Jednorodna liniowa równania różniczkowe drugie zamówienie z stałe współczynniki wygląda jak
gdzie p i q są liczbami rzeczywistymi. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.
Rozwiązanie liniowego równania różniczkowego jednorodnego drugiego rzędu zależy od pierwiastków równanie charakterystyczne. Równaniem charakterystycznym jest równanie k²+pk+q=0.
1) Jeżeli pierwiastkami równania charakterystycznego są różne liczby rzeczywiste:
wówczas ogólne rozwiązanie liniowego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać
2) Jeśli pierwiastki równania charakterystycznego są równe liczbom rzeczywistym
(na przykład z dyskryminatorem równym zero), wówczas ogólnym rozwiązaniem jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu jest
3) Jeśli pierwiastkami równania charakterystycznego są liczby zespolone
(na przykład z dyskryminatorem równym liczbie ujemnej), wówczas ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu zapisuje się w postaci
Przykłady rozwiązywania liniowych jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach
Znajdź rozwiązania ogólne jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu:
Tworzymy równanie charakterystyczne: k²-7k+12=0. Jego wyróżnikiem jest D=b²-4ac=1>0, więc pierwiastki są różnymi liczbami rzeczywistymi.
Zatem ogólnym rozwiązaniem tego jednorodnego DE drugiego rzędu jest:
Ułóżmy i rozwiążmy równanie charakterystyczne:
Korzenie są prawdziwe i wyraźne. Mamy zatem ogólne rozwiązanie tego jednorodnego równania różniczkowego:
W tym przypadku równanie charakterystyczne
Korzenie są różne i ważne. Dlatego tutaj znajduje się ogólne rozwiązanie jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu
Równanie charakterystyczne
Ponieważ pierwiastki są rzeczywiste i równe, dla tego równania różniczkowego zapisujemy rozwiązanie ogólne jako
Równanie charakterystyczne znajduje się tutaj
Ponieważ dyskryminator jest liczba ujemna, pierwiastkami równania charakterystycznego są liczby zespolone.
Ogólne rozwiązanie tego jednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu ma postać
Równanie charakterystyczne
Stąd znajdujemy ogólne rozwiązanie tej różnicy. równania:
Przykłady do samodzielnego sprawdzenia.
W artykule poruszono problematykę rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Teoria zostanie omówiona wraz z przykładami postawionych problemów. Aby rozszyfrować niejasne pojęcia, należy zapoznać się z tematem dotyczącym podstawowych definicji i pojęć teorii równań różniczkowych.
Rozważmy liniowe równanie różniczkowe (LDE) drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami postaci y „” + p · y „ + q · y = f (x), gdzie p i q są liczbami dowolnymi oraz istniejącą funkcją f (x) jest ciągła w przedziale całkowania x.
Przejdźmy do sformułowania twierdzenia o ogólnym rozwiązaniu LNDE.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ogólne twierdzenie o rozwiązaniu dla LDNU
Twierdzenie 1Ogólne rozwiązanie, znajdujące się na przedziale x, niejednorodnego równania różniczkowego postaci y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) z ciągłymi współczynnikami całkowania na przedziale x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) i funkcja ciągła f (x) jest równe sumie rozwiązania ogólnego y 0, które odpowiada LOD i pewnemu rozwiązaniu szczególnemu y ~, gdzie pierwotne niejednorodne równanie to y = y 0 + y ~.
To pokazuje, że rozwiązanie takiego równania drugiego rzędu ma postać y = y 0 + y ~ . Algorytm znajdowania y 0 omówiono w artykule o liniowych jednorodnych równaniach różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Po czym powinniśmy przejść do definicji y ~.
