Lekcja z cyklu „Algorytmy geometryczne”

Witaj drogi czytelniku!

Dzisiaj zaczniemy uczyć się algorytmów związanych z geometrią. Faktem jest, że problemów olimpijskich w informatyce związanych z geometrią obliczeniową jest dość dużo, a rozwiązanie takich problemów często powoduje trudności.

W ciągu kilku lekcji rozważymy szereg elementarnych podzadań, na których opiera się rozwiązanie większości problemów geometrii obliczeniowej.

Na tej lekcji utworzymy program dla znalezienie równania prostej, przechodząc przez dane dwa punkty. Aby rozwiązać problemy geometryczne, potrzebujemy pewnej wiedzy z geometrii obliczeniowej. Część lekcji poświęcimy na ich poznanie.

Spostrzeżenia z geometrii obliczeniowej

Geometria obliczeniowa to dziedzina informatyki zajmująca się badaniem algorytmów rozwiązywania problemów geometrycznych.

Danymi początkowymi dla takich problemów może być zbiór punktów na płaszczyźnie, zbiór odcinków, wielokąt (określony na przykład przez listę jego wierzchołków w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara) itp.

Wynikiem może być albo odpowiedź na jakieś pytanie (np. czy punkt należy do odcinka, czy dwa odcinki przecinają się, ...), albo jakiś obiekt geometryczny (na przykład najmniejszy wielokąt wypukły łączący dane punkty, pole powierzchni wielokąt itp.).

Zagadnienia geometrii obliczeniowej będziemy rozpatrywać tylko na płaszczyźnie i tylko w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Wektory i współrzędne

Aby zastosować metody geometrii obliczeniowej, konieczne jest przełożenie obrazów geometrycznych na język liczb. Zakładamy, że płaszczyzna ma dany kartezjański układ współrzędnych, w którym kierunek obrotu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara nazywany jest dodatnim.

Teraz obiekty geometryczne otrzymują analityczny wyraz. Aby więc określić punkt, wystarczy podać jego współrzędne: parę liczb (x; y). Segment można określić podając współrzędne jego końców, linię prostą można określić podając współrzędne pary jej punktów.

Ale naszym głównym narzędziem do rozwiązywania problemów będą wektory. Przypomnę zatem kilka informacji na ich temat.

Odcinek AB, co ma rację A jest uważany za początek (punkt zastosowania) i punkt W– koniec, zwany wektorem AB i jest oznaczony na przykład jedną lub pogrubioną małą literą A .

Aby oznaczyć długość wektora (czyli długość odpowiedniego odcinka), użyjemy symbolu modułu (na przykład ).

Dowolny wektor będzie miał współrzędne równe różnicy między odpowiednimi współrzędnymi jego końca i początku:

,

oto punkty A I B mają współrzędne odpowiednio.

Do obliczeń użyjemy pojęcia zorientowany kąt, czyli kąt uwzględniający względne położenie wektorów.

Kąt zorientowany pomiędzy wektorami A I B dodatnie, jeśli obrót pochodzi od wektora A do wektora B odbywa się w kierunku dodatnim (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), a w drugim przypadku ujemnym. Patrz ryc. 1a, ryc. 1b. Mówi się również, że para wektorów A I B zorientowany pozytywnie (negatywnie).

Zatem wartość zorientowanego kąta zależy od kolejności, w jakiej wektory są wymienione i może przyjmować wartości z przedziału.

Wiele problemów geometrii obliczeniowej wykorzystuje koncepcję iloczynów wektorowych (skośnych lub pseudoskalarnych) wektorów.

Iloczyn wektorowy wektorów aib jest iloczynem długości tych wektorów i sinusa kąta między nimi:

.

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych:

Wyrażenie po prawej stronie jest wyznacznikiem drugiego rzędu:

W przeciwieństwie do definicji podanej w geometrii analitycznej, jest to skalar.

Znak iloczynu wektorowego określa położenie wektorów względem siebie:

A I B pozytywnie zorientowany.

Jeśli wartość wynosi , to para wektorów A I B zorientowany negatywnie.

Iloczyn krzyżowy niezerowych wektorów wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy są one współliniowe ( ). Oznacza to, że leżą na tej samej linii lub na liniach równoległych.

Przyjrzyjmy się kilku prostym problemom, które są niezbędne przy rozwiązywaniu bardziej złożonych.

Wyznaczmy równanie prostej ze współrzędnych dwóch punktów.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty określone przez ich współrzędne.

Niech na prostej zostaną dane dwa nie pokrywające się punkty: o współrzędnych (x1; y1) i o współrzędnych (x2; y2). Odpowiednio wektor mający początek w punkcie i koniec w punkcie ma współrzędne (x2-x1, y2-y1). Jeżeli P(x, y) jest dowolnym punktem na naszej prostej, to współrzędne wektora są równe (x-x1, y – y1).

Korzystając z iloczynu wektorowego, warunek kolinearności wektorów i można zapisać w następujący sposób:

Te. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Ostatnie równanie przepisujemy w następujący sposób:

topór + o + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Zatem linię prostą można określić za pomocą równania postaci (1).

Zadanie 1. Podano współrzędne dwóch punktów. Znajdź jego reprezentację w postaci ax + by + c = 0.

Na tej lekcji poznaliśmy pewne informacje na temat geometrii obliczeniowej. Rozwiązaliśmy problem znalezienia równania linii na podstawie współrzędnych dwóch punktów.

Na następnej lekcji utworzymy program, który znajdzie punkt przecięcia dwóch prostych podanych przez nasze równania.

