Dom Ortopedia Rozwiń funkcję w potęgach x. Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe

Ortopedia

Rozwiń funkcję w potęgach x. Rozwinięcie funkcji w szeregi potęgowe

„Znajdź rozwinięcie w szereg Maclaurina funkcji f(x)”- tak właśnie brzmi zadanie z matematyki wyższej, które niektórzy uczniowie potrafią wykonać, a inni nie radzą sobie z przykładami. Istnieje kilka sposobów rozwijania szeregu potęgowego; tutaj przedstawimy technikę rozwijania funkcji w szereg Maclaurina. Tworząc funkcję w szeregu, musisz być dobry w obliczaniu pochodnych.

Przykład 4.7 Rozwiń funkcję w potęgach x

Obliczenia: Rozwinięcie funkcji wykonujemy według wzoru Maclaurina. Najpierw rozwińmy mianownik funkcji w szereg

Na koniec pomnóż rozwinięcie przez licznik.
Pierwszy wyraz to wartość funkcji w punkcie zero f (0) = 1/3.
Znajdźmy pochodne funkcji pierwszego i wyższych rzędów f (x) oraz wartość tych pochodnych w punkcie x=0

Następnie, bazując na schemacie zmian wartości pochodnych w punkcie 0, piszemy wzór na n-tą pochodną

Zatem reprezentujemy mianownik w postaci rozwinięcia szeregu Maclaurina

Mnożymy przez licznik i uzyskujemy pożądane rozwinięcie funkcji w szeregu w potęgach x

Jak widać, nie ma tu nic skomplikowanego.
Wszystkie kluczowe punkty opierają się na umiejętności obliczania pochodnych i szybkiego uogólniania wartości pochodnej wyższego rzędu na zero. Poniższe przykłady pomogą Ci nauczyć się szybkiego porządkowania funkcji w szeregu.

Przykład 4.10 Znajdź rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina

Obliczenia: Jak można się domyślić, w szeregu wstawimy cosinus do licznika. Aby to zrobić, możesz użyć wzorów na wielkości nieskończenie małe lub wyprowadzić rozwinięcie cosinusa za pomocą pochodnych. W rezultacie dochodzimy do następującego szeregu w potęgach x

Jak widać, mamy minimum obliczeń i zwartą reprezentację rozwinięcia szeregu.

Przykład 4.16 Rozwiń funkcję w potęgi x:
7/(12-x-x^2)
Obliczenia: W tego typu przykładach konieczne jest rozwinięcie ułamka przez sumę ułamków prostych.
Nie pokażemy Ci, jak to zrobić teraz, ale z pomocą niepewne współczynniki Dochodzimy do sumy ułamków.
Następnie zapisujemy mianowniki w formie wykładniczej

Pozostaje rozwinąć terminy za pomocą wzoru Maclaurina. Sumując wyrazy do tych samych potęg „x”, tworzymy wzór na ogólny wyraz rozwinięcia funkcji w szeregu

Ostatnia część przejścia do szeregu na początku jest trudna do wykonania, ponieważ trudno jest połączyć wzory na sparowane i niesparowane indeksy (stopnie), ale w miarę praktyki będziesz w tym coraz lepszy.

Przykład 4.18 Znajdź rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina

Obliczenia: Znajdźmy pochodną tej funkcji:

Rozwińmy funkcję w szereg, korzystając z jednego ze wzorów McLarena:

Sumujemy szereg wyraz po wyrazie, opierając się na fakcie, że oba są absolutnie identyczne. Całkując cały szereg wyraz po wyrazie, otrzymujemy rozwinięcie funkcji w szereg w potęgach x

Pomiędzy dwiema ostatnimi liniami rozszerzenia następuje przejście, które na początku zajmie Ci dużo czasu. Uogólnianie formuły serii nie jest łatwe dla wszystkich, więc nie martw się, że nie będziesz w stanie uzyskać ładnej, zwartej formuły.

