- — [] funkcja kwadratowa Funkcja postaci y= ax2 + bx + c (a ? 0). Wykres K.f. - parabola, której wierzchołek ma współrzędne [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], z gałęziami a>0 paraboli ... ...
FUNKCJA KWADRATOWA, FUNKCJA matematyczna, której wartość zależy od kwadratu zmiennej niezależnej x i jest określona odpowiednio przez WIELOMIAN kwadratowy, na przykład: f(x) = 4x2 + 17 lub f(x) = x2 + 3x + 2. zobacz także KWADRAT RÓWNANIA… Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny
Funkcja kwadratowa- Funkcja kwadratowa - funkcja postaci y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Wykres K.f. - parabola, której wierzchołek ma współrzędne [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], dla a> 0 ramiona paraboli są skierowane w górę, dla a< 0 –вниз… …
- (kwadratowa) Funkcja mająca postać: y=ax2+bx+c, gdzie a≠0 i najwyższym stopniem x jest kwadrat. Równanie kwadratowe y=ax2 +bx+c=0 można także rozwiązać za pomocą następującego wzoru: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Te korzenie są prawdziwe… Słownik ekonomiczny
Funkcja afiniczna kwadratowa w przestrzeni afinicznej S to dowolna funkcja Q: S → K, która w postaci wektoryzowanej ma postać Q(x)=q(x)+l(x)+c, gdzie q jest funkcją kwadratową, l jest funkcją liniową, c jest stałą. Spis treści 1 Przesunięcie punktu odniesienia 2... ... Wikipedia
Afiniczną funkcją kwadratową w przestrzeni afinicznej jest dowolna funkcja, która ma postać wektorową, gdzie jest macierzą symetryczną, funkcją liniową, stałą. Spis treści... Wikipedia
Funkcja na przestrzeni wektorowej określonej przez jednorodny wielomian drugiego stopnia we współrzędnych wektora. Spis treści 1 Definicja 2 Powiązane definicje... Wikipedia
- – funkcja, która w teorii rozwiązania statystyczne charakteryzuje straty spowodowane błędnym podjęciem decyzji na podstawie zaobserwowanych danych. Jeśli rozwiązuje się problem oszacowania parametru sygnału na tle szumu, to funkcja straty jest miarą rozbieżności... ... Wikipedia
funkcja celu- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Angielsko-rosyjski słownik elektrotechniki i energetyki, Moskwa, 1999] funkcja celu W przypadku problemów ekstremalnych funkcja, której minimum lub maksimum należy znaleźć. Ten… … Przewodnik tłumacza technicznego
Funkcja celu- w przypadku problemów ekstremalnych funkcja, której minimum lub maksimum należy znaleźć. Ten kluczowa koncepcja optymalne programowanie. Po znalezieniu ekstremum C.f. i dlatego po ustaleniu wartości kontrolowanych zmiennych, które do niego trafiają... ... Słownik ekonomiczny i matematyczny
Książki
- Zestaw tabel. Matematyka. Wykresy funkcji (10 tabel), . Album edukacyjny składający się z 10 arkuszy. Funkcja liniowa. Graficzne i analityczne przypisywanie funkcji. Funkcja kwadratowa. Transformacja wykresu funkcja kwadratowa. Funkcja y=sinx. Funkcja y=cosx.…
- Najważniejszą funkcją matematyki szkolnej jest funkcja kwadratowa - w problemach i rozwiązaniach Petrov N.N.. Funkcja kwadratowa jest główną funkcją szkolnego kursu matematyki. Nic dziwnego. Z jednej strony prostota tej funkcji, z drugiej głęboki sens. Wiele zadań szkoły...
Na lekcjach matematyki w szkole zapoznałeś się już z najprostszymi właściwościami i wykresem funkcji y = x 2. Poszerzajmy naszą wiedzę nt funkcja kwadratowa.
Ćwiczenie 1.