W tym artykule kontynuujemy temat równania linii na płaszczyźnie: ten typ równania rozważymy jako ogólne równanie linii. Zdefiniujmy twierdzenie i przedstawmy jego dowód; Zastanówmy się, czym jest niekompletne równanie ogólne linii i jak dokonać przejść z równania ogólnego do innych typów równań linii. Całą teorię wzmocnimy ilustracjami i rozwiązaniami problemów praktycznych.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Niech na płaszczyźnie zostanie określony prostokątny układ współrzędnych O x y.

Twierdzenie 1

Dowolne równanie pierwszego stopnia, mające postać A x + B y + C = 0, gdzie A, B, C są pewnymi liczbami rzeczywistymi (A i B nie są jednocześnie równe zeru), definiuje prostą w prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie. Z kolei dowolną linię prostą w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie wyznacza się równaniem, które ma postać A x + B y + C = 0 dla pewnego zestawu wartości A, B, C.

Dowód

Twierdzenie to składa się z dwóch punktów; udowodnimy każdy z nich.

1. Udowodnimy, że równanie A x + B y + C = 0 definiuje linię prostą na płaszczyźnie.

Niech będzie jakiś punkt M 0 (x 0 , y 0), którego współrzędne odpowiadają równaniu A x + B y + C = 0. Zatem: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odejmując od lewej i prawej strony równania A x + B y + C = 0 lewą i prawą stronę równania A x 0 + B y 0 + C = 0, otrzymujemy nowe równanie, które wygląda jak A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Jest to równoważne A x + B y + C = 0.

Wynikowe równanie A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 jest konieczne i warunek wystarczający prostopadłość wektorów n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Zatem zbiór punktów M (x, y) wyznacza prostą w prostokątnym układzie współrzędnych, prostopadłym do kierunku wektora n → = (A, B). Możemy założyć, że tak nie jest, ale wtedy wektory n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) nie byłyby prostopadłe, a równość A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 nie byłoby prawdą.

W konsekwencji równanie A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 definiuje pewną prostą w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie, a zatem równoważne równanie A x + B y + C = 0 definiuje ta sama linia. W ten sposób udowodniliśmy pierwszą część twierdzenia.

1. Dowiedźmy, że dowolną linię prostą w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie można określić równaniem pierwszego stopnia A x + B y + C = 0.

Zdefiniujmy prostą a w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie; punkt M 0 (x 0 , y 0), przez który przechodzi ta linia, a także wektor normalny tej linii n → = (A, B) .

Niech będzie też jakiś punkt M (x, y) - punkt zmiennoprzecinkowy na prostej. W tym przypadku wektory n → = (A, B) i M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) są do siebie prostopadłe, a ich iloczyn skalarny wynosi zero:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Przepiszmy równanie A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, zdefiniujmy C: C = - A x 0 - B y 0 i jako końcowy wynik otrzymamy równanie A x + B y + C = 0.

Udowodniliśmy więc drugą część twierdzenia i udowodniliśmy całe twierdzenie jako całość.

Definicja 1

Równanie postaci A x + B y + C = 0 - Ten ogólne równanie prostej na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnychOksy.

Na podstawie sprawdzonego twierdzenia można stwierdzić, że prosta i jej ogólne równanie określone na płaszczyźnie w ustalonym prostokątnym układzie współrzędnych są ze sobą nierozerwalnie związane. Innymi słowy, pierwotna linia odpowiada jej ogólnemu równaniu; ogólne równanie linii odpowiada danej linii.

Z dowodu twierdzenia wynika również, że współczynniki A i B dla zmiennych x i y są współrzędnymi wektora normalnego prostej, co jest dane ogólnym równaniem prostej A x + B y + C = 0.

Rozważmy konkretny przykład ogólnego równania linii prostej.

Niech zostanie podane równanie 2 x + 3 y - 2 = 0, które odpowiada prostej w danym prostokątnym układzie współrzędnych. Wektor normalny tej linii jest wektorem n → = (2 , 3) ​​​​​. Narysujmy daną linię prostą na rysunku.

Możemy również stwierdzić, co następuje: linię prostą, którą widzimy na rysunku, wyznacza ogólne równanie 2 x + 3 y - 2 = 0, ponieważ współrzędne wszystkich punktów na danej prostej odpowiadają temu równaniu.

Równanie λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 możemy otrzymać mnożąc obie strony ogólnego równania prostej przez liczbę λ różną od zera. Otrzymane równanie jest równoważne pierwotnemu równaniu ogólnemu, dlatego będzie opisywało tę samą linię prostą na płaszczyźnie.

Definicja 2

Uzupełnij ogólne równanie prostej– takie ogólne równanie prostej A x + B y + C = 0, w którym liczby A, B, C są różne od zera. W przeciwnym razie równanie jest takie niekompletny.

Przeanalizujmy wszystkie odmiany niepełnego równania ogólnego prostej.

1. Gdy A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, równanie ogólne przyjmuje postać B y + C = 0. Takie niepełne równanie ogólne definiuje w prostokątnym układzie współrzędnych O x y linię prostą równoległą do osi O x, gdyż dla dowolnej rzeczywistej wartości x zmienna y przyjmie wartość - C. B. Inaczej mówiąc, ogólne równanie prostej A x + B y + C = 0, gdy A = 0, B ≠ 0, określa zbiór punktów (x, y), których współrzędne są równe tej samej liczbie - C. B.
2. Jeśli A = 0, B ≠ 0, C = 0, równanie ogólne przyjmuje postać y = 0. Ten niekompletne równanie definiuje oś odciętych O x .
3. Gdy A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, otrzymujemy niepełne równanie ogólne A x + C = 0, określające prostą równoległą do rzędnej.
4. Niech A ≠ 0, B = 0, C = 0, wówczas niepełne równanie ogólne przyjmie postać x = 0 i jest to równanie osi współrzędnych O y.
5. Wreszcie dla A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 niekompletne równanie ogólne przyjmuje postać A x + B y = 0. To równanie opisuje linię prostą przechodzącą przez początek. W rzeczywistości para liczb (0, 0) odpowiada równości A x + B y = 0, ponieważ A · 0 + B · 0 = 0.

