Punkt M nazywa się wewnętrznym pewnego zbioru G, jeśli należy do tego zbioru wraz z częścią jego sąsiedztwa. Punkt N nazywa się punktem brzegowym zbioru G, jeśli w jakimkolwiek jego całkowitym sąsiedztwie znajdują się zarówno punkty należące do G, jak i nienależące do niego.

Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru G nazywa się granicą zbioru G.

Zbiór G będzie nazywany obszarem, jeśli wszystkie jego punkty są wewnętrzne (zbiór otwarty). Zbiór G z powiązaną granicą Г nazywany jest obszarem zamkniętym. Region nazywa się ograniczonym, jeśli w całości mieści się w okręgu o wystarczająco dużym promieniu.

Najmniejsze i największe wartości funkcji w danym obszarze nazywane są ekstremami absolutnymi funkcji w tym obszarze.

Twierdzenie Weierstrassa: funkcja ciągła w ograniczonym i teren zamknięty, osiąga w tym regionie wartości minimalne i maksymalne.

Konsekwencja. Absolutne ekstremum funkcji w danym obszarze osiąga się albo w punkcie krytycznym funkcji należącej do tego obszaru, albo w Aby znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w obszarze zamkniętym G, należy znaleźć wszystkie jej punkty krytyczne w tym obszarze, oblicz wartości funkcji w tych punktach (w tym graniczne) i porównując uzyskane liczby, wybierz największą i najmniejszą z nich.

Przykład 4.1. Znajdź ekstremum absolutne funkcji (największa i najmniejsza wartość)
w obszarze trójkątnym D z wierzchołkami
,
,
(ryc. 1).

;
,

czyli punkt O(0, 0) jest punktem krytycznym należącym do obszaru D. z(0,0)=0.

Zbadajmy granicę:

a) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

taksówka: ;
,

Przykład 4.2. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w zamkniętym obszarze ograniczonym osiami współrzędnych i linią prostą
.

1) Znajdź punkty krytyczne leżące w regionie:

,
,

.

Zbadajmy granicę. Ponieważ granica składa się z odcinka OA osi Ox, odcinka OB osi Oy oraz odcinka AB, wówczas wyznaczamy największą i najmniejszą wartość funkcji z na każdym z tych odcinków.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Spośród wszystkich znalezionych wartości wybierz z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Ekstremum warunkowe. Metoda mnożnika Lagrange'a

Rozważmy problem specyficzny dla funkcji kilku zmiennych, gdy ekstremum szuka się nie na całym obszarze definicji, ale na zbiorze spełniającym pewien warunek.

Rozważmy funkcję
, argumenty I które spełniają warunek
, zwane równaniem sprzężenia.

Kropka
nazywa się warunkowym punktem maksymalnym (minimalnym), jeśli istnieje takie sąsiedztwo tego punktu, że dla wszystkich punktów
z tej okolicy spełniający ten warunek
, nierówność zachodzi
Lub
.

Rysunek 2 pokazuje warunkowy punkt maksymalny
. Oczywiście nie jest to bezwarunkowy ekstremum funkcji
(na ryc. 2 o to właśnie chodzi
).

Najprostszym sposobem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych jest zredukowanie problemu do znalezienia ekstremum funkcji jednej zmiennej. Załóżmy równanie połączenia
udało się rozwiązać w odniesieniu do jednej ze zmiennych, na przykład wyrazić Poprzez :
. Zastępując otrzymane wyrażenie funkcją dwóch zmiennych, otrzymujemy

te. funkcja jednej zmiennej. Jego ekstremum będzie ekstremum warunkowym funkcji
.

Przykład 5.1. Znajdź maksimum i minimum punktów funkcji
jeśli się uwzględni
.

Rozwiązanie. Wyraźmy z równania
zmienny poprzez zmienną i zastąp powstałe wyrażenie
w funkcję . Dostajemy
Lub
. Funkcja ta ma unikalne minimum przy
. Odpowiednia wartość funkcji
. Zatem,
– punkt ekstremum warunkowego (minimum).

W rozważanym przykładzie równanie sprzężenia
okazał się liniowy, więc łatwo go było rozwiązać w odniesieniu do jednej ze zmiennych. Jednak w bardziej skomplikowanych przypadkach nie da się tego zrobić.

Aby znaleźć ekstremum warunkowe w ogólnym przypadku, stosuje się metodę mnożnika Lagrange'a. Rozważmy funkcję trzech zmiennych. Ta funkcja nazywa się funkcją Lagrange'a i – mnożnik Lagrange’a. Poniższe twierdzenie jest prawdziwe.

Twierdzenie. Jeśli chodzi o
jest warunkowym ekstremum funkcji
jeśli się uwzględni
, wtedy istnieje wartość taki ten punkt
jest ekstremum funkcji
.

