Często słyszymy wyrażenia: „jest bezwładne”, „porusza się dzięki bezwładności”, „moment bezwładności”. W sensie przenośnym słowo „inercja” można interpretować jako brak inicjatywy i działania. Nas interesuje bezpośrednie znaczenie.
Co to jest bezwładność
Zgodnie z definicją bezwładność w fizyce jest to zdolność ciał do utrzymywania stanu spoczynku lub ruchu przy braku sił zewnętrznych.
Jeśli wszystko jest jasne z samą koncepcją bezwładności na poziomie intuicyjnym, to wtedy moment bezwładności– osobne pytanie. Zgadzam się, trudno sobie wyobrazić, co to jest. W tym artykule dowiesz się, jak rozwiązać podstawowe problemy na ten temat "Moment bezwładności".
Wyznaczanie momentu bezwładności
Z kursu szkolnego wiadomo, że masa – miara bezwładności ciała. Jeżeli będziemy pchać dwa wózki o różnych masach, to ten cięższy będzie trudniej zatrzymać. Oznacza to, że im większa masa, tym większa wpływ zewnętrzny konieczna zmiana ruchu ciała. To, co uwzględniono, dotyczy ruchu postępowego, gdy wózek z przykładu porusza się po linii prostej.
Przez analogię do ruchu masowego i postępowego, moment bezwładności jest miarą bezwładności ciała w ruch obrotowy wokół osi.
Moment bezwładności– skalarna wielkość fizyczna, miara bezwładności ciała podczas obrotu wokół osi. Oznaczone literą J i w systemie SI mierzona w kilogramach razy metr kwadratowy.
Jak obliczyć moment bezwładności? Jeść ogólna formuła, który jest używany w fizyce do obliczania momentu bezwładności dowolnego ciała. Jeśli ciało zostanie rozbite na nieskończenie małe kawałki o masie dm , wówczas moment bezwładności będzie równy sumie iloczynów tych mas elementarnych przez kwadrat odległości do osi obrotu.
Jest to ogólny wzór na moment bezwładności w fizyce. Dla materialnego punktu masy M , obracając się wokół osi znajdującej się w pewnej odległości R od niej, tę formułę przyjmuje postać:
Twierdzenie Steinera
Od czego zależy moment bezwładności? Od masy, położenia osi obrotu, kształtu i wielkości ciała.
Twierdzenie Huygensa-Steinera jest bardzo ważnym twierdzeniem często używanym przy rozwiązywaniu problemów.
Przy okazji! Dla naszych czytelników mamy teraz 10% zniżki na
Twierdzenie Huygensa-Steinera stwierdza:
Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy równoległej do dowolnej osi i iloczynu masy ciała przez kwadrat od odległości pomiędzy osiami.
Dla tych, którzy nie chcą się ciągle integrować przy rozwiązywaniu problemów znalezienia momentu bezwładności, przedstawiamy rysunek wskazujący momenty bezwładności niektórych ciał jednorodnych, które często spotyka się w zadaniach:
Przykład rozwiązania problemu znalezienia momentu bezwładności
Spójrzmy na dwa przykłady. Pierwszym zadaniem jest znalezienie momentu bezwładności. Drugie zadanie polega na wykorzystaniu twierdzenia Huygensa-Steinera.
Zadanie 1. Znajdź moment bezwładności jednorodnego dysku o masie m i promieniu R. Oś obrotu przechodzi przez środek dysku.
Rozwiązanie:
Podzielmy dysk na nieskończenie cienkie pierścienie, których promień różni się od 0 zanim R i rozważ jeden taki pierścień. Niech jego promień będzie R i masa – dm. Wtedy moment bezwładności pierścienia wynosi:
Masę pierścienia można przedstawić jako:
Tutaj dz– wysokość pierścionka. Podstawmy masę do wzoru na moment bezwładności i całkujmy:
W rezultacie powstał wzór na moment bezwładności absolutnie cienkiego dysku lub cylindra.
Zadanie 2. Niech znowu będzie dysk o masie m i promieniu R. Teraz musimy znaleźć moment bezwładności dysku względem osi przechodzącej przez środek jednego z jego promieni.
