Dom Gumy Praca badawcza na temat: „Oznaki podzielności liczb naturalnych. Podzielność liczb naturalnych

Gumy

Praca badawcza na temat: „Oznaki podzielności liczb naturalnych. Podzielność liczb naturalnych

Jak już wspomniano, liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną b, jeśli istnieje liczba naturalna c, która pomnożona przez b daje a:

Słowo „całkowicie” jest zwykle pomijane ze względu na zwięzłość.

Jeśli a jest podzielne przez b, to mówią też, że a jest wielokrotnością b. Na przykład liczba 48 jest wielokrotnością 24.

Twierdzenie 1. Jeśli jeden z czynników jest podzielny przez określoną liczbę, to iloczyn jest również podzielny przez tę liczbę.

Na przykład 15 jest podzielne przez 3, co oznacza, że 15∙11 jest podzielne przez 3, ponieważ 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Argumenty te odnoszą się także do przypadku ogólnego. Niech liczba a będzie podzielna przez c, wówczas istnieje liczba naturalna n taka, że a = n∙c. Rozważmy iloczyn liczby a i dowolnej liczby naturalnej b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Z definicji wynika, że iloczyn a∙b jest również podzielny przez c. co było do okazania

Twierdzenie 2. Jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, a druga jest podzielna przez trzecią, to pierwsza liczba jest podzielna przez trzecią.

Na przykład 777 jest podzielne przez 111, ponieważ 777 = 7∙111, a 111 jest podzielne przez 3, ponieważ 111 = 3∙37. Wynika z tego, że 777 jest podzielne przez 3, gdyż 777 = 3∙(37∙7).

W przypadek ogólny Argumenty te można powtarzać niemal dosłownie. Niech liczba a zostanie podzielona przez liczbę b, a liczba b zostanie podzielona przez liczbę c. Oznacza to, że istnieją liczby naturalne n i m takie, że a = n∙b i b = m∙c. Wtedy liczbę a można przedstawić jako: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Równość a = (n∙m)∙c oznacza, że liczba a jest również podzielna przez c.

Twierdzenie 3. Jeśli każda z dwóch liczb jest podzielna przez określoną liczbę, to ich suma i różnica są podzielne przez tę liczbę.

Na przykład 100 jest podzielne przez 4, ponieważ 100=25∙4; 36 jest również podzielne przez 4, ponieważ 36 = 9∙4. Wynika z tego, że 136 jest podzielne przez 4, ponieważ

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Możemy również stwierdzić, że liczba 64 jest podzielna przez 4, ponieważ

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Udowodnijmy twierdzenie w przypadku ogólnym. Niech każda z liczb a i b będzie podzielna przez liczbę c. Następnie z definicji istnieją liczby naturalne n i m takie, że
a = n∙c i b = m∙c. Rozważmy sumę liczb a i b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Wynika z tego, że a + b jest podzielne przez c.

Podobnie a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Dlatego a – b jest dzielone przez c.

Twierdzenie 4. Jeżeli jedna z dwóch liczb jest podzielna przez pewną liczbę, a druga nie jest przez nią podzielna, to ich suma i różnica nie są podzielne przez tę liczbę.

Na przykład 148 jest podzielne przez 37, ponieważ 148 = 4∙37, a 11 nie jest podzielne przez 37. Oczywiście suma 148 + 11 i różnica 148 – 11 nie są podzielne przez 37, w przeciwnym razie byłoby to sprzeczne z własnością 3 .

Znaki podzielności

Jeśli liczba kończy się na 0, to jest podzielna przez 10.

Na przykład liczba 4560 kończy się liczbą 0, można ją przedstawić jako iloczyn liczby 456∙10, która jest podzielona przez 10 (zgodnie z Twierdzeniem 1).

Liczba 4561 nie jest podzielna przez 10, ponieważ 4561 = 4560+1 jest sumą liczby 4560 podzielnej przez 10 i liczby 1 niepodzielnej przez 10 (zgodnie z Twierdzeniem 4).

Jeśli liczba kończy się jedną z cyfr 0 lub 5, to jest podzielna przez 5.

Na przykład liczba 2300 jest podzielna przez 5, ponieważ liczba ta jest podzielna przez 10, a 10 jest podzielna przez 5 (zgodnie z Twierdzeniem 2).

Liczba 2305 kończy się liczbą 5, jest podzielna przez 5, ponieważ można ją zapisać jako sumę liczb podzielnych przez 5: 2300 + 5 (zgodnie z Twierdzeniem 3).

Liczba 52 nie jest podzielna przez 5, ponieważ 52 = 50 + 2 jest sumą liczby 50 podzielnej przez 5 i liczby 2 niepodzielnej przez 5 (zgodnie z Twierdzeniem 4).

Jeśli liczba kończy się jedną z cyfr 0, 2, 4, 6, 8, to jest podzielna przez 2.

Na przykład liczba 130 kończy się na 0, jest podzielna przez 10, a 10 jest podzielna przez 2, zatem 130 jest podzielne przez 2.

Liczba 136 kończy się liczbą 6, jest podzielna przez 2, ponieważ można ją zapisać jako sumę liczb podzielnych przez 2: 130 + 6 (zgodnie z Twierdzeniem 3).

Liczba 137 nie jest podzielna przez 2, ponieważ 137 = 130 + 7 jest sumą liczby 130 podzielnej przez 2 i liczby 7 niepodzielnej przez 2 (zgodnie z Twierdzeniem 4).

Liczbę podzielną przez 2 nazywamy parzystą.

Liczbę niepodzielną przez 2 nazywamy nieparzystą.

Na przykład liczby 152 i 790 są parzyste, a liczby 111 i 293 są nieparzyste.

Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 9, to sama liczba jest podzielna przez 9..

Na przykład suma cyfr 7 + 2 + 4 + 5 = 18 liczby 7245 jest podzielna przez 9. Liczba 7245 jest podzielna przez 9, ponieważ można ją przedstawić jako sumę 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), gdzie suma w pierwszym nawiasie jest podzielna przez 9, a w drugim nawiasie - suma cyfr danej liczby - jest również dzielona przez 9 ( zgodnie z Twierdzeniem 3).

Liczba 375 nie jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr 3 + 7 + 5=15 nie jest podzielna przez 9. Można to udowodnić w następujący sposób: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+) 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), gdzie suma w pierwszym nawiasie jest podzielna przez 9, a w drugim nawiasie - suma cyfr liczby 375 - jest niepodzielna o 9 (zgodnie z Twierdzeniem 4).

Jeśli suma cyfr liczby jest podzielna przez 3, to sama liczba jest podzielna przez 3..

Na przykład liczba 375 ma sumę cyfr 3 + 7 + 5 = 15, która jest podzielna przez 3, a sama jest podzielna przez 3, ponieważ 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), gdzie suma podana w pierwszym nawiasie jest podzielna przez 3, a w drugim nawiasie – suma cyfr liczby 375 – jest również podzielna przez 3.

Suma cyfr liczby 679 równa 6 + 7 + 9 = 22 nie jest podzielna przez 3, a sama liczba nie jest podzielna przez 3, ponieważ 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), gdzie suma w pierwszym nawiasie jest podzielna przez 3, a w drugim nawiasie - suma cyfr liczby 679 - nie jest podzielna przez 3.

Notatka. Kiedy mówią „liczba kończy się cyfrą…”, mają na myśli „zapis dziesiętny liczby kończy się cyfrą…”

Liczby pierwsze i złożone

Każda liczba naturalna p jest podzielna przez 1 i samą siebie:

p:1=p, p:p=1.

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która jest większa od jedności i dzieli się tylko przez 1 i samą siebie..

Oto pierwsze dziesięć liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Liczby naturalne inne niż pierwsze, czyli duże jednostki, nazywane są złożonymi. Każda liczba złożona jest podzielna przez 1, samą siebie i co najmniej jedną inną liczbę naturalną.

Oto wszystkie liczby złożone mniejsze niż 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Zatem zestaw wszystkich liczby naturalne składa się z liczb pierwszych, liczb złożonych i jedynki.

Istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych, jest pierwsza liczba - 2, ale nie ma ostatniej liczby pierwszej.

Dzielniki liczb naturalnych

Jeżeli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną b, to liczba b zwany dzielnikiem liczby A.

Na przykład dzielnikami liczby 13 są liczby 1 i 13, dzielnikami liczby 4 są liczby 1, 2, 4, a dzielnikami liczby 12 są liczby 1, 2, 3, 4, 6 , 12.

Każda liczba pierwsza ma tylko dwa dzielniki – jeden i samą siebie, a każda liczba złożona, z wyjątkiem jednego i samej siebie, ma inne dzielniki.

Jeśli dzielnik jest liczbą pierwszą, nazywa się go dzielnikiem pierwszym. Na przykład liczba 13 ma czynnik pierwszy 13, liczba 4 ma czynnik pierwszy 2, a liczba 12 ma czynniki pierwsze 2 i 3.

Każdą liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn jej pierwszych dzielników. Na przykład,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Prawe strony otrzymanych równości nazywane są rozkładem na czynniki pierwsze liczb 28, 22, 81 i 100.

Rozłożenie danej liczby złożonej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie jej jako iloczynu jej różnych czynników pierwszych lub ich potęg.

Pokażmy, jak można rozłożyć liczbę 90 na czynniki pierwsze.

1) 90 dzieli się przez 2, 90:2 = 45;

2) 45 nie jest podzielne przez 2, ale dzieli się przez 3, 45:3= 15;

3) 15 dzieli się przez 3, 15:3 = 5;

4) 5 jest podzielne przez 5, 5:5 = 1.

Zatem 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Największy wspólny dzielnik

Liczba 12 ma dzielniki 1, 2, 3, 4, 12. Liczba 54 ma dzielniki 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Widzimy, że liczby 12 i 54 mają wspólne dzielniki 1, 2 , 3 , 6.

Największym wspólnym dzielnikiem liczb 12 i 54 jest liczba 6.

Największy wspólny dzielnik liczb a i b oznaczamy przez: gcd (a, b).

Na przykład NWD (12, 54) = 6.

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Liczbę podzielną przez 12 nazywa się wielokrotnością 12. Liczba 12 jest wielokrotnością 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 itd. Liczba 18 jest wielokrotnością 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 itd.

Widzimy, że istnieją liczby, które są wielokrotnościami 12 i 18. Na przykład 36, 72, 108, .... Liczby te nazywane są wspólnymi wielokrotnościami 12 i 18.

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych aib jest najmniejsza liczba naturalna podzielna przez aib. Liczba ta jest oznaczona przez: LOC (a, b).

Najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb można zwykle znaleźć na jeden z dwóch sposobów. Przyjrzyjmy się im.

Znajdźmy LCM(18, 24).

