Według segmentu nazywamy część linii prostej składającą się ze wszystkich punktów tej linii, które znajdują się pomiędzy tymi dwoma punktami - nazywane są one końcami odcinka.
Spójrzmy na pierwszy przykład. Niech pewien odcinek zostanie zdefiniowany przez dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych. W w tym przypadku jego długość możemy obliczyć, stosując twierdzenie Pitagorasa.
Zatem w układzie współrzędnych rysujemy odcinek o podanych współrzędnych jego końców(x1; y1) I (x2; y2) . Na osi X I Y Narysuj prostopadłe od końców odcinka. Zaznaczmy na czerwono odcinki będące rzutami z pierwotnego odcinka na oś współrzędnych. Następnie przenosimy segmenty projekcyjne równolegle do końców segmentów. Otrzymujemy trójkąt (prostokątny). Przeciwprostokątną tego trójkąta będzie sam odcinek AB, a jego ramiona to przeniesione występy.
Obliczmy długość tych występów. Zatem na oś Y długość projekcji wynosi y2-y1 i na osi X długość projekcji wynosi x2-x1 . Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . W tym przypadku |AB| jest długością odcinka.
Jeśli użyjesz tego diagramu do obliczenia długości odcinka, nie będziesz musiał nawet konstruować odcinka. Obliczmy teraz długość odcinka za pomocą współrzędnych (1;3) I (2;5) . Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Oznacza to, że długość naszego odcinka jest równa 5:1/2 .
Rozważ następującą metodę znajdowania długości odcinka. Aby to zrobić, musimy znać współrzędne dwóch punktów w jakimś układzie. Rozważmy tę opcję, używając dwuwymiarowego kartezjańskiego układu współrzędnych.
Zatem w dwuwymiarowym układzie współrzędnych podawane są współrzędne skrajnych punktów odcinka. Jeśli przez te punkty poprowadzimy linie proste, muszą one być prostopadłe do osi współrzędnych, wtedy otrzymamy trójkąt prostokątny. Oryginalny odcinek będzie przeciwprostokątną powstałego trójkąta. Nogi trójkąta tworzą segmenty, ich długość jest równa rzutowi przeciwprostokątnej na osie współrzędnych. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa wnioskujemy: aby znaleźć długość danego odcinka, należy znaleźć długości rzutów na dwie osie współrzędnych.
Znajdźmy długości projekcji (X i Y) oryginalny segment na osie współrzędnych. Obliczamy je, znajdując różnicę współrzędnych punktów na osobnej osi: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Oblicz długość odcinka A , w tym celu znajdujemy pierwiastek kwadratowy:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Jeśli nasz odcinek znajduje się pomiędzy punktami, których współrzędne 2;4 I 4;1 , wówczas jego długość jest odpowiednio równa √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
Długość, jak już wspomniano, jest oznaczona znakiem modułu.
Jeżeli dane są dwa punkty płaszczyzny i , to długość odcinka można obliczyć ze wzoru
Jeżeli dane są dwa punkty w przestrzeni i, to długość odcinka można obliczyć za pomocą wzoru
Notatka: Formuły pozostaną poprawne, jeśli zamienimy odpowiednie współrzędne: I , ale pierwsza opcja jest bardziej standardowa
Przykład 3
Rozwiązanie: według odpowiedniego wzoru:
Odpowiedź: 
Dla jasności zrobię rysunek 
Segment – to nie jest wektor i oczywiście nie można go nigdzie przenieść. Dodatkowo, jeśli rysujesz w skali: 1 jednostka. = 1 cm (dwie komórki notesu), wówczas uzyskaną odpowiedź można sprawdzić zwykłą linijką, bezpośrednio mierząc długość odcinka.
Tak, rozwiązanie jest krótkie, ale jest w nim jeszcze kilka ważne punkty które chciałbym wyjaśnić:
Po pierwsze, w odpowiedzi podajemy wymiar: „jednostki”. Warunek nie mówi CO to jest, milimetry, centymetry, metry czy kilometry. Dlatego poprawnym matematycznie rozwiązaniem byłoby ogólne sformułowanie: „jednostki” - w skrócie „jednostki”.
