Jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez k. Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Kontynuujemy studiowanie tematu ” rozwiązywanie równań" Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi i przechodzimy do zapoznania się z nimi równania kwadratowe.

Najpierw przyjrzymy się, czym jest równanie kwadratowe i jak się je zapisuje widok ogólny i podać powiązane definicje. Następnie użyjemy przykładów, aby szczegółowo zbadać, w jaki sposób rozwiązuje się niekompletne równania kwadratowe. Przejdźmy do rozwiązania pełne równania, otrzymamy wzór na pierwiastek, zapoznamy się z dyskryminatorem równania kwadratowego i rozważymy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec prześledźmy powiązania między pierwiastkami i współczynnikami.

Nawigacja strony.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest rozpoczęcie rozmowy o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także powiązanych definicji. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: równania zredukowane i nieredukowane, a także równania pełne i niekompletne.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Wynika to z faktu, że równanie kwadratowe jest równanie algebraiczne drugi stopień.

Podana definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Zatem 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. Są to równania kwadratowe.

Definicja.

Takty muzyczne a, b i c nazywane są współczynniki równania kwadratowego a·x 2 +b·x+c=0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub najwyższym, lub współczynnikiem x 2, b jest drugim współczynnikiem, czyli współczynnikiem x, a c jest wyrazem wolnym .

Weźmy na przykład równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x −3=0, tutaj współczynnik wiodący wynosi 5, drugi współczynnik jest równy −2, a wyraz wolny jest równy −3. Należy zauważyć, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, wówczas krótka forma zapisując równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 −2 x−3=0, a nie 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i/lub b są równe 1 lub -1, zwykle nie są one wyraźnie obecne w równaniu kwadratowym, co wynika ze specyfiki zapisywania takich . Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0 współczynnik wiodący wynosi jeden, a współczynnik y jest równy −1.

Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane

W zależności od wartości współczynnika wiodącego rozróżnia się równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik wiodący wynosi 1 dane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe ma postać nietknięty.

Według tę definicję, równania kwadratowe x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, itd. – biorąc pod uwagę, że w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. A 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich współczynniki wiodące są różne od 1.

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie strony przez współczynnik wiodący, można przejść do równania zredukowanego. Działanie to jest transformacją równoważną, to znaczy otrzymane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne nieredukowane równanie kwadratowe, lub podobnie jak ono nie ma pierwiastków.

Spójrzmy na przykład, jak dokonuje się przejścia z nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Musimy tylko podzielić obie części oryginalne równanie przez współczynnik wiodący 3 jest niezerowy, więc możemy wykonać tę akcję. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, czyli to samo, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, a następnie (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, skąd . W ten sposób otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Równania kwadratowe zupełne i niezupełne

Definicja równania kwadratowego zawiera warunek a≠0. Warunek ten jest niezbędny, aby równanie a x 2 + b x + c = 0 było kwadratowe, ponieważ gdy a = 0, faktycznie staje się równaniem liniowym w postaci b x + c = 0.

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno indywidualnie, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Nazywa się równaniem kwadratowym a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli przynajmniej jeden ze współczynników b, c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe jest równaniem, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Takie nazwy nie zostały nadane przypadkowo. Stanie się to jasne po następujących dyskusjach.

Jeżeli współczynnik b wynosi zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a·x 2 +0·x+c=0 i jest równoważne równaniu a·x 2 +c=0. Jeżeli c=0, czyli równanie kwadratowe ma postać a·x 2 +b·x+0=0, to można je przepisać jako a·x 2 +b·x=0. A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Powstałe równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że ​​tak trzy typy niepełnych równań kwadratowych:

• a·x 2 =0, odpowiadają temu współczynniki b=0 i c=0;
• a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
• i a·x 2 +b·x=0, gdy c=0.

Przyjrzyjmy się po kolei, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe każdego z tych typów.

a x 2 = 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań w postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału poprzez podzielenie obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 = 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 = 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co tłumaczy się faktem, że dla dowolnej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 > 0, co oznacza, że ​​dla p ≠0 równość p 2 = 0 nigdy nie jest osiągnięta.

Zatem niekompletne równanie kwadratowe a·x 2 =0 ma pojedynczy pierwiastek x=0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4 x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 = 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x = 0, dlatego pierwotne równanie ma pojedynczy pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku można zapisać w następujący sposób:
−4 x 2 =0 ,
x2 =0,
x=0 .

ax2 +c=0

Przyjrzyjmy się teraz, jak rozwiązuje się niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b wynosi zero, a c≠0, czyli równania w postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem, a także podzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową daje równanie równoważne. Dlatego możemy przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

• przejdź od do prawa strona, co daje równanie a x 2 =−c,
• i dzielimy obie strony przez a, otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego pierwiastków. W zależności od wartości a i c wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2, to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6, wtedy ), nie jest równa zeru , ponieważ zgodnie z warunkiem c≠0. Przyjrzyjmy się przypadkom osobno.

