Dom Zapobieganie Idealny kwadrat z trójmianu kwadratowego. Rozkładanie wielomianów na czynniki

Idealny kwadrat z trójmianu kwadratowego. Rozkładanie wielomianów na czynniki

Podczas tej lekcji przypomnimy sobie wszystkie wcześniej zbadane metody rozkładu wielomianu na czynniki i rozważymy przykłady ich zastosowania, a ponadto przestudiujemy nowa metoda- metoda identyfikacji pełnego kwadratu i nauka jej stosowania w rozwiązywaniu różnych problemów.

Temat:Rozkładanie wielomianów na czynniki

Lekcja:Rozkładanie wielomianów na czynniki. Metoda wyboru całego kwadratu. Połączenie metod

Przypomnijmy podstawowe metody rozkładu wielomianu na czynniki, które badaliśmy wcześniej:

Metoda umieszczania wspólnego czynnika z nawiasów, to znaczy czynnika występującego we wszystkich wyrazach wielomianu. Spójrzmy na przykład:

Przypomnijmy, że jednomian jest iloczynem potęg i liczb. W naszym przykładzie oba terminy mają pewne wspólne, identyczne elementy.

Wyjmijmy więc wspólny czynnik z nawiasów:

;

Przypomnijmy, że mnożąc pobrany współczynnik przez nawias, można sprawdzić poprawność pobranego współczynnika.

Metoda grupowania. Nie zawsze można wyodrębnić wspólny czynnik z wielomianu. W tym przypadku należy podzielić jej członków na grupy w taki sposób, aby w każdej grupie można było wyciągnąć wspólny czynnik i spróbować go rozbić tak, aby po wyjęciu czynników w grupach pojawił się wspólny czynnik w całe wyrażenie i możesz kontynuować rozkład. Spójrzmy na przykład:

Połączmy pierwszy wyraz z czwartym, drugi z piątym, a trzeci z szóstym:

Wyjmijmy wspólne czynniki w grupach:

Wyrażenie ma teraz wspólny czynnik. Wyjmijmy to:

Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. Spójrzmy na przykład:

;

Zapiszmy szczegółowo wyrażenie:

Oczywiście mamy przed sobą wzór na kwadrat różnicy, ponieważ jest to suma kwadratów dwóch wyrażeń i odejmowany jest ich iloczyn podwójny. Skorzystajmy ze wzoru:

Dziś poznamy inną metodę - metodę wybierania całego kwadratu. Opiera się ona na wzorach kwadratu sumy i kwadratu różnicy. Przypomnijmy im:

Wzór na kwadrat sumy (różnicy);

Osobliwością tych wzorów jest to, że zawierają one kwadraty dwóch wyrażeń i ich podwójny iloczyn. Spójrzmy na przykład:

Zapiszmy wyrażenie:

Zatem pierwsze wyrażenie to , a drugie to .

Aby utworzyć wzór na kwadrat sumy lub różnicy, dwukrotność iloczynu wyrażeń nie wystarczy. Należy dodać i odjąć:

Uzupełnijmy kwadrat sumy:

Przekształćmy wynikowe wyrażenie:

Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów, pamiętajmy, że różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest iloczynem i sumą ich różnicy:

Więc, Ta metoda Przede wszystkim należy zidentyfikować wyrażenia a i b, które są kwadratowe, czyli określić, które wyrażenia są kwadratowe w tym przykładzie. Następnie musisz sprawdzić obecność iloczynu podwójnego, a jeśli go nie ma, dodaj go i odejmij, nie zmieni to znaczenia przykładu, ale wielomian można rozłożyć na czynniki za pomocą wzorów na kwadrat suma lub różnica i różnica kwadratów, jeśli to możliwe.

Przejdźmy do rozwiązywania przykładów.

