Wszystko jest w odpowiedniej piramidzie. Piramida i jej elementy

Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zapoznać się z motywem Piramidy. Poprawna piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję. Zastanówmy się, czym jest zwykła piramida i jakie ma właściwości. Następnie udowodnimy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy.

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy i podamy jej definicję.

Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, która leży w płaszczyźnie α, oraz punkt P, która nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropki P ze szczytami Za 1, Za 2, Za 3, … Jakiś. Dostajemy N trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.

Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ...A n, złożony z N-kwadrat A 1 A 2...Jakiś I N trójkąty RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 nazywa się N-piramida węglowa. Ryż. 1.

Ryż. 1

Rozważmy czworokątną piramidę PABCD(ryc. 2).

R- szczyt piramidy.

ABCD- podstawa piramidy.

RA- boczne żebro.

AB- żebro podstawy.

Od punktu R opuśćmy prostopadłą RN do płaszczyzny bazowej ABCD. Wykreślona prostopadłość to wysokość piramidy.

Ryż. 2

Pełna powierzchnia piramidy składa się z powierzchni bocznej, czyli pola wszystkich ścian bocznych oraz pola podstawy:

S pełny = S strona + S główny

Piramidę nazywamy prawidłową, jeśli:

• jego podstawą jest wielokąt foremny;
• odcinek łączący wierzchołek piramidy ze środkiem podstawy to jej wysokość.

Wyjaśnienie na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej

Rozważmy regularną czworokątną piramidę PABCD(ryc. 3).

R- szczyt piramidy. Podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO jest wysokością piramidy.

Ryż. 3

Wyjaśnienie: w poprawnym N W trójkącie środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. Środek ten nazywany jest środkiem wielokąta. Czasami mówią, że wierzchołek jest rzutowany na środek.

Nazywa się wysokość bocznej ściany regularnej piramidy narysowanej od jej wierzchołka apotem i jest wyznaczony h.

1. wszystkie boczne krawędzie regularnej piramidy są równe;

2. Ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.

Dowód tych właściwości przedstawimy na przykładzie regularnej piramidy czworokątnej.

Dany: PABCD- regularna czworokątna piramida,

ABCD- kwadrat,

RO- wysokość piramidy.

Udowodnić:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Patrz rys. 4.

Ryż. 4

Dowód.

RO- wysokość piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni JSC, VO, SO I DO leżąc w nim. Zatem trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.

Rozważmy kwadrat ABCD. Z własności kwadratu wynika, że AO = VO = CO = DO.

Następnie trójkąty prostokątne ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- generał i nogi JSC, VO, SO I DO są równe, co oznacza, że ​​te trójkąty są równe z dwóch stron. Z równości trójkątów wynika równość odcinków, RA = PB = RS = PD. Punkt 1 został udowodniony.

Segmenty AB I Słoneczny są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = PB = RS. Zatem trójkąty AVR I VSR - równoramienne i równe z trzech stron.

W podobny sposób znajdujemy trójkąty ABP, VCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, jak wymaga tego udowodnienie w paragrafie 2.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothemu:

Aby to udowodnić, wybierzmy regularną piramidę trójkątną.

Dany: RAVY- regularna trójkątna piramida.

AB = BC = AC.

RO- wysokość.

Udowodnić: . Zobacz ryc. 5.

Ryż. 5

Dowód.

RAVY- regularna trójkątna piramida. To jest AB= AC = BC. Pozwalać O- środek trójkąta ABC, Następnie RO jest wysokością piramidy. U podstawy piramidy leży trójkąt równoboczny ABC. Zauważ to .

Trójkąty RAV, RVS, RPA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RPA. Oznacza to, że pole powierzchni bocznej piramidy wynosi:

Strona S = 3S RAW

Twierdzenie zostało udowodnione.

Promień okręgu wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy wynosi 4 m. Oblicz pole powierzchni bocznej piramidy.

Dany: regularna czworokątna piramida ABCD,

ABCD- kwadrat,

R= 3 m,

RO- wysokość piramidy,

RO= 4 m.

Znajdować: Strona S. Zobacz ryc. 6.

Ryż. 6

Rozwiązanie.

Zgodnie ze sprawdzonym twierdzeniem, .