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli pamiętamy o , pierwiastek równania od razu staje się oczywisty; Łatwo zgadnąć, że liczba ta jest w istocie także pierwiastkiem równania. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać na przykład przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy pierwiastki równania właśnie ogłoszonego jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma jeszcze jeden pierwiastek x 2, inny niż wskazane pierwiastki x 1 i −x 1. Wiadomo, że podstawienie jego pierwiastków do równania zamiast x powoduje, że równanie staje się poprawną równością liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Właściwości równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie poprawnych równości liczbowych, zatem odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 −x 2 2 =0. Właściwości operacji na liczbach pozwalają nam zapisać otrzymaną równość jako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zero. Zatem z otrzymanej równości wynika, że ​​x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0, czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 =−x 1. Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1. To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niekompletne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu to

• nie ma korzeni, jeśli ,
• ma dwa pierwiastki i , jeśli .

Rozważmy przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0.

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0. Po przesunięciu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9 x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9, otrzymujemy . Ponieważ prawa strona ma liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego pierwotne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 +7 = 0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy kolejne niekompletne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przesuwamy dziewiątkę w prawą stronę: −x 2 = −9. Teraz dzielimy obie strony przez -1, otrzymujemy x 2 = 9. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której wnioskujemy, że lub . Następnie zapisujemy ostateczną odpowiedź: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

ax2 +bx=0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0. Niekompletne równania kwadratowe postaci a x 2 + b x = 0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdując się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wyjąć wspólny współczynnik x z nawiasów. To pozwala nam przejść od pierwotnego niekompletnego równania kwadratowego do równoważne równanie postaci x·(a·x+b)=0 . Równanie to jest równoważne zbiorowi dwóch równań x=0 i a·x+b=0, z których drugie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a.

Zatem niepełne równanie kwadratowe a·x 2 +b·x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie na konkretnym przykładzie.

Przykład.

Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie.

Usunięcie x z nawiasów daje równanie . Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: , i dzielimy liczbę mieszaną przez ułamek wspólny, znajdujemy. Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po nabyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można w skrócie zapisać:

Odpowiedź:

x=0 , .

Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy to wzór na pierwiastki równania kwadratowego: , Gdzie D=b 2 −4 za do- tzw dyskryminator równania kwadratowego. Wpis zasadniczo oznacza, że ​​.

Warto wiedzieć, w jaki sposób wyprowadzono wzór na pierwiastek i jak można go wykorzystać do znalezienia pierwiastków równań kwadratowych. Rozwiążmy to.

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Musimy rozwiązać równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0. Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

• Możemy podzielić obie strony tego równania przez niezerową liczbę a, uzyskując następujące równanie kwadratowe.
• Teraz wybierz cały kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
• Na tym etapie możliwe jest przeniesienie dwóch ostatnich wyrazów na prawą stronę z przeciwnym znakiem, mamy .
• Przekształćmy także wyrażenie po prawej stronie: .

W efekcie otrzymujemy równanie równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0.

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy to sprawdzaliśmy. Pozwala nam to wyciągnąć następujące wnioski dotyczące pierwiastków równania:

• jeżeli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
• jeżeli , to równanie ma zatem postać , z której widoczny jest jedyny jego pierwiastek;
• jeśli , to lub , co jest tym samym co lub , to znaczy równanie ma dwa pierwiastki.

Zatem obecność lub brak pierwiastków równania, a zatem pierwotnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia wyznacza znak licznika, gdyż mianownik 4·a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 −4·a·c. To wyrażenie b 2 −4 a c zostało nazwane dyskryminator równania kwadratowego i oznaczony literą D. Stąd jasna jest istota dyskryminatora - na podstawie jego wartości i znaku wnioskują, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wróćmy do równania i przepiszmy je stosując notację dyskryminacyjną: . I wyciągamy wnioski:

• jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
• wreszcie, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub, co można zapisać w postaci lub, i po rozwinięciu i sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy.

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki równania kwadratowego, które wyglądają jak , gdzie dyskryminator D oblicza się ze wzoru D=b 2 −4·a·c.

Za ich pomocą, z dodatnim dyskryminatorem, możesz obliczyć oba pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, oba wzory dają tę samą wartość pierwiastka, co odpowiada jednoznacznemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A przy ujemnym dyskryminatorze, próbując użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z ekstrakcją pierwiastek kwadratowy z liczba ujemna, co zabiera nas poza i program szkolny. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć przy użyciu tych samych wzorów na pierwiastki, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce przy rozwiązywaniu równań kwadratowych można od razu skorzystać ze wzoru na pierwiastek w celu obliczenia ich wartości. Ale jest to bardziej związane ze znalezieniem złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle nie mówimy o zespolonych, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw znaleźć dyskryminator, upewnić się, że jest on nieujemny (w przeciwnym razie możemy stwierdzić, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), i dopiero wtedy obliczyć wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0, należy:

• korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 −4·a·c oblicz jego wartość;
• wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, jeśli wyróżnik jest ujemny;
• obliczyć jedyny pierwiastek równania ze wzoru, jeśli D=0;
• znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, korzystając ze wzoru na pierwiastek, jeśli wyróżnik jest dodatni.

Tutaj po prostu zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, możesz również użyć wzoru, który da tę samą wartość co .

Można przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważmy rozwiązania trzech równań kwadratowych z wyróżnikiem dodatnim, ujemnym i zerowym. Po zapoznaniu się z ich rozwiązaniem analogicznie możliwe będzie rozwiązanie dowolnego innego równania kwadratowego. Zacznijmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania x 2 +2·x−6=0.

