Zmianę funkcji w pewnym punkcie definiuje się jako granicę przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, który dąży do zera. Aby go znaleźć, skorzystaj z tabeli instrumentów pochodnych. Na przykład pochodna funkcji y = x3 będzie równa y’ = x2.
Przyrównaj tę pochodną do zera (w w tym przypadku x2=0).
Znajdź wartość podanej zmiennej. Będą to wartości, przy których dana pochodna będzie równa 0. Aby to zrobić, zamiast x wstaw w wyrażeniu dowolne liczby, przy czym całe wyrażenie stanie się zerem. Na przykład:
2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1
Nanieś otrzymane wartości na linię współrzędnych i oblicz znak pochodnej dla każdej z uzyskanych wartości. Na linii współrzędnych zaznaczane są punkty, które są traktowane jako początek. Aby obliczyć wartość w przedziałach, podstaw dowolne wartości spełniające kryteria. Na przykład dla poprzedniej funkcji przed przedziałem -1 można wybrać wartość -2. Dla wartości od -1 do 1 możesz wybrać 0, a dla wartości większych niż 1 wybierz 2. Podstaw te liczby do pochodnej i znajdź znak pochodnej. W tym przypadku pochodna przy x = -2 będzie równa -0,24, tj. ujemna, a na tym przedziale pojawi się znak minus. Jeśli x=0, to wartość będzie równa 2 i na tym przedziale zostanie umieszczony znak. Jeśli x=1, to pochodna również będzie równa -0,24 i zostanie postawiony minus.
Jeżeli pochodna przechodząc przez punkt na osi współrzędnych zmienia swój znak z minus na plus, to jest to punkt minimalny, a jeśli z plus na minus, to jest to punkt maksymalny.
Wideo na ten temat
Aby znaleźć pochodną, istnieją usługi online, które wykonują obliczenia wymagane wartości i wyświetlić wynik. Na takich stronach można znaleźć instrumenty pochodne do 5. rzędu.
Źródła:
- Jedna z usług obliczania instrumentów pochodnych
- maksymalny punkt funkcji
Maksymalne punkty funkcji wraz z minimalnymi punktami nazywane są punktami ekstremalnymi. W tych punktach funkcja zmienia swoje zachowanie. Ekstrema wyznaczane są w ograniczonych przedziałach numerycznych i zawsze mają charakter lokalny.
Instrukcje
Proces znajdowania ekstremów lokalnych nazywany jest funkcją i przeprowadzany jest poprzez analizę pierwszej i drugiej pochodnej funkcji. Przed rozpoczęciem badania upewnij się, że podany zakres wartości argumentów należy do wartości prawidłowych. Na przykład dla funkcji F=1/x argument x=0 jest niepoprawny. Lub dla funkcji Y=tg(x) argument nie może mieć wartości x=90°.
Upewnij się, że funkcja Y jest różniczkowalna w całym podanym przedziale. Znajdź pierwszą pochodną Y.” Oczywiście przed osiągnięciem maksimum lokalnego funkcja rośnie, a po przejściu przez maksimum maleje. Pierwsza pochodna w jej znaczenie fizyczne charakteryzuje szybkość zmian funkcji. Podczas gdy funkcja rośnie, tempo tego procesu jest dodatnie. Po przejściu przez maksimum lokalne funkcja zaczyna maleć, a szybkość zmian funkcji staje się ujemna. Przejście szybkości zmian funkcji przez zero następuje w punkcie lokalnego maksimum.
Dla funkcji f(x) wielu zmiennych punkt x jest wektorem, f'(x) jest wektorem pierwszych pochodnych (gradientu) funkcji f(x), f ′ ′(x) jest macierzą symetryczną drugiej pochodne cząstkowe (macierz Hesja – Hesja) funkcje f(x).
Dla funkcji wielu zmiennych warunki optymalności formułuje się następująco.
Warunek konieczny lokalnej optymalności. Niech f(x) będzie różniczkowalna w punkcie x * R n . Jeśli x * jest lokalnym ekstremum, to f’(x *) = 0.
