gdzie λ jest intensywnością żądań otrzymanych przez QS.

Przykład.

Oblicz wskaźniki usług dla jednokanałowego QS, w którym odbierane są żądania z intensywnością λ = 1,2 żądań na godzinę, czas obsługi t obs = 2,5 godziny. Obliczamy wskaźniki usług dla jednokanałowego QS:

Intensywność obciążenia.

ρ = λ t obs = 1,2 2,5 = 3

Intensywność obciążenia ρ=3 pokazuje stopień spójności strumieni wejściowych i wyjściowych żądań kanału serwisowego oraz określa stabilność systemu kolejka.

t pr = 15 min.

Odsetek wniosków odrzuconych. p 1 = 1 - p 0 = 1 - 0,25 = 0,75

Oznacza to, że 75% otrzymanych wniosków nie zostaje przyjętych do obsługi.

Udział obsłużonych zgłoszeń otrzymanych w jednostce czasu:

Absolutna przepustowość.

A = Q λ = 0,25 1,2 = 0,3 aplikacji/min.

Średni czas przestoju QS.

t pr = p otwarty t obs = 0,75 2,5 = 1,88 min.

Średnia liczba obsłużonych żądań.

L obs = ρ Q = 3 0,25 = 0,75 jednostki

Liczba wniosków odrzuconych w ciągu minut: λ p 1 = 0,9 wniosków na minutę. Nominalna wydajność systemu: 1/2,5 = 0,4 aplikacji na minutę. Rzeczywista wydajność SMO: 0,3 / 0,4 = 75% wydajności nominalnej.

Bezwzględna przepustowość cm. Przykładowe rozwiązanie

Na stację Konserwacja odbierany jest prosty strumień zapytań z intensywnością 1 samochód na 2 h. W kolejce na podwórzu nie mogą znajdować się więcej niż 3 samochody. Średni czas naprawy wynosi 2 godziny. Oceń wydajność CMO i opracuj zalecenia dotyczące poprawy usług.

Rozwiązanie: Określ typ QS. Wyrażenie „Na stację” mówi o pojedynczym urządzeniu serwisowym, tj. do rozwiązania używamy wzorów jednokanałowy QS. Określamy rodzaj jednokanałowego QS. Ponieważ jest wzmianka o kolejce, dlatego wybieramy „Jednokanałowy QS z ograniczoną długością kolejki”. Parametr λ należy wyrazić w godzinach. Intensywność aplikacji wynosi 1 samochód na 2 godziny lub 0,5 na 1 godzinę.

Natężenie przepływu wody μ nie jest jednoznacznie określone. Podany czas obsługi wynosi t obs = 2 godziny.

Obliczamy wskaźniki usług dla jednokanałowego QS:

Intensywność przepływu usług:

Intensywność obciążenia.

ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1

Natężenie obciążenia ρ=1 pokazuje stopień spójności strumieni wejściowych i wyjściowych żądań kanału usługowego oraz określa stabilność systemu kolejkowego.

Zgłoszenia nie są odrzucane. Wszystkie otrzymane żądania są obsługiwane, p open = 0.

Względna przepustowość.

Udział obsłużonych żądań otrzymanych w jednostce czasu: Q = 1 - p otwarte = 1 - 0 = 1

Dzięki temu 100% otrzymanych wniosków zostanie obsłużonych. Akceptowalny poziom usług powinien wynosić powyżej 90%.

Liczba wniosków odrzuconych w ciągu godziny: λ p 1 = 0 wniosków na godzinę. Nominalna wydajność QS: 1 / 2 = 0,5 aplikacji na godzinę. Rzeczywista wydajność SMO: 0,5 / 0,5 = 100% wydajności nominalnej.

Wniosek: stacja jest obciążona w 100%. W takim przypadku nie obserwuje się żadnych awarii.

QS z awariami (jedno i wielokanałowe)

Najprostszy model jednokanałowy z probabilistycznym przepływem danych wejściowych i procedurą obsługi to model, który „można scharakteryzować wykładniczym rozkładem czasów trwania odstępów między napływem żądań a rozkładem czasu trwania usługi”. W tym przypadku gęstość rozkładu czasu trwania przerw między napływami wniosków ma postać:

fa 1 (t) = l*e (-l*t) , (1)

gdzie l jest intensywnością aplikacji wchodzących do systemu (średnia liczba aplikacji wchodzących do systemu w jednostce czasu). Gęstość rozkładu czasu trwania usługi:

f 2 (t)=µ*e -µ*t , µ=1/t obr, (2)

gdzie µ to intensywność obsługi, t to średni czas obsługi jednego klienta. Względną przepustowość obsłużonych żądań w stosunku do wszystkich żądań przychodzących oblicza się według wzoru:

Wartość ta jest równa prawdopodobieństwu, że kanał obsługi jest wolny. Przepustowość bezwzględna (A) to średnia liczba żądań, które system kolejkowy może obsłużyć w jednostce czasu:

Tę wartość P można interpretować jako średni udział nieobsługiwanych aplikacji.