Metoda I Będziemy zapisywać liczby będące wielokrotnościami 24 (większa z tych liczb), sprawdzając, czy każda z nich jest podzielna przez 18: 24∙1=24 – nie dzieli się przez 18, 24∙2 = 48 – nie dzieli się przez 18, 24∙3 = 72 – jest podzielne przez 18, więc LCM (24, 18) =
= 72.

II metoda. Rozłóżmy liczby 24 i 18 na czynniki pierwsze: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) musi być podzielna zarówno przez 24, jak i 18. Dlatego wymagana liczba zawiera wszystkie czynniki pierwsze większej liczby 24 (tj. liczby 2, 2, 2, 3) oraz brakujące czynniki z rozwinięcia mniejszej liczby 18 (jeszcze jedna liczba 3). Zatem LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb. Na przykład 24 i 25 są liczbami względnie pierwszymi. Zatem LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Jeżeli jedna z dwóch liczb jest podzielna przez drugą, to najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb jest równa większej z nich. Na przykład 120 jest podzielne przez 24, zatem LCM (120, 24) = 120.

Wszystkie liczby

Przypomnienie. Nazywa się liczby używane do zliczania liczby obiektów liczby naturalne. Zero nie jest uważane za liczbę naturalną. Liczby naturalne i zero, zapisane w kolejności rosnącej i bez przerw, tworzą szereg nieujemnych liczb całkowitych:

W tej sekcji zostaną wprowadzone nowe numery - ujemne liczby całkowite.

Ujemne liczby całkowite

Podstawowym przykładem z życia wziętym jest termometr. Załóżmy, że pokazuje temperaturę 7°C. Jeżeli temperatura spadnie o 4°, termometr wskaże 3° ciepła. Spadek temperatury odpowiada działaniu odejmowania: 7 – 4 = 3. Jeżeli temperatura spadnie o 7°, termometr wskaże 0°: 7 – 7 = 0.

Jeśli temperatura spadnie o 8°, termometr wskaże –1° (1° poniżej zera). Ale wyniku odjęcia 7–8 nie można zapisać za pomocą liczb naturalnych i zera, chociaż ma to prawdziwe znaczenie.

Niemożliwe jest policzenie 8 liczb od liczby 7 po lewej stronie w szeregu nieujemnych liczb całkowitych. Aby uczynić działanie 7 – 8 wykonalnym, rozszerzmy zakres nieujemnych liczb całkowitych. Aby to zrobić, po lewej stronie zera zapisujemy (od prawej do lewej) wszystkie liczby naturalne, dodając do każdej z nich znak „–”, wskazujący, że liczba ta znajduje się na lewo od zera.

Wpisy –1, –2, –3, ... brzmią „minus 1”, „minus 2”, „minus 3” itd.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Powstały ciąg liczb nazywany jest ciągiem liczb całkowitych. Kropki po lewej i prawej stronie tego wpisu oznaczają, że serię można kontynuować w nieskończoność w prawo i w lewo.

Na prawo od liczby 0 w tym wierszu znajdują się liczby zwane liczbami naturalnymi lub dodatnimi liczbami całkowitymi.

Regionalna konferencja naukowa dla uczniów okręgu miejskiego Lakhdenpokh

„Krok w przyszłość”

Projekt matematyczny na temat:

Ukończył: Galkina Natalya

Uczeń klasy 7

MKOU „Szkoła Średnia Elisenvaara”

Głowa: Wasiljewa

Larisa Władimirowna

nauczyciel matematyki

MKOU „Szkoła Średnia Elisenvaara”

Wprowadzenie 3 strony

Z historii matematyki 4 strony.

Podstawowe pojęcia 4 strony.

Klasyfikacja znaków podzielności: 5 stron.

O podzielności liczb decyduje ostatnia cyfra(y) 5 – 6 stron.
Podzielność liczb określa się na podstawie sumy cyfr liczby: 6 stron.
Podzielność liczb określa się po wykonaniu pewnych czynności na cyfrach liczby 6 - 9.
Aby określić podzielność liczby, stosuje się inne znaki 9 – 10 stron.

Zastosowanie kryteriów podzielności w praktyce 10 – 11 stron.

Podsumowanie 11 stron

Bibliografia 12 stron.

Wstęp

Znaczenie badań: Znaki podzielności zawsze interesowały naukowców różnych czasów i narodów. Studiując temat „Znaki podzielności liczb przez 2, 3, 5, 9, 10” na lekcjach matematyki, zainteresowałem się badaniem liczb pod kątem podzielności. Założono, że jeśli można określić podzielność liczb przez te liczby, to muszą istnieć znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych przez inne liczby. W niektórych przypadkach, aby dowiedzieć się, czy jakakolwiek liczba naturalna jest podzielna A do liczby naturalnej B bez reszty nie ma potrzeby dzielenia tych liczb. Wystarczy znać pewne oznaki podzielności.

Hipoteza– jeżeli istnieją znaki podzielności liczb naturalnych przez 2, 3, 5, 9 i 10, to istnieją inne znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych.

Cel badania – uzupełnić poznane już w szkole znaki podzielności liczb naturalnych jako całość i usystematyzować te znaki podzielności.

Aby osiągnąć ten cel, należy rozwiązać następujące kwestie zadania:

Samodzielnie badaj podzielność liczb.

Przestudiuj dodatkową literaturę, aby zapoznać się z innymi oznakami podzielności.

Łącz i podsumowuj funkcje z różnych źródeł.

Wyciągnąć wniosek.

Przedmiot badań– badanie wszystkich możliwych znaków podzielności.

Przedmiot badań– oznaki podzielności.

Metody badawcze– gromadzenie materiału, przetwarzanie danych, porównywanie, analiza, synteza.

Nowość: W trakcie realizacji projektu poszerzyłem swoją wiedzę na temat znaków podzielności liczb naturalnych.

Z historii matematyki

Blaise Pascal(ur. 1623) – jeden z najbardziej sławni ludzie w historii ludzkości. Pascalumer, gdy miał 39 lat, a mimo to krótkie życie, przeszedł do historii jako wybitny matematyk, fizyk, filozof i pisarz. Jego imieniem nazwano jednostkę ciśnienia (paskal) i bardzo popularny dziś język programowania. Blaise Pascal znalazł wspólny mianownik

Test Pascala to metoda pozwalająca uzyskać testy na podzielność przez dowolną liczbę. Swego rodzaju „uniwersalny znak podzielności”.

Test podzielności Pascala: Liczba naturalna A zostanie podzielona przez inną liczbę naturalną B tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr liczby A na odpowiednie reszty otrzymane poprzez podzielenie jednostek cyfr przez liczbę B, jest dzielone przez tę liczbę.

Na przykład : liczba 2814 jest podzielna przez 7, ponieważ 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 jest podzielna przez 7. (Tutaj 6 to reszta z dzielenia 1000 przez 7, 2 to reszta z dzielenia 100 przez 7 a 3 to reszta z dzielenia 10 przez 7).

Podstawowe koncepcje

Pamiętajmy o kilku pojęciach matematycznych, które będą nam potrzebne podczas studiowania tego tematu.

Test podzielności to reguła, dzięki której bez dzielenia można stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez inną.

Rozdzielacz Liczba naturalna A podaj liczbę naturalną do której A podzielone bez reszty.

Prosty nazywane są liczbami naturalnymi, które nie mają innych naturalnych odrębnych dzielników poza jednym i samą sobą.

Złożony to liczby, które mają naturalne dzielniki inne niż 1 i one same.

Znaki podzielności

Wszystkie znaki podzielności liczb naturalnych, które rozważałem w tej pracy, można podzielić na 4 grupy:

Przyjrzyjmy się bliżej każdej z tych grup.

Podzielność liczb zależy od ostatniej cyfry

Do pierwszej grupy znaków podzielności liczb naturalnych, którą rozważałem, zaliczają się znaki podzielności przez 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 oraz jednostki cyfrowe 10, 100 itd.

Test na podzielność przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, gdy ostatnia cyfra tej liczby jest podzielna przez 2 (tzn. ostatnia cyfra jest liczbą parzystą).

Na przykład: 32217864 : 2

Test podzielności przez 4 : liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry są zerami lub gdy liczba dwucyfrowa utworzona przez jej dwie cyfry ostatnie cyfry, jest podzielne przez 4.

Na przykład, 35324 : 4; 6600 : 4

Test podzielności przez 5 : Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 5 lub 0.

Na przykład: 36780 : 5 lub 12326 5 : 5

Test podzielności przez 8: liczba jest podzielna przez 8, gdy jest podzielna przez 8 trzycyfrowy numer, utworzony z trzech ostatnich cyfr tej liczby.

Na przykład: 432240 : 8

Test podzielności przez 20: liczba jest podzielna przez 20, gdy liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 20. (Inne sformułowanie: liczba jest podzielna przez 20, gdy ostatnia cyfra liczby to 0, a przedostatnia cyfra jest parzysta).

Na przykład: 59640 : 20

Test podzielności przez 25: Liczby, których dwie ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 25, są podzielne przez 25.

Na przykład: 667975 : 25 lub 77689 00 : 25

Test na podzielność przez 50: Liczba jest podzielna przez 50, gdy liczba utworzona przez jej dwie najniższe cyfry po przecinku jest podzielna przez 50.

Na przykład: 564350 :50 lub 5543 00 :50

Test podzielności przez 125: Liczba jest podzielna przez 125, jeśli jej trzy ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 125.

Na przykład: 32157000 :125 lub 3216 250 :125

Liczby naturalne, których liczba zer jest większa lub równa liczbie zer jednostki cyfrowej, dzielą się na jednostkę cyfrową.

Na przykład, 12 000 dzieli się przez 10, 100 i 1000.

O podzielności liczb decyduje suma cyfr danej liczby

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się rozważane przeze mnie znaki podzielności przez 3, 9, 11.

Test podzielności przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

Test podzielności przez 9: Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Na przykład: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Test podzielności przez 11: Liczby te są podzielne przez 11, jeśli suma cyfr w miejscach nieparzystych jest równa sumie cyfr w miejscach parzystych lub różni się od niej o wielokrotność 11.

Na przykład: 865948732:11 ponieważ 8+5+4+7+2=26 i 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 ponieważ 8+5+4+7+2=26 i 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Podzielność liczb określa się po wykonaniu pewnych działań na cyfrach tej liczby

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się znaki podzielności przez: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Test podzielności przez 6:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 6, gdy wynik odjęcia dwukrotnej liczby setek od liczby po setkach jest podzielny przez 6.

Na przykład, 138: 6, ponieważ 1,2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 ponieważ 44 – 7,2=30, (30:6)

Znak 2: Liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodanych do liczby jednostek jest podzielna przez 6.

Na przykład, 768:6 ponieważ 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)

Podzielność przez 7:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 7 gdy potrójna liczba dziesiątek dodana do liczby jednostek jest podzielna przez 7.