Tak jak poprzednio, punkty będące rozwiązaniami układu równań nazywane są stacjonarnymi. Charakter punktu stacjonarnego x* jest powiązany ze znakiem określonym macierzy Hessego f′ ′(x).
Znak macierzy A zależy od znaków postaci kwadratowej Q(α)=< α A, α >dla wszystkich niezerowych α∈R n .
Tutaj i dalej
Macierz A jest dodatnio (nieujemnie) określona, jeśli Q(α)>0 (Q(α)≥0) dla wszystkich niezerowych α∈R n ; ujemny (niedodatni) określony, jeśli Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 dla niektórych niezerowych α∈R n i Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Warunek wystarczający na lokalną optymalność. Niech f(x) będzie różniczkowalna dwukrotnie w punkcie x * R n, oraz f’(x *)=0, tj. x * − punkt stacjonarny. Następnie, jeśli macierz f′′(x *) jest dodatnio (ujemnie) określona, to x * jest lokalnym minimum (maksymalnym) punktem; jeśli macierz f′′(x *) jest niezdefiniowana, to x * jest punktem siodłowym.
Jeżeli macierz f′′(x *) jest nieujemnie (nie dodatnio) określona, to określenie natury punktu stacjonarnego x * wymaga badania pochodnych wyższego rzędu.
Aby sprawdzić znak macierzy, z reguły stosuje się kryterium Sylwestra. Zgodnie z tym kryterium macierz symetryczna A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej drobne kątowe są dodatnie. W tym przypadku moll kątowy macierzy A jest wyznacznikiem macierzy zbudowanej z elementów macierzy A znajdujących się na przecięciu wierszy i kolumn o tych samych (i pierwszych) liczbach. Aby sprawdzić symetryczną macierz A pod kątem ujemnej określoności, należy sprawdzić macierz (-A) pod kątem dodatniej określoności.
Zatem algorytm wyznaczania ekstremów lokalnych funkcji wielu zmiennych jest następujący.
1. Znajdź f′(x).
2. System jest w trakcie rozwiązywania 
W rezultacie obliczane są punkty stacjonarne x i.
3. Znajdź f′′(x), ustaw i=1.
4. Znajdź f′′(x i)
5. Obliczamy drobne kątowe macierzy f′′(x i). Jeżeli nie wszystkie drobne kątowe są niezerowe, to określenie charakteru punktu stacjonarnego x i wymaga zbadania pochodnych wyższego rzędu. W takim przypadku następuje przejście do kroku 8.
W przeciwnym razie przejdź do kroku 6.
6. Analizujemy znaki nieletnich kątowych f′′(x i). Jeśli f′′(x i) jest dodatnio określone, to x i jest lokalnym minimum. W takim przypadku następuje przejście do kroku 8.
W przeciwnym razie przejdź do kroku 7.
7. Obliczamy drobne kątowe macierzy -f′′(x i) i analizujemy ich znaki.
Jeśli -f′′(x i) − jest dodatnio określone, to f′′(x i) jest ujemnie określone, a x i jest lokalnym maksimum.
W przeciwnym razie f′′(x i) jest niezdefiniowane, a x i jest punktem siodłowym.
8. Sprawdzany jest warunek określenia charakteru wszystkich punktów stacjonarnych i=N.
Jeśli jest spełniony, obliczenia są zakończone.
Jeżeli warunek nie jest spełniony, to przyjmuje się i=i+1 i następuje przejście do kroku 4.
Przykład nr 1. Wyznaczyć punkty ekstremów lokalnych funkcji f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 
Ponieważ wszystkie nieletnie kątowe są niezerowe, charakter x 2 określa się za pomocą f′′(x).
Ponieważ macierz f′′(x 2) jest dodatnio określona, x 2 jest lokalnym minimum.
Odpowiedź: funkcja f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 ma minimum lokalne w punkcie x = (5/3; 8/3).