Przykład 4.28 Znajdź rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina:

Zapiszmy logarytm w następujący sposób

Korzystając ze wzoru Maclaurina, rozwijamy funkcję logarytmu w szeregu w potęgach x

Ostateczny splot jest na pierwszy rzut oka skomplikowany, ale przy zmianie znaków zawsze otrzymasz coś podobnego. Lekcja wejściowa na temat planowania funkcji w rzędzie została ukończona. Inne, równie interesujące schematy rozkładu zostaną szczegółowo omówione w kolejnych materiałach.

Jeżeli funkcja f(x) ma pochodne wszystkich rzędów na pewnym przedziale zawierającym punkt a, to można do niej zastosować wzór Taylora:
,
Gdzie r n– tzw. człon resztowy lub reszta szeregu, można ją oszacować korzystając ze wzoru Lagrange’a:
, gdzie liczba x mieści się pomiędzy x i a.

Zasady wprowadzania funkcji:

Jeśli dla jakiejś wartości X r n→0 o godz N→∞, to w granicy wzór Taylora staje się zbieżny dla tej wartości Seria Taylora:
,
Zatem funkcję f(x) można rozwinąć w szereg Taylora w rozpatrywanym punkcie x, jeśli:
1) posiada pochodne wszystkich rzędów;
2) skonstruowany szereg jest zbieżny w tym punkcie.

Gdy a = 0, otrzymujemy szereg tzw niedaleko Maclaurina:
,
Rozwinięcie najprostszych (elementarnych) funkcji w szereg Maclaurina:
Funkcje wykładnicze
, R=∞
Funkcje trygonometryczne
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funkcja actgx nie rozwija się w potęgach x, ponieważ ctg0=∞
Funkcje hiperboliczne

Funkcje logarytmiczne
, -1
Szereg dwumianowy
.

Przykład nr 1. Rozwiń funkcję w szereg potęgowy f(x)= 2X.
Rozwiązanie. Znajdźmy wartości funkcji i jej pochodne w X=0
k(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;
f”(x) = 2X ln2, F"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2X w 2 2, F""( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2X ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.
Podstawiając otrzymane wartości pochodnych do wzoru na szereg Taylora, otrzymujemy:

Promień zbieżności tego szeregu jest równy nieskończoności, dlatego rozwinięcie to obowiązuje dla -∞<X<+∞.

Przykład nr 2. Zapisz szereg Taylora w potęgach ( X+4) dla funkcji f(x)= mi X.
Rozwiązanie. Znajdowanie pochodnych funkcji e X i ich wartości w punkcie X=-4.
k(x)= np X, F(-4) = np -4 ;
f”(x)= np X, F"(-4) = np -4 ;
f""(x)= np X, F""(-4) = np -4 ;
…
f(n)(x)= np X, f(n)( -4) = np -4 .
Zatem wymagany szereg Taylora funkcji ma postać:

To rozwinięcie obowiązuje również dla -∞<X<+∞.

Przykład nr 3. Rozwiń funkcję k(x)= ln X w szeregu potęgowym ( X- 1),
(tj. w szeregu Taylora w pobliżu punktu X=1).
Rozwiązanie. Znajdź pochodne tej funkcji.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy pożądany szereg Taylora:

Korzystając z testu d'Alemberta, możesz sprawdzić, że szereg jest zbieżny przy ½x-1½<1 . Действительно,

Szereg jest zbieżny, jeśli ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 otrzymujemy szereg przemienny spełniający warunki kryterium Leibniza. Gdy x=0 funkcja nie jest zdefiniowana. Zatem obszarem zbieżności szeregu Taylora jest przedział półotwarty (0;2).

Przykład nr 4. Rozwiń funkcję w szereg potęgowy.
Rozwiązanie. W rozwinięciu (1) zastępujemy x przez -x 2, otrzymujemy:
, -∞

Przykład nr 5. Rozwiń funkcję w szereg Maclaurina.
Rozwiązanie. Mamy
Korzystając ze wzoru (4) możemy napisać:

podstawiając we wzorze –x zamiast x, otrzymujemy:

Stąd znajdujemy: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Otwierając nawiasy, przestawiając wyrazy szeregu i wprowadzając wyrazy podobne, otrzymujemy
. Szereg ten jest zbieżny w przedziale (-1;1), ponieważ jest otrzymywany z dwóch szeregów, z których każdy zbiega się w tym przedziale.

