Wykład: Linie przecinające się, równoległe i przecinające się; prostopadłość linii

Przecinające się linie

Jeśli na płaszczyźnie znajduje się kilka linii prostych, to prędzej czy później albo przetną się one dowolnie, albo pod kątem prostym, albo będą równoległe. Przyjrzyjmy się każdemu przypadkowi.

Linie, które mają co najmniej jeden punkt przecięcia, można nazwać przecinającymi się.

Możesz zapytać, dlaczego przynajmniej jedna linia prosta nie może przeciąć innej prostej dwa lub trzy razy. Masz rację! Ale linie proste mogą całkowicie się ze sobą pokrywać. W tym przypadku będzie nieskończona liczba punktów wspólnych.

Równoległość

Równoległy Możesz nazwać te linie, które nigdy się nie przetną, nawet w nieskończoności.

Innymi słowy, równoległe to takie, które nie mają ani jednego wspólnego punktu. Należy pamiętać, że ta definicja obowiązuje tylko wtedy, gdy linie znajdują się w tej samej płaszczyźnie, ale jeśli nie mają wspólnych punktów, będąc w różnych płaszczyznach, wówczas uważa się je za przecinające się.

Przykłady linii równoległych w życiu: dwie przeciwległe krawędzie ekranu monitora, linie w zeszytach, a także wiele innych części rzeczy, które mają kształt kwadratowy, prostokątny i inne.

Kiedy chcą na piśmie wykazać, że jedna prosta jest równoległa do drugiej, używają następującego zapisu a||b. Wpis ten mówi, że linia a jest równoległa do linii b.

Studiując ten temat, warto zrozumieć jeszcze jedno stwierdzenie: przez pewien punkt na płaszczyźnie, który nie należy do danej prostej, można poprowadzić pojedynczą linię równoległą. Ale uwaga, znowu korekta jest w samolocie. Jeśli weźmiemy pod uwagę przestrzeń trójwymiarową, możemy narysować nieskończoną liczbę linii, które nie będą się przecinać, ale będą się przecinać.

Oświadczenie opisane powyżej nazywa się aksjomat prostych równoległych.

Prostopadłość

Linie bezpośrednie można wywołać tylko wtedy, gdy prostopadły, jeżeli przecinają się pod kątem równym 90 stopni.

W przestrzeni przez określony punkt linii można poprowadzić nieskończoną liczbę linii prostopadłych. Jeśli jednak mówimy o płaszczyźnie, to przez jeden punkt na linii można narysować pojedynczą linię prostopadłą.

Skrzyżowane linie proste. Sieczna

Jeśli niektóre linie przecinają się w pewnym punkcie pod dowolnym kątem, można je wywołać krzyżowanie.

Wszelkie przecinające się linie mają kąty pionowe i sąsiadujące.

Jeżeli kąty utworzone przez dwie przecinające się linie proste mają jeden wspólny bok, wówczas nazywa się je sąsiadującymi:

Kąty sąsiednie sumują się do 180 stopni.

Twierdzenie. Jeżeli jedna prosta leży na danej płaszczyźnie, a inna prosta przecina tę płaszczyznę w punkcie nie należącym do pierwszej prostej, to te dwie proste przecinają się. Znak przecięcia linii Dowód. Niech prosta a leży na płaszczyźnie, a prosta b przecina płaszczyznę w punkcie B, który nie należy do prostej a. Jeżeli linie a i b leżą w tej samej płaszczyźnie, to w tej płaszczyźnie leży również punkt B. Ponieważ przez tę prostą przechodzi tylko jedna płaszczyzna i punkt poza tą linią, to płaszczyzna ta musi być płaszczyzną. Ale wtedy prosta b leżałaby na płaszczyźnie, co jest sprzeczne z warunkiem. W związku z tym linie proste aib nie leżą w tej samej płaszczyźnie, tj. krzyżować.

Ile jest par linii ukośnych, które zawierają krawędzie regularnego trójkątnego pryzmatu? Rozwiązanie: Dla każdej krawędzi podstaw istnieją trzy krawędzie, które się z nią przecinają. Dla każdej krawędzi bocznej znajdują się dwa przecinające się z nią żebra. Dlatego wymagana liczba par linii skośnych to Ćwiczenie 5

Ile par linii ukośnych zawiera krawędzie foremnego graniastosłupa sześciokątnego? Rozwiązanie: Każda krawędź podstaw uczestniczy w 8 parach przecinających się linii. Każda krawędź boczna uczestniczy w 8 parach przecinających się linii. Dlatego wymagana liczba par linii skośnych to Ćwiczenie 6

Względne położenie dwóch linii w przestrzeni.

Względne położenie dwóch linii w przestrzeni charakteryzuje się trzema następującymi możliwościami.

Linie leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych - linie równoległe.