Najpierw znajdźmy bok podstawy AB. Wiemy, że promień okręgu wpisanego w podstawę czworokątnej piramidy foremnej wynosi 3 m.

Następnie m.in.

Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:

Rozważmy trójkąt BCD. Pozwalać M- środek boku DC. Ponieważ O- środek BD, To (M).

Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To jest, RM- mediana, a co za tym idzie wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- apotem piramidy.

RO- wysokość piramidy. Potem prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a zatem bezpośredni OM, leżąc w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.

Teraz możemy znaleźć powierzchnię boczną piramidy:

Odpowiedź: 60 m2.

Promień okręgu opisanego wokół podstawy regularnej trójkątnej piramidy jest równy m. Pole powierzchni bocznej wynosi 18 m2. Znajdź długość apothemu.

Dany: ABCP- regularna trójkątna piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

Strona S = 18 m2.

Znajdować: . Zobacz ryc. 7.

Ryż. 7

Rozwiązanie.

W trójkącie prostokątnym ABC Podany jest promień okręgu opisanego. Znajdźmy stronę AB ten trójkąt, korzystając z twierdzenia sinusów.

Znając bok regularnego trójkąta (m), znajdujemy jego obwód.

Według twierdzenia o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie h- apotem piramidy. Następnie:

Odpowiedź: 4 m.

Przyjrzeliśmy się więc, czym jest piramida, czym jest regularna piramida i udowodniliśmy twierdzenie o powierzchni bocznej regularnej piramidy. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.

Referencje

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów instytucje edukacyjne(poziom podstawowy i profilowy) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wyd. 5, wyd. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.
2. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik do kształcenia ogólnego instytucje edukacyjne/ Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego z pogłębioną i specjalistyczną nauką matematyki /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.

1. Portal internetowy „Yaklass” ()
2. Portal internetowy „Święto idei pedagogicznych „Pierwszy września” ()
3. Portal internetowy „Slideshare.net” ()

Praca domowa

1. Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
2. Udowodnić, że rozłączne krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
3. Znajdź wartość kąta dwuściennego po stronie podstawy regularnej czworokątnej piramidy, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
4. RAVY- regularna trójkątna piramida. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego u podstawy piramidy.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz żądanie na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Zebrane przez nas dane osobowe pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne badania w celu ulepszania świadczonych przez nas usług i przekazywania Państwu rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów związanych ze zdrowiem publicznym. ważne sprawy.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Tutaj znajdziesz podstawowe informacje o piramidach oraz związanych z nimi wzorach i pojęciach. Wszyscy uczą się pod okiem nauczyciela matematyki w ramach przygotowań do jednolitego egzaminu państwowego.

Rozważmy płaszczyznę, wielokąt , leżący w nim i punkt S, nie leżący w nim. Połączmy S ze wszystkimi wierzchołkami wielokąta. Powstały wielościan nazywa się piramidą. Segmenty nazywane są żebrami bocznymi. Wielokąt nazywany jest podstawą, a punkt S jest wierzchołkiem piramidy. W zależności od liczby n piramidę nazywamy trójkątną (n=3), czworokątną (n=4), pięciokątną (n=5) i tak dalej. Alternatywna nazwa piramidy trójkątnej to tetraedr. Wysokość piramidy to prostopadła schodząca z jej wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Piramidę nazywamy regularną jeśli wielokąt foremny, a podstawa wysokości piramidy (podstawa prostopadłej) jest jej środkiem.

Komentarz nauczyciela:
Nie należy mylić pojęć „regularnej piramidy” i „regularnego czworościanu”. W regularnej piramidzie krawędzie boczne niekoniecznie są równe krawędziom podstawy, ale w regularnym czworościanie wszystkie 6 krawędzi są równe. To jest jego definicja. Łatwo udowodnić, że z równości wynika zbieżność środka P wielokąta o wysokości podstawy, więc czworościan foremny jest piramidą regularną.

Co to jest apotem?
Apothem piramidy to wysokość jej ściany bocznej. Jeśli piramida jest regularna, wówczas wszystkie jej apotemy są równe. Odwrotność nie jest prawdą.