Wykres funkcji y = x 2. Skala: 1 = 2 cm Zaznacz punkt na osi Oy F(0; 1/4). Za pomocą kompasu lub paska papieru zmierz odległość od punktu F do pewnego momentu M parabole. Następnie przypnij pasek w punkcie M i obróć go wokół tego punktu, aż będzie pionowy. Koniec paska spadnie nieco poniżej osi X (ryc. 1). Zaznacz na pasku, jak daleko wystaje on poza oś x. Teraz weź kolejny punkt paraboli i powtórz pomiar jeszcze raz. Jak daleko krawędź paska spadła poniżej osi x?
Wynik: jakikolwiek punkt paraboli y = x 2 weźmiesz, odległość od tego punktu do punktu F(0; 1/4) będzie wynosić większy dystans od tego samego punktu do osi x zawsze o tę samą liczbę - o 1/4.
Można to powiedzieć inaczej: odległość dowolnego punktu paraboli od punktu (0; 1/4) jest równa odległości od tego samego punktu paraboli do prostej y = -1/4. Ten cudowny punkt F(0; 1/4) nazywa się centrum parabole y = x 2 i prosta y = -1/4 – dyrektorka szkoły tę parabolę. Każda parabola ma kierownicę i ognisko.
Ciekawe właściwości paraboli:
1. Każdy punkt paraboli jest w równej odległości od pewnego punktu, zwanego ogniskiem paraboli, i pewnej linii prostej, zwanej jej kierownicą.
2. Jeśli obrócisz parabolę wokół osi symetrii (na przykład parabolę y = x 2 wokół osi Oy), otrzymasz bardzo interesującą powierzchnię zwaną paraboloidą obrotową.
Powierzchnia cieczy w naczyniu obrotowym ma kształt paraboloidy obrotowej. Tę powierzchnię można zobaczyć, jeśli energicznie wymieszaj łyżką w niepełnej szklance herbaty, a następnie wyjmij łyżkę.
3. Jeśli wrzucisz kamień w próżnię pod pewnym kątem do horyzontu, poleci on po paraboli (ryc. 2).
4. Jeśli przetniemy powierzchnię stożka z płaszczyzną równoległą do którejkolwiek z jego tworzących, to w wyniku przekroju poprzecznego powstanie parabola (ryc. 3).
5. W parkach rozrywki czasami organizowana jest przyjemna przejażdżka zwana Paraboloidą Cudów. Każdemu stojącemu wewnątrz obracającej się paraboloidy wydaje się, że on stoi na podłodze, podczas gdy reszta ludzi jakimś cudem trzyma się ścian.
6. W teleskopach zwierciadlanych stosuje się również zwierciadła paraboliczne: światło odległej gwiazdy, wchodzące w równoległą wiązkę, padające na zwierciadło teleskopu, jest skupiane.
7. Reflektory mają zwykle lustro w kształcie paraboloidy. Jeśli umieścisz źródło światła w ognisku paraboloidy, wówczas promienie odbite od zwierciadła parabolicznego utworzą wiązkę równoległą.
Wykresy funkcji kwadratowej
Na lekcjach matematyki uczyłeś się, jak uzyskać wykresy funkcji postaci z wykresu funkcji y = x 2:
1) y = topór 2– rozciąganie wykresu y = x 2 wzdłuż osi Oy w |a| razy (z |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, Ryż. 4).
2) y = x 2 + n– przesunięcie wykresu o n jednostek wzdłuż osi Oy, a jeśli n > 0, to przesunięcie jest w górę, a jeśli n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– przesunięcie wykresu o m jednostek wzdłuż osi Wółu: jeżeli m< 0, то вправо, а если m >0, następnie w lewo, (ryc. 5).
4) y = -x 2– symetryczne wyświetlanie względem osi Ox wykresu y = x 2 .
Przyjrzyjmy się bliżej wykreślaniu funkcji y = a(x – m) 2 + n.
Funkcję kwadratową postaci y = ax 2 + bx + c można zawsze sprowadzić do postaci
y = a(x – m) 2 + n, gdzie m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Udowodnijmy to.