MAKSYMALNE I MINIMALNE PUNKTY
punkty, w których przyjmuje się największy lub najmniejsza wartość w dziedzinie definicji; takie punkty nazywane są także punkty absolutnego maksimum lub absolutnego minimum. Jeśli f jest zdefiniowane w topologii przestrzeń X, następnie punkt x 0 zwany punkt lokalnego maksimum (lokalnego minimum), jeżeli taki punkt istnieje x 0,że dla ograniczenia rozważanej funkcji w tym sąsiedztwie punkt x 0 jest absolutnym maksimum (minimalnym) punktem. Istnieją punkty ścisłego i nieścisłego maksimum (minimum) (zarówno bezwzględnego, jak i lokalnego). Na przykład kropka nazywa się punkt nieścisłego (ścisłego) maksimum lokalnego funkcji f, jeśli takie sąsiedztwo punktu istnieje x 0, co dotyczy wszystkich (odpowiednio f(x)
Dla funkcji zdefiniowanych w dziedzinach skończenie wymiarowych, w ujęciu rachunku różniczkowego, istnieją warunki i znaki, aby dany punkt był punktem lokalnego maksimum (minimum). Niech funkcja f będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 osi liczbowej. Jeśli x 0 - punkt nieścisłego lokalnego maksimum (minimum) i w tym punkcie istnieje f”( x 0),
wtedy jest równe zeru.
Jeżeli dana funkcja f jest różniczkowalna w sąsiedztwie punktu x 0, być może z wyjątkiem samego tego punktu, w którym jest on ciągły, i pochodnej f” po obu stronach punktu x 0 w tej okolicy zachowuje stały znak, a następnie w celu x 0 był punktem ścisłego maksimum lokalnego (minimum lokalne), konieczne i wystarczające jest, aby pochodna zmieniła znak z plusa na minus, czyli dla f" (x)>0 przy x<.x 0 i f”(x)<0 при x>x 0(odpowiednio od minus do plus: F"(X) <0
o x<x 0 i f"(x)>0 w x>x 0).
Jednak nie dla każdej funkcji różniczkowalnej w sąsiedztwie punktu x 0, możemy w tym momencie mówić o zmianie znaku pochodnej. . "
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x 0 t instrumenty pochodne, a następnie w celu x 0 był punktem ścisłego maksimum lokalnego, konieczne i wystarczające jest, aby te było parzyste oraz aby f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.
Niech funkcja f( x 1 ..., x n] jest zdefiniowany w n-wymiarowym sąsiedztwie punktu i jest różniczkowalny w tym punkcie. Jeżeli x (0) jest punktem nieścisłego lokalnego maksimum (minimum), to funkcja f w tym punkcie jest równa zeru. Warunek ten jest równoważny równości do zera w tym punkcie wszystkich pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji f. Jeśli funkcja ma drugą ciągłą pochodną cząstkową w x(0), wszystkie jej pierwsze pochodne w x(0) znikają, a różniczka drugiego rzędu w x(0) jest ujemną (dodatnią) formą kwadratową, to x (0) jest punktem ścisłego lokalnego maksimum (minimum). Warunki są znane dla funkcji różniczkowalnych M. i M.T., gdy na zmiany argumentów nałożone są pewne ograniczenia: równania połączenia są spełnione. Warunki konieczne i wystarczające dla maksimum (minimum) funkcji rzeczywistej, która ma bardziej złożoną strukturę, bada się w specjalnych gałęziach matematyki: na przykład w analiza wypukła, programowanie matematyczne(Zobacz też Maksymalizacja i minimalizacja funkcji).
Funkcje M. i m.t. zdefiniowane na rozmaitościach są badane w rachunek wariacyjny, ogólnie rzecz biorąc, a M. i m.t dla funkcji zdefiniowanych w przestrzeniach funkcyjnych, tj. dla funkcjonałów w rachunek wariacyjny. Istnieje również różne metody numeryczne przybliżone określenie m. i m.t.
Oświetlony.: Il'in V. A., Poznya k E. G., Podstawy Analiza matematyczna, wyd. 3, część 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.
Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka. I. M. Winogradow. 1977-1985.