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1, b=2 i c=−6. Zgodnie z algorytmem należy najpierw obliczyć dyskryminator; w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru dyskryminacyjnego, który mamy D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je za pomocą wzoru głównego, otrzymamy, tutaj możesz uprościć wynikowe wyrażenia, wykonując przesunięcie mnożnika poza znak pierwiastka a następnie redukcja ułamka:

Odpowiedź:

Przejdźmy do następnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia dyskryminatora: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , to znaczy

Odpowiedź:

x=3,5.

Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5·y 2 +6·y+2=0.

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5, b=6 i c=2. Podstawiamy te wartości do wzoru dyskryminacyjnego, mamy D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Jeśli chcesz określić złożone korzenie, użyj dobrze znana formuła pierwiastki równania kwadratowego i wykonaj operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Zauważmy jeszcze raz, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to w szkole zwykle od razu zapisują odpowiedź, w której wskazują, że nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie znaleziono pierwiastków zespolonych.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego, gdzie D=b 2 −4·a·c pozwala otrzymać wzór w postaci bardziej zwartej, pozwalającej na rozwiązywanie równań kwadratowych z parzystym współczynnikiem dla x (lub po prostu z współczynnik w postaci na przykład 2·n lub 14·ln5=2,7·ln5 ). Wyciągnijmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe w postaci a x 2 +2 n x+c=0. Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanego nam wzoru. W tym celu obliczamy dyskryminator D=(2 n) 2 −4 za c=4 n 2 −4 za c=4 (n 2 −a do), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:

Oznaczmy wyrażenie n 2 −ac jako D 1 (czasami jest to oznaczone jako D „). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmie postać , gdzie D 1 = n 2 −a·c.

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1, czyli D 1 =D/4. Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jest oczywiste, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Zatem, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2·n, potrzebujesz

• Oblicz D 1 = n 2 −a·c ;
• Jeśli D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jeśli D 1 = 0, to oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
• Jeśli D 1 > 0, to znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste, korzystając ze wzoru.

Rozważmy rozwiązanie przykładu, korzystając ze wzoru na pierwiastek uzyskanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 −6 x −32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . Oznacza to, że możesz przepisać pierwotne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tutaj a=5, n=−3 i c=−32 i obliczyć czwartą część dyskryminujący: re 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki. Znajdźmy je, korzystając z odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Należy zauważyć, że możliwe było użycie zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku konieczne byłoby wykonanie większej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Upraszczanie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć postać tego równania?” Zgadzam się, że pod względem obliczeniowym łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 −4 x−6=0 niż 1100 x 2 −400 x−600=0.

Zazwyczaj uproszczenie postaci równania kwadratowego osiąga się poprzez pomnożenie lub podzielenie obu stron przez określoną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie można było uprościć równanie 1100 x 2 −400 x −600=0 dzieląc obie strony przez 100.

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W tym przypadku zwykle dzielimy obie strony równania przez wartości bezwzględne jego współczynniki. Weźmy na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: NWD(12, 42, 48)= NWD(NWD(12, 42), 48)= NWD(6, 48)=6. Dzieląc obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6, otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 −7 x+8=0.

Mnożenie obu stron równania kwadratowego jest zwykle wykonywane w celu pozbycia się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się przez mianowniki jego współczynników. Na przykład, jeśli obie strony równania kwadratowego pomnożymy przez LCM(6, 3, 1)=6, wówczas przyjmiemy prostszą postać x 2 +4·x−18=0.

Podsumowując ten punkt, zauważamy, że prawie zawsze pozbywają się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada mnożeniu (lub dzieleniu) obu stron przez -1. Na przykład zwykle przechodzi się od równania kwadratowego −2 x 2 −3 x+7=0 do rozwiązania 2 x 2 +3 x−7=0 .

Zależność pierwiastków i współczynników równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki. Na podstawie wzoru na pierwiastek można uzyskać inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i stosowane wzory z twierdzenia Viety mają postać i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład w postaci równania kwadratowego 3 x 2 −7 x + 22 = 0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków jest równy 22/3.

Korzystając z już napisanych wzorów, można uzyskać szereg innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić poprzez jego współczynniki: .

Referencje.

• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Miejska budżetowa placówka oświatowa średnia szkoła średnia № 11

Tekst pracy publikujemy bez obrazów i formuł.
Pełna wersja praca dostępna jest w zakładce „Pliki Pracy” w formacie PDF

Historia równań kwadratowych

Babilon

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego stopnia, ale także drugiego stopnia, w czasach starożytnych spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych z wyznaczaniem pól działek, wraz z rozwojem astronomii i samej matematyki. Równania kwadratowe wiedział, jak rozwiązać około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy. Zasady rozwiązywania tych równań, określone w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywają się ze współczesnymi, ale w tych tekstach nie ma pojęcia liczby ujemnej i metody ogólne rozwiązywanie równań kwadratowych.