Po drugie, powtórzmy materiał szkolny, co jest przydatne nie tylko dla rozważanego problemu:
Uwaga ważna technika – usunięcie mnożnika spod pierwiastka. W wyniku obliczeń otrzymujemy wynik, a dobry styl matematyczny polega na usunięciu współczynnika spod pierwiastka (jeśli to możliwe). Bardziej szczegółowo proces wygląda następująco: 
. Oczywiście pozostawienie odpowiedzi bez zmian nie byłoby błędem - ale z pewnością byłoby mankamentem i poważnym argumentem za sprzeczeniem ze strony nauczyciela.
Oto inne typowe przypadki: 
Często korzeń daje dość dużą liczbę, na przykład . Co zrobić w takich przypadkach? Korzystając z kalkulatora sprawdzamy, czy liczba jest podzielna przez 4: . Tak, został całkowicie podzielony, a więc: 
. A może liczbę można ponownie podzielić przez 4? . Zatem: 
. Pod numerem ostatnia cyfra dziwne, więc dzielenie przez 4 po raz trzeci oczywiście nie zadziała. Spróbujmy podzielić przez dziewięć: . W rezultacie:
Gotowy.
Wniosek: jeśli pod pierwiastkiem otrzymamy liczbę, której nie da się wydobyć w całości, to staramy się usunąć czynnik spod pierwiastka - za pomocą kalkulatora sprawdzamy, czy liczba jest podzielna przez: 4, 9, 16, 25, 36, 49 itd.
Podczas decyzji różne zadania korzenie są powszechne, zawsze staraj się wyciągać czynniki spod pierwiastka, aby uniknąć niższej oceny i niepotrzebnych problemów z finalizacją rozwiązań w oparciu o uwagi nauczyciela.
Powtórzmy także pierwiastki kwadratowe i inne potęgi: 
Zasady działań ze stopniami w widok ogólny można znaleźć w szkolnym podręczniku do algebry, ale myślę, że z podanych przykładów wszystko lub prawie wszystko jest już jasne.
Zadanie dla niezależna decyzja z segmentem w przestrzeni:
Przykład 4
Punkty i są przyznawane. Znajdź długość odcinka.
Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.
Istnieje cała grupa zadań (wchodzących w skład zadań egzaminacyjnych) związanych z płaszczyzną współrzędnych. Są to zadania począwszy od najbardziej elementarnych, które rozwiązuje się ustnie (wyznaczenie rzędnej lub odciętej danego punktu, punktu symetrycznego do danego punktu i inne), a skończywszy na zadaniach wymagających wysokiej jakości wiedzy, zrozumienia i dobre umiejętności (zagadnienia związane ze współczynnikiem kątowym linii prostej).
Stopniowo rozważymy je wszystkie. W tym artykule zaczniemy od podstaw. Ten proste zadania wyznaczać: odciętą i rzędną punktu, długość odcinka, środek odcinka, sinus lub cosinus kąta nachylenia prostej.Większość ludzi nie będzie zainteresowana tymi zadaniami. Uważam jednak za konieczne ich przedstawienie.
Faktem jest, że nie wszyscy chodzą do szkoły. Wiele osób przystępuje do ujednoliconego egzaminu państwowego 3-4 lub więcej lat po ukończeniu studiów i mgliście pamiętają, czym jest odcięta i rzędna. Przeanalizujemy także inne zadania związane z płaszczyzną współrzędnych, nie przegap tego, subskrybuj aktualizacje bloga. Teraz n trochę teorii.
Skonstruujmy punkt A na płaszczyźnie współrzędnych o współrzędnych x=6, y=3.
Mówią, że odcięta punktu A jest równa sześć, a rzędna punktu A jest równa trzy.
Mówiąc najprościej, oś wołu jest osią odciętych, oś y jest osią rzędnych.
Oznacza to, że odcięta jest punktem na osi x, na który rzutowany jest punkt podany na płaszczyźnie współrzędnych; Współrzędna to punkt na osi Y, na który rzutowany jest określony punkt.
Długość odcinka w płaszczyźnie współrzędnych
Wzór na określenie długości odcinka, jeśli znane są współrzędne jego końców:
Jak widać, długość odcinka to długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym o równych ramionach
X B - X A i U B - U A
* * *
Środek segmentu. Jej współrzędne.
Wzór na znalezienie współrzędnych środka odcinka:
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać:
gdzie (x 1;y 1) i (x 2;y 2 ) współrzędne dane punkty.