Zobacz, jakie są „PUNKTY MAKSYMALNE I MINIMALNE” w innych słownikach:
Zasada dyskretnego maksimum Pontryagina dla dyskretnych czasowo procesów sterowania. Dla takiego procesu operator różnicy skończonej może nie obowiązywać, choć dla jego ciągłego analogu, otrzymanego przez zastąpienie operatora różnic skończonych operatorem różniczkowym... ... Encyklopedia matematyczna
Twierdzenie wyrażające jedną z głównych właściwości modułu analitycznego. Funkcje. Niech f(z) będzie regularną funkcją analityczną lub holomorficzną zmiennych zespolonych w dziedzinie przestrzeni liczbowej zespolonej D, różną od stałej M.m.p. w... ... Encyklopedia matematyczna
Największe i odpowiednio najmniejsze wartości funkcji, która przyjmuje wartości rzeczywiste. Nazywa się punkt w dziedzinie definicji rozważanej funkcji, w którym przyjmuje ona maksimum lub minimum. odpowiednio punkt maksymalny lub punkt minimalny... ... Encyklopedia matematyczna
Zobacz Maksimum i minimum funkcji, Maksimum i minimum punktu... Encyklopedia matematyczna
Wartość funkcji ciągłej, która jest maksymalna lub minimalna (patrz Punkty maksymalne i minimalne). Termin le... Encyklopedia matematyczna
Wskaźnik- (Wskaźnik) Wskaźnik jest System informacyjny, substancja, urządzenie, urządzenie wyświetlające zmiany dowolnego parametru Wskaźniki wykresu rynku walutowego Forex, czym są i skąd można je pobrać? Opis wskaźników MACD,... ... Encyklopedia inwestorów
Termin ten ma inne znaczenia, patrz Extremum (znaczenia). Ekstremum (łac. ekstremum ekstremum) w matematyce to maksymalna lub minimalna wartość funkcji w danym zbiorze. Punkt, w którym osiągane jest ekstremum... ... Wikipedia
Rachunek różniczkowy to gałąź analizy matematycznej, która bada pojęcia pochodnej i różniczkowej oraz ich zastosowanie do badania funkcji. Spis treści 1 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej... Wikipedia
Lemniskata i jej ogniska Lemniskata Bernoulliego jest płaską krzywą algebraiczną. Zdefiniowany jako miejsce punktów, produkt… Wikipedia
Rozbieżność- (Dywergencja) Dywergencja jako wskaźnik Strategia handlowa z dywergencją MACD Spis treści Spis treści Sekcja 1. dot. Sekcja 2. Rozbieżność jak. Rozbieżność to termin używany w ekonomii w odniesieniu do ruchu wzdłuż rozbieżnych... ... Encyklopedia inwestorów
$E \podzbiór \mathbb(R)^(n)$. Mówią, że $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $x_(0) \in E$, jeśli istnieje otoczenie $U$ punktu $x_(0)$ takie, że dla wszystkich $x \in U$ nierówność $f\left(x\right ) \leqslant f jest spełniony \left(x_(0)\right)$.
Nazywa się maksimum lokalne ścisły , jeśli można wybrać sąsiedztwo $U$ w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ istnieje $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
Definicja
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mówią, że $f$ ma minimum lokalne w punkcie $x_(0) \in E$, jeśli istnieje otoczenie $U$ punktu $x_(0)$ takie, że nierówność $f\left(x\right) \geqslant f zachodzi dla wszystkich $ x \in U$ \lewo(x_(0)\prawo)$.
Minimum lokalne nazywa się ścisłym, jeśli można wybrać sąsiedztwo $U$ w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ istnieje $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\prawo)$.
Lokalne ekstremum łączy w sobie koncepcje lokalnego minimum i lokalnego maksimum.
Twierdzenie ( warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej)
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jeżeli w punkcie $x_(0) \in E$ ma funkcję $f$ ekstremum lokalne i w tym momencie $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Równość różniczki do zera jest równoważna temu, że każdy jest równy zeru, tj. $$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x_(i))\lewo(x_(0)\prawo)=0.$$
W przypadku jednowymiarowym jest to – . Oznaczmy $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdzie $h$ jest dowolnym wektorem. Funkcję $\phi$ definiuje się dla wartości $t$, które są wystarczająco małe w wartości bezwzględnej. Dodatkowo względem , jest różniczkowalna i $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Niech $f$ będzie miało maksimum lokalne w punkcie x $0$. Oznacza to, że funkcja $\phi$ przy $t = 0$ ma lokalne maksimum i zgodnie z twierdzeniem Fermata $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Mamy więc $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ jest równa zeru na dowolnym wektorze $h$.