Wybór konkretnego rozwiązania LPDE zależy od rodzaju dostępnej funkcji f (x) znajdującej się po prawej stronie równania. Aby to zrobić, należy osobno rozważyć rozwiązania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
Gdy f (x) uważa się za wielomian n-tego stopnia f (x) = P n (x), wynika z tego, że konkretne rozwiązanie LPDE znajduje się za pomocą wzoru w postaci y ~ = Q n (x ) x γ, gdzie Q n ( x) jest wielomianem stopnia n, r jest liczbą pierwiastków zerowych równania charakterystycznego. Wartość y ~ jest rozwiązaniem szczególnym y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , to dostępne współczynniki określone przez wielomian
Q n (x) znajdujemy metodą nieokreślonych współczynników z równości y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Przykład 1
Oblicz korzystając z twierdzenia Cauchy'ego y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Rozwiązanie
Inaczej mówiąc, należy przejść do konkretnego rozwiązania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu o stałych współczynnikach y” – 2 y” = x 2 + 1, które spełni podane warunki y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .
Ogólne rozwiązanie liniowe równanie jednorodne jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiadającego równaniu y 0 lub rozwiązaniu szczególnemu równanie niejednorodne y ~ , to znaczy y = y 0 + y ~ .
Najpierw znajdźmy rozwiązanie ogólne dla LNDU, a potem konkretne.
Przejdźmy do znalezienia y 0. Zapisanie równania charakterystycznego pomoże Ci znaleźć pierwiastki. Rozumiemy to
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Odkryliśmy, że korzenie są inne i prawdziwe. Dlatego zapisujmy
y 0 = do 1 mi 0 x + do 2 mi 2 x = do 1 + do 2 mi 2 x.
Znajdźmy y ~ . Można zauważyć, że prawa strona danego równania jest wielomianem drugiego stopnia, wówczas jeden z pierwiastków jest równy zero. Z tego otrzymujemy, że będzie szczególne rozwiązanie dla y ~
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, gdzie wartości A, B, C przyjmują nieokreślone współczynniki.
Znajdźmy je na podstawie równości postaci y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1.
Następnie otrzymujemy, że:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Przyrównując współczynniki z tymi samymi wykładnikami x, otrzymujemy układ wyrażeń liniowych - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Rozwiązując którąkolwiek z metod, znajdziemy współczynniki i zapiszemy: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 i y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Zapis ten nazywa się ogólnym rozwiązaniem pierwotnego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami.
Aby znaleźć konkretne rozwiązanie spełniające warunki y (0) = 2, y "(0) = 1 4, należy wyznaczyć wartości C 1 I C 2, w oparciu o równość postaci y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.
Otrzymujemy to:
y (0) = do 1 + do 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = do 1 + do 2 y " (0) = do 1 + do 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 do 2 mi 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 do 2 - 3 4
Pracujemy z powstałym układem równań w postaci C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, gdzie C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.
Stosując twierdzenie Cauchy'ego mamy to
y = do 1 + do 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Odpowiedź: 3 2 + 1 2 mi 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Gdy funkcję f (x) przedstawimy jako iloczyn wielomianu o stopniu n i wykładniku f (x) = P n (x) · e a x , wówczas otrzymamy, że szczególnym rozwiązaniem LPDE drugiego rzędu będzie równanie postaci y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, gdzie Q n (x) jest wielomianem n-tego stopnia, a r jest liczbą pierwiastków równania charakterystycznego równego α.
Współczynniki należące do Q n (x) znajdują się na podstawie równości y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Przykład 2
Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego postaci y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · np. x .
Rozwiązanie
Ogólne równanie to y = y 0 + y ~ . Wskazane równanie odpowiada LOD y „” - 2 y ” = 0. Z poprzedniego przykładu widać, że jego pierwiastki są równe k1 = 0 oraz k 2 = 2 i y 0 = C 1 + C 2 e 2 x przez równanie charakterystyczne.
