Dom Nieświeży oddech Rozwiązanie do wbijania w Slough. Metoda Cramera: rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (slau)

Rozwiązanie do wbijania w Slough. Metoda Cramera: rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych (slau)


2. Rozwiązywanie układów równań metodą macierzową (z wykorzystaniem macierzy odwrotnej).
3. Metoda Gaussa rozwiązywania układów równań.

Metoda Cramera.

Do rozwiązywania układów liniowych stosuje się metodę Cramera równania algebraiczne (SLAU).

Wzory na przykładzie układu dwóch równań z dwiema zmiennymi.
Dany: Rozwiązać układ metodą Cramera

Odnośnie zmiennych X I Na.
Rozwiązanie:
Znajdźmy wyznacznik macierzy złożonej ze współczynników układu Obliczanie wyznaczników. :




Zastosujmy wzory Cramera i znajdźmy wartości zmiennych:
I .
Przykład 1:
Rozwiąż układ równań:

odnośnie zmiennych X I Na.
Rozwiązanie:


Zastąpmy pierwszą kolumnę tego wyznacznika kolumną współczynników z prawej strony układu i znajdźmy jej wartość:

Zróbmy to podobna akcja, zastępując drugą kolumnę w pierwszym wyznaczniku:

Odpowiedni Wzory Cramera i znajdź wartości zmiennych:
I .
Odpowiedź:
Komentarz: Metodą tą można rozwiązywać układy o większych wymiarach.

Komentarz: Jeśli okaże się, że , ale nie można podzielić przez zero, to mówią, że system nie ma unikalnego rozwiązania. W tym przypadku układ albo ma nieskończenie wiele rozwiązań, albo nie ma ich wcale.

Przykład 2(nieskończona liczba rozwiązań):

Rozwiąż układ równań:

odnośnie zmiennych X I Na.
Rozwiązanie:
Znajdźmy wyznacznik macierzy złożonej ze współczynników układu:

Rozwiązywanie układów metodą podstawieniową.

Pierwsze z równań układu jest równością, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych (ponieważ 4 jest zawsze równe 4). Oznacza to, że pozostało tylko jedno równanie. Jest to równanie zależności między zmiennymi.
Stwierdziliśmy, że rozwiązaniem układu jest dowolna para wartości zmiennych powiązanych ze sobą równością.
Ogólne rozwiązanie zostanie zapisane w następujący sposób:
Poszczególne rozwiązania można wyznaczyć wybierając dowolną wartość y i z tej równości związku obliczając x.

itp.
Takich rozwiązań jest nieskończenie wiele.
Odpowiedź: rozwiązanie ogólne
Rozwiązania prywatne:

Przykład 3(brak rozwiązań, system jest niekompatybilny):

Rozwiąż układ równań:

Rozwiązanie:
Znajdźmy wyznacznik macierzy złożonej ze współczynników układu:

Nie można stosować wzorów Cramera. Rozwiążmy ten układ metodą podstawienia

Drugie równanie układu jest równością, która nie jest prawdziwa dla żadnej wartości zmiennych (oczywiście, ponieważ -15 nie jest równe 2). Jeśli jedno z równań układu nie jest prawdziwe dla którejkolwiek wartości zmiennych, to cały układ nie ma rozwiązań.
Odpowiedź:żadnych rozwiązań

Metody Kramera I Gaus- jedna z najpopularniejszych metod rozwiązywania SLAU. Ponadto w niektórych przypadkach wskazane jest zastosowanie określonych metod. Sesja dobiegła końca i nadszedł czas, aby je powtórzyć lub opanować od zera. Dziś przyjrzymy się rozwiązaniu wykorzystując metodę Cramera. W końcu rozwiązanie systemowe równania liniowe Metoda Cramera to bardzo przydatna umiejętność.

Układy liniowych równań algebraicznych

Układ liniowych równań algebraicznych to układ równań postaci:

Zestaw wartości X , w którym równania układu zamieniają się w tożsamości, nazywa się rozwiązaniem układu, A I B są współczynnikami rzeczywistymi. Prosty układ składający się z dwóch równań z dwiema niewiadomymi można rozwiązać w głowie lub wyrażając jedną zmienną za pomocą drugiej. Ale w SLAE może znajdować się znacznie więcej niż dwie zmienne (xes) i tutaj proste manipulacje szkolne nie wystarczą. Co robić? Na przykład rozwiązuj SLAE metodą Cramera!