Naprawdę,
y = topór 2 + bx + do = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Wprowadźmy nowe oznaczenia.
Pozwalać m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
wtedy otrzymujemy y = a(x – m) 2 + n lub y – n = a(x – m) 2.
Dokonajmy jeszcze kilku podstawień: niech y – n = Y, x – m = X (*).
Następnie otrzymujemy funkcję Y = aX 2, której wykresem jest parabola.
Wierzchołek paraboli znajduje się w początku. X = 0; Y = 0.
Podstawiając współrzędne wierzchołka do (*), otrzymujemy współrzędne wierzchołka grafu y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Zatem, aby wykreślić funkcję kwadratową reprezentowaną jako
y = a(x – m) 2 + n
poprzez przekształcenia możesz postępować w następujący sposób:
A) wykreśl funkcję y = x 2 ;
B) poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi Ox o m jednostek i wzdłuż osi Oy o n jednostek - przenieś wierzchołek paraboli od początku do punktu o współrzędnych (m; n) (ryc. 6).
Rejestracja transformacji:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Przykład.
Korzystając z transformacji skonstruuj wykres funkcji y = 2(x – 3) 2 w kartezjańskim układzie współrzędnych – 2.
Rozwiązanie.
Łańcuch transformacji:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Wykres jest pokazany w Ryż. 7.
Możesz samodzielnie poćwiczyć tworzenie wykresów funkcji kwadratowych. Na przykład zbuduj wykres funkcji y = 2(x + 3) 2 + 2 w jednym układzie współrzędnych za pomocą transformacji. Jeśli masz pytania lub chcesz uzyskać poradę od nauczyciela, masz możliwość przeprowadzenia bezpłatna 25-minutowa lekcja z lektorem online Po . Do dalszej pracy z nauczycielem możesz wybrać tego, który Ci odpowiada
Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak wykreślić funkcję kwadratową?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Jak pokazuje praktyka, zadania dotyczące właściwości i wykresów funkcji kwadratowej sprawiają poważne trudności. To dość dziwne, bo w ósmej klasie uczą się funkcji kwadratowej, a potem przez pierwszą ćwiartkę dziewiątej klasy „dręczą” właściwości paraboli i budują jej wykresy dla różnych parametrów.
Wynika to z faktu, że zmuszając uczniów do konstruowania paraboli, praktycznie nie poświęcają czasu na „czytanie” wykresów, czyli nie ćwiczą rozumienia informacji otrzymanych z obrazka. Najwyraźniej zakłada się, że po zbudowaniu kilkunastu wykresów mądry student sam odkryje i sformułuje związek pomiędzy współczynnikami we wzorze a wygląd sztuki graficzne. W praktyce to nie działa. Do takiego uogólnienia wymagane jest poważne doświadczenie w mini-badaniach matematycznych, którego oczywiście nie posiada większość dziewiątych klas. Tymczasem Państwowa Inspekcja proponuje ustalenie znaków współczynników za pomocą harmonogramu.
Nie będziemy wymagać od uczniów niemożliwego, a po prostu zaproponujemy jeden z algorytmów rozwiązywania takich problemów.
A więc funkcja formy y = topór 2 + bx + do nazywa się kwadratowym, a jego wykres jest parabolą. Jak sama nazwa wskazuje, głównym terminem jest topór 2. To jest A nie powinna być równa zeru, pozostałe współczynniki ( B I Z) może wynosić zero.
Zobaczmy, jak znaki jej współczynników wpływają na wygląd paraboli.
Najprostsza zależność dla współczynnika A. Większość uczniów pewnie odpowiada: „jeśli A> 0, to gałęzie paraboli są skierowane w górę, a jeśli A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
W w tym przypadku A = 0,5
A teraz dla A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
W tym przypadku A = - 0,5
Wpływ współczynnika Z Jest to również dość łatwe do naśladowania. Wyobraźmy sobie, że chcemy znaleźć wartość funkcji w punkcie X= 0. Podstaw zero do wzoru:
y = A 0 2 + B 0 + C = C. Okazało się, że y = do. To jest Z jest rzędną punktu przecięcia paraboli z osią y. Zwykle punkt ten można łatwo znaleźć na wykresie. I określ, czy leży powyżej zera, czy poniżej. To jest Z> 0 lub Z < 0.