Korepetytor matematyki o swojej terminologii: 80% pracy z piramidami opiera się na dwóch rodzajach trójkątów:
1) Zawierający apotem SK i wysokość SP
2) Zawierający krawędź boczną SA i jej występ PA

Aby uprościć odniesienia do tych trójkątów, wygodniej jest nauczycielowi matematyki wywołać pierwszy z nich apotemiczny i drugi żebrowy. Niestety tej terminologii nie znajdziesz w żadnym podręczniku, a nauczyciel musi ją wprowadzić jednostronnie.

Wzór na objętość piramidy:
1) , gdzie jest polem podstawy piramidy i jest wysokością piramidy
2) , gdzie jest promieniem wpisanej kuli i jest polem całkowitej powierzchni piramidy.
3) , gdzie MN jest odległością między dowolnymi dwoma przecinającymi się krawędziami i jest obszarem równoległoboku utworzonego przez środki czterech pozostałych krawędzi.

Własność podstawy wysokości piramidy:

Punkt P (patrz rysunek) pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:
1) Wszystkie apotemy są równe
2) Wszystkie ściany boczne są jednakowo nachylone w stosunku do podstawy
3) Wszystkie apothemy są jednakowo nachylone do wysokości piramidy
4) Wysokość piramidy jest jednakowo nachylona do wszystkich ścian bocznych

Komentarz nauczyciela matematyki: Należy pamiętać, że wszystkie punkty łączy jedna wspólna właściwość: tak czy inaczej, ściany boczne są wszędzie zaangażowane (apothemy są ich elementami). Dlatego nauczyciel może zaoferować mniej dokładne, ale wygodniejsze do nauki sformułowanie: punkt P pokrywa się ze środkiem wpisanego koła, podstawą piramidy, jeśli istnieją równe informacje o jej bocznych ścianach. Aby to udowodnić, wystarczy pokazać, że wszystkie trójkąty apotemów są równe.

Punkt P pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego w pobliżu podstawy piramidy, jeśli spełniony jest jeden z trzech warunków:
1) Wszystkie krawędzie boczne są równe
2) Wszystkie żebra boczne są jednakowo nachylone w stosunku do podstawy
3) Wszystkie żebra boczne są jednakowo nachylone do wysokości

Piramida to wielościan z wielokątem u podstawy. Z kolei wszystkie ściany tworzą trójkąty zbiegające się w jednym wierzchołku. Piramidy są trójkątne, czworokątne i tak dalej. Aby określić, która piramida znajduje się przed tobą, wystarczy policzyć liczbę kątów u jej podstawy. Definicja „wysokości piramidy” bardzo często pojawia się w zagadnieniach geometrii program szkolny. W tym artykule postaramy się rozważyć różne sposoby jej lokalizacja.

Części piramidy

Każda piramida składa się z następujących elementów:

• ściany boczne, które mają trzy narożniki i zbiegają się na wierzchołku;
• apotem reprezentuje wysokość schodzącą z jego wierzchołka;
• wierzchołek piramidy to punkt łączący żebra boczne, ale nie leżący w płaszczyźnie podstawy;
• podstawą jest wielokąt, na którym wierzchołek nie leży;
• wysokość piramidy to odcinek przecinający wierzchołek piramidy i tworzący z jej podstawą kąt prosty.

Jak znaleźć wysokość piramidy, jeśli znana jest jej objętość

Ze wzoru V = (S*h)/3 (we wzorze V to objętość, S to pole podstawy, h to wysokość piramidy) dowiadujemy się, że h = (3*V)/ S. Aby skonsolidować materiał, natychmiast rozwiążmy problem. Podstawa trójkąta ma długość 50 cm 2 , a objętość 125 cm 3 . Wysokość trójkątnej piramidy jest nieznana i właśnie to musimy znaleźć. Tutaj wszystko jest proste: wstawiamy dane do naszej formuły. Otrzymujemy h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Jak znaleźć wysokość ostrosłupa, jeśli znana jest długość przekątnej i jej krawędzi

Jak pamiętamy, wysokość piramidy tworzy z podstawą kąt prosty. Oznacza to, że wysokość, krawędź i połowa przekątnej tworzą razem. Wielu oczywiście pamięta twierdzenie Pitagorasa. Znając dwa wymiary, znalezienie trzeciej wielkości nie będzie trudne. Przypomnijmy dobrze znane twierdzenie a² = b² + c², gdzie a jest przeciwprostokątną, a w naszym przypadku krawędzią piramidy; b - pierwsza noga lub połowa przekątnej i c - odpowiednio druga noga lub wysokość piramidy. Z tego wzoru c² = a² - b².