Niech więc system będzie się składał z N równania z N nieznany.

Taki system można zapisać w postaci macierzowej

Tutaj A – główna matryca systemu, X I B , odpowiednio, macierze kolumnowe nieznanych zmiennych i wolnych terminów.

Rozwiązywanie SLAE metodą Cramera

Jeżeli wyznacznik macierzy głównej nie jest równy zero (macierz nie jest osobliwa), układ można rozwiązać metodą Cramera.

Według metody Cramera rozwiązanie znajduje się za pomocą wzorów:

Tutaj delta jest wyznacznikiem macierzy głównej, oraz delta x n-ty – wyznacznik otrzymany z wyznacznika macierzy głównej poprzez zastąpienie n-tej kolumny kolumną wolnych wyrazów.

Na tym polega cała istota metody Cramera. Zastępując wartości znalezione za pomocą powyższych wzorów X w pożądany system, jesteśmy przekonani o poprawności (lub odwrotnie) naszego rozwiązania. Aby pomóc Państwu szybko ogarnąć istotę, poniżej podajemy przykład szczegółowego rozwiązania SLAE metodą Cramera:

Nawet jeśli nie uda Ci się za pierwszym razem, nie zniechęcaj się! Przy odrobinie praktyki zaczniesz łamać SLAU jak orzechy. Co więcej, teraz absolutnie nie trzeba pochylać się nad notatnikiem, rozwiązywać kłopotliwe obliczenia i wypełniać rdzeń. Możesz łatwo rozwiązać SLAE metodą Cramera online, po prostu przez podstawienie gotowa forma współczynniki. Spróbuj kalkulator internetowy Rozwiązania wykorzystujące metodę Cramera można znaleźć np. na tej stronie.

A jeśli system okaże się uparty i nie podda się, zawsze możesz zwrócić się do naszych autorów o pomoc np. Jeśli w systemie jest co najmniej 100 niewiadomych, na pewno rozwiążemy je poprawnie i na czas!

Rozważmy układ trzech równań z trzema niewiadomymi

Stosując wyznaczniki trzeciego stopnia, rozwiązanie takiego układu można zapisać w takiej samej postaci jak dla układu dwóch równań, tj.

(2.4)

jeśli 0. Tutaj

To jest tam Reguła Cramera rozwiązywanie układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi.

Przykład 2.3. Rozwiąż układ równań liniowych, korzystając z reguły Cramera:

Rozwiązanie . Znalezienie wyznacznika macierzy głównej układu

Ponieważ 0, to aby znaleźć rozwiązanie układu, możemy zastosować regułę Cramera, ale najpierw obliczamy jeszcze trzy wyznaczniki:

Badanie:

Dlatego rozwiązanie zostało znalezione prawidłowo. 

Reguły Cramera wyprowadzone dla systemy liniowe 2. i 3. rzędu sugerują, że te same zasady można sformułować dla układów liniowych dowolnego rzędu. Naprawdę się dzieje

Twierdzenie Cramera. Kwadratowy układ równań liniowych z niezerowym wyznacznikiem macierzy głównej układu (0) ma jedno i tylko jedno rozwiązanie i to rozwiązanie oblicza się za pomocą wzorów

(2.5)

Gdzie  – wyznacznik macierzy głównej,  Iwyznacznik macierzy, uzyskany z głównego, zastępującIkolumna kolumna wolnych członków.

Należy zauważyć, że jeśli =0, to reguła Cramera nie ma zastosowania. Oznacza to, że układ albo nie ma żadnych rozwiązań, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Po sformułowaniu twierdzenia Cramera naturalnie pojawia się pytanie o obliczanie wyznaczników wyższych rzędów.

2.4. Wyznaczniki n-tego rzędu

Dodatkowe drobne M ja element A ja jest wyznacznikiem otrzymanym z danego przez usunięcie I linia i J kolumna. Dopełnienie algebraiczne A ja element A ja nazywa się moll tego elementu wzięty ze znakiem (–1). I + J, tj. A ja = (–1) I + J M ja .