Linie leżą na tej samej płaszczyźnie i mają jeden punkt wspólny – linie się przecinają.

W przestrzeni dwie linie proste można także położyć tak, aby nie leżały w żadnej płaszczyźnie. Takie linie nazywane są skośnymi (nie przecinają się lub są równoległe).

PRZYKŁAD:

ZADANIE 434 Trójkąt ABC leży na płaszczyźnie a

Trójkąt ABC leży na płaszczyźnie, ale punkt D nie leży na tej płaszczyźnie. Punkty M, N i K są odpowiednio środkami odcinków DA, DB i DC

Twierdzenie. Jeżeli jedna z dwóch prostych leży na pewnej płaszczyźnie, a druga przecina tę płaszczyznę w punkcie nie leżącym na pierwszej prostej, to te proste przecinają się.

Na ryc. 26 Linia prosta a leży na płaszczyźnie, a prosta c przecina się w punkcie N. Linie a i c przecinają się.

Twierdzenie. Przez każdą z dwóch przecinających się prostych przechodzi tylko jedna płaszczyzna równoległa do drugiej prostej.

Na ryc. 26 linii aib przecina się. Rysowana jest linia prosta i płaszczyzna (alfa) || b (w płaszczyźnie B (beta) zaznaczona jest prosta a1 || b).

Twierdzenie 3.2.

Dwie linie równoległe do trzeciej są równoległe.

Ta właściwość nazywa się przechodniość równoległość linii.

Dowód

Niech linie aib będą jednocześnie równoległe do linii c. Załóżmy, że a nie jest równoległa do b, to linia a przecina linię b w pewnym punkcie A, który pod warunkiem nie leży na prostej c. W rezultacie mamy dwie proste a i b, przechodzące przez punkt A, nie leżące na danej prostej c, a jednocześnie do niej równoległe. Jest to sprzeczne z aksjomatem 3.1. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 3.3.

Przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić jedną i tylko jedną prostą równoległą do danej.

Dowód

Niech (AB) będzie daną linią, a C punktem na niej nie leżącym. Linia AC dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Punkt B leży w jednym z nich. Zgodnie z aksjomatem 3.2 możliwe jest nałożenie kąta (ACD) z promienia C A równego kątowi (CAB) w inną półpłaszczyznę. ACD i CAB są równe wewnętrzne, leżące w poprzek prostych AB i CD oraz siecznej (AC). Następnie zgodnie z Twierdzeniem 3.1 (AB) || (PŁYTA CD). Biorąc pod uwagę aksjomat 3.1. Twierdzenie zostało udowodnione.

Własność linii równoległych opisuje następujące twierdzenie, będące odwrotnością Twierdzenia 3.1.

Twierdzenie 3.4.

Jeśli dwie równoległe linie przecina trzecia linia, to przecinające się kąty wewnętrzne są równe.

Dowód

Niech (AB) || (PŁYTA CD). Załóżmy, że ACD ≠ BAC. Przez punkt A rysujemy prostą AE tak, że EAC = ACD. Ale wtedy, zgodnie z Twierdzeniem 3.1 (AE ) || (CD ) i według warunku – (AB ) || (PŁYTA CD). Zgodnie z Twierdzeniem 3.2 (AE ) || (AB). Jest to sprzeczne z Twierdzeniem 3.3, zgodnie z którym przez punkt A nie leżący na prostej CD można poprowadzić do niego jedyną prostą równoległą. Twierdzenie zostało udowodnione.

Rysunek 3.3.1.

Na podstawie tego twierdzenia można łatwo uzasadnić następujące właściwości.

Jeśli dwie równoległe linie przecina się z trzecią linią, wówczas odpowiadające im kąty są równe.

Jeżeli dwie równoległe linie przecina trzecia linia, to suma kątów wewnętrznych jednostronnych wynosi 180°.

Wniosek 3.2.

Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej.

Pojęcie równoległości pozwala nam wprowadzić następującą nową koncepcję, która będzie potrzebna w dalszej części rozdziału 11.

Nazywa się dwa promienie jednakowo skierowane, jeśli istnieje taka prosta, że ​​po pierwsze są one prostopadłe do tej linii, a po drugie, promienie leżą w tej samej półpłaszczyźnie względem tej linii.

Nazywa się dwa promienie skierowane przeciwnie, jeśli każdy z nich jest jednakowo skierowany promieniem komplementarnym do drugiego.

Będziemy oznaczać promienie skierowane identycznie AB i CD: oraz promienie skierowane przeciwnie AB i CD -

Rysunek 3.3.2.

Znak przecięcia linii.

Jeżeli jedna z dwóch prostych leży na pewnej płaszczyźnie, a druga prosta przecina tę płaszczyznę w punkcie nie leżącym na pierwszej prostej, to te proste przecinają się.