Przykład. Niech jednokanałowy QS z awariami będzie reprezentował jedno codzienne stanowisko obsługi myjni samochodowej. Wniosek – samochód, który przyjeżdża w czasie, gdy poczta jest zajęta – zostaje odrzucony. Natężenie przepływu samochodów l = 1,0 (samochód na godzinę). Średni czas służby t około =1,8 godziny. Wymagane jest określenie wartości granicznych w stanie ustalonym: względna przepustowość q;

• - pojemność bezwzględna A;
• - prawdopodobieństwo niepowodzenia P.

Wyznaczmy natężenie przepływu usług korzystając ze wzoru 2: Obliczmy przepustowość względną: q = Wartość q oznacza, że ​​w stanie ustalonym system będzie obsługiwał około 35% samochodów przyjeżdżających na placówkę. Przepustowość bezwzględną wyznaczamy ze wzoru: A = lHq = 1H0,356 = 0,356. Sugeruje to, że system jest w stanie wykonać średnio 0,356 usług pojazdów na godzinę. Prawdopodobieństwo niepowodzenia: P odrzucenie =1-q=1-0,356=0,644. Oznacza to, że około 65% pojazdów przybywających do placówki EO nie zostanie obsłużonych. Określmy nominalną wydajność tego systemu A nom: A nom = (samochody na godzinę).

Jednak w zdecydowanej większości przypadków system kolejkowy jest wielokanałowy, co oznacza, że ​​kilka żądań może być obsługiwanych równolegle. Proces QS opisany tym modelem charakteryzuje się intensywnością strumienia wejściowego l, przy czym równolegle można obsługiwać nie więcej niż n klientów. Średni czas obsługi jednego zgłoszenia wynosi 1/m. „Tryb pracy kanału serwisowego nie wpływa na tryb pracy pozostałych kanałów serwisowych systemu, a czas trwania procedury serwisowej dla każdego kanału jest zmienną losową podlegającą prawu rozkładu wykładniczego. Ostatecznym celem korzystania z równolegle połączonych kanałów usług jest zwiększenie szybkości obsługi zgłoszeń poprzez jednoczesną obsługę n klientów. Rozwiązaniem takiego układu jest:

Wzory służące do obliczania prawdopodobieństwa nazywane są wzorami Erlanga. Określmy probabilistyczną charakterystykę funkcjonowania wielokanałowego QS z awariami w trybie stacjonarnym. Prawdopodobieństwo niepowodzenia P niepowodzenie jest równe:

P otwarty =P n =*P 0 . (7)

Wniosek zostaje odrzucony, jeśli wpłynie w momencie, gdy wszystkie kanały są zajęte. Wartość P open charakteryzuje kompletność obsługi dopływu; prawdopodobieństwo, że żądanie zostanie przyjęte do obsługi (jest to także względna przepustowość systemu) uzupełnia P odrzucenie do jednego:

Absolutna przepustowość

Średnia liczba kanałów zajętych przez usługę () jest następująca:

Wartość charakteryzuje stopień obciążenia systemu kolejkowego. Przykład. Niech n-kanałowy QS będzie centrum komputerowym z trzema (n=3) wymiennymi komputerami do rozwiązywania przychodzących problemów. Strumień zadań docierających do centrum komputerowego ma intensywność l = 1 zadanie na godzinę. Średni czas służby t około =1,8 godziny.

Musisz obliczyć wartości:

• - prawdopodobieństwo liczby zajętych kanałów CC;
• - prawdopodobieństwo odmowy obsługi wniosku;
• - względna pojemność centrum komputerowego;
• - bezwzględna pojemność centrum komputerowego;
• - średnia liczba zajętych komputerów w centrum komputerowym.