Definicja
Punkty, w których różnica wynosi zero, tj. te, w których wszystkie pochodne cząstkowe są równe zero, nazywane są stacjonarnymi. Punkt krytyczny funkcje $f$ to te punkty, w których $f$ nie jest różniczkowalne lub jest równe zeru. Jeżeli punkt jest nieruchomy, to nie wynika z tego, że funkcja ma w tym punkcie ekstremum.
Przykład 1.
Niech $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Następnie $\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe y) = 3 \cdot y^(2 )$, więc $\left(0,0\right)$ jest punktem stacjonarnym, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum. Rzeczywiście $f \left(0,0\right) = 0$, ale łatwo zauważyć, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $\left(0,0\right)$ funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.
Przykład 2.
Funkcja $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ma w swoim początku nieruchomy punkt, ale jasne jest, że w tym punkcie nie ma ekstremum.
Twierdzenie (warunek wystarczający na ekstremum).
Niech funkcja $f$ będzie dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Niech $x_(0) \in E$ będzie punktem stacjonarnym, a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Zatem
- jeśli $Q_(x_(0))$ – , to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ ma ekstremum lokalne, czyli minimum, jeśli postać jest dodatnio określona, i maksimum, jeśli postać jest ujemny określony;
- jeśli postać kwadratowa $Q_(x_(0))$ jest niezdefiniowana, to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ nie ma ekstremum.
Skorzystajmy z rozwinięcia według wzoru Taylora (12.7 s. 292). Biorąc pod uwagę, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie $x_(0)$ są równe zeru, otrzymujemy $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ prawo) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\częściowe x_(i) \częściowe x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ gdzie $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ dla $h \rightarrow 0$, a następnie prawa część będzie dodatnia dla dowolnego wektora $h$ o dostatecznie małej długości.
Doszliśmy więc do wniosku, że w pewnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ nierówność $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ zachodzi, jeśli tylko $ x \neq x_ (0)$ (wstawiamy $x=x_(0)+h$\right). Oznacza to, że w punkcie $x_(0)$ funkcja ma ścisłe minimum lokalne i tym samym udowodniona została pierwsza część naszego twierdzenia.
Załóżmy teraz, że $Q_(x_(0))$ – forma nieokreślona. Następnie istnieją wektory $h_(1)$, $h_(2)$ takie, że $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 dolarów. Następnie otrzymujemy $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Dla wystarczająco małych $t>0$ prawa strona strona jest pozytywna. Oznacza to, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości $f \left(x\right)$ większe niż $f \left(x_(0)\right)$.
Podobnie stwierdzamy, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze niż $f \left(x_(0)\right)$. To, łącznie z poprzednim, oznacza, że w punkcie $x_(0)$ funkcja $f$ nie ma ekstremum.
Rozważmy szczególny przypadek tego twierdzenia dla funkcji $f \left(x,y\right)$ dwóch zmiennych zdefiniowanych w pewnym sąsiedztwie punktu $\left(x_(0),y_(0)\right)$ i posiadającej ciągłą częściową pochodne pierwszego w tym sąsiedztwie i drugiego rzędu. Załóżmy, że $\left(x_(0),y_(0)\right)$ jest punktem stacjonarnym i oznaczmy $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(x_( 0 ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Wtedy poprzednie twierdzenie przyjmuje następującą postać.