Zatem, aby znaleźć ekstremum warunkowe funkcji
jeśli się uwzględni
trzeba znaleźć rozwiązanie systemu

P ostatnie z tych równań pokrywa się z równaniem sprzęgania. Pierwsze dwa równania układu można zapisać w postaci tj. w ekstremum warunkowym gradienty funkcji
I
współliniowy. Na ryc. Rysunek 3 przedstawia geometryczne znaczenie warunków Lagrange'a. Linia
przerywana, pozioma linia
Funkcje
solidny. Z ryc. wynika z tego, że w ekstremum warunkowym linia poziomu funkcji
dotyka linii
.

Przykład 5.2. Znajdź ekstrema funkcji
jeśli się uwzględni
, stosując metodę mnożnika Lagrange'a.

Rozwiązanie. Tworzymy funkcję Lagrange'a. Przyrównując jego pochodne cząstkowe do zera, otrzymujemy układ równań:

Jej jedyne rozwiązanie. Zatem ekstremum warunkowe może być tylko punktem (3; 1). Łatwo sprawdzić, że w tym momencie funkcja
ma minimum warunkowe. Jeśli liczba zmiennych jest większa niż dwie, można rozważyć kilka równań sprzężenia. Odpowiednio w tym przypadku będzie kilka mnożników Lagrange'a.

Problem znalezienia ekstremum warunkowego wykorzystuje się przy rozwiązywaniu takich problemów ekonomicznych, jak znalezienie optymalnej alokacji zasobów, wybór optymalnego portfela papierów wartościowych itp.

Joseph Louis Lagrange urodził się w Turynie (Włochy) w rodzinie włosko-francuskiej. Studiował, a następnie wykładał w Szkole Artylerii. W 1759 roku z rekomendacji Eulera 23-letni Lagrange został wybrany na członka Berlińskiej Akademii Nauk. W 1766 roku został już jego prezesem. Fryderyk II zaprosił Lagrange'a do Berlina. Po śmierci Fryderyka II w 1786 roku Lagrange przeniósł się do Paryża. Od 1722 był członkiem Paryskiej Akademii Nauk, w 1795 został mianowany członkiem Biura Długości Geograficznych i brał czynny udział w tworzeniu metrycznego systemu miar. Koło badania naukowe Lagrange był niezwykle szeroki. Zajmują się mechaniką, geometrią, analizą matematyczną, algebrą, teorią liczb i astronomią teoretyczną. Głównym kierunkiem badań Lagrange'a było przedstawienie szerokiej gamy zjawisk w mechanice z ujednoliconego punktu widzenia. Wyprowadził równanie opisujące zachowanie dowolnego układu pod wpływem sił. W dziedzinie astronomii Lagrange zrobił wiele, aby rozwiązać problem stabilności Układ Słoneczny; udowodnili szczególne przypadki ruchu stabilnego, szczególnie dla małych ciał znajdujących się w tzw. trójkątnych punktach libracji.

Metoda Lagrange’a─ to metoda rozwiązywania problemu optymalizacji z ograniczeniami, w której ograniczenia zapisane jako funkcje ukryte łączy się z funkcją celu w postaci nowego równania zwanego Lagrangiana.

Rozważmy szczególny przypadek wspólne zadanie Nie Programowanie liniowe:

Biorąc pod uwagę system równania nieliniowe (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Znajdź najmniejszą (lub największą) wartość funkcji (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

jeśli nie ma warunków, aby zmienne były nieujemne, a f(x1,x2,…,xn) i gi(x1,x2,…,xn) są funkcjami ciągłymi wraz z ich pochodnymi cząstkowymi.

Aby znaleźć rozwiązanie tego problemu, możesz użyć następna metoda: 1. Wprowadź zbiór zmiennych λ1, λ2,…, λm, zwanych mnożnikami Lagrange’a, utwórz funkcję Lagrange’a (3)

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Znajdź pochodne cząstkowe funkcji Lagrange'a względem zmiennych xi i λi i przyrównaj je do zera.

3. Rozwiązując układ równań, znajdź punkty, w których funkcja celu problem może mieć ekstremum.

4. Wśród punktów podejrzanych, które nie są ekstremum, znajdź te, w których osiągnięto ekstremum i oblicz wartości funkcji w tych punktach .

4. Porównaj otrzymane wartości funkcji f i wybierz najlepszą.

Zgodnie z planem produkcyjnym firma potrzebuje wyprodukować 180 produktów. Wyroby te można wytwarzać dwoma sposobami technologicznymi. Przy wytwarzaniu produktów x1 metodą I koszt wynosi 4*x1+x1^2 rubli, a przy wytwarzaniu produktów x2 metodą II to 8*x2+x2^2 rubli. Określ, ile produktów należy wytworzyć każdą metodą, aby całkowity koszt produkcji był minimalny.