Zdefiniujmy parametr przepływu usługi:

Zmniejszona intensywność przepływu wniosków:

Prawdopodobieństwa graniczne stanów wyznaczamy korzystając ze wzorów Erlanga:

Prawdopodobieństwo odmowy obsługi wniosku:

Względna pojemność CC:

Bezwzględna pojemność CC:

Średnia liczba zajętych kanałów - PC:

Zatem w ustalonym trybie pracy QS średnio 1,5 komputera na trzy będzie zajęte, a pozostałe półtora będzie bezczynne. Przepustowość centrum komputerowego dla zadanych l i m można zwiększyć jedynie poprzez zwiększenie liczby komputerów osobistych.

Najprostszy model jednokanałowy. Taki model z probabilistycznym przepływem wejściowym i procedurą obsługi jest modelem charakteryzującym się rozkładem wykładniczym zarówno czasów trwania przerw pomiędzy napływem wymagań, jak i czasu trwania usługi. W tym przypadku gęstość rozkładu czasu trwania przerw między napływami wniosków ma postać

(1)

gdzie jest intensywnością aplikacji wprowadzanych do systemu.

Gęstość rozkładu czasów świadczenia usług:

, (2)

gdzie jest intensywność usługi.

Przepływ żądań i usług jest prosty.

Pozwól systemowi działać odmowy. Konieczne jest określenie bezwzględnej i względnej przepustowości systemu.

Wyobraźmy sobie ten system kolejkowy w postaci wykresu (rys. 1), który ma dwa stany:

S 0 - kanał wolny (czekam);

S 1- kanał jest zajęty (zgłoszenie jest obsługiwane).

Ryż. 1. Wykres stanu jednokanałowego QS z awariami

Oznaczmy prawdopodobieństwa stanów:

P 0 (t) - prawdopodobieństwo stanu „wolny kanał”;

P1 (t)- prawdopodobieństwo wystąpienia stanu „kanał zajęty”.

Korzystając z zaznaczonego wykresu stanu (rys. 1) tworzymy układ równania różniczkowe Kołmogorowa dla prawdopodobieństw stanu:

(3)

Układ liniowych równań różniczkowych (3) ma rozwiązanie uwzględniające warunek normalizacji = 1. Rozwiązanie tego układu nazywa się niestacjonarnym, gdyż zależy bezpośrednio od t i wygląda następująco:

(4)

(5)

Łatwo sprawdzić, że dla jednokanałowego QS z awariami prawdopodobieństwo P 0 (t) to nic innego jak względna pojemność systemu Q.

Naprawdę, P 0- prawdopodobieństwo, że w chwili t kanał jest wolny i żądanie, które dotarło w chwili t , zostanie obsłużony, a zatem dla w tym momencie w czasie t równy jest także średni stosunek liczby wniosków obsłużonych do liczby otrzymanych , tj.

q = . (6)

Po dużym odstępie czasu () osiągany jest tryb stacjonarny (stały):

Znając przepustowość względną, łatwo jest znaleźć przepustowość bezwzględną. Absolutna przepustowość (A)- średnia liczba, jaką system kolejkowy może obsłużyć w jednostce czasu:

Prawdopodobieństwo odmowy obsługi żądania będzie równe prawdopodobieństwu stanu „kanał zajęty”:

Wartość tę można interpretować jako średni udział wniosków bez rozpatrzenia wśród złożonych.

Przykład 1. Niech jednokanałowy QS z awariami będzie reprezentował jedno stanowisko dziennej konserwacji (DS) myjni samochodowej. Wniosek – samochód, który przyjeżdża w czasie, gdy poczta jest zajęta – zostaje odrzucony. Natężenie przepływu pojazdów = 1,0 (pojazdów na godzinę). Średni czas trwania usługi wynosi 1,8 godziny. Przepływ samochodów i przepływ usług są najprostsze.

Wymagane jest określenie wartości granicznych w stanie ustalonym:

pojemność względna q;

przepustowość bezwzględna A;

prawdopodobieństwo niepowodzenia.

Porównaj rzeczywistą przepustowość centrum serwisowego z nominalną, która miałaby miejsce, gdyby każdy pojazd był serwisowany dokładnie przez 1,8 godziny i pojazdy podążały za sobą bez przerwy.

Rozwiązanie

1. Określmy intensywność przepływu usług:

2. Obliczmy względną przepustowość:

Ogrom Q oznacza, że ​​w stanie ustalonym system będzie obsługiwał około 35% pojazdów przybywających do placówki EO.

3. Bezwzględną przepustowość określa się według wzoru:

1 0,356 = 0,356.

Oznacza to, że system (poczta EO) jest w stanie wykonać średnio 0,356 usług pojazdów na godzinę.