Rozwiązanie:
Z poprzedniego zadania znany jest moment bezwładności dysku względem osi przechodzącej przez środek masy. Zastosujmy twierdzenie Steinera i znajdźmy:
Nawiasem mówiąc, na naszym blogu można znaleźć inne przydatne materiały z fizyki i.
Mamy nadzieję, że w artykule znajdziesz coś przydatnego dla siebie. Jeśli w procesie obliczania tensora bezwładności pojawią się trudności, nie zapomnij o obsłudze studentów. Nasi specjaliści doradzą w każdej kwestii i pomogą rozwiązać problem w ciągu kilku minut.
W odniesieniu do stałej osi („osiowy moment bezwładności”) jest wielkością Ja, równa sumie dzieła mas wszystkich N punkty materialne układu przez kwadraty ich odległości od osi:
- ja- waga I ten punkt,
- r ja- odległość od I punkt osi.
Osiowy moment bezwładności ciało Ja jest miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym wokół osi, tak jak masa ciała jest miarą jego bezwładności w ruchu postępowym.
Jeżeli ciało jest jednorodne, to znaczy jego gęstość jest wszędzie taka sama
Twierdzenie Huygensa-Steinera
Moment bezwładności solidny względem dowolnej osi zależy nie tylko od masy, kształtu i wielkości ciała, ale także od położenia ciała względem tej osi. Zgodnie z twierdzeniem Steinera (twierdzenie Huygensa-Steinera), moment bezwładności ciało J względem dowolnej osi jest równa sumie moment bezwładności to ciało J.c względem osi przechodzącej przez środek masy ciała równoległej do rozpatrywanej osi i iloczynu masy ciała M na kwadrat odległości D pomiędzy osiami:
gdzie jest całkowita masa ciała.
Przykładowo moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jego koniec jest równy:
Osiowe momenty bezwładności niektórych ciał
| Ciało | Opis | Pozycja osi A | Moment bezwładności Ja |
|---|---|---|---|
 |
Masa punktowa materiału M | Na odległość R z punktu, nieruchomo | |
 |
Pusty cienkościenny cylinder lub pierścień promieniowy R i masy M | Oś cylindra | |
 |
Pełny cylinder lub dysk promieniowy R i masy M | Oś cylindra | |
 |
Pusty, grubościenny cylinder masowy M z promieniem zewnętrznym r 2 i promień wewnętrzny r 1 | Oś cylindra | |
 |
Stała długość cylindra l, promień R i masy M | ||
 |
Długość pustego, cienkościennego cylindra (pierścienia). l, promień R i masy M | Oś jest prostopadła do cylindra i przechodzi przez jego środek masy | |
 |
Pręt prosty o cienkiej długości l i masy M | Oś jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego środek masy | |
 |
Pręt prosty o cienkiej długości l i masy M | Oś jest prostopadła do pręta i przechodzi przez jego koniec | |
 |
Kula o promieniu cienkościennym R i masy M | Oś przechodzi przez środek kuli | |
 |
Kula promieniowa R i masy M | Oś przechodzi przez środek kuli | |
 |
Stożek promieniowy R i masy M | Oś stożka | |
| Trójkąt równoramienny z wysokością H, podstawa A i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny trójkąta i przechodzi przez wierzchołek | ||
| Regularny trójkąt z bokiem A i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny trójkąta i przechodzi przez środek masy | ||
| Kwadrat z bokiem A i masa M | Oś jest prostopadła do płaszczyzny kwadratu i przechodzi przez środek masy |
Wyprowadzanie formuł
Cylinder cienkościenny (pierścień, obręcz)
Wyprowadzenie wzoru
Moment bezwładności ciała jest równy sumie momentów bezwładności jego części składowych. Podzielić cienkościenny cylinder na elementy posiadające masę dm i momenty bezwładności DJ I. Następnie
Ponieważ wszystkie elementy cienkościennego walca znajdują się w tej samej odległości od osi obrotu, wzór (1) przekształca się do postaci
Cylinder grubościenny (pierścień, obręcz)
Wyprowadzenie wzoru