Zilustrujmy graficznie wszystkie powyższe typy niepełnego równania ogólnego prostej.

Przykład 1

Wiadomo, że dana prosta jest równoległa do osi rzędnych i przechodzi przez punkt 2 7, - 11. Należy zapisać ogólne równanie danej prostej.

Rozwiązanie

Linię prostą równoległą do osi rzędnych wyznacza równanie postaci A x + C = 0, w którym A ≠ 0. Warunek określa także współrzędne punktu, przez który przechodzi prosta, a współrzędne tego punktu spełniają warunki niepełnego równania ogólnego A x + C = 0, tj. równość jest prawdziwa:

ZA 2 7 + C = 0

Z tego można wyznaczyć C, jeśli nadamy A jakąś wartość niezerową, na przykład A = 7. W tym przypadku otrzymujemy: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Znamy oba współczynniki A i C, podstawiamy je do równania A x + C = 0 i otrzymujemy wymagane równanie prostej: 7 x - 2 = 0

Odpowiedź: 7 x - 2 = 0

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono linię prostą, należy zapisać jej równanie.

Rozwiązanie

Podany rysunek pozwala nam łatwo pobrać dane wyjściowe do rozwiązania problemu. Widzimy na rysunku, że dana prosta jest równoległa do osi O x i przechodzi przez punkt (0, 3).

Linię prostą, równoległą do odciętej, wyznacza niepełne równanie ogólne B y + C = 0. Znajdźmy wartości B i C. Współrzędne punktu (0, 3), ponieważ dana prosta przez niego przechodzi, będą spełniać równanie prostej B y + C = 0, wówczas obowiązuje równość: B · 3 + C = 0. Ustawmy B na jakąś wartość inną niż zero. Powiedzmy B = 1, w takim przypadku z równości B · 3 + C = 0 możemy znaleźć C: C = - 3. Używamy znane wartości B i C, otrzymujemy wymagane równanie prostej: y - 3 = 0.

Odpowiedź: y - 3 = 0 .

Ogólne równanie prostej przechodzącej przez dany punkt na płaszczyźnie

Niech dana prosta przechodzi przez punkt M 0 (x 0 , y 0), wówczas jej współrzędne odpowiadają ogólnemu równaniu prostej, tj. równość jest prawdziwa: A x 0 + B y 0 + C = 0. Odejmijmy lewą i prawą stronę tego równania od lewej i prawej strony generała pełne równanie prosty. Otrzymujemy: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, równanie to jest równoważne pierwotnemu równaniu ogólnemu, przechodzi przez punkt M 0 (x 0, y 0) i ma normalną wektor n → = (A, B) .

Otrzymany wynik pozwala zapisać ogólne równanie prostej znane współrzędne wektor normalny linii i współrzędne pewnego punktu na tej linii.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę punkt M 0 (- 3, 4), przez który przechodzi linia, oraz wektor normalny tej linii n → = (1 , - 2) . Należy zapisać równanie danej prostej.

Rozwiązanie

Warunki początkowe pozwalają nam uzyskać niezbędne dane do ułożenia równania: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Następnie:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Problem można było rozwiązać inaczej. Ogólne równanie linii prostej to A x + B y + C = 0. Podany wektor normalny pozwala nam otrzymać wartości współczynników A i B, wówczas:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Znajdźmy teraz wartość C korzystając z punktu M 0 (- 3, 4) określonego przez warunek zadania, przez który przechodzi prosta. Współrzędne tego punktu odpowiadają równaniu x - 2 · y + C = 0, tj. - 3 - 2 4 + C = 0. Stąd C = 11. Wymagane równanie linii prostej ma postać: x - 2 · y + 11 = 0.

Odpowiedź: x - 2 y + 11 = 0 .

Przykład 4

Biorąc pod uwagę linię 2 3 x - y - 1 2 = 0 i punkt M 0 leżący na tej prostej. Znana jest tylko odcięta tego punktu, która wynosi - 3. Konieczne jest określenie rzędnej danego punktu.

Rozwiązanie

Oznaczmy współrzędne punktu M 0 jako x 0 i y 0 . Dane źródłowe wskazują, że x 0 = - 3. Ponieważ punkt należy do danej prostej, to jego współrzędne odpowiadają ogólnemu równaniu tej prostej. Wtedy równość będzie prawdziwa:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Zdefiniuj y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Odpowiedź: - 5 2

Przejście od ogólnego równania prostej do innych typów równań prostej i odwrotnie

Jak wiemy, istnieje kilka rodzajów równań dla tej samej prostej na płaszczyźnie. Wybór rodzaju równania zależy od warunków problemu; można wybrać ten, który jest wygodniejszy do rozwiązania. Bardzo przydatna jest tutaj umiejętność zamiany równania jednego typu na równanie innego typu.

Najpierw rozważmy przejście od równania ogólnego postaci A x + B y + C = 0 do równania kanonicznego x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jeśli A ≠ 0, wówczas termin B y przenosimy do prawa strona równanie ogólne. Po lewej stronie usuwamy A z nawiasów. W rezultacie otrzymujemy: A x + C A = - B y.

Równość tę można zapisać jako proporcję: x + C A - B = y A.