3. Prawdopodobieństwo niepowodzenia:

Oznacza to, że około 65% pojazdów przybywających do placówki EO nie zostanie obsłużonych.

4. Określmy nominalną przepustowość systemu:

(pojazdów na godzinę).

Okazuje się, że jest to 1,5 razy więcej niż rzeczywista przepustowość, obliczona z uwzględnieniem losowego charakteru przepływu zgłoszeń i czasu obsługi.

Jednokanałowy QS z oczekiwaniem. System kolejkowy ma jeden kanał. Przychodzący przepływ zapytań o usługę jest najprostszym przepływem pod względem intensywności. Intensywność przepływu usług jest równa (tj. średnio stale zajęty kanał będzie wysyłał żądania obsługi). Czas trwania usługi - wartość losowa, podlegające prawu dystrybucji wykładniczej. Przepływ usług to najprostszy przepływ zdarzeń Poissona. Żądanie otrzymane, gdy kanał jest zajęty, jest umieszczane w kolejce i oczekuje na obsługę.

Załóżmy, że niezależnie od tego, ile żądań pojawi się na wejściu systemu usług, ten system(kolejka + obsługiwani klienci) nie może obsłużyć więcej niż N-wymagań (aplikacji), tzn. klienci, którzy nie czekają, zmuszeni są zostać obsłużeni gdzie indziej. Wreszcie źródło generujące żądania usług ma nieograniczoną (nieskończenie dużą) pojemność.

Wykres stanu QS ma w tym przypadku postać przedstawioną na rys. 2.

Ryż. 2. Wykres stanu jednokanałowego QS z oczekiwaniem

(schemat śmierci i reprodukcji)

Stany QS mają następującą interpretację:

S 0 - kanał wolny;

S 1 - kanał zajęty (brak kolejki);

S 2 - kanał jest zajęty (w kolejce znajduje się jedno żądanie);

……………………

S n - kanał jest zajęty (w kolejce znajduje się n - 1 żądań);

…………………...

S N - kanał jest zajęty (N- 1 wniosek w kolejce).

Opisany zostanie proces stacjonarny w tym układzie następujący system równania algebraiczne:

P- numer stanu.

Rozwiązanie powyższego układu równań (10) dla naszego modelu QS ma postać

(11)

Należy zaznaczyć, że spełnienie warunku stacjonarności dla danego QS nie jest konieczne, gdyż kontrola liczby wniosków dopuszczonych do systemu obsługującego odbywa się poprzez wprowadzenie limitu długości kolejki (która nie może przekroczyć N- 1), a nie stosunek intensywności przepływu wejściowego, tj. nie stosunek

Zdefiniujmy Charakterystyka jednokanałowego QS z oczekiwaniem i ograniczoną długością kolejki równą (N- 1):

prawdopodobieństwo odmowy obsługi wniosku:

(13)

względna pojemność systemu:

(14)

przepustowość bezwzględna:

A = q 𝝀; (15)

średnia liczba aplikacji w systemie:

(16)

Średni czas przebywania aplikacji w systemie:

przeciętny czas trwania pobyt klienta (aplikacji) w kolejce:

średnia liczba aplikacji (klientów) w kolejce (długość kolejki):

Lq= (1 - P N) W q .(19)

Rozważmy przykład jednokanałowego QS z oczekiwaniem.

Przykład 2. Specjalistyczne stanowisko diagnostyczne jest jednokanałowym stanowiskiem QS. Liczba miejsc parkingowych dla samochodów oczekujących na diagnostykę jest ograniczona i wynosi 3 [ (N- 1) = 3]. Jeżeli wszystkie parkingi są zajęte, czyli w kolejce stoją już trzy samochody, to kolejny samochód, który przyjedzie na diagnostykę, nie zostanie umieszczony w kolejce do serwisu. Napływ samochodów przyjeżdżających na diagnostykę rozkłada się zgodnie z prawem Poissona i ma natężenie 𝝀 = 0,85 (samochodów na godzinę). Czas diagnostyki pojazdu rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym i wynosi średnio 1,05 godziny.

Trzeba ustalić Charakterystyka probabilistyczna stacji diagnostycznej pracującej w trybie stacjonarnym.

Rozwiązanie

1. Parametr przepływu serwisu samochodowego:

.