Z > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Z < 0
y = x 2 + 4x - 3
Odpowiednio, jeśli Z= 0, wówczas parabola koniecznie przejdzie przez początek:
y = x 2 + 4x
Trudniej z parametrem B. Punkt, w którym go znajdziemy, zależy nie tylko od B ale także od A. To jest wierzchołek paraboli. Jego odcięta (współrzędna osi X) można znaleźć ze wzoru x in = - b/(2a). Zatem, b = - 2oś cala. Oznacza to, że postępujemy w następujący sposób: znajdujemy wierzchołek paraboli na wykresie, określamy znak jej odciętej, to znaczy patrzymy na prawo od zera ( x w> 0) lub w lewo ( x w < 0) она лежит.
Jednak to nie wszystko. Musimy także zwrócić uwagę na znak współczynnika A. To znaczy spójrz, gdzie skierowane są gałęzie paraboli. I dopiero potem, zgodnie ze wzorem b = - 2oś cala określić znak B.
Spójrzmy na przykład:
Gałęzie są skierowane w górę, co oznacza A> 0, parabola przecina oś Na poniżej zera oznacza Z < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x w> 0. A więc b = - 2oś cala = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, Z < 0.
Funkcja w postaci gdzie jest wywoływana funkcja kwadratowa.
Wykres funkcji kwadratowej – parabola.
Rozważmy przypadki:
PRZYPADKU KLASYCZNA PARABOLA
To jest , ,
Aby skonstruować, wypełnij tabelę, podstawiając wartości x do wzoru:
Zaznacz punkty (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na płaszczyźnie współrzędnych (im mniejszy krok przyjmiemy wartości x (w tym przypadku krok 1), a im więcej wartości x przyjmiemy, tym gładsza będzie krzywa), otrzymamy parabolę:
Łatwo zauważyć, że jeśli przyjmiemy przypadek , , to znaczy, że otrzymamy parabolę symetryczną względem osi (oh). Łatwo to sprawdzić, wypełniając podobną tabelę:
II PRZYPADEK „a” JEST INNE OD JEDNOŚCI
Co się stanie, jeśli weźmiemy , ,? Jak zmieni się zachowanie paraboli? Z tytułem="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Na pierwszym zdjęciu (patrz wyżej) wyraźnie widać, że punkty z tabeli dla paraboli (1;1), (-1;1) zostały zamienione na punkty (1;4), (1;-4), to znaczy przy tych samych wartościach rzędna każdego punktu jest mnożona przez 4. Stanie się to w przypadku wszystkich kluczowych punktów oryginalnej tabeli. Podobnie rozumujemy w przypadku rysunków 2 i 3.
A kiedy parabola „staje się szersza” od paraboli:
Podsumujmy:
1)Znak współczynnika określa kierunek gałęzi. Z tytułem="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Całkowita wartość współczynnik (moduł) odpowiada za „rozszerzanie” i „kompresję” paraboli. Im większa, tym węższa parabola; im mniejsza |a|, tym szersza parabola.
PRZYPADEK III, WYSTĘPUJE „C”.
Wprowadźmy teraz do gry (to znaczy rozważmy przypadek, kiedy) rozważymy parabole postaci . Nietrudno zgadnąć (zawsze można odwołać się do tabeli), że parabola przesunie się w górę lub w dół wzdłuż osi w zależności od znaku:
PRZYPADEK IV WYSTĘPUJE „b”.
Kiedy parabola „oderwie się” od osi i ostatecznie „przejdzie” po całej płaszczyźnie współrzędnych? Kiedy to przestanie być równe?
Tutaj, aby skonstruować parabolę, której potrzebujemy wzór na obliczenie wierzchołka: , .