Komentarz .
Wzory (1)-(5) można także wykorzystać do rozwinięcia odpowiednich funkcji w szereg Taylora, tj. do rozwijania funkcji w dodatnich potęgach całkowitych ( Ha). W tym celu należy dokonać takich identycznych przekształceń na danej funkcji, aby otrzymać jedną z funkcji (1)-(5), w której zamiast X kosztuje k( Ha) m , gdzie k jest liczbą stałą, m jest dodatnią liczbą całkowitą. Często wygodnie jest dokonać zmiany zmiennej T=Ha i rozwiń wynikową funkcję względem t w szeregu Maclaurina.

Metoda ta opiera się na twierdzeniu o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szeregu potęgowym. Istota tego twierdzenia polega na tym, że w sąsiedztwie tego samego punktu nie można otrzymać dwóch różnych szeregów potęgowych, które zbiegałyby się do tej samej funkcji, niezależnie od sposobu jej rozwinięcia.

Przykład nr 5a. Rozwiń funkcję w szeregu Maclaurina i wskaż obszar zbieżności.
Rozwiązanie. Najpierw znajdujemy 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
do podstawowego:

Ułamek 3/(1-3x) można uznać za sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego o mianowniku 3x, jeśli |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

z obszarem konwergencji |x|< 1/3.

Przykład nr 6. Rozwiń funkcję w szereg Taylora w pobliżu punktu x = 3.
Rozwiązanie. Problem ten można rozwiązać, jak poprzednio, korzystając z definicji szeregu Taylora, dla którego musimy znaleźć pochodne funkcji i ich wartości w X=3. Łatwiej będzie jednak skorzystać z istniejącego rozszerzenia (5):
=
Powstały szereg jest zbieżny przy –3

Przykład nr 7. Zapisz szereg Taylora w potęgach (x -1) funkcji ln(x+2) .
Rozwiązanie.

Szereg jest zbieżny w punkcie , lub -2< x < 5.

Przykład nr 8. Rozwiń funkcję f(x)=sin(πx/4) na szereg Taylora w pobliżu punktu x =2.
Rozwiązanie. Dokonajmy zamiany t=x-2:

Korzystając z rozwinięcia (3), w którym zamiast x podstawiamy π / 4 t, otrzymujemy:

Powstały szereg zbiega się do danej funkcji przy -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Zatem,
, (-∞

Przybliżone obliczenia z wykorzystaniem szeregów potęgowych

Szeregi potęgowe są szeroko stosowane w obliczeniach przybliżonych. Za ich pomocą można z zadaną dokładnością obliczyć wartości pierwiastków, funkcji trygonometrycznych, logarytmów liczb i całek oznaczonych. Szeregów używa się także przy całkowaniu równań różniczkowych.
Rozważmy rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy:

Aby obliczyć przybliżoną wartość funkcji w danym punkcie X, należące do obszaru zbieżności wskazanego szeregu, w jego rozwinięciu pozostają pierwsze N członkowie ( N– liczba skończona), a pozostałe wyrazy odrzucamy:

Aby oszacować błąd otrzymanej wartości przybliżonej, należy oszacować resztę odrzuconą rn (x) . Aby to zrobić, użyj następujących technik:

jeśli wynikowy szereg jest naprzemienny, wówczas stosowana jest następująca właściwość: dla szeregu przemiennego spełniającego warunki Leibniza pozostała część szeregu w wartości bezwzględnej nie przekracza pierwszego odrzuconego wyrazu.
jeśli dana seria ma znak stały, to szereg złożony z odrzuconych wyrazów porównuje się z nieskończenie malejącym postępem geometrycznym.
w ogólnym przypadku, aby oszacować resztę szeregu Taylora, można skorzystać ze wzoru Lagrange'a: a X ).