2. Zredukowane natężenie potoku ruchu definiuje się jako stosunek natężeń 𝝀 i µ, tj.

3. Obliczmy końcowe prawdopodobieństwa układu:

4. Prawdopodobieństwo awarii samochodu:

5. Względna przepustowość stacji diagnostycznej:

6. Bezwzględna przepustowość stacji diagnostycznej

A= 𝝀 Q= 0,85 0,842 = 0,716 (pojazdów na godzinę).

7. Średnia liczba samochodów obsługiwanych i oczekujących w kolejce (tj. w systemie kolejkowym):

8. Średni czas przebywania samochodu w systemie:

9. Średni czas oczekiwania żądania w kolejce do obsługi:

10. Średnia liczba wniosków w kolejce (długość kolejki):

Lq= (1 - P N) W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.

Pracę rozpatrywanej placówki diagnostycznej można uznać za zadowalającą, gdyż placówka diagnostyczna nie obsługuje samochodów średnio w 15,8% przypadków (R otk = 0,158).

Jednokanałowy QS z oczekiwaniem bez ograniczenia pojemności bloku oczekującego(tj.). Pozostałe warunki pracy QS pozostają niezmienione.

Stacjonarny tryb działania tego QS istnieje dla dowolnego n = 0, 1, 2,... i gdy 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого P=0,1,2,…, ma postać

Rozwiązanie tego układu równań ma postać

Charakterystyka jednokanałowego QS z oczekiwaniem, bez ograniczeń długości kolejki, jest następująca:

średnia liczba klientów (zapytań) o usługę w systemie:

(22)

średni czas pobytu klienta w systemie:

(23)

średnia liczba klientów w kolejce do usługi:

Średni czas jaki klient spędza w kolejce:

Przykład 3. Przypomnijmy sytuację rozważaną w przykładzie 2, gdzie mówimy o funkcjonowaniu placówki diagnostycznej. Niech dany punkt diagnostyczny posiada nieograniczoną liczbę miejsc parkingowych dla pojazdów przyjeżdżających do serwisu, czyli długość kolejki nie jest ograniczona.

Wymagane jest określenie ostatecznych wartości następujących cech probabilistycznych:

Prawdopodobieństwa stanów systemu (stacja diagnostyczna);

Średnia liczba samochodów w systemie (w obsłudze i w kolejce);

Średni czas pobytu pojazdu w systemie (do obsługi i w kolejce);

Średnia liczba samochodów w kolejce do obsługi;

4. Średni czas pobytu klienta w systemie:

5. Średnia liczba samochodów w kolejce do serwisu:

6. Średni czas jaki samochód spędza w kolejce:

7. Względna przepustowość systemu:

oznacza to, że każda aplikacja, która pojawi się w systemie, zostanie obsłużona.

8 . Bezwzględna przepustowość:

A= q = 0,85 1 = 0,85.

Należy zaznaczyć, że firmę diagnozującą samochody interesuje przede wszystkim liczba klientów, którzy odwiedzą stację diagnostyczną po zniesieniu ograniczenia długości kolejek.

Załóżmy, że w wersji oryginalnej liczba miejsc parkingowych dla przyjeżdżających samochodów wynosiła trzy (patrz przykład 2). Częstotliwość T zdarzają się sytuacje, gdy samochód przyjeżdżający do stacji diagnostycznej nie ma możliwości włączenia się do kolejki:

T= λP N.

W naszym przykładzie, gdzie N=3 + 1= 4 i ρ = ​​0,893,

t = λ P 0ρ 4 = 0,85 0,248 0,8934 = 0,134 samochodów na godzinę.

Przy 12-godzinnym trybie pracy stacji diagnostycznej jest to równoznaczne z tym, że stacja diagnostyczna będzie tracić średnio 12 0,134 = 1,6 samochodów na zmianę (dzień).

Usunięcie ograniczenia długości kolejki pozwala na zwiększenie liczby obsługiwanych klientów w naszym przykładzie średnio o 1,6 auta na zmianę (12 godzin pracy) na stacji diagnostycznej. Oczywiste jest, że decyzja o poszerzeniu powierzchni parkingowej dla pojazdów przyjeżdżających na stację diagnostyczną musi opierać się na ocenie szkód ekonomicznych, jakie powoduje utrata klientów w sytuacji, gdy dla tych pojazdów są tylko trzy miejsca parkingowe.

Powiązana informacja.

Absolutna przepustowość charakteryzuje intensywność wychodzącego przepływu obsługiwanych aplikacji.

Przykład. Stacja obsługi przyjmuje prosty strumień zgłoszeń z intensywnością 1 samochód na 2 godziny, w kolejce na podwórzu nie mogą znajdować się więcej niż 3 samochody. Średni czas naprawy wynosi 2 godziny. Oceń wydajność CMO i opracuj zalecenia dotyczące poprawy usług.