Twierdzenie
Niech $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Następnie:
- jeśli $\Delta>0$, to funkcja $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $\left(x_(0),y_(0)\right)$, czyli minimum, jeśli $a_(11)> 0$ i maksymalnie, jeśli $a_(11)<0$;
- jeśli $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Przykłady rozwiązywania problemów
Algorytm znajdowania ekstremum funkcji wielu zmiennych:
- Znajdowanie punktów stacjonarnych;
- Znajdź różnicę drugiego rzędu we wszystkich punktach stacjonarnych
- Korzystając z warunku wystarczającego na ekstremum funkcji wielu zmiennych, rozważamy różnicę drugiego rzędu w każdym punkcie stacjonarnym
- Zbadaj funkcję dla ekstremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
RozwiązanieZnajdźmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\częściowe y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Skomponujmy i rozwiążmy system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\częściowe f)(\częściowe x) = 0\\\frac(\partial f)(\częściowy y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Z drugiego równania wyrażamy $x=4 \cdot y^(2)$ - podstawiamy do pierwszego równania: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ W rezultacie otrzymujemy 2 punkty stacjonarne:
1) $y=0 \Strzałka w prawo x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \lewo(\frac(1)(2), 1\prawo)$
Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek wystarczający ekstremum:
$$\displaystyle \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x^(2))=6 \cdot x; \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y)=-6; \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2))=48 \cdot y$$
1) Dla punktu $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$ $ \ Displaystyle A_ (1) = \ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2)) \ lewo (0,0 \ prawo) = 0; B_(1)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Dla punktu $M_(2)$:
$ $ \ Displaystyle A_ (2) = \ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2)) \ lewo (1, \ frac (1) (2) \ prawo) = 6; B_(2)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, co oznacza, że w punkcie $M_(2)$ istnieje ekstremum, a ponieważ $A_(2)> 0$, to jest to minimum.
Odpowiedź: Punkt $\displaystyle M_(2)\lewo(1,\frac(1)(2)\prawo)$ jest punktem minimalnym funkcji $f$. - Zbadaj funkcję dla ekstremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
RozwiązanieZnajdźmy punkty stacjonarne: $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Skomponujmy i rozwiążmy system: $$\displaystyle \begin(przypadki)\frac(\częściowe f)(\częściowe x)= 0\\\frac(\częściowe f)(\częściowe y)= 0\end(przypadki ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Strzałka w prawo x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ jest punktem stacjonarnym.
Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek wystarczający dla ekstremum: $$\displaystyle A=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Odpowiedź: nie ma skrajności.
Limit czasu: 0
Nawigacja (tylko numery zadań)
Ukończono 0 z 4 zadań
Informacja
Rozwiąż ten quiz, aby sprawdzić swoją wiedzę na temat, który właśnie przeczytałeś: Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych.
Już wcześniej przystąpiłeś do testu. Nie możesz zacząć tego od nowa.
Ładowanie testowe...
Aby rozpocząć test, musisz się zalogować lub zarejestrować.
Aby rozpocząć ten, musisz ukończyć następujące testy:
wyniki
Prawidłowe odpowiedzi: 0 na 4
Twój czas:
Czas się skończył
Zdobyłeś 0 z 0 punktów (0)
Twój wynik został zapisany na tablicy wyników
- Z odpowiedzią
- Ze znakiem widokowym
Zadanie 2 z 4
2 .
Liczba punktów: 1Czy funkcja $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ma ekstremum
Zadanie 1 z 4
1 .
Liczba punktów: 1Zbadaj funkcję $f$ dla ekstremów: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Prawidłowy
Zło
$E \podzbiór \mathbb(R)^(n)$. Mówią, że $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $x_(0) \in E$, jeśli istnieje otoczenie $U$ punktu $x_(0)$ takie, że dla wszystkich $x \in U$ nierówność $f\left(x\right ) \leqslant f jest spełniony \left(x_(0)\right)$.
Nazywa się maksimum lokalne ścisły , jeśli można wybrać sąsiedztwo $U$ w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ istnieje $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.
Definicja
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Mówią, że $f$ ma minimum lokalne w punkcie $x_(0) \in E$, jeśli istnieje otoczenie $U$ punktu $x_(0)$ takie, że nierówność $f\left(x\right) \geqslant f zachodzi dla wszystkich $ x \in U$ \lewo(x_(0)\prawo)$.
Minimum lokalne nazywa się ścisłym, jeśli można wybrać sąsiedztwo $U$ w taki sposób, że dla wszystkich $x \in U$ różnych od $x_(0)$ istnieje $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\prawo)$.
Lokalne ekstremum łączy w sobie koncepcje lokalnego minimum i lokalnego maksimum.
