Liczby całkowite. Podzielność liczb naturalnych

Ten artykuł zaczyna się od materiału teoria podzielności liczb całkowitych. W tym miejscu wprowadzamy pojęcie podzielności oraz wskazujemy przyjęte terminy i oznaczenia. Pozwoli nam to wymienić i uzasadnić główne właściwości podzielności.

Nawigacja strony.

Pojęcie podzielności

Pojęcie podzielności jest jednym z podstawowych pojęć arytmetyki i teorii liczb. Porozmawiamy o podzielności, a w szczególnych przypadkach - o podzielności. A więc dajmy pojęcie o podzielności na zbiorze liczb całkowitych.

Liczba całkowita a Akcje przez liczbę całkowitą b, różną od zera, jeśli istnieje liczba całkowita (oznacz ją przez q) taka, że ​​prawdziwa jest równość a=b·q. W tym przypadku mówimy również, że b dzieli A. W tym przypadku wywoływana jest liczba całkowita b rozdzielacz liczby a, nazywa się liczbę całkowitą a wielokrotności liczba b (więcej informacji na temat dzielników i wielokrotności można znaleźć w artykule Dzielniki i wielokrotności), a liczba całkowita q nazywana jest prywatny.

Jeśli liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b w powyższym sensie, to możemy powiedzieć, że a jest podzielna przez b całkowicie. Słowo „całkowicie” w tym przypadku dodatkowo podkreśla, że ​​iloraz dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b jest liczbą całkowitą.

W niektórych przypadkach dla danych liczb całkowitych aib nie ma liczby całkowitej q, dla której prawdziwa jest równość a=b·q. W takich przypadkach mówimy, że liczba całkowita a nie jest podzielna przez liczbę całkowitą b (co oznacza, że ​​a nie jest podzielna przez b). Jednak w takich przypadkach uciekają się do.

Rozumiemy pojęcie podzielności na przykładach.

Każda liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę a, przez liczbę -a, a, przez jeden i przez liczbę -1.

Udowodnimy tę własność podzielności.

Dla dowolnej liczby całkowitej a obowiązują równości a=a·1 i a=1·a, z czego wynika, że ​​a jest podzielne przez a, a iloraz jest równy jeden, a a jest podzielne przez 1 oraz iloraz jest równy a. Dla dowolnej liczby całkowitej a obowiązują także równości a=(−a)·(−1) i a=(−1)·(−a), z których wynika, że ​​a jest podzielne przez liczbę przeciwną a, jako oraz a jest podzielne przez jednostkę minus.

Należy zauważyć, że właściwość podzielności liczby całkowitej a sama w sobie nazywa się właściwością zwrotności.

Następna właściwość podzielności stwierdza, że ​​zero jest podzielne przez dowolną liczbę całkowitą b.

Rzeczywiście, ponieważ 0=b·0 dla dowolnej liczby całkowitej b, wówczas zero jest podzielne przez dowolną liczbę całkowitą.

W szczególności zero jest również podzielne przez zero. Potwierdza to równość 0=0·q, gdzie q jest dowolną liczbą całkowitą. Z tej równości wynika, że ​​iloraz zera podzielony przez zero jest dowolną liczbą całkowitą.

Należy również zauważyć, że żadna inna liczba całkowita inna niż zero nie jest podzielna przez 0. Wyjaśnijmy to. Jeżeli zero podzieliło liczbę całkowitą różną od zera, to równość a=0·q powinna być prawdziwa, gdzie q jest pewną liczbą całkowitą, a ostatnia równość jest możliwa tylko wtedy, gdy a=0.

Jeśli liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b i a jest mniejsze niż moduł b, wówczas a jest równe zero. W formie dosłownej tę właściwość podzielności zapisuje się następująco: jeśli ab i , to a=0.

Dowód.

Ponieważ a jest podzielne przez b, istnieje liczba całkowita q, dla której prawdziwa jest równość a=b·q. Zatem równość także musi być prawdziwa, a z mocy prawa równość formy także musi być prawdziwa. Jeżeli q nie jest równe zero, to wynika z tego, że . Uwzględniając uzyskaną nierówność wynika z równości, że . Ale to jest sprzeczne z warunkiem. Zatem q może być równe tylko zero i otrzymujemy a=b·q=b·0=0, co musieliśmy udowodnić.

Jeżeli liczba całkowita a jest różna od zera i jest podzielna przez liczbę całkowitą b, wówczas moduł a jest nie mniejszy niż moduł b. Oznacza to, że jeśli a≠0 i ab, to . Ta właściwość podzielności wynika bezpośrednio z poprzedniej.

Jedynymi dzielnikami jedności są liczby całkowite 1 i -1.

Najpierw pokażmy, że 1 jest podzielna przez 1 i -1. Wynika to z równości 1=1·1 i 1=(−1)·(−1) .

Pozostaje udowodnić, że żadna inna liczba całkowita nie jest dzielnikiem jedności.

Załóżmy, że liczba całkowita b, różna od 1 i -1, jest dzielnikiem jedności. Ponieważ jedność jest podzielna przez b, to zgodnie z poprzednią własnością podzielności musi być spełniona nierówność, która jest równoważna nierówności. Tę nierówność spełniają tylko trzy liczby całkowite: 1, 0 i -1. Ponieważ założyliśmy, że b różni się od 1 i -1, pozostaje tylko b=0. Ale b=0 nie może być dzielnikiem jedności (jak pokazaliśmy przy opisie drugiej własności podzielności). Dowodzi to, że żadne liczby inne niż 1 i -1 nie są dzielnikami jedności.

Aby liczba całkowita a była podzielna przez liczbę całkowitą b, konieczne i wystarczające jest, aby moduł liczby a był podzielny przez moduł liczby b.

Najpierw udowodnijmy konieczność.

Podzielmy a przez b, a otrzymamy liczbę całkowitą q taką, że a=b·q. Następnie . Ponieważ jest to liczba całkowita, z równości wynika, że ​​moduł liczby a jest podzielny przez moduł liczby b.

Teraz wystarczy.

Niech moduł liczby a zostanie podzielony przez moduł liczby b, wówczas istnieje liczba całkowita q taka, że ​​. Jeśli liczby a i b są dodatnie, to prawdziwa jest równość a=b·q, co dowodzi podzielności a przez b. Jeżeli aib są ujemne, to prawdziwa jest równość −a=(−b)·q, którą można zapisać jako a=b·q. Jeśli - liczba ujemna, i b jest dodatnie, to mamy −a=b·q, ta równość jest równoważna równości a=b·(−q) . Jeśli a jest dodatnie, a b jest ujemne, to mamy a=(−b)·q i a=b·(−q) . Ponieważ zarówno q, jak i -q są liczbami całkowitymi, powstałe równości dowodzą, że a jest podzielne przez b.

Wniosek 1.

Jeśli liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b, to a jest również podzielna przez liczbę przeciwną -b.

Konsekwencja 2.

Jeśli liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b, to -a jest również podzielna przez b.

Znaczenie omawianej właśnie właściwości podzielności jest trudne do przecenienia - teorię podzielności można opisać na zbiorze liczb całkowitych dodatnich, a ta właściwość podzielności rozciąga ją na liczby całkowite ujemne.

Podzielność ma właściwość przechodniości: jeśli liczba całkowita a jest podzielna przez pewną liczbę całkowitą m, a liczba m z kolei jest dzielona przez liczbę całkowitą b, to a jest podzielne przez b. Oznacza to, że jeśli am i mb, to ab.

Przedstawmy dowód tej własności podzielności.

Ponieważ a jest podzielne przez m, istnieje liczba całkowita a 1 taka, że ​​a=m·a 1. Podobnie, ponieważ m jest podzielne przez b, istnieje pewna liczba całkowita m 1 taka, że ​​m=b·m 1. Następnie a=m za 1 =(b m 1) za 1 =b (m 1 za 1). Ponieważ iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, to m 1 ·a 1 jest pewną liczbą całkowitą. Oznaczając q, dochodzimy do równości a=b·q, co dowodzi rozpatrywanej własności podzielności.

Podzielność ma właściwość antysymetrii, to znaczy, jeśli a jest podzielone przez b i jednocześnie b jest podzielone przez a, to albo liczby całkowite a i b, albo liczby a i -b są równe.

Z podzielności a przez b i b przez a możemy mówić o istnieniu liczb całkowitych q 1 i q 2 takich, że a=b·q 1 i b=a·q 2. Podstawiając b·q 1 zamiast a do drugiej równości lub podstawiając a·q 2 zamiast b do pierwszej równości, otrzymujemy, że q 1 ·q 2 =1 i biorąc pod uwagę, że q 1 i q 2 są liczbami całkowitymi, to jest możliwe tylko wtedy, gdy q 1 =q 2 =1 lub gdy q 1 =q 2 =−1. Wynika z tego, że a=b lub a=−b (lub, co jest tym samym, b=a lub b=−a).