Na przykład, liczba 154:7, ponieważ 15 3 + 4 = 49 (49:7) dzieli się przez 7

Znak 2: liczba jest podzielna przez 7, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy trzech cyfr (zaczynających się od jedności), wziętych ze znakiem „+” i parzystych ze znakiem „-”, jest podzielny przez 7.

Na przykład, 138689257:7, ponieważ ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Podzielność przez 11:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 11, gdy moduł różnicy między sumą cyfr zajmujących pozycje nieparzyste a sumą cyfr zajmujących pozycje parzyste jest podzielny przez 11.

Na przykład, 9163627:11, ponieważ ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 11, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 11.

Na przykład, 103785:11, ponieważ 10+37+85=132 i 01+32=33 (33:11)

Podzielność przez 13:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 13, gdy suma liczby dziesiątek plus cztery razy jedności jest podzielna przez 13.

Na przykład, 845:13, ponieważ 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Znak 2: Liczba jest podzielna przez 13, gdy różnica między liczbą dziesiątek a dziewięciokrotnością liczby jedności jest podzielna przez 13.

Na przykład, 845:13, ponieważ 84-5 9=39 (39:13)

Test na podzielność przez 17: liczba jest podzielna przez 17, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a pięciokrotnością liczby jedności jest podzielny przez 17.

Na przykład, 221:17, ponieważ ǀ22-5·1ǀ=17

Znaki podzielności przez 19: Liczba jest podzielna przez 19, gdy liczba dziesiątek dodana do dwukrotności liczby jednostek dzieli się przez 19.

Na przykład, 646:19, ponieważ 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Testy na podzielność przez 23:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 23, gdy liczba setek dodana do potrójnej liczby utworzonej przez dwie ostatnie cyfry dzieli się przez 23.

Na przykład, 28842:23, ponieważ 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 23 gdy liczba dziesiątek dodana do siedmiu razy liczby jedności dzieli się przez 23.

Na przykład, 391:23, ponieważ 3 9+7 1=46 (46:23)

Znak 3: liczba jest podzielna przez 23 gdy liczba setek dodana do siedmiokrotnej liczby dziesiątek i potrójnej liczby jednostek jest podzielna przez 23.

Na przykład, 391:23, ponieważ 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Test podzielności przez 27: liczba jest podzielna przez 27, gdy suma liczb tworzących grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 27.

Na przykład, 2705427:27 ponieważ 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Test podzielności przez 29: Liczba jest podzielna przez 29, gdy liczba dziesiątek dodana do trzykrotności liczby jednostek dzieli się przez 29.

Na przykład, 261:29, ponieważ 26+3·1=29 (29:29)

Test na podzielność przez 31: Liczba jest podzielna przez 31, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a trzykrotnością liczby jedności jest podzielny przez 31.

Na przykład, 217:31, ponieważ ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Testy na podzielność przez 33: Jeżeli suma powstała przez podzielenie liczby od prawej do lewej na grupy po dwie cyfry jest podzielna przez 33, to liczba ta jest podzielna przez 33.

Na przykład, 396:33, ponieważ 96+3=99 (99:33)

Testy na podzielność przez 37:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 37, gdy dzieląc ją na grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności), suma tych grup jest wielokrotnością 37.

Na przykład, numer 100048:37, ponieważ 100+048=148, (148:37)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 37, gdy moduł potrójnej liczby setek dodany do czterokrotności liczby dziesiątek minus liczba jednostek pomnożona przez siedem jest dzielony przez 37.

Na przykład, liczba wynosi 481:37, ponieważ jest podzielna przez 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Kryteria podzielności przez 41:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 41, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a czterokrotnością liczby jednostek jest podzielny przez 41.

Na przykład, 369:41, ponieważ ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Znak 2: Aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 41, należy ją podzielić od prawej do lewej na grupy po 5 cyfr każda. Następnie w każdej grupie pomnóż pierwszą cyfrę po prawej stronie przez 1, drugą cyfrę pomnóż przez 10, trzecią przez 18, czwartą przez 16, piątą przez 37 i dodaj wszystkie powstałe iloczyny. Jeśli wynikbędzie podzielna przez 41, to sama liczba będzie podzielna przez 41.

Test na podzielność przez 59: Liczba jest podzielna przez 59, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 6 daje liczbę podzielną przez 59.

Na przykład, 767:59, ponieważ 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Test podzielności przez 79: Liczba jest podzielna przez 79, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 8 dzieli się przez 79.

Na przykład, 711:79, ponieważ 71+8·1=79, (79:79)

Test podzielności przez 99: Liczba jest podzielna przez 99, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 99.

Na przykład, 12573:99, ponieważ 1+25+73=99, (99:99)

Test podzielności przez 101: liczba jest podzielna przez 101, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy dwucyfrowe (zaczynające się od jedności), wziętych ze znakiem „+” i liczb parzystych ze znakiem „–”, jest podzielny przez 101.

Na przykład

Aby określić podzielność liczby, stosuje się inne kryteria podzielności

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się znaki podzielności przez: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 itd. To wszystko są liczby złożone. Kryteria podzielności liczb złożonych opierają się na kryteriach podzielności liczb pierwszych, na które można rozłożyć dowolną liczbę złożoną.

Test podzielności przez 6:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 6, gdy dzieli się zarówno przez 2, jak i 3, to znaczy, jeśli jest parzysta, a suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład, 768:6, ponieważ 7+6+8=21 (21:3), a ostatnia cyfra liczby 768 jest parzysta.

Test podzielności przez 12: Liczba jest podzielna przez 12, jeśli jest podzielna jednocześnie przez 3 i 4.

Na przykład, 408:12, ponieważ 4+0+8=12 (12:3) i dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4 (08:4)

Test na podzielność przez 14: Liczba jest podzielna przez 14, gdy dzieli się przez 2 i 7.

Na przykład, liczbę 45612:14, ponieważ jest ona podzielna zarówno przez 2, jak i 7, co oznacza, że jest podzielna przez 14.

Test na podzielność przez 15: Liczba jest podzielna przez 15, gdy dzieli się przez 3 i 5.

Na przykład, 1146795:15 ponieważ Liczba ta jest podzielna zarówno przez 3, jak i 5.

Testy na podzielność przez 27: Liczba jest podzielna przez 27, gdy dzieli się przez 3 i 9.

Na przykład, 511704:27 ponieważ 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 i 18:9)

Znaki podzielności przez 30: Liczba jest podzielna przez 30, gdy kończy się na 0, a suma wszystkich cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład, 510:30 ponieważ 5+1+0=6 (6:3) i w liczbie 510 (ostatnia cyfra 0)

Znaki podzielności przez 60: Aby liczba była podzielna przez 60, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez 4, 3 lub 5.

Na przykład, 1620:60, ponieważ 1+6+2+0=9 (9:3), liczba 1620 kończy się na 0, tj. jest podzielna przez 5 i 1620: 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry 20:4

Praca ma zastosowanie praktyczne. Może być używany przez dzieci w wieku szkolnym i dorosłych przy rozwiązywaniu rzeczywistych sytuacji; nauczycieli, zarówno przy prowadzeniu lekcji matematyki, jak i na zajęciach fakultatywnych oraz zajęcia dodatkowe do powtórzenia.

To badanie będzie przydatny dla studentów, gdy samodzielny trening do egzaminów końcowych i wstępnych. Przyda się także uczniom, których celem są wysokie miejsca na olimpiadach miejskich.

Zadanie nr 1 . Czy można, korzystając wyłącznie z cyfr 3 i 4, napisać:

liczba podzielna przez 10;

Liczba parzysta;

liczba będąca wielokrotnością 5;

liczba nieparzysta

Problem nr 2

Napisz liczbę dziewięciocyfrową, która nie ma powtarzających się cyfr (wszystkie cyfry są różne) i jest podzielna przez 1 bez reszty.

Zapisz największą z tych liczb.

Zapisz najmniejszą z tych liczb.

Odpowiedź: 987652413; 102347586

Problem nr 3

Znajdź największą liczbę czterocyfrową, której wszystkie cyfry są różne i która jest podzielna przez 2, 5, 9, 11.

Odpowiedź: 8910

Problem nr 4

Olya wymyśliła prostą trzycyfrową liczbę, której wszystkie cyfry są różne. Na jaką cyfrę może się kończyć, jeśli ostatnia cyfra jest równa sumie dwóch pierwszych? Podaj przykłady takich liczb.

Odpowiedź: tylko o 7. Istnieją 4 liczby spełniające warunki zadania: 167, 257, 347, 527

Problem nr 5

W obu klasach uczy się łącznie 70 uczniów. W jednej klasie 7/17 uczniów nie pojawiło się na zajęciach, a w drugiej 2/9 uzyskało oceny celujące z matematyki. Ilu uczniów jest w każdej klasie?

Rozwiązanie: W pierwszej z tych klas mogą znajdować się: 17, 34, 51... - liczby będące wielokrotnościami 17. W drugiej klasie: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - liczby będące wielokrotnościami z 9. Musimy wybrać 1 liczbę z pierwszego ciągu, a 2 to liczba z drugiego tak, aby ich suma wynosiła 70. Co więcej, w tych ciągach tylko niewielka liczba wyrazów może wyrazić możliwą liczbę dzieci w ciągu klasa. Ta okoliczność znacznie ogranicza wybór opcji. Jedyną możliwą opcją była para (34, 36).

Problem nr 6

W 9 klasie dla test 1/7 uczniów otrzymało oceny A, 1/3 B, ½ C. Reszta prac okazała się niezadowalająca. Ile było takich stanowisk pracy?

Rozwiązanie: Rozwiązaniem zadania musi być liczba będąca wielokrotnością liczb: 7, 3, 2. Najpierw znajdźmy najmniejszą z tych liczb. LCM (7, 3, 2) = 42. Możesz utworzyć wyrażenie zgodnie z warunkami zadania: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 nieudane. Zadania matematyczne zakładają, że liczba uczniów w klasie wynosi 84, 126 itd. Człowiek. Jednak zdrowy rozsądek podpowiada, że najbardziej akceptowalną odpowiedzią jest liczba 42.

Odpowiedź: 1 praca.

Wniosek:

W wyniku tej pracy dowiedziałem się, że oprócz znanych mi znaków podzielności przez 2, 3, 5, 9 i 10, istnieją także inne znaki podzielności liczb naturalnych. Zdobyta wiedza znacznie przyspiesza rozwiązanie wielu problemów. I tę wiedzę mogę wykorzystać w swoim Działania edukacyjne zarówno na lekcjach matematyki, jak i w zajęcia dodatkowe. Należy również zauważyć, że sformułowania niektórych kryteriów podzielności są złożone. Może dlatego nie uczą się ich w szkole. Spodziewam się w przyszłości kontynuować prace nad badaniem znaków podzielności liczb naturalnych.

słownik encyklopedyczny młody matematyk. Savin A.P. Moskiewska „Pedagogika” 1989.