Rozwiązanie: Matematyczne sformułowanie problemu polega na ustaleniu najniższa wartość funkcje dwóch zmiennych:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, pod warunkiem, że x1 +x2 = 180.

Utwórzmy funkcję Lagrange'a:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Obliczmy jego pochodne cząstkowe względem x1, x2, λ i przyrównajmy je do 0:

Przesuńmy λ na prawą stronę pierwszych dwóch równań i przyrównajmy ich lewe strony, otrzymamy 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 lub x1 − x2 = 2.

Rozwiązując ostatnie równanie łącznie z równaniem x1 + x2 = 180, znajdujemy x1 = 91, x2 = 89, czyli otrzymaliśmy rozwiązanie spełniające warunki:

Znajdźmy wartość funkcji celu f dla tych wartości zmiennych:

F(x1, x2) = 17278

Ten punkt jest podejrzany ze względu na punkt skrajny. Korzystając z drugich pochodnych cząstkowych możemy pokazać, że w punkcie (91.89) funkcja f ma minimum.

Opis metody

Gdzie .

Racjonalne uzasadnienie

Poniższe uzasadnienie metody mnożnika Lagrange'a nie jest jej rygorystycznym dowodem. Zawiera rozumowanie heurystyczne, które pomaga zrozumieć znaczenie geometryczne metoda.

Sprawa dwuwymiarowa

Linie poziomu i krzywa.

Niech będzie konieczne znalezienie ekstremum jakiejś funkcji dwóch zmiennych pod warunkiem określonym równaniem . Zakładamy, że wszystkie funkcje są różniczkowalne w sposób ciągły, a równanie to definiuje gładką krzywą S na powierzchni. Wtedy problem sprowadza się do znalezienia ekstremum funkcji F na zakręcie S. To też założymy S nie przechodzi przez punkty, w których występuje nachylenie F zmienia się na 0.

Narysujmy na płaszczyźnie linie poziomu funkcji F(czyli krzywe). Z rozważań geometrycznych jasno wynika, że ​​ekstremum funkcji F na zakręcie S mogą istnieć tylko punkty, w których jest styczna do S i odpowiadająca im linia poziomu pokrywają się. Rzeczywiście, jeśli krzywa S przekracza linię poziomu F w punkcie poprzecznie (to znaczy pod pewnym niezerowym kątem), a następnie poruszając się wzdłuż krzywej S z punktu możemy dojść do linii poziomu odpowiadających większej wartości F, i mniej. Dlatego taki punkt nie może być punktem ekstremalnym.

Zatem warunkiem koniecznym ekstremum w naszym przypadku będzie zbieżność stycznych. Aby zapisać to w formie analitycznej, należy zauważyć, że jest to równoważne równoległości gradientów funkcji F i ψ w danym punkcie, ponieważ wektor gradientu jest prostopadły do ​​stycznej do linii poziomu. Warunek ten wyraża się w następującej formie:

gdzie λ jest liczbą niezerową będącą mnożnikiem Lagrange’a.

Rozważmy teraz Funkcja Lagrange'a, w zależności od i λ:

Warunkiem koniecznym jego ekstremum jest to, aby gradient był równy zeru. Zgodnie z zasadami różniczkowania zapisuje się to w formie

Otrzymaliśmy układ, którego pierwsze dwa równania są równoważne warunkowi koniecznemu ekstremum lokalne(1), a trzeci - do równania . Można to z niego znaleźć. Co więcej, ponieważ w przeciwnym razie gradient funkcji F znika w tym miejscu , co jest sprzeczne z naszymi założeniami. Należy zaznaczyć, że znalezione w ten sposób punkty mogą nie być pożądanymi punktami ekstremum warunkowego – rozpatrywany warunek jest konieczny, ale niewystarczający. Znajdowanie ekstremum warunkowego za pomocą funkcji pomocniczej L i stanowi podstawę metody mnożnika Lagrange'a, zastosowanej tutaj dla najprostszego przypadku dwóch zmiennych. Okazuje się, że powyższe rozumowanie można uogólnić na przypadek dowolnej liczby zmiennych i równań określających warunki.

W oparciu o metodę mnożnika Lagrange'a można pewne udowodnić wystarczające warunki dla ekstremum warunkowego wymagającego analizy drugich pochodnych funkcji Lagrange'a.