Starożytna Grecja

Rozwiązywano także równania kwadratowe Starożytna Grecja tacy naukowcy jak Diofantos, Euklides i Heron. Diophantus Diofant z Aleksandrii to starożytny grecki matematyk, który żył prawdopodobnie w III wieku naszej ery. Głównym dziełem Diofantosa jest „Arytmetyka” w 13 księgach. Euklides. Euklides to starożytny grecki matematyk, autor pierwszego teoretycznego traktatu matematycznego, który do nas dotarł, Czapla. Czapla – grecki matematyk i inżynier, który pojawił się pierwszy w Grecji w I wieku n.e. daje czysto algebraiczny sposób rozwiązania równania kwadratowego

Indie

Zagadnienia dotyczące równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Przedstawił to inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.). ogólna zasada rozwiązania równań kwadratowych sprowadzone do jednej postaci kanonicznej: ax2 + bx = c, a > 0. (1) W równaniu (1) współczynniki mogą być ujemne. Reguła Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza. W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak samo uczony człowiek przyćmią chwałę zgromadzenia ludowe, proponowanie i rozwiązywanie problemów algebraicznych.” Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.

Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars.

„Stado rozbrykanych małp

A Dwunastu wzdłuż winorośli, jedząc do syta, dobrze się bawiło

Zaczęli skakać, zwisając

Część ósma do kwadratu

Ile było małp?

Bawiłem się na polanie

Powiedz mi, w tej paczce?

Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że autor wiedział, że pierwiastki równań kwadratowych są dwuwartościowe. Równanie Bhaskara odpowiadające problemowi zapisano jako x2 - 64x = - 768 i, w celu uzupełnienia lewa strona tego równania do kwadratu, dodaje 322 do obu stron i otrzymuje: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024, (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48 .

Równania kwadratowe w XVII-wiecznej Europie

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na wzór Al-Khorezmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. To obszerne dzieło, odzwierciedlające wpływ matematyki zarówno z krajów islamu, jak i starożytnej Grecji, wyróżnia się kompletnością i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z Księgi liczydła wykorzystano w prawie wszystkich podręcznikach europejskich XVI-XVII wieku. i częściowo XVIII. Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne u Vietha, ale Vieth rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz pozytywnych, brane są pod uwagę również pierwiastki negatywne. Dopiero w XVII w. Dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej formy.

Definicja równania kwadratowego

Równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami, nazywa się kwadratowym.

Współczynniki równania kwadratowego

Liczby a, b, c są współczynnikami równania kwadratowego. a jest pierwszym współczynnikiem (przed x²), a ≠ 0; b jest drugim współczynnikiem (przed x); c jest wyrazem wolnym (bez x).

Które z tych równań nie jest równaniem kwadratowym??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x3 +6x -8= 0.

Rodzaje równań kwadratowych

Nazwa	Ogólna postać równania	Cecha (jakie są współczynniki)	Przykłady równań
	topór 2 + bx + c = 0	a, b, c - liczby inne niż 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Niekompletny
			x 2 - 1/5x = 0
Dany	x 2 + bx + do = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Zredukowane jest równaniem kwadratowym, w którym współczynnik wiodący jest równy jeden. Takie równanie można otrzymać dzieląc całe wyrażenie przez współczynnik wiodący A:

X 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Równanie kwadratowe nazywa się kompletnym, jeśli wszystkie jego współczynniki są różne od zera.

Równanie kwadratowe nazywa się niepełnym, w którym co najmniej jeden ze współczynników, z wyjątkiem współczynnika wiodącego (albo drugi współczynnik, albo człon wolny), jest równy zero.

Metody rozwiązywania równań kwadratowych

Metoda I Ogólny wzór na obliczanie pierwiastków

Aby znaleźć pierwiastki równania kwadratowego topór 2 + b + do = 0 V przypadek ogólny powinieneś użyć poniższego algorytmu:

Oblicz wartość dyskryminatora równania kwadratowego: to jest jego wyrażenie D= B 2 - 4ac

Wyprowadzenie wzoru:

Notatka: Jest oczywiste, że wzór na pierwiastek krotności 2 jest szczególnym przypadkiem wzoru ogólnego, otrzymanego przez podstawienie do niego równości D=0 i wniosek o braku pierwiastków rzeczywistych w D0 oraz (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = ja.

Przedstawiona metoda jest uniwersalna, ale nie jedyna. Do rozwiązania pojedynczego równania można podchodzić na różne sposoby, a preferencje zwykle zależą od osoby rozwiązującej. Ponadto często w tym celu niektóre z metod okazują się znacznie bardziej eleganckie, proste i mniej pracochłonne niż standardowe.

II metoda. Pierwiastki równania kwadratowego o parzystym współczynniku B III metoda. Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Metoda IV. Stosowanie częściowych stosunków współczynników

Istnieją szczególne przypadki równań kwadratowych, w których współczynniki są ze sobą powiązane, co znacznie ułatwia ich rozwiązanie.

Pierwiastki równania kwadratowego, w którym suma współczynnika wiodącego i składnika wolnego jest równa drugiemu współczynnikowi

Jeśli w równaniu kwadratowym topór 2 + bx + do = 0 suma pierwszego współczynnika i terminu wolnego jest równa drugiemu współczynnikowi: a+b=c, to jego pierwiastki wynoszą -1 i liczba przeciwna stosunkowi wolnego terminu do współczynnika wiodącego ( -c/a).

Dlatego przed rozwiązaniem dowolnego równania kwadratowego należy sprawdzić możliwość zastosowania do niego tego twierdzenia: porównać sumę współczynnika wiodącego i składnika wolnego z drugim współczynnikiem.