Jeśli B ≠ 0, zostawiamy tylko wyraz A x po lewej stronie równania ogólnego, pozostałe przenosimy na prawą stronę, otrzymujemy: A x = - B y - C. Z nawiasów bierzemy – B, a następnie: A x = - B y + C B .

Zapiszmy równość w postaci proporcji: x - B = y + C B A.

Oczywiście nie ma potrzeby zapamiętywania otrzymanych wzorów. Wystarczy znać algorytm działania przy przejściu od równania ogólnego do równania kanonicznego.

Przykład 5

Podano ogólne równanie linii 3 y - 4 = 0. Należy to przekształcić w równanie kanoniczne.

Rozwiązanie

Zapiszmy to oryginalne równanie jak 3 y - 4 = 0 . Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem: człon 0 x pozostaje po lewej stronie; i po prawej stronie umieszczamy - 3 w nawiasach; otrzymujemy: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Zapiszmy powstałą równość jako proporcję: x - 3 = y - 4 3 0 . Otrzymaliśmy w ten sposób równanie w postaci kanonicznej.

Odpowiedź: x - 3 = y - 4 3 0.

Aby przekształcić ogólne równanie prostej na parametryczne, najpierw dokonuje się przejścia do postaci kanonicznej, a następnie przejścia od równania kanonicznego prostej do równań parametrycznych.

Przykład 6

Linię prostą wyznacza równanie 2 x - 5 y - 1 = 0. Zapisz równania parametryczne tej prostej.

Rozwiązanie

Dokonajmy przejścia od równania ogólnego do równania kanonicznego:

2 x - 5 lat - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 lat + 1 ⇔ 2 x = 5 lat + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Teraz bierzemy obie strony powstałego równania kanonicznego równego λ, a następnie:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Odpowiedź:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Równanie ogólne można przekształcić w równanie prostej o nachyleniu y = k · x + b, ale tylko wtedy, gdy B ≠ 0. Dla przejścia pozostawiamy termin B y po lewej stronie, resztę przenosimy po prawej stronie. Otrzymujemy: B y = - A x - C . Podzielmy obie strony otrzymanej równości przez B, różne od zera: y = - A B x - C B.

Przykład 7

Podano ogólne równanie prostej: 2 x + 7 y = 0. Musisz przekształcić to równanie w równanie nachylenia.

Rozwiązanie

Wykonajmy niezbędne czynności zgodnie z algorytmem:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Odpowiedź: y = - 2 7 x .

Z ogólnego równania prostej wystarczy po prostu otrzymać równanie na odcinkach postaci x a + y b = 1. Aby dokonać takiego przejścia, przesuwamy liczbę C na prawą stronę równości, dzielimy obie strony powstałej równości przez – C i na koniec przenosimy współczynniki dla zmiennych x i y do mianowników:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - do ⇔ ⇔ A - do x + b - do y = 1 ⇔ x - do za + y - do b = 1

Przykład 8

Konieczne jest przekształcenie ogólnego równania linii x - 7 y + 1 2 = 0 na równanie linii w odcinkach.

Rozwiązanie

Przesuńmy 1 2 na prawą stronę: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Podzielmy obie strony równości przez -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Odpowiedź: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Ogólnie rzecz biorąc, przejście odwrotne jest również łatwe: od innych typów równań do ogólnych.

Równanie prostej w odcinkach oraz równanie ze współczynnikiem kątowym można łatwo przekształcić w równanie ogólne, po prostu zbierając wszystkie wyrazy po lewej stronie równości:

x za + y b ⇔ 1 za x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ ZA x + b y + do = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ ZA x + b y + C = 0

Równanie kanoniczne przekształca się w równanie ogólne według następującego schematu:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ za y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + za x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Aby przejść od parametrów parametrycznych, przejdź najpierw do kanonicznych, a następnie do ogólnych:

x = x 1 + za x · λ y = y 1 + za y · λ ⇔ x - x 1 za x = y - y 1 za y ⇔ ZA x + b y + C = 0

Przykład 9

Podano równania parametryczne prostej x = - 1 + 2 · λ y = 4. Konieczne jest zapisanie ogólnego równania tej prostej.

Rozwiązanie

Dokonajmy przejścia z równania parametryczne do kanonicznego:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Przejdźmy od kanonicznego do ogólnego:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Odpowiedź: y - 4 = 0

Przykład 10

Podano równanie linii prostej na odcinkach x 3 + y 1 2 = 1. Konieczne jest dokonanie przejścia do Ogólny wygląd równania

Rozwiązanie:

Po prostu przepisujemy równanie w wymaganej formie:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Odpowiedź: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Układanie ogólnego równania prostej

Powiedzieliśmy powyżej, że równanie ogólne można zapisać ze znanymi współrzędnymi wektora normalnego i współrzędnymi punktu, przez który przechodzi prosta. Taką linię prostą definiuje równanie A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Tam również przeanalizowaliśmy odpowiedni przykład.

Spójrzmy teraz na bardziej złożone przykłady, w których najpierw musimy określić współrzędne wektora normalnego.

Przykład 11

Biorąc pod uwagę linię równoległą do linii 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Znany jest także punkt M 0 (4, 1), przez który przechodzi dana prosta. Należy zapisać równanie danej prostej.

Rozwiązanie

Warunki początkowe mówią nam, że proste są równoległe, zatem jako wektor normalny prostej, którego równanie należy zapisać, bierzemy wektor kierunkowy prostej n → = (2, - 3): 2 x - 3 lata + 3 3 = 0. Teraz znamy wszystkie dane niezbędne do utworzenia ogólnego równania prostej:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Odpowiedź: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Przykład 12

Podana prosta przechodzi przez początek prostopadle do linii x - 2 3 = y + 4 5. Konieczne jest utworzenie ogólnego równania dla danej prostej.