Aplikacja

• Metoda mnożnika Lagrange'a wykorzystywana jest do rozwiązywania problemów programowania nieliniowego, które pojawiają się w wielu dziedzinach (np. w ekonomii).
• Główną metodą rozwiązania problemu optymalizacji jakości kodowania danych audio i wideo przy danej średniej przepływności (optymalizacja zniekształceń - j. Optymalizacja zniekształceń szybkości).

Zobacz też

Spinki do mankietów

• Zorich V.A. Analiza matematyczna. Część 1. - wyd. 2., wyd. i dodatkowe - M.: FAZIS, 1997.

Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, jakie „mnożniki Lagrange’a” znajdują się w innych słownikach:

Mnożniki Lagrange'a- dodatkowe czynniki przekształcające funkcję celu ekstremalnego problemu programowania wypukłego (w szczególności programowania liniowego) przy jego rozwiązywaniu jedną z klasycznych metod, metodą rozwiązywania mnożników... ... Słownik ekonomiczny i matematyczny

Mnożniki Lagrange'a- Dodatkowe czynniki przekształcające funkcję celu zadania programowania ekstremalnie wypukłego (w szczególności programowania liniowego) przy jego rozwiązywaniu jedną z klasycznych metod, metodą rozwiązywania mnożników (metoda Lagrange'a).... ... Przewodnik tłumacza technicznego

Mechanika. 1) Równania Lagrange'a I rodzaju, równania różniczkowe ruchu mechanicznego. układy, które podane są w rzutach na prostokątne osie współrzędnych i zawierają tzw. Mnożniki Lagrange'a. Uzyskane przez J. Lagrange'a w 1788 r. Dla układu holonomicznego ... ... Encyklopedia fizyczna

Zwykła mechanika równania różniczkowe II stopień, opisujący ruchy mechaniczne. systemów pod wpływem przyłożonych do nich sił. Lu ustalony przez J. Laga asortyment w dwóch postaciach: L. u. I rodzaj, czyli równania we współrzędnych kartezjańskich z... ... Encyklopedia matematyczna

1) w hydromechanice równanie ruchu płynu (gazu) w zmiennych Lagrange'a, które są współrzędnymi ośrodka. Otrzymał język francuski naukowiec J. Lagrange (ok. 1780). Od L.u. prawo ruchu ośrodka jest określone w postaci zależności... ... Encyklopedia fizyczna

Metoda mnożnika Lagrange'a, metoda znajdowania ekstremum warunkowego funkcji f(x), gdzie w odniesieniu do m ograniczeń i zmienia się od jednego do m. Spis treści 1 Opis metody... Wikipedia

Funkcja stosowana przy rozwiązywaniu problemów z ekstremum warunkowym funkcji wielu zmiennych i funkcjonałów. Z pomocą L. f. są nagrywane niezbędne warunki optymalność w problemach z ekstremum warunkowym. W tym przypadku nie jest konieczne wyrażanie tylko zmiennych... Encyklopedia matematyczna

Metoda rozwiązywania problemów z ekstremum warunkowym; L.M.M. polega na sprowadzeniu tych problemów do problemów na ekstremum bezwarunkowym funkcji pomocniczej, tzw. Funkcje Lagrange'a. Dla problemu ekstremum funkcji f (x1, x2,..., xn) dla... ...

Zmienne, za pomocą których konstruowana jest funkcja Lagrange'a podczas badania problemów z ekstremum warunkowym. Zastosowanie metod liniowych i funkcji Lagrange'a pozwala w sposób jednolity uzyskać niezbędne warunki optymalności w problemach z ekstremum warunkowym... Encyklopedia matematyczna

1) w hydromechanice równania ruchu ośrodka płynnego zapisane w zmiennych Lagrange'a, które są współrzędnymi cząstek ośrodka. Od L.u. prawo ruchu cząstek ośrodka określa się w postaci zależności współrzędnych od czasu i z nich... ... Wielka encyklopedia radziecka

• Instruktaż

Wszyscy dobry dzień. W tym artykule chcę pokazać jeden z metody graficzne budowa modele matematyczne dla układów dynamicznych, co jest tzw wykres obligacji(„wiązanie” - połączenia, „wykres” - wykres). W literaturze rosyjskiej opisy tej metody znalazłem jedynie w Podręczniku Tomskiego Politechnika, AV Voronin „MODELOWANIE UKŁADÓW MECHATRONICZNYCH” 2008 Pokaż także klasyczna metoda poprzez równanie Lagrange'a II rodzaju.