Niech będzie jednorodny pierścień o promieniu zewnętrznym R, promień wewnętrzny R 1, gruby H i gęstość ρ. Podzielmy go na cienkie, grube pierścienie dr. Masa i moment bezwładności pierścienia o cienkim promieniu R będzie
Znajdźmy moment bezwładności grubego pierścienia jako całkę
Ponieważ objętość i masa pierścienia są równe
otrzymujemy ostateczny wzór na moment bezwładności pierścienia
Jednorodny dysk (pełny cylinder)
Wyprowadzenie wzoru
Rozważając cylinder (tarczę) jako pierścień o zerowym promieniu wewnętrznym ( R 1 = 0) otrzymujemy wzór na moment bezwładności cylindra (tarczy):
Solidny stożek
Wyprowadzenie wzoru
Rozbijmy stożek na cienkie dyski o grubości dh, prostopadle do osi stożka. Promień takiego dysku jest równy
Gdzie R– promień podstawy stożka, H– wysokość stożka, H– odległość wierzchołka stożka od krążka. Masa i moment bezwładności takiego dysku będą wynosić
Całkując, otrzymujemy
Solidna jednorodna kula
Wyprowadzenie wzoru
Podziel piłkę na cienkie krążki o grubości dh, prostopadle do osi obrotu. Promień takiego dysku znajdującego się na wysokości H od środka kuli, znajdujemy go za pomocą wzoru
Masa i moment bezwładności takiego dysku będą wynosić
Moment bezwładności kuli wyznaczamy poprzez całkowanie:
Kula cienkościenna
Wyprowadzenie wzoru
Aby to wyprowadzić, używamy wzoru na moment bezwładności jednorodnej kuli o promieniu R:
Obliczmy, jak bardzo zmieni się moment bezwładności kuli, jeśli przy stałej gęstości ρ jej promień zwiększy się o nieskończenie małą wartość dr.
Cienki pręt (oś przechodzi przez środek)
Wyprowadzenie wzoru
Podziel pręt na kawałki o małej długości dr. Masa i moment bezwładności takiego fragmentu są równe
Całkując, otrzymujemy
Cienki pręt (oś przechodzi przez koniec)
Wyprowadzenie wzoru
Gdy oś obrotu przemieszcza się od środka pręta do jego końca, środek ciężkości pręta przesuwa się względem osi o odległość l/2. Zgodnie z twierdzeniem Steinera nowa chwila bezwładność będzie równa
Bezwymiarowe momenty bezwładności planet i ich satelitów
Wielka wartość dla badań Struktura wewnętrzna planety i ich satelity mają swoje bezwymiarowe momenty bezwładności. Bezwymiarowy moment bezwładności ciała o promieniu R i masy M jest równy stosunkowi jego momentu bezwładności względem osi obrotu do momentu bezwładności punktu materialnego o tej samej masie względem ustalonej osi obrotu położonej w pewnej odległości R(równy Pan 2). Wartość ta odzwierciedla rozkład masy na głębokości. Jedną z metod jego pomiaru w pobliżu planet i satelitów jest określenie przesunięcia Dopplera sygnału radiowego transmitowanego przez AMS lecący w pobliżu danej planety lub satelity. Dla cienkościennej kuli bezwymiarowy moment bezwładności wynosi 2/3 (~0,67), dla jednorodnej kuli wynosi 0,4 i ogólnie rzecz biorąc, im mniejszy, tym większa masa ciała skupiona jest w jego środku. Przykładowo Księżyc ma bezwymiarowy moment bezwładności bliski 0,4 (równy 0,391), zatem przyjmuje się, że jest on stosunkowo jednorodny, a jego gęstość niewiele zmienia się wraz z głębokością. Bezwymiarowy moment bezwładności Ziemi jest mniejszy niż jednorodnej kuli (równy 0,335), co jest argumentem za istnieniem gęstego jądra.
Odśrodkowy moment bezwładności
Odśrodkowe momenty bezwładności ciała względem osi prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych są wielkościami:
Gdzie X, y I z- współrzędne małego elementu ciała z objętością dV, gęstość ρ i masa dm.
Nazywa się oś OX główna oś bezwładności ciała, jeśli odśrodkowe momenty bezwładności Jxy I J xz są jednocześnie równe zeru. Przez każdy punkt ciała można poprowadzić trzy główne osie bezwładności. Osie te są względem siebie prostopadłe. Momenty bezwładności ciała względem trzech głównych osi bezwładności narysowanych w dowolnym punkcie O nazywają się ciała główne momenty bezwładności ciała.