Podstawiając wartości współrzędnych do wzoru, sprowadza się to do postaci:
y = kx + b, gdzie k jest nachyleniem linii
Informacje te będą nam potrzebne przy rozwiązywaniu innej grupy problemów związanych z płaszczyzną współrzędnych. Będzie o tym artykuł, nie przegapcie go!
Co jeszcze możesz dodać?
Kąt nachylenia linii prostej (lub odcinka) to kąt pomiędzy osią oX a tą linią prostą, mieszczący się w zakresie od 0 do 180 stopni.
Rozważmy zadania.
Z punktu (6;8) prostopadła zostaje spuszczona na oś rzędnych. Znajdź rzędną podstawy prostopadłej.
Podstawa prostopadłej obniżonej na oś rzędnych będzie miała współrzędne (0;8). Współrzędna jest równa osiem.
Odpowiedź: 8
Znajdź odległość od punktu A ze współrzędnymi (6;8) do osi rzędnych.
Odległość punktu A od osi rzędnych jest równa odciętej punktu A.
Odpowiedź: 6.
A(6;8) względem osi Wół.
Kropka punkt symetryczny A względem osi oX ma współrzędne (6; – 8).
Współrzędna jest równa minus osiem.
Odpowiedź: – 8
Znajdź rzędną punktu symetrycznego do tego punktu A(6;8) względem początku.
Punkt symetryczny do punktu A względem początku układu współrzędnych ma współrzędne (– 6;– 8).
Jego rzędna to – 8.
Odpowiedź: –8
Znajdź odciętą środka odcinka łączącego te punktyO(0;0) i A(6;8).
Aby rozwiązać zadanie, należy znaleźć współrzędne środka odcinka. Współrzędne końców naszego odcinka to (0;0) i (6;8).
Obliczamy korzystając ze wzoru:
Mamy (3;4). Odcięta jest równa trzy.
Odpowiedź: 3
*Odciętą środka odcinka można wyznaczyć bez obliczeń, korzystając ze wzoru, konstruując ten odcinek na płaszczyźnie współrzędnych na kartce papieru w kwadracie. Środek segmentu będzie łatwy do określenia na podstawie komórek.
Znajdź odciętą środka odcinka łączącego punkty A(6;8) i B(–2;2).
Aby rozwiązać zadanie, należy znaleźć współrzędne środka odcinka. Współrzędne końców naszego odcinka to (–2;2) i (6;8).
Obliczamy korzystając ze wzoru:
Mamy (2;5). Odcięta jest równa dwa.
Odpowiedź: 2
*Odciętą środka odcinka można wyznaczyć bez obliczeń, korzystając ze wzoru, konstruując ten odcinek na płaszczyźnie współrzędnych na kartce papieru w kwadracie.
Znajdź długość odcinka łączącego punkty (0;0) i (6;8).
Długość odcinka przy danych współrzędnych jego końców oblicza się ze wzoru:
w naszym przypadku mamy O(0;0) i A(6;8). Oznacza,
*Kolejność współrzędnych przy odejmowaniu nie ma znaczenia. Możesz odjąć odciętą i rzędną punktu A od odciętej i rzędnej punktu O:
Odpowiedź: 10
Znajdź cosinus nachylenia odcinka łączącego punkty O(0;0) i A(6;8), z osią x.
Kąt nachylenia odcinka to kąt pomiędzy tym odcinkiem a osią oX.
Z punktu A obniżamy prostopadle do osi oX:
Oznacza to, że kąt nachylenia odcinka jest kątemNOKw trójkącie prostokątnym ABO.
Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wynosi
stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej
Musimy znaleźć przeciwprostokątnąOA.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej równa sumie kwadraty nóg.
Zatem cosinus kąta nachylenia wynosi 0,6
Odpowiedź: 0,6
Z punktu (6;8) prostopadła zostaje spuszczona na oś odciętych. Znajdź odciętą podstawę prostopadłej.
Przez punkt (6;8) poprowadzono linię prostą równoległą do osi odciętych. Znajdź współrzędną punktu przecięcia z osią o ty.
Znajdź odległość od punktu A ze współrzędnymi (6;8) do osi odciętych.
Znajdź odległość od punktu A ze współrzędnymi (6;8) do początku.
W poniższym artykule omówione zostaną zagadnienia związane ze znalezieniem współrzędnych środka odcinka, jeżeli jako dane wyjściowe dostępne są współrzędne jego skrajnych punktów. Zanim jednak zaczniemy badać to zagadnienie, wprowadźmy kilka definicji.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1
Segment– linia prosta łącząca dwa dowolne punkty, zwane końcami odcinka. Niech będą to np. punkty A i B i odpowiednio odcinek A B.