Na przykład znajdźmy nieletnich i dodatki algebraiczne elementy A 23 i A 31 kwalifikatorów

Dostajemy

Korzystając z pojęcia dopełnienia algebraicznego, możemy sformułować twierdzenie o wyznaczniku ekspansjiN-ta kolejność według wiersza lub kolumny.

Twierdzenie 2.1. Wyznacznik macierzyAjest równa sumie iloczynów wszystkich elementów danego wiersza (lub kolumny) przez ich uzupełnienia algebraiczne:

(2.6)

Twierdzenie to leży u podstaw jednej z głównych metod obliczania wyznaczników, tzw. metoda redukcji zamówień. W wyniku rozwinięcia wyznacznika N kolejności w dowolnym wierszu lub kolumnie, otrzymujemy n wyznaczników ( N–1)trzecie zamówienie. Aby mieć mniej takich wyznaczników, wskazane jest wybranie wiersza lub kolumny, która ma najwięcej zer. W praktyce wzór na rozwinięcie wyznacznika zapisuje się zwykle jako:

te. Dodatki algebraiczne są zapisywane wyraźnie w kategoriach nieletnich.

Przykłady 2.4. Oblicz wyznaczniki, sortując je najpierw w jakiś wiersz lub kolumnę. Zazwyczaj w takich przypadkach należy wybrać kolumnę lub wiersz zawierający najwięcej zer. Wybrany wiersz lub kolumna zostanie wskazany strzałką.

2.5. Podstawowe własności wyznaczników

Rozwijając wyznacznik po dowolnym wierszu lub kolumnie, otrzymujemy n wyznaczników ( N–1)trzecie zamówienie. Wtedy każdy z tych wyznaczników ( N–1)-ty rząd można również rozszerzyć na sumę wyznaczników ( N–2)trzecie zamówienie. Kontynuując ten proces można dojść do wyznaczników I rzędu, tj. do elementów macierzy, których wyznacznik jest obliczany. Zatem, aby obliczyć wyznaczniki drugiego rzędu, trzeba będzie obliczyć sumę dwóch wyrazów, dla wyznaczników trzeciego rzędu - sumę 6 wyrazów, dla wyznaczników czwartego rzędu - 24 wyrazy. Liczba terminów będzie gwałtownie rosnąć wraz ze wzrostem rzędu wyznacznika. Oznacza to, że obliczenie wyznaczników bardzo wysokich rzędów staje się zadaniem dość pracochłonnym, przekraczającym możliwości nawet komputera. Wyznaczniki można jednak obliczyć w inny sposób, wykorzystując właściwości wyznaczników.

Właściwość 1 . Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeśli znajdujące się w nim wiersze i kolumny zostaną zamienione miejscami, tj. podczas transpozycji macierzy:

.

Ta właściwość wskazuje równość wierszy i kolumn wyznacznika. Innymi słowy, każde stwierdzenie dotyczące kolumn wyznacznika jest również prawdziwe w przypadku jego wierszy i odwrotnie.

Własność 2 . Wyznacznik zmienia znak w przypadku zamiany dwóch wierszy (kolumn).

Konsekwencja . Jeżeli wyznacznik ma dwa identyczne wiersze (kolumny), to jest równy zero.

Własność 3 . Wspólny czynnik wszystkich elementów w dowolnym wierszu (kolumnie) można wyjąć ze znaku wyznacznika.

Na przykład,

Konsekwencja . Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) wyznacznika są równe zero, to sam wyznacznik jest równy zero.

Właściwość 4 . Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeżeli elementy jednego wiersza (kolumny) dodamy do elementów innego wiersza (kolumny) i pomnożymy przez dowolną liczbę.

Na przykład,

Własność 5 . Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników macierzy:

Przy takiej samej liczbie równań, jak liczba niewiadomych, których główny wyznacznik macierzy jest różny od zera, współczynniki układu (dla takich równań jest rozwiązanie i jest tylko jedno).

Twierdzenie Cramera.

Jeżeli wyznacznik macierzy układu kwadratowego jest niezerowy, oznacza to, że układ jest niesprzeczny i ma jedno rozwiązanie, co można znaleźć wzorem Wzory Cramera:

gdzie Δ - wyznacznik macierzy systemu,

Δ I jest wyznacznikiem macierzy układu, w którym zamiast I Kolumna ta zawiera kolumnę prawych stron.

Gdy wyznacznik systemu wynosi zero, oznacza to, że system może stać się współpracujący lub niekompatybilny.