Można zauważyć, że prawa strona równania to x 2 + 1 · np. Stąd LPDE znajduje się poprzez y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, gdzie Q n (x) jest wielomianem drugiego stopnia, gdzie α = 1 i r = 0, ponieważ równanie charakterystyczne nie mieć pierwiastek równy 1. Stąd to rozumiemy
y ~ = mi za x · Q n (x) · x γ = mi x · ZA x 2 + b x + do · x 0 = mi x · ZA x 2 + b x + do .
A, B, C to nieznane współczynniki, które można znaleźć na podstawie równości y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · np. x.
Zrozumiałeś
y ~ " = mi x · A x 2 + B x + C " = mi x · A x 2 + B x + C + mi x · 2 A x + B = = mi x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = mi x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = mi x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + mi x · 2 A x + 2 A + B = = mi x ZA x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) mi x ⇔ mi x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 mi x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · mi x ⇔ mi x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · mi x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - ZA x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
Przyrównujemy wskaźniki z tymi samymi współczynnikami i otrzymujemy system równania liniowe. Stąd znajdujemy A, B, C:
A = 1 - B = 0 2 A - do = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 do = - 3
Odpowiedź: jasne jest, że y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 jest szczególnym rozwiązaniem LNDDE, a y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania dif drugiego rzędu.
Gdy funkcja jest zapisana jako f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, oraz 1 I W 1 są liczbami, to za częściowe rozwiązanie LPDE uważa się równanie postaci y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, gdzie A i B uważa się za nieokreślone współczynniki, a r jest liczbą złożone pierwiastki sprzężone związane z równaniem charakterystycznym, równe ± i β . W tym przypadku wyszukiwanie współczynników odbywa się za pomocą równości y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).
Przykład 3
Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego postaci y „” + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Rozwiązanie
Przed napisaniem równania charakterystycznego znajdujemy y 0. Następnie
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 ja , k 2 = - 2 ja
Mamy parę złożonych pierwiastków sprzężonych. Przekształćmy i otrzymajmy:
y 0 = mi 0 (C 1 sałata (2 x) + C 2 grzech (2 x)) = C 1 sałata 2 x + C 2 grzech (2 x)
Za pierwiastki równania charakterystycznego uważa się parę sprzężoną ± 2 i, wówczas f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). To pokazuje, że wyszukiwanie y ~ zostanie wykonane na podstawie y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Nieznane Będziemy szukać współczynników A i B z równości postaci y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Przekształćmy:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B grzech (2 x) x) " = = (- 2 A grzech (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B grzech (2 x) y ~ "" = ((- 2 A grzech (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B grzech (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B grzech (2 x)) x - 2 A grzech (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A grzech (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B grzech (2 x)) x - 4 A grzech (2 x) + 4 B cos (2 x)
Wtedy jest to jasne
y ~ "" + 4 y ~ = sałata (2 x) + 3 grzech (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B grzech (2 x)) x - 4 A grzech (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B grzech (2 x)) x = cos (2 x) + 3 grzech (2 x) ⇔ - 4 A grzech (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 grzech (2 x)
Konieczne jest zrównanie współczynników sinusów i cosinusów. Otrzymujemy układ postaci:
4 ZA = 3 4 B = 1 ⇔ ZA = - 3 4 B = 1 4
Wynika z tego, że y ~ = (A cos (2 x) + B grzech (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 grzech (2 x) x.