Pierwiastki równania kwadratowego, którego suma wszystkich współczynników wynosi zero

Jeśli w równaniu kwadratowym suma wszystkich jego współczynników wynosi zero, wówczas pierwiastki takiego równania wynoszą 1, a stosunek wolnego członu do współczynnika wiodącego ( c/d).

Zatem przed rozwiązaniem równania standardowe metody, powinieneś sprawdzić możliwość zastosowania do niego tego twierdzenia: zsumuj wszystkie współczynniki tego równania i zobacz, czy suma ta nie jest równa zeru.

Metoda V. Rozkładanie trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe

Jeżeli trójmian ma postać (styl wyświetlania ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) można w jakiś sposób przedstawić jako iloczyn czynników liniowych (displaystyle (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), wtedy możemy znaleźć pierwiastki równania topór 2 + bx + do = 0- w końcu będą to -m/k i n/l (styl wyświetlania (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0kubek lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n i po rozwiązaniu wskazanych równania liniowe, otrzymujemy powyższe. Zauważ to trójmian kwadratowy nie zawsze rozkłada się na czynniki liniowe z rzeczywistymi współczynnikami: jest to możliwe, jeśli odpowiednie równanie ma rzeczywiste pierwiastki.

Rozważmy kilka szczególnych przypadków

Korzystanie ze wzoru na sumę kwadratową (różnicę).

Jeśli trójmian kwadratowy ma postać (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , to stosując do niego powyższy wzór, możemy rozłożyć go na współczynniki liniowe i , dlatego znajdź korzenie:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izolowanie pełnego kwadratu sumy (różnicy)

Powyższy wzór stosuje się również stosując metodę zwaną „wybieraniem pełnego kwadratu sumy (różnicy)”. W nawiązaniu do powyższego równania kwadratowego z wcześniej wprowadzonym zapisem oznacza to, co następuje:

Notatka: jeśli zauważysz tę formułę pokrywa się z zaproponowanym w rozdziale „Pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego”, które z kolei można otrzymać ze wzoru ogólnego (1) podstawiając równość a=1. Fakt ten nie jest przypadkowy: stosując opisaną metodę, choć po dodatkowym rozumowaniu, można wywnioskować ogólna formuła, a także udowodnić właściwości dyskryminatora.

Metoda VI. Korzystanie z bezpośredniego i odwrotnego twierdzenia Vieta

Twierdzenie bezpośrednie Viety (patrz poniżej w części o tej samej nazwie) i jego twierdzenie odwrotne pozwalają rozwiązać powyższe równania kwadratowe ustnie, bez uciekania się do dość uciążliwych obliczeń przy użyciu wzoru (1).

Zgodnie z twierdzeniem odwrotnym każda para liczb (liczba) (displaystyle x_(1),x_(2))x 1, x 2, będąca rozwiązaniem poniższego układu równań, jest pierwiastkiem równania

W ogólnym przypadku, czyli dla nieredukowanego równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Twierdzenie bezpośrednie pomoże ci znaleźć liczby, które spełniają te równania ustnie. Za jego pomocą możesz określić oznaki korzeni, nie znając samych korzeni. Aby to zrobić, postępuj zgodnie z zasadą:

1) jeśli wolny termin jest ujemny, wówczas pierwiastki mają różne znaki, a największym modułem pierwiastków jest znak znak przeciwny drugi współczynnik równania;

2) jeżeli wyraz wolny jest dodatni, to oba pierwiastki mają ten sam znak i jest to znak przeciwny do znaku drugiego współczynnika.

Metoda VII. Metoda transferu

Tak zwana metoda „przenoszenia” pozwala sprowadzić rozwiązanie równań nieredukowanych i nieredukowalnych do postaci równań zredukowanych o współczynnikach całkowitych poprzez podzielenie ich przez współczynnik wiodący do rozwiązania równań zredukowanych o współczynnikach całkowitych. Jest następująco:

Następnie równanie rozwiązuje się ustnie w sposób opisany powyżej, po czym wraca się do pierwotnej zmiennej i znajduje pierwiastki równań (displaystyle y_(1)=ax_(1)) y 1 = topór 1 I y 2 = topór 2 .(styl wyświetlania y_(2)=ax_(2))

Znaczenie geometryczne

Harmonogram funkcja kwadratowa jest parabolą. Rozwiązaniami (pierwiastkami) równania kwadratowego są odcięte punktów przecięcia paraboli z osią odciętych. Jeśli parabola opisana funkcją kwadratową nie przecina osi x, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych. Jeśli parabola przecina oś x w jednym punkcie (w wierzchołku paraboli), równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (mówi się również, że równanie ma dwa zbieżne pierwiastki). Jeśli parabola przecina oś x w dwóch punktach, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste (patrz ilustracja po prawej).

Jeśli współczynnik (styl wyświetlania a) A dodatni, gałęzie paraboli są skierowane w górę i odwrotnie. Jeżeli współczynnik (styl wyświetlania b) bpozytywny (jeśli pozytywny (styl wyświetlania a) A, jeśli jest ujemny, odwrotnie), to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie i odwrotnie.

Zastosowanie równań kwadratowych w życiu

Równanie kwadratowe jest szeroko stosowane. Jest stosowany w wielu obliczeniach, konstrukcjach, sporcie, a także wokół nas.