Metoda Lagrange’a

Nie będę opisywał teorii, przedstawię etapy obliczeń z kilkoma uwagami. Osobiście łatwiej mi uczyć się na przykładach niż czytać teorię 10 razy. Wydawało mi się, że w literaturze rosyjskiej wyjaśnienie tej metody, a nawet matematyki czy fizyki w ogóle, jest bardzo bogate złożone formuły, co w związku z tym wymaga poważnego wykształcenia matematycznego. Studiując metodę Lagrange'a (studiuję na Politechnice w Turynie, Włochy) studiowałem literaturę rosyjską w celu porównania metod obliczeniowych i trudno było mi śledzić postępy w rozwiązywaniu tej metody. Nawet pamiętając kursy modelowania w Instytucie Lotnictwa w Charkowie, wyprowadzenie takich metod było bardzo kłopotliwe i nikt nie zadał sobie trudu zrozumienia tego zagadnienia. Oto co postanowiłem napisać, podręcznik konstruowania modeli matematycznych według Lagrange'a, okazało się, że nie jest to wcale trudne, wystarczy umieć liczyć pochodne po czasie i pochodne cząstkowe. W przypadku bardziej złożonych modeli dodawane są również macierze rotacji, ale też nie ma w nich nic skomplikowanego.

Cechy metod modelowania:

• Newtona-Eulera: równania wektorowe oparte na równowadze dynamicznej siła I chwile
• Lagrange'a: równania skalarne oparte na funkcjach stanu związanych z kinetyką i potencjałem energie
• Liczba obligacji: metoda oparta na przepływie moc pomiędzy elementami systemu

Zacznijmy prosty przykład. Masa ze sprężyną i amortyzatorem. Pomijamy siłę grawitacji.

Ryc. 1. Masa ze sprężyną i amortyzatorem

Przede wszystkim wyznaczamy:

• układ początkowy współrzędne(NSK) lub stałe sk R0(i0,j0,k0). Gdzie? Można wskazać palcem niebo, ale poprzez poruszenie końcówek neuronów w mózgu pomysł zostaje zrealizowany, aby umieścić NSC na linii ruchu ciała M1.
• układy współrzędnych dla każdego ciała posiadającego masę(mamy M1 R1(i1,j1,k1)), orientacja może być dowolna, ale po co komplikować sobie życie, ustaw ją z minimalną różnicą w stosunku do NSC
• uogólnione współrzędne q_i(minimalna liczba zmiennych, które mogą opisać ruch), w tym przykładzie mamy jedną uogólnioną współrzędną, ruch tylko wzdłuż osi j

Ryc. 2. Zapisujemy układy współrzędnych i współrzędne uogólnione

Ryc. 3. Położenie i prędkość ciała M1

Następnie znajdziemy energię kinetyczną (C) i potencjalną (P) oraz funkcję rozpraszającą (D) dla tłumika, korzystając ze wzorów:

Ryc. 4. Kompletna formuła energia kinetyczna

W naszym przykładzie nie ma rotacji, druga składowa wynosi 0.

Ryc. 5. Obliczanie energii kinetycznej, potencjalnej i funkcji rozpraszającej

Równanie Lagrange'a ma następującą postać:

Ryc. 6. Równanie Lagrange'a i Lagrange'a

Delta W_i Jest to wirtualna praca wykonywana przez przyłożone siły i momenty. Znajdźmy ją:

Ryc. 7. Obliczanie pracy wirtualnej

Gdzie delta q_1 ruch wirtualny.

Podstawiamy wszystko do równania Lagrange’a:

Ryc. 8. Powstały model masy ze sprężyną i amortyzatorem

Na tym zakończyła się metoda Lagrange’a. Jak widać nie jest to aż tak skomplikowane, ale wciąż jest to bardzo prosty przykład, dla którego najprawdopodobniej metoda Newtona-Eulera byłaby jeszcze prostsza. W przypadku bardziej złożonych układów, w których będzie kilka ciał obróconych względem siebie pod różnymi kątami, łatwiejsza będzie metoda Lagrange'a.

Metoda wykresu obligacji

Od razu pokażę jak wygląda model na wykresie obligacji dla przykładu z masą, sprężyną i amortyzatorem:

Ryc. 9. Wykres wiązania mas ze sprężyną i amortyzatorem

Tutaj będziesz musiał opowiedzieć trochę teorii, która wystarczy do zbudowania proste modele. Jeśli ktoś jest zainteresowany, może przeczytać książkę ( Metodologia wykresów obligacji) Lub ( Woronin A.V. Modelowanie układów mechatronicznych: instruktaż. – Tomsk: Wydawnictwo Politechniki Tomskiej, 2008).

Ustalmy to najpierw złożone systemy składać się z kilku domen. Na przykład silnik elektryczny składa się z części lub domen elektrycznych i mechanicznych.

wykres obligacji w oparciu o wymianę mocy pomiędzy tymi domenami, podsystemami. Należy pamiętać, że wymiana mocy, w dowolnej formie, jest zawsze określana przez dwie zmienne ( zmienna moc), za pomocą których możemy badać interakcję różnych podsystemów w ramach układu dynamicznego (patrz tabela).