Twierdzenie (warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej)
Niech $f$ będzie funkcją rzeczywistą na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jeżeli w punkcie $x_(0) \in E$ funkcja $f$ ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Różnica równa zeru jest równoznaczna z faktem, że wszystkie są równe zeru, tj. $$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x_(i))\lewo(x_(0)\prawo)=0.$$
W przypadku jednowymiarowym jest to – . Oznaczmy $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdzie $h$ jest dowolnym wektorem. Funkcję $\phi$ definiuje się dla wartości $t$, które są wystarczająco małe w wartości bezwzględnej. Dodatkowo względem , jest różniczkowalna i $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Niech $f$ będzie miało maksimum lokalne w punkcie x $0$. Oznacza to, że funkcja $\phi$ przy $t = 0$ ma lokalne maksimum i zgodnie z twierdzeniem Fermata $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Mamy więc $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ jest równa zeru na dowolnym wektorze $h$.
Definicja
Punkty, w których różnica wynosi zero, tj. te, w których wszystkie pochodne cząstkowe są równe zero, nazywane są stacjonarnymi. Punkt krytyczny funkcje $f$ to te punkty, w których $f$ nie jest różniczkowalne lub jest równe zeru. Jeżeli punkt jest nieruchomy, to nie wynika z tego, że funkcja ma w tym punkcie ekstremum.
Przykład 1.
Niech $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Następnie $\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\częściowe f)(\częściowe y) = 3 \cdot y^(2 )$, więc $\left(0,0\right)$ jest punktem stacjonarnym, ale funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum. Rzeczywiście $f \left(0,0\right) = 0$, ale łatwo zauważyć, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $\left(0,0\right)$ funkcja przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne.
Przykład 2.
Funkcja $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ma w swoim początku nieruchomy punkt, ale jasne jest, że w tym punkcie nie ma ekstremum.
Twierdzenie (warunek wystarczający na ekstremum).
Niech funkcja $f$ będzie dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły na zbiorze otwartym $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Niech $x_(0) \in E$ będzie punktem stacjonarnym, a $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Zatem
- jeśli $Q_(x_(0))$ – , to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ ma ekstremum lokalne, czyli minimum, jeśli postać jest dodatnio określona, i maksimum, jeśli postać jest ujemny określony;
- jeśli postać kwadratowa $Q_(x_(0))$ jest niezdefiniowana, to funkcja $f$ w punkcie $x_(0)$ nie ma ekstremum.
Skorzystajmy z rozwinięcia według wzoru Taylora (12.7 s. 292). Biorąc pod uwagę, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie $x_(0)$ są równe zeru, otrzymujemy $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ prawo) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\częściowe x_(i) \częściowe x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ gdzie $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ dla $h \rightarrow 0$, wówczas prawa strona będzie dodatnia dla dowolnego wektora $h$ o dostatecznie małej długości.
Doszliśmy więc do wniosku, że w pewnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ nierówność $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ zachodzi, jeśli tylko $ x \neq x_ (0)$ (wstawiamy $x=x_(0)+h$\right). Oznacza to, że w punkcie $x_(0)$ funkcja ma ścisłe minimum lokalne i tym samym udowodniona została pierwsza część naszego twierdzenia.
Załóżmy teraz, że $Q_(x_(0))$ jest formą nieokreśloną. Następnie istnieją wektory $h_(1)$, $h_(2)$ takie, że $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 dolarów. Następnie otrzymujemy $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Dla wystarczająco małych $t>0$ prawa strona strona jest pozytywna. Oznacza to, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości $f \left(x\right)$ większe niż $f \left(x_(0)\right)$.
Podobnie stwierdzamy, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $x_(0)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości mniejsze niż $f \left(x_(0)\right)$. To, łącznie z poprzednim, oznacza, że w punkcie $x_(0)$ funkcja $f$ nie ma ekstremum.
Rozważmy szczególny przypadek tego twierdzenia dla funkcji $f \left(x,y\right)$ dwóch zmiennych, zdefiniowanych w pewnym sąsiedztwie punktu $\left(x_(0),y_(0)\right )$ i posiadające ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Załóżmy, że $\left(x_(0),y_(0)\right)$ jest punktem stacjonarnym i oznaczmy $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(x_( 0 ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Wtedy poprzednie twierdzenie przyjmuje następującą postać.