Dla dowolnej liczby całkowitej i niezerowej b istnieje liczba całkowita a, nie równa b, która jest podzielna przez b.

Liczba ta będzie dowolną z liczb a=b·q, gdzie q jest dowolną liczbą całkowitą różną od jedności. Możemy przejść do kolejnej własności podzielności.

Jeśli każdy z dwóch wyrazów całkowitych aib jest podzielny przez liczbę całkowitą c, to suma a+b jest również podzielna przez c.

Ponieważ a i b są podzielne przez c, możemy zapisać a=c·q 1 i b=c·q 2. Następnie a+b=c q 1 +c q 2 =c (q 1 + q 2)(ostatnie przejście jest możliwe dzięki ). Ponieważ suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, równość a+b=c·(q 1 +q 2) dowodzi podzielności sumy a+b przez c.

Właściwość tę można rozszerzyć na sumę trzech, czterech lub więcej terminów.

Jeśli pamiętamy również, że odjęcie liczby całkowitej b od liczby całkowitej a jest dodaniem liczby a do liczby -b (patrz), to ta właściwość podzielności obowiązuje również w przypadku różnicy liczb. Na przykład, jeśli liczby całkowite aib są podzielne przez c, to różnica a-b jest również podzielna przez c.

Jeżeli wiadomo, że w równości postaci k+l+…+n=p+q+…+s wszystkie wyrazy oprócz jednego są podzielne przez jakąś liczbę całkowitą b, to ten jeden wyraz jest także podzielny przez b.

Powiedzmy, że ten wyraz to p (możemy przyjąć dowolny wyraz równości, co nie będzie miało wpływu na rozumowanie). Wtedy p=k+l+…+n−q−…−s . Wyrażenie uzyskane po prawej stronie równości jest dzielone przez b ze względu na poprzednią właściwość. Zatem liczba p jest również podzielna przez b.

Jeśli liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b, to iloczyn a·k, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, jest dzielony przez b.

Ponieważ a jest podzielne przez b, prawdziwa jest równość a=b·q, gdzie q jest pewną liczbą całkowitą. Następnie a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (ostatnie przejście zostało wykonane ze względu na ). Ponieważ iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, równość a·k=b·(q·k) dowodzi podzielności iloczynu a·k przez b.

Wniosek: jeśli liczba całkowita a jest podzielna przez liczbę całkowitą b, to iloczyn a·k 1 ·k 2 ·…·k n, gdzie k 1, k 2, …, k n są liczbami całkowitymi, jest podzielny przez b.

Jeśli liczby całkowite aib są podzielne przez c, to suma iloczynów a·u ​​i b·v postaci a·u+b·v, gdzie u i v są dowolnymi liczbami całkowitymi, jest dzielona przez c.

Dowód tej własności podzielności jest podobny do dwóch poprzednich. Z warunku mamy a=c·q 1 i b=c·q 2. Następnie a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). Ponieważ suma q 1 ·u+q 2 ·v jest liczbą całkowitą, to jest to równość formy a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) dowodzi, że a·u+b·v jest podzielne przez c.

Na tym kończy się nasz przegląd podstawowych własności podzielności.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. i inne Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
• Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria liczb.
• Kulikov L.Ya. i inne Zbiór zagadnień z algebry i teorii liczb: Instruktaż dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.

Nazwij liczby używane do liczenia. Każdej liczbie elementów przeliczalnych odpowiada pewna liczba naturalna. Jeśli nie ma obiektów do policzenia, wówczas stosuje się liczbę 0, natomiast liczenia obiektów nigdy nie zaczynamy od 0, w związku z czym liczby 0 nie można uznać za naturalną. Wiadomo, że najmniejsza liczba naturalna to jeden. Nie ma największej liczby naturalnej, ponieważ niezależnie od tego, jak duża jest liczba, zawsze można do niej dodać 1 i zapisać kolejną liczbę naturalną.

Uporządkujmy to najprostszy przykład dzielenie: podziel liczbę 30 przez liczbę 5 (reszta z dzielenia liczby 30 przez liczbę 5 wynosi 0), ponieważ 30 = 5. 6. Zatem liczba 30 jest podzielna przez liczbę 5. Liczba 5 jest rozdzielacz liczba to 30, a liczba 30 to wiele numer 5.

Liczba naturalna k N, jeśli istnieje taka liczba naturalna M, dla którego zachodzi równość k = N . M.

Lub innymi słowy , aby podzielić jedną liczbę przez drugą, musisz znaleźć trzecią liczbę, która pomnożona przez drugą daje pierwszą

Jeśli liczba naturalna k podzielna przez liczbę naturalną N, a następnie numer k zwany wielokrotności liczby,

numer N — dzielnik liczby k.

Liczby 1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 są również dzielnikami 30, a 30 jest wielokrotnością każdej z tych liczb. Należy pamiętać, że liczba 30 nie jest podzielna na przykład przez liczbę 7. Zatem liczba 7 nie jest dzielnikiem liczby 30, a liczba 30 nie jest wielokrotnością liczby 7.

Po wykonaniu operacji dzielenia mówią: „Liczba k podzielna przez liczbę N", "Numer N jest dzielnikiem liczby k", "Numer k wielokrotność liczby N", "Numer k jest wielokrotnością liczby N».

Łatwo jest zapisać wszystkie dzielniki liczby 6. Są to liczby 1, 2, 3 i 6. Czy można wymienić wszystkie liczby, które są wielokrotnościami liczby 6? Liczby 6,1, 6,2, 6,3, 6,4, 6,5 itd. są wielokrotnościami liczby 6. Okazuje się, że istnieje nieskończenie wiele liczb, które są wielokrotnościami liczby 6. Dlatego nie sposób wymienić ich wszystkich.

Ogólnie dla dowolnej liczby naturalnej k każdą z liczb

k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...

jest wielokrotnością liczby k.

Najmniejszy dzielnik dowolną liczbę naturalną k jest liczbą 1, oraz największy dzielnik- sam numer k.

Wśród liczb będących wielokrotnościami k, nie ma największego, ale najmniejszy jest - to jest sama liczba k.

Każda z liczb 21 i 36 jest podzielna przez liczbę 3, a ich suma, liczba 57, jest również podzielna przez liczbę 3. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli każda z liczb k I N podzielna przez liczbę M, następnie suma k+n jest również podzielna przez liczbę M.

Żadna z liczb 4 i 8 nie jest Akcje jest liczbą całkowitą przez liczbę 3, a ich suma, liczba 12, nie jest równomiernie podzielna przez liczbę 3. Żadna z liczb 9 i 7 nie jest równomiernie podzielna przez liczbę 5, a ich suma, liczba 16, wynosi nie jest równomiernie podzielna przez liczbę 5. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli żadna liczba k, brak numeru N nie są równo podzielne przez liczbę M, następnie suma k + N może, ale nie musi, być podzielna przez liczbę całkowitą M.

Liczba 35 dzieli się przez liczbę 7 bez reszty, ale liczba 17 nie jest podzielna przez liczbę 7. Suma 35 + 17 również nie jest podzielna przez liczbę 7. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli liczba k podzielna przez liczbę M i numer N nie jest podzielna przez liczbę M, następnie suma k + N nie jest podzielna przez liczbę M.

Regionalna konferencja naukowa dla uczniów okręgu miejskiego Lakhdenpokh

„Krok w przyszłość”

Projekt matematyczny na temat:

Ukończył: Galkina Natalya

Uczeń klasy 7

MKOU „Szkoła Średnia Elisenvaara”

Głowa: Wasiljewa

Larisa Władimirowna

nauczyciel matematyki

MKOU „Szkoła Średnia Elisenvaara”

Wprowadzenie 3 strony

Z historii matematyki 4 strony.

Podstawowe pojęcia 4 strony.

Klasyfikacja znaków podzielności: 5 stron.

1. O podzielności liczb decyduje ostatnia cyfra(y) 5 – 6 stron.

   Podzielność liczb określa się na podstawie sumy cyfr liczby: 6 stron.

   Podzielność liczb określa się po wykonaniu pewnych czynności na cyfrach liczby 6 - 9.

   Aby określić podzielność liczby, stosuje się inne znaki 9 – 10 stron.

Zastosowanie kryteriów podzielności w praktyce 10 – 11 stron.

Podsumowanie 11 stron

Bibliografia 12 stron.