Przykład 1 – rozkład na czynniki:

Znajdźmy wyrażenia, które są kwadratowe:

Zapiszmy, jaki powinien być ich iloczyn podwójny:

Dodajmy i odejmijmy podwójny produkt:

Uzupełnijmy kwadrat sumy i podaj podobne:

Zapiszmy to korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów:

Przykład 2 - rozwiąż równanie:

;

Po lewej stronie równania znajduje się trójmian. Trzeba to rozłożyć na czynniki. Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratową:

Mamy kwadrat pierwszego wyrażenia i iloczyn podwójny, brakuje kwadratu drugiego wyrażenia, dodajmy i odejmijmy:

Złóżmy cały kwadrat i podajmy podobne terminy:

Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów:

Mamy więc równanie

Wiemy, że iloczyn jest równy zero tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Na tej podstawie utworzymy następujące równania:

Rozwiążmy pierwsze równanie:

Rozwiążmy drugie równanie:

Odpowiedź: lub

;

Postępujemy analogicznie do poprzedniego przykładu – wybieramy kwadrat różnicy.

dzwonił x

1.2.3. Używanie skróconych tożsamości mnożenia

Przykład. Współczynnik x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Rozkładanie wielomianu na czynniki na podstawie jego pierwiastków

Twierdzenie. Niech wielomian P x ma pierwiastek x 1 . Następnie wielomian ten można rozłożyć na czynniki w następujący sposób: P x x x 1 S x , gdzie S x jest wielomianem, którego stopień jest o jeden mniejszy

wartości na przemian w wyrażeniu na P x. Otrzymujemy to, gdy x 2-

wyrażenie zmieni się na 0, to znaczy P 2 0, co oznacza, że ​​x 2 jest pierwiastkiem wielo-

członek. Podziel wielomian P x przez x 2 .

X 3 3x 2 10x 24

32x2

24 10x

x2 x12

12x2412x24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Wybór całego kwadratu

Metoda wyboru pełnego kwadratu opiera się na zastosowaniu wzorów: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Wyodrębnianie pełnego kwadratu jest transformacją tożsamości, w której dany trójmian jest reprezentowany jako a b 2 suma lub różnica kwadratu dwumianu i jakiegoś wyrażenia numerycznego lub alfabetycznego.

Trójmian kwadratowy w odniesieniu do zmiennej daje wyraz postaci

ax 2 bx c , gdzie a , b i c to liczby, a a 0 .

Przekształćmy kwadratową oś trójmianu 2 bx c w następujący sposób.

x2:

współczynnik

Następnie reprezentujemy wyrażenie b x jako 2b x (dwukrotność iloczynu

x): a x

Do wyrażenia w nawiasie dodajemy i odejmujemy od niego liczbę

który jest kwadratem liczby

W rezultacie otrzymujemy:

Zauważam to teraz

Dostajemy

4a 2

Przykład. Wybierz cały kwadrat.

2x12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2x2 2x1 15

2x12 7.

4 za 2,

1.4. Wielomiany w kilku zmiennych

Wielomiany w kilku zmiennych, podobnie jak wielomiany w jednej zmiennej, można dodawać, mnożyć i podnosić do potęgi naturalnej.

Ważną transformacją tożsamości wielomianu w kilku zmiennych jest faktoryzacja. Tutaj stosowane są takie metody faktoryzacji, jak umieszczenie wspólnego czynnika w nawiasach, grupowanie, użycie skróconych tożsamości mnożenia, wyodrębnienie pełnego kwadratu i wprowadzenie zmiennych pomocniczych.

1. Rozłóż na czynniki wielomian P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Współczynnik P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Zastosujmy metodę grupowania

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Współczynnik P x ,y x 4 4y 4 . Wybierzmy cały kwadrat:

x 4 lata 4x 44 x 2 lata 24 lata 24 x 2 lata 2x 22 lata 2 2 4 x 2 lata 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1,5. Właściwości stopnia z dowolnym wykładnikiem wymiernym

Stopień z dowolnym wymiernym wykładnikiem ma następujące właściwości:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

za r 1a r 2a r 1r 2,

3. za r 1r 2 za r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

gdzie a 0;b 0;r 1;r 2 są dowolnymi liczbami wymiernymi.