Rozwiązanie

Wektor normalny danej linii będzie wektorem kierunku linii x - 2 3 = y + 4 5.

Następnie n → = (3, 5) . Linia prosta przechodzi przez początek, tj. przez punkt O (0, 0). Utwórzmy ogólne równanie dla danej prostej:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Odpowiedź: 3 x + 5 y = 0 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Normalny wektor

Linia prosta na płaszczyźnie jest jedną z najprostszych figury geometryczne, znane Ci od klasy młodsze, a dzisiaj dowiemy się, jak sobie z tym poradzić, korzystając z metod geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, musisz umieć zbudować linię prostą; wie, jakie równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek współrzędnych oraz linie proste równoległe do osi współrzędnych. Ta informacja można znaleźć w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych, Stworzyłem to dla Matana, ale sekcja o funkcja liniowa Okazało się bardzo udane i szczegółowe. Dlatego drogie czajniki rozgrzejcie się najpierw tam. Poza tym trzeba mieć podstawową wiedzę nt wektory, w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

W tej lekcji przyjrzymy się sposobom tworzenia równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydaje się to bardzo proste), ponieważ przedstawię im elementarne i ważne fakty, techniki techniczne, które będą wymagane w przyszłości, także w innych sekcjach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?
• Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

i zaczynamy:

Równanie prostej ze spadkiem

Nazywa się dobrze znaną „szkolną” formą równania linii prostej równanie prostej ze spadkiem. Przykładowo, jeśli z równania wynika linia prosta, to jej nachylenie wynosi: . Rozważmy geometryczne znaczenie tego współczynnika i wpływ jego wartości na położenie linii:

Udowodniono to na kursie geometrii nachylenie prostej jest równe tangens kąta pomiędzy dodatnim kierunkiem osii ta linia: , a kąt „odkręca się” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch prostych. Rozważmy „czerwoną” linię i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). Dla „niebieskiej” prostej ze współczynnikiem kąta równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli znana jest tangens kąta, w razie potrzeby łatwo ją znaleźć i sam kącik za pomocą funkcji odwrotnej - arcustangens. Jak mówią, tabela trygonometryczna lub mikrokalkulator w twoich rękach. Zatem, współczynnik kątowy charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi odciętej.

W tym przypadku jest to możliwe następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: wówczas linia, z grubsza mówiąc, biegnie od góry do dołu. Przykładami są „niebieskie” i „malinowe” linie proste na rysunku.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: linia biegnie od dołu do góry. Przykłady - „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeżeli nachylenie wynosi zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu prosta jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia prosta.

4) Dla rodziny linii równoległych do osi (na rysunku nie ma przykładu poza samą osią) współczynnik kątowy nie istnieje (styczna do 90 stopni nie jest zdefiniowana).

Im większy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej stromy jest wykres liniowy..

Rozważmy na przykład dwie linie proste. Tutaj zatem linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, który nas interesuje Wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste .

I odwrotnie: im mniejszy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej płaska jest linia prosta.

Do linii prostych nierówność jest prawdziwa, zatem linia prosta jest bardziej płaska. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie zrobić sobie siniaków i guzów.

Dlaczego jest to konieczne?

Przedłuż swoją mękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu dostrzec swoje błędy, zwłaszcza błędy przy konstruowaniu wykresów – jeśli na rysunku okaże się „najwyraźniej coś jest nie tak”. Wskazane jest, abyś ty od razu było jasne, że np. linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, dociśnięta blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, dlatego wygodnie jest je w jakiś sposób wyznaczyć.

Oznaczenia: linie proste są oznaczone jako małe z literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczanie ich tą samą literą z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie sprawdziliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, można ją oznaczyć za pomocą tych punktów: itp. Oznaczenie wyraźnie sugeruje, że punkty należą do linii.

Czas się trochę rozgrzać:

Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?

Jeżeli znany jest punkt należący do danej prostej oraz współczynnik kątowy tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Przykład 1

Napisz równanie prostej o nachyleniu, jeżeli wiadomo, że punkt należy do danej prostej.

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru . W w tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie robi się to prosto. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać to równanie. Podstawmy je do równania:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie zostało znalezione poprawnie.

Bardziej skomplikowany przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

W razie trudności przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, pomijam wiele dowodów.

Zadzwoniło ostatnie połączenie, impreza maturalna minęła, a za bramami naszej rodzimej szkoły czeka na nas sama geometria analityczna. Skończyły się żarty... A może dopiero zaczynają =)

Z nostalgią machamy piórem do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem linii prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej dokładnie to się stosuje:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są pewne liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i powiążmy równanie ze współczynnikiem nachylenia. Najpierw przenieśmy wszystkie terminy do lewa strona:

Termin z „X” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego wyrazu (w tym przypadku) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Zapamiętaj tę funkcję techniczną! Sprawiamy, że pierwszy współczynnik (najczęściej) jest dodatni!

W geometrii analitycznej równanie prostej będzie prawie zawsze podane forma ogólna. Cóż, jeśli to konieczne, można to łatwo sprowadzić do postaci „szkolnej” ze współczynnikiem kątowym (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi rzędnych).

Zadajmy sobie pytanie co wystarczająco umiesz konstruować linię prostą? Dwa punkty. Ale więcej o tym incydencie z dzieciństwa, teraz trzyma się zasady strzałek. Każda linia prosta ma bardzo specyficzne nachylenie, do którego łatwo się „dostosować”. wektor.