Wstęp

Znaczenie badań: Znaki podzielności zawsze interesowały naukowców różnych czasów i narodów. Studiując temat „Znaki podzielności liczb przez 2, 3, 5, 9, 10” na lekcjach matematyki, zainteresowałem się badaniem liczb pod kątem podzielności. Założono, że jeśli możliwe jest określenie podzielności liczb przez te liczby, to muszą istnieć znaki, za pomocą których można określić podzielność liczby naturalne i dla innych liczb. W niektórych przypadkach, aby dowiedzieć się, czy jakakolwiek liczba naturalna jest podzielna A do liczby naturalnej B bez reszty nie ma potrzeby dzielenia tych liczb. Wystarczy znać pewne oznaki podzielności.

Hipoteza– jeżeli istnieją znaki podzielności liczb naturalnych przez 2, 3, 5, 9 i 10, to istnieją inne znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych.

Cel badania – uzupełnić poznane już w szkole znaki podzielności liczb naturalnych jako całość i usystematyzować te znaki podzielności.

Aby osiągnąć ten cel, należy rozwiązać następujące kwestie zadania:

Samodzielnie badaj podzielność liczb.

Przestudiuj dodatkową literaturę, aby zapoznać się z innymi oznakami podzielności.

Łącz i podsumowuj funkcje z różnych źródeł.

Wyciągnąć wniosek.

Przedmiot badań– badanie wszystkich możliwych znaków podzielności.

Przedmiot badań– oznaki podzielności.

Metody badawcze– gromadzenie materiału, przetwarzanie danych, porównywanie, analiza, synteza.

Nowość: W trakcie realizacji projektu poszerzyłem swoją wiedzę na temat znaków podzielności liczb naturalnych.

Z historii matematyki

Blaise Pascal(ur. 1623) – jeden z najbardziej sławni ludzie w historii ludzkości. Pascalumer, gdy miał 39 lat, a mimo to krótkie życie, przeszedł do historii jako wybitny matematyk, fizyk, filozof i pisarz. Jego imieniem nazwano jednostkę ciśnienia (paskal) i bardzo popularny dziś język programowania. Blaise Pascal znalazł wspólny mianownik

Test Pascala to metoda pozwalająca uzyskać testy na podzielność przez dowolną liczbę. Swego rodzaju „uniwersalny znak podzielności”.

Test podzielności Pascala: Liczba naturalna A zostanie podzielona przez inną liczbę naturalną B tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr liczby A na odpowiednie reszty otrzymane poprzez podzielenie jednostek cyfr przez liczbę B, jest dzielone przez tę liczbę.

Na przykład : liczba 2814 jest podzielna przez 7, ponieważ 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 jest podzielna przez 7. (Tutaj 6 to reszta z dzielenia 1000 przez 7, 2 to reszta z dzielenia 100 przez 7 a 3 to reszta z dzielenia 10 przez 7).

Podstawowe koncepcje

Pamiętajmy o kilku pojęciach matematycznych, które będą nam potrzebne podczas studiowania tego tematu.

Test podzielności to reguła, dzięki której bez dzielenia można stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez inną.

Rozdzielacz Liczba naturalna A podaj liczbę naturalną do której A podzielone bez reszty.

Prosty nazywane są liczbami naturalnymi, które nie mają innych naturalnych odrębnych dzielników poza jednym i samą sobą.

Złożony to liczby, które mają naturalne dzielniki inne niż 1 i one same.

Znaki podzielności

Wszystkie znaki podzielności liczb naturalnych, które rozważałem w tej pracy, można podzielić na 4 grupy:

Przyjrzyjmy się bliżej każdej z tych grup.

Podzielność liczb zależy od ostatniej cyfry

Do pierwszej grupy znaków podzielności liczb naturalnych, którą rozważałem, zaliczają się znaki podzielności przez 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 oraz jednostki cyfrowe 10, 100 itd.

Test na podzielność przez 2: Liczba jest podzielna przez 2, gdy ostatnia cyfra tej liczby jest podzielna przez 2 (tzn. ostatnia cyfra jest liczbą parzystą).

Na przykład: 32217864 : 2

Test podzielności przez 4 : Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry są zerami lub gdy dwucyfrowa liczba utworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.

Na przykład, 35324 : 4; 6600 : 4

Test podzielności przez 5 : Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 5 lub 0.

Na przykład: 36780 : 5 lub 12326 5 : 5

Test podzielności przez 8: liczba jest podzielna przez 8, gdy jest podzielna przez 8 trzycyfrowy numer, utworzony z trzech ostatnich cyfr tej liczby.

Na przykład: 432240 : 8

Test podzielności przez 20: liczba jest podzielna przez 20, gdy liczba utworzona przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 20. (Inne sformułowanie: liczba jest podzielna przez 20, gdy ostatnia cyfra liczby to 0, a przedostatnia cyfra jest parzysta).

Na przykład: 59640 : 20

Test podzielności przez 25: Liczby, których dwie ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 25, są podzielne przez 25.

Na przykład: 667975 : 25 lub 77689 00 : 25

Test na podzielność przez 50: Liczba jest podzielna przez 50, gdy liczba utworzona przez jej dwie najniższe cyfry po przecinku jest podzielna przez 50.

Na przykład: 564350 :50 lub 5543 00 :50

Test podzielności przez 125: Liczba jest podzielna przez 125, jeśli jej trzy ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 125.

Na przykład: 32157000 :125 lub 3216 250 :125

Liczby naturalne, których liczba zer jest większa lub równa liczbie zer jednostki cyfrowej, dzielą się na jednostkę cyfrową.

Na przykład, 12 000 dzieli się przez 10, 100 i 1000.

O podzielności liczb decyduje suma cyfr danej liczby

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się rozważane przeze mnie znaki podzielności przez 3, 9, 11.

Test podzielności przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

Test podzielności przez 9: Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Na przykład: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

Test podzielności przez 11: Liczby te są podzielne przez 11, jeśli suma cyfr w miejscach nieparzystych jest równa sumie cyfr w miejscach parzystych lub różni się od niej o wielokrotność 11.

Na przykład: 865948732:11 ponieważ 8+5+4+7+2=26 i 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 ponieważ 8+5+4+7+2=26 i 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Podzielność liczb określa się po wykonaniu pewnych działań na cyfrach tej liczby

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się znaki podzielności przez: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

Test podzielności przez 6:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 6, gdy wynik odjęcia dwukrotnej liczby setek od liczby po setkach jest podzielny przez 6.

Na przykład, 138: 6, ponieważ 1,2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 ponieważ 44 – 7,2=30, (30:6)

Znak 2: Liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba dziesiątek dodanych do liczby jednostek jest podzielna przez 6.

Na przykład, 768:6 ponieważ 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)

Podzielność przez 7:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 7 gdy potrójna liczba dziesiątek dodana do liczby jednostek jest podzielna przez 7.

Na przykład, liczba 154:7, ponieważ 15 3 + 4 = 49 (49:7) dzieli się przez 7

Znak 2: liczba jest podzielna przez 7, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy trzech cyfr (zaczynających się od jedności), wziętych ze znakiem „+” i parzystych ze znakiem „-”, jest podzielny przez 7.

Na przykład, 138689257:7, ponieważ ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Podzielność przez 11:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 11, gdy moduł różnicy między sumą cyfr zajmujących pozycje nieparzyste a sumą cyfr zajmujących pozycje parzyste jest podzielny przez 11.

Na przykład, 9163627:11, ponieważ ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 11, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 11.

Na przykład, 103785:11, ponieważ 10+37+85=132 i 01+32=33 (33:11)

Podzielność przez 13:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 13, gdy suma liczby dziesiątek plus cztery razy jedności jest podzielna przez 13.

Na przykład, 845:13, ponieważ 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

Znak 2: Liczba jest podzielna przez 13, gdy różnica między liczbą dziesiątek a dziewięciokrotnością liczby jedności jest podzielna przez 13.

Na przykład, 845:13, ponieważ 84-5 9=39 (39:13)

Test na podzielność przez 17: liczba jest podzielna przez 17, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a pięciokrotnością liczby jedności jest podzielny przez 17.

Na przykład, 221:17, ponieważ ǀ22-5·1ǀ=17

Znaki podzielności przez 19: Liczba jest podzielna przez 19, gdy liczba dziesiątek dodana do dwukrotności liczby jednostek dzieli się przez 19.

Na przykład, 646:19, ponieważ 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Testy na podzielność przez 23:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 23, gdy liczba setek dodana do potrójnej liczby utworzonej przez dwie ostatnie cyfry dzieli się przez 23.

Na przykład, 28842:23, ponieważ 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 23 gdy liczba dziesiątek dodana do siedmiu razy liczby jedności dzieli się przez 23.

Na przykład, 391:23, ponieważ 3 9+7 1=46 (46:23)

Znak 3: liczba jest podzielna przez 23 gdy liczba setek dodana do siedmiokrotnej liczby dziesiątek i potrójnej liczby jednostek jest podzielna przez 23.