Nazywa się główne osie bezwładności przechodzące przez środek masy ciała główne środkowe osie bezwładności ciała, a momenty bezwładności względem tych osi są jego główny punkty centralne bezwładność. Oś symetrii ciała jednorodnego jest zawsze jedną z jego głównych środkowych osi bezwładności.
Geometryczny moment bezwładności
Geometryczny moment bezwładności - charakterystyka geometryczna przekroju formy
gdzie jest odległością od osi centralnej do dowolnego obszaru elementarnego względem osi neutralnej.
Geometryczny moment bezwładności nie jest związany z ruchem materiału, odzwierciedla jedynie stopień sztywności przekroju. Służy do obliczania promienia bezwładności, ugięcia belki, doboru przekrojów belek, słupów itp.
Jednostką miary w SI jest m4. W szczególności w obliczeniach konstrukcyjnych, literaturze i asortymentach walcowanych metali jest on podawany w cm 4.
Z niego wyrażony jest moment oporu przekroju:
.| Geometryczne momenty bezwładności niektórych figur | |
|---|---|
| Wysokość i szerokość prostokąta: | |
| Przekrój prostokątny o wysokości i szerokości wzdłuż konturów zewnętrznych i , oraz wzdłuż konturów wewnętrznych i odpowiednio | |
| Średnica koła | |
Centralny moment bezwładności
Centralny moment bezwładności(lub moment bezwładności względem punktu O) jest wielkością
Centralny moment bezwładności można wyrazić w postaci głównych osiowych lub odśrodkowych momentów bezwładności: .
Tensor bezwładności i elipsoida bezwładności
Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy i mającej kierunek określony przez wektor jednostkowy można przedstawić w postaci kwadratowej (dwuliniowej):
(1),gdzie jest tensor bezwładności. Macierz tensora bezwładności jest symetryczna, ma wymiary i składa się ze składowych momentów odśrodkowych:
.
Wybierając odpowiedni układ współrzędnych, macierz tensora bezwładności można sprowadzić do postaci diagonalnej. Aby to zrobić, należy rozwiązać problem wartości własnej macierzy tensorowej:
,
gdzie jest ortogonalną macierzą przejścia do podstawy własnej tensora bezwładności. W odpowiedniej podstawie osie współrzędnych są skierowane wzdłuż głównych osi tensora bezwładności, a także pokrywają się z głównymi półosiami elipsoidy tensora bezwładności. Wielkości są głównymi momentami bezwładności. Wyrażenie (1) we własnym układzie współrzędnych ma postać:
skąd to równanie
Moment siły i moment bezwładności
W dynamice ruchu postępowego punktu materialnego, oprócz charakterystyk kinematycznych, wprowadzono pojęcia siły i masy. Badając dynamikę ruchu obrotowego, wprowadza się wielkości fizyczne - moment obrotowy I moment bezwładności, znaczenie fizyczne które ujawnimy poniżej.
Niech jakieś ciało pod wpływem siły przyłożonej w jednym punkcie A, wchodzi w obrót wokół osi OO” (rysunek 5.1).
Rysunek 5.1 – Konkluzja koncepcji momentu siły
Siła działa w płaszczyźnie prostopadłej do osi. Prostopadły R, odeszliśmy od tematu O(leżącego na osi) do kierunku siły nazywa się ramię siły. Iloczyn siły działającej na ramię określa moduł moment siły względem punktu O:
(5.1)
Chwila mocy jest wektorem określonym przez iloczyn wektora promienia punktu przyłożenia siły i wektora siły:
(5.2)
Jednostka momentu siły - niutonometr(N . M). Kierunek wektora momentu siły można znaleźć za pomocą zasady prawidłowego śmigła.
Miarą bezwładności ciał w ruchu postępowym jest masa. Bezwładność ciał podczas ruchu obrotowego zależy nie tylko od masy, ale także od jej rozkładu w przestrzeni względem osi obrotu. Miarą bezwładności podczas ruchu obrotowego jest wielkość tzw moment bezwładności ciała względem osi obrotu.