1. Pomnóż 8

x 3 12 x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Rozłóż na czynniki

2x 3

1.6. Ćwiczenia do samodzielnego wykonania

1. Wykonuj czynności, korzystając ze skróconych wzorów mnożenia. 1) 52;

2) 3 do 72;

3) nb n2 .

4) 1x3 ;

3 lata 3;

7) 8 za 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Oblicz za pomocą skróconych tożsamości mnożenia:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Udowodnij tożsamość:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) za 2b 2 2 2 ab 2 za 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Rozłóż na czynniki następujące wielomiany:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 topór 38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 za 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 osi 3 45 osi 2 45 osi 15 a ;

15) 9 za 3 n 1 4,5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27 t 6 .

5. Oblicz najprościej:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Znajdź iloraz i resztę wielomianu P x wielomianemQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Qxx3 2x2x; 3) P x x 6 1; Qxx4 4x2 .

7. Udowodnić, że wielomian x 2 2x 2 nie ma pierwiastków rzeczywistych.

8. Znajdź pierwiastki wielomianu:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3 x 2 5 x 15.

9. Czynnik:

1) 6 za 2 za 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6 x 2 11 x 6.

10. Rozwiązuj równania, wyodrębniając cały kwadrat:

1) x 2 2 x 3 0;

2) x 2 13 x 30 0 .

11. Znajdź znaczenie wyrażeń:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Oblicz:

16 0,25

16 0,25

Jak już zauważyłem, w rachunku całkowym nie ma wygodnego wzoru na całkowanie ułamka. Dlatego panuje smutna tendencja: im bardziej wyrafinowany ułamek, tym trudniej znaleźć jego całkę. W związku z tym trzeba uciekać się do różnych sztuczek, o których teraz opowiem. Przygotowani czytelnicy mogą od razu skorzystać spis treści:

  • Metoda subsumowania znaku różniczkowego dla ułamków prostych

Metoda konwersji sztucznego licznika

Przykład 1

Swoją drogą rozważaną całkę można też rozwiązać zmieniając metodę zmiennej, oznaczając , ale pisanie rozwiązania będzie znacznie dłuższe.

Przykład 2

Znajdować Całka nieoznaczona. Wykonaj kontrolę.

To jest przykład dla niezależna decyzja. Należy zauważyć, że metoda zastępowania zmiennych nie będzie już tutaj działać.

Uwaga, ważne! Przykłady nr 1, 2 są typowe i występują często. W szczególności takie całki często powstają podczas rozwiązywania innych całek, w szczególności podczas całkowania funkcji niewymiernych (pierwiastków).

Rozważana technika sprawdza się również w tym przypadku jeżeli najwyższy stopień licznika jest większy od najwyższego stopnia mianownika.

Przykład 3

Znajdź całkę nieoznaczoną. Wykonaj kontrolę.

Zaczynamy wybierać licznik.

Algorytm wyboru licznika jest mniej więcej taki:

1) W liczniku muszę uporządkować , ale tam . Co robić? Umieszczam to w nawiasach i mnożę przez: .

2) Teraz próbuję otworzyć te nawiasy, co się dzieje? . Hmm... tak jest lepiej, ale początkowo w liczniku nie ma dwójki. Co robić? Musisz pomnożyć przez:

3) Ponownie otwieram nawiasy: . I oto pierwszy sukces! Okazało się, że jest w sam raz! Problem w tym, że pojawił się dodatkowy termin. Co robić? Aby zapobiec zmianie wyrażenia, muszę dodać to samo do mojej konstrukcji:
. Życie stało się łatwiejsze. Czy można ponownie zorganizować w liczniku?