Na przykład, 391:23, ponieważ 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Test podzielności przez 27: liczba jest podzielna przez 27, gdy suma liczb tworzących grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 27.

Na przykład, 2705427:27 ponieważ 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Test podzielności przez 29: Liczba jest podzielna przez 29, gdy liczba dziesiątek dodana do trzykrotności liczby jednostek dzieli się przez 29.

Na przykład, 261:29, ponieważ 26+3·1=29 (29:29)

Test na podzielność przez 31: Liczba jest podzielna przez 31, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a trzykrotnością liczby jedności jest podzielny przez 31.

Na przykład, 217:31, ponieważ ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Testy na podzielność przez 33: Jeśli suma powstała przez podzielenie liczby od prawej do lewej na grupy po dwie cyfry jest podzielna przez 33, to liczba ta jest podzielna przez 33.

Na przykład, 396:33, ponieważ 96+3=99 (99:33)

Testy na podzielność przez 37:

Znak 1: liczba jest podzielna przez 37, gdy dzieląc ją na grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności), suma tych grup jest wielokrotnością 37.

Na przykład, numer 100048:37, ponieważ 100+048=148, (148:37)

Znak 2: liczba jest podzielna przez 37, gdy moduł potrójnej liczby setek dodany do czterokrotności liczby dziesiątek minus liczba jednostek pomnożona przez siedem jest dzielony przez 37.

Na przykład, liczba wynosi 481:37, ponieważ jest podzielna przez 37ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Kryteria podzielności przez 41:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 41, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a czterokrotnością liczby jednostek jest podzielny przez 41.

Na przykład, 369:41, ponieważ ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

Znak 2: Aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 41, należy ją podzielić od prawej do lewej na grupy po 5 cyfr każda. Następnie w każdej grupie pomnóż pierwszą cyfrę po prawej stronie przez 1, pomnóż drugą cyfrę przez 10, trzecią przez 18, czwartą przez 16, piątą przez 37 i dodaj wszystkie powstałe iloczyny. Jeśli wynikbędzie podzielna przez 41, to sama liczba będzie podzielna przez 41.

Test na podzielność przez 59: Liczba jest podzielna przez 59, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 6 dzieli się przez 59.

Na przykład, 767:59, ponieważ 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Test podzielności przez 79: Liczba jest podzielna przez 79, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 8 dzieli się przez 79.

Na przykład, 711:79, ponieważ 71+8·1=79, (79:79)

Test podzielności przez 99: Liczba jest podzielna przez 99, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 99.

Na przykład, 12573:99, ponieważ 1+25+73=99, (99:99)

Test podzielności przez 101: liczba jest podzielna przez 101, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy dwucyfrowe (zaczynające się od jedności), wziętych ze znakiem „+” i liczb parzystych ze znakiem „–”, jest podzielny przez 101.

Na przykład

Aby określić podzielność liczby, stosuje się inne kryteria podzielności

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się znaki podzielności przez: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 itd. To wszystko są liczby złożone. Kryteria podzielności liczb złożonych opierają się na kryteriach podzielności liczb pierwszych, na które można rozłożyć dowolną liczbę złożoną.

Test podzielności przez 6:

Znak 1: Liczba jest podzielna przez 6, gdy dzieli się zarówno przez 2, jak i 3, to znaczy, jeśli jest parzysta, a suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład, 768:6, ponieważ 7+6+8=21 (21:3), a ostatnia cyfra liczby 768 jest parzysta.

Test podzielności przez 12: Liczba jest podzielna przez 12, jeśli jest podzielna jednocześnie przez 3 i 4.

Na przykład, 408:12, ponieważ 4+0+8=12 (12:3) i dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4 (08:4)

Test na podzielność przez 14: Liczba jest podzielna przez 14, gdy dzieli się przez 2 i 7.

Na przykład, liczbę 45612:14, ponieważ jest ona podzielna zarówno przez 2, jak i 7, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 14.

Test na podzielność przez 15: Liczba jest podzielna przez 15, gdy dzieli się przez 3 i 5.

Na przykład, 1146795:15 ponieważ Liczba ta jest podzielna zarówno przez 3, jak i 5.

Testy na podzielność przez 27: Liczba jest podzielna przez 27, gdy dzieli się przez 3 i 9.

Na przykład, 511704:27 ponieważ 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 i 18:9)

Znaki podzielności przez 30: Liczba jest podzielna przez 30, gdy kończy się na 0, a suma wszystkich cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład, 510:30 ponieważ 5+1+0=6 (6:3) i w liczbie 510 (ostatnia cyfra 0)

Znaki podzielności przez 60: Aby liczba była podzielna przez 60, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez 4, 3 lub 5.

Na przykład, 1620:60, ponieważ 1+6+2+0=9 (9:3), liczba 1620 kończy się na 0, tj. jest podzielna przez 5 i 1620: 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry 20:4

Praca ma zastosowanie praktyczne. Może być używany przez dzieci w wieku szkolnym i dorosłych przy rozwiązywaniu rzeczywistych sytuacji; nauczycieli, zarówno przy prowadzeniu lekcji matematyki, jak i na zajęciach fakultatywnych oraz zajęcia dodatkowe do powtórzenia.

To badanie będzie przydatny dla studentów, gdy samodzielny trening do egzaminów końcowych i wstępnych. Przyda się także uczniom, których celem są wysokie miejsca na olimpiadach miejskich.

Zadanie nr 1 . Czy można, korzystając wyłącznie z cyfr 3 i 4, napisać:

liczba podzielna przez 10;

Liczba parzysta;

liczba będąca wielokrotnością 5;

liczba nieparzysta

Problem nr 2

Napisz liczbę dziewięciocyfrową, która nie ma powtarzających się cyfr (wszystkie cyfry są różne) i jest podzielna przez 1 bez reszty.

Zapisz największą z tych liczb.

Zapisz najmniejszą z tych liczb.

Odpowiedź: 987652413; 102347586

Zadanie nr 3

Znajdź największą liczbę czterocyfrową, której wszystkie cyfry są różne i która jest podzielna przez 2, 5, 9, 11.

Odpowiedź: 8910

Problem nr 4

Olya wymyśliła prostą trzycyfrową liczbę, której wszystkie cyfry są różne. Na jaką cyfrę może się kończyć, jeśli ostatnia cyfra jest równa sumie dwóch pierwszych? Podaj przykłady takich liczb.

Odpowiedź: tylko o 7. Istnieją 4 liczby spełniające warunki zadania: 167, 257, 347, 527

Problem nr 5

W obu klasach uczy się łącznie 70 uczniów. W jednej klasie 7/17 uczniów nie pojawiło się na zajęciach, a w drugiej 2/9 uzyskało oceny celujące z matematyki. Ilu uczniów jest w każdej klasie?

Rozwiązanie: W pierwszej z tych klas mogą znajdować się: 17, 34, 51... - liczby będące wielokrotnościami 17. W drugiej klasie: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - liczby będące wielokrotnościami z 9. Musimy wybrać 1 liczbę z pierwszego ciągu, a 2 to liczba z drugiego ciągu, tak aby w sumie było 70. Co więcej, w tych ciągach tylko niewielka liczba wyrazów może wyrazić możliwą liczbę dzieci w ciągu klasa. Ta okoliczność znacznie ogranicza wybór opcji. Jedyną możliwą opcją była para (34, 36).

Problem nr 6

W 9 klasie dla test 1/7 uczniów otrzymało oceny A, 1/3 B, ½ C. Reszta prac okazała się niezadowalająca. Ile było takich stanowisk pracy?

Rozwiązanie: Rozwiązaniem zadania musi być liczba będąca wielokrotnością liczb: 7, 3, 2. Najpierw znajdźmy najmniejszą z tych liczb. LCM (7, 3, 2) = 42. Możesz utworzyć wyrażenie zgodnie z warunkami zadania: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 nieudane. Zadania matematyczne zakładają, że liczba uczniów w klasie wynosi 84, 126 itd. Człowiek. Jednak zdrowy rozsądek podpowiada, że ​​najbardziej akceptowalną odpowiedzią jest liczba 42.

Odpowiedź: 1 praca.

Wniosek:

W wyniku tej pracy dowiedziałem się, że oprócz znanych mi znaków podzielności przez 2, 3, 5, 9 i 10, istnieją także inne znaki podzielności liczb naturalnych. Zdobyta wiedza znacznie przyspiesza rozwiązanie wielu problemów. I tę wiedzę mogę wykorzystać w swoim Działania edukacyjne zarówno na lekcjach matematyki, jak i w zajęcia dodatkowe. Należy również zauważyć, że sformułowania niektórych kryteriów podzielności są złożone. Może dlatego nie uczą się ich w szkole. Spodziewam się w przyszłości kontynuować prace nad badaniem znaków podzielności liczb naturalnych.

słownik encyklopedyczny młody matematyk. Savin A.P. Moskiewska „Pedagogika” 1989.