Twierdzenie
Niech $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Następnie:
- jeśli $\Delta>0$, to funkcja $f$ ma ekstremum lokalne w punkcie $\left(x_(0),y_(0)\right)$, czyli minimum, jeśli $a_(11)> 0$ i maksymalnie, jeśli $a_(11)<0$;
- jeśli $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.
Przykłady rozwiązywania problemów
Algorytm znajdowania ekstremum funkcji wielu zmiennych:
- Znajdowanie punktów stacjonarnych;
- Znajdź różnicę drugiego rzędu we wszystkich punktach stacjonarnych
- Korzystając z warunku wystarczającego na ekstremum funkcji wielu zmiennych, rozważamy różnicę drugiego rzędu w każdym punkcie stacjonarnym
- Zbadaj funkcję dla ekstremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
RozwiązanieZnajdźmy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\częściowe y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Skomponujmy i rozwiążmy system: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\częściowe f)(\częściowe x) = 0\\\frac(\partial f)(\częściowy y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ Z drugiego równania wyrażamy $x=4 \cdot y^(2)$ - podstawiamy do pierwszego równania: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ W rezultacie otrzymujemy 2 punkty stacjonarne:
1) $y=0 \Strzałka w prawo x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \lewo(\frac(1)(2), 1\prawo)$
Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek wystarczający ekstremum:
$$\displaystyle \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x^(2))=6 \cdot x; \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y)=-6; \frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2))=48 \cdot y$$
1) Dla punktu $M_(1)= \left(0,0\right)$:
$ $ \ Displaystyle A_ (1) = \ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2)) \ lewo (0,0 \ prawo) = 0; B_(1)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Dla punktu $M_(2)$:
$ $ \ Displaystyle A_ (2) = \ Frac (\ częściowe ^ (2) f) (\ częściowe x ^ (2)) \ lewo (1, \ frac (1) (2) \ prawo) = 6; B_(2)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, co oznacza, że w punkcie $M_(2)$ istnieje ekstremum, a ponieważ $A_(2)> 0$, to jest to minimum.
Odpowiedź: Punkt $\displaystyle M_(2)\lewo(1,\frac(1)(2)\prawo)$ jest punktem minimalnym funkcji $f$. - Zbadaj funkcję dla ekstremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
RozwiązanieZnajdźmy punkty stacjonarne: $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\częściowe f)(\częściowe y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Skomponujmy i rozwiążmy system: $$\displaystyle \begin(przypadki)\frac(\częściowe f)(\częściowe x)= 0\\\frac(\częściowe f)(\częściowe y)= 0\end(przypadki ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Strzałka w prawo x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ jest punktem stacjonarnym.
Sprawdźmy, czy spełniony jest warunek wystarczający dla ekstremum: $$\displaystyle A=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe x \częściowe y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\częściowe^(2) f)(\częściowe y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Odpowiedź: nie ma skrajności.
Limit czasu: 0
Nawigacja (tylko numery zadań)
Ukończono 0 z 4 zadań
Informacja
Rozwiąż ten quiz, aby sprawdzić swoją wiedzę na temat, który właśnie przeczytałeś: Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych.
Już wcześniej przystąpiłeś do testu. Nie możesz zacząć tego od nowa.
Ładowanie testowe...
Aby rozpocząć test, musisz się zalogować lub zarejestrować.
Aby rozpocząć ten, musisz ukończyć następujące testy:
wyniki
Prawidłowe odpowiedzi: 0 na 4
Twój czas:
Czas się skończył
Zdobyłeś 0 z 0 punktów (0)
Twój wynik został zapisany na tablicy wyników
- Z odpowiedzią
- Ze znakiem widokowym
Zadanie 2 z 4
2 .
Liczba punktów: 1Czy funkcja $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ma ekstremum
Zadanie 1 z 4
1 .
Liczba punktów: 1Zbadaj funkcję $f$ dla ekstremów: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$
Prawidłowy
Zło