Ta metoda jest zwykle używana małe systemy z obliczeniami objętościowymi oraz czy i kiedy konieczne jest określenie jednej z niewiadomych. Złożoność metody polega na tym, że należy obliczyć wiele wyznaczników.

Opis metody Cramera.

Istnieje układ równań:

Układ 3 równań można rozwiązać metodą Cramera, która została omówiona powyżej dla układu 2 równań.

Tworzymy wyznacznik ze współczynników niewiadomych:

To będzie wyznacznik systemu. Gdy D≠0, co oznacza, że ​​system jest spójny. Stwórzmy teraz 3 dodatkowe wyznaczniki:

,,

Rozwiązujemy układ wg Wzory Cramera:

Przykłady rozwiązywania układów równań metodą Cramera.

Przykład 1.

Dany system:

Rozwiążmy to za pomocą metody Cramera.

Najpierw musisz obliczyć wyznacznik macierzy układu:

Ponieważ Δ≠0, co oznacza, że ​​z twierdzenia Cramera układ jest spójny i ma jedno rozwiązanie. Obliczamy dodatkowe wyznaczniki. Wyznacznik Δ 1 otrzymuje się z wyznacznika Δ zastępując jego pierwszą kolumnę kolumną wolnych współczynników. Otrzymujemy:

W ten sam sposób wyznaczamy wyznacznik Δ 2 z wyznacznika macierzy układu, zastępując drugą kolumnę kolumną wolnych współczynników:

Niech układ równań liniowych będzie zawierał tyle równań, ile jest zmiennych niezależnych, czyli: wygląda

Takie układy równań liniowych nazywane są kwadratowymi. Wyznacznik złożony ze współczynników niezależnych zmienne systemowe(1.5) nazywany jest głównym wyznacznikiem układu. Będziemy to oznaczać grecką literą D. Zatem,

. (1.6)

Jeśli główny wyznacznik zawiera dowolną ( J th) kolumnę zamień na kolumnę bezpłatnych warunków systemowych (1.5), a następnie możesz uzyskać N kwalifikacje pomocnicze:

(J = 1, 2, …, N). (1.7)

Reguła Cramera rozwiązywanie układów kwadratowych równań liniowych przebiega następująco. Jeżeli główna wyznacznik D układu (1.5) jest różna od zera, to układ ma jednoznaczne rozwiązanie, które można znaleźć korzystając ze wzorów:

(1.8)

Przykład 1.5. Rozwiązać układ równań metodą Cramera

.

Obliczmy główny wyznacznik układu:

Od D¹0 układ ma unikalne rozwiązanie, które można znaleźć korzystając ze wzorów (1.8):

Zatem,

Działania na macierzach

1. Mnożenie macierzy przez liczbę. Operację mnożenia macierzy przez liczbę definiuje się w następujący sposób.

2. Aby pomnożyć macierz przez liczbę, należy pomnożyć wszystkie jej elementy przez tę liczbę. To jest

. (1.9)

Przykład 1.6. .

Dodawanie macierzy.

Operację tę wprowadza się tylko dla macierzy tego samego rzędu.

Aby dodać dwie macierze należy dodać odpowiednie elementy innej macierzy do elementów jednej macierzy:

(1.10)
Operacja dodawania macierzy ma właściwości asocjatywności i przemienności.

Przykład 1.7. .

Mnożenie macierzy.

Jeśli liczba kolumn macierzy A pokrywa się z liczbą wierszy macierzy W, wówczas dla takich macierzy wprowadza się operację mnożenia:

2

Zatem przy mnożeniu macierzy A wymiary M´ N do matrixa W wymiary N´ k otrzymujemy macierz Z wymiary M´ k. W tym przypadku elementy macierzy Z oblicza się za pomocą następujących wzorów:

Zadanie 1.8. Znajdź, jeśli to możliwe, iloczyn macierzy AB I licencjat:

Rozwiązanie. 1) Aby znaleźć pracę AB, potrzebujesz wierszy macierzy A pomnóż przez kolumny macierzy B:

2) Pracuj licencjat nie istnieje, ponieważ liczba kolumn macierzy B nie odpowiada liczbie wierszy macierzy A.