Jak widać z tabeli, ekspresja mocy jest wszędzie prawie taka sama. W podsumowaniu, Moc- Ta praca " przepływ - f" NA " wysiłek – tj».

Wysiłek(Język angielski) wysiłek) w dziedzinie elektrycznej jest to napięcie (e), w dziedzinie mechanicznej jest to siła (F) lub moment obrotowy (T), w hydraulice jest to ciśnienie (p).

Przepływ(Język angielski) przepływ) w dziedzinie elektrycznej jest to prąd (i), w dziedzinie mechanicznej jest to prędkość (v) lub prędkość kątowa(omega), w hydraulice – przepływ płynu lub natężenie przepływu (Q).

Stosując te oznaczenia, otrzymujemy wyrażenie na potęgę:

Ryc. 10. Wzór na moc poprzez zmienne potęgowe

W języku wykresów wiązań połączenie między dwoma podsystemami wymieniającymi energię jest reprezentowane przez wiązanie. obligacja). Dlatego to się nazywa Ta metoda wykres obligacji lub g połączenia raf, połączony wykres. Rozważmy Schemat blokowy połączenia w modelu z silnikiem elektrycznym (nie jest to jeszcze wykres wiązań):

Ryc. 11. Schemat blokowy przepływu mocy pomiędzy domenami

Jeśli mamy źródło napięcia, to odpowiednio ono generuje napięcie i przekazuje je do silnika do uzwojenia (dlatego strzałka skierowana jest w stronę silnika), w zależności od rezystancji uzwojenia pojawia się prąd zgodnie z prawem Ohma (skierowany od silnika do źródła). Odpowiednio jedna zmienna jest wejściem do podsystemu, a druga musi nim być Wyjście z podsystemu. Tutaj napięcie ( wysiłek) – wejście, prąd ( przepływ) - Wyjście.

Jeśli użyjesz bieżącego źródła, jak zmieni się diagram? Prawidłowy. Prąd zostanie skierowany do silnika, a napięcie do źródła. Następnie prąd ( przepływ) - Napięcie wejściowe ( wysiłek) - Wyjście.

Spójrzmy na przykład z mechaniki. Siła działająca na masę.

Ryc. 12. Siła przyłożona do masy

Schemat blokowy będzie wyglądał następująco:

Ryc. 13. Schemat blokowy

W tym przykładzie Siła ( wysiłek) – zmienna wejściowa dla masy. (Siła przyłożona do masy)
Zgodnie z drugim prawem Newtona:

Masa reaguje z prędkością:

W tym przykładzie, jeśli jedna zmienna ( siła - wysiłek) Jest wejście do domeny mechanicznej, następnie inna zmienna mocy ( prędkość - przepływ) – automatycznie staje się Wyjście.

Aby rozróżnić, gdzie jest wejście i gdzie jest wyjście, na końcu strzałki (połączenia) między elementami używana jest pionowa linia, nazywa się to linią znak przyczynowości Lub związek przyczynowy (przyczynowość). Okazuje się, że przyczyną jest zastosowana siła, a skutkiem prędkość. Znak ten jest bardzo ważny dla prawidłowej konstrukcji modelu systemu, gdyż przyczynowość jest konsekwencją zachowanie fizyczne i wymianę mocy dwóch podsystemów, dlatego wybór lokalizacji znaku przyczynowości nie może być dowolny.

Ryc. 14. Oznaczenie przyczynowości

Ta pionowa linia pokazuje, który podsystem otrzymuje siłę ( wysiłek) i w efekcie wytworzyć przepływ ( przepływ). W przykładzie z masą wyglądałoby to tak:

Ryc. 14. Związek przyczynowy siły działającej na masę

Ze strzałki jasno wynika, że ​​wprowadzenie masy wynosi - siła, a wyjście jest prędkość. Odbywa się to tak, aby nie zaśmiecać diagramu strzałkami i usystematyzować konstrukcję modelu.

Następny ważny punkt. Uogólniony impuls(ilość ruchu) i poruszający(zmienne energetyczne).

Tabela zmiennych mocy i energii w różnych dziedzinach

Powyższa tabela przedstawia dwie dodatkowe wielkości fizyczne stosowane w metoda wykresu wiązań. Nazywają się uogólniony impuls (R) I uogólniony ruch (Q) lub zmienne energii i można je otrzymać całkując zmienne mocy w czasie:

Ryc. 15. Zależność pomiędzy zmiennymi mocy i energii

W dziedzinie elektrycznej :

Na podstawie prawa Faradaya Napięcie na końcach przewodnika jest równa pochodnej strumienia magnetycznego przechodzącego przez ten przewodnik.