Matematyka. Dodatkowe materiały do ​​lekcji matematyki dla klas 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moskiewski „Drop” 2002.

Za stronami podręcznika do matematyki. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Edukacja, 1989.

Zajęcia pozalekcyjne z matematyki w klasach 6-8. Moskwa. „Oświecenie” 1984 V. A. Gusiew, A. I. Orłow, A. L. Rosenthal.

„1001 pytań i odpowiedzi. Wielka księga wiedzy” Moskwa. „Świat książek” 2004.

Opcjonalny kurs matematyki. Nikolskaya I.L. - Moskwa. Oświecenie 1991.

Zadania olimpijskie z matematyki i metody ich rozwiązywania. Farkov A.V. - Moskwa. 2003

Zasoby internetowe.

Wyświetl zawartość prezentacji
„Znaki podzielności liczb naturalnych”

Regionalna konferencja naukowa dla uczniów

Dzielnica miejska Lakhdenpokh „Krok w przyszłość”

„Znaki podzielności liczb naturalnych”

Ukończył: Galkina Natalya

Uczeń klasy 7

MKOU „Szkoła Średnia Elisenvaara”

Głowa: Wasiljewa Larisa Władimirowna

nauczyciel matematyki w MKOU „Elisenvaarskaya” Szkoła średnia"

2014

Znaczenie badań : Znaki podzielności zawsze interesowały naukowców różnych czasów i narodów. Studiując temat „Znaki podzielności liczb przez 2, 3, 5, 9, 10” na lekcjach matematyki, zainteresowałem się badaniem liczb pod kątem podzielności. Założono, że jeśli można określić podzielność liczb przez te liczby, to muszą istnieć znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych przez inne liczby. W niektórych przypadkach, aby dowiedzieć się, czy jakakolwiek liczba naturalna jest podzielna A do liczby naturalnej B bez reszty nie ma potrzeby dzielenia tych liczb. Wystarczy znać pewne oznaki podzielności. Hipoteza – jeżeli istnieją znaki podzielności liczb naturalnych przez 2, 3, 5, 9 i 10, to istnieją inne znaki, za pomocą których można określić podzielność liczb naturalnych. Cel badania – uzupełnić poznane już w szkole znaki podzielności liczb naturalnych jako całość i usystematyzować te znaki podzielności. Aby osiągnąć ten cel, należy rozwiązać następujące kwestie zadania:

• Samodzielnie badaj podzielność liczb.
• Przestudiuj dodatkową literaturę, aby zapoznać się z innymi oznakami podzielności.
• Łącz i podsumowuj funkcje z różnych źródeł.
• Wyciągnąć wniosek. Przedmiot badań – podzielność liczb naturalnych. Przedmiot badań – oznaki podzielności. Metody badawcze – zbieranie materiału, przetwarzanie danych, porównywanie, analiza, uogólnienie. Nowość : W trakcie projektu poszerzyłem swoją wiedzę o kryteriach podzielności liczb naturalnych.

Z historii matematyki

Blaise Pascal (ur. 1623) – jedna z najsłynniejszych postaci w historii ludzkości. Pascal zmarł w wieku 39 lat, jednak mimo tak krótkiego życia przeszedł do historii jako wybitny matematyk, fizyk, filozof i pisarz. Jego imieniem nazwano jednostkę ciśnienia (paskal) i bardzo popularny dziś język programowania. Blaise Pascal znalazł wspólny mianownik algorytm znajdowania znaków podzielności dowolnej liczby całkowitej przez dowolną inną liczbę całkowitą.

Test Pascala to metoda pozwalająca uzyskać testy na podzielność przez dowolną liczbę. Swego rodzaju „uniwersalny znak podzielności”.

Test podzielności Pascala: Liczbę naturalną a można podzielić przez inną liczbę naturalną b tylko wtedy, gdy suma iloczynów cyfr liczby a przez odpowiednie reszty otrzymane z dzielenia jednostek cyfr przez liczbę b jest podzielna przez tę liczbę.

Na przykład : liczba 2814 jest podzielna przez 7, ponieważ 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 jest podzielna przez 7. (Tutaj 6 to reszta z dzielenia 1000 przez 7, 2 to reszta z dzielenia 100 przez 7 a 3 to reszta z dzielenia 10 przez 7).

Podstawowe koncepcje

Pamiętajmy o kilku pojęciach matematycznych, które będą nam potrzebne podczas studiowania tego tematu:

• Test podzielności to reguła, dzięki której bez dzielenia można stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez inną.

• Rozdzielacz Liczba naturalna A wywołać liczbę naturalną B , do którego A podzielone bez reszty.

• Prosty nazywane są liczbami naturalnymi, które nie mają innych naturalnych odrębnych dzielników poza jednym i samą sobą.

• Złożony to liczby, które mają naturalne dzielniki inne niż 1 i one same.

Znaki podzielności

Wszystkie znaki podzielności liczb naturalnych, które rozważałem w tej pracy, można podzielić na 4 grupy:

I

• I . Podzielność liczb zależy od ostatniej cyfry

Do pierwszej grupy znaków podzielności liczb naturalnych, którą rozważałem, zaliczają się znaki podzielności przez 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125 oraz jednostki cyfrowe 10, 100 itd.

• Test na podzielność przez 2 : Liczba jest podzielna przez 2, gdy ostatnia cyfra tej liczby jest podzielna przez 2 (tzn. ostatnia cyfra jest liczbą parzystą).

Na przykład : 3221786 4 : 2

• Test podzielności przez 4 : Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry są zerami lub gdy dwucyfrowa liczba utworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.

Na przykład: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• Test podzielności przez 5 : Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 5 lub 0.

Na przykład: 3678 0 : 5 lub 12326 5 : 5

• Test podzielności przez 8: Liczba jest podzielna przez 8, gdy liczba trzycyfrowa utworzona z trzech ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 8.

Na przykład: 432 240 : 8

• Test podzielności przez 20: liczba jest podzielna przez 20, gdy liczba jest utworzona przez dwa ostatni liczby podzielne przez 20. (Inne sformułowanie: liczba jest podzielna do 20 kiedy ostatnia cyfra liczby to 0, a przedostatnia cyfra jest parzysta).

Na przykład: 596 40 : 20

• Test podzielności przez 25: Liczby, których dwie ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 25, są podzielne przez 25.

Na przykład: 6679 75 : 25 lub 77689 00 : 25

• Test na podzielność przez 50: Liczba jest podzielna przez 50, gdy liczba utworzona przez jej dwie najniższe cyfry po przecinku jest podzielna przez 50.

Na przykład : 5643 50 : 50 lub 5543 00 : 50

• Test podzielności przez 125: Liczba jest podzielna przez 125, jeśli jej trzy ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 125.

Na przykład: 32157 000 : 125 lub 3216 250 : 125

• Znaki podzielności przez jednostkę cyfrową 10, 100, 1000 itd.: Liczby naturalne, których liczba zer jest większa lub równa liczbie zer jednostki cyfrowej, dzielą się na jednostkę cyfrową.

Na przykład 12 000 dzieli się przez 10, 100 i 1000

II

• II . O podzielności liczb decyduje suma cyfr danej liczby

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się rozważane przeze mnie znaki podzielności przez 3, 9, 11.

• Test podzielności przez 3: Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

• Test podzielności przez 9: Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9.

Na przykład: 653022: 9 ponieważ 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• Test podzielności przez 11: Liczby te są podzielne przez 11, jeśli suma cyfr w miejscach nieparzystych jest równa sumie cyfr w miejscach parzystych lub różni się od niej o wielokrotność 11.

Na przykład: 865948732:11, ponieważ 8+5+4+7+2=26 i 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 ponieważ 8+5+4+7+2=26 i 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Podzielność liczb określa się po wykonaniu pewnych czynności

nad cyframi tego numeru

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się znaki podzielności przez: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

Test podzielności przez 6:

• Znak 1: liczba jest podzielna przez 6, gdy wynik odjęcia dwukrotności liczby setek od liczby po setkach jest podzielny przez 6.

Na przykład: 138: 6, ponieważ 1,2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 ponieważ 44 – 7,2=30, (30:6)

• Znak 2: liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy, gdy poczwórna liczba dziesiątek dodana do liczby jednostek jest podzielna przez 6.