Przypadki wzajemnego ułożenia linii w przestrzeni.

1. Istnieją cztery różne przypadki rozmieszczenia dwóch linii w przestrzeni:

   
   

   – przejazd na wprost, tj. nie leżeć w tej samej płaszczyźnie;

   – linie proste przecinają się, tj. leżą w tej samej płaszczyźnie i mają jeden wspólny punkt;

   – linie równoległe, tj. leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się;

   - linie się pokrywają.

   
   

   Uzyskajmy charakterystykę tych przypadków względnego położenia prostych podanych przez równania kanoniczne

   
   
   Gdzie — punkty należące do prostych I odpowiednio, A— wektory kierunkowe (ryc. 4.34). Oznaczmy przezwektor łączący dane punkty.
   
   

   Przypadkom względnego położenia linii odpowiadają wymienione powyżej cechy:

   
   

   – wektory proste i przecinające się nie są współpłaszczyznowe;

   
   

   – linie proste i przecinające się wektory są współpłaszczyznowe, ale wektory nie są współliniowe;

   
   

   – wektory proste i równoległe są współliniowe, ale wektory nie są współliniowe;

   
   

   – linie proste i wektory zbieżne są współliniowe.

   
   

   Warunki te można zapisać wykorzystując właściwości produktów mieszanych i wektorowych. Przypomnijmy, że mieszany iloczyn wektorów w prawym prostokątnym układzie współrzędnych można znaleźć według wzoru:

   
   
   a wyznacznik przecina się z zerem, a jego drugi i trzeci rząd nie są proporcjonalne, tj.
   

   – proste i równoległe druga i trzecia linia wyznacznika są proporcjonalne, tj. a dwie pierwsze linie nie są proporcjonalne, tj.

   
   

   – linie proste i wszystkie linie wyznacznika pokrywają się i są proporcjonalne, tj.

Dowód testu linii skośnej.

Jeżeli jedna z dwóch prostych leży na płaszczyźnie, a druga przecina tę płaszczyznę w punkcie nie należącym do pierwszej prostej, to te dwie proste przecinają się.

Dowód

Niech a należy do α, b przecina α = A, A nie należy do a (Rysunek 2.1.2). Załóżmy, że proste aib nie przecinają się, czyli przecinają się. Istnieje wówczas płaszczyzna β, do której należą proste aib. W tej płaszczyźnie β leży prosta a i punkt A. Ponieważ prosta a i znajdujący się na jej zewnątrz punkt A wyznaczają jedną płaszczyznę, to β = α. Ale b dyski β i b nie należą do α, zatem równość β = α jest niemożliwa.

Jeśli dwie linie w przestrzeni mają wspólny punkt, wówczas mówi się, że te dwie linie przecinają się. Na poniższym rysunku linie aib przecinają się w punkcie A. Linie aib nie przecinają się.

Każde dwie linie proste albo mają tylko jeden punkt wspólny, albo nie mają żadnych punktów wspólnych.

Równoległe linie

Dwie linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się. Aby oznaczyć linie równoległe, użyj specjalnej ikony - ||.

Zapis a||b oznacza, że ​​linia a jest równoległa do linii b. Na powyższym rysunku linie a i c są równoległe.

Twierdzenie o liniach równoległych

Przez dowolny punkt przestrzeni nie leżący na danej prostej przechodzi prosta równoległa do danej i w dodatku tylko jedna.

Przekraczanie linii

Dwie linie leżące w tej samej płaszczyźnie mogą się przecinać lub być równoległe. Ale w przestrzeni dwie linie proste niekoniecznie należą do tej płaszczyzny. Mogą być zlokalizowane w dwóch różnych płaszczyznach.

Jest oczywiste, że proste leżące w różnych płaszczyznach nie przecinają się i nie są liniami równoległymi. Nazywa się dwie proste, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie przecinanie linii prostych.

Poniższy rysunek przedstawia dwie przecinające się linie proste a i b, które leżą w różnych płaszczyznach.

Test i twierdzenie o liniach skośnych

Jeżeli jedna z dwóch prostych leży na pewnej płaszczyźnie, a druga prosta przecina tę płaszczyznę w punkcie nie leżącym na pierwszej prostej, to te proste przecinają się.

Twierdzenie o liniach skośnych: przez każdą z dwóch przecinających się linii przechodzi płaszczyzna równoległa do drugiej prostej i w dodatku tylko jedna.

W ten sposób rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki względnego położenia linii w przestrzeni. Jest ich tylko trzech.

1. Linie przecinają się. (Oznacza to, że mają tylko jeden punkt wspólny.)

2. Linie są równoległe. (Oznacza to, że nie mają wspólnych punktów i leżą w tej samej płaszczyźnie.)

3. Linie proste krzyżują się. (Oznacza to, że znajdują się w różnych płaszczyznach.)