Teraz problem: w zwykłej piramidzie przekątna wynosi 20 cm, gdy długość krawędzi wynosi 30 cm, musisz znaleźć wysokość. Rozwiązujemy: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Stąd c = √ 500 = około 22,4.

Jak znaleźć wysokość ściętej piramidy

Jest to wielokąt o przekroju równoległym do podstawy. Wysokość ściętej piramidy to odcinek łączący jej dwie podstawy. Wysokość regularnej piramidy można obliczyć, jeśli znane są długości przekątnych obu podstaw oraz krawędzi ostrosłupa. Niech przekątna większej podstawy będzie wynosić d1, przekątna mniejszej podstawy będzie wynosić d2, a krawędź będzie miała długość l. Aby znaleźć wysokość, możesz obniżyć wysokości z dwóch górnych przeciwnych punktów diagramu do jego podstawy. Widzimy, że mamy dwa prawy trójkąt, pozostaje znaleźć długości ich nóg. Aby to zrobić, odejmij mniejszą od większej przekątnej i podziel przez 2. W ten sposób znajdziemy jedną nogę: a = (d1-d2)/2. Następnie zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa pozostaje nam już tylko znaleźć drugą nogę, czyli wysokość piramidy.

Teraz spójrzmy na całą sprawę w praktyce. Mamy przed sobą zadanie. Ścięta piramida ma u podstawy kwadrat, długość przekątnej większej podstawy wynosi 10 cm, mniejszej 6 cm, a krawędź 4 cm. Trzeba obliczyć wysokość. Najpierw znajdujemy jedną nogę: a = (10-6)/2 = 2 cm Jedna noga ma długość 2 cm, a przeciwprostokątna ma długość 4 cm. Okazuje się, że druga noga lub wysokość będzie równa 16-. 4 = 12, czyli h = √12 = około 3,5 cm.

Trójwymiarową figurą, która często pojawia się w zagadnieniach geometrycznych, jest piramida. Najprostsza ze wszystkich figur w tej klasie jest trójkątna. W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy podstawowe wzory i właściwości prawidłowe

Geometryczne pomysły na figurę

Zanim przejdziemy do rozważenia właściwości regularnej piramidy trójkątnej, przyjrzyjmy się bliżej, o jakim rodzaju figury mówimy.

Załóżmy, że w środku znajduje się dowolny trójkąt przestrzeń trójwymiarowa. Wybierzmy dowolny punkt tej przestrzeni, który nie leży w płaszczyźnie trójkąta i połączmy go z trzema wierzchołkami trójkąta. Mamy trójkątną piramidę.

Składa się z 4 boków, z których wszystkie są trójkątami. Punkty, w których spotykają się trzy ściany, nazywane są wierzchołkami. Na figurze jest ich także cztery. Linie przecięcia dwóch ścian są krawędziami. Omawiana piramida ma 6 krawędzi. Poniższy rysunek przedstawia przykład tej figury.

Ponieważ figura składa się z czterech boków, nazywa się ją również czworościanem.

Poprawna piramida

Powyżej rozważaliśmy dowolną figurę o trójkątnej podstawie. Załóżmy teraz, że narysujemy prostopadły odcinek od szczytu piramidy do jej podstawy. Ten segment nazywa się wysokością. Oczywiście możesz narysować 4 różne wysokości figury. Jeśli wysokość przecina trójkątną podstawę w geometrycznym środku, wówczas taką piramidę nazywa się prostą.

Prostą piramidę, której podstawą jest trójkąt równoboczny, nazywa się regularną. Dla niej wszystkie trzy trójkąty tworzące boczną powierzchnię figury są równoramienne i sobie równe. Szczególnym przypadkiem piramidy regularnej jest sytuacja, gdy wszystkie cztery boki są trójkątami równobocznymi.

Rozważmy właściwości regularnej trójkątnej piramidy i podaj odpowiednie wzory do obliczania jej parametrów.

Strona podstawy, wysokość, krawędź boczna i apotem

Dowolne dwa z wymienionych parametrów jednoznacznie określają pozostałe dwie cechy. Przedstawmy wzory, które wiążą te wielkości.