4) Jest to możliwe. Spróbujmy: . Otwórz nawiasy drugiego wyrazu:
. Przepraszam, ale w poprzednim kroku właściwie miałem , a nie . Co robić? Drugi wyraz należy pomnożyć przez:

5) Ponownie, dla sprawdzenia, otwieram nawiasy w drugim wyrazie:
. Teraz jest to normalne: wynika z ostatecznej konstrukcji punktu 3! Ale znowu jest małe „ale”, pojawiło się dodatkowe określenie, co oznacza, że ​​​​muszę dodać do swojego wyrażenia:

Jeśli wszystko zostanie zrobione poprawnie, to po otwarciu wszystkich nawiasów powinniśmy otrzymać pierwotny licznik całki. Sprawdzamy:
Kaptur.

Zatem:

Gotowy. W ostatnim semestrze zastosowałem metodę podciągania funkcji pod różniczkę.

Jeśli znajdziemy pochodną odpowiedzi i sprowadzimy wyrażenie do wspólnego mianownika, otrzymamy dokładnie pierwotną funkcję całkową. Rozważana metoda rozkładu na sumę jest niczym innym jak działaniem odwrotnym polegającym na sprowadzeniu wyrażenia do wspólnego mianownika.

Algorytm wyboru licznika w takich przykładach najlepiej wykonać w formie roboczej. Przy pewnych umiejętnościach będzie to działać mentalnie. Pamiętam rekordowy przypadek, gdy przeprowadzałem selekcję do potęgi 11, a rozwinięcie licznika zajmowało prawie dwie linijki Verda.

Przykład 4

Znajdź całkę nieoznaczoną. Wykonaj kontrolę.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Metoda subsumowania znaku różniczkowego dla ułamków prostych

Przejdźmy do rozważenia kolejnego rodzaju ułamków.
, , , (współczynniki i nie są równe zero).

Tak naprawdę, kilka przypadków z arcusinusem i arcus tangensem zostało już wspomnianych na lekcji Metoda zmiany zmiennej w całce nieoznaczonej. Takie przykłady rozwiązuje się, podciągając funkcję pod znak różniczkowy i dalej całkując za pomocą tabeli. Oto kolejny typowe przykłady z długim i wysokim logarytmem:

Przykład 5

Przykład 6

Tutaj wskazane jest, aby wybrać tabelę całek i zobaczyć, jakie formuły i Jak transformacja ma miejsce. Notatka, jak i dlaczego W tych przykładach kwadraty są podświetlone. W szczególności w przykładzie 6 musimy najpierw przedstawić mianownik w formie , a następnie umieść go pod znakiem różniczkowym. A wszystko to należy zrobić, aby zastosować standardową formułę tabelaryczną .

Po co szukać, spróbuj samodzielnie rozwiązać przykłady nr 7, 8, zwłaszcza że są one dość krótkie:

Przykład 7

Przykład 8

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Jeśli i Tobie uda się sprawdzić te przykłady, to wielki szacunek – Twoje umiejętności różnicowania są doskonałe.

Metoda selekcji pełnokwadratowej

Całki postaci (współczynniki i nie są równe zero) są rozwiązywane metoda pełnej ekstrakcji kwadratowej, który pojawił się już na lekcji Przekształcenia geometryczne grafów.

W rzeczywistości takie całki sprowadzają się do jednej z czterech całek tabelarycznych, które właśnie sprawdziliśmy. Osiąga się to za pomocą znanych skróconych wzorów mnożenia:

Formuły stosuje się właśnie w tym kierunku, to znaczy ideą tej metody jest sztuczne organizowanie wyrażeń w mianowniku, a następnie odpowiednio je konwertowane.

Przykład 9

Znajdź całkę nieoznaczoną

Ten najprostszy przykład, w którym z terminem – współczynnik jednostkowy(a nie jakąś liczbę czy minus).