Przykład nr 1. Oblicz ln(3) z dokładnością do 0,01.
Rozwiązanie. Skorzystajmy z rozwinięcia gdzie x=1/2 (patrz przykład 5 w poprzednim temacie):

Sprawdźmy, czy możemy odrzucić resztę po pierwszych trzech wyrazach rozwinięcia, w tym celu obliczymy to za pomocą sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego:

Możemy więc odrzucić tę resztę i otrzymać

Przykład nr 2. Oblicz z dokładnością do 0,0001.
Rozwiązanie. Skorzystajmy z szeregu dwumianowego. Ponieważ 5 3 jest sześcianem liczby całkowitej najbliższej 130, zaleca się reprezentowanie liczby 130 jako 130 = 5 3 +5.

gdyż już czwarty wyraz powstałego szeregu przemiennego spełniający kryterium Leibniza jest mniejszy od wymaganej dokładności:
, więc to i następujące po nim terminy można odrzucić.
Wielu praktycznie niezbędnych całek oznaczonych lub niewłaściwych nie można obliczyć za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, ponieważ jego zastosowanie wiąże się ze znalezieniem funkcji pierwotnej, która często nie ma wyrażenia w funkcjach elementarnych. Zdarza się również, że znalezienie funkcji pierwotnej jest możliwe, ale jest niepotrzebnie pracochłonne. Jeśli jednak funkcję całkową rozwiniemy w szereg potęgowy, a granice całkowania należą do przedziału zbieżności tego szeregu, wówczas możliwe jest przybliżone obliczenie całki z zadaną dokładnością.

Przykład nr 3. Oblicz całkę ∫ 0 1 4 sin (x) x z dokładnością do 10 -5 .
Rozwiązanie. Odpowiednia całka nieoznaczona nie może być wyrażona w funkcjach elementarnych, tj. reprezentuje „całkę nietrwałą”. Nie można tu zastosować wzoru Newtona-Leibniza. Obliczmy całkę w przybliżeniu.
Dzielenie wyraz po wyrazie serii grzechu X NA X, otrzymujemy:

Całkując ten szereg wyraz po wyrazie (jest to możliwe, gdyż granice całkowania należą do przedziału zbieżności tego szeregu), otrzymujemy:

Otrzymany szereg spełnia bowiem warunki Leibniza i wystarczy suma dwóch pierwszych wyrazów, aby otrzymać pożądaną wartość z zadaną dokładnością.
W ten sposób znajdujemy
.

Przykład nr 4. Oblicz całkę ∫ 0 1 4 e x 2 z dokładnością do 0,001.
Rozwiązanie.
. Sprawdźmy, czy uda nam się odrzucić resztę po drugim wyrazie wynikowego szeregu.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Studenci matematyki wyższej powinni wiedzieć, że suma pewnego szeregu potęgowego należącego do podanego nam przedziału zbieżności szeregu okazuje się funkcją ciągłą i nieograniczoną liczbę razy różnicowaną. Powstaje pytanie: czy można powiedzieć, że dana dowolna funkcja f(x) jest sumą pewnego szeregu potęgowego? To znaczy, pod jakimi warunkami funkcję f(x) można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego? Znaczenie tego pytania polega na tym, że można w przybliżeniu zastąpić funkcję f(x) sumą kilku pierwszych wyrazów szeregu potęgowego, czyli wielomianem. To zastąpienie funkcji dość prostym wyrażeniem - wielomianem - jest również wygodne przy rozwiązywaniu niektórych problemów, a mianowicie: przy rozwiązywaniu całek, przy obliczaniu itp.

