Przy takiej samej liczbie równań, jak liczba niewiadomych, których główny wyznacznik macierzy jest różny od zera, współczynniki układu (dla takich równań jest rozwiązanie i jest tylko jedno).
Twierdzenie Cramera.
Jeżeli wyznacznik macierzy układu kwadratowego jest niezerowy, oznacza to, że układ jest niesprzeczny i ma jedno rozwiązanie, co można znaleźć wzorem Wzory Cramera:
gdzie Δ - wyznacznik macierzy systemu,
Δ I jest wyznacznikiem macierzy układu, w którym zamiast I Kolumna ta zawiera kolumnę prawych stron.
Gdy wyznacznik systemu wynosi zero, oznacza to, że system może stać się współpracujący lub niekompatybilny.
Ta metoda jest zwykle używana małe systemy z obliczeniami objętościowymi i jeśli konieczne jest określenie jednej z niewiadomych. Złożoność metody polega na tym, że należy obliczyć wiele wyznaczników.
Opis metody Cramera.
Istnieje układ równań:
Układ 3 równań można rozwiązać metodą Cramera, która została omówiona powyżej dla układu 2 równań.
Tworzymy wyznacznik ze współczynników niewiadomych:
To będzie wyznacznik systemu. Gdy D≠0, co oznacza, że system jest spójny. Stwórzmy teraz 3 dodatkowe wyznaczniki:
,
,
Rozwiązujemy układ wg Wzory Cramera:
Przykłady rozwiązywania układów równań metodą Cramera.
Przykład 1.
Dany system:
Rozwiążmy to za pomocą metody Cramera.
Najpierw musisz obliczyć wyznacznik macierzy układu:
Ponieważ Δ≠0, co oznacza, że z twierdzenia Cramera układ jest spójny i ma jedno rozwiązanie. Obliczamy dodatkowe wyznaczniki. Wyznacznik Δ 1 otrzymuje się z wyznacznika Δ zastępując jego pierwszą kolumnę kolumną wolnych współczynników. Otrzymujemy:
W ten sam sposób wyznaczamy wyznacznik Δ 2 z wyznacznika macierzy układu, zastępując drugą kolumnę kolumną wolnych współczynników:
2. Rozwiązywanie układów równań metodą macierzową (z wykorzystaniem macierzy odwrotnej).
3. Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań.
Metoda Cramera.
Do rozwiązywania układów liniowych stosuje się metodę Cramera równania algebraiczne (SLAU).
Wzory na przykładzie układu dwóch równań z dwiema zmiennymi.
Dany: Rozwiązać układ metodą Cramera
Odnośnie zmiennych X I Na.
Rozwiązanie:
Znajdźmy wyznacznik macierzy złożonej ze współczynników układu Obliczanie wyznaczników. : 
Zastosujmy wzory Cramera i znajdźmy wartości zmiennych: 
I 
.
Przykład 1:
Rozwiąż układ równań:
odnośnie zmiennych X I Na.
Rozwiązanie:
Zastąpmy pierwszą kolumnę tego wyznacznika kolumną współczynników z prawej strony układu i znajdźmy jej wartość: 
Zróbmy to podobna akcja, zastępując drugą kolumnę w pierwszym wyznaczniku: 
Odpowiedni Wzory Cramera i znajdź wartości zmiennych:
I .
Odpowiedź: 
Komentarz: Metodą tą można rozwiązywać układy o większych wymiarach.
Komentarz: Jeśli okaże się, że , ale nie można podzielić przez zero, to mówią, że system nie ma unikalnego rozwiązania. W tym przypadku układ albo ma nieskończenie wiele rozwiązań, albo nie ma ich wcale.
Przykład 2(nieskończona liczba rozwiązań):
Rozwiąż układ równań:
odnośnie zmiennych X I Na.
Rozwiązanie:
Znajdźmy wyznacznik macierzy złożonej ze współczynników układu: 
Rozwiązywanie układów metodą podstawieniową. 
Pierwsze z równań układu jest równością, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych (ponieważ 4 jest zawsze równe 4). Oznacza to, że pozostało tylko jedno równanie. Jest to równanie zależności między zmiennymi.
Stwierdziliśmy, że rozwiązaniem układu jest dowolna para wartości zmiennych powiązanych ze sobą równością.
Rozwiązanie ogólne zostanie napisane w ten sposób: 
Poszczególne rozwiązania można wyznaczyć wybierając dowolną wartość y i z tej równości związku obliczając x. 
itp.