Odwrotna macierz. Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą macierzową

Matryca A- Liczba 1 nazywana jest odwrotnością macierzy kwadratowej A, jeśli spełniona jest równość:

dokąd I oznacza macierz jednostkową tego samego rzędu co macierz A:

.

Aby macierz kwadratowa miała odwrotność, konieczne i wystarczające jest, aby jej wyznacznik był różny od zera. Macierz odwrotną oblicza się za pomocą wzoru:


, (1.13)

Gdzie Ij- algebraiczne dodatki do elementów ij matryce A(zauważ, że algebraiczne dodatki do wierszy macierzy A znajdują się w macierzy odwrotnej w postaci odpowiednich kolumn).

Przykład 1.9. Znajdź macierz odwrotną A- 1 do matrycy

.

Macierz odwrotną znajdujemy za pomocą wzoru (1.13), który dla przypadku N= 3 ma postać:

.

Znajdźmy det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Ponieważ wyznacznik macierzy pierwotnej jest różny od zera, istnieje macierz odwrotna.

1) Znajdź uzupełnienia algebraiczne Ij:

Dla ułatwienia lokalizacji odwrotna macierz, umieściliśmy dodatki algebraiczne do wierszy macierzy oryginalnej w odpowiednich kolumnach.

Z otrzymanych dodatków algebraicznych tworzymy nową macierz i dzielimy ją przez wyznacznik det A. W ten sposób otrzymujemy macierz odwrotną:

Układy kwadratowe równań liniowych z niezerową wyznacznikiem głównym można rozwiązać za pomocą macierzy odwrotnej. W tym celu system (1.5) zapisuje się w postaci macierzowej:

Gdzie

Mnożenie obu stron równości (1.14) od lewej strony przez A- 1, otrzymujemy rozwiązanie układu:

, Gdzie

Zatem, aby znaleźć rozwiązanie układu kwadratowego, należy znaleźć macierz odwrotną macierzy głównej układu i pomnożyć ją po prawej stronie przez macierz kolumnową wolnych wyrazów.

Zadanie 1.10. Rozwiązać układ równań liniowych

stosując macierz odwrotną.

Rozwiązanie. Zapiszmy układ w postaci macierzowej: ,

Gdzie - główną macierz systemu, - kolumnę niewiadomych i - kolumnę wolnych terminów. Ponieważ głównym wyznacznikiem systemu , a następnie główną macierz układu A ma macierz odwrotną A-1. Aby znaleźć macierz odwrotną A-1, obliczamy uzupełnienia algebraiczne do wszystkich elementów macierzy A:

Z uzyskanych liczb ułożymy macierz (oraz dodatki algebraiczne do wierszy macierzy A wpisz to w odpowiednich kolumnach) i podziel przez wyznacznik D. W ten sposób znaleźliśmy macierz odwrotną:

Rozwiązanie układu znajdujemy korzystając ze wzoru (1.15):

Zatem,

Rozwiązywanie układów równań liniowych zwykłą metodą eliminacji Jordana

Niech będzie dany dowolny (niekoniecznie kwadratowy) układ równań liniowych:

(1.16)

Konieczne jest znalezienie rozwiązania układu, tj. taki zbiór zmiennych, który spełnia wszystkie równości układu (1.16). W przypadek ogólny system (1.16) może mieć nie tylko jedno rozwiązanie, ale także niezliczoną ilość rozwiązań. Może też nie mieć żadnych rozwiązań.

Przy rozwiązywaniu takich problemów dobrze znane kurs szkolny metoda eliminacji niewiadomych, zwana także metodą zwykłej eliminacji Jordana. Esencja tę metodę polega na tym, że w jednym z równań układu (1.16) jedna ze zmiennych jest wyrażona w postaci innych zmiennych. Zmienną tę następnie podstawia się do innych równań w systemie. Rezultatem jest układ zawierający jedno równanie i jedną zmienną mniej niż układ oryginalny. Zapamiętuje się równanie, z którego wyrażono zmienną.

Proces ten powtarza się, aż w układzie pozostanie ostatnie równanie. W procesie eliminacji niewiadomych niektóre równania mogą stać się prawdziwymi tożsamościami, np. Takie równania są wyłączone z układu, ponieważ są spełnione dla dowolnych wartości zmiennych i dlatego nie wpływają na rozwiązanie układu. Jeśli w procesie eliminacji niewiadomych przynajmniej jedno równanie stanie się równością, której nie można spełnić dla żadnej wartości zmiennych (na przykład), wówczas dochodzimy do wniosku, że układ nie ma rozwiązania.

