Wyrażenia, równania i układy równań
Z Liczby zespolone

Dzisiaj na zajęciach będziemy ćwiczyć typowe działania na liczbach zespolonych, a także opanujemy technikę rozwiązywania wyrażeń, równań i układów równań zawierających te liczby. Ten warsztat jest kontynuacją lekcji, dlatego jeśli nie jesteś dobrze zorientowany w temacie, kliknij powyższy link. Cóż, dla bardziej przygotowanych czytelników sugeruję od razu rozgrzewkę:

Przykład 1

Uprość wyrażenie , Jeśli . Przedstaw wynik w postaci trygonometrycznej i nanieś go na płaszczyznę zespoloną.

Rozwiązanie: więc trzeba podstawić ułamek na ułamek „straszny”, dokonać uproszczeń i wynik przeliczyć Liczba zespolona V postać trygonometryczna. Oraz rysunek.

Jaki jest najlepszy sposób sformalizowania decyzji? Z „wyrafinowanym” wyrażenie algebraiczne Lepiej to zrozumieć krok po kroku. Po pierwsze, uwaga jest mniej rozproszona, a po drugie, jeśli zadanie nie zostanie przyjęte, znacznie łatwiej będzie znaleźć błąd.

1) Najpierw uprośćmy licznik. Podstawmy do tego wartość, otwórzmy nawiasy i poprawmy fryzurę:

...Tak, taki Quasimodo pochodził z liczb zespolonych...

Przypomnę, że podczas przekształceń stosuje się zupełnie proste rzeczy - zasadę mnożenia wielomianów i równość, która stała się już banalna. Najważniejsze to zachować ostrożność i nie dać się zwieść znakom.

2) Teraz następuje mianownik. Jeśli następnie:

Zwróć uwagę, w jakiej niezwykłej interpretacji jest ono użyte wzór na sumę kwadratową. Alternatywnie możesz tutaj dokonać zmiany układu podformuła Wyniki będą naturalnie takie same.

3) I na koniec całe wyrażenie. Jeśli następnie:

Aby pozbyć się ułamka, pomnóż licznik i mianownik przez sprzężone wyrażenie mianownika. Jednocześnie w celach aplikacyjnych wzory na różnice kwadratowe Musi najpierw (i już koniecznością!) umieść ujemną część rzeczywistą na drugim miejscu:

A teraz kluczowa zasada:

NIE Spieszymy się! Lepiej zachować ostrożność i zrobić dodatkowy krok.
W wyrażeniach, równaniach i układach z liczbami zespolonymi, aroganckie obliczenia werbalne bardziej napięty niż kiedykolwiek!

Na ostatnim etapie nastąpiła znaczna redukcja, a to świetny znak.

Notatka : ściśle mówiąc, tutaj nastąpiło dzielenie liczby zespolonej przez liczbę zespoloną 50 (pamiętajmy o tym). Do tej pory milczałem na temat tego niuansu, a porozmawiamy o tym nieco później.

Oznaczmy nasze osiągnięcie literą

Otrzymany wynik przedstawmy w postaci trygonometrycznej. Ogólnie rzecz biorąc, tutaj możesz obejść się bez rysunku, ale ponieważ jest to wymagane, nieco bardziej racjonalne jest zrobienie tego teraz:

Obliczmy moduł liczby zespolonej:

Jeśli rysujesz w skali 1 jednostki. = 1 cm (2 komórki notesu), wówczas uzyskaną wartość można łatwo sprawdzić za pomocą zwykłej linijki.

Znajdźmy argument. Ponieważ liczba znajduje się w drugiej ćwiartce współrzędnych, to:

Kąt można łatwo sprawdzić za pomocą kątomierza. To niewątpliwa zaleta rysunku.

Zatem: – wymagana liczba w formie trygonometrycznej.

Sprawdźmy:
, co należało zweryfikować.