Spójrzmy na mianownik, tutaj cała sprawa wyraźnie sprowadza się do przypadku. Zacznijmy od konwersji mianownika:

Oczywiście musisz dodać 4. Aby wyrażenie się nie zmieniło, odejmij te same cztery:

Teraz możesz zastosować formułę:

Po zakończeniu konwersji ZAWSZE wskazane jest wykonanie skok odwrotny: , wszystko w porządku, nie ma żadnych błędów.

Ostateczny projekt danego przykładu powinien wyglądać mniej więcej tak:

Gotowy. Podsumowując „darmówkę” złożona funkcja pod znakiem różniczkowym: w zasadzie można pominąć

Przykład 10

Znajdź całkę nieoznaczoną:

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, odpowiedź znajduje się na końcu lekcji

Przykład 11

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Co zrobić, gdy z przodu jest minus? W takim przypadku musimy usunąć minus z nawiasów i ułożyć terminy w potrzebnej kolejności: . Stały(„dwa” w w tym przypadku) nie dotykaj!

Teraz dodajemy jeden w nawiasach. Analizując wyrażenie dochodzimy do wniosku, że musimy dodać jedno poza nawiasami:

Tutaj otrzymujemy formułę, zastosuj:

ZAWSZE Sprawdzamy projekt:
, co należało sprawdzić.

Czysty przykład wygląda mniej więcej tak:

Utrudnianie zadania

Przykład 12

Znajdź całkę nieoznaczoną:

Tutaj termin nie jest już współczynnikiem jednostkowym, ale „piątką”.

(1) Jeśli istnieje stała at, natychmiast usuwamy ją z nawiasów.

(2) Ogólnie rzecz biorąc, zawsze lepiej jest przenieść tę stałą poza całkę, aby nie przeszkadzała.

(3) Oczywiście wszystko sprowadzi się do wzoru. Musimy zrozumieć ten termin, a mianowicie uzyskać „dwa”

(4) Tak, . Oznacza to, że dodajemy do wyrażenia i odejmujemy ten sam ułamek.

(5) Teraz wybierz cały kwadrat. W przypadek ogólny musimy również obliczyć , ale tutaj mamy wzór na logarytm długi i nie ma sensu wykonywać tej akcji; dlaczego stanie się jasne poniżej.

(6) Właściwie możemy zastosować wzór , tylko zamiast „X” mamy , co nie neguje ważności całki tabelarycznej. Ściśle mówiąc, pominięto jeden krok - przed całkowaniem funkcję należało uwzględnić pod znakiem różniczkowym: , ale jak wielokrotnie podkreślałem, jest to często zaniedbywane.

(7) W odpowiedzi pod rdzeniem wskazane jest rozwinięcie wszystkich nawiasów z powrotem:

Trudny? To nie jest najtrudniejsza część rachunku całkowego. Chociaż rozważane przykłady nie są tak skomplikowane, jak wymagają dobrych technik obliczeniowych.

Przykład 13

Znajdź całkę nieoznaczoną:

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Odpowiedź znajduje się na końcu lekcji.

Istnieją całki z pierwiastkami w mianowniku, które za pomocą podstawienia sprowadza się do całek rozważanego typu, o których można przeczytać w artykule Całki złożone, ale jest przeznaczony dla bardzo przygotowanych studentów.

Podsumowanie licznika pod znak różniczkowy

To już ostatnia część lekcji, jednak całki tego typu są dość powszechne! Jeśli jesteś zmęczony, może lepiej będzie przeczytać jutro? ;)

Całki, które rozważymy, są podobne do całek z poprzedniego akapitu, mają postać: lub (współczynniki , i nie są równe zeru).

To znaczy w liczniku, który mamy funkcja liniowa. Jak rozwiązać takie całki?

Kalkulator internetowy.
Izolowanie kwadratu dwumianu i rozkładanie na czynniki kwadratowego trójmianu.