Zatem w tym momencie (jak w punkcie (0;0) nowy system współrzędne) zbudujemy parabolę, co już możemy zrobić. Jeśli mamy do czynienia z przypadkiem, to od wierzchołka kładziemy jeden segment jednostkowy w prawo, drugi w górę, - wynikowy punkt jest nasz (podobnie krok w lewo, krok w górę to nasz punkt); jeśli mamy do czynienia np. z wierzchołkiem, to od wierzchołka umieszczamy jeden segment jednostkowy w prawo, dwa - w górę itd.
Na przykład wierzchołek paraboli:
Teraz najważniejszą rzeczą do zrozumienia jest to, że w tym wierzchołku zbudujemy parabolę zgodnie ze wzorem paraboli, ponieważ w naszym przypadku.
Podczas konstruowania paraboli po znalezieniu współrzędnych wierzchołka bardzoWygodnie jest wziąć pod uwagę następujące punkty:
1) parabola z pewnością przejdzie przez ten punkt . Rzeczywiście, podstawiając x=0 do wzoru, otrzymujemy, że . Oznacza to, że rzędna punktu przecięcia paraboli z osią (oy) wynosi . W naszym przykładzie (powyżej) parabola przecina rzędną w punkcie , ponieważ .
2) oś symetrii parabole jest linią prostą, więc wszystkie punkty paraboli będą względem niej symetryczne. W naszym przykładzie od razu bierzemy punkt (0; -2) i budujemy go symetrycznie względem osi symetrii paraboli, otrzymujemy punkt (4; -2), przez który parabola przejdzie.
3) Równając , znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią (oh). Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie. W zależności od dyskryminatora otrzymamy jeden (, ), dwa ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . W poprzednim przykładzie nasz pierwiastek z wyróżnika nie jest liczbą całkowitą; podczas konstruowania nie ma dla nas większego sensu znajdowanie pierwiastków, ale wyraźnie widzimy, że będziemy mieli dwa punkty przecięcia z osią (oh) (od title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Więc rozpracujmy to
Algorytm konstruowania paraboli, jeśli jest ona podana w postaci
1) określić kierunek gałęzi (a>0 – w górę, a<0 – вниз)
2) współrzędne wierzchołka paraboli znajdujemy ze wzoru , .
3) znajdujemy punkt przecięcia paraboli z osią (oy) korzystając ze składnika wolnego, konstruujemy punkt symetryczny do tego punktu względem osi symetrii paraboli (należy zaznaczyć, że zdarza się, że nieopłacalne jest zaznaczanie ten punkt, na przykład, ponieważ wartość jest duża... pomijamy ten punkt...)
4) W znalezionym punkcie - wierzchołku paraboli (jak w punkcie (0;0) nowego układu współrzędnych) konstruujemy parabolę. If title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Punkty przecięcia paraboli z osią (oy) (jeśli jeszcze nie „wypłynęły na powierzchnię”) znajdujemy rozwiązując równanie
Przykład 1
Przykład 2
Notatka 1. Jeżeli początkowo parabolę podamy nam w postaci , gdzie są pewne liczby (np. ), to jeszcze łatwiej będzie ją skonstruować, bo mamy już podane współrzędne wierzchołka. Dlaczego?
Weźmy trójmian kwadratowy i wybierz w nim cały kwadrat: Spójrz, mamy to , . Ty i ja poprzednio nazywaliśmy wierzchołek paraboli, czyli teraz .
Na przykład, . Zaznaczamy wierzchołek paraboli na płaszczyźnie, rozumiemy, że gałęzie są skierowane w dół, parabola jest rozwinięta (względem ). Oznacza to, że realizujemy punkty 1; 3; 4; 5 z algorytmu konstruowania paraboli (patrz wyżej).
Uwaga 2. Jeśli parabolę podamy w podobnej postaci (czyli przedstawimy jako iloczyn dwóch czynników liniowych), to od razu widzimy punkty przecięcia paraboli z osią (ox). W tym przypadku – (0;0) i (4;0). W pozostałej części postępujemy zgodnie z algorytmem, otwierając nawiasy.