Matematyka. Dodatkowe materiały do lekcji matematyki dla klas 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moskiewski „Drop” 2002.

Za stronami podręcznika do matematyki. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Edukacja, 1989.

Zajęcia dodatkowe z matematyki w klasach 6-8. Moskwa. „Oświecenie” 1984 V. A. Gusiew, A. I. Orłow, A. L. Rosenthal.

„1001 pytań i odpowiedzi. Wielka księga wiedzy” Moskwa. „Świat książek” 2004.

Opcjonalny kurs matematyki. Nikolskaya I.L. - Moskwa. Oświecenie 1991.

Zadania olimpijskie z matematyki i metody ich rozwiązywania. Farkov A.V. - Moskwa. 2003

Zasoby internetowe.

Wyświetl zawartość prezentacji
„Znaki podzielności liczb naturalnych”

Regionalna konferencja naukowa dla uczniów

Dzielnica miejska Lakhdenpokh „Krok w przyszłość”

„Znaki podzielności liczb naturalnych”

Ukończył: Galkina Natalya

Uczeń klasy 7

MKOU „Szkoła Średnia Elisenvaara”

Głowa: Wasiljewa Larisa Władimirowna

nauczyciel matematyki w MKOU „Elisenvaarskaya” Szkoła średnia"

2014

Znaczenie badań : Znaki podzielności zawsze interesowały naukowców różnych czasów i narodów. Studiując temat „Znaki podzielności liczb przez 2, 3, 5, 9, 10” na lekcjach matematyki, zainteresowałem się badaniem liczb pod kątem podzielności. Założono, że jeśli można określić podzielność liczb przez te liczby, to muszą istnieć znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych przez inne liczby. W niektórych przypadkach, aby dowiedzieć się, czy jakakolwiek liczba naturalna jest podzielna A do liczby naturalnej B bez reszty nie ma potrzeby dzielenia tych liczb. Wystarczy znać pewne oznaki podzielności. Hipoteza – jeżeli istnieją znaki podzielności liczb naturalnych przez 2, 3, 5, 9 i 10, to istnieją inne znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych. Cel badania – uzupełnić poznane już w szkole znaki podzielności liczb naturalnych jako całość i usystematyzować te znaki podzielności. Aby osiągnąć ten cel, należy rozwiązać następujące kwestie zadania:

Samodzielnie badaj podzielność liczb.
Przestudiuj dodatkową literaturę, aby zapoznać się z innymi oznakami podzielności.
Łącz i podsumowuj funkcje z różnych źródeł.
Wyciągnąć wniosek. Przedmiot badań – podzielność liczb naturalnych. Przedmiot badań – oznaki podzielności. Metody badawcze – zbieranie materiału, przetwarzanie danych, porównywanie, analiza, uogólnienie. Nowość : W trakcie projektu poszerzyłem swoją wiedzę o kryteriach podzielności liczb naturalnych.

Z historii matematyki

Blaise Pascal (ur. 1623) – jedna z najsłynniejszych postaci w historii ludzkości. Pascal zmarł w wieku 39 lat, jednak mimo tak krótkiego życia przeszedł do historii jako wybitny matematyk, fizyk, filozof i pisarz. Jego imieniem nazwano jednostkę ciśnienia (paskal) i bardzo popularny dziś język programowania. Blaise Pascal znalazł wspólny mianownik algorytm znajdowania znaków podzielności dowolnej liczby całkowitej przez dowolną inną liczbę całkowitą.

Test Pascala to metoda pozwalająca uzyskać testy na podzielność przez dowolną liczbę. Swego rodzaju „uniwersalny znak podzielności”.

Test podzielności Pascala: Liczbę naturalną a można podzielić przez inną liczbę naturalną b tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr liczby a przez odpowiednie reszty otrzymane z dzielenia jednostek cyfr przez liczbę b jest podzielna przez tę liczbę.

Na przykład : liczba 2814 jest podzielna przez 7, ponieważ 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 jest podzielna przez 7. (Tutaj 6 to reszta z dzielenia 1000 przez 7, 2 to reszta z dzielenia 100 przez 7 a 3 to reszta z dzielenia 10 przez 7).

Podstawowe koncepcje

Pamiętajmy o kilku pojęciach matematycznych, które będą nam potrzebne podczas studiowania tego tematu:

Test podzielności to reguła, dzięki której bez dzielenia można stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez inną.

Rozdzielacz Liczba naturalna A wywołać liczbę naturalną B , do którego A podzielone bez reszty.

Prosty nazywane są liczbami naturalnymi, które nie mają innych naturalnych odrębnych dzielników poza jednym i samą sobą.

Złożony to liczby, które mają naturalne dzielniki inne niż 1 i one same.

Znaki podzielności

Wszystkie znaki podzielności liczb naturalnych, które rozważałem w tej pracy, można podzielić na 4 grupy:

I . Podzielność liczb zależy od ostatniej cyfry

Do pierwszej grupy znaków podzielności liczb naturalnych, którą rozważałem, zaliczają się znaki podzielności przez 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 oraz jednostki cyfrowe 10, 100 itd.

Test na podzielność przez 2 : Liczba jest podzielna przez 2, gdy ostatnia cyfra tej liczby jest podzielna przez 2 (tzn. ostatnia cyfra jest liczbą parzystą).

Na przykład : 3221786 4 : 2

Test podzielności przez 4 : Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry są zerami lub gdy dwucyfrowa liczba utworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.

Na przykład: 353 24 : 4; 66 00 : 4

Test podzielności przez 5 : Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 5 lub 0.

Na przykład: 3678 0 : 5 lub 12326 5 : 5

Test podzielności przez 8: Liczba jest podzielna przez 8, gdy liczba trzycyfrowa utworzona z trzech ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 8.

Na przykład: 432 240 : 8

Test podzielności przez 20: liczba jest podzielna przez 20, gdy liczba jest utworzona przez dwa ostatni liczby podzielne przez 20. (Inne sformułowanie: liczba jest podzielna do 20 kiedy ostatnia cyfra liczby to 0, a przedostatnia cyfra jest parzysta).

Na przykład: 596 40 : 20

Test podzielności przez 25: Liczby, których dwie ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 25, są podzielne przez 25.

Na przykład: 6679 75 : 25 lub 77689 00 : 25

Test na podzielność przez 50: Liczba jest podzielna przez 50, gdy liczba utworzona przez jej dwie najniższe cyfry po przecinku jest podzielna przez 50.

Na przykład : 5643 50 : 50 lub 5543 00 : 50

Test podzielności przez 125: Liczba jest podzielna przez 125, jeśli jej trzy ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 125.

Na przykład: 32157 000 : 125 lub 3216 250 : 125

Znaki podzielności przez jednostkę cyfrową 10, 100, 1000 itd.: Liczby naturalne, których liczba zer jest większa lub równa liczbie zer jednostki cyfrowej, dzielą się na jednostkę cyfrową.

Na przykład 12 000 dzieli się przez 10, 100 i 1000

II . O podzielności liczb decyduje suma cyfr danej liczby

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się rozważane przeze mnie znaki podzielności przez 3, 9, 11.

Test podzielności przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

Test podzielności przez 9: Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Na przykład: 653022: 9 ponieważ 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Test podzielności przez 11: Liczby te są podzielne przez 11, jeśli suma cyfr w miejscach nieparzystych jest równa sumie cyfr w miejscach parzystych lub różni się od niej o wielokrotność 11.

Na przykład: 865948732:11, ponieważ 8+5+4+7+2=26 i 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 ponieważ 8+5+4+7+2=26 i 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Podzielność liczb określa się po wykonaniu pewnych czynności

nad cyframi tego numeru

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się znaki podzielności przez: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Test podzielności przez 6:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 6, gdy wynik odjęcia dwukrotności liczby setek od liczby po setkach jest podzielny przez 6.

Na przykład: 138: 6, ponieważ 1,2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 ponieważ 44 – 7,2=30, (30:6)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy poczwórna liczba dziesiątek dodana do liczby jedności jest podzielna przez 6.

Na przykład: 768:6, ponieważ 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)

Podzielność przez 7:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 7, gdy trzykrotna liczba dziesiątek dodanych do liczby jedności dzieli się przez 7.

Na przykład: liczba 154:7, ponieważ 15 3 + 4 = 49 (49:7) dzieli się przez 7

Znak 2: liczba jest podzielna przez 7, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy trzech cyfr (zaczynających się od jedności), wziętych ze znakiem „+”, a liczb parzystych ze znakiem „-” jest podzielny przez 7.

Na przykład 138689257:7, ponieważ ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Podzielność przez 11:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 11, gdy moduł różnicy między sumą cyfr zajmujących pozycje nieparzyste a sumą cyfr zajmujących pozycje parzyste jest podzielny przez 11.

Na przykład 9163627:11, ponieważ ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 11, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 11.

Na przykład 103785:11, ponieważ 10+37+85=132 i 01+32=33 (33:11)

Podzielność przez 13:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 13, gdy suma liczby dziesiątek i poczwórnej liczby jedności jest podzielna przez 13

Na przykład 845:13, ponieważ 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 13, gdy różnica między liczbą dziesiątek a dziewięciokrotnością liczby jedności jest podzielna przez 13.

Na przykład 845:13, ponieważ 84-5 9=39 (39:13)

Test na podzielność przez 17: liczba jest podzielna przez 17, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a pięciokrotnością liczby jedności jest podzielny przez 17.

Na przykład 221:17, ponieważ ǀ22-5·1ǀ=17

Znaki podzielności przez 19: liczba jest podzielna przez 19, gdy liczba jest dziesiątkami, gdzie fałszywe z podwoić liczbę jednostek podzielną przez 19.

Na przykład 646:19, ponieważ 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Testy na podzielność przez 23:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 23, gdy liczba setek dodana do potrójnej liczby utworzonej przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 23.

Na przykład 28842:23, ponieważ 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 23, gdy liczba dziesiątek dodana do siedmiu razy liczby jednostek dzieli się przez 23.

Na przykład 391:23, ponieważ 39+7·1=46 (46:23)

Znak 3: liczba jest podzielna przez 23, gdy liczbę setek dodaje się do siedmiokrotnej liczby dziesiątek i potrójnej liczby jednostek, podzielna przez 23.

Na przykład 391:23, ponieważ 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Test podzielności przez 27: liczba jest podzielna przez 27, gdy suma liczb tworzących grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 27.