Ten program matematyczny odróżnia dwumian kwadratowy od trójmianu kwadratowego, tj. wykonuje transformację typu:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) i rozkłada na czynniki trójmian kwadratowy: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Te. problemy sprowadzają się do znalezienia liczb \(p, q\) i \(n, m\)

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich szkoły średnie w przygotowaniach do testy oraz egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? Praca domowa na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania trójmianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itp.

Liczby można wprowadzać jako liczby całkowite lub ułamkowe.
Co więcej, liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych frakcja można oddzielić od całości kropką lub przecinkiem.
Możesz na przykład wejść dziesiętne w ten sposób: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Cała część oddzielone od ułamka ampersandem: &
Wejście: 3 i 1/3 - 5 i 6/5x +1/7x^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz używać nawiasów. W tym przypadku przy rozwiązywaniu wprowadzone wyrażenie jest najpierw upraszczane.
Na przykład: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Przykład szczegółowego rozwiązania

Izolowanie kwadratu dwumianu.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\lewo(x+\frac(1)(2) \prawo)^2-\frac(9)(2) $$ Odpowiedź:$$2x^2+2x-4 = 2\lewo(x+\frac(1)(2) \prawo)^2-\frac(9)(2) $$ Faktoryzacja.$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\lewo(x^2+x-2 \prawo) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Odpowiedź:$$2x^2+2x-4 = 2 \lewo(x -1 \prawo) \lewo(x +2 \prawo) $$

Decydować

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musisz włączyć JavaScript.
Poniżej znajdują się instrukcje dotyczące włączania JavaScript w Twojej przeglądarce.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...


Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.



Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Izolowanie kwadratu dwumianu od kwadratowego trójmianu

Jeśli kwadratową oś trójmianu 2 +bx+c przedstawimy jako a(x+p) 2 +q, gdzie p i q są liczbami rzeczywistymi, to mówimy, że z kwadratowy trójmian, kwadrat dwumianu jest podświetlony.

Z trójmianu 2x 2 +12x+14 wyodrębniamy kwadrat dwumianu.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Aby to zrobić, wyobraź sobie 6x jako iloczyn 2*3*x, a następnie dodaj i odejmij 3 2. Otrzymujemy:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

To. My wyodrębnij dwumian kwadratowy z trójmianu kwadratowego i pokazał, że:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego

Jeżeli kwadratową oś trójmianu 2 +bx+c przedstawimy w postaci a(x+n)(x+m), gdzie n i m są liczbami rzeczywistymi, to mówimy, że operacja została wykonana faktoryzacja trójmianu kwadratowego.

Pokażmy na przykładzie, jak odbywa się ta transformacja.

Rozłóżmy na czynniki trójmian kwadratowy 2x2 +4x-6.

Weźmy współczynnik a z nawiasów, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Przekształćmy wyrażenie w nawiasach.
Aby to zrobić, wyobraź sobie 2x jako różnicę 3x-1x i -3 jako -1*3. Otrzymujemy:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

To. My rozłożył na czynniki trójmian kwadratowy i pokazał, że:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Należy zauważyć, że rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego jest możliwy tylko wtedy, gdy: równanie kwadratowe, odpowiadający temu trójmianowi ma pierwiastki.
Te. w naszym przypadku możliwe jest rozłożenie na czynniki trójmianu 2x 2 +4x-6, jeśli równanie kwadratowe 2x 2 +4x-6 =0 ma pierwiastki. W procesie faktoryzacji ustaliliśmy, że równanie 2x 2 + 4x-6 = 0 ma dwa pierwiastki 1 i -3, ponieważ przy tych wartościach równanie 2(x-1)(x+3)=0 zamienia się w prawdziwą równość.

Książki (podręczniki) Streszczenia Jednolitego Egzaminu Państwowego i Jednolitego Państwowego Egzaminu Testy online Gry, łamigłówki Rysowanie wykresów funkcji Słownik pisowni języka rosyjskiego Słownik slangu młodzieżowego Katalog szkół rosyjskich Katalog średnich instytucji edukacyjnych Rosji Katalog rosyjskich uniwersytetów Lista zadań

Definicja

Wyrażenia postaci 2 x 2 + 3 x + 5 nazywane są trójmianami kwadratowymi. Ogólnie rzecz biorąc, trójmian kwadratowy jest wyrażeniem postaci a x 2 + b x + c, gdzie a, b, c a, b, c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.