Jeśli odcinek A B będzie kontynuowany w obu kierunkach od punktów A i B, otrzymamy linię prostą A B. Następnie odcinek A B jest częścią powstałej linii prostej ograniczonej punktami A i B. Odcinek A B łączy punkty A i B będące jego końcami oraz zbiór punktów leżących pomiędzy nimi. Jeśli na przykład weźmiemy dowolny punkt K leżący pomiędzy punktami A i B, możemy powiedzieć, że punkt K leży na odcinku A B.
Definicja 2
Długość sekcji– odległość pomiędzy końcami odcinka w danej skali (odcinek o długości jednostkowej). Oznaczmy długość odcinka A B następująco: A B .
Definicja 3
Środek odcinka– punkt leżący na odcinku i w równej odległości od jego końców. Jeżeli środek odcinka A B wyznaczymy przez punkt C, to spełniona będzie równość: A C = C B
Dane wyjściowe: oś współrzędnych Ox i znajdujące się na niej nie pokrywające się punkty: A i B. Punkty te odpowiadają liczbom rzeczywistym x A i xB. Punkt C jest środkiem odcinka A B: konieczne jest określenie współrzędnych xC.
Ponieważ punkt C jest środkiem odcinka A B, spełniona będzie równość: | AC | = | C B | . Odległość między punktami określa moduł różnicy ich współrzędnych, tj.
| AC | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Wtedy możliwe są dwie równości: x C - x A = x B - x C i x C - x A = - (x B - x C)
Z pierwszej równości wyprowadzamy wzór na współrzędne punktu C: x C = x A + x B 2 (połowa sumy współrzędnych końców odcinka).
Z drugiej równości otrzymujemy: x A = x B, co jest niemożliwe, ponieważ w danych źródłowych – punkty nie pokrywające się. Zatem, wzór na określenie współrzędnych środka odcinka A B z końcami A (x A) i B(xB):
Otrzymany wzór będzie podstawą do wyznaczenia współrzędnych środka odcinka na płaszczyźnie lub w przestrzeni.
Dane wyjściowe: prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie O x y, dwa dowolne, nie pokrywające się punkty o podanych współrzędnych A x A, y A i B x B, y B. Punkt C jest środkiem odcinka A B. Należy wyznaczyć współrzędne x C i y C punktu C.
Weźmy do analizy przypadek, gdy punkty A i B nie pokrywają się i nie leżą na tej samej linii współrzędnych lub prostej prostopadłej do jednej z osi. A x , A y ; B x, B y i C x, C y - rzuty punktów A, B i C na osie współrzędnych (proste O x i O y).
Zgodnie z konstrukcją linie A A x, B B x, C C x są równoległe; linie są również równoległe do siebie. Razem z tym, zgodnie z twierdzeniem Talesa, z równości A C = C B wynikają równości: A x C x = C x B x i A y C y = C y B y, a one z kolei wskazują, że punkt C x jest środek odcinka A x B x, a C y to środek odcinka A y B y. I wtedy na podstawie otrzymanego wcześniej wzoru otrzymujemy:
x C = x A + x B 2 i y C = y A + y B 2
Te same wzory można zastosować w przypadku, gdy punkty A i B leżą na tej samej linii współrzędnych lub linii prostopadłej do jednej z osi. Prowadzić szczegółowa analiza Nie będziemy rozpatrywać tego przypadku, rozważymy go tylko graficznie:
Podsumowując wszystko powyższe, współrzędne środka odcinka A B na płaszczyźnie ze współrzędnymi końców A (x A, y A) I B(xB, yB) są zdefiniowane jako:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Dane wyjściowe: układ współrzędnych O x y z i dwa dowolne punkty o podanych współrzędnych A (x A, y A, z A) i B (x B, y B, z B). Należy wyznaczyć współrzędne punktu C, który jest środkiem odcinka A B.
Ax, Ay, Az; B x , B y , B z i C x , C y , C z - rzuty wszystkich podanych punktów na osie układu współrzędnych.