Na przykład: 768:6, ponieważ 76,4+8=312, 31,4+2=126, 12,4+6=54 (54:6)

Podzielność przez 7:

• Znak 1: liczba jest podzielna przez 7, gdy trzykrotna liczba dziesiątek dodanych do liczby jedności dzieli się przez 7.

Na przykład: liczba 154:7, ponieważ 15 3 + 4 = 49 (49:7) dzieli się przez 7

• Znak 2: liczba jest podzielna przez 7, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy trzech cyfr (zaczynających się od jedności), wziętych ze znakiem „+”, a liczb parzystych ze znakiem „-” jest podzielny przez 7.

Na przykład 138689257:7, ponieważ ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

Podzielność przez 11:

• Znak 1: liczba jest podzielna przez 11, gdy moduł różnicy między sumą cyfr zajmujących pozycje nieparzyste a sumą cyfr zajmujących pozycje parzyste jest podzielny przez 11.

Na przykład 9163627:11, ponieważ ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• Znak 2: liczba jest podzielna przez 11, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 11.

Na przykład 103785:11, ponieważ 10+37+85=132 i 01+32=33 (33:11)

Podzielność przez 13:

• Znak 1: liczba jest podzielna przez 13, gdy suma liczby dziesiątek i poczwórnej liczby jedności jest podzielna przez 13

Na przykład 845:13, ponieważ 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• Znak 2: liczba jest podzielna przez 13, gdy różnica między liczbą dziesiątek a dziewięciokrotnością liczby jedności jest podzielna przez 13.

Na przykład 845:13, ponieważ 84-5 9=39 (39:13)

Test na podzielność przez 17: liczba jest podzielna przez 17, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a pięciokrotnością liczby jedności jest podzielny przez 17.

Na przykład 221:17, ponieważ ǀ22-5·1ǀ=17

Znaki podzielności przez 19: liczba jest podzielna przez 19, gdy liczba jest dziesiątkami, gdzie fałszywe z podwoić liczbę jednostek podzielną przez 19.

Na przykład 646:19, ponieważ 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

Testy na podzielność przez 23:

• Znak 1: liczba jest podzielna przez 23, gdy liczba setek dodana do potrójnej liczby utworzonej przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 23.

Na przykład 28842:23, ponieważ 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• Znak 2: liczba jest podzielna przez 23, gdy liczba dziesiątek dodana do siedmiu razy liczby jednostek dzieli się przez 23.

Na przykład 391:23, ponieważ 39+7·1=46 (46:23)

• Znak 3: liczba jest podzielna przez 23, gdy liczbę setek dodaje się do siedmiokrotnej liczby dziesiątek i potrójnej liczby jednostek, podzielna przez 23.

Na przykład 391:23, ponieważ 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Test podzielności przez 27: liczba jest podzielna przez 27, gdy suma liczb tworzących grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 27.

Na przykład 2705427:27, ponieważ 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Test podzielności przez 29: liczba jest podzielna przez 29, gdy liczba dziesiątek dodana do trzykrotnej liczby jedności dzieli się przez 29

Na przykład 261:29, ponieważ 26+3·1=29 (29:29)

Test na podzielność przez 31: liczba jest podzielna przez 31, gdy moduł różnicy liczby dziesiątek i trzykrotność liczby jednostek dzieli się przez 31.

Na przykład 217:31, ponieważ ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Testy na podzielność przez 33: Jeśli suma powstała przez podzielenie liczby od prawej do lewej na grupy po dwie cyfry jest podzielna przez 33, to liczba ta jest podzielna przez 33.

Na przykład 396:33, ponieważ 96+3=99 (99:33)

Testy na podzielność przez 37:

• Znak 1 : liczba jest podzielna przez 37, gdy dzieląc ją na grupy trzycyfrowe (zaczynając od jedności), suma tych grup jest wielokrotnością 37.

Na przykład , numer 100048:37, ponieważ 100+048=148, (148:37)

• Znak 2: liczba jest podzielna przez 37, gdy moduł potrójnej liczby setek, dodany do czterokrotności liczby dziesiątek pomniejszony o liczbę jednostek pomnożoną przez siedem, dzieli się przez 37.

Na przykład liczba 481:37, ponieważ ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 jest podzielne przez 37

Kryteria podzielności przez 41:

• Znak 1: liczba jest podzielna przez 41, gdy moduł różnicy między liczbą dziesiątek a czterokrotnością liczby jedności jest podzielny przez 41.

Na przykład 369:41, ponieważ ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• Znak 2: aby sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 41, należy ją podzielić od prawej do lewej na grupy po 5 cyfr każda. Następnie w każdej grupie pomnóż pierwszą cyfrę po prawej stronie przez 1, pomnóż drugą cyfrę przez 10, trzecią przez 18, czwartą przez 16, piątą przez 37 i dodaj wszystkie powstałe iloczyny. Jeśli wynik jest podzielny przez 41, to sama liczba będzie podzielna przez 41.

Test na podzielność przez 59: Liczba jest podzielna przez 59, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 6 dzieli się przez 59.

Na przykład 767:59, ponieważ 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Test podzielności przez 79: Liczba jest podzielna przez 79, gdy liczba dziesiątek dodana do liczby jedności pomnożona przez 8 dzieli się przez 79.

Na przykład 711:79, ponieważ 71+8·1=79, (79:79)

Test podzielności przez 99: Liczba jest podzielna przez 99, gdy suma liczb tworzących grupy dwucyfrowe (zaczynając od jedności) jest podzielna przez 99.

Na przykład 12573:99, ponieważ 1+25+73=99, (99:99)

Test podzielności przez 101: liczba jest podzielna przez 101, gdy moduł sumy algebraicznej liczb tworzących nieparzyste grupy dwucyfrowe (zaczynające się od jedności), wziętych ze znakiem „+” i liczb parzystych ze znakiem „–”, jest podzielny przez 101.

Na przykład, 590547:101, ponieważ ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Aby określić podzielność liczby, stosuje się inne kryteria podzielności

Do tej grupy znaków podzielności liczb naturalnych zaliczają się znaki podzielności przez: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 itd. To wszystko są liczby złożone. Kryteria podzielności liczb złożonych opierają się na kryteriach podzielności liczb pierwszych, na które można rozłożyć dowolną liczbę złożoną.

Test podzielności przez 6: Liczba jest podzielna przez 6, gdy dzieli się zarówno przez 2, jak i 3, to znaczy, jeśli jest parzysta, a suma jej cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład 768:6, ponieważ 7+6+8=21 (21:3), a ostatnia cyfra liczby 768 jest parzysta.

Test podzielności przez 12 : Liczba jest podzielna przez 12, jeśli jest podzielna jednocześnie przez 3 i 4.

Na przykład 408:12, ponieważ 4+0+8=12 (12:3) i dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4 (08:4)

Test na podzielność przez 14: Liczba jest podzielna przez 14, gdy dzieli się przez 2 i 7.

Na przykład liczba 45612:14, ponieważ jest podzielna zarówno przez 2, jak i 7, co oznacza, że ​​jest podzielna przez 14

Test na podzielność przez 15: Liczba jest podzielna przez 15, gdy dzieli się przez 3 i 5.

Na przykład 1146795:15, ponieważ liczba ta jest podzielna zarówno przez 3, jak i 5

Testy na podzielność przez 27: Liczba jest podzielna przez 27, gdy dzieli się przez 3 i 9. Na przykład 511704:27, ponieważ 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 i 18:9)

Znaki podzielności przez 30: Liczba jest podzielna przez 30, gdy kończy się na 0, a suma wszystkich cyfr jest podzielna przez 3.

Na przykład 510:30, ponieważ 5+1+0=6 (6:3) i w liczbie 510 (ostatnia cyfra 0)

Znaki podzielności przez 60: Aby liczba była podzielna przez 60, konieczne i wystarczające jest, aby była podzielna przez 4, 3 lub 5.

Na przykład 1620:60, ponieważ 1+6+2+0=9 (9:3), liczba 1620 kończy się na 0, tj. jest podzielna przez 5 i 1620: 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry 20:4

Zastosowanie kryteriów podzielności w praktyce

Praca ma zastosowanie praktyczne. Może być używany przez dzieci w wieku szkolnym i dorosłych przy rozwiązywaniu rzeczywistych sytuacji; nauczycieli, zarówno na lekcjach matematyki, jak i na przedmiotach fakultatywnych oraz dodatkowych zajęciach powtórzeniowych.

Opracowanie to będzie przydatne studentom w samodzielnym przygotowaniu się do egzaminów końcowych i wstępnych. Przyda się także uczniom, których celem są wysokie miejsca na olimpiadach miejskich.