Takich rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Odpowiedź: rozwiązanie ogólne
Rozwiązania prywatne:
Przykład 3(brak rozwiązań, system jest niekompatybilny):
Rozwiąż układ równań:
Rozwiązanie:
Znajdźmy wyznacznik macierzy złożonej ze współczynników układu: 
Nie można stosować wzorów Cramera. Rozwiążmy ten układ metodą podstawienia 
Drugie równanie układu jest równością, która nie jest prawdziwa dla żadnej wartości zmiennych (oczywiście, ponieważ -15 nie jest równe 2). Jeśli jedno z równań układu nie jest prawdziwe dla którejkolwiek wartości zmiennych, to cały układ nie ma rozwiązań.
Odpowiedź:żadnych rozwiązań
Metody Kramera I Gaus- jedna z najpopularniejszych metod rozwiązywania SLAU. Ponadto w niektórych przypadkach wskazane jest zastosowanie określonych metod. Sesja dobiegła końca i nadszedł czas, aby je powtórzyć lub opanować od zera. Dziś przyjrzymy się rozwiązaniu wykorzystując metodę Cramera. W końcu rozwiązanie systemowe równania liniowe Metoda Cramera to bardzo przydatna umiejętność.
Układy liniowych równań algebraicznych
Układ liniowych równań algebraicznych to układ równań postaci:
Zestaw wartości X , w którym równania układu zamieniają się w tożsamości, nazywa się rozwiązaniem układu, A I B są współczynnikami rzeczywistymi. Prosty układ składający się z dwóch równań z dwiema niewiadomymi można rozwiązać w głowie lub wyrażając jedną zmienną za pomocą drugiej. Ale w SLAE może znajdować się znacznie więcej niż dwie zmienne (xes) i tutaj proste manipulacje szkolne nie wystarczą. Co robić? Na przykład rozwiązuj SLAE metodą Cramera!
Niech więc system będzie się składał z N równania z N nieznany.
Taki system można zapisać w postaci macierzowej
Tutaj A – główna matryca systemu, X I B , odpowiednio, macierze kolumnowe nieznanych zmiennych i wolnych terminów.
Rozwiązywanie SLAE metodą Cramera
Jeżeli wyznacznik macierzy głównej nie jest równy zero (macierz nie jest osobliwa), układ można rozwiązać metodą Cramera.
Według metody Cramera rozwiązanie znajduje się za pomocą wzorów:
Tutaj delta jest wyznacznikiem macierzy głównej, oraz delta x n-ty – wyznacznik otrzymany z wyznacznika macierzy głównej poprzez zastąpienie n-tej kolumny kolumną wolnych wyrazów.
Na tym polega cała istota metody Cramera. Zastępując wartości znalezione za pomocą powyższych wzorów X w pożądany system, jesteśmy przekonani o poprawności (lub odwrotnie) naszego rozwiązania. Aby pomóc Państwu szybko ogarnąć istotę, poniżej podajemy przykład szczegółowego rozwiązania SLAE metodą Cramera:
Nawet jeśli nie uda Ci się za pierwszym razem, nie zniechęcaj się! Przy odrobinie praktyki zaczniesz łamać SLAU jak orzechy. Co więcej, teraz absolutnie nie trzeba pochylać się nad notatnikiem, rozwiązywać kłopotliwe obliczenia i wypełniać rdzeń. Możesz łatwo rozwiązać SLAE metodą Cramera online, po prostu przez podstawienie gotowa forma współczynniki Spróbuj kalkulator internetowy Rozwiązania wykorzystujące metodę Cramera można znaleźć np. na tej stronie.
A jeśli system okaże się uparty i nie podda się, zawsze możesz zwrócić się do naszych autorów o pomoc np. Jeśli w systemie jest co najmniej 100 niewiadomych, na pewno rozwiążemy je poprawnie i na czas!
W pierwszej części przyjrzeliśmy się materiałowi teoretycznemu, metodzie podstawieniowej, a także metodzie dodawania równań układu wyraz po członie. Polecam wszystkim, którzy weszli na stronę za pośrednictwem tej strony, przeczytanie pierwszej części. Być może dla niektórych zwiedzających materiał będzie zbyt prosty, ale w procesie rozwiązywania układów równań liniowych poczyniłem szereg bardzo ważnych komentarzy i wniosków dotyczących rozwiązywania problemów matematycznych w ogóle.
A teraz przeanalizujemy regułę Cramera, a także rozwiążemy układ równań liniowych za pomocą odwrotna macierz(metoda macierzowa). Wszystkie materiały są przedstawione w sposób prosty, szczegółowy i przejrzysty; prawie każdy czytelnik będzie mógł dowiedzieć się, jak rozwiązywać systemy za pomocą powyższych metod.