Rozważmy trójmian kwadratowy x 2 - 4 x + 5. Zapiszmy to w następującej formie: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Dodajmy 2 2 do tego wyrażenia i odejmijmy 2 2, otrzymamy: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Zauważ, że x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, więc x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformacja, której dokonaliśmy, nazywa się „izolowanie doskonałego kwadratu od trójmianu kwadratowego”.

Znajdź idealny kwadrat z trójmianu kwadratowego 9 x 2 + 3 x + 1.

Zauważ, że 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Następnie `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Do otrzymanego wyrażenia dodaj i odejmij `(1/2)^2` i otrzymaj

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Pokażemy, jak metoda wyodrębniania kwadratu doskonałego z trójmianu kwadratowego jest wykorzystywana do rozkładu na czynniki trójmianu kwadratowego.

Uwzględnij trójmian kwadratowy 4 x 2 - 12 x + 5.

Wybieramy idealny kwadrat z trójmianu kwadratowego: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Teraz stosujemy wzór a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , otrzymujemy: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).

Uwzględnij trójmian kwadratowy - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Teraz zauważamy, że 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Do wyrażenia 9 x 2 - 12 x dodajemy wyraz 2 2 i otrzymujemy:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Stosujemy wzór na różnicę kwadratów i mamy:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Rozłóż na czynniki trójmian kwadratowy 3 x 2 - 14 x - 5 .

Nie możemy przedstawić wyrażenia 3 x 2 jako kwadratu jakiegoś wyrażenia, ponieważ nie uczyliśmy się tego jeszcze w szkole. Przejdziesz przez to później, a w Zadaniu nr 4 będziemy się uczyć pierwiastki kwadratowe. Pokażmy, jak można rozłożyć na czynniki dany trójmian kwadratowy:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Pokażemy Ci, jak zastosować metodę idealnych kwadratów, aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość trójmianu kwadratowego.
Rozważmy trójmian kwadratowy x 2 - x + 3. Wybierz cały kwadrat:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Zauważ, że gdy `x=1/2` wartość trójmianu kwadratowego wynosi `11/4`, a gdy `x!=1/2` do wartości `11/4` dodaje się liczbę dodatnią, więc uzyskaj liczbę większą niż „11/4”. Zatem, najmniejsza wartość trójmian kwadratowy wynosi „11/4” i jest uzyskiwany, gdy „x=1/2”.

Znajdź największą wartość trójmianu kwadratowego - 16 2 + 8 x + 6.

Wybieramy idealny kwadrat z trójmianu kwadratowego: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Gdy `x=1/4` wartość trójmianu kwadratowego wynosi 7, a gdy `x!=1/4` od liczby 7 odejmowana jest liczba dodatnia, czyli otrzymujemy liczbę mniejszą niż 7. Zatem liczba 7 jest najwyższa wartość trójmian kwadratowy i otrzymuje się go, gdy `x=1/4`.

Rozłóż licznik i mianownik ułamka `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` i skróć ułamek.

Zauważ, że mianownik ułamka x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Rozłóżmy licznik ułamka na czynniki, stosując metodę izolowania pełnego kwadratu od trójmianu kwadratowego. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Ułamek ten został zredukowany do postaci `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` po redukcji przez (x - 3) otrzymujemy `(x+5)/(x-3 )`.

Rozłóż wielomian na czynniki x 4 - 13 x 2 + 36.

Zastosujmy metodę izolowania pełnego kwadratu do tego wielomianu. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



Nowość na stronie

>

Najbardziej popularny

© 2023. Portal konsultacji stomatologicznych.

POPULARNE SEKCJE