Zainteresowani mogą również znaleźć pole figury w „zwykły” sposób, sprawdzając w ten sposób punkt 1). Ale jeśli, powtarzam, obrócisz płaską figurę wokół osi, nawiasem mówiąc, otrzymasz zupełnie inny korpus obrotowy o innej objętości, poprawną odpowiedź (także dla tych, którzy lubią rozwiązywać problemy).

Pełne rozwiązanie dwóch proponowanych punktów zadania znajduje się na końcu lekcji.

Tak i nie zapomnij przechylić głowy w prawo, aby zrozumieć ciała obrotowe i granice integracji!

Już miałem kończyć artykuł, ale dzisiaj przynieśli ciekawy przykład dotyczący wyznaczania objętości ciała obrotowego wokół osi rzędnych. Świeży:

Oblicz objętość ciała utworzonego przez obrót wokół osi figury ograniczonej krzywymi i .

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Po drodze zapoznajemy się z wykresami kilku innych funkcji. To ciekawy wykres nawet funkcjonować ….

Niech T będzie ciałem obrotowym utworzonym przez obrót wokół osi odciętej trapezu krzywoliniowego znajdującego się w górnej półpłaszczyźnie oraz ograniczona oś odcięta, linie proste x=a i x=b oraz wykres funkcja ciągła y=f(x) .

Udowodnijmy, że tak jest ciało obrotowe jest sześcienne, a jego objętość wyraża się wzorem

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Najpierw udowodnimy, że to ciało obrotowe jest regularne, jeśli wybierzemy płaszczyznę Oyz prostopadłą do osi obrotu jako \Pi. Należy zauważyć, że odcinek znajdujący się w odległości x od płaszczyzny Oyz jest kołem o promieniu f(x), a jego pole S(x) jest równe \pi f^2(x) (rys. 46). Zatem funkcja S(x) jest ciągła ze względu na ciągłość f(x). Dalej, jeśli S(x_1)\leqslant S(x_2), to oznacza to . Ale rzutami odcinków na płaszczyznę Oyz są okręgi o promieniach f(x_1) i f(x_2) ze środkiem O, a od f(x_1)\leqslant f(x_2) wynika z tego, że okrąg o promieniu f(x_1) zawiera się w okręgu o promieniu f(x_2).

Zatem ciało rewolucji jest regularne. Dlatego jest on sześcienny, a jego objętość obliczana jest według wzoru

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Jeżeli trapez krzywoliniowy ograniczony jest zarówno od dołu, jak i od góry, przez krzywe y_1=f_1(x), y_2=f_2(x), to

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Ze wzoru (3) można także obliczyć objętość ciała obrotowego w przypadku, gdy podana jest granica obracającej się figury równania parametryczne. W tym przypadku należy zastosować zmianę zmiennej pod znakiem całki oznaczonej.

W niektórych przypadkach wygodnie jest rozłożyć ciała obrotowe nie na proste okrągłe cylindry, ale na figury innego typu.

Na przykład znajdźmy objętość ciała uzyskana przez obrót zakrzywionego trapezu wokół osi rzędnych. Najpierw znajdźmy objętość uzyskaną przez obrót prostokąta o wysokości y#, u podstawy którego leży odcinek . Objętość ta jest równa różnicy objętości dwóch prostych okrągłych cylindrów

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ale teraz jest jasne, że wymaganą objętość szacuje się z góry i z dołu w następujący sposób:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Stąd łatwo wynika wzór na objętość ciała obrotowego wokół osi rzędnych:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Przykład 4. Znajdźmy objętość kuli o promieniu R.

Rozwiązanie. Bez utraty ogólności rozważymy okrąg o promieniu R ze środkiem w początku. Ten okrąg, obracający się wokół osi Wołu, tworzy kulę. Równanie okręgu to x^2+y^2=R^2, więc y^2=R^2-x^2. Biorąc pod uwagę symetrię koła względem osi rzędnych, najpierw znajdujemy połowę wymaganej objętości

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Dlatego objętość całej kuli jest równa \frac(4)(3)\pi R^3.

Przykład 5. Oblicz objętość stożka, którego wysokość h i promień podstawy r.