A Aktualna siła - wielkość fizyczna, równy stosunkowi ładunku Q przechodzącego przez pewien czas t Przekrój dyrygenta, do wartości tego okresu czasu.

Domena mechaniczna:

Z drugiego prawa Newtona wynika, że Siła– pochodna czasowa impulsu

I odpowiednio, prędkość- pochodna czasowa przemieszczenia:

Podsumujmy:

Podstawowe elementy

Wszystkie elementy układów dynamicznych można podzielić na elementy dwubiegunowe i czterobiegunowe.
Rozważmy komponenty bipolarne:

Źródła
Istnieją źródła zarówno wysiłku, jak i przepływu. Analogia w dziedzinie elektrycznej: źródło wysiłku – źródło napięcia, źródło strumienia – obecne źródło. Znaki przyczynowe dla źródeł powinny być takie.

Ryc. 16. Związki przyczynowe i oznaczenie źródeł

Składnik R – element rozpraszający

Składnik I – element inercyjny

Składnik C – element pojemnościowy

Jak widać na rysunkach, różne elementy są takie same wpisz R, C, I opisane tymi samymi równaniami. TYLKO istnieje różnica w pojemności elektrycznej, wystarczy o tym pamiętać!

Elementy kwadrupolowe:

Przyjrzyjmy się dwóm elementom: transformatorowi i żyratorowi.

Ostatnimi ważnymi elementami metody wykresu wiązań są połączenia. Istnieją dwa typy węzłów:

To tyle z komponentami.

Główne etapy ustalania związków przyczynowych po skonstruowaniu wykresu wiązań:

1. Daj wszystkim powiązania przyczynowe źródła
2. Przejdź przez wszystkie węzły i zapisz związki przyczynowe po punkcie 1
3. Dla komponenty I przypisać wejściowy związek przyczynowy (wysiłek jest zawarty w tym komponencie), dla komponenty C przypisz przyczynowość wyjściową (z tego składnika wychodzi wysiłek)
4. Powtórz punkt 2
5. Wstaw związki przyczynowe dla Komponenty R

Na tym kończy się minikurs teoretyczny. Teraz mamy wszystko, czego potrzebujemy do budowania modeli.
Rozwiążmy kilka przykładów. Zacznijmy od obwodu elektrycznego, lepiej zrozumieć analogię do konstruowania wykresu wiązań.

Przykład 1

Zacznijmy budować wykres wiązań ze źródłem napięcia. Po prostu napisz Se i umieść strzałkę.

Zobacz, wszystko jest proste! Spójrzmy dalej, R i L są połączone szeregowo, co oznacza, że ​​płynie w nich ten sam prąd, jeśli mówimy o zmiennych mocy - przepływ ten sam. Który węzeł ma ten sam przepływ? Prawidłowa odpowiedź to 1-węzeł. Podłączamy źródło, rezystancję (składnik - R) i indukcyjność (składnik - I) do 1-węzła.

Następnie mamy pojemność i rezystancję równolegle, co oznacza, że ​​mają one to samo napięcie lub siłę. 0-node jest odpowiedni jak żaden inny. Łączymy pojemność (składnik C) i rezystancję (składnik R) z węzłem 0.

Łączymy także ze sobą węzły 1 i 0. Kierunek strzałek jest wybierany dowolnie, kierunek połączenia wpływa tylko na znak w równaniach.

Otrzymasz następujący wykres połączenia:

Teraz musimy ustalić związki przyczynowe. Kierując się instrukcją dotyczącą kolejności ich umieszczania, zacznijmy od źródła.

1. Mamy źródło napięcia (wysiłku), takie źródło ma tylko jeden wariant przyczynowości - moc wyjściową. Załóżmy to.
2. Następny jest komponent I, zobaczmy, co polecają. Kładziemy
3. Zapisaliśmy to dla 1-węzła. Jeść
4. Węzeł 0 musi mieć jedno wejście i wszystkie wyjściowe połączenia przyczynowe. Na razie mamy jeden dzień wolny. Poszukujemy komponentu C lub I. Znaleźliśmy. Kładziemy
5. Wypiszmy, co zostało

To wszystko. Zbudowano wykres obligacji. Hurra, Towarzysze!

Pozostaje tylko napisać równania opisujące nasz układ. Aby to zrobić, utwórz tabelę z 3 kolumnami. Pierwsza będzie zawierać wszystkie komponenty systemu, druga będzie zawierać zmienną wejściową dla każdego elementu, a trzecia będzie zawierać zmienną wyjściową dla tego samego komponentu. Zdefiniowaliśmy już wejście i wyjście poprzez relacje przyczynowe. Więc nie powinno być żadnych problemów.