Wektor równoległy do ​​prostej nazywany jest wektorem kierunkowym tej prostej. Jest oczywiste, że każda linia prosta ma nieskończoną liczbę wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie – to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunkowy następująco: .

Ale jeden wektor nie wystarczy, aby zbudować linię prostą, wektor jest dowolny i nie jest powiązany z żadnym punktem na płaszczyźnie. Dlatego dodatkowo konieczna jest znajomość jakiegoś punktu należącego do prostej.

Jak napisać równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunku?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor kierunkowy tej prostej, to równanie tej prostej można ułożyć ze wzoru:

Czasem się to nazywa równanie kanoniczne prostej .

Co zrobić, kiedy jedna ze współrzędnych jest równa zeru, zrozumiemy to na praktycznych przykładach poniżej. Swoją drogą, uwaga - oba na raz współrzędne nie mogą być równe zeru, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji pozbywamy się ułamków:

I doprowadzamy równanie do jego ogólnej postaci:

Odpowiedź:

Z reguły w takich przykładach nie ma potrzeby rysowania, ale dla zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go wykreślić z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz skonstruowaną linię prostą. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach najwygodniej jest skonstruować linię prostą za pomocą równania ze współczynnikiem kątowym. Łatwo jest przekształcić nasze równanie w formę i łatwo wybrać inny punkt, aby skonstruować linię prostą.

Jak zauważono na początku akapitu, linia prosta ma nieskończenie wiele wektorów kierunkowych i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, jaki wektor kierunkowy wybierzemy, wynikiem będzie zawsze to samo równanie linii prostej.

Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Rozwiązanie proporcji:

Podziel obie strony przez –2 i otrzymaj znajome równanie:

Zainteresowani mogą w ten sam sposób testować wektory lub dowolny inny wektor współliniowy.

Teraz rozwiążmy problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?

Bardzo prosta:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

To stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy z nieskończonej liczby, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą równoległą do osi, a współrzędne powstałego wektora kierunkowego wygodnie dzieli się przez –2, uzyskując dokładnie wektor bazowy jako wektor kierunkowy. Logiczny.

Podobnie równanie określa linię prostą równoległą do osi i dzieląc współrzędne wektora przez 5, otrzymujemy wektor jednostkowy jako wektor kierunkowy.

Teraz zróbmy to sprawdzenie Przykładu 3. Przykład poszedł, więc przypominam, że w nim skompilowaliśmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku

Po pierwsze, korzystając z równania prostej rekonstruujemy jej wektor kierunkowy: – wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy wektor pierwotny (w niektórych przypadkach wynikiem może być wektor współliniowy z pierwotnym, co zwykle łatwo zauważyć po proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać równanie. Podstawiamy je do równania:

Uzyskano prawidłową równość, z czego bardzo się cieszymy.

Wniosek: Zadanie zostało wykonane poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji. Zdecydowanie zaleca się sprawdzenie za pomocą omówionego właśnie algorytmu. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzać wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów, których można w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, należy postępować bardzo prosto:

Przykład 5

Rozwiązanie: Wzór nie jest odpowiedni, ponieważ mianownik po prawej stronie wynosi zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji, przepisujemy formułę w formie, a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii prostej:
– otrzymany wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Podstaw współrzędne punktu do równania:

Otrzymuje się poprawną równość

Wniosek: zadanie wykonane poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która sprawdzi się w każdym przypadku? Są dwa powody. Po pierwsze, formuła ma postać ułamka dużo lepiej zapamiętany. A po drugie, wada uniwersalna formuła czy to ryzyko pomyłki znacznie wzrasta podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Wróćmy do wszechobecnych dwóch punktów:

Jak napisać równanie prostej wykorzystując dwa punkty?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można ułożyć ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru i oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunku danej prostej. Na lekcji Wektory dla manekinów rozważaliśmy najprostsze zadanie– jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku to:

Notatka : punkty można „zamienić” i zastosować formułę . Takie rozwiązanie będzie równoważne.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, korzystając z dwóch punktów .

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Łączenie mianowników:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby się tego pozbyć liczby ułamkowe. W takim przypadku musisz pomnożyć obie strony przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie oczywiste - współrzędne punkty początkowe musi spełniać otrzymane równanie:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: Równanie prostej jest zapisane poprawnie.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zaznaczyć, że weryfikacja graficzna w tym przypadku jest trudna, gdyż konstruujemy linię prostą i sprawdzamy, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na jeszcze kilka technicznych aspektów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej opłaca się zastosować formułę lustrzaną i w tych samych punktach zrób równanie:

Mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz przeprowadzić rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugą kwestią jest spojrzenie na ostateczną odpowiedź i ustalenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymasz równanie, warto je zmniejszyć o dwa: – równanie będzie definiować tę samą prostą. Jednak jest to już temat do rozmów względne położenie linii.

Otrzymawszy odpowiedź w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takich redukcji dokonuje się w trakcie rozwiązania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez te punkty .

To przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli lepiej zrozumieć i przećwiczyć techniki obliczeniowe.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku) przyjmuje wartość zero, wówczas zapisujemy to w postaci . Ponownie zwróć uwagę, jak niezręcznie i zdezorientowana wygląda. Nie widzę większego sensu w przynoszeniu praktyczne przykłady, ponieważ faktycznie rozwiązaliśmy już taki problem (patrz nr 5, 6).

Bezpośredni wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? W prostych słowach, normalna jest prostopadła. Oznacza to, że wektor normalny linii jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywiście każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (jak również wektorów kierunkowych), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie, to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami prowadzącymi:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej prostej.