Odpowiedź: rozważa się ogólne rozwiązanie pierwotnego LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami
y = y 0 + y ~ = = do 1 sałata (2 x) + do 2 grzech (2 x) + - 3 4 sałata (2 x) + 1 4 grzech (2 x) x
Gdy f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), to y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Mamy, że r jest liczbą zespolonych par pierwiastków sprzężonych związanych z równaniem charakterystycznym, równą α ± i β, gdzie P n (x), Q k (x), L m (x) i Nm(x) są wielomianami stopnia n, k, m, m, gdzie m = m za x (n, k). Znajdowanie współczynników Lm(x) I Nm(x) powstaje w oparciu o równość y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Przykład 4
Znajdź rozwiązanie ogólne y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) grzech (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Rozwiązanie
Zgodnie z warunkiem jest to jasne
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
Wtedy m = m a x (n, k) = 1. Y 0 znajdujemy najpierw pisząc równanie charakterystyczne w postaci:
k 2 - 3 k + 2 = 0 re = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2
Odkryliśmy, że korzenie są prawdziwe i wyraźne. Stąd y 0 = do 1 mi x + do 2 mi 2 x. Następnie należy poszukać ogólnego rozwiązania w oparciu o niejednorodne równanie y ~ postaci
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) grzech (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) grzech (5 x))
Wiadomo, że A, B, C są współczynnikami, r = 0, ponieważ nie ma pary pierwiastków sprzężonych związanych z równaniem charakterystycznym o α ± i β = 3 ± 5 · i. Z otrzymanej równości znajdujemy te współczynniki:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - mi 3 x ((38 x + 45) grzech (5 x) + (8 x - 5) sałata (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) grzech (5 x))) „” - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) grzech (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) grzech (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Znalezienie pochodnej i terminów podobnych daje
mi 3 x ((15 A + 23 C) x grzech (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) grzech (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · grzech (5 x) + 45 · grzech (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
Po zrównaniu współczynników otrzymujemy układ postaci
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 re = 1
Ze wszystkiego wynika, że
y ~ = e 3 x · ((A x + B) sałata (5 x) + (C x + D) grzech (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) sałata (5 x) + (x + 1) grzech (5 x))
Odpowiedź: Otrzymaliśmy teraz ogólne rozwiązanie danego równania liniowego:
y = y 0 + y ~ = = do 1 mi x + do 2 mi 2 x + mi 3 x ((x + 1) sałata (5 x) + (x + 1) grzech (5 x))
Algorytm rozwiązywania LDNU
Definicja 1Każdy inny typ funkcji f(x) dla rozwiązania wymaga zachowania algorytmu rozwiązania:
- znalezienie ogólnego rozwiązania odpowiedniego liniowego równania jednorodnego, gdzie y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, gdzie y 1 I y 2 są liniowo niezależnymi rozwiązaniami cząstkowymi LODE, C 1 I C 2 są uważane za dowolne stałe;
- przyjęcie jako ogólnego rozwiązania LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- wyznaczanie pochodnych funkcji poprzez układ postaci C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , i znajdowanie funkcji C 1 (x) i C2(x) poprzez całkowanie.
Przykład 5
Znajdź ogólne rozwiązanie dla y „” + 36 y = 24 grzech (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.
Rozwiązanie
Przystępujemy do pisania równania charakterystycznego, zapisując wcześniej y 0, y „” + 36 y = 0. Napiszmy i rozwiążmy:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 ja , k 2 = - 6 ja ⇒ y 0 = do 1 sałata (6 x) + do 2 grzech (6 x) ⇒ y 1 (x) = sałata (6 x) , y 2 (x) = grzech (6 x)
Mamy, że ogólne rozwiązanie danego równania zostanie zapisane jako y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Należy przejść do definicji funkcji pochodnych C 1 (x) I C2(x) według układu o równaniach:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · grzech (6 x) = 0 Do 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (grzech (6 x)) " = 0 ⇔ do 1 " (x) cos (6 x) + do 2 " (x) grzech (6 x) = 0 do 1 " (x) (- 6 grzech (6 x) + do 2 "(x) (6 sałata (6 x)) = = 24 grzech (6 x) - 12 sałata (6 x) + 36 e 6 x
Należy podjąć decyzję ws C 1" (x) I C 2" (x) przy użyciu dowolnej metody. Następnie piszemy:
C 1 " (x) = - 4 grzech 2 (6 x) + 2 grzech (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x grzech (6 x) C 2 " (x) = 4 grzech (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Każde z równań musi być całkowane. Następnie zapisujemy powstałe równania:
do 1 (x) = 1 3 grzech (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 mi 6 x cos (6 x) - 1 2 mi 6 x grzech ( 6 x) + do 3 do 2 (x) = - 1 6 grzech (6 x) sałata (6 x) - x - 1 3 sałata 2 (6 x) + + 1 2 mi 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x grzech (6 x) + C 4
Wynika z tego, że rozwiązanie ogólne będzie miało postać:
y = 1 3 grzech (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 mi 6 x grzech (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 grzech (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 mi 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x grzech (6 x) + C 4 grzech (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x grzech (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 grzech (6 x)
Odpowiedź: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 grzech (6x)
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Gdzie P I Q- są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i funkcją k(x)- ciągła na przedziale całkowania X.