Rozważmy i podamy kilka przykładów zastosowania równania kwadratowego.

Sport. Skoki wzwyż: podczas rozbiegu skoczka wykorzystywane są obliczenia związane z parabolą, aby uzyskać jak najdokładniejszy strzał w poprzeczkę i polecieć wysoko.

Podobne obliczenia są potrzebne również przy rzucaniu. Zasięg lotu obiektu zależy od równania kwadratowego.

Astronomia. Trajektorię planet można wyznaczyć za pomocą równania kwadratowego.

Lot samolotem. Start samolotu jest głównym elementem lotu. Tutaj wykonujemy obliczenia dla niskiego oporu i przyspieszenia startu.

Równania kwadratowe wykorzystywane są także w różnych dziedzinach gospodarki, w programach do przetwarzania grafiki audio, wideo, wektorowej i rastrowej.

Wniosek

W wyniku przeprowadzonych prac okazało się, że równania kwadratowe przyciągały naukowców już w starożytności; spotykali się z nimi już przy rozwiązywaniu niektórych problemów i próbowali je rozwiązać. Rozważając różne sposoby rozwiązując równania kwadratowe doszedłem do wniosku, że nie wszystkie są proste. Moim zdaniem jak najbardziej najlepszy sposób rozwiązywanie równań kwadratowych to rozwiązywanie za pomocą wzorów. Wzory są łatwe do zapamiętania, ta metoda jest uniwersalna. Potwierdziła się hipoteza, że ​​równania są szeroko stosowane w życiu i matematyce. Po przestudiowaniu tematu wiele się dowiedziałem ciekawe fakty o równaniach kwadratowych, ich zastosowaniu, zastosowaniu, rodzajach, rozwiązaniach. I chętnie będę je dalej studiować. Mam nadzieję, że pomoże mi to dobrze zdać egzaminy.

Wykaz używanej literatury

Materiały witryny:

Wikipedia

Otwórz lekcję.rf

Podręcznik matematyki elementarnej Wygodski M. Ya.

Równanie kwadratowe - łatwe do rozwiązania! *Zwana dalej „KU”. Przyjaciele, wydawałoby się, że w matematyce nie ma nic prostszego niż rozwiązanie takiego równania. Ale coś mi mówiło, że wiele osób ma z nim problemy. Postanowiłem sprawdzić, ile wyświetleń na żądanie Yandex rozdaje miesięcznie. Oto co się stało, spójrz:

Co to znaczy? Oznacza to, że miesięcznie poszukuje około 70 000 osób tę informację, co ma z tym wspólnego to lato i co będzie się działo wśród nich rok akademicki— będzie dwa razy więcej żądań. Nie jest to zaskakujące, ponieważ ci chłopcy i dziewczęta, którzy dawno temu ukończyli szkołę i przygotowują się do ujednoliconego egzaminu państwowego, szukają tych informacji, a uczniowie również starają się odświeżyć swoją pamięć.

Pomimo tego, że istnieje wiele stron, które podpowiadają, jak rozwiązać to równanie, zdecydowałem się również wnieść swój wkład i opublikować materiał. Po pierwsze, chciałbym, aby odwiedzający moją witrynę odwiedzali na podstawie tej prośby; po drugie, w innych artykułach, gdy pojawi się temat „KU”, podam link do tego artykułu; po trzecie, opowiem Wam o jego rozwiązaniu nieco więcej, niż jest to zwykle podawane na innych stronach. Zacznijmy! Treść artykułu:

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

gdzie współczynniki a,Bi c są liczbami dowolnymi, gdzie a≠0.

Na kursie szkolnym materiał podawany jest w następującej formie - równania podzielone są na trzy klasy:

1. Mają dwa korzenie.

2. *Mają tylko jeden korzeń.

3. Nie mają korzeni. Warto w tym miejscu szczególnie zaznaczyć, że nie mają one prawdziwego korzenia

Jak obliczane są pierwiastki? Tylko!

Obliczamy dyskryminator. Pod tym „strasznym” słowem kryje się bardzo prosta formuła:

Podstawowe formuły są następujące:

*Musisz znać te formuły na pamięć.

Możesz od razu zapisać i rozwiązać:

Przykład:

1. Jeżeli D > 0, to równanie ma dwa pierwiastki.

2. Jeżeli D = 0, to równanie ma jeden pierwiastek.

3. Jeśli D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Spójrzmy na równanie:

Przez przy tej okazji, gdy dyskryminator jest równy zero, kurs szkolny mówi, że wynikiem jest jeden pierwiastek, tutaj jest równy dziewięć. Wszystko się zgadza, tak jest, ale...

Pomysł ten jest nieco błędny. W rzeczywistości istnieją dwa korzenie. Tak, tak, nie zdziw się, otrzymasz dwa równe pierwiastki, a żeby być precyzyjnym matematycznie, to w odpowiedzi należy wpisać dwa pierwiastki:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale tak jest - mała dygresja. W szkole możesz to zapisać i powiedzieć, że jest jeden pierwiastek.

Teraz następny przykład:

Jak wiemy, nie można wyciągnąć pierwiastka z liczby ujemnej, więc rozwiązania w w tym przypadku NIE.

To cały proces decyzyjny.