Jeżeli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, wówczas współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Sprawdźmy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z tymi samymi równaniami, co dla wektora kierunku:

Czy można skonstruować równanie prostej, mając jeden punkt i wektor normalny? Czuję to w brzuchu, to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek samej linii prostej jest jasno określony - jest to „sztywna konstrukcja” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko udało się bez ułamków i innych niespodzianek. To jest nasz wektor normalny. Kochaj go. I szacunek =)

Przykład 9

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Otrzymaliśmy ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: – tak, rzeczywiście z warunku otrzymano wektor pierwotny (lub należy uzyskać wektor współliniowy).

2) Sprawdźmy, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawnie ułożone, przystąpimy do drugiej, łatwiejszej części zadania. Wyciągamy wektor kierujący linii prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

W celach szkoleniowych podobne zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Ostatnia część lekcji poświęcona będzie mniej powszechnym, ale także ważnym typom równań prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektórych typów równań nie można przedstawić w tej formie, na przykład bezpośredniej proporcjonalności (ponieważ wolny wyraz jest równy zeru i nie ma możliwości uzyskania jedynki po prawej stronie).

Jest to, mówiąc w przenośni, równanie „techniczne”. Typowym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania linii jako równania linii w odcinkach. Jak to jest wygodne? Równanie prostej w odcinkach pozwala szybko znaleźć punkty przecięcia prostej z osiami współrzędnych, co może być bardzo ważne w niektórych zagadnieniach matematyki wyższej.

Znajdźmy punkt przecięcia linii z osią. Resetujemy „y” do zera i równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt jest uzyskiwany automatycznie: .

To samo z osią – punkt, w którym prosta przecina oś rzędnych.

Definicja. Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu

Topór + Wu + C = 0,

Co więcej, stałe A i B nie są jednocześnie równe zeru. To równanie pierwszego rzędu nazywa się ogólne równanie prostej. W zależności od wartości stała A, B i C możliwe są następujące szczególne przypadki:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – prosta przechodzi przez początek

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - prosta równoległa do osi Wółu

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – prosta równoległa do osi Oy

B = C = 0, A ≠0 – prosta pokrywa się z osią Oy

A = C = 0, B ≠0 – prosta pokrywa się z osią Wółu

Równanie prostej można przedstawić w w różnych formach w zależności od dowolnych warunków początkowych.

Równanie prostej z punktu i wektora normalnego

Definicja. W prostokątnym układzie współrzędnych kartezjańskich wektor ze składowymi (A, B) jest prostopadły do ​​prostej określonej równaniem Ax + By + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2) prostopadłej do (3, -1).

Rozwiązanie. Przy A = 3 i B = -1 ułóżmy równanie prostej: 3x – y + C = 0. Aby znaleźć współczynnik C, podstawiamy współrzędne danego punktu A do otrzymanego wyrażenia.Otrzymujemy: 3 – 2 + C = 0, zatem C = -1. Razem: wymagane równanie: 3x – y – 1 = 0.

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Niech w przestrzeni zostaną dane dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), wówczas równanie prostej przechodzącej przez te punkty będzie wyglądało następująco:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik powinien być równy zero.Na płaszczyźnie równanie prostej zapisanej powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1 ≠ x 2 i x = x 1, jeśli x 1 = x 2.

Nazywa się ułamek = k nachylenie prosty.

Przykład. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A(1, 2) i B(3, 4).

Rozwiązanie. Stosując napisany powyżej wzór otrzymujemy:

Równanie prostej z punktu i nachylenia

Jeżeli suma Ax + Bu + C = 0 prowadzi do postaci:

i wyznaczyć , to wynikowe równanie nazywa się równanie prostej ze spadkiemk.

Równanie prostej z punktu i wektora kierunkowego

Przez analogię do punktu uwzględniającego równanie prostej przechodzącej przez wektor normalny, można wprowadzić definicję prostej przechodzącej przez punkt oraz wektor kierunkowy prostej.

Definicja. Każdy niezerowy wektor (α 1, α 2), którego składowe spełniają warunek A α 1 + B α 2 = 0, nazywany jest wektorem kierującym linii

Topór + Wu + C = 0.

Przykład. Znajdź równanie prostej z wektorem kierunku (1, -1) i przechodzącej przez punkt A(1, 2).

Rozwiązanie. Równania żądanej prostej będziemy szukać w postaci: Ax + By + C = 0. Zgodnie z definicją współczynniki muszą spełniać warunki:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Wtedy równanie prostej ma postać: Ax + Ay + C = 0, czyli x + y + C / A = 0. Dla x = 1, y = 2 otrzymujemy C/ A = -3, tj. wymagane równanie:

Równanie prostej w odcinkach

Jeżeli w ogólnym równaniu prostej Ах + Ву + С = 0 С≠0, to dzieląc przez –С, otrzymujemy: Lub

Znaczenie geometryczne współczynniki to jest współczynnik A jest współrzędną punktu przecięcia linii z osią Wółu, oraz B– współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.

Przykład. Podano ogólne równanie prostej x – y + 1 = 0. Znajdź równanie tej prostej w odcinkach.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Równanie normalne linii

Jeśli obie strony równania Ax + By + C = 0 zostaną pomnożone przez liczbę który jest nazywany czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normalne równanie linii. Znak ± współczynnika normalizującego należy wybrać tak, aby μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Przykład. Biorąc pod uwagę ogólne równanie prostej 12x – 5y – 65 = 0. Trzeba napisać Różne rodzaje równania tej prostej.

równanie tej prostej w odcinkach:

równanie tej linii z nachyleniem: (podziel przez 5)

; cos φ = 12/13; grzech φ= -5/13; p = 5.