Ponumerujmy każde połączenie, aby ułatwić rejestrowanie poziomów. Równania dla każdego elementu bierzemy z listy składników C, R, I.

Po skompilowaniu tabeli definiujemy zmienne stanu, w tym przykładzie są 2 z nich, p3 i q5. Następnie musisz zapisać równania stanu:

To wszystko, model jest gotowy.

Przykład 2. Od razu przepraszam za jakość zdjęcia, najważniejsze, że da się przeczytać

Rozwiążmy inny przykład układu mechanicznego, ten sam, który rozwiązaliśmy metodą Lagrange'a. Rozwiązanie pokażę bez komentarza. Sprawdźmy, która z tych metod jest prostsza i łatwiejsza.

W Matbali zestawiono oba modele matematyczne o tych samych parametrach, uzyskane metodą Lagrange'a i wykresem wiązań. Wynik jest poniżej: Dodaj tagi

Metoda wyznaczania ekstremum warunkowego rozpoczyna się od skonstruowania pomocniczej funkcji Lagrange'a, która w obszarze dopuszczalnych rozwiązań osiąga maksimum dla tych samych wartości zmiennych X 1 , X 2 , ..., X N , co jest tym samym, co funkcja celu z . Rozwiążmy problem wyznaczenia ekstremum warunkowego funkcji z = f(X) pod ograniczeniami φ I ( X 1 , X 2 , ..., X N ) = 0, I = 1, 2, ..., M , M < N

Utwórzmy funkcję

który jest nazywany Funkcja Lagrange'a. X , - współczynniki stałe ( Mnożniki Lagrange'a). Należy zauważyć, że mnożnikom Lagrange'a można nadać znaczenie ekonomiczne. Jeśli f(x 1 , X 2 , ..., X N ) - dochód zgodny z planem X = (x 1 , X 2 , ..., X N ) i funkcja φ I (X 1 , X 2 , ..., X N ) - zatem koszty i-tego zasobu odpowiadające temu planowi X , to cena (oszacowanie) i-tego zasobu, charakteryzująca zmianę wartości ekstremalnej funkcji celu w zależności od zmiany wielkości i-tego zasobu (oszacowanie krańcowe). L(X) - funkcja n+m zmienne (X 1 , X 2 , ..., X N , λ 1 , λ 2 , ..., λ N ) . Wyznaczenie punktów stacjonarnych tej funkcji prowadzi do rozwiązania układu równań

Łatwo to zobaczyć . Zatem zadanie znalezienia ekstremum warunkowego funkcji z = f(X) sprowadza się do znalezienia ekstremum lokalnego funkcji L(X) . Jeśli zostanie znaleziony punkt stacjonarny, wówczas kwestię istnienia ekstremum w najprostszych przypadkach rozwiązuje się na podstawie warunków wystarczających dla ekstremum - badając znak drugiej różniczki D 2 L(X) w punkcie stacjonarnym, pod warunkiem, że zmienna wzrasta Δx I - połączone relacjami

otrzymane poprzez różniczkowanie równań sprzężenia.

Rozwiązywanie układu równań nieliniowych z dwiema niewiadomymi za pomocą narzędzia Znajdź rozwiązanie

Ustawienia Znalezienie rozwiązania pozwala znaleźć rozwiązanie układu równań nieliniowych z dwiema niewiadomymi:

Gdzie
- nieliniowa funkcja zmiennych X I y ,
- dowolna stała.

Wiadomo, że para ( X , y ) jest rozwiązaniem układu równań (10) wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi:

Z natomiast rozwiązaniem układu (10) są punkty przecięcia dwóch krzywych: F ] (X, y) = C I F 2 (x, y) = C 2 na powierzchni XOY.

Prowadzi to do metody znajdowania korzeni systemu. równania nieliniowe:

Wyznacz (przynajmniej w przybliżeniu) przedział istnienia rozwiązania układu równań (10) lub równania (11). Należy tu wziąć pod uwagę rodzaj równań wchodzących w skład układu, dziedzinę definicji każdego z ich równań itp. Czasami stosuje się wybór wstępnego przybliżenia rozwiązania;

Zestawić rozwiązanie równania (11) dla zmiennych x i y w wybranym przedziale lub skonstruować wykresy funkcji F 1 (X, y) = C i F 2 (x, y) = C 2 (system(10)).

Zlokalizuj domniemane pierwiastki układu równań - znajdź kilka minimalnych wartości z tabeli tabelaryzującej pierwiastki równania (11) lub określ punkty przecięcia krzywych wchodzących w skład układu (10).

4. Znajdź pierwiastki układu równań (10) za pomocą dodatku Znalezienie rozwiązania.