Najpierw przyjrzymy się bliżej regule Cramera dla układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Po co? - Mimo wszystko najprostszy system można rozwiązać metoda szkolna metodą dodawania wyraz po wyrazie!
Faktem jest, że choć czasami pojawia się takie zadanie - rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi za pomocą wzorów Cramera. Po drugie, prostszy przykład pomoże Ci zrozumieć, jak w większym stopniu wykorzystać regułę Cramera złożony przypadek– układy trzech równań z trzema niewiadomymi.
Ponadto istnieją układy równań liniowych z dwiema zmiennymi, które zaleca się rozwiązać za pomocą reguły Cramera!
Rozważmy układ równań
W pierwszym kroku obliczamy wyznacznik, tzw główny wyznacznik systemu.
Jeśli , to układ ma unikalne rozwiązanie i aby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze dwa wyznaczniki:
I
W praktyce powyższe kwalifikatory można również oznaczyć Litera łacińska.
Pierwiastki równania znajdujemy za pomocą wzorów:
,
Przykład 7
Rozwiązać układ równań liniowych 
Rozwiązanie: Widzimy, że współczynniki równania są dość duże, po prawej stronie są miejsca dziesiętne z przecinkiem. Przecinek jest raczej rzadkim gościem zadania praktyczne z matematyki wziąłem ten system z problemu ekonometrycznego.
Jak rozwiązać taki system? Możesz spróbować wyrazić jedną zmienną za pomocą drugiej, ale w tym przypadku prawdopodobnie skończysz z okropnymi fantazyjnymi ułamkami, z którymi praca jest wyjątkowo niewygodna, a projekt rozwiązania będzie wyglądał po prostu okropnie. Możesz pomnożyć drugie równanie przez 6 i odjąć wyraz po wyrazie, ale tutaj również pojawią się te same ułamki.
Co robić? W takich przypadkach na ratunek przychodzą formuły Cramera.
;
;
Odpowiedź: ,
Obydwa pierwiastki mają nieskończone ogony i można je znaleźć w przybliżeniu, co jest całkiem akceptowalne (a nawet powszechne) w przypadku problemów ekonometrycznych.
Komentarze nie są tutaj potrzebne, ponieważ zadanie rozwiązuje się za pomocą gotowych formuł, jednak jest jedno zastrzeżenie. Kiedy używać tę metodę, obowiązkowy Fragmentem projektu zadania jest następujący fragment: „Oznacza to, że system posiada unikalne rozwiązanie”. W przeciwnym razie recenzent może ukarać Cię za brak szacunku dla twierdzenia Cramera.
Sprawdzanie, które wygodnie jest przeprowadzić na kalkulatorze, nie byłoby zbyteczne: zastępujemy przybliżone wartości w lewa strona każde równanie układu. W rezultacie przy niewielkim błędzie powinieneś otrzymać liczby znajdujące się po prawej stronie.
Przykład 8
Odpowiedź przedstaw w zwykłych ułamkach niewłaściwych. Sprawdź.
To jest przykład dla niezależna decyzja(przykład zakończenia i odpowiedzi na końcu lekcji).
Przejdźmy teraz do rozważenia reguły Cramera dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi: 
Znajdujemy główny wyznacznik systemu: 
Jeśli , to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub jest niespójny (nie ma rozwiązań). W tym przypadku reguła Cramera nie pomoże, musisz użyć Metoda Gaussa.
Jeśli , to układ ma unikalne rozwiązanie i aby znaleźć pierwiastki, musimy obliczyć jeszcze trzy wyznaczniki: 
, 
, 
I na koniec odpowiedź oblicza się za pomocą wzorów: 
Jak widać, przypadek „trzy na trzy” zasadniczo nie różni się od przypadku „dwa na dwa”; kolumna wolnych terminów „przechodzi” sekwencyjnie od lewej do prawej wzdłuż kolumn głównego wyznacznika.
Przykład 9
Rozwiązać układ korzystając ze wzorów Cramera. 
Rozwiązanie: Rozwiążmy układ za pomocą wzorów Cramera. 
co oznacza, że system posiada unikalne rozwiązanie.
Odpowiedź: 
.
Właściwie tutaj znowu nie ma nic specjalnego do komentowania, ponieważ rozwiązanie opiera się na gotowych formułach. Ale jest kilka komentarzy.
Zdarza się, że w wyniku obliczeń otrzymuje się „złe” ułamki nieredukowalne, np.: .