Zadanie nr 1 . Czy można, korzystając wyłącznie z cyfr 3 i 4, napisać:

• liczba podzielna przez 10;
• Liczba parzysta;
• liczba będąca wielokrotnością 5;
• liczba nieparzysta

Zadanie nr 3 : Znajdź największą liczbę czterocyfrową, której wszystkie cyfry są różne i która jest podzielna przez 2, 5, 9, 11.

Odpowiedź: 8910

Zadanie nr 4: Olya wymyśliła prostą trzycyfrową liczbę, której wszystkie cyfry są różne. Na jaką cyfrę może się kończyć, jeśli ostatnia cyfra jest równa sumie dwóch pierwszych? Podaj przykłady takich liczb.

Odpowiedź: tylko o 7. Istnieją 4 liczby spełniające warunki zadania: 167, 257, 347, 527

Problem nr 5 : W dwóch klasach jest razem 70 uczniów. W jednej klasie 7/17 uczniów nie pojawiło się na zajęciach, a w drugiej 2/9 uzyskało oceny celujące z matematyki. Ilu uczniów jest w każdej klasie?

Rozwiązanie: W pierwszej z tych klas mogą znajdować się: 17, 34, 51... - liczby będące wielokrotnościami 17. W drugiej klasie: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - liczby będące wielokrotnościami z 9. Musimy wybrać 1 liczbę z pierwszego ciągu, a 2 to liczba z drugiego ciągu, tak aby w sumie było 70. Co więcej, w tych ciągach tylko niewielka liczba wyrazów może wyrazić możliwą liczbę dzieci w ciągu klasa. Ta okoliczność znacznie ogranicza wybór opcji. Jedyną możliwą opcją była para (34, 36).

Problem nr 6 : W klasie IX 1/7 uczniów otrzymała piątki ze sprawdzianu, 1/3 otrzymało oceny czwórki, ½ - trójki. Reszta prac okazała się niezadowalająca. Ile było takich prac?

Rozwiązanie: Rozwiązaniem zadania musi być liczba będąca wielokrotnością liczb: 7, 3, 2. Najpierw znajdźmy najmniejsza z tych liczb. LCM (7, 3, 2) = 42. Możesz utworzyć wyrażenie według warunków zadania: 42 – (42:7 + 42:3 + 42:2) = 1 – 1 nieudane. Zagadnienia relacji matematycznych zakładają, że liczba uczniowie klas 84, 126 itd. Człowiek. Ale ze względów zdrowego rozsądku Wynika z tego, że najbardziej akceptowalną odpowiedzią jest liczba 42.

Odpowiedź: 1 praca.

Wniosek:

W wyniku tej pracy dowiedziałem się, że oprócz znanych mi znaków podzielności przez 2, 3, 5, 9 i 10, istnieją także inne znaki podzielności liczb naturalnych. Zdobyta wiedza znacznie przyspiesza rozwiązanie wielu problemów. I tę wiedzę będę mogła wykorzystać w swoich działaniach edukacyjnych, zarówno na lekcjach matematyki, jak i na zajęciach pozalekcyjnych. Należy również zauważyć, że sformułowania niektórych kryteriów podzielności są złożone. Może dlatego nie uczą się ich w szkole. Spodziewam się w przyszłości kontynuować prace nad badaniem znaków podzielności liczb naturalnych.

• Słownik encyklopedyczny młodego matematyka. Savin A.P. Moskiewska „Pedagogika” 1989.
• Matematyka. Dodatkowe materiały do ​​lekcji matematyki dla klas 5-11. Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A. Moskiewski „Drop” 2002.
• Za stronami podręcznika do matematyki. Vilenkin N.Ya., Depman I.Ya. M.: Edukacja, 1989.
• Zajęcia pozalekcyjne z matematyki w klasach 6-8. Moskwa. „Oświecenie” 1984 V. A. Gusiew, A. I. Orłow, A. L. Rosenthal.
• „1001 pytań i odpowiedzi. Wielka księga wiedzy” Moskwa. „Świat książek” 2004.
• Opcjonalny kurs matematyki. Nikolskaya I.L. - Moskwa. Oświecenie 1991.
• Zadania olimpijskie z matematyki i metody ich rozwiązywania. Farkov A.V. - Moskwa. 2003
• Zasoby internetowe.

Liczby całkowite

Zbiór liczb naturalnych używanych do liczenia lub przenoszenia.

Formalnie zbiór liczb naturalnych można zdefiniować za pomocą systemu aksjomatów Peano.

ZUkład aksjomatów Peano

1. Jednostka - liczba naturalna, która nie następuje po żadnej liczbie.

2. Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje pojedynczy
co następuje natychmiast.

3. Każda liczba naturalna
następuje bezpośrednio po tylko jednej liczbie.

4. Jeśli jakiś zestaw
zawiera i razem z każdą liczbą naturalną zawiera liczbę bezpośrednio po niej następującą
(aksjomat indukcji).

Operacje na zestawie

Mnożenie

Odejmowanie :

Właściwości odejmowania: Jeśli
To

Jeśli
To

Podzielność liczb naturalnych

Dział : podzielony przez
takie, że

Nieruchomościoperacje:

1. Jeśli
Są podzielone na To
podzielony przez

2. Jeśli
I
Są podzielone na To
podzielony przez

3. Jeśli
I są podzielne przez to, co jest podzielne przez

4. Jeśli jest podzielna do tego czasu
podzielony przez

5. Jeśli
są podzielne przez a nie są podzielone na to i tamto
nie podzielne przez

6. Jeśli lub podzielone przez to
podzielony przez

7. Jeśli jest podzielny przez
następnie dzieli się przez i jest dzielone przez

Twierdzenieo dzieleniu z resztą Dla dowolnych liczb naturalnych
są tylko liczby dodatnie
takie, że
I

Dowód. Pozwalać
Rozważ następujący algorytm:

	Jeśli Jeśli to wykonajmy kolejne odejmowanie Kontynuujemy proces odejmowania, aż reszta będzie mniejsza niż liczba Jest liczba takie, że
	Dodajmy wszystkie linie tego algorytmu i uzyskajmy wymagane wyrażenie, gdzie

Wyjątkowość przedstawienia udowodnimy przez sprzeczność.

Załóżmy, że istnieją dwie reprezentacje

I
Odejmij jedno wyrażenie od drugiego i
Ostatnia równość w liczbach całkowitych jest możliwa tylko w przypadku od
Na
□

Wniosek 1. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci:
albo albo

Konsekwencja 2. Jeśli
kolejne liczby naturalne, to jedna z nich jest podzielna przez

Konsekwencja 3. Jeśli
dwie kolejne liczby parzyste, to jedna z nich jest podzielna przez

Definicja. Liczba naturalna nazywa się liczbą pierwszą, jeśli nie ma innych dzielników niż jeden i ona sama.

Konsekwencja4. Każda liczba pierwsza ma postać
Lub

Rzeczywiście, w postaci można przedstawić dowolną liczbę, jednak wszystkie liczby z tej serii z wyjątkiem
są zdecydowanie złożone. □

Konsekwencja5 . Jeśli
liczba pierwsza w takim razie
podzielony przez

Naprawdę,
trzy kolejne liczby naturalne i
nawet i
dziwna liczba pierwsza. Dlatego jedna z liczb parzystych
I
jest podzielna przez 4, a jeden jest również podzielna przez □

Przykład 2 . Następujące stwierdzenia są prawdziwe:

1. Kwadrat liczby nieparzystej dzielonej przez 8 daje resztę

2. Dla żadnej liczby naturalnej n jest liczbą n 2 +1 podzielną przez 3.

3. Używając tylko liczb 2, 3, 7, 8 (najlepiej kilka razy), nie da się podnieść liczby naturalnej do kwadratu.

Dowód1. Dowolną liczbę nieparzystą można przedstawić jako
Lub
Podnieśmy każdą z tych liczb do kwadratu i otrzymajmy wymagane oświadczenie.

Dowód 2. Każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci
Następnie wyrażenie
będzie równa jednemu z wyrażeń
na które nie są podzielone

Dowód3. Rzeczywiście, ostatnia cyfra kwadratu liczby naturalnej nie może kończyć się na żadnej z tych cyfr.