Rozwiązanie. Wybierzmy taki układ współrzędnych, aby oś Wółu pokrywała się z wysokością h (ryc. 47), a jako początek współrzędnych przyjmijmy wierzchołek stożka. Wtedy równanie prostej OA zapiszemy w postaci y=\frac(r)(h)\,x.

Korzystając ze wzoru (3) otrzymujemy:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Przykład 6. Znajdźmy objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi x asteroidy \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(ryc. 48).

Rozwiązanie. Zbudujmy asteroidę. Rozważmy połowę górnej części astroidy, położoną symetrycznie względem osi rzędnych. Korzystając ze wzoru (3) i zmieniając zmienną pod znak całki oznaczonej, znajdujemy granice całkowania dla nowej zmiennej t.

Jeśli x=a\cos^3t=0 , to t=\frac(\pi)(2) , a jeśli x=a\cos^3t=a , to t=0 . Biorąc pod uwagę, że y^2=a^2\sin^6t i dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, otrzymujemy:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Objętość całego ciała utworzona przez obrót asteroidy będzie wynosić \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Przykład 7. Znajdźmy objętość ciała uzyskaną przez obrót wokół osi rzędnych krzywoliniowego trapezu ograniczonego osią x i pierwszym łukiem cykloidy \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, i zamień zmienną pod znakiem całki, biorąc pod uwagę, że pierwszy łuk cykloidy powstaje, gdy zmienna t zmienia się z 0 na 2\pi. Zatem,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\right)= 6\pi^3a^3. \end(wyrównane)

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!

Korzystanie z całek do wyznaczania objętości ciał wirujących

Praktyczna użyteczność matematyki wynika z faktu, że bez

Specyficzna wiedza matematyczna utrudnia zrozumienie zasady działania urządzenia i stosowania nowoczesnych technologii. Każdy człowiek w swoim życiu musi wykonywać dość skomplikowane obliczenia, korzystać z powszechnie używanego sprzętu, znajdować niezbędne wzory w podręcznikach i tworzyć proste algorytmy rozwiązywania problemów. W nowoczesne społeczeństwo wymagających coraz większej liczby specjalności wysoki poziom Edukacja wiąże się z bezpośrednim zastosowaniem matematyki. Tym samym matematyka staje się dla studenta przedmiotem istotnym zawodowo. Wiodącą rolę w kształtowaniu myślenia algorytmicznego pełni matematyka, która rozwija umiejętność działania według zadanego algorytmu i konstruowania nowych algorytmów.

Studiując temat wykorzystania całki do obliczania objętości ciał obrotowych, sugeruję, aby studenci zajęć fakultatywnych rozważyli temat: „Objętości ciał obrotowych za pomocą całek”. Poniżej znajdują się zalecenia metodologiczne dotyczące rozważenia tego tematu:

1. Powierzchnia płaskiej figury.

Z zajęć algebry wiemy, że problemy natury praktycznej doprowadziły do pojęcia całki oznaczonej..gif" szerokość="88" wysokość="51">.jpg" szerokość="526" wysokość="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" szerokość="127" wysokość="25 src=">.

Aby znaleźć objętość ciała obrotowego utworzonego przez obrót krzywoliniowego trapezu wokół osi Wół, ograniczonego linią przerywaną y=f(x), osią Wół, liniami prostymi x=a i x=b, obliczamy za pomocą formuły

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" szerokość="352" wysokość="283 src=">Y

3. Objętość cylindra.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" szerokość="85" wysokość="51">..gif" szerokość="13" wysokość="25">..jpg" szerokość="401" wysokość="355">Stożek uzyskuje się przez obrót trójkąt prostokątny ABC(C=90) wokół osi Wołu, na której leży noga AC.

Odcinek AB leży na prostej y=kx+c, gdzie https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" szerokość="59" wysokość="41 src=">.

Niech a=0, b=H (H to wysokość stożka), następnie Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" szerokość="13" wysokość="23 src= ">.

5.Objętość stożka ściętego.

Ścięty stożek można uzyskać obracając prostokątny trapez ABCD (CDOx) wokół osi Ox.

Odcinek AB leży na prostej y=kx+c, gdzie , c=r.

Ponieważ prosta przechodzi przez punkt A (0;r).

Zatem linia prosta wygląda następująco https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" szerokość="303" wysokość="291 src=">

Niech a=0, b=H (H to wysokość ściętego stożka), następnie https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" szerokość="36" wysokość="17 src ="> = .