Wygodnie jest znaleźć nieznane wartości sinusa i cosinusa za pomocą tablica trygonometryczna.

Odpowiedź:

Podobny przykład dla niezależna decyzja:

Przykład 2

Uprość wyrażenie , Gdzie . Narysuj wynikową liczbę na płaszczyźnie zespolonej i zapisz ją w postaci wykładniczej.

Staraj się nie pomijać tutoriali. Mogą wydawać się proste, ale bez treningu „wpadnięcie w kałużę” jest nie tylko łatwe, ale bardzo łatwe. Dlatego ‛położymy na tym swoje ręce’.

Często problem ma więcej niż jedno rozwiązanie:

Przykład 3

Oblicz jeśli ,

Rozwiązanie: przede wszystkim zwróćmy uwagę na warunek pierwotny - jedna liczba jest przedstawiona w formie algebraicznej, a druga w postaci trygonometrycznej, a nawet ze stopniami. Przepiszmy to natychmiast w bardziej znanej formie: .

W jakiej formie należy przeprowadzić obliczenia? Wyrażenie oczywiście wiąże się z pierwszym mnożeniem i dalszym podnoszeniem do potęgi 10 Wzór Moivre’a, który jest sformułowany dla postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Dlatego bardziej logiczne wydaje się przekształcenie pierwszej liczby. Znajdźmy jego moduł i argument:

Korzystamy z reguły mnożenia liczb zespolonych w formie trygonometrycznej:
Jeśli następnie

Poprawiając ułamek, dochodzimy do wniosku, że możemy „skręcić” 4 zwoje ( zadowolony.):

Drugie rozwiązanie polega na przekształceniu drugiej liczby do postaci algebraicznej , wykonaj mnożenie w forma algebraiczna, zamień wynik na postać trygonometryczną i skorzystaj ze wzoru Moivre'a.

Jak widać, istnieje jedna „dodatkowa” akcja. Ci, którzy chcą, mogą podjąć decyzję i mieć pewność, że wyniki będą takie same.

Warunek nie mówi nic o postaci końcowej liczby zespolonej, więc:

Odpowiedź:

Ale „dla piękna” lub na żądanie wynik nie jest trudny do wyobrażenia w formie algebraicznej:

Na własną rękę:

Przykład 4

Uprość wyrażenie

Tutaj musimy pamiętać działania ze stopniami, chociaż jeden przydatna zasada Nie ma tego w instrukcji, tutaj jest: .

I jeszcze jedna ważna uwaga: przykład można rozwiązać w dwóch stylach. Pierwszą opcją jest praca dwa liczby i umiejętność posługiwania się ułamkami zwykłymi. Drugą opcją jest przedstawienie każdej liczby jako iloraz dwóch liczb: I pozbyć się czteropiętrowej konstrukcji. Z formalnego punktu widzenia nie ma znaczenia, jak podejmiesz decyzję, ale jest zasadnicza różnica! Proszę dokładnie przemyśleć:
jest liczbą zespoloną;
jest ilorazem dwóch liczb zespolonych ( i ), ale w zależności od kontekstu można też powiedzieć tak: liczba reprezentowana jako iloraz dwóch liczb zespolonych.

Szybkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Wyrażenia są dobre, ale równania są lepsze:

Równania ze złożonymi współczynnikami

Czym różnią się od równań „zwykłych”? Szanse =)

W świetle powyższego komentarza zacznijmy od tego przykładu:

Przykład 5

Rozwiązać równanie

I natychmiastowy wstęp „na gorąco”: początkowo prawa część równanie jest pozycjonowane jako iloraz dwóch liczb zespolonych (i 13), dlatego też przepisywanie warunku liczbą (chociaż nie spowoduje to błędu). Nawiasem mówiąc, ta różnica jest wyraźniej widoczna we frakcji - jeśli, mówiąc relatywnie, wartość ta jest rozumiana przede wszystkim jako „pełny” złożony pierwiastek równania, a nie jako dzielnik liczby, a zwłaszcza nie jako część liczby!