Na przykład 2705427:27, ponieważ 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Test podzielności przez 29: liczba jest podzielna przez 29, gdy liczba dziesiątek dodana do trzykrotnej liczby jedności dzieli się przez 29

Na przykład 261:29, ponieważ 26+3·1=29 (29:29)

Test na podzielność przez 31: liczba jest podzielna przez 31, gdy moduł różnicy liczby dziesiątek i trzykrotność liczby jednostek dzieli się przez 31.

Na przykład 217:31, ponieważ ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Testy na podzielność przez 33: Jeżeli suma powstała przez podzielenie liczby od prawej do lewej na grupy po dwie cyfry jest podzielna przez 33, to liczba ta jest podzielna przez 33.

Na przykład 396:33, ponieważ 96+3=99 (99:33)

Testy na podzielność przez 37:

Znak 1 : liczba jest podzielna przez 37, gdy dzieląc ją na grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności), suma tych grup jest wielokrotnością 37.

Na przykład , numer 100048:37, ponieważ 100+048=148, (148:37)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 37, gdy moduł potrójnej liczby setek, dodany do czterokrotności liczby dziesiątek pomniejszony o liczbę jednostek pomnożoną przez siedem, dzieli się przez 37.

Na przykład liczba 481:37, ponieważ ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 jest podzielne przez 37

Kryteria podzielności przez 41:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 41, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a czterokrotnością liczby jedności jest podzielny przez 41.

Na przykład 369:41, ponieważ ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Znak 2: aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 41, należy ją podzielić od prawej do lewej na grupy po 5 cyfr każda. Następnie w każdej grupie pomnóż pierwszą cyfrę po prawej stronie przez 1, drugą cyfrę pomnóż przez 10, trzecią przez 18, czwartą przez 16, piątą przez 37 i dodaj wszystkie powstałe iloczyny. Jeśli wynik jest podzielny przez 41, to sama liczba będzie podzielna przez 41.

Test na podzielność przez 59: Liczba jest podzielna przez 59, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 6 daje liczbę podzielną przez 59.

Na przykład 767:59, ponieważ 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Test podzielności przez 79: Liczba jest podzielna przez 79, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 8 dzieli się przez 79.

Na przykład 711:79, ponieważ 71+8·1=79, (79:79)

Test podzielności przez 99: Liczba jest podzielna przez 99, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 99.

Na przykład 12573:99, ponieważ 1+25+73=99, (99:99)

Test podzielności przez 101: liczba jest podzielna przez 101, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy dwucyfrowe (zaczynające się od jedności), wziętych ze znakiem „+” i liczb parzystych ze znakiem „–”, jest podzielny przez 101.

Na przykład, 590547:101, ponieważ ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Aby określić podzielność liczby, stosuje się inne kryteria podzielności

Test podzielności przez 6: Liczba jest podzielna przez 6, gdy dzieli się zarówno przez 2, jak i 3, to znaczy, jeśli jest parzysta, a suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład 768:6, ponieważ 7+6+8=21 (21:3), a ostatnia cyfra liczby 768 jest parzysta.

Test podzielności przez 12 : Liczba jest podzielna przez 12, jeśli jest podzielna jednocześnie przez 3 i 4.

Na przykład 408:12, ponieważ 4+0+8=12 (12:3) i dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4 (08:4)

Test na podzielność przez 14: Liczba jest podzielna przez 14, gdy dzieli się przez 2 i 7.

Na przykład liczba 45612:14, ponieważ jest podzielna zarówno przez 2, jak i 7, co oznacza, że jest podzielna przez 14

Test na podzielność przez 15: Liczba jest podzielna przez 15, gdy dzieli się przez 3 i 5.

Na przykład 1146795:15, ponieważ liczba ta jest podzielna zarówno przez 3, jak i 5

Testy na podzielność przez 27: Liczba jest podzielna przez 27, gdy dzieli się przez 3 i 9. Na przykład 511704:27, ponieważ 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 i 18:9)

Znaki podzielności przez 30: Liczba jest podzielna przez 30, gdy kończy się na 0, a suma wszystkich cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład 510:30, ponieważ 5+1+0=6 (6:3) i w liczbie 510 (ostatnia cyfra 0)

Znaki podzielności przez 60: Aby liczba była podzielna przez 60, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez 4, 3 lub 5.

Na przykład 1620:60, ponieważ 1+6+2+0=9 (9:3), liczba 1620 kończy się na 0, tj. jest podzielna przez 5 i 1620: 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry 20:4

Zastosowanie kryteriów podzielności w praktyce

Praca ma zastosowanie praktyczne. Może być używany przez dzieci w wieku szkolnym i dorosłych przy rozwiązywaniu rzeczywistych sytuacji; nauczycieli, zarówno na lekcjach matematyki, jak i na przedmiotach fakultatywnych oraz dodatkowych zajęciach powtórzeniowych.

Opracowanie to będzie przydatne studentom w samodzielnym przygotowaniu się do egzaminów końcowych i wstępnych. Przyda się także uczniom, których celem są wysokie miejsca na olimpiadach miejskich.

Zadanie nr 1 . Czy można, korzystając wyłącznie z cyfr 3 i 4, napisać:

liczba podzielna przez 10;
Liczba parzysta;
liczba będąca wielokrotnością 5;
liczba nieparzysta

Problem nr 3 : Znajdź największą liczbę czterocyfrową, której wszystkie cyfry są różne i która jest podzielna przez 2, 5, 9, 11.

Odpowiedź: 8910

Zadanie nr 4: Olya wymyśliła prostą trzycyfrową liczbę, której wszystkie cyfry są różne. Na jaką cyfrę może się kończyć, jeśli ostatnia cyfra jest równa sumie dwóch pierwszych? Podaj przykłady takich liczb.

Odpowiedź: tylko o 7. Istnieją 4 liczby spełniające warunki zadania: 167, 257, 347, 527

Problem nr 5 : W dwóch klasach jest razem 70 uczniów. W jednej klasie 7/17 uczniów nie pojawiło się na zajęciach, a w drugiej 2/9 uzyskało oceny celujące z matematyki. Ilu uczniów jest w każdej klasie?

Rozwiązanie: W pierwszej z tych klas mogą znajdować się: 17, 34, 51... - liczby będące wielokrotnościami 17. W drugiej klasie: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - liczby będące wielokrotnościami z 9. Musimy wybrać 1 liczbę z pierwszego ciągu, a 2 to liczba z drugiego tak, aby ich suma wynosiła 70. Co więcej, w tych ciągach tylko niewielka liczba wyrazów może wyrazić możliwą liczbę dzieci w ciągu klasa. Ta okoliczność znacznie ogranicza wybór opcji. Jedyną możliwą opcją była para (34, 36).

Problem nr 6 : W klasie IX 1/7 uczniów otrzymała piątki ze sprawdzianu, 1/3 otrzymało oceny czwórki, ½ - trójki. Reszta prac okazała się niezadowalająca. Ile było takich prac?

Rozwiązanie: Rozwiązaniem zadania musi być liczba będąca wielokrotnością liczb: 7, 3, 2. Najpierw znajdźmy najmniejsza z tych liczb. LCM (7, 3, 2) = 42. Możesz utworzyć wyrażenie według warunków zadania: 42 – (42:7 + 42:3 + 42:2) = 1 – 1 nieudane. Zagadnienia relacji matematycznych zakładają, że liczba uczniowie klas 84, 126 itd. Człowiek. Ale ze względów zdrowego rozsądku Wynika z tego, że najbardziej akceptowalną odpowiedzią jest liczba 42.

Odpowiedź: 1 praca.

Wniosek:

W wyniku tej pracy dowiedziałem się, że oprócz znanych mi znaków podzielności przez 2, 3, 5, 9 i 10, istnieją także inne znaki podzielności liczb naturalnych. Zdobyta wiedza znacznie przyspiesza rozwiązanie wielu problemów. I tę wiedzę będę mogła wykorzystać w swoich działaniach edukacyjnych, zarówno na lekcjach matematyki, jak i na zajęciach pozalekcyjnych. Należy również zauważyć, że sformułowania niektórych kryteriów podzielności są złożone. Może dlatego nie uczą się ich w szkole. Spodziewam się w przyszłości kontynuować prace nad badaniem znaków podzielności liczb naturalnych.

Słownik encyklopedyczny młodego matematyka. Savin A.P. Moskiewska „Pedagogika” 1989.
Matematyka. Dodatkowe materiały do lekcji matematyki dla klas 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moskiewski „Drop” 2002.
Za stronami podręcznika do matematyki. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Edukacja, 1989.
Zajęcia pozalekcyjne z matematyki w klasach 6-8. Moskwa. „Oświecenie” 1984 V. A. Gusiew, A. I. Orłow, A. L. Rosenthal.
„1001 pytań i odpowiedzi. Wielka księga wiedzy” Moskwa. „Świat książek” 2004.
Opcjonalny kurs matematyki. Nikolskaya I.L. - Moskwa. Oświecenie 1991.
Zadania olimpijskie z matematyki i metody ich rozwiązywania. Farkov A.V. - Moskwa. 2003
Zasoby internetowe.

Liczby całkowite

Zbiór liczb naturalnych używanych do liczenia lub przenoszenia.

Formalnie zbiór liczb naturalnych można zdefiniować za pomocą systemu aksjomatów Peano.

ZUkład aksjomatów Peano

1. Jednostka - liczba naturalna, która nie następuje po żadnej liczbie.

2. Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje pojedynczy
co następuje natychmiast.

3. Każda liczba naturalna
następuje bezpośrednio po tylko jednej liczbie.

4. Jeśli jakiś zestaw
zawiera i razem z każdą liczbą naturalną zawiera liczbę bezpośrednio po niej następującą
(aksjomat indukcji).

Operacje na zestawie

Mnożenie

Odejmowanie :

Właściwości odejmowania: Jeśli
To

Jeśli
To

Podzielność liczb naturalnych

Dział : podzielony przez
takie, że

Nieruchomościoperacje:

1. Jeśli
Są podzielone na To
podzielony przez

2. Jeśli
I
Są podzielone na To
podzielony przez

3. Jeśli
I są podzielne przez to, co jest podzielne przez

4. Jeśli jest podzielna do tego czasu
podzielony przez

5. Jeśli
są podzielne przez a nie są podzielone na to i tamto
nie podzielne przez

6. Jeśli lub podzielone przez to
podzielony przez

7. Jeśli jest podzielny przez
następnie dzieli się przez i jest dzielone przez

Twierdzenieo dzieleniu z resztą Dla dowolnych liczb naturalnych
są tylko liczby dodatnie
takie, że
I

Dowód. Pozwalać
Rozważ następujący algorytm:

Jeśli

Jeśli
to wykonajmy kolejne odejmowanie

Kontynuujemy proces odejmowania, aż reszta będzie mniejsza niż liczba

Jest liczba takie, że

Dodajmy wszystkie linie tego algorytmu i uzyskajmy wymagane wyrażenie, gdzie

Wyjątkowość przedstawienia udowodnimy przez sprzeczność.