Znaki podzielności

Definicja. Dziesiętna reprezentacja liczby naturalnej to reprezentacja liczby w postaci

Notatka skrótowa

Znaki podzielności na

Zatwierdzone 6 Pozwalać
dziesiętna reprezentacja liczby liczba Następnie:

1. Liczba jest podzielna przez
kiedy numer - nawet;

2. Liczba jest podzielna przez gdy liczba jest dwucyfrowa
podzielony przez

3. Liczba jest podzielna przez Gdy
Lub

4. Liczba jest podzielna przez
Gdy

5. Liczba jest podzielna przez
gdy liczba jest dwucyfrowa
- podzielony przez

6. Liczba jest podzielna przez

7. Liczba jest podzielna przez gdy suma cyfr liczby jest dzielona przez

8. Liczba jest podzielna przez
gdy suma cyfr liczby ze znakami naprzemiennymi jest dzielona przez

Dowód. Dowód znaków 1)-5) można łatwo uzyskać z Notacja dziesiętna liczby Udowodnimy 6) i 7). Naprawdę,

Wynika z tego, że jeśli jest podzielny (lub
wówczas suma cyfr liczby jest również podzielna przez

Udowodnimy 11). Niech będzie podzielna przez. Przedstawmy liczbę w formie

Ponieważ wszystkie dodane sumy są podzielne przez
wówczas kwota jest również dzielona przez □

Przykład 3 . Znajdź wszystkie pięciocyfrowe liczby formularza
, które są podzielne przez 45.

Dowód.
Zatem liczba jest podzielna przez 5, a jej ostatnia cyfra to 0 lub 5, tj.
Lub
Oryginalna liczba jest również podzielna przez 9, więc jest podzielna przez 9, tj.
lub podzielna przez 9, tj.

Odpowiedź:

Test podzielności NA I

Zatwierdzone 7 Niech dziesiętna reprezentacja liczby Liczba Liczba będzie podzielna przez
gdy różnica między liczbą bez trzech ostatnich cyfr a liczbą składającą się z trzech ostatnich cyfr jest dzielona przez

Dowód. Przedstawmy to w postaci Od liczby
podzielone przez i
To
podzielne przez i □

Przykład 4 . Pozwalać
Następnie
jest podzielna przez i dlatego jest liczbą
podzielony przez

Pozwalać
Następnie

podzielna przez To liczba
podzielony przez

liczby pierwsze

Sito Eratostenesa

(Prosty algorytm uzyskiwania wszystkich liczb pierwszych)

Algorytm. Zapisujemy wszystkie liczby od 1 do 100 i najpierw skreślamy wszystkie parzyste. Następnie z pozostałych skreślamy te podzielne przez 3, 5, 7 itd. W rezultacie pozostaną tylko liczby pierwsze.

Twierdzenie Euklidesa. Liczba liczb pierwszych jest nieskończona.

Dowód„przez sprzeczność”. Niech liczba liczb pierwszych będzie skończona -
Rozważ liczbę
Pytanie: numer - proste czy złożone?

Jeśli jest liczbą złożoną, to jest podzielna przez jakąś liczbę pierwszą i dlatego jeden jest dzielony przez tę liczbę pierwszą. Sprzeczność.

Jeśli jest liczbą pierwszą, to jest większa niż jakakolwiek liczba pierwsza
i wypisaliśmy i ponumerowaliśmy wszystkie liczby pierwsze. Znów sprzeczność. □

Zatwierdzone 8 Jeśli liczba jest złożona, to ma taki dzielnik pierwszy, że

Dowód. Jeśli jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby złożonej
To

Konsekwencja. Aby ustalić, czy liczba jest pierwsza, musisz ustalić, czy ma ona czynniki pierwsze

Przykład 5 . Pozwalać
Aby sprawdzić, czy liczba jest
proste, trzeba sprawdzić, czy jest podzielna przez liczby pierwsze. Odpowiedź: liczba
prosty.

Generatory liczb pierwszych

Hipoteza: Wszystkie liczby formularza
prosty.

Na
- to są liczby pierwsze
Dla
Udowodniono ręcznie i przy pomocy komputera, że ​​wszystkie liczby są złożone.

Na przykład (Eulera)

Hipoteza: Wszystkie liczby formularza
prosty.

Na
to prawda, ech
podzielna przez 17.

Hipoteza: Wszystkie liczby formularza
prosty.

Na
to prawda, ech

Hipoteza: Wszystkie liczby postaci są pierwsze. Na
to prawda, ech

Twierdzenie.(Metoda Fermata na czynniki) Nieparzysta liczba całkowita nie jest liczbą pierwszą
istnieją takie liczby naturalne, że
Dowód.

□

Przykład 6 . Rozłóż liczby na czynniki pierwsze

Przykład 7 . Weź pod uwagę liczbę
Liczba ta jest podzielna przez 3
Ponadto, zgodnie z metodą doboru czynników,

Przykład 8 . Przy jakich liczbach całkowitych

prosty?

Zauważ, że od
proste, więc albo
Lub
Odpowiedź:

Zatwierdzony 10 Czy liczba naturalna ma nieparzystą liczbę dzielników, gdy jest idealnym kwadratem?

Dowód. Jeśli
dzielnik
ma wówczas dwie różne pary dzielników
I
i kiedy
obie pary będą równe.

Przykład 9 . Liczby mają dokładnie 99 dzielników. Czy liczba może mieć dokładnie 100 dzielników?

Odpowiedź: nie. Obowiązuje według poprzedniej właściwości i - idealne kwadraty, ale ich praca nie.

Przykład 10 . Liczby
prosty. Znajdować

Rozwiązanie. Dowolną liczbę można przedstawić jako
Jeśli
wtedy otrzymasz trzy liczby pierwsze
spełniające warunki problemu. Jeśli
To
złożony. Jeśli
ten numer
podzielony przez i jeśli
ten numer
jest podzielna przez Zatem we wszystkich rozważanych opcjach nie można uzyskać trzech liczb pierwszych. Odpowiedź:

Definicja. Numer nazywa się największym wspólnym dzielnikiem liczb, a jeśli dzieli i i jest największą z takich liczb.

Przeznaczenie:

Definicja . Liczby i mówi się, że są względnie pierwsze jeśli

Przykład 1 2 . Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych

Rozwiązanie. Pozwalać

Zatem równanie wygląda następująco: Odpowiedź: Nie ma rozwiązań.

Opodstawowe twierdzenie arytmetyki

Twierdzenie. Każda liczba naturalna większa niż jest liczbą pierwszą lub może być zapisana jako iloczyn liczb pierwszych, a iloczyn ten jest unikalny w zależności od kolejności czynników.

Wniosek 1. Pozwalać

Następnie
jest równy iloczynowi wszystkich wspólnych czynników pierwszych o najmniejszych potęgach.

Konsekwencja 2. Pozwalać
Następnie
jest równy iloczynowi wszystkich różnych czynników pierwszych o największych potęgach. podzielony przez

10. Znajdź ostatnia cyfra cyfry 7 2011 + 9 2011.

11. Znajdź wszystkie liczby naturalne, które zwiększają się 9 razy, jeśli między cyfrą jedności a cyfrą dziesiątek wstawi się zero.

12. Do jakiejś dwucyfrowej liczby dodano jedynkę po lewej i prawej stronie. W rezultacie otrzymano liczbę 23 razy większą od oryginału. Znajdź ten numer.

Pytania dotyczące teorii lub ćwiczeń można zadawać Walerijowi Pietrowiczowi Czuwakowowi

rozdz @ uit . ru

dodatkowa literatura

1. Vilenkin N.Ya. i inne.Za kartkami podręcznika do matematyki. Arytmetyka. Algebra. –M.: Edukacja, 2008.

2. Sevryukov P.F. Przygotowanie do rozwiązywania problemów olimpijskich z matematyki. –M.: Ilexa, 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Jak decydują zadania niestandardowe. -M. MCNMO, 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Olimpiady Matematyczne regionu moskiewskiego. –M.: Fizmatkniga, 2006

5. Gorbaczow N.V. Zbiór problemów olimpijskich, –M.:MCNMO, 2004

Wykład

Notatki z wykładów z kursu „Teoria liczb”

Wykład

Kolejne części teorii liczby: teoria podzielność, proste i złożone... Twierdzenie. Niech x>0, xR, dN. Ilość naturalnyliczby, wielokrotność d i nieprzekraczająca x, jest równa... Wykład 12 13 Wykład 13 15 Literatura. 17 AbstrakcyjnyWykłady na kursie „Teorie” liczby" ...

Notatki z wykładów z ulturologii

Abstrakcyjny

Pawluczenkow AbstrakcyjnyWykłady w kulturoznawstwie… nierównomiernie i istniało wewnątrz naturalny farmy. Jest w polis... badaniach nieskończenie małych liczby w dużej mierze zakończyliśmy tworzenie... póki materiał podzielny do nieskończoności. Duchowy...

D A Notatki z wykładów z logiki Shadrin

Abstrakcyjny

Reprezentuje abstrakcyjnyWykłady w dyscyplinie „Logika”. AbstrakcyjnyWykłady skompilowany w... to jest definicja naturalnyliczby. Zatem jeśli 1 - naturalny liczba i n - naturalny liczba, następnie 1 ... wyczerpuj całą objętość podzielny pojęcia, więc...