Udowodniono, że dla pewnej funkcji f(x), w której można obliczyć pochodne aż do (n+1) rzędu, łącznie z ostatnim, w sąsiedztwie (α - R; x 0 + R ) w pewnym punkcie x = α, prawdą jest, że wzór:

Formuła ta została nazwana na cześć słynnego naukowca Brooke Taylor. Szereg uzyskany z poprzedniego nazywa się szeregiem Maclaurina:

Reguła umożliwiająca rozwinięcie szeregu Maclaurina:

Wyznacz pochodne pierwszego, drugiego, trzeciego... rzędu.
Oblicz, jakie są pochodne przy x=0.
Zapisz szereg Maclaurina dla tej funkcji, a następnie wyznacz przedział jej zbieżności.
Określ przedział (-R;R), w którym znajduje się pozostała część wzoru Maclaurina

R n (x) -> 0 przy n -> nieskończoność. Jeśli taka istnieje, to zawarta w niej funkcja f(x) musi pokrywać się z sumą szeregu Maclaurina.

Rozważmy teraz szereg Maclaurina dla poszczególnych funkcji.

1. Zatem pierwszym będzie f(x) = e x. Oczywiście, ze względu na swoją charakterystykę, taka funkcja ma pochodne bardzo różnych rzędów, a f (k) (x) = e x , gdzie k równa się wszystkim. Otrzymujemy f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Na podstawie powyższego szereg e x będzie wyglądał następująco:

2. Szereg Maclaurina dla funkcji f(x) = sin x. Wyjaśnijmy od razu, że funkcja dla wszystkich niewiadomych będzie miała dodatkowo pochodne f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), gdzie k jest równe dowolnej liczbie naturalnej, czyli po wykonaniu prostych obliczeń możemy dojść do wniosek, że szereg dla f(x) = sin x będzie wyglądał następująco:

3. Spróbujmy teraz rozważyć funkcję f(x) = cos x. Dla wszystkich niewiadomych ma pochodne dowolnego rzędu oraz |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Wymieniliśmy więc najważniejsze funkcje, które można rozwinąć w szereg Maclaurina, ale dla niektórych funkcji są one uzupełnione szeregiem Taylora. Teraz je wymienimy. Warto również zauważyć, że szeregi Taylora i Maclaurina stanowią ważną część praktycznych prac nad rozwiązywaniem szeregów w matematyce wyższej. Zatem szereg Taylora.

1. Pierwszy będzie szeregiem dla funkcji f(x) = ln(1+x). Podobnie jak w poprzednich przykładach, dla danego f(x) = ln(1+x) możemy dodać szereg korzystając z ogólnej postaci szeregu Maclaurina. jednak dla tej funkcji szereg Maclaurina można uzyskać znacznie prościej. Całkując pewien szereg geometryczny otrzymujemy szereg dla f(x) = ln(1+x) takiej próbki:

2. Drugim, ostatnim w naszym artykule, będzie szereg dla f(x) = arctan x. Dla x należących do przedziału [-1;1] obowiązuje rozwinięcie:

To wszystko. W artykule zbadano najczęściej stosowane szeregi Taylora i Maclaurina w matematyce wyższej, w szczególności na uniwersytetach ekonomicznych i technicznych.

Jeśli funkcja k(x) ma w pewnym przedziale zawierającym punkt A, pochodne wszystkich rzędów, to można do tego zastosować wzór Taylora:

Gdzie r n– tzw. wyraz resztowy lub reszta szeregu, można ją oszacować korzystając ze wzoru Lagrange’a:

, gdzie liczba x znajduje się pomiędzy X I A.

Jeśli dla jakiejś wartości x r n®0 o godz N®¥, wówczas w granicy wzór Taylora zamienia się w wzór zbieżny na tę wartość Seria Taylora:

Zatem funkcja k(x) można rozwinąć w szereg Taylora w danym punkcie X, Jeśli:

1) posiada pochodne wszystkich rzędów;

2) skonstruowany szereg jest zbieżny w tym punkcie.

Na A=0 otrzymujemy serię o nazwie niedaleko Maclaurina:

Przykład 1 f(x)= 2X.