Należy zauważyć, że nie każdą linię prostą można przedstawić za pomocą równania w odcinkach, na przykład linie proste równoległe do osi lub przechodzące przez początek współrzędnych.

Przykład. Linia prosta odcina równe dodatnie segmenty na osiach współrzędnych. Napisz równanie linii prostej, jeśli pole trójkąta utworzonego przez te odcinki wynosi 8 cm 2.

Rozwiązanie. Równanie prostej ma postać: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Przykład. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(-2, -3) i początek.

Rozwiązanie. Równanie prostej to: , gdzie x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

Kąt pomiędzy liniami prostymi na płaszczyźnie

Definicja. Jeśli podane zostaną dwie linie y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, to kąt ostry między tymi liniami zostanie zdefiniowany jako

.

Dwie linie są równoległe, jeśli k 1 = k 2. Dwie linie są prostopadłe, jeśli k 1 = -1/ k 2.

Twierdzenie. Linie Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 są równoległe, gdy współczynniki A 1 = λA, B 1 = λB są proporcjonalne. Jeśli także C 1 = λC, to linie się pokrywają. Współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych znajdują się jako rozwiązanie układu równań tych prostych.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt prostopadle do danej prostej

Definicja. Prostą przechodzącą przez punkt M 1 (x 1, y 1) i prostopadłą do prostej y = kx + b reprezentuje równanie:

Odległość od punktu do linii

Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x 0, y 0), wówczas odległość do prostej Ax + Bу + C = 0 określa się jako

.

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:

(1)

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:

Drugie równanie układu to równanie prostej przechodzącej przez ten układ ten punkt M 0 jest prostopadła do danej prostej. Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.

Rozwiązanie. Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, zatem proste są prostopadłe.

Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.

Rozwiązanie. Znajdujemy równanie boku AB: ; 4 x = 6 lat – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b. k = . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jej współrzędne spełniają równanie: skąd b = 17. Razem: .

Odpowiedź: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Równania kanoniczne prostej w przestrzeni to równania definiujące linię przechodzącą przez dany punkt współliniową z wektorem kierunku.

Niech będzie dany punkt i wektor kierunkowy. Dowolny punkt leży na prostej l tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe, czyli jest dla nich spełniony warunek:

.

Powyższe równania są równania kanoniczne prosty.

Liczby M , N I P są rzutami wektora kierunku na osie współrzędnych. Ponieważ wektor jest różny od zera, to wszystkie liczby M , N I P nie może być jednocześnie równa zeru. Ale jeden lub dwa z nich mogą okazać się zerowe. Na przykład w geometrii analitycznej dozwolony jest następujący wpis:

,

co oznacza, że ​​rzuty wektora na oś Oj I Oz są równe zeru. Dlatego zarówno wektor, jak i prosta określona równaniami kanonicznymi są prostopadłe do osi Oj I Oz, czyli samoloty yOz .

Przykład 1. Zapisz równania prostej w przestrzeni prostopadłej do płaszczyzny i przechodzący przez punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz .

Rozwiązanie. Znajdźmy punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz. Ponieważ dowolny punkt leży na osi Oz, ma zatem współrzędne , przyjmując w danym równaniu płaszczyznę x = y = 0, otrzymujemy 4 z- 8 = 0 lub z= 2 . Dlatego punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz ma współrzędne (0; 0; 2) . Ponieważ pożądana linia jest prostopadła do płaszczyzny, jest równoległa do jej wektora normalnego. Dlatego wektor kierunkowy linii prostej może być wektorem normalnym dany samolot.

Zapiszmy teraz potrzebne równania prostej przechodzącej przez punkt A= (0; 0; 2) w kierunku wektora:

Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty

Linię prostą można wyznaczyć przez dwa leżące na niej punkty I W tym przypadku wektorem kierującym prostej może być wektor . Wtedy równania kanoniczne prostej przyjmują postać

.

Powyższe równania wyznaczają prostą przechodzącą przez dwa dane punkty.

Przykład 2. Napisz równanie prostej w przestrzeni przechodzącej przez punkty i .

Rozwiązanie. Zapiszmy wymagane równania prostej w postaci podanej powyżej w podręczniku teoretycznym:

.

Ponieważ , to pożądana linia prosta jest prostopadła do osi Oj .

Prosta jak linia przecięcia płaszczyzn

Linię prostą w przestrzeni można zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn oraz jako zbiór punktów spełniający układ dwóch równań liniowych

Równania układu nazywane są również równania ogólne prosto w przestrzeń.

Przykład 3. Ułóż równania kanoniczne prostej w przestrzeni podane równaniami ogólnymi

Rozwiązanie. Aby zapisać równania kanoniczne prostej, czyli równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, należy znaleźć współrzędne dowolnych dwóch punktów na tej prostej. Mogą to być na przykład punkty przecięcia prostej z dowolnymi dwiema płaszczyznami współrzędnych yOz I xOz .

Punkt przecięcia prostej i płaszczyzny yOz ma odciętą X= 0 . Dlatego zakładając w tym układzie równań X= 0, otrzymujemy układ z dwiema zmiennymi:

Jej decyzja y = 2 , z= 6 razem z X= 0 definiuje punkt A(0; 2; 6) żądana linia. Następnie zakładając w zadanym układzie równań y= 0, otrzymujemy system

Jej decyzja X = -2 , z= 0 razem z y= 0 definiuje punkt B(-2; 0; 0) przecięcie prostej z płaszczyzną xOz .

Zapiszmy teraz równania prostej przechodzącej przez punkty A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

lub po podzieleniu mianowników przez -2:

,