Jeśli podczas rozwiązania nie pojawią się sprzeczne równania, wówczas jedną z pozostałych w nim zmiennych zostanie znaleziona z ostatniego równania. Jeżeli w ostatnim równaniu pozostała tylko jedna zmienna, wówczas wyraża się ją jako liczbę. Jeżeli w ostatnim równaniu pozostaną inne zmienne, wówczas uważa się je za parametry, a zmienna za ich pośrednictwem wyrażona będzie funkcją tych parametrów. Następnie tzw. skok odwrotny" Znaleziona zmienna jest podstawiana do ostatnio zapamiętanego równania i znajdowana jest druga zmienna. Następnie dwie znalezione zmienne podstawia się do przedostatniego zapamiętanego równania, po czym znajduje się trzecią zmienną i tak dalej, aż do pierwszego zapamiętanego równania.

W efekcie otrzymujemy rozwiązanie układu. To rozwiązanie będzie unikalne, jeśli znalezione zmienne będą liczbami. Jeśli pierwsza znaleziona zmienna, a następnie wszystkie pozostałe, zależą od parametrów, to układ będzie miał nieskończoną liczbę rozwiązań (każdy zestaw parametrów odpowiada nowemu rozwiązaniu). Wzory, które pozwalają znaleźć rozwiązanie układu w zależności od określonego zestawu parametrów, nazywane są ogólnym rozwiązaniem układu.

Przykład 1.11.

X

Po zapamiętaniu pierwszego równania i wprowadzając podobne wyrazy w drugim i trzecim równaniu, dochodzimy do układu:

Wyraźmy y z drugiego równania i podstawiamy je do pierwszego równania:

Zapamiętajmy drugie równanie i od pierwszego znajdziemy z:

Pracując wstecz, konsekwentnie znajdujemy y I z. Aby to zrobić, najpierw podstawimy do ostatniego zapamiętanego równania, skąd znajdujemy y:

.

Następnie podstawimy to do pierwszego zapamiętanego równania gdzie możemy to znaleźć X:

Zadanie 1.12. Rozwiąż układ równań liniowych, eliminując niewiadome:

. (1.17)

Rozwiązanie. Wyraźmy zmienną z pierwszego równania X i podstawiamy to do drugiego i trzeciego równania:

.

Przypomnijmy sobie pierwsze równanie

W tym układzie pierwsze i drugie równanie są ze sobą sprzeczne. Rzeczywiście, wyrażając y , otrzymujemy, że 14 = 17. Ta równość nie obowiązuje dla żadnych wartości zmiennych X, y, I z. W konsekwencji układ (1.17) jest niespójny, tj. nie ma rozwiązania.

Zapraszamy czytelników do sprawdzenia, czy główny wyznacznik pierwotnego układu (1.17) jest równy zeru.

Rozważmy system, który różni się od systemu (1.17) tylko jednym składnikiem wolnym.

Zadanie 1.13. Rozwiąż układ równań liniowych, eliminując niewiadome:

. (1.18)

Rozwiązanie. Tak jak poprzednio wyrażamy zmienną z pierwszego równania X i podstawiamy to do drugiego i trzeciego równania:

.

Przypomnijmy sobie pierwsze równanie i przedstaw podobne wyrazy w drugim i trzecim równaniu. Dochodzimy do układu:

Wyrażający y z pierwszego równania i podstawiając je do drugiego równania , otrzymujemy tożsamość 14 = 14, co nie ma wpływu na rozwiązanie układu, a zatem można go wykluczyć z systemu.

W ostatniej zapamiętanej równości zmienna z uznamy to za parametr. Wierzymy. Następnie

Zastąpmy y I z do pierwszej zapamiętanej równości i znajdź X:

.

Zatem układ (1.18) ma nieskończoną liczbę rozwiązań, a każde rozwiązanie można znaleźć korzystając ze wzorów (1.19), wybierając dowolną wartość parametru T:

(1.19)
Zatem rozwiązaniami systemu są na przykład następujące zbiory zmiennych (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Wzory (1.19) wyrażają ogólne (dowolne) rozwiązanie systemu (1.18) ).