Załóżmy, że istnieją dwie reprezentacje

I
Odejmij jedno wyrażenie od drugiego i
Ostatnia równość w liczbach całkowitych jest możliwa tylko w przypadku od
Na
□

Wniosek 1. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci:
albo albo

Konsekwencja 2. Jeśli
kolejne liczby naturalne, to jedna z nich jest podzielna przez

Konsekwencja 3. Jeśli
dwie kolejne liczby parzyste, to jedna z nich jest podzielna przez

Definicja. Liczba naturalna nazywa się liczbą pierwszą, jeśli nie ma innych dzielników niż jeden i ona sama.

Konsekwencja4. Każda liczba pierwsza ma postać
Lub

Rzeczywiście, w postaci można przedstawić dowolną liczbę, jednak wszystkie liczby z tej serii z wyjątkiem
są zdecydowanie złożone. □

Konsekwencja5 . Jeśli
liczba pierwsza w takim razie
podzielony przez

Naprawdę,
trzy kolejne liczby naturalne i
nawet i
dziwna liczba pierwsza. Dlatego jedna z liczb parzystych
I
jest podzielna przez 4, a jeden jest również podzielna przez □

Przykład 2 . Następujące stwierdzenia są prawdziwe:

1. Kwadrat liczby nieparzystej dzielonej przez 8 daje resztę

2. Dla żadnej liczby naturalnej n jest liczbą n 2 +1 podzielną przez 3.

3. Używając tylko liczb 2, 3, 7, 8 (najlepiej kilka razy), nie da się podnieść liczby naturalnej do kwadratu.

Dowód1. Dowolną liczbę nieparzystą można przedstawić jako
Lub
Podnieśmy każdą z tych liczb do kwadratu i otrzymajmy wymagane oświadczenie.

Dowód 2. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci
Następnie wyrażenie
będzie równa jednemu z wyrażeń
na które nie są podzielone

Dowód3. Rzeczywiście, ostatnia cyfra kwadratu liczby naturalnej nie może kończyć się na żadnej z tych cyfr.

Znaki podzielności

Definicja. Dziesiętna reprezentacja liczby naturalnej to reprezentacja liczby w postaci

Notatka skrótowa

Znaki podzielności na

Zatwierdzone 6 Pozwalać
dziesiętna reprezentacja liczby liczba Następnie:

1. Liczba jest podzielna przez
kiedy numer - nawet;

2. Liczba jest podzielna przez gdy liczba jest dwucyfrowa
podzielony przez

3. Liczba jest podzielna przez Gdy
Lub

4. Liczba jest podzielna przez
Gdy

5. Liczba jest podzielna przez
gdy liczba jest dwucyfrowa
- podzielony przez

6. Liczba jest podzielna przez

7. Liczba jest podzielna przez gdy suma cyfr liczby jest dzielona przez

8. Liczba jest podzielna przez
gdy suma cyfr liczby ze znakami naprzemiennymi jest dzielona przez

Dowód. Dowód znaków 1)-5) łatwo uzyskać z dziesiętnego zapisu liczby. Udowodnijmy 6) i 7). Naprawdę,

Wynika z tego, że jeśli jest podzielny (lub
wówczas suma cyfr liczby jest również podzielna przez

Udowodnimy 11). Niech będzie podzielna przez. Przedstawmy liczbę w formie

Ponieważ wszystkie dodane sumy są podzielne przez
wówczas kwota jest również dzielona przez □

Przykład 3 . Znajdź wszystkie pięciocyfrowe liczby formularza
, które są podzielne przez 45.

Dowód.
Zatem liczba jest podzielna przez 5, a jej ostatnia cyfra to 0 lub 5, tj.
Lub
Oryginalna liczba jest również podzielna przez 9, więc jest podzielna przez 9, tj.
lub podzielna przez 9, tj.

Odpowiedź:

Test podzielności NA I

Zatwierdzone 7 Niech dziesiętna reprezentacja liczby Liczba Liczba będzie podzielna przez
gdy różnica między liczbą bez trzech ostatnich cyfr a liczbą składającą się z trzech ostatnich cyfr jest dzielona przez

Dowód. Przedstawmy to w postaci Od liczby
podzielone przez i
To
podzielne przez i □

Przykład 4 . Pozwalać
Następnie
jest podzielna przez i dlatego jest liczbą
podzielony przez

Pozwalać
Następnie

podzielna przez To liczba
podzielony przez

liczby pierwsze

Sito Eratostenesa

(Prosty algorytm uzyskiwania wszystkich liczb pierwszych)

Algorytm. Zapisujemy wszystkie liczby od 1 do 100 i najpierw skreślamy wszystkie parzyste. Następnie z pozostałych skreślamy te podzielne przez 3, 5, 7 itd. W rezultacie pozostaną tylko liczby pierwsze.

Twierdzenie Euklidesa. Liczba liczb pierwszych jest nieskończona.

Dowód„przez sprzeczność”. Niech liczba liczb pierwszych będzie skończona -
Rozważ liczbę
Pytanie: numer - proste czy złożone?

Jeśli jest liczbą złożoną, to jest podzielna przez jakąś liczbę pierwszą i dlatego jeden jest dzielony przez tę liczbę pierwszą. Sprzeczność.

Jeśli jest liczbą pierwszą, to jest większa niż jakakolwiek liczba pierwsza
i wypisaliśmy i ponumerowaliśmy wszystkie liczby pierwsze. Znów sprzeczność. □

Zatwierdzone 8 Jeśli liczba jest złożona, to ma taki dzielnik pierwszy, że

Dowód. Jeśli jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby złożonej
To

Konsekwencja. Aby ustalić, czy liczba jest pierwsza, musisz ustalić, czy ma ona czynniki pierwsze

Przykład 5 . Pozwalać
Aby sprawdzić, czy liczba jest
proste, trzeba sprawdzić, czy jest podzielna przez liczby pierwsze. Odpowiedź: liczba
prosty.

Generatory liczb pierwszych

Hipoteza: Wszystkie liczby formularza
prosty.

Na
- to są liczby pierwsze
Dla
Udowodniono ręcznie i przy pomocy komputera, że wszystkie liczby są złożone.

Na przykład (Eulera)

Hipoteza: Wszystkie liczby formularza
prosty.

Na
to prawda, ech
podzielna przez 17.

Hipoteza: Wszystkie liczby formularza
prosty.

Na
to prawda, ech

Hipoteza: Wszystkie liczby postaci są pierwsze. Na
to prawda, ech

Twierdzenie.(Metoda Fermata na czynniki) Nieparzysta liczba całkowita nie jest liczbą pierwszą
istnieją takie liczby naturalne, że
Dowód.

□

Przykład 6 . Rozłóż liczby na czynniki pierwsze

Przykład 7 . Weź pod uwagę liczbę
Liczba ta jest podzielna przez 3
Ponadto, zgodnie z metodą doboru czynników,

Przykład 8 . Przy jakich liczbach całkowitych

prosty?

Zauważ, że od
proste, więc albo
Lub
Odpowiedź:

Zatwierdzony 10 Czy liczba naturalna ma nieparzystą liczbę dzielników, gdy jest idealnym kwadratem?

Dowód. Jeśli
dzielnik
ma wówczas dwie różne pary dzielników
I
i kiedy
obie pary będą równe.

Przykład 9 . Liczby mają dokładnie 99 dzielników. Czy liczba może mieć dokładnie 100 dzielników?

Odpowiedź: nie. Obowiązuje według poprzedniej właściwości i - idealne kwadraty, ale ich praca nie.

Przykład 10 . Liczby
prosty. Znajdować

Rozwiązanie. Dowolną liczbę można przedstawić jako
Jeśli
wtedy otrzymasz trzy liczby pierwsze
spełniające warunki problemu. Jeśli
To
złożony. Jeśli
ten numer
podzielony przez i jeśli
ten numer
jest podzielna przez Zatem we wszystkich rozważanych opcjach nie można uzyskać trzech liczb pierwszych. Odpowiedź:

Definicja. Numer nazywa się największym wspólnym dzielnikiem liczb, a jeśli dzieli i i jest największą z takich liczb.

Przeznaczenie:

Definicja . Liczby i mówi się, że są względnie pierwsze jeśli

Przykład 1 2 . Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych

Rozwiązanie. Pozwalać

Zatem równanie wygląda następująco: Odpowiedź: Nie ma rozwiązań.

Opodstawowe twierdzenie arytmetyki

Twierdzenie. Każda liczba naturalna większa niż jest liczbą pierwszą lub może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych, a iloczyn ten jest unikalny w zależności od kolejności czynników.

Wniosek 1. Pozwalać

Następnie
jest równy iloczynowi wszystkich wspólnych czynników pierwszych o najmniejszych potęgach.

Konsekwencja 2. Pozwalać
Następnie
jest równy iloczynowi wszystkich różnych czynników pierwszych o największych potęgach. podzielony przez

10. Znajdź ostatnią cyfrę liczby 7 2011 + 9 2011.

11. Znajdź wszystkie liczby naturalne, które zwiększają się 9 razy, jeśli między cyfrą jedności a cyfrą dziesiątek wstawi się zero.

12. Do jakiejś dwucyfrowej liczby dodano jedynkę po lewej i prawej stronie. W rezultacie otrzymano liczbę 23 razy większą od oryginału. Znajdź ten numer.

Pytania dotyczące teorii lub ćwiczeń można zadawać Walerijowi Pietrowiczowi Czuwakowowi

rozdz @ uit . ru

dodatkowa literatura

1. Vilenkin N.Ya. i inne.Za kartkami podręcznika do matematyki. Arytmetyka. Algebra. –M.: Edukacja, 2008.

2. Sevryukov P.F. Przygotowanie do rozwiązywania problemów olimpijskich z matematyki. –M.: Ilexa, 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Jak decydują zadania niestandardowe. -M. MCNMO, 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Olimpiady Matematyczne regionu moskiewskiego. –M.: Fizmatkniga, 2006

5. Gorbaczow N.V. Zbiór problemów olimpijskich, –M.:MCNMO, 2004

Wykład

Notatki z wykładów z kursu „Teoria liczb”

Wykład

Kolejne części teorii liczby: teoria podzielność, proste i złożone... Twierdzenie. Niech x>0, xR, dN. Ilość naturalnyliczby, wielokrotność d i nieprzekraczająca x, jest równa... Wykład 12 13 Wykład 13 15 Literatura. 17 AbstrakcyjnyWykłady na kursie „Teorie” liczby" ...

Notatki z wykładów z ulturologii

Abstrakcyjny

Pawluczenkow AbstrakcyjnyWykłady w kulturoznawstwie… nierównomiernie i istniało wewnątrz naturalny farmy. Jest w polis... badaniach nieskończenie małych liczby w dużej mierze zakończyliśmy tworzenie... póki materiał podzielny do nieskończoności. Duchowy...