Rozwiązanie. Znajdźmy wartości funkcji i jej pochodne w X=0

k(x) = 2X, F( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2X w 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2 = ln 2 2;

f(n)(x) = 2X ln N 2, f(n)( 0) = 2 0 ln N 2=ln N 2.

Podstawiając otrzymane wartości pochodnych do wzoru na szereg Taylora, otrzymujemy:

Promień zbieżności tego szeregu jest równy nieskończoności, dlatego to rozwinięcie obowiązuje dla -¥<X<+¥.

Przykład 2 X+4) dla funkcji f(x)= mi X.

Rozwiązanie. Znajdowanie pochodnych funkcji e X i ich wartości w punkcie X=-4.

k(x)= np X, F(-4) = np -4 ;

f¢(x)= np X, f¢(-4) = np -4 ;

f¢¢(x)= np X, f¢¢(-4) = np -4 ;

f(n)(x)= np X, f(n)( -4) = np -4 .

Zatem wymagany szereg Taylora funkcji ma postać:

To rozwinięcie jest ważne również dla -¥<X<+¥.

Przykład 3 . Rozwiń funkcję k(x)= ln X w szeregu potęgowym ( X- 1),

(tj. w szeregu Taylora w pobliżu punktu X=1).

Rozwiązanie. Znajdź pochodne tej funkcji.

Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy pożądany szereg Taylora:

Korzystając z testu d'Alemberta, możesz sprawdzić, czy szereg jest zbieżny, gdy

½ X- 1½<1. Действительно,

Szereg jest zbieżny, jeśli ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 otrzymujemy szereg przemienny spełniający warunki kryterium Leibniza. Na X Funkcja =0 nie jest zdefiniowana. Zatem obszarem zbieżności szeregu Taylora jest przedział półotwarty (0;2).

Przedstawmy otrzymane w ten sposób rozwinięcia w szereg Maclaurina (tj. w sąsiedztwie punktu X=0) dla niektórych funkcji elementarnych:

(2) ,

(3) ,

( nazywa się ostatni rozkład szereg dwumianowy)

Przykład 4 . Rozwiń funkcję w szereg potęgowy

Rozwiązanie. W rozwinięciu (1) zastępujemy X NA - X 2, otrzymujemy:

Przykład 5 . Rozwiń funkcję w szeregu Maclaurina

Rozwiązanie. Mamy

Korzystając ze wzoru (4) możemy napisać:

zamiast tego zastępując X do formuły -X, otrzymujemy:

Stąd znajdziemy:

Otwierając nawiasy, przestawiając wyrazy szeregu i wprowadzając wyrazy podobne, otrzymujemy

Szereg ten zbiega się w przedziale

(-1;1), ponieważ jest on otrzymywany z dwóch szeregów, z których każdy zbiega się w tym przedziale.

Komentarz .

Wzory (1)-(5) można także wykorzystać do rozwinięcia odpowiednich funkcji w szereg Taylora, tj. do rozwijania funkcji w dodatnich potęgach całkowitych ( Ha). W tym celu należy dokonać takich identycznych przekształceń na danej funkcji, aby otrzymać jedną z funkcji (1)-(5), w której zamiast X kosztuje k( Ha) m , gdzie k jest liczbą stałą, m jest dodatnią liczbą całkowitą. Często wygodnie jest dokonać zmiany zmiennej T=Ha i rozwiń wynikową funkcję względem t w szeregu Maclaurina.

Metoda ta ilustruje twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy. Istota tego twierdzenia polega na tym, że w sąsiedztwie tego samego punktu nie można otrzymać dwóch różnych szeregów potęgowych, które zbiegałyby się do tej samej funkcji, niezależnie od sposobu jej rozwinięcia.

Przykład 6 . Rozwiń funkcję w szereg Taylora w sąsiedztwie punktu X=3.

Rozwiązanie. Problem ten można rozwiązać, jak poprzednio, korzystając z definicji szeregu Taylora, dla którego musimy znaleźć pochodne funkcji i ich wartości w X=3. Łatwiej będzie jednak skorzystać z istniejącego rozszerzenia (5):