Rozwiązanie w zasadzie można również ułożyć krok po kroku, ale w w tym przypadku gra nie jest warta świeczki. Początkowym zadaniem jest uproszczenie wszystkiego, co nie zawiera nieznanego „z”, w wyniku czego równanie zostaje sprowadzone do postaci:

Z pewnością upraszczamy ułamek środkowy:

Przenosimy wynik na prawą stronę i znajdujemy różnicę:

Notatka : i znowu zwracam uwagę na znaczący punkt - tutaj nie odjęliśmy liczby od liczby, ale sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika! Należy zauważyć, że już w POSTĘPIE rozwiązania nie jest zabroniona praca z liczbami: , jednak w rozważanym przykładzie ten styl jest bardziej szkodliwy niż przydatny =)

Zgodnie z zasadą proporcji „zet” wyrażamy:

Teraz możesz ponownie dzielić i mnożyć przez koniugat, ale podejrzanie podobne liczby w liczniku i mianowniku sugerują następny ruch:

Odpowiedź:

Aby to sprawdzić, podstawiamy otrzymaną wartość do lewa strona oryginalne równanie i dokonajmy pewnych uproszczeń:

– uzyskuje się prawą stronę pierwotnego równania, czyli pierwiastek został znaleziony poprawnie.

...Teraz, teraz... Znajdę dla Ciebie coś bardziej interesującego... Proszę bardzo:

Przykład 6

Rozwiązać równanie

Równanie to sprowadza się do postaci , co oznacza, że ​​jest liniowe. Myślę, że wskazówka jest jasna – działaj!

Oczywiście... jak tu bez niego żyć:

Równanie kwadratowe ze złożonymi współczynnikami

Na lekcji Liczby zespolone dla manekinów dowiedzieliśmy się, że równanie kwadratowe z rzeczywistymi współczynnikami może mieć sprzężone złożone pierwiastki, po czym pojawia się logiczne pytanie: dlaczego w rzeczywistości same współczynniki nie mogą być złożone? Pozwólcie, że sformułuję przypadek ogólny:

Równanie kwadratowe z dowolnymi zespolonymi współczynnikami (z których 1 lub 2 lub wszystkie trzy mogą być w szczególności ważne) To ma dwa i tylko dwa złożony korzeń (prawdopodobnie jeden lub oba z nich są ważne). Jednocześnie korzenie (zarówno rzeczywiste, jak i z niezerową częścią urojoną) mogą się pokrywać (być wielokrotnościami).

Równanie kwadratowe ze złożonymi współczynnikami rozwiązuje się przy użyciu tego samego schematu co równanie „szkolne”., z pewnymi różnicami w technice obliczeń:

Przykład 7

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

Rozwiązanie: wyimaginowana jednostka jest na pierwszym miejscu i w zasadzie można się jej pozbyć (mnożąc obie strony przez) nie ma jednak takiej szczególnej potrzeby.

Dla wygody zapisujemy współczynniki:

Nie traćmy „minusu” darmowego członka! ...Może to nie być jasne dla wszystkich - przepiszę równanie forma standardowa :

Obliczmy dyskryminator:

A oto główna przeszkoda:

Aplikacja ogólna formuła ekstrakcja korzeni (patrz ostatni akapit artykułu Liczby zespolone dla manekinów) skomplikowane przez poważne trudności związane z argumentem radykalnej liczby zespolonej (Sam zobacz). Ale jest inny, „algebraiczny” sposób! Będziemy szukać korzenia w postaci:

Podstawmy obie strony do kwadratu:

Dwie liczby zespolone są równe, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są równe. W ten sposób otrzymujemy następujący system:

System jest łatwiejszy do rozwiązania poprzez wybór (bardziej dokładny sposób polega na wyrażeniu z drugiego równania - podstaw do pierwszego, uzyskaj i rozwiąż równanie dwukwadratowe) . Zakładając, że autor zadania nie jest potworem, stawiamy hipotezę, że i są liczbami całkowitymi. Z pierwszego równania wynika, że ​​„x” modulo więcej niż „Y”. Ponadto iloczyn dodatni mówi nam, że niewiadome mają ten sam znak. Bazując na powyższym i skupiając się na drugim równaniu, zapisujemy wszystkie pary, które do niego pasują:

Jest oczywiste, że pierwsze równanie układu spełniają dwie ostatnie pary, zatem:

Kontrola pośrednia nie zaszkodzi:

co należało sprawdzić.

Możesz wybrać jako „działający” korzeń każdy oznaczający. Oczywiste jest, że lepiej jest wybrać wersję bez „wad”:

Odnajdujemy korzenie, nie zapominając przy okazji, że:

Odpowiedź:

Sprawdźmy, czy znalezione pierwiastki spełniają równanie :

1) Zastąpmy:

prawdziwa równość.

2) Zastąpmy:

prawdziwa równość.

Zatem rozwiązanie zostało znalezione prawidłowo.

W oparciu o problem, który właśnie omówiliśmy:

Przykład 8

Znajdź pierwiastki równania

Należy zauważyć, że pierwiastek kwadratowy z czysto złożone Liczby można łatwo wyodrębnić za pomocą ogólnego wzoru , Gdzie , więc w przykładzie pokazano obie metody. Druga przydatna uwaga dotyczy faktu, że wstępne wyciągnięcie pierwiastka ze stałej wcale nie upraszcza rozwiązania.

Teraz możesz się zrelaksować - w tym przykładzie ujdzie Ci lekki strach :)

Przykład 9

Rozwiąż równanie i sprawdź

Rozwiązania i odpowiedzi na końcu lekcji.

Ostatni akapit artykułu poświęcony jest

układ równań z liczbami zespolonymi

Zrelaksujmy się i... nie napinajmy =) Rozważmy najprostszy przypadek - układ dwójkowy równania liniowe z dwiema niewiadomymi:

Przykład 10

Rozwiązać układ równań. Przedstaw odpowiedź w postaci algebraicznej i wykładniczej, przedstaw pierwiastki na rysunku.

Rozwiązanie: sam warunek sugeruje, że układ ma unikalne rozwiązanie, to znaczy musimy znaleźć dwie liczby, które spełniają do każdego równanie układu.

System rzeczywiście da się rozwiązać w „dziecinny” sposób (wyrazić jedną zmienną w kategoriach drugiej) jednak jest dużo wygodniejszy w użyciu Wzory Cramera. Obliczmy główny wyznacznik systemy:

co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Powtarzam, że lepiej poświęcić trochę czasu i opisać kroki tak szczegółowo, jak to możliwe:

Mnożymy licznik i mianownik przez jednostkę urojoną i otrzymujemy pierwszy pierwiastek:

Podobnie:

Uzyskuje się odpowiednie prawe strony itp.

Zróbmy rysunek:

Przedstawmy pierwiastki w formie wykładniczej. Aby to zrobić, musisz znaleźć ich moduły i argumenty:

1) – arcus tangens „dwa” jest obliczany „źle”, więc zostawiamy to tak:

FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI

PAŃSTWOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA

WYŻSZE WYKSZTAŁCENIE ZAWODOWE

„PAŃSTWOWY UNIWERSYTET PEDAGOGICZNY WORONEŻA”

ZAKŁAD AGLEBRA I GEOMETRII

Liczby zespolone

(wybrane zadania)

PRACA KWALIFIKUJĄCA ABSOLWENTA

specjalność 050201.65 matematyka

(z dodatkową specjalnością 050202.65 informatyka)

Ukończył: student V roku

fizyczne i matematyczne

Wydział

Doradca naukowy:

WORONEŻ – 2008

1. Wstęp……………………………………………………...…………..…

2. Liczby zespolone (wybrane problemy)

2.1. Liczby zespolone w postaci algebraicznej….…...……….….

2.2. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych………..…

2.3. Postać trygonometryczna liczb zespolonych

2.4. Zastosowanie teorii liczb zespolonych do rozwiązywania równań III i IV stopnia……………..…………………………………………………………

2.5. Liczby zespolone i parametry…………………………………..….

3. Zakończenie…………………………………………………………………………….

4. Lista referencji………………………….………………………......

1. Wstęp

W programie matematycznym kurs szkolny teorię liczb wprowadza się na przykładach zbiorów liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, tj. na zbiorze liczb rzeczywistych, których obrazy wypełniają całą oś liczbową. Ale już w ósmej klasie nie ma wystarczającej liczby liczb rzeczywistych, rozwiązujących równania kwadratowe z ujemnym dyskryminatorem. Dlatego konieczne było uzupełnienie zapasów liczb rzeczywistych za pomocą liczb zespolonych, dla których pierwiastek kwadratowy Liczba ujemna ma znaczenie.

Wybór tematu „Liczby zespolone” jako tematu dyplomowego praca kwalifikacyjna, jest to, że pojęcie liczby zespolonej poszerza wiedzę uczniów o systemach liczbowych, o rozwiązywaniu szerokiej klasy problemów zarówno o treści algebraicznej, jak i geometrycznej, o rozwiązywaniu równania algebraiczne dowolnego stopnia oraz o rozwiązywaniu problemów z parametrami.

Niniejsza praca bada rozwiązania 82 problemów.

Pierwsza część głównej sekcji „Liczby zespolone” zawiera rozwiązania problemów z liczbami zespolonymi w formie algebraicznej, definiuje operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, operację sprzęgania liczb zespolonych w postaci algebraicznej, potęgę jednostki urojonej , moduł liczby zespolonej, a także określa ekstrakcję reguł pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej.

W drugiej części rozwiązano problemy interpretacji geometrycznej liczb zespolonych w postaci punktów lub wektorów płaszczyzny zespolonej.

W trzeciej części omówiono operacje na liczbach zespolonych w formie trygonometrycznej. Stosowane wzory to: Moivre i wyodrębnianie pierwiastka liczby zespolonej.

Część czwarta poświęcona jest rozwiązywaniu równań III i IV stopnia.

Przy rozwiązywaniu problemów z ostatniej części „Liczby zespolone i parametry” wykorzystuje się i konsoliduje informacje podane w poprzednich częściach. Szereg problemów zawartych w rozdziale poświęconych jest wyznaczaniu rodzin prostych w płaszczyźnie zespolonej określonych równaniami (nierównościami) z parametrem. W części ćwiczeń należy rozwiązać równania z parametrem (nad polem C). Istnieją zadania, w których zmienna zespolona spełnia jednocześnie kilka warunków. Szczególną cechą rozwiązywania problemów w tej sekcji jest redukcja wielu z nich do rozwiązania równań (nierówności, układów) drugiego stopnia, niewymiernych, trygonometrycznych z parametrem.

Cechą prezentacji materiału w każdej części jest wprowadzenie wstępne podstawy teoretyczne, a następnie ich praktyczne zastosowanie w rozwiązywaniu problemów.

Na końcu Praca dyplomowa przedstawiono wykaz wykorzystanej literatury. Większość z nich przedstawia materiał teoretyczny w sposób wystarczająco szczegółowy i przystępny, rozważa rozwiązania niektórych problemów i podaje zadania praktyczne do niezależnej decyzji. Specjalna uwaga Chciałbym odwołać się do takich źródeł jak:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Liczby zespolone i ich zastosowania: Podręcznik. . Materiał pomoc nauczania prezentowane w formie wykładów i ćwiczeń praktycznych.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Wybrane problemy i twierdzenia matematyki elementarnej. Arytmetyka i algebra. Książka zawiera 320 zagadnień związanych z algebrą, arytmetyką i teorią liczb. Zadania te znacząco różnią się charakterem od standardowych zadań szkolnych.