Zgodnie z twierdzeniem Talesa prawdziwe są następujące równości: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Zatem punkty C x , C y , C z są środkami odpowiednio odcinków A x B x , A y B y , A z B z . Następnie, Do określenia współrzędnych środka odcinka w przestrzeni poprawne są następujące wzory:
x do = x ZA + x B 2, y do = y A + y B 2, z do = z ZA + Z B 2
Otrzymane wzory mają zastosowanie również w przypadkach, gdy punkty A i B leżą na jednej z linii współrzędnych; na linii prostej prostopadłej do jednej z osi; w jednej płaszczyźnie współrzędnych lub w płaszczyźnie prostopadłej do jednej z płaszczyzn współrzędnych.
Wyznaczanie współrzędnych środka odcinka poprzez współrzędne wektorów promieni jego końców
Wzór na znalezienie współrzędnych środka odcinka można również wyprowadzić zgodnie z algebraiczną interpretacją wektorów.
Dane wyjściowe: prostokątny kartezjański układ współrzędnych O x y, punkty o podanych współrzędnych A (x A, y A) i B (x B, x B). Punkt C jest środkiem odcinka A B.
Zgodnie z geometryczną definicją działań na wektorach prawdziwa będzie równość: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punkt C jest w tym przypadku punktem przecięcia przekątnych równoległoboku zbudowanego na podstawie wektorów O A → i O B →, tj. punkt środka przekątnych Współrzędne wektora promienia punktu są równe współrzędnym punktu, wówczas spełnione są równości: O A → = (x A, y A), O B → = (x B). , i B). Wykonajmy pewne operacje na wektorach we współrzędnych i otrzymajmy:
O do → = 1 2 · O A → + O B → = x ZA + x b 2 , y ZA + y b 2
Zatem punkt C ma współrzędne:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Analogicznie wyznacza się wzór na znalezienie współrzędnych środka odcinka w przestrzeni:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Przykłady rozwiązywania problemów ze znalezieniem współrzędnych środka odcinka
Wśród problemów, które wiążą się z wykorzystaniem otrzymanych powyżej wzorów, są takie, w których bezpośrednim pytaniem jest obliczenie współrzędnych środka odcinka oraz takie, które polegają na sprowadzeniu danych warunków do tego pytania: termin „mediana” jest często używany, celem jest znalezienie współrzędnych jednego z końców odcinka, często spotykane są również problemy z symetrią, których rozwiązanie w zasadzie również nie powinno sprawiać trudności po przestudiowaniu tego tematu. Spójrzmy na typowe przykłady.
Przykład 1
Dane początkowe: na płaszczyźnie - punkty o danych współrzędnych A (- 7, 3) i B (2, 4). Konieczne jest znalezienie współrzędnych środka odcinka A B.
Rozwiązanie
Oznaczmy środek odcinka A B punktem C. Jego współrzędne zostaną określone jako połowa sumy współrzędnych końców odcinka, tj. punkty A i B.
x do = x za + x b 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y do = y za + y b 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Odpowiedź: współrzędne środka odcinka A B - 5 2, 7 2.
Przykład 2
Dane początkowe: znane są współrzędne trójkąta A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Konieczne jest znalezienie długości mediany A M.
Rozwiązanie
- Zgodnie z warunkami zadania A M jest medianą, co oznacza, że M jest środkiem odcinka B C . Na początek znajdźmy współrzędne środka odcinka B C, czyli: Punkty M.:
x M = x b + x do 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y b + y do 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Skoro znamy już współrzędne obu końców mediany (punktów A i M), możemy skorzystać ze wzoru, aby wyznaczyć odległość pomiędzy punktami i obliczyć długość mediany A M:
ZA M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Odpowiedź: 58
Przykład 3
Dane początkowe: w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeń trójwymiarowa dany równoległościan A B C D A 1 B 1 do 1 re 1 . Podano współrzędne punktu C 1 (1, 1, 0) oraz zdefiniowano punkt M, który jest środkiem przekątnej B D 1 i ma współrzędne M (4, 2, - 4). Należy obliczyć współrzędne punktu A.
Rozwiązanie
Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem wszystkich przekątnych. Na podstawie tego stwierdzenia możemy pamiętać, że znany z warunków zadania punkt M jest środkiem odcinka A C 1. Na podstawie wzoru na znalezienie współrzędnych środka odcinka w przestrzeni znajdujemy współrzędne punktu A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y do 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y do 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z do 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z do 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Odpowiedź: współrzędne punktu A (7, 3, - 8).
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