Funkcja kwadratowa.

To pokazuje, jak rozwiązanie wygląda geometrycznie. Jest to niezwykle ważne, aby zrozumieć (w przyszłości w jednym z artykułów szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej).

Jest to funkcja postaci:

gdzie x i y są zmiennymi

a, b, c – dane liczby, gdzie a ≠ 0

Wykres jest parabolą:

Oznacza to, że rozwiązując równanie kwadratowe z „y” równym zero, znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią x. Mogą być dwa takie punkty (wyróżnik jest dodatni), jeden (wyróżnik ma wartość zero) i żaden (wyróżnik jest ujemny). Szczegóły dotyczące funkcji kwadratowej możesz spojrzeć artykuł Inny Feldman.

Spójrzmy na przykłady:

Przykład 1: Rozwiąż 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odpowiedź: x 1 = 8 x 2 = –12

*Można było od razu podzielić lewą i prawą stronę równania przez 2, czyli uprościć. Obliczenia będą łatwiejsze.

Przykład 2: Decydować x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

re = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Ustaliliśmy, że x 1 = 11 i x 2 = 11

W odpowiedzi można zapisać x = 11.

Odpowiedź: x = 11

Przykład 3: Decydować x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

re = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Dyskryminator jest ujemny, w liczbach rzeczywistych nie ma rozwiązania.

Odpowiedź: brak rozwiązania

Wyróżnik jest ujemny. Istnieje rozwiązanie!

Tutaj porozmawiamy o rozwiązaniu równania w przypadku, gdy się okaże dyskryminator negatywny. Czy wiesz coś o liczby zespolone? Nie będę tu szczegółowo omawiał, dlaczego i gdzie powstały oraz jaka jest ich specyficzna rola i konieczność w matematyce; jest to temat na obszerny, osobny artykuł.

Pojęcie liczby zespolonej.

Trochę teorii.

Liczba zespolona z jest liczbą postaci

z = a + bi

gdzie aib są liczbami rzeczywistymi, i jest tak zwaną jednostką urojoną.

a+bi – jest to JEDYNA LICZBA, a nie dodatek.

Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi z minus jeden:

Rozważmy teraz równanie:

Otrzymujemy dwa sprzężone pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe.

Rozważmy przypadki szczególne, gdy współczynnik „b” lub „c” jest równy zero (lub oba są równe zero). Można je łatwo rozwiązać, bez żadnych problemów dyskryminacyjnych.

Przypadek 1. Współczynnik b = 0.

Równanie staje się:

Przeliczmy:

Przykład:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Przypadek 2. Współczynnik c = 0.

Równanie staje się:

Przekształćmy i rozłóżmy na czynniki:

*Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

Przykład:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 lub x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Przypadek 3. Współczynniki b = 0 i c = 0.

Tutaj jest jasne, że rozwiązaniem równania będzie zawsze x = 0.

Przydatne właściwości i wzory współczynników.

Istnieją właściwości, które pozwalają rozwiązywać równania o dużych współczynnikach.

AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość

A + B+ c = 0, To

- jeśli dla współczynników równania AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość

A+ c =B, To

Właściwości te pomagają rozwiązać określony typ równania.

Przykład 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma szans wynosi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, co oznacza

Przykład 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Równość obowiązuje A+ c =B, Oznacza

Regularności współczynników.

1. Jeżeli w równaniu ax 2 + bx + c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jeżeli w równaniu ax 2 – bx + c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jeśli w równaniu ax 2 + bx – c = 0 współczynnik „b” jest równe (a 2 – 1) i współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, wtedy jego pierwiastki są równe

topór 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jeżeli w równaniu ax 2 – bx – c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 – 1), a współczynnik c jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe

topór 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Przykład. Rozważmy równanie 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Twierdzenie Viety.

Twierdzenie Viety zostało nazwane na cześć słynnego francuskiego matematyka Francois Viety. Korzystając z twierdzenia Viety, możemy wyrazić sumę i iloczyn pierwiastków dowolnego KU w postaci jego współczynników.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

W sumie liczba 14 daje tylko 5 i 9. To są pierwiastki. Przy pewnej wprawie, korzystając z przedstawionego twierdzenia, można od razu ustnie rozwiązać wiele równań kwadratowych.

Twierdzenie Viety dodatkowo. jest to wygodne, ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego w zwykły sposób (poprzez dyskryminator) można sprawdzić powstałe pierwiastki. Polecam robić to zawsze.

SPOSÓB TRANSPORTU

Dzięki tej metodzie współczynnik „a” jest mnożony przez wolny termin, jakby „wrzucony” do niego, dlatego nazywa się go metoda „przelewu”. Metodę tę stosuje się, gdy pierwiastki równania można łatwo znaleźć za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy wyróżnik jest dokładnym kwadratem.

Jeśli A± b+c≠ 0, wówczas stosuje się technikę transferu, np.:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Korzystając z twierdzenia Viety w równaniu (2) łatwo jest ustalić, że x 1 = 10 x 2 = 1

Powstałe pierwiastki równania należy podzielić przez 2 (ponieważ dwa zostały „wyrzucone” z x 2), otrzymujemy

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Jakie jest uzasadnienie? Spójrz, co się dzieje.