2. Liczby zespolone (wybrane problemy)

2.1. Liczby zespolone w postaci algebraicznej

Rozwiązanie wielu problemów matematyki i fizyki sprowadza się do rozwiązywania równań algebraicznych, tj. równania postaci

,

gdzie a0, a1, …, an są liczbami rzeczywistymi. Dlatego badanie równań algebraicznych jest jednym z kwestie krytyczne w matematyce. Na przykład równanie kwadratowe z dyskryminator negatywny. Najprostszym takim równaniem jest równanie

.

Aby to równanie miało rozwiązanie należy rozszerzyć zbiór liczb rzeczywistych dodając do niego pierwiastek równania

.

Oznaczmy ten pierwiastek przez

. Zatem z definicji lub

stąd,

. zwaną jednostką urojoną. Za jego pomocą i za pomocą pary liczb rzeczywistych kompilowane jest wyrażenie postaci.

Powstałe wyrażenie nazwano liczbami zespolonymi, ponieważ zawierało zarówno części rzeczywiste, jak i urojone.

Zatem liczby zespolone są wyrażeniami postaci

, i są liczbami rzeczywistymi oraz jest pewnym symbolem spełniającym warunek . Liczbę nazywa się częścią rzeczywistą liczby zespolonej, a liczba jest jej częścią urojoną. Do ich oznaczenia służą symbole .

Liczby zespolone w postaci

są liczbami rzeczywistymi i dlatego zbiór liczb zespolonych zawiera zbiór liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone w postaci

nazywane są czysto urojonymi. Mówi się, że dwie liczby zespolone w postaci i są równe, jeśli ich części rzeczywiste i urojone są równe, tj. jeśli równości , .

Notacja algebraiczna liczb zespolonych pozwala na operacje na nich zgodnie ze zwykłymi zasadami algebry.

Aby rozwiązać problemy z liczbami zespolonymi, musisz zrozumieć podstawowe definicje. Głównym celem tego artykułu przeglądowego jest wyjaśnienie, czym są liczby zespolone i przedstawienie metod rozwiązywania podstawowych problemów z liczbami zespolonymi. Zatem liczba zespolona będzie nazywana liczbą postaci z = a + bi, Gdzie a, b- liczby rzeczywiste, które nazywane są odpowiednio częściami rzeczywistymi i urojonymi liczby zespolonej i oznaczają a = Re(z), b=Im(z).
I zwaną jednostką urojoną. ja 2 = -1. W szczególności każdą liczbę rzeczywistą można uznać za złożoną: a = a + 0i, gdzie a jest rzeczywiste. Jeśli a = 0 I b ≠ 0, wówczas liczbę nazywa się zwykle liczbą czysto urojoną.

Przedstawmy teraz operacje na liczbach zespolonych.
Rozważmy dwie liczby zespolone z 1 = za 1 + b 1 ja I z 2 = za 2 + b 2 ja.

Rozważmy z = a + bi.

Zbiór liczb zespolonych rozszerza zbiór liczb rzeczywistych, co z kolei rozszerza zbiór liczby wymierne itp. Ten łańcuch inwestycji widać na rysunku: N – liczby całkowite, Z - liczby całkowite, Q - wymierne, R - rzeczywiste, C - zespolone.

Reprezentacja liczb zespolonych

Notacja algebraiczna.

Rozważ liczbę zespoloną z = a + bi, nazywa się tę formę zapisywania liczby zespolonej algebraiczny. Tę formę zapisu szczegółowo omówiliśmy już w poprzednim rozdziale. Poniższy rysunek wizualny jest używany dość często

Forma trygonometryczna.