D A Notatki z wykładów z logiki Shadrin

Abstrakcyjny

Reprezentuje abstrakcyjnyWykłady w dyscyplinie „Logika”. AbstrakcyjnyWykłady skompilowany w... to jest definicja naturalnyliczby. Zatem jeśli 1 - naturalny liczba i n - naturalny liczba, następnie 1 ... wyczerpuj całą objętość podzielny pojęcia, więc...

Kierunek kształcenia: nauki przyrodnicze.

Sekcja: „Matematyka”

Prace badawcze na temat:

„Znaki podzielności liczb naturalnych”

Kierownik: Łapko I.V.

nauczyciel matematyki

Wstęp:

1. Fakty z historii matematyki.

2. Znaki podzielności przez 2, 3, 4, 5,6,8, 9, 10.

3. Znaki podzielności liczb naturalnych przez 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

4. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem kryteriów podzielności.

6. Spis wykorzystanej literatury (źródeł).

Znaczenie: Wszyscy w szkole nauczyliśmy się znaków podzielności, które do dziś pomagają nam, nie tracąc niepotrzebnego czasu, szybko i dokładnie podzielić tę lub inną liczbę. Niedawno, przypominając sobie ten temat, zacząłem się zastanawiać, czy istnieją inne oznaki podzielności przez liczby naturalne. I to właśnie ta myśl popchnęła mnie do napisania pracy badawczej.
Hipoteza: Jeśli potrafisz określić podzielność liczb naturalnych przez 2, 3, 5, 9, 10, najprawdopodobniej istnieją znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych przez inne liczby.
Przedmiot badań: podzielność liczb naturalnych.

Przedmiot badań: oznaki podzielności liczb naturalnych.

Cel: uzupełniają znane już w szkole znaki podzielności liczb naturalnych.

Zadania:
1. Zdefiniuj i powtórz poznane już znaki podzielności przez 2, 3. 5, 9, 10.
2. Przestudiowanie dodatkowej literatury potwierdzającej słuszność postawionego pytania o istnienie innych znaków podzielności liczb naturalnych.
3. Samodzielnie sprawdza i uzyskuje znaki podzielności liczb naturalnych przez 4, 6, 8, 15, 25.
4. Znajdź w dodatkowej literaturze oznaki podzielności liczb naturalnych przez 7, 11,12,13,14.
5.Wyciągnij wniosek.
Nowość: W trakcie realizacji projektu poszerzyłem swoją wiedzę na temat znaków podzielności liczb naturalnych.

Metody badawcze: zbieranie materiału, przetwarzanie danych, obserwacja, porównywanie, analiza, synteza.

1. Fakty z historii matematyki

1. Znak podzielności- algorytm pozwalający stosunkowo szybko określić, czy dana liczba jest wielokrotnością ustalonej liczby
Test podzielności to reguła, według której bez dzielenia można stwierdzić, czy dana liczba naturalna jest podzielna przez inną. Znaki podzielności zawsze interesowały naukowców różne kraje i czasy Znaki podzielności przez 2, 3, 5, 9, 10 znane są od czasów starożytnych. Znak podzielności przez 2 był znany starożytnym Egipcjanom już 2 tysiące lat p.n.e., zaś znaki podzielności przez 2, 3, 5 szczegółowo opisał włoski matematyk Leonardo Pisanus (łac. Leonardus Pisanus, wł. Leonardo Pisano, około 1170 r., Piza – ok. 1250 r., tamże) – pierwszy większy matematyk średniowiecznej Europy. Najbardziej znany jest pod pseudonimem Fibonacci. Aleksandryjski naukowiec Eratostenes, który żył w III wieku p.n.e., zastanawiał się kiedyś nad tym samym pytaniem. Jego metodę tworzenia listy liczb pierwszych nazwano „sitem Eratostenesa”. Załóżmy, że musimy znaleźć wszystkie liczby pierwsze do 100. Zapiszmy wszystkie liczby do 100 z rzędu.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Pozostawiając cyfrę 2, przekreśl wszystkie pozostałe liczby parzyste. Pierwszą pozostałą liczbą po 2 będzie 3. Teraz zostawiając cyfrę 3, skreślmy liczby podzielne przez 3. Następnie skreślimy liczby podzielne przez 5. W efekcie przekreślone zostaną wszystkie liczby złożone i tylko liczby pierwsze pozostaną: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97. Za pomocą tej metody można tworzyć listy liczb pierwszych większych niż 100.

Zagadnieniem podzielności liczb zajmowali się pitagorejczycy. W teorii liczb włożyli dużo pracy w typologię liczb naturalnych. Pitagorejczycy podzielili je na klasy. Wyróżniono klasy: liczby doskonałe (number równa sumie własne dzielniki, na przykład: 6=1+2+3), liczby przyjazne (każda z nich jest równa sumie dzielników drugiej, na przykład 220 i 284: 284=1+2+4+5+10+ 20+11+22+44 +55+110, 220=1+2+4+71+142), liczby figurowe (liczba trójkątna, liczba kwadratowa), liczby pierwsze itp. Blaise Pascal (1623-1662) dokonał świetnego wkład w badanie znaków podzielności liczb. ). Młody Blaise pokazał się bardzo wcześnie umiejętności matematyczne, uczę się liczyć przed czytaniem. Ogólnie rzecz biorąc, jego przykład to klasyczny przypadek matematycznego geniuszu z dzieciństwa. W wieku 24 lat napisał swój pierwszy traktat matematyczny „Doświadczenie z teorii przekrojów stożkowych”. Mniej więcej w tym samym czasie zaprojektował mechaniczną maszynę sumującą, prototyp maszyny sumującej. W wczesny okres W swojej pracy twórczej (1640-1650) wszechstronny naukowiec znalazł algorytm znajdowania znaków podzielności dowolnej liczby całkowitej przez dowolną inną liczbę całkowitą, z której wynikają wszystkie znaki szczególne. Jej znak jest następujący: Liczba naturalna a zostanie podzielona przez inną liczbę naturalną b tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr liczby a przez odpowiednie reszty otrzymane z dzielenia jednostek cyfr przez liczbę b będzie podzielna przez tę liczbę numer.
Studiując ten temat, musisz znać pojęcia dzielnika, wielokrotności, liczb pierwszych i złożonych.Dziennik liczby naturalnej a to liczba naturalna b, przez którą a jest dzielone bez reszty.Często stwierdzenie o podzielności liczby przez liczbę b wyraża się innymi równoważnymi słowami: a jest wielokrotnością b, b jest dzielnikiem a, b dzieli a. Liczby pierwsze to liczby naturalne, które mają dwa dzielniki: 1 i samą liczbę. Na przykład liczby 5,7,19 są liczbami pierwszymi, ponieważ są podzielne przez 1 i siebie. Liczby, które mają więcej niż dwa dzielniki, nazywane są liczbami złożonymi. Na przykład liczba 14 ma 4 dzielniki: 1, 2, 7, 14, co oznacza, że jest złożona.

2. Znaki podzielności

Aby uprościć dzielenie liczb naturalnych, wyprowadzono zasady podziału na liczby pierwszej dziesiątki oraz liczby 11, 25, które połączono w rozdziale poświęconym znakom podzielności liczb naturalnych. Poniżej znajdują się zasady, według których analiza liczby bez dzielenia jej przez inną liczbę naturalną odpowie na pytanie, czy liczba naturalna jest wielokrotnością liczb 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 i jednostka cyfrowa?

Liczby naturalne, których pierwsza cyfra kończy się na 2,4,6,8,0, nazywane są parzystymi.

Test podzielności liczb przez 2

Wszystkie parzyste liczby naturalne są podzielne przez 2, na przykład: 172, 94,67, 838, 1670.

Na przykład liczba 52 738 jest podzielna przez 2, ponieważ ostatnia cyfra, 8, jest parzysta; 7691 nie jest podzielne przez 2, ponieważ 1 jest liczbą nieparzystą; Liczba 1250 jest podzielna przez 2, ponieważ jej ostatnią cyfrą jest zero.

Test podzielności liczb przez 3

Wszystkie liczby naturalne, których suma cyfr jest podzielna przez 3, są podzielne przez 3. Na przykład:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Przykłady.

Liczba 52632 jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (18) jest podzielna przez 9.

Test podzielności liczb przez 4

Wszystkie liczby naturalne, których dwie ostatnie cyfry są zerami lub wielokrotnością 4, są podzielne przez 4.
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Przykłady.
Liczba 31 700 jest podzielna przez 4, ponieważ kończy się dwoma zerami;
215 634 nie jest podzielne przez 4, gdyż dwie ostatnie cyfry dają liczbę 34, która nie jest podzielna przez 4;
Liczba 16608 jest podzielna przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry liczby 08 dają liczbę 8, która dzieli się przez 4.

Test podzielności liczb przez 5

Test podzielności liczb przez 6

Te liczby naturalne, które są podzielne jednocześnie przez 2 i 3, są podzielne przez 6 (wszystkie liczby parzyste, które dzielą się przez 3). Na przykład: 126 (b - parzyste, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Test podzielności liczb przez 8

Te i tylko te liczby, które kończą się trzema zerami lub których trzy ostatnie cyfry wyrażają liczbę podzielną przez 8, są podzielne przez 8. Przykład

Liczba 853 000 kończy się trzema zerami, co oznacza, że jest podzielna przez 8

Liczba 381 864 jest podzielna przez 8, ponieważ liczba utworzona przez trzy ostatnie cyfry liczby 864 jest podzielna przez 8.

ItpZnak podzielności liczb przez 9

Te liczby naturalne, których suma cyfr jest wielokrotnością 9, są podzielne przez 9. Na przykład:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Przykłady.
Liczba 17835 jest podzielna przez 3 i nie jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr 1 + 7 + 8 + 3 + 5 = 24 jest podzielna przez 3 i nie jest podzielna przez 9.
Liczba 105 499 nie jest podzielna ani przez 3, ani przez 9, ponieważ suma jej cyfr (29) nie jest podzielna ani przez 3, ani przez 9.
Liczba 52632 jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr (18) jest podzielna przez 9

Test podzielności liczb przez 10

Przykłady.
8200 jest podzielne przez 10 i 100;
542000 dzieli się przez 10, 100, 1000.