W przypadku, gdy pierwotny układ (1.16) ma dostatecznie dużą liczbę równań i niewiadomych, wskazana metoda zwykłej eliminacji Jordana wydaje się uciążliwa. Jednak nie jest to prawdą. Wystarczy w jednym kroku wyprowadzić algorytm przeliczania współczynników układu widok ogólny i sformułuj rozwiązanie problemu w postaci specjalnych tabel Jordana.

Niech będzie dany układ postaci liniowych (równań):

, (1.20)
Gdzie x j- zmienne niezależne (poszukiwane), ij- stałe szanse
(ja = 1, 2,…, M; J = 1, 2,…, N). Prawe części systemu tak, ja (ja = 1, 2,…, M) mogą być zmiennymi (zależnymi) lub stałymi. Konieczne jest znalezienie rozwiązań tego układu poprzez wyeliminowanie niewiadomych.

Rozważmy następującą operację, zwaną poniżej „jednym krokiem zwykłych eliminacji Jordana”. Z dowolnego ( R th) równość wyrażamy dowolną zmienną ( xs) i podstaw do wszystkich innych równości. Oczywiście jest to możliwe tylko wtedy, gdy rs¹ 0. Współczynnik rs nazywany elementem rozdzielczym (czasami prowadzącym lub głównym).

Dostaniemy następujący system:

. (1.21)

Z S- równość systemu (1.21), następnie znajdujemy zmienną xs(po znalezieniu pozostałych zmiennych). S-ta linia zostaje zapamiętana i następnie wykluczona z systemu. Pozostały układ będzie zawierał jedno równanie i jedną zmienną niezależną mniej niż układ oryginalny.

Obliczmy współczynniki powstałego układu (1,21) poprzez współczynniki układu pierwotnego (1,20). Zacznijmy od R równanie, które po wyrażeniu zmiennej xs poprzez pozostałe zmienne będzie to wyglądać następująco:

Zatem nowe współczynniki R równania oblicza się za pomocą następujących wzorów:

(1.23)
Obliczmy teraz nowe współczynniki b ij(I¹ R) dowolne równanie. W tym celu podstawmy zmienną wyrażoną w (1.22) xs V I równanie układu (1.20):

Po wprowadzeniu podobnych terminów otrzymujemy:

(1.24)
Z równości (1.24) otrzymujemy wzory, według których obliczane są pozostałe współczynniki układu (1.21) (z wyjątkiem R równanie):

(1.25)
Transformację układów równań liniowych metodą zwykłej eliminacji Jordana przedstawiono w postaci tablic (macierzy). Tabele te nazywane są „tabelami Jordana”.

Zatem problem (1.20) jest powiązany z następującą tabelą Jordana:

Tabela 1.1

X 1 X 2 x j xs x rz
y 1 = A 11 A 12 A 1J A 1S A 1N
…………………………………………………………………..
tak, ja= ja 1 ja 2 ij jest w
…………………………………………………………………..
y r= r 1 r 2 rj rs Arn
………………………………………………………………….
y n= jestem 1 jestem 2 mj pani miesiąc

Tabela Jordana 1.1 zawiera lewą kolumnę nagłówka, w której zapisane są prawe części systemu (1.20) oraz górny wiersz nagłówka, w którym wpisane są zmienne niezależne.

Pozostałe elementy tabeli tworzą główną macierz współczynników układu (1.20). Jeśli pomnożysz macierz A do macierzy składającej się z elementów górnego wiersza tytułowego, otrzymujemy macierz składającą się z elementów lewej kolumny tytułowej. Oznacza to, że zasadniczo tabela Jordana jest macierzową formą zapisu układu równań liniowych: . System (1.21) odpowiada poniższej tabeli Jordana:

Tabela 1.2

X 1 X 2 x j y r x rz
y 1 = B 11 B 12 B 1 J B 1 S B 1 N
…………………………………………………………………..
tak, ja = b ja 1 b ja 2 b ij b jest b w
…………………………………………………………………..
x s = b r 1 b r 2 b rj b rs br
………………………………………………………………….
y n = b m 1 b m 2 b mj bms b mn

Element dopuszczający rs Zaznaczymy je pogrubioną czcionką. Przypomnijmy, że aby zastosować jeden krok eliminacji Jordana, element rozdzielający musi być niezerowy. Wiersz tabeli zawierający element włączający nazywany jest wierszem włączającym. Kolumna zawierająca element Enable nazywana jest kolumną Enable. Podczas przechodzenia z danej tabeli do następnej tabeli jedna zmienna ( xs) z górnego wiersza nagłówka tabeli zostaje przeniesiony do lewej kolumny nagłówka i odwrotnie, jeden z wolnych elementów systemu ( y r) przenosi się z lewej kolumny nagłówka tabeli do górnego rzędu nagłówków.

