Aby poprawnie pomnożyć ułamek przez ułamek lub ułamek przez liczbę, musisz wiedzieć proste zasady. Przeanalizujemy teraz szczegółowo te zasady.
Mnożenie ułamka zwykłego przez ułamek.
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz obliczyć iloczyn liczników i iloczyn mianowników tych ułamków.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Spójrzmy na przykład:
Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a także mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ razy 3)(7 \razy 3) = \frac(4)(7)\\\)
Ułamek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) został zmniejszony o 3.
Mnożenie ułamka przez liczbę.
Na początek przypomnijmy sobie zasadę, dowolną liczbę można przedstawić jako ułamek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Skorzystajmy z tej zasady przy mnożeniu.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Ułamek niewłaściwy \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) przeliczone na ułamek mieszany.
Innymi słowy, Mnożąc liczbę przez ułamek, mnożymy liczbę przez licznik, a mianownik pozostawiamy bez zmian. Przykład:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Mnożenie ułamków mieszanych.
Aby pomnożyć ułamki mieszane, należy najpierw przedstawić każdy ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy, a następnie skorzystać z reguły mnożenia. Mnożymy licznik przez licznik i mnożymy mianownik przez mianownik.
Przykład:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Mnożenie ułamków i liczb odwrotnych.
Ułamek \(\bf \frac(a)(b)\) jest odwrotnością ułamka \(\bf \frac(b)(a)\), pod warunkiem, że a≠0,b≠0.
Ułamki \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazywane są ułamkami odwrotnymi. Iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Przykład:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Powiązane pytania:
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Odpowiedź: Iloczyn ułamków zwykłych to pomnożenie licznika przez licznik, mianownika przez mianownik. Aby uzyskać iloczyn ułamków mieszanych, należy je zamienić na ułamek niewłaściwy i pomnożyć zgodnie z zasadami.
Jak pomnożyć ułamki zwykłe o różnych mianownikach?
Odpowiedź: nie ma znaczenia, czy ułamki mają takie same czy różne mianowniki, mnożenie odbywa się zgodnie z zasadą znajdowania iloczynu licznika z licznikiem, mianownika z mianownikiem.
Jak pomnożyć ułamki mieszane?
Odpowiedź: najpierw musisz zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, a następnie znaleźć iloczyn, korzystając z zasad mnożenia.
Jak pomnożyć liczbę przez ułamek?
Odpowiedź: mnożymy liczbę przez licznik, ale mianownik pozostawiamy bez zmian.
Przykład nr 1:
Oblicz iloczyn: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)
Rozwiązanie:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( czerwony) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Przykład nr 2:
Oblicz iloczyn liczby i ułamka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Rozwiązanie:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Przykład nr 3:
Zapisz odwrotność ułamka \(\frac(1)(3)\)?
Odpowiedź: \(\frac(3)(1) = 3\)
Przykład nr 4:
Oblicz iloczyn dwóch odwrotnych ułamków: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Rozwiązanie:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Przykład nr 5:
Czy ułamki odwrotne mogą być:
a) jednocześnie z właściwymi frakcjami;
b) jednocześnie ułamki niewłaściwe;
c) jednocześnie liczby naturalne?
Rozwiązanie:
a) Aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, podamy przykład. Ułamek \(\frac(2)(3)\) jest właściwy, jego ułamek odwrotny będzie równy \(\frac(3)(2)\) - ułamkowi niewłaściwemu. Odpowiedź: nie.
b) prawie we wszystkich wyliczeniach ułamków warunek ten nie jest spełniony, ale są liczby, które spełniają warunek bycia jednocześnie ułamkiem niewłaściwym. Na przykład ułamek niewłaściwy to \(\frac(3)(3)\), jego ułamek odwrotny jest równy \(\frac(3)(3)\). Otrzymujemy dwa ułamki niewłaściwe. Odpowiedź: nie zawsze pod pewnymi warunkami, gdy licznik i mianownik są równe.
c) liczby naturalne to liczby, których używamy podczas liczenia, na przykład 1, 2, 3,…. Jeśli weźmiemy liczbę \(3 = \frac(3)(1)\), to jej odwrotnym ułamkiem będzie \(\frac(1)(3)\). Ułamek \(\frac(1)(3)\) nie jest liczbą naturalną. Jeśli przejdziemy przez wszystkie liczby, odwrotność liczby będzie zawsze ułamkiem zwykłym, z wyjątkiem 1. Jeśli weźmiemy liczbę 1, wówczas jej odwrotność będzie wynosić \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Numer 1 liczba naturalna. Odpowiedź: mogą być jednocześnie liczbami naturalnymi tylko w jednym przypadku, jeśli jest to liczba 1.
Przykład nr 6:
Wykonaj iloczyn ułamków mieszanych: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Rozwiązanie:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Przykład nr 7:
Czy dwie odwrotności mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi?
Spójrzmy na przykład. Weźmy ułamek mieszany \(1\frac(1)(2)\), znajdź jego ułamek odwrotny, w tym celu zamieniamy go na ułamek niewłaściwy \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jego odwrotny ułamek będzie równy \(\frac(2)(3)\) . Ułamek \(\frac(2)(3)\) jest ułamkiem właściwym. Odpowiedź: Dwa ułamki wzajemnie odwrotne nie mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi.
Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie przedmiotu nie jako całości, ale w oddzielnych częściach. Zacznij studiować ten temat - akcje. Udziały są częściami równymi, na który podzielony jest ten lub inny obiekt. Przecież nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu w postaci całkowitej liczby części lub udziałów jakiejś miary; Utworzone od czasownika „dzielić” - dzielić na części i mające arabskie korzenie, samo słowo „ułamek” powstało w języku rosyjskim w VIII wieku.
Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą dziedzinę matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było dla ludzi bardzo trudne do zrozumienia.
Nowoczesny wygląd proste reszty ułamkowe, których części oddzielone są poziomą linią, zostały po raz pierwszy wynalezione przez Fibonacciego – Leonarda z Pizy. Jego dzieła datowane są na rok 1202. Jednak celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób mnożone są ułamki mieszane o różnych mianownikach.
Mnożenie ułamków zwykłych o różnych mianownikach
Na początek warto to ustalić rodzaje ułamków:
- prawidłowy;
- błędny;
- mieszany.
Następnie musisz pamiętać, jak następuje mnożenie liczby ułamