Istnieją 2 przykłady zamówień. Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach

Rozważ liniowe jednorodne równanie różniczkowe z stałe współczynniki:
(1) .
Jego rozwiązanie można uzyskać w następujący sposób metoda ogólna zmniejszenie zamówienia.

Jednak łatwiej jest od razu uzyskać system podstawowy N rozwiązania liniowo niezależne i na ich podstawie stworzyć rozwiązanie ogólne. W tym przypadku cała procedura rozwiązania zostaje zredukowana do następne kroki.

Poszukujemy rozwiązania równania (1) w postaci . Dostajemy równanie charakterystyczne :
(2) .
Ma n pierwiastków. Rozwiązujemy równanie (2) i znajdujemy jego pierwiastki. Wówczas równanie charakterystyczne (2) można przedstawić w postaci:
(3) .
Każdy pierwiastek odpowiada jednemu z liniowo niezależnych rozwiązań podstawowego układu rozwiązań równania (1). Następnie rozwiązanie ogólne oryginalne równanie(1) ma postać:
(4) .

Prawdziwe korzenie

Rozważmy prawdziwe korzenie. Niech korzeń będzie pojedynczy. Oznacza to, że współczynnik wchodzi do równania charakterystycznego (3) tylko raz. Wtedy ten pierwiastek odpowiada rozwiązaniu
.

Niech będzie pierwiastkiem wielokrotnym z krotności p. To jest
. W tym przypadku mnożnik wynosi p razy:
.
Te wielokrotne (równe) pierwiastki odpowiadają p liniowo niezależnym rozwiązaniom pierwotnego równania (1):
; ; ; ...; .

Złożone korzenie

Rozważ złożone korzenie. Wyraźmy pierwiastek złożony w kategoriach części rzeczywistych i urojonych:
.
Ponieważ współczynniki oryginału są rzeczywiste, oprócz pierwiastka istnieje złożony pierwiastek sprzężony
.

Niech złożony pierwiastek będzie wielokrotny. Wtedy para pierwiastków odpowiada dwóm liniowo niezależnym rozwiązaniom:
; .

Niech będzie wielokrotnym złożonym pierwiastkiem krotności p. Wtedy złożona wartość sprzężona jest również pierwiastkiem charakterystycznego równania krotności p, a mnożnik wprowadza p razy:
.
Ten 14:00 korzenie odpowiadają 14:00 rozwiązania liniowo niezależne:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Po znalezieniu podstawowego układu rozwiązań liniowo niezależnych otrzymujemy rozwiązanie ogólne.

Przykłady rozwiązań problemów

Przykład 1

Rozwiązać równanie:
.

Rozwiązanie

.
Przekształćmy to:
;
;
.

Spójrzmy na pierwiastki tego równania. Mamy cztery złożone pierwiastki krotności 2:
; .
Odpowiadają one czterem liniowo niezależnym rozwiązaniom pierwotnego równania:
; ; ; .

Mamy również trzy rzeczywiste pierwiastki wielokrotności 3:
.
Odpowiadają one trzem liniowo niezależnym rozwiązaniom:
; ; .

Wspólna decyzja oryginalne równanie ma postać:
.

Odpowiedź

Przykład 2

Rozwiązać równanie

Rozwiązanie

Szukamy rozwiązania w postaci . Tworzymy równanie charakterystyczne:
.
Rozwiązywanie równania kwadratowego.
.

Mamy dwa złożone pierwiastki:
.
Odpowiadają one dwóm liniowo niezależnym rozwiązaniom:
.
Ogólne rozwiązanie równania:
.

W niektórych zagadnieniach fizyki nie da się ustalić bezpośredniego związku pomiędzy wielkościami opisującymi proces. Można jednak otrzymać równość zawierającą pochodne badanych funkcji. W ten sposób powstają równania różniczkowe i konieczność ich rozwiązania w celu znalezienia nieznanej funkcji.

Artykuł ten przeznaczony jest dla tych, którzy stają przed problemem rozwiązania równania różniczkowego, w którym nieznana funkcja jest funkcją jednej zmiennej. Teoria jest skonstruowana w taki sposób, że przy zerowej znajomości równań różniczkowych można poradzić sobie ze swoim zadaniem.

Każdy typ równania różniczkowego jest powiązany z metodą rozwiązania ze szczegółowymi wyjaśnieniami i rozwiązaniami typowych przykładów i problemów. Wystarczy określić rodzaj równania różniczkowego swojego problemu, znaleźć podobny analizowany przykład i przeprowadzić podobne działania.

Aby pomyślnie rozwiązywać równania różniczkowe, będziesz potrzebować także umiejętności znajdowania zbiorów funkcji pierwotnych ( Całki nieoznaczone) różne funkcje. W razie potrzeby zalecamy zapoznanie się z sekcją.

Najpierw rozważymy rodzaje równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, które można rozwiązać ze względu na pochodną, ​​następnie przejdziemy do ODE drugiego rzędu, następnie zatrzymamy się na równaniach wyższego rzędu i zakończymy układami równania różniczkowe.

Przypomnijmy, że jeśli y jest funkcją argumentu x.

Równania różniczkowe pierwszego rzędu.

Najprostsze równania różniczkowe pierwszego rzędu postaci.

Zapiszmy kilka przykładów takiego pilota .

Równania różniczkowe można rozwiązać w odniesieniu do pochodnej, dzieląc obie strony równości przez f(x) . W tym przypadku otrzymamy równanie, które będzie równoważne pierwotnemu dla f(x) ≠ 0. Przykładami takich ODE są .

Jeżeli istnieją wartości argumentu x, przy których jednocześnie znikają funkcje f(x) i g(x), to pojawiają się dodatkowe rozwiązania. Dodatkowe rozwiązania równania podane x to dowolne funkcje zdefiniowane dla tych wartości argumentów. Przykłady takich równań różniczkowych obejmują:

Równania różniczkowe drugiego rzędu.

Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

LDE ze stałymi współczynnikami jest bardzo powszechnym typem równania różniczkowego. Ich rozwiązanie nie jest szczególnie trudne. Najpierw znajdują się pierwiastki równania charakterystycznego . Dla różnych p i q możliwe są trzy przypadki: pierwiastki równania charakterystycznego mogą być rzeczywiste i różne, rzeczywiste i zbieżne lub złożone koniugaty. W zależności od wartości pierwiastków równania charakterystycznego ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zapisuje się jako , Lub lub odpowiednio.

Rozważmy na przykład liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Pierwiastkami jego równania charakterystycznego są k 1 = -3 i k 2 = 0. Pierwiastki są rzeczywiste i różne, dlatego ogólne rozwiązanie LODE o stałych współczynnikach ma postać


Liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Szuka się ogólnego rozwiązania LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami y w postaci sumy rozwiązania ogólnego odpowiedniego LDDE i szczególne rozwiązanie w stosunku do pierwotnego nie jest równanie jednorodne, to jest, . Poprzedni akapit poświęcony jest znalezieniu ogólnego rozwiązania jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. A konkretne rozwiązanie wyznacza się albo metodą nieokreślonych współczynników dla pewnej postaci funkcji f(x) po prawej stronie pierwotnego równania, albo metodą zmieniania dowolnych stałych.

Jako przykłady LDDE drugiego rzędu o stałych współczynnikach podajemy


Aby zrozumieć teorię i zapoznać się ze szczegółowymi rozwiązaniami przykładów, oferujemy Państwu na stronie liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Liniowe jednorodne równania różniczkowe (LODE) oraz liniowe niejednorodne równania różniczkowe (LNDE) drugiego rzędu.

Szczególnym przypadkiem równań różniczkowych tego typu są LODE i LDDE o stałych współczynnikach.

Ogólne rozwiązanie LODE na pewnym odcinku jest reprezentowane przez liniową kombinację dwóch liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych y 1 i y 2 tego równania, to znaczy: .

Główna trudność polega właśnie na znalezieniu liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych równania różniczkowego tego typu. Zazwyczaj poszczególne rozwiązania wybierane są liniowo z następujących układów niezależne funkcje:


Jednak nie zawsze konkretne rozwiązania są prezentowane w tej formie.

Przykładem LOD jest .

Rozwiązanie ogólne LDDE szuka się w postaci , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego LDDE i jest rozwiązaniem szczególnym pierwotnego równania różniczkowego. Właśnie rozmawialiśmy o znalezieniu tego, ale można to wyznaczyć za pomocą metody zmieniania dowolnych stałych.

Można podać przykład LNDU .

Równania różniczkowe wyższych rzędów.

Równania różniczkowe umożliwiające redukcję rzędu.

Rząd równania różniczkowego , która nie zawiera żądanej funkcji i jej pochodnych aż do rzędu k-1, można zredukować do n-k zastępując .

W tym przypadku pierwotne równanie różniczkowe zostanie zredukowane do . Po znalezieniu rozwiązania p(x) pozostaje powrócić do zamiany i wyznaczyć nieznaną funkcję y.

Na przykład równanie różniczkowe po zamianie stanie się równaniem z rozłącznymi zmiennymi, a jego kolejność zostanie zmniejszona z trzeciej do pierwszej.

W tym akapicie omówimy szczególny przypadek równania liniowe drugiego rzędu, gdy współczynniki równania są stałe, to znaczy są liczbami. Takie równania nazywane są równaniami o stałych współczynnikach. Ten typ równań znajduje szczególnie szerokie zastosowanie.

1. Liniowe jednorodne równania różniczkowe

drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami

Rozważ równanie

w którym współczynniki są stałe. Zakładając, że podzielenie wszystkich wyrazów równania przez i oznaczanie

Zapiszmy to równanie w postaci

Jak wiadomo, aby znaleźć rozwiązanie ogólne liniowego jednorodnego równania drugiego rzędu, wystarczy znać jego podstawowy układ rozwiązań cząstkowych. Pokażemy, jak znaleźć podstawowy układ rozwiązań cząstkowych jednorodnego liniowego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Będziemy szukać konkretnego rozwiązania tego równania w postaci

Różniczkując tę ​​funkcję dwukrotnie i podstawiając wyrażenia do równania (59) otrzymujemy

Ponieważ , następnie redukując przez otrzymujemy równanie

Z tego równania wyznaczane są te wartości k, dla których funkcja będzie rozwiązaniem równania (59).

Równanie algebraiczne (61) służące do wyznaczenia współczynnika k nazywa się równaniem charakterystycznym tego równania różniczkowego (59).

Równanie charakterystyczne jest równaniem drugiego stopnia i dlatego ma dwa pierwiastki. Pierwiastki te mogą być albo naprawdę odrębne, rzeczywiste i równe, albo sprzężone zespolone.

Zastanówmy się, jaką postać ma podstawowy układ poszczególnych rozwiązań w każdym z tych przypadków.

1. Pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i różne: . W tym przypadku korzystając ze wzoru (60) znajdujemy dwa rozwiązania cząstkowe:

Te dwa szczególne rozwiązania tworzą podstawowy układ rozwiązań na całej osi liczbowej, gdyż wyznacznik Wrońskiego nigdzie nie znika:

W związku z tym ogólne rozwiązanie równania według wzoru (48) ma postać

2. Pierwiastki równania charakterystycznego są równe: . W tym przypadku oba pierwiastki będą prawdziwe. Stosując wzór (60) otrzymujemy tylko jedno konkretne rozwiązanie

Pokażmy, że drugie rozwiązanie szczegółowe, które wraz z pierwszym tworzy system fundamentalny, ma postać

Na początek sprawdźmy, czy funkcja jest rozwiązaniem równania (59). Naprawdę,

Ale ponieważ istnieje pierwiastek równania charakterystycznego (61). Ponadto, zgodnie z twierdzeniem Viety, Zatem . Zatem , czyli funkcja rzeczywiście jest rozwiązaniem równania (59).

Pokażemy teraz, że znalezione rozwiązania cząstkowe tworzą podstawowy układ rozwiązań. Naprawdę,

Zatem w tym przypadku ogólne rozwiązanie jednorodnego równania liniowego ma postać

3. Pierwiastki równania charakterystycznego są złożone. Jak wiadomo, złożone pierwiastki równania kwadratowego z rzeczywistymi współczynnikami są sprzężone Liczby zespolone, czyli wyglądają jak: . W tym przypadku rozwiązania cząstkowe równania (59), zgodnie ze wzorem (60), będą miały postać:

Korzystając ze wzorów Eulera (patrz rozdział XI, § 5, akapit 3), wyrażenia na można zapisać jako:

Rozwiązania te mają charakter kompleksowy. Aby uzyskać prawidłowe rozwiązania, rozważ nowe funkcje

Są to liniowe kombinacje rozwiązań i dlatego same są rozwiązaniami równania (59) (patrz § 3 ust. 2 Twierdzenie 1).

Łatwo pokazać, że wyznacznik Wrońskiego dla tych rozwiązań jest różny od zera i dlatego rozwiązania te tworzą podstawowy układ rozwiązań.

Zatem ogólne rozwiązanie jednorodnego liniowego równania różniczkowego w przypadku złożonych pierwiastków równania charakterystycznego ma postać

Na zakończenie przedstawiamy tabelę wzorów ogólnego rozwiązania równania (59) w zależności od rodzaju pierwiastków równania charakterystycznego.

Podstawy rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu (LNDE-2) o stałych współczynnikach (PC)

LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami $p$ i $q$ ma postać $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, gdzie $f\left(x \right)$ jest funkcją ciągłą.

W odniesieniu do LNDU 2 z komputerem, poniższe dwa stwierdzenia są prawdziwe.