Opiszmy algorytm przeliczania współczynników przy przejściu z tablicy Jordana (1.1) do tabeli (1.2), co wynika ze wzorów (1.23) i (1.25).

1. Element rozwiązujący zastępuje się liczbą odwrotną:

2. Pozostałe elementy ciągu rozdzielającego są dzielone przez element rozdzielający i zmieniają znak na przeciwny:

3. Pozostałe elementy kolumny rozdzielczość dzielimy na element rozdzielczości:

4. Elementy, które nie znajdują się w wierszu zezwolenia i kolumnie zezwolenia, są przeliczane przy użyciu wzorów:

Ostatni wzór jest łatwy do zapamiętania, jeśli zauważysz elementy tworzące ułamek , znajdują się na skrzyżowaniu I-och i R linie i J i S kolumn (rozwiązujący wiersz, rozwiązująca kolumna oraz wiersz i kolumna, na przecięciu których znajduje się przeliczany element). Dokładniej, podczas zapamiętywania formuły możesz skorzystać z poniższego diagramu:

-21 -26 -13 -37

Wykonując pierwszy krok wyjątków Jordana, możesz wybrać dowolny element Tabeli 1.3 znajdujący się w kolumnach jako element rozstrzygający X 1 ,…, X 5 (wszystkie określone elementy nie są zerowe). Po prostu nie wybieraj elementu włączającego w ostatniej kolumnie, ponieważ musisz znaleźć zmienne niezależne X 1 ,…, X 5. Na przykład wybieramy współczynnik 1 ze zmienną X 3 w trzecim wierszu tabeli 1.3 (element umożliwiający zaznaczono pogrubioną czcionką). Po przejściu do tabeli 1.4 zmienna X Cyfra 3 z górnego wiersza nagłówka jest zamieniana ze stałą wartością 0 z lewej kolumny nagłówka (trzeci wiersz). W tym przypadku zmienna X 3 wyraża się poprzez pozostałe zmienne.

Smyczkowy X 3 (Tabela 1.4) można po wcześniejszym zapamiętaniu wykluczyć z Tabeli 1.4. Trzecia kolumna z zerem w górnym wierszu tytułu również jest wyłączona z Tabeli 1.4. Rzecz w tym, że niezależnie od współczynników danej kolumny b ja 3 wszystkie odpowiednie wyrazy każdego równania 0 b ja 3 systemy będą równe zeru. Dlatego nie ma potrzeby obliczania tych współczynników. Eliminacja jednej zmiennej X 3 i pamiętając jedno z równań, dochodzimy do układu odpowiadającego tabeli 1.4 (z przekreśloną linią X 3). Wybór w tabeli 1.4 jako element rozstrzygający B 14 = -5, przejdź do tabeli 1.5. W Tabeli 1.5 zapamiętaj pierwszy wiersz i wyklucz go z tabeli wraz z czwartą kolumną (z zerem na górze).

Tabela 1.5 Tabela 1.6

Z ostatniej tabeli 1.7 znajdujemy: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Konsekwentnie podstawiając już znalezione zmienne do zapamiętanych linii, znajdujemy pozostałe zmienne:

Zatem układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zmienny X 5, można przypisać dowolne wartości. Zmienna ta pełni rolę parametru X 5 = t. Udowodniliśmy kompatybilność systemu i znaleźliśmy jego ogólne rozwiązanie:

X 1 = - 3 + 2T

X 2 = - 1 - 3T

X 3 = - 2 + 4T . (1.27)
X 4 = 4 + 5T

X 5 = T

Podanie parametru T różnych wartościach, otrzymamy nieskończoną liczbę rozwiązań układu pierwotnego. Na przykład rozwiązaniem układu jest następujący zestaw zmiennych (- 3; - 1; - 2; 4; 0).



Nowość na stronie

>

Najpopularniejsze