Moment bezwładności punktu materialnego względem osi obrotu - iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości od osi:
Moment bezwładności ciała względem osi obrotu - suma momentów bezwładności punktów materialnych tworzących to ciało:
(5.4)
W przypadek ogólny, jeśli ciało jest stałe i reprezentuje zbiór punktów o małych masach dm, moment bezwładności wyznacza się poprzez całkowanie:
, (5.5)
Gdzie R- odległość od osi obrotu do elementu masy d M.
Jeśli ciało jest jednorodne i jego gęstość ρ = M/V, to moment bezwładności ciała
(5.6)
Moment bezwładności ciała zależy od osi, wokół której się ono obraca oraz od rozkładu masy ciała w jego objętości.
Moment bezwładności ciał o regularnym kształcie geometrycznym i równomierny rozkład masa objętościowo.
Moment bezwładności jednorodnego pręta względem osi przechodzącej przez środek bezwładności i prostopadłej do pręta,
Moment bezwładności jednorodnego cylindra względem osi prostopadłej do jej podstawy i przechodzącej przez środek bezwładności,
(5.8)
Moment bezwładności cienkościennego cylindra lub obręczy względem osi prostopadłej do płaszczyzny podstawy i przechodzącej przez jej środek,
Moment bezwładności piłki w stosunku do średnicy
(5.10)
Wyznaczmy moment bezwładności dysku względem osi przechodzącej przez środek bezwładności i prostopadłej do płaszczyzny obrotu. Niech będzie masa dysku M, a jego promień wynosi R.
Obszar pierścienia (ryc. 5.2) zamknięty pomiędzy R i , jest równe .
Rysunek 5.2 – Do zakończenia momentu bezwładności dysku
Obszar dysku. Przy stałej grubości pierścienia,
skąd lub 
.
Następnie moment bezwładności dysku,
Dla przejrzystości Rysunek 5.3 przedstawia jednorodne ciała stałe różne kształty oraz podano momenty bezwładności tych ciał względem osi przechodzącej przez środek masy.
Rysunek 5.3 – Momenty bezwładności I C niektórych jednorodnych ciał stałych.
Twierdzenie Steinera
Powyższe wzory na momenty bezwładności ciał podane są pod warunkiem, że oś obrotu przechodzi przez środek bezwładności. Aby wyznaczyć momenty bezwładności ciała względem dowolnej osi, należy zastosować Twierdzenie Steinera : moment bezwładności ciała względem dowolnej osi obrotu jest równy sumie momentu bezwładności J 0 względem osi równoległej do zadanej i przechodzącej przez środek bezwładności ciała oraz wartości md 2:
(5.12)
Gdzie M- masa ciała, D- odległość od środka masy do wybranej osi obrotu. Jednostka momentu bezwładności - kilogram metr kwadratowy (kg . m 2).
Zatem moment bezwładności jednorodnego pręta o długości l względem osi przechodzącej przez jej koniec, zgodnie z twierdzeniem Steinera jest równa
Aplikacja. Moment bezwładności i jego obliczanie.
Niech sztywny korpus obraca się wokół osi Z (rysunek 6). Można go przedstawić jako układ różnych punktów materialnych m i, który nie zmienia się w czasie, a każdy z nich porusza się po okręgu o promieniu r ja, leżącego w płaszczyźnie prostopadłej do osi Z. Prędkości kątowe wszystkie punkty materialne są takie same. Moment bezwładności ciała względem osi Z jest wielkością:
Gdzie 
– moment bezwładności pojedynczego punktu materialnego względem osi OZ. Z definicji wynika, że moment bezwładności wynosi ilość dodatku, czyli moment bezwładności ciała składającego się z poszczególnych części jest równy sumie momentów bezwładności tych części.
Rysunek 6
Oczywiście, [ I] = kg×m2. Znaczenie pojęcia momentu bezwładności wyraża się trzema wzorami:
; 
; 
.