Wyraźmy twierdzenie pokazujące formę, w jakiej należy znaleźć ogólnym rozwiązaniem jest liniowe niejednorodne równanie różniczkowe.
Twierdzenie.
Ogólne rozwiązanie przedziału X liniowe niejednorodne równanie różniczkowe: z równaniami ciągłymi na przedziale całkowania X współczynniki i funkcja ciągła k(x) równa sumie rozwiązania ogólnego y 0 odpowiedni liniowe niejednorodne równanie różniczkowe oraz dowolne szczególne rozwiązanie pierwotnego niejednorodnego równania, tj. .
A więc rozwiązanie ogólne LNDU Drugi rząd o stałych współczynnikach jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiedniego liniowego równania różniczkowego jednorodnego drugiego rzędu o stałych współczynnikach i rozwiązania szczególnego: .
Obliczenie y 0 W artykule opisano liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach, teraz rozważymy metodę znajdowania.
Tam jest trochę metody wyznaczania konkretnego rozwiązania liniowego niejednorodnego równania różniczkowego II rzędu o stałych współczynnikach. Metody te definiowane są z uwzględnieniem rodzaju funkcji k(x), co znajduje się po prawej stronie równania. Nazwijmy je i w kolejnych artykułach rozważymy rozwiązania każdego LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami:
2. Jeśli funkcja k(x) jest reprezentowany przez iloczyn wielomianu stopnia N i wystawców 
, co oznacza, że szczególne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego drugiego rzędu można znaleźć jako 
,
Gdzie Qn(x) jest wielomianem N-stopień,
R- liczba pierwiastków równania charakterystycznego równa .
Współczynniki wielomianowe Qn(x) można wyznaczyć z równości.
3. Jeśli funkcja k(x) wygląda tak: gdzie 1 I W 1 okazują się liczbami, co oznacza, że szczególne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego nieokreślonego jest reprezentowane jako:
Gdzie A I W są nieokreślonymi współczynnikami,
R- jest liczbą zespolonych sprzężonych par pierwiastków równania charakterystycznego, które są równe . Współczynniki wielomianowe A I W ustalane są na zasadzie równości.
4. Jeżeli , to
Gdzie R jest liczbą zespolonych sprzężonych par pierwiastków równania charakterystycznego, które są równe ,
Pn(x),Qk(x), Lm(x) I Nm(x) są wielomianami stopnia N, k, M I M odpowiednio, m = maks. (n, k).
Znajdź współczynniki wielomianów Lm(x) I Nm(x) możesz użyć równości.
5. Dla wszystkich innych typów funkcji k(x) Stosowana jest następująca procedura:
- pierwszym krokiem jest określenie ogólnego rozwiązania wymaganego liniowego równania jednorodnego jako y 0 = do 1 ⋅ y 1 + do 2 ⋅ y 2, Gdzie y 1 I y 2 są liniowo niezależnymi rozwiązaniami cząstkowymi liniowego jednorodnego równania różniczkowego, oraz C 1 I C 2 są dowolnymi stałymi;
- Następnie zmieniamy dowolne stałe, tj. jako ogólne rozwiązanie pierwotnego liniowego niejednorodnego równania różniczkowego przyjmujemy y = do 1 (x) ⋅ y 1 + do 2 (x) ⋅ y 2;
- a ostatnim krokiem jest wyznaczenie pochodnych funkcji C 1 (x) I C2 (x) z układu równań:
,
i funkcje C 1 (x) I C2(x) zdeterminowane dalszą integracją.
Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest równaniem postaci
,
gdzie p i q są funkcjami zmiennej x.
Liniowe jednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest równaniem postaci
Liniowe niejednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest równaniem postaci
q termin (X) nazywa się niejednorodną częścią równania.
Rozważmy liniowe niejednorodne równanie różniczkowe pierwszego rzędu:
(1)
.
Istnieją trzy sposoby rozwiązania tego równania:
- metoda czynników całkujących;
Rozwiązywanie liniowego równania różniczkowego z wykorzystaniem współczynnika całkującego
Rozważmy metodę rozwiązywania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu za pomocą czynnik integrujący.
Pomnóżmy obie strony oryginalne równanie (1)
poprzez całkowanie czynnika
:
(2)
Następnie zauważamy, że pochodna całki jest równa całce:
Zgodnie z zasadą różniczkowania złożona funkcja:
Zgodnie z zasadą różnicowania produktów:
Zastąp w (2)
:
Zintegrujmy:
Pomnożyć przez . Dostajemy:
ogólne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu
Przykład rozwiązania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu
Rozwiązać równanie
Rozwiązanie
Podzielmy obie strony pierwotnego równania przez x: .
(I)
;
.
Następnie
Czynnik całkujący: Znak modułu można pominąć, ponieważ współczynnik całkujący można pomnożyć przez dowolną stałą (w tym).
± 1 Podzielmy obie strony pierwotnego równania przez x: Pomnóżmy się 3
:
.
przez x
;
.
Wybieramy pochodną.
.
Całkujemy korzystając z tablicy całek: 3
:
.
Podziel przez x
Odpowiedź
Bibliografia:
N.M. Gunther, RO Kuźmin, Zbiór problemów matematyki wyższej, „Lan”, 2003.
Podstawy rozwiązywania liniowych niejednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu (LNDE-2) o stałych współczynnikach (PC)
LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami $p$ i $q$ ma postać $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, gdzie $f\left(x \right)$ jest funkcją ciągłą.
W odniesieniu do LNDU 2 z komputerem, poniższe dwa stwierdzenia są prawdziwe. rozwiązania ogólne, czyli $y=U+Y$.
Jeśli prawa strona LMDE drugiego rzędu jest sumą funkcji, to znaczy $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, to najpierw możemy znaleźć odpowiadające sobie wartości PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ do każdej z funkcji $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a następnie wpisz CR LNDU-2 w postaci $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.
Rozwiązanie LPDE drugiego rzędu z PC
Jest oczywiste, że rodzaj tego czy innego PD $U$ danego LNDU-2 zależy od konkretnej postaci jego prawej strony $f\left(x\right)$. Najprostsze przypadki poszukiwania PD LNDU-2 formułuje się w postaci czterech poniższych reguł.
Zasada nr 1.
Prawa część LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, gdzie $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, czyli nazywa się to wielomianem stopnia $ n$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, gdzie $Q_(n) \left(x\right)$ to kolejny wielomian tego samego stopnia co $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, które są równe zero. Współczynniki wielomianu $Q_(n) \left(x\right)$ wyznacza się metodą współczynników nieokreślonych (UK).
Zasada nr 2.
Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, gdzie $P_(n) \left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, gdzie $Q_(n ) \ left(x\right)$ to kolejny wielomian tego samego stopnia co $P_(n) \left(x\right)$, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2 , równy $\alfa $. Współczynniki wielomianu $Q_(n) \left(x\right)$ wyznacza się metodą NC.