Z rysunku widać, że liczba z = a + bi można napisać inaczej. To oczywiste a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, stąd z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) nazywa się argumentem liczby zespolonej. Ta reprezentacja liczby zespolonej nazywa się postać trygonometryczna. Czasami bardzo wygodna jest forma zapisu trygonometrycznego. Na przykład wygodnie jest go użyć do podniesienia liczby zespolonej do potęgi całkowitej, a mianowicie jeśli z = rcos(φ) + rsin(φ)i, To z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ta formuła nazywa się Wzór Moivre’a.

Forma demonstracyjna.

Rozważmy z = rcos(φ) + rsin(φ)i- liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, zapisz ją w innej formie z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ostatnia równość wynika ze wzoru Eulera, więc otrzymujemy nowy mundur zapis liczb zespolonych: z = re iφ, który jest nazywany orientacyjny. Ta forma zapisu jest również bardzo wygodna w przypadku podnoszenia liczby zespolonej do potęgi: z n = r n mi inφ, Tutaj N niekoniecznie liczba całkowita, ale może być dowolną liczbą rzeczywistą. Ta forma notacji jest dość często używana do rozwiązywania problemów.

Podstawowe twierdzenie wyższej algebry

Wyobraźmy sobie, że mamy równanie kwadratowe x 2 + x + 1 = 0. Oczywiście dyskryminator tego równania jest ujemny i nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale okazuje się, że równanie to ma dwa różne pierwiastki zespolone. Zatem podstawowe twierdzenie wyższej algebry stwierdza, że ​​każdy wielomian stopnia n ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony. Wynika z tego, że każdy wielomian stopnia n ma dokładnie n pierwiastków zespolonych, biorąc pod uwagę ich krotność. Twierdzenie to jest bardzo ważnym wynikiem w matematyce i jest szeroko stosowane. Prostym następstwem tego twierdzenia jest to, że istnieje dokładnie n różne korzenie stopień n jedności.

Główne typy zadań

W tej sekcji omówione zostaną główne typy proste zadania do liczb zespolonych. Konwencjonalnie problemy dotyczące liczb zespolonych można podzielić na następujące kategorie.

• Wykonywanie prostych operacji arytmetycznych na liczbach zespolonych.
• Znajdowanie pierwiastków wielomianów w liczbach zespolonych.
• Podnoszenie liczb zespolonych do potęg.
• Wyodrębnianie pierwiastków z liczb zespolonych.
• Używanie liczb zespolonych do rozwiązywania innych problemów.

Teraz rozważmy techniki ogólne rozwiązania tych problemów.

Najprostsze operacje arytmetyczne na liczbach zespolonych wykonuje się według zasad opisanych w pierwszej części, jednak jeśli liczby zespolone są przedstawione w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej, to w tym przypadku można je przekształcić do postaci algebraicznej i wykonać operacje według znanych zasad.

Znalezienie pierwiastków wielomianów zwykle sprowadza się do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe, jeśli jego wyróżnik jest nieujemny, to jego pierwiastki będą rzeczywiste i można je znaleźć według dobrze znanego wzoru. Jeśli dyskryminator jest ujemny, tj. D = -1∙a 2, Gdzie A jest pewną liczbą, wówczas dyskryminator można przedstawić jako D = (ia) 2, stąd √D = i|a|, a następnie możesz użyć dobrze znana formuła dla pierwiastków równania kwadratowego.

Przykład. Wróćmy do tego, co zostało wspomniane powyżej. równanie kwadratowe x 2 + x + 1 = 0 .
Dyskryminujący - re = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Teraz możemy łatwo znaleźć korzenie:

Podnoszenie liczb zespolonych do potęgi można wykonać na kilka sposobów. Jeśli chcesz podnieść liczbę zespoloną w formie algebraicznej do małej potęgi (2 lub 3), możesz to zrobić przez bezpośrednie mnożenie, ale jeśli potęga jest większa (w problemach często jest znacznie większa), musisz to zrobić zapisz tę liczbę w postaci trygonometrycznej lub wykładniczej i skorzystaj ze znanych już metod.