Pierwsza z nich wyraża moment pędu ciała obracającego się wokół ustalonej osi Z (warto porównać ten wzór z wyrażeniem na pęd ciała P = mV do, Gdzie Vc– prędkość środka masy). Drugi wzór nazywany jest podstawowym równaniem dynamiki ruchu obrotowego ciała wokół ustalonej osi, czyli innymi słowy drugim prawem Newtona dla ruchu obrotowego (porównaj z prawem ruchu środka masy: 
). Trzeci wzór wyraża energię kinetyczną ciała obracającego się wokół ustalonej osi (porównaj z wyrażeniem na energię kinetyczną cząstki 
). Porównanie wzorów pozwala stwierdzić, że moment bezwładności w ruchu obrotowym pełni rolę podobną do masy w tym sensie, że im większy moment bezwładności ciała, tym mniejsze uzyskuje ono przyspieszenie kątowe, przy wszystkich innych parametrach niezmiennych ( ciało, mówiąc w przenośni, jest trudniejsze do przędzenia). W rzeczywistości obliczenie momentów bezwładności sprowadza się do obliczenia całki potrójnej i można je wykonać tylko dla ograniczonej liczby ciała symetryczne i tylko dla osi symetrii. Liczba osi, wokół których może się obracać ciało, jest nieskończenie duża. Spośród wszystkich osi wyróżnia się ta, która przechodzi przez niezwykły punkt ciała - środek masy
(punkt, dla opisania ruchu którego wystarczy wyobrazić sobie, że cała masa układu skupia się w środku masy i na ten punkt działa siła równa sumie wszystkich sił). Ale jest też nieskończenie wiele osi przechodzących przez środek masy. Okazuje się, że dla dowolnego ciała bryłowego o dowolnym kształcie istnieją trzy wzajemnie prostopadłe osie C x, C y, C z, zwany osie swobodnego obrotu
, które mają niezwykłą właściwość: jeśli ciało zostanie skręcone wokół którejkolwiek z tych osi i podrzucone do góry, to podczas kolejnego ruchu ciała oś pozostanie równoległa do siebie, tj. nie upadnie. Skręcanie wokół jakiejkolwiek innej osi nie ma tej właściwości. Poniżej podano wartości momentów bezwładności typowych ciał względem wskazanych osi. Jeżeli oś przechodzi przez środek masy, ale tworzy z osiami kąty a, b, g C x, C y, C z Odpowiednio moment bezwładności wokół takiej osi jest równy
ja c = ja cx cos 2 a + ja cy cos 2 b + ja cz cos 2 g (*)
Rozważmy pokrótce obliczenia momentu bezwładności dla najprostszych ciał.
1.Moment bezwładności długiego, cienkiego, jednorodnego pręta względem osi przechodzącej przez środek masy pręta i prostopadłej do niego.
Pozwalać T - masa prętowa, ja – jego długość.
, 
Indeks " Z» w momencie bezwładności Ic oznacza, że jest to moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt środka masy (środek symetrii ciała), C(0,0,0).
2. Moment bezwładności cienkiej płyty prostokątnej.
; 
;
3. Moment bezwładności równoległościanu prostokątnego.
, t. C(0,0,0)
4. Moment bezwładności cienkiego pierścienia.
;
, t. C(0,0,0)
5. Moment bezwładności cienkiego dysku.
Ze względu na symetrię
; 
;
6. Moment bezwładności walca pełnego.
;
Ze względu na symetrię:
7. Moment bezwładności kuli stałej.
, t. C(0,0,0)
8. Moment bezwładności stałego stożka.
, t. C(0,0,0)
Gdzie R– promień podstawy, H– wysokość stożka.
Przypomnijmy, że cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Wreszcie, jeśli oś O nie przechodzi przez środek masy, to moment bezwładności ciała można obliczyć korzystając z twierdzenia Huygensa Steinera
I o = I s + md 2, (**)
Gdzie ja o– moment bezwładności ciała względem dowolnej osi, Jest– moment bezwładności względem równoległej do niej osi przechodzącej przez środek masy,
M- masa ciała, D– odległość pomiędzy osiami.
Procedura obliczania momentów bezwładności dla ciał o standardowym kształcie względem dowolnej osi sprowadza się do poniższego.