Zasada nr 3.
Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, gdzie znajdują się $a$, $b$ i $\beta$ znane liczby. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, gdzie $A$ i $B$ to nieznane współczynniki, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, równa $i\cdot \beta $. Współczynniki $A$ i $B$ wyznaczane są metodą nieniszczącą.
Zasada nr 4.
Prawa strona LNDU-2 ma postać $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, gdzie $P_(n) \left(x\right)$ to wielomian stopnia $ n$, a $P_(m) \left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $m$. Następnie szuka się jego PD $U$ w postaci $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, gdzie $Q_(s) \left(x\right)$ i $ R_(s) \left(x\right)$ są wielomianami stopnia $s$, liczba $s$ to maksimum dwóch liczb $n$ i $m$, a $r$ to liczba pierwiastków równania charakterystycznego odpowiedniego LODE-2, równego $\alpha +i\cdot \beta $. Współczynniki wielomianów $Q_(s) \left(x\right)$ i $R_(s) \left(x\right)$ wyznacza się metodą NC.
Metoda NK polega na zastosowaniu następującej reguły. Aby znaleźć nieznane współczynniki wielomianu wchodzące w skład częściowego rozwiązania niejednorodnego równania różniczkowego LNDU-2, należy:
- zastąp zapisane PD $U$ ogólna perspektywa, V lewa strona LNDU-2;
- po lewej stronie LNDU-2 wykonaj uproszczenia i grupuj wyrazy o tych samych potęgach $x$;
- w powstałej tożsamości zrównaj współczynniki wyrazów z tymi samymi potęgami $x$ lewej i prawej strony;
- rozwiązać powstały układ równań liniowych dla nieznanych współczynników.
Przykład 1
Zadanie: znajdź LUB LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Znajdź także PD , spełniając warunki początkowe $y=6$ dla $x=0$ i $y"=1$ dla $x=0$.
Zapisujemy odpowiedni LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Równanie charakterystyczne: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Pierwiastkami równania charakterystycznego są: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Te korzenie są ważne i odrębne. Zatem OR odpowiedniego LODE-2 ma postać: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
Prawa strona tego LNDU-2 ma postać $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Należy uwzględnić współczynnik wykładnika $\alpha =3$. Współczynnik ten nie pokrywa się z żadnym z pierwiastków równania charakterystycznego. Dlatego PD tego LNDU-2 ma postać $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.
Współczynników $A$, $B$ będziemy szukać metodą NC.
Znajdujemy pierwszą pochodną Republiki Czeskiej:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Znajdujemy drugą pochodną Republiki Czeskiej:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
Podstawiamy funkcje $U""$, $U"$ i $U$ zamiast $y""$, $y"$ i $y$ do podanego NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x). $ Ponadto, ponieważ wykładnik $e^(3\cdot x) $ jest uwzględniany jako współczynnik we wszystkich komponentach, to można je pominąć.
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Wykonujemy działania po lewej stronie powstałej równości:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Stosujemy metodę NDT. Otrzymujemy układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Rozwiązaniem tego układu jest: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ dla naszego problemu wygląda następująco: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
OR $y=Y+U$ dla naszego problemu wygląda następująco: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ lewy(-2\cdot x-1\prawy)\cdot e^(3\cdot x) $.
Aby znaleźć PD spełniający podane warunki początkowe, znajdujemy pochodną $y"$ OP:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
Podstawiamy do $y$ i $y"$ warunki początkowe $y=6$ za $x=0$ i $y"=1$ za $x=0$:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
Otrzymaliśmy układ równań:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
Rozwiążmy to. Znajdujemy $C_(1) $ korzystając ze wzoru Cramera, a $C_(2) $ wyznaczamy z pierwszego równania:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ rozpocząć(tablica)(cc) (1) i (1) \\ (-3) i (6) \end(tablica)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
Zatem PD tego równania różniczkowego ma postać: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