Polecam następujący algorytm „leczenia”. Jeśli nie masz pod ręką komputera, wykonaj następujące czynności:
1) W obliczeniach może wystąpić błąd. Gdy tylko napotkasz „złą” frakcję, natychmiast musisz to sprawdzić Czy warunek został przepisany poprawnie?. Jeśli warunek zostanie przepisany bez błędów, należy ponownie obliczyć wyznaczniki za pomocą rozwinięcia w innym wierszu (kolumnie).
2) Jeśli w wyniku sprawdzenia nie zostaną wykryte żadne błędy, najprawdopodobniej w warunkach zadania wystąpiła literówka. W takim przypadku spokojnie i DOKŁADNIE przepracuj zadanie do końca, a potem koniecznie sprawdź i sporządzamy to na czystym koncie po podjęciu decyzji. Oczywiście sprawdzanie odpowiedzi ułamkowej jest zadaniem nieprzyjemnym, ale będzie to rozbrajający argument dla nauczyciela, który bardzo lubi dawać minusy za takie bzdury jak . Sposób postępowania z ułamkami opisano szczegółowo w odpowiedzi na Przykład 8.
Jeśli masz pod ręką komputer, skorzystaj z automatycznego programu do sprawdzenia, który można pobrać bezpłatnie na samym początku lekcji. Nawiasem mówiąc, najbardziej opłaca się skorzystać z programu od razu (nawet przed rozpoczęciem rozwiązania) od razu zobaczysz krok pośredni, w którym popełniłeś błąd! Ten sam kalkulator automatycznie oblicza rozwiązanie układu metoda matrycowa.
Druga uwaga. Czasami w równaniach zdarzają się układy, w których brakuje niektórych zmiennych, np.: 
Tutaj w pierwszym równaniu nie ma zmiennej, w drugim nie ma zmiennej. W takich przypadkach bardzo ważne jest prawidłowe i DOKŁADNE zapisanie głównego wyznacznika: 
– w miejsce brakujących zmiennych wstawiane są zera.
Nawiasem mówiąc, racjonalne jest otwieranie wyznaczników zerami zgodnie z wierszem (kolumną), w którym znajduje się zero, ponieważ jest zauważalnie mniej obliczeń.
Przykład 10
Rozwiązać układ korzystając ze wzorów Cramera. 
To jest przykład samodzielnego rozwiązania (próbka ostatecznego projektu i odpowiedź na końcu lekcji).
Dla przypadku układu 4 równań z 4 niewiadomymi wzory Cramera zapisuje się według podobnych zasad. Możesz zobaczyć żywy przykład na lekcji. Właściwości wyznacznika. Redukcja rzędu wyznacznika– pięć wyznaczników czwartego rzędu jest całkiem rozwiązywalnych. Choć zadanie już bardzo przypomina but profesorski na piersi szczęśliwego studenta.
Rozwiązanie układu za pomocą macierzy odwrotnej
Zasadniczo jest to metoda macierzy odwrotnej specjalny przypadek równanie macierzowe (Zobacz przykład nr 3 z określonej lekcji).
Aby przestudiować tę sekcję, musisz umieć rozwijać wyznaczniki, znajdować odwrotność macierzy i wykonywać mnożenie macierzy. Odpowiednie linki będą udostępniane w miarę postępu wyjaśnień.
Przykład 11
Rozwiązać układ metodą macierzową 
Rozwiązanie: Zapiszmy system w postaci macierzowej:
, Gdzie 
Proszę spojrzeć na układ równań i macierzy. Myślę, że każdy rozumie zasadę, według której zapisujemy elementy do macierzy. Jedyna uwaga: gdyby w równaniach zabrakło jakichś zmiennych, to w odpowiednich miejscach macierzy należałoby wstawić zera.
Macierz odwrotną znajdujemy korzystając ze wzoru:
, gdzie jest transponowaną macierzą dodatki algebraiczne odpowiednie elementy macierzy.
Najpierw spójrzmy na wyznacznik:
Tutaj wyznacznik jest rozwijany w pierwszej linii.
Uwaga! Jeżeli , to macierz odwrotna nie istnieje i nie da się rozwiązać układu metodą macierzową. W tym przypadku system jest rozwiązany metoda eliminacji niewiadomych (metoda Gaussa).
Teraz musimy obliczyć 9 nieletnich i zapisać je w macierzy nieletnich 
Odniesienie: Przydatne jest poznanie znaczenia podwójnych indeksów dolnych w algebrze liniowej. Pierwsza cyfra to numer linii, w której znajduje się element. Druga cyfra to numer kolumny, w której znajduje się element: 
Oznacza to, że podwójny indeks dolny wskazuje, że element znajduje się w pierwszym rzędzie, trzeciej kolumnie i na przykład element znajduje się w 3. rzędzie, 2. kolumnie