Rozwiązanie:
Określ typ QS. Wyrażenie „Do stacji” mówi o pojedynczym urządzeniu serwisowym, tj. Aby sprawdzić rozwiązanie, korzystamy z usługi Single-Channel Query Service.
Określamy rodzaj jednokanałowego QS. Ponieważ jest wzmianka o kolejce, dlatego wybieramy „Jednokanałowy QS z ograniczoną długością kolejki”.
Parametr λ należy wyrazić w godzinach. Intensywność aplikacji wynosi 1 samochód na 2 godziny lub 0,5 na 1 godzinę.
Natężenie przepływu wody μ nie jest jednoznacznie określone. Podany czas obsługi wynosi t obs = 2 godziny.

Obliczamy wskaźniki usług dla jednokanałowego QS:
Intensywność przepływu usług:

1. Intensywność obciążenia.
ρ = λ t obs = 0,5 2 = 1
Natężenie obciążenia ρ=1 pokazuje stopień spójności strumieni wejściowych i wyjściowych żądań kanału usługowego oraz określa stabilność systemu kolejkowego.

3. Prawdopodobieństwo, że kanał jest wolny(procent przestoju kanału).


W rezultacie w ciągu godziny 20% kanału będzie bezczynne, czas bezczynności wynosi t pr = 12 minut.

4. Odsetek wniosków odrzuconych.
Zgłoszenia nie są odrzucane. Wszystkie otrzymane żądania są obsługiwane, p open = 0.

5. Względna przepustowość.
Udział obsłużonych zgłoszeń otrzymanych w jednostce czasu:
Q = 1 - p otwarty = 1 - 0 = 1
Dzięki temu 100% otrzymanych wniosków zostanie obsłużonych. Akceptowalny poziom usług powinien wynosić powyżej 90%.

6. Absolutna przepustowość.
A = Q λ = 1 0,5 = 0,5 żądań/godzinę.

8. Średnia liczba wniosków w kolejce(średnia długość kolejki).

jednostki

9. Średni czas przestoju QS(średni czas oczekiwania na obsługę wniosku w kolejce).
godzina.

10. Średnia liczba obsłużonych wniosków.
L obs = ρ Q = 1 1 = 1 jednostka.

12. Średnia liczba aplikacji w systemie.
L CMO = Loch + L obs = 1,2 + 1 = 2,2 jednostki.

13. Średni czas przebywania aplikacji w CMO.
godzina.

Liczba wniosków odrzuconych w ciągu godziny: λ p 1 = 0 wniosków na godzinę.
Nominalna wydajność QS: 1 / 2 = 0,5 aplikacji na godzinę.
Rzeczywista wydajność SMO: 0,5 / 0,5 = 100% wydajności nominalnej.

Wniosek: stacja jest obciążona w 100%. W takim przypadku nie obserwuje się żadnych awarii.

Jako wskaźniki skuteczności QS z awariami rozważymy:

1) A - absolutna pojemność QS, tj. średnia liczba wniosków obsłużonych w jednostce czasu;

2) P - względna przepustowość, tj. średni udział aplikacji przychodzących obsługiwanych przez system;

3) P_(\text(otk)) - prawdopodobieństwo niepowodzenia, tj. że wniosek pozostawi QS bez obsługi;

4) \overline(k) - średnia liczba zajętych kanałów(dla systemu wielokanałowego).

System jednokanałowy (SMS) z awariami

Rozważmy problem. Istnieje jeden kanał, który odbiera strumień żądań z intensywnością \lambda. Przepływ usług ma intensywność \mu . Znaleźć prawdopodobieństwa graniczne stanów systemu i wskaźniki jego efektywności.

Notatka. Tutaj i w dalszej części zakłada się, że wszystkie przepływy zdarzeń, które przenoszą QS ze stanu do stanu, będą najprostsze. Należą do nich również przepływ usług – przepływ żądań obsługiwanych przez jeden stale zajęty kanał. Średni czas obsługi jest odwrotnie zależny od wartości natężenia \mu, tj. \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.

System S (SMO) posiada dwa stany: S_0 – kanał jest wolny, S_1 – kanał jest zajęty. Wykres stanu oznaczonego pokazano na rys. 6.