Moment bezwładności
Aby obliczyć moment bezwładności, musimy w myślach podzielić ciało na wystarczająco małe elementy, których punkty można uznać za leżące w tej samej odległości od osi obrotu, a następnie znaleźć iloczyn masy każdego elementu przez kwadrat jego odległości od osi i na koniec zsumuj wszystkie powstałe produkty. Oczywiście jest to bardzo czasochłonne zadanie. Liczyć
momenty bezwładności ciał prawidłowe kształt geometryczny W niektórych przypadkach można zastosować metody rachunku całkowego.
Wyznaczanie skończonej sumy momentów bezwładności elementów ciała zastąpimy sumowaniem nieskończenie dużej liczby momentów bezwładności obliczonych dla nieskończenie małych elementów:
lim ja = 1 ∞ ΣΔm ja r ja 2 = ∫r 2 dm. (Na Δm → 0).
Obliczmy moment bezwładności jednorodnego dysku lub pełnego cylindra o wysokości H względem jego osi symetrii
Podzielmy dysk na elementy w postaci cienkich koncentrycznych pierścieni ze środkami na osi symetrii. Powstałe pierścienie mają średnicę wewnętrzną R i zewnętrzne r+dr i wysokość H. Ponieważ dr<< r
, to możemy założyć, że odległość wszystkich punktów pierścienia od osi jest równa R.
Dla każdego pojedynczego pierścienia moment bezwładności
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Gdzie ΣΔm− masa całego pierścienia.
Głośność dzwonka 2πrhdr. Jeśli gęstość materiału dysku ρ
, a następnie masę pierścienia
ρ2πrhdr.
Moment bezwładności pierścienia
i = 2πρhr 3 dr.
Aby obliczyć moment bezwładności całego dysku, należy zsumować momenty bezwładności pierścieni od środka dysku ( r = 0) do jego krawędzi ( r = R), czyli oblicz całkę:
ja = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
Lub
ja = (1/2)πρhR 4.
Ale masa dysku m = ρπhR 2, stąd,
Ja = (1/2)mR 2.
Przedstawmy (bez obliczeń) momenty bezwładności dla niektórych ciał o regularnym kształcie geometrycznym, wykonanych z materiałów jednorodnych 
1.
Moment bezwładności cienkiego pierścienia względem osi przechodzącej przez jego środek prostopadłej do jego płaszczyzny (lub cienkościennego pustego cylindra względem jego osi symetrii):
Ja = mR2.
2.
Moment bezwładności grubościennego walca względem osi symetrii:
ja = (1/2)m(R 1 2 - R 2 2)
Gdzie R 1− wewnętrzne i R2− promienie zewnętrzne.
3.
Moment bezwładności dysku względem osi pokrywającej się z jedną z jego średnic:
Ja = (1/4)mR 2.
4.
Moment bezwładności walca względem osi prostopadłej do tworzącej i przechodzącej przez jej środek:
Ja = m(R 2 /4 + h 2 /12)
Gdzie R− promień podstawy cylindra, H− wysokość cylindra.
5.
Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jego środek:
I = (1/12) ml 2,
Gdzie l− długość pręta.
6.
Moment bezwładności cienkiego pręta względem osi przechodzącej przez jeden z jego końców:
I = (1/3) ml 2
7. Moment bezwładności kuli względem osi pokrywającej się z jedną z jej średnic:
Ja = (2/5)mR 2.
Jeżeli znany jest moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy, to moment bezwładności względem dowolnej innej osi równoległej do pierwszej można wyznaczyć na podstawie tzw. twierdzenia Huygensa-Steinera.
Moment bezwładności ciała I względem dowolnej osi jest równy momentowi bezwładności ciała Jest względem osi równoległej do zadanej i przechodzącej przez środek masy ciała plus masa ciała M, pomnożone przez kwadrat odległości l pomiędzy osiami:
Ja = Ja do + ml 2.
Jako przykład obliczmy moment bezwładności kuli o promieniu R i masa M, zawieszony na nitce o długości l, względem osi przechodzącej przez punkt zawieszenia O. Masa nici jest niewielka w porównaniu z masą kulki. Od momentu bezwładności kuli względem osi przechodzącej przez środek masy Ic = (2/5)mR2 i odległość
między osiami ( l + r), to moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt zawieszenia:
Ja = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Wymiar momentu bezwładności:
[I] = [m] × = ML 2.