Przykład. Rozważmy z = 1 + i i podnieś go do potęgi dziesiątej.
Zapiszmy z w postaci wykładniczej: z = √2 e iπ/4.
Następnie z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Wróćmy do postaci algebraicznej: z 10 = -32i.

Wyodrębnianie pierwiastków z liczb zespolonych jest odwrotną operacją potęgowania i dlatego wykonuje się je w podobny sposób. Aby wyodrębnić pierwiastki, często używa się wykładniczej formy zapisu liczby.

Przykład. Znajdźmy wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia jedności. Aby to zrobić, znajdziemy wszystkie pierwiastki równania z 3 = 1, będziemy szukać pierwiastków w formie wykładniczej.
Podstawmy do równania: r 3 e 3iφ = 1 lub r 3 e 3iφ = e 0 .
Stąd: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, zatem φ = 2πk/3.
Różne pierwiastki otrzymuje się przy φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Zatem 1, e i2π/3, e i4π/3 są pierwiastkami.
Lub w formie algebraicznej:

Ostatni rodzaj problemów obejmuje ogromną różnorodność problemów i nie ma ogólnych metod ich rozwiązywania. Podajmy prosty przykład takiego zadania:

Znajdź kwotę grzech(x) + grzech(2x) + grzech(2x) + … + grzech(nx).

Chociaż sformułowanie tego problemu nie obejmuje liczb zespolonych, można je łatwo rozwiązać za ich pomocą. Aby go rozwiązać, stosuje się następujące reprezentacje:


Jeśli teraz podstawimy tę reprezentację na sumę, wówczas problem sprowadza się do zsumowania zwykłego postępu geometrycznego.

Wniosek

Liczby zespolone są szeroko stosowane w matematyce. W tym artykule przeglądowym zbadano podstawowe operacje na liczbach zespolonych, opisano kilka typów problemów standardowych i krótko opisano metody ogólne ich rozwiązania, w celu bardziej szczegółowego zbadania możliwości liczb zespolonych zaleca się skorzystanie z literatury specjalistycznej.

Literatura

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystuje się je w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Człowiek używał równań w czasach starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Dla jasności rozwiążmy następujący problem:

Oblicz \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jeśli \

Przede wszystkim zwróćmy uwagę na fakt, że jedna liczba jest przedstawiona w postaci algebraicznej, druga w formie trygonometrycznej. Należy to uprościć i doprowadzić do poniższej postaci

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Wyrażenie \ mówi, że najpierw wykonujemy mnożenie i podnoszenie do potęgi 10, korzystając ze wzoru Moivre'a. Wzór ten jest sformułowany dla postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. Otrzymujemy:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Kierując się zasadami mnożenia liczb zespolonych w formie trygonometrycznej, wykonujemy następujące czynności:

W naszym przypadku:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Dokonując prawidłowego ułamka \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] dochodzimy do wniosku, że możemy „skręcić” 4 obroty \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odpowiedź: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Równanie to można rozwiązać w inny sposób, który sprowadza się do sprowadzenia drugiej liczby do postaci algebraicznej, następnie wykonania mnożenia w postaci algebraicznej, przekształcenia wyniku do postaci trygonometrycznej i zastosowania wzoru Moivre’a:

Gdzie mogę rozwiązać układ równań z liczbami zespolonymi online?

Układ równań możesz rozwiązać na naszej stronie internetowej https://site. Bezpłatny solwer online pozwoli Ci rozwiązać równania online o dowolnej złożoności w ciągu kilku sekund. Wystarczy, że wprowadzisz swoje dane do solwera. Możesz także obejrzeć instrukcje wideo i dowiedzieć się, jak rozwiązać równanie na naszej stronie internetowej. A jeśli nadal masz pytania, możesz je zadać w naszej grupie VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszej grupy, zawsze chętnie Ci pomożemy.