Załóżmy, że jakaś funkcja $U$ jest dowolnym częściowym rozwiązaniem niejednorodnego równania różniczkowego. Załóżmy także, że pewna funkcja $Y$ jest rozwiązaniem ogólnym (GS) odpowiedniego liniowego równania różniczkowego jednorodnego (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Wtedy GR LHDE-2 jest równe sumie wskazanych rozwiązań prywatnych i ogólnych, czyli $y=U+Y$.

Jeśli prawa strona LMDE drugiego rzędu jest sumą funkcji, to znaczy $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+...+f_(r) \left(x\right)$, to najpierw możemy znaleźć PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ odpowiadające do każdej z funkcji $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a następnie wpisz CR LNDU-2 w postaci $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Rozwiązanie LPDE drugiego rzędu z PC

Jest oczywiste, że rodzaj tego czy innego PD $U$ danego LNDU-2 zależy od konkretnej postaci jego prawej strony $f\left(x\right)$. Najprostsze przypadki poszukiwania PD LNDU-2 formułuje się w postaci czterech poniższych reguł.

Zasada nr 1.

Prawa część LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, gdzie $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, czyli nazywa się to wielomianem stopnia $ n$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, gdzie $Q_(n) \left(x\right)$ to kolejny wielomian tego samego stopnia co $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, które są równe zero. Współczynniki wielomianu $Q_(n) \left(x\right)$ wyznacza się metodą współczynników nieokreślonych (UK).

Zasada nr 2.

Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, gdzie $P_(n) \left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, gdzie $Q_(n ) \ left(x\right)$ to kolejny wielomian tego samego stopnia co $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2 równy $\alfa $. Współczynniki wielomianu $Q_(n) \left(x\right)$ wyznacza się metodą NC.

Zasada nr 3.

Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, gdzie znajdują się $a$, $b$ i $\beta$ znane liczby. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, gdzie $A$ i $B$ to nieznane współczynniki, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, równa $i\cdot \beta $. Współczynniki $A$ i $B$ wyznaczane są metodą nieniszczącą.

Zasada nr 4.

Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, gdzie $P_(n) \left(x\right)$ to wielomian stopnia $ n$, a $P_(m) \left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $m$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, gdzie $Q_(s) \left(x\right)$ i $ R_(s) \left(x\right)$ są wielomianami stopnia $s$, liczba $s$ to maksimum dwóch liczb $n$ i $m$, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, równego $\alpha +i\cdot \beta $. Współczynniki wielomianów $Q_(s) \left(x\right)$ i $R_(s) \left(x\right)$ wyznacza się metodą NC.

Metoda NK polega na zastosowaniu następującej reguły. Aby znaleźć nieznane współczynniki wielomianu wchodzące w skład częściowego rozwiązania niejednorodnego równania różniczkowego LNDU-2, należy:

• zastąp zapisane PD $U$ ogólna perspektywa, V lewa strona LNDU-2;
• po lewej stronie LNDU-2 wykonaj uproszczenia i grupuj wyrazy o tych samych potęgach $x$;
• w powstałej tożsamości zrównaj współczynniki wyrazów z tymi samymi potęgami $x$ lewej i prawej strony;
• rozwiązać powstały układ równań liniowych dla nieznanych współczynników.

Przykład 1

Zadanie: znajdź LUB LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Znajdź także PD , spełniając warunki początkowe $y=6$ dla $x=0$ i $y"=1$ dla $x=0$.

Zapisujemy odpowiedni LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Równanie charakterystyczne: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Pierwiastkami równania charakterystycznego są: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Te korzenie są ważne i odrębne. Zatem OR odpowiedniego LODE-2 ma postać: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Prawa strona tego LNDU-2 ma postać $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Należy uwzględnić współczynnik wykładnika $\alpha =3$. Współczynnik ten nie pokrywa się z żadnym z pierwiastków równania charakterystycznego. Dlatego PD tego LNDU-2 ma postać $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Współczynników $A$, $B$ będziemy szukać metodą NC.

Znajdujemy pierwszą pochodną Republiki Czeskiej:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Znajdujemy drugą pochodną Republiki Czeskiej:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Podstawiamy funkcje $U""$, $U"$ i $U$ zamiast $y""$, $y"$ i $y$ do podanego NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Ponadto, ponieważ wykładnik $e^(3\cdot x)$ jest uwzględniany jako współczynnik we wszystkich komponentach, to można je pominąć.Otrzymujemy:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Wykonujemy działania po lewej stronie powstałej równości:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Stosujemy metodę NDT. Otrzymujemy układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Rozwiązaniem tego układu jest: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ dla naszego problemu wygląda następująco: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ dla naszego problemu wygląda następująco: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ lewy(-2\cdot x-1\prawy)\cdot e^(3\cdot x) $.

Aby znaleźć PD spełniający podane warunki początkowe, znajdujemy pochodną $y"$ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Podstawiamy do $y$ i $y"$ warunki początkowe $y=6$ za $x=0$ i $y"=1$ za $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Otrzymaliśmy układ równań:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Rozwiążmy to. Znajdujemy $C_(1) $ korzystając ze wzoru Cramera, a $C_(2) $ wyznaczamy z pierwszego równania:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ rozpocząć(tablica)(cc) (1) i (1) \\ (-3) i (6) \end(tablica)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Zatem PD tego równania różniczkowego ma postać: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Tutaj zastosujemy metodę wariacji stałych Lagrange'a do rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu. Szczegółowy opis tę metodę rozwiązywania równań dowolnego rzędu opisano na stronie
Rozwiązywanie liniowych niejednorodnych równań różniczkowych wyższych rzędów metodą Lagrange'a >>>.

Przykład 1

Rozwiąż równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach, korzystając z metody wariacji stałych Lagrange'a:
(1)

Rozwiązanie

Najpierw rozwiązujemy jednorodne równanie różniczkowe:
(2)

To jest równanie drugiego rzędu.

Rozwiązanie równania kwadratowego:
.
Wiele korzeni: . Podstawowy system rozwiązania równania (2) mają postać:
(3) .
Stąd otrzymujemy ogólne rozwiązanie równania jednorodnego (2):
(4) .

Zmienianie stałych C 1 i C 2 . Oznacza to, że stałe w (4) zastępujemy funkcjami:
.
Szukamy rozwiązania pierwotnego równania (1) w postaci:
(5) .

Znajdowanie pochodnej:
.
Połączmy funkcje i równanie:
(6) .
Następnie
.

Znajdujemy drugą pochodną:
.
Podstaw do pierwotnego równania (1):
(1) ;



.
Ponieważ i spełniają jednorodne równanie (2), suma wyrazów w każdej kolumnie trzech ostatnich wierszy daje zero, a poprzednie równanie przyjmuje postać:
(7) .
Tutaj .

Razem z równaniem (6) otrzymujemy układ równań do wyznaczania funkcji oraz:
(6) :
(7) .

Rozwiązywanie układu równań

Rozwiązujemy układ równań (6-7). Zapiszmy wyrażenia dla funkcji i:
.
Znajdujemy ich pochodne:
;
.

Rozwiązujemy układ równań (6-7) metodą Cramera. Obliczamy wyznacznik macierzy układu:

.
Korzystając ze wzorów Cramera znajdujemy:
;
.

Znaleźliśmy więc pochodne funkcji:
;
.
Zintegrujmy (patrz Metody integrowania korzeni). Dokonanie zamiany
; ; ; .

.
.

;
.

Odpowiedź

Przykład 2

Rozwiąż równanie różniczkowe metodą wariacji stałych Lagrange'a:
(8)

Rozwiązanie

Krok 1. Rozwiązanie równania jednorodnego

Rozwiązujemy jednorodne równanie różniczkowe:

(9)
Szukamy rozwiązania w postaci . Tworzymy równanie charakterystyczne:

To równanie ma złożone pierwiastki:
.
Podstawowy układ rozwiązań odpowiadający tym pierwiastkom ma postać:
(10) .
Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego (9):
(11) .

Krok 2. Wariacja stałych - zastępowanie stałych funkcjami

Teraz zmieniamy stałe C 1 i C 2 . Oznacza to, że stałe w (11) zastępujemy funkcjami:
.
Poszukujemy rozwiązania pierwotnego równania (8) w postaci:
(12) .

Co więcej, postęp rozwiązania jest taki sam jak w przykładzie 1. Dochodzimy do następny system równania do wyznaczania funkcji oraz:
(13) :
(14) .
Tutaj .

Rozwiązywanie układu równań

Rozwiążmy ten system. Zapiszmy wyrażenia dla funkcji i :
.
Z tabeli instrumentów pochodnych znajdujemy:
;
.

Rozwiązujemy układ równań (13-14) metodą Cramera. Wyznacznik macierzy systemu:

.
Korzystając ze wzorów Cramera znajdujemy:
;
.

.
Ponieważ , znak modułu pod znakiem logarytmu można pominąć. Pomnóż licznik i mianownik przez:
.
Następnie
.

Ogólne rozwiązanie pierwotnego równania:


.