W ograniczającym, stacjonarnym trybie układ równań algebraicznych na prawdopodobieństwa stanów ma postać (regułę tworzenia takich równań podano powyżej)

\begin(cases)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end(cases)

te. układ degeneruje się do jednego równania. Biorąc pod uwagę warunek normalizacyjny p_0+p_1=1, z (18) dowiadujemy się, że prawdopodobieństwa graniczne stanów

P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu),\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,

które wyrażają średni względny czas przebywania systemu w stanie S_0 (kiedy kanał jest wolny) i S_1 (kiedy kanał jest zajęty), tj. wyznaczyć odpowiednio względną pojemność Q systemu i prawdopodobieństwo awarii P_(\text(otk)):

Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,

P_(\text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.

Przepustowość bezwzględną obliczamy mnożąc przepustowość względną Q przez natężenie przepływu awaryjnego

A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.

Przykład 5. Wiadomo, że prośby o rozmowę telefoniczną w studiu telewizyjnym odbierane są z natężeniem \lambda równym 90 żądań na godzinę, a średni czas trwania rozmowy telefonicznej wynosi min. Określ wskaźniki wydajności QS (komunikacja telefoniczna) za pomocą jednego numeru telefonu.

Rozwiązanie. Mamy \lambda=90 (1/h), \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. Szybkość przepływu usług \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/min) =30 (1/h). Zgodnie z (20) względna wydajność QS Q=\frac(30)(90+30)=0,\!25, tj. średnio jedynie 25% napływających wniosków będzie negocjowanych telefonicznie. W związku z tym prawdopodobieństwo odmowy usługi będzie P_(\text(otk))=0,\!75(patrz (21)). Bezwzględna przepustowość QS zgodnie z (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5, tj. Średnio obsłużonych zostanie 22,5 wniosków o negocjacje na godzinę. Oczywiście, jeśli będzie tylko jeden numer telefonu, CMO nie poradzi sobie dobrze z napływem wniosków.

System wielokanałowy (MSS) z awariami

Rozważmy klasykę Problem z Erlangiem. Istnieje n kanałów, które odbierają strumień żądań z intensywnością \lambda. Przepływ usług ma intensywność \mu . Znaleźć prawdopodobieństwa graniczne stanów systemu i wskaźniki jego efektywności.

System S (SMO) posiada następujące stany (numerujemy je według ilości aplikacji w systemie): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n, gdzie S_k jest stanem systemu, gdy znajduje się w nim k aplikacji, tj. k kanałów jest zajętych.

Wykres stanu QS odpowiada procesowi śmierci i reprodukcji i pokazano na ryc. 7.

Przepływ żądań sekwencyjnie przenosi system z dowolnego lewego stanu do sąsiedniego prawego z tą samą intensywnością \lambda. Intensywność przepływu usług, który przenosi system z dowolnego stanu prawego do sąsiedniego stanu lewego, stale się zmienia w zależności od stanu. Rzeczywiście, jeśli QS jest w stanie S_2 (dwa kanały są zajęte), to może przejść do stanu S_1 (jeden kanał jest zajęty), gdy albo pierwszy, albo drugi kanał zakończy obsługę, tj. całkowite natężenie ich przepływów usług wyniesie 2\mu. Podobnie, całkowity przepływ usług przekazujący QS ze stanu S_3 (trzy kanały są zajęte) do S_2 będzie miał intensywność 3\mu, tj. dowolny z trzech kanałów może stać się wolny itp.

We wzorze (16) na schemat śmierci i reprodukcji otrzymujemy dla prawdopodobieństwa granicznego stanu

P_0=(\left(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\ mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\right)\^{-1}, !}

gdzie są warunki rozwinięcia \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k),\,\ldots,\, \frac(\lambda^n)(n!\mu^n), będzie reprezentować współczynniki dla p_0 w wyrażeniach na prawdopodobieństwa krańcowe p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. Ogrom

\rho=\frac(\lambda)(\mu)

zwany przy danej intensywności przepływu wniosków Lub intensywność obciążenia kanału. Wyraża średnią liczbę otrzymanych żądań w ciągu średniego czasu obsługi jednego żądania. Teraz

P_0=(\left(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

Wywołuje się wzory (25) i (26) na prawdopodobieństwa graniczne Wzory Erlanga na cześć twórcy teorii kolejek.

Prawdopodobieństwo awarii QS to maksymalne prawdopodobieństwo, że wszystkie i kanały systemu będą zajęte, tj.