3. Znaki podzielności liczb naturalnych przez 7, 11, 12, 13, 14, 19, 25,50.

W dodatkowej literaturze znaleźliśmy potwierdzenie poprawności sformułowanych przez nas kryteriów podzielności liczb naturalnych przez 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Znaleźliśmy także kilka oznak podzielności przez 7:
1) Liczba naturalna jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między liczbą tysięcy a liczbą wyrażoną trzema ostatnimi cyframi jest podzielna przez 7.
Przykłady:
478009 jest podzielne przez 7, ponieważ 478-9=469, 469 dzieli się przez 7.
Liczba 479345 nie jest podzielna przez 7, ponieważ 479-345=134, 134 nie jest podzielne przez 7.
2) Liczba naturalna jest podzielna przez 7, jeśli suma liczby podwójnej do dziesiątek i pozostałej liczby jest podzielna przez 7.
Przykłady:
Liczba 4592 jest podzielna przez 7, ponieważ 45·2=90, 90+92=182, 182 dzieli się przez 7.
Liczba 57384 nie jest podzielna przez 7, ponieważ 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 nie jest podzielne przez 7.
3) Trzycyfrowa liczba naturalna w postaci aba będzie podzielna przez 7, jeśli a+b jest podzielne przez 7.
Przykłady:
252 jest podzielne przez 7, ponieważ 2+5=7, 7/7.
636 nie jest podzielne przez 7, ponieważ 6+3=9, 9 nie jest podzielne przez 7.
4) Trzycyfrowa liczba naturalna postaci baa będzie podzielna przez 7, jeżeli suma cyfr tej liczby będzie podzielna przez 7.
Przykłady:
455 jest podzielne przez 7, ponieważ 4+5+5=14, 14/7.
244 nie jest podzielne przez 7, ponieważ 2+4+4=12, 12 nie jest podzielne przez 7.
5) Trzycyfrowa liczba naturalna postaci aab będzie podzielna przez 7, jeśli 2a-b jest podzielna przez 7.
Przykłady:
882 jest podzielne przez 7, ponieważ 8+8-2=14, 14/7.
996 nie jest podzielne przez 7, ponieważ 9+9-6=12, 12 nie jest podzielne przez 7.
6) Czterocyfrowa liczba naturalna postaci baa, gdzie b jest liczbą dwucyfrową, będzie podzielna przez 7, jeżeli b+2a będzie podzielna przez 7.
Przykłady:
2744 jest podzielne przez 7, ponieważ 27+4+4=35, 35/7.
Rok 1955 nie jest podzielny przez 7, ponieważ 19+5+5=29, 29 nie jest podzielne przez 7.
7) Liczba naturalna jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy wynik odjęcia dwukrotności ostatniej cyfry od tej liczby bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 7.
Przykłady:
483 jest podzielne przez 7, ponieważ 48-3·2=42, 42/7.
564 nie jest podzielne przez 7, ponieważ 56-4 2=48, 48 nie jest podzielne przez 7.
8) Liczba naturalna jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr tej liczby przez odpowiednie reszty otrzymane z dzielenia jednostek cyfr przez liczbę 7 jest podzielna przez 7.
Przykłady:
10׃7=1 (ostatnie 3)
100׃7=14 (ostatnie 2)
1000׃7=142 (ostatnie 6)
10000׃7=1428 (ostatnie 4)
100000׃7=14285 (ostatnie 5)
1000000׃7=142857 (reszta 1), a resztę powtarzamy jeszcze raz.
Liczba 1316 dzieli się przez 7, ponieważ... 1 6 + 3 2 + 1 3 + 6 = 21, 21/7 (6 reszty z dzielenia 1000 przez 7; 2 reszty z dzielenia 100 przez 7; 3 reszty z dzielenia 10 przez 7) .
Liczba 354722 nie jest podzielna przez 7, ponieważ... 3,5+5,4+4,6+7,2+2,3+2=81, 81 nie jest podzielne przez 7 (5 to reszta z dzielenia 100 000 przez 7; 4 to reszta z dzielenia 10 000 przez 7 ; 6 reszt z dzielenia 1000 przez 7; 2 reszty z dzielenia 100 przez 7; 3 reszty z dzielenia 10 przez 7).
Podzielność przez 11.
1) Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica między sumą cyfr w miejscach nieparzystych a sumą cyfr w miejscach parzystych jest wielokrotnością 11.
Różnica może być Liczba ujemna lub 0, ale musi być wielokrotnością 11. Numeracja przebiega od lewej do prawej.
Przykład:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 nie jest wielokrotnością 11, co oznacza, że liczba ta nie jest podzielna przez 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 jest wielokrotnością 11, co oznacza, że liczba ta jest podzielna przez 11.
2) Liczbę naturalną dzieli się od prawej do lewej na grupy po 2 cyfry każda i grupy te dodaje się. Jeśli otrzymana suma jest wielokrotnością 11, wówczas sprawdzana liczba jest wielokrotnością 11.
Przykład: Ustal, czy liczba 12561714 jest podzielna przez 11.
Podzielmy liczbę na grupy po dwie cyfry każda: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 jest podzielne przez 11, co oznacza, że ta liczba jest podzielna przez 11.
3) Trzycyfrowa liczba naturalna jest podzielna przez 11, jeśli suma cyfr bocznych tej liczby jest równa cyfrze środkowej. Odpowiedź będzie składać się z tych samych liczb bocznych.
Przykłady:
594 jest podzielne przez 11, ponieważ 5+4=9, 9 jest pośrodku.
473 jest podzielne przez 11, ponieważ 4+3=7, 7- w środku.
Liczba 861 nie jest podzielna przez 11, ponieważ 8+1=9, a w środku jest 6.
Test podzielności przez 12
Liczba naturalna jest podzielna przez 12 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna jednocześnie przez 3 i 4.
Przykłady:
Liczba 636 jest podzielna przez 3 i 4, co oznacza, że jest podzielna przez 12.
Liczba 587 nie jest podzielna przez 3 ani 4, co oznacza, że nie jest podzielna przez 12.
Liczba 27126 jest podzielna przez 3, ale nie jest podzielna przez 4, co oznacza, że nie jest podzielna przez 12.
Testy na podzielność przez 13
1) Liczba naturalna jest podzielna przez 13, jeśli różnica między liczbą tysięcy a liczbą utworzoną przez trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez 13.
Przykłady:
Liczba 465400 dzieli się przez 13, ponieważ... 465 - 400 = 65, 65 podzielone przez 13.
Liczba 256184 nie jest podzielna przez 13, ponieważ... 256 - 184 = 72, 72 nie jest podzielne przez 13.
2) Liczba naturalna jest podzielna przez 13 wtedy i tylko wtedy, gdy wynik odjęcia od tej liczby ostatniej cyfry pomnożonej przez 9 bez ostatniej cyfry jest podzielny przez 13.
Przykłady:
988 dzieli się przez 13, ponieważ 98 - 9 8 = 26, 26 dzieli się przez 13.
Liczba 853 nie jest podzielna przez 13, ponieważ 85 - 3 9 = 58, 58 nie jest podzielne przez 13.
Test podzielności przez 14
Liczba naturalna jest podzielna przez 14 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna jednocześnie przez 2 i 7.
Przykłady:
Liczba 45826 jest podzielna przez 2, ale nie jest podzielna przez 7, co oznacza, że nie jest podzielna przez 14.
Liczba 1771 jest podzielna przez 7, ale nie jest podzielna przez 2, co oznacza, że nie jest podzielna przez 14.
Liczba 35882 jest podzielna przez 2 i 7, co oznacza, że jest podzielna przez 14.
Test podzielności przez 19
Liczba naturalna jest podzielna przez 19 bez reszty wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jej dziesiątek dodana do dwukrotności liczby jednostek jest podzielna przez 19.
Należy wziąć pod uwagę, że liczbę dziesiątek w liczbie należy liczyć nie przez cyfrę na miejscu dziesiątek, ale przez całkowitą liczbę dziesiątek w całej liczbie.
Przykłady:
1534 dziesiątki to 153, 4 2 = 8, 153 + 8 = 161, 161 nie jest podzielne przez 19, co oznacza, że 1534 nie jest podzielne przez 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, czyli liczba to 1824/19.
Test podzielności przez 25 i 50
Dzielone przez 25 lub 50 to i tylko te liczby, które kończą się dwoma zerami lub których dwie ostatnie cyfry wyrażają liczbę podzielną odpowiednio przez 25 lub 50.

Liczba 97300 kończy się dwoma zerami, co oznacza, że jest podzielna zarówno przez 25, jak i 50.

Liczba 79 450 jest podzielna przez 25 i 50, ponieważ liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry 50 jest podzielna zarówno przez 25, jak i 50.

4. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem kryteriów podzielności.

Sprzedawca w sklepie.

Kupujący zabrał ze sklepu paczkę mleka o wartości 34,5 rubla, pudełko twarogu o wartości 36 rubli, 6 ciastek i 3 kilogramy cukru. Kiedy kasjer wybił czek na 296 rubli, kupujący zażądał sprawdzenia obliczeń i poprawienia błędu. W jaki sposób kupujący ustalił, że faktura była błędna?

Rozwiązanie: Koszt zakupionych towarów każdego rodzaju wyrażony jest jako liczba podzielna przez 3 (dla dwóch pierwszych rodzajów towarów cena jest wielokrotnością 3, a dla pozostałych - liczba zakupionych towarów jest wielokrotnością 3). każdy z wyrazów jest podzielny przez 3, wówczas kwota musi być podzielna przez 3. Liczba 296 nie jest podzielna przez 3, dlatego obliczenie jest błędne.

Jabłka w pudełkuke.

Liczba jabłek w pudełku jest mniejsza niż 200. Można je równo podzielić między 2,3,4,5 i 6 dzieci. Jaka jest maksymalna liczba jabłek, które mogą znajdować się w pudełku?

Rozwiązanie.

LCM(2,3,4,5,6) = 60.

lata 60< 200, значит максимальное количество яблок в ящике = 180

Odpowiedź: 180 jabłek.

5. Wniosek:

Wykonując pracę zapoznałem się z historią rozwoju znaków podzielności, sformułowałem znaki podzielności liczb naturalnych przez 4, 6, 8, 15, 25,50 i znalazłem potwierdzenie tego w dodatkowej literaturze. Przekonałem się także, że istnieją inne oznaki podzielności liczb naturalnych (przez 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), co potwierdziło słuszność hipotezy o istnieniu innych oznak podzielności liczb naturalnych.

Spis wykorzystanej literatury (źródła):

1. Galkin V.A. Zadania na temat „Kryteria podzielności”. // Matematyka, 1999.-№5.-P.9.

2. Gusiew V.A., Orłow A.I., Rosenthal A.L. Zajęcia pozalekcyjne z matematyki w klasach 6-8 - M.: Edukacja, 1984.

3. Kaplun L.M. GCD i LCM w problemach. // Matematyka, 1999. - nr 7. - s. 4-6.

4. Pelman Ya.I. Matematyka jest interesująca! - M.: TERRA - Klub Książki, 2006

5. Słownik encyklopedyczny młodego matematyka./Comp. Savin A.P. - M.: Pedagogika, 1989. - s. 352.

6. Zasoby – Internet.