Dyskryminatory równań (1) i (2) są równe:

Jeśli spojrzysz na pierwiastki równań, otrzymasz tylko różne mianowniki, a wynik zależy dokładnie od współczynnika x 2:

Drugi (zmodyfikowany) ma korzenie 2 razy większe.

Dlatego wynik dzielimy przez 2.

*Jeśli wyrzucimy trzy, wynik podzielimy przez 3 itd.

Odpowiedź: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Plac ur-ie i ujednolicony egzamin państwowy.

Opowiem Ci krótko o jego znaczeniu - MUSISZ UMIEĆ DECYZJI szybko i bez zastanowienia, musisz znać na pamięć wzory pierwiastków i wyróżników. Wiele zadań zawartych w zadaniach Unified State Examination sprowadza się do rozwiązania równań kwadratowych (w tym geometrycznych).

Coś wartego uwagi!

1. Forma zapisu równania może być „ukryta”. Na przykład możliwy jest następujący wpis:

15+ 9x 2 - 45x = 0 lub 15x+42+9x 2 - 45x=0 lub 15 -5x+10x 2 = 0.

Musisz go przyprowadzić widok standardowy(aby nie pomylić się przy podejmowaniu decyzji).

2. Pamiętaj, że x jest wielkością nieznaną i można ją oznaczyć dowolną inną literą - t, q, p, h i innymi.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 lub x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nauczywszy się rozwiązywać równania pierwszego stopnia, oczywiście chcesz pracować z innymi, w szczególności z równaniami drugiego stopnia, które inaczej nazywane są kwadratowymi.

Równania kwadratowe to równania takie jak ax² + bx + c = 0, gdzie zmienną jest x, liczby to a, b, c, gdzie a nie jest równe zero.

Jeżeli w równaniu kwadratowym jeden lub drugi współczynnik (c lub b) jest równy zero, to równanie to zostanie zaliczone do niepełnego równania kwadratowego.

Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe, jeśli uczniowie do tej pory potrafili rozwiązywać tylko równania pierwszego stopnia? Rozważ niekompletne równania kwadratowe różne typy i proste sposoby ich rozwiązania.

a) Jeżeli współczynnik c jest równy 0, a współczynnik b nie jest równy zero, to ax ² + bx + 0 = 0 sprowadza się do równania w postaci ax ² + bx = 0.

Aby rozwiązać takie równanie, należy znać wzór na rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego, który polega na rozłożeniu na czynniki jego lewej strony i późniejszym zastosowaniu warunku, że iloczyn jest równy zero.

Na przykład 5x² - 20x = 0. Rozliczamy lewą stronę równania, wykonując zwykłą operację matematyczną: wyjmując wspólny czynnik z nawiasów

5x (x - 4) = 0

Korzystamy z warunku, że iloczyny są równe zeru.

5 x = 0 lub x - 4 = 0

Odpowiedź będzie następująca: pierwszym pierwiastkiem jest 0; drugi pierwiastek to 4.

b) Jeżeli b = 0, a wyraz wolny nie jest równy zero, to równanie ax ² + 0x + c = 0 sprowadza się do równania w postaci ax ² + c = 0. Równania rozwiązuje się na dwa sposoby : a) rozkładając wielomian równania na czynniki po lewej stronie; b) wykorzystując właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Takie równanie można rozwiązać jedną z metod, na przykład:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odpowiedź będzie następująca: pierwszy pierwiastek to 5/2; drugi pierwiastek jest równy - 5/2.

c) Jeżeli b jest równe 0 i c jest równe 0, to ax ² + 0 + 0 = 0 sprowadza się do równania w postaci ax ² = 0. W takim równaniu x będzie równe 0.

Jak widać, niekompletne równania kwadratowe mogą mieć nie więcej niż dwa pierwiastki.

Transformacja pełnego równania kwadratowego na niepełne wygląda następująco (dla przypadku \(b=0\)):

W przypadkach, gdy \(c=0\) lub gdy oba współczynniki są równe zero, wszystko jest podobne.

Należy pamiętać, że nie ma mowy o tym, aby \(a\) było równe zeru; nie może być równe zeru, ponieważ w tym przypadku zamieni się w:

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych.

Przede wszystkim musisz zrozumieć, że niekompletne równanie kwadratowe jest nadal , a zatem można je rozwiązać w taki sam sposób, jak zwykłe równanie kwadratowe (przez ). Aby to zrobić, po prostu dodajemy brakujący składnik równania o zerowym współczynniku.

Przykład : Znajdź pierwiastki równania \(3x^2-27=0\)
Rozwiązanie :

		Mamy niekompletne równanie kwadratowe ze współczynnikiem \(b=0\). Oznacza to, że równanie możemy zapisać w następujący sposób:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		W rzeczywistości jest to to samo równanie, co na początku, ale teraz można je rozwiązać jako zwykłe równanie kwadratowe. Najpierw zapisujemy współczynniki.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Obliczmy dyskryminator ze wzoru \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Znajdźmy pierwiastki równania za pomocą wzorów \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapisz odpowiedź

Odpowiedź : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Przykład : Znajdź pierwiastki równania \(-x^2+x=0\)
Rozwiązanie :

		Znowu niekompletne równanie kwadratowe, ale teraz współczynnik \(c\) jest równy zero. Równanie zapisujemy jako kompletne.