P_(\text(otk))= \frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Względna przepustowość - prawdopodobieństwo, że żądanie zostanie obsłużone:

Q=1- P_(\text(otk))=1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Bezwzględna przepustowość:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Średnia liczba zajętych kanałów \overline(k) wynosi wartość oczekiwana liczba zajętych kanałów:

\overline(k)=\suma_(k=0)^(n)(k\cdot p_k),

gdzie p_k są prawdopodobieństwami granicznymi stanów określonych wzorami (25), (26).

Jednakże średnią liczbę zajętych kanałów można łatwiej znaleźć, jeśli weźmiemy pod uwagę, że bezwzględna pojemność systemu A to nic innego jak intensywność przepływ serwowanych system aplikacji (na jednostkę czasu). Ponieważ każdy zajęty kanał obsługuje średnio \mu żądań (w jednostce czasu), to średnia liczba zajętych kanałów

\overline(k)=\frac(A)(\mu)

Lub, biorąc pod uwagę (29), (24):

\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Przykład 6. W warunkach z przykładu 5 określ optymalną liczbę numerów telefonów w studiu telewizyjnym, jeśli za warunek optymalności przyjąć średnio co najmniej 90 zapytań o negocjacje na 100 zapytań.

Rozwiązanie. Intensywność obciążenia kanału według wzoru (25) \rho=\frac(90)(30)=3, tj. w średnim czasie (w czasie trwania) rozmowa telefoniczna \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. Otrzymuje się średnio 3 prośby o negocjacje.

Stopniowo będziemy zwiększać liczbę kanałów (numerów telefonów) n=2,3,4,\ldots i wyznaczać charakterystyki usług dla powstałego n-kanałowego QS za pomocą wzorów (25), (28), (29). Na przykład, gdy n=2 mamy

З_0=(\lewo(1+3+ \frac(3^2)(2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !} itp.

Podsumowujemy wartości cech QS w tabeli. 1.

Zatem zgodnie z warunkiem optymalności Q\geqslant0,\!9 konieczne jest zainstalowanie w studiu telewizyjnym 5 numerów telefonicznych (w tym przypadku Q = 0,\!9 - patrz tabela 1). W tym przypadku obsłużonych zostanie średnio 80 zgłoszeń (A=80,\!1) na godzinę, a średnia liczba zajętych numerów telefonów (kanałów) według wzoru (30) \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.

Przykład 7. Wspólne centrum obliczeniowe z trzema komputerami przyjmuje zamówienia od przedsiębiorstw na prace obliczeniowe. Jeśli wszystkie trzy komputery działają, nowo otrzymane zamówienie nie zostaje przyjęte, a przedsiębiorstwo jest zmuszone skontaktować się z innym centrum komputerowym. Średni czas pracy przy jednym zamówieniu to 3 h. Intensywność przepływu wniosków to 0,25 (1/godz.). Znajdź graniczne prawdopodobieństwa stanów i wskaźników wydajności centrum komputerowego.

Rozwiązanie. Według warunku n=3,~\lambda=0,\!25(1/godz.), \overline(t)_(\text(ob.))=3 (godz.). Szybkość przepływu usług \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. Natężenie obciążenia komputera według wzoru (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. Znajdźmy prawdopodobieństwa graniczne stanów:

– według wzoru (25) p_0=(\lewo(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

– według wzoru (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

te. w stacjonarnym trybie pracy centrum komputerowego średnio w 47,6% przypadków nie ma żadnego żądania, 35,7% - jedno żądanie (zajęty jeden komputer), 13,4% - dwa żądania (dwa komputery), 3,3% czas - trzy żądania (trzy komputery są zajęte).

Prawdopodobieństwo awarii (gdy wszystkie trzy komputery są zajęte) wynosi zatem P_(\text(otk))=p_3=0,\!033.

Według wzoru (28) względna pojemność ośrodka Q=1-0,\!033=0,\!967, tj. Średnio na 100 zgłoszeń centrum komputerowe obsługuje 96,7 zgłoszeń.

Według wzoru (29) pojemność bezwzględna ośrodka A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242, tj. podawane średnio w ciągu godziny. 0,242 aplikacji.

Według wzoru (30) średnia liczba zajętych komputerów \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725, tj. każdy z trzech komputerów będzie zajęty obsługą żądań średnio tylko przez okres \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..

Oceniając efektywność centrum komputerowego, należy porównać przychody z realizacji żądań ze stratami wynikającymi z przestojów drogich komputerów (z jednej strony mamy dużą przepustowość QS, z drugiej strony , występuje znaczny przestój kanałów obsługi) i wybrać rozwiązanie kompromisowe.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!