Załóżmy, że bok podstawy regularnej piramidy trójkątnej wynosi a. Długość jego bocznej krawędzi wynosi b. Jaka będzie wysokość regularnej trójkątnej piramidy i jej apotemu?

Dla wysokości h otrzymujemy wyrażenie:

Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa, dla którego wynosi krawędź boczna, wysokość i 2/3 wysokości podstawy.

Apothem piramidy to wysokość dowolnego trójkąta bocznego. Długość apotema a b jest równa:

za b = √(b 2 - za 2 /4)

Z tych wzorów jasno wynika, że ​​niezależnie od boku podstawy trójkątnej regularnej piramidy i długości jej bocznej krawędzi, apothem będzie zawsze większy niż wysokość piramidy.

Obydwa zaprezentowane wzory zawierają wszystkie cztery charakterystyki liniowe omawianej figury. Dlatego mając znane dwa z nich, resztę możesz znaleźć rozwiązując układ zapisanych równości.

Objętość rysunku

W przypadku absolutnie dowolnej piramidy (w tym nachylonej) wartość objętości ograniczonej przez nią przestrzeni można określić, znając wysokość figury i powierzchnię jej podstawy. Odpowiedni wzór to:

Stosując to wyrażenie do rozpatrywanej liczby, otrzymujemy następujący wzór:

Gdzie wysokość regularnej piramidy trójkątnej wynosi h, a jej bok wynosi a.

Nie jest trudno otrzymać wzór na objętość czworościanu, w którym wszystkie boki są sobie równe i reprezentują trójkąty równoboczne. W takim przypadku objętość figury określa się według wzoru:

Oznacza to, że jest ona określana jednoznacznie przez długość boku a.

Powierzchnia

Kontynuujmy rozważanie trójkątnego regularnego. Całkowita powierzchnia wszystkich ścian figury nazywana jest jej powierzchnią. To ostatnie można wygodnie zbadać, biorąc pod uwagę odpowiedni rozwój. Poniższy rysunek pokazuje, jak wygląda rozwój regularnej piramidy trójkątnej.

Załóżmy, że znamy wysokość h i bok podstawy a figury. Następnie obszar jego podstawy będzie równy:

Każdy uczeń może uzyskać to wyrażenie, jeśli pamięta, jak znaleźć pole trójkąta, a także bierze pod uwagę, że wysokość trójkąta równobocznego jest również dwusieczną i środkową.

Pole powierzchni bocznej utworzone przez trzy identyczne trójkąty równoramienne wynosi:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Równość ta wynika z wyrażenia apotemu piramidy w kategoriach wysokości i długości podstawy.

Całkowita powierzchnia figury wynosi:

S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Należy zauważyć, że w przypadku czworościanu, w którym wszystkie cztery boki są identycznymi trójkątami równobocznymi, pole S będzie równe:

Właściwości regularnej piramidy ściętej trójkątnej

Jeśli wierzchołek rozważanej trójkątnej piramidy zostanie odcięty płaszczyzną równoległą do podstawy, to pozostała dolna część będziemy nazywać piramidą ściętą.

W przypadku podstawy trójkątnej efektem opisanego sposobu podziału jest nowy trójkąt, który również jest równoboczny, ale ma bok krótszy niż bok podstawy. Poniżej pokazano ściętą trójkątną piramidę.

Widzimy, że liczba ta jest już ograniczona do dwóch podstawy trójkątne i trzy trapezy równoramienne.

Załóżmy, że wysokość powstałej figury jest równa h, długości boków dolnej i górnej podstawy wynoszą odpowiednio 1 i 2, a apotem (wysokość trapezu) jest równa a b. Następnie powierzchnię ściętej piramidy można obliczyć za pomocą wzoru:

S = 3/2*(za 1 + za 2)*a b + √3/4*(za 1 2 + za 2 2)

Tutaj pierwszy człon to obszar powierzchni bocznej, drugi człon to obszar trójkątnych podstaw.

Objętość figury oblicza się w następujący sposób:

V = √3/12*h*(a 1 2 + za 2 2 + za 1 * za 2)

Aby jednoznacznie określić cechy piramidy ściętej, należy znać jej trzy parametry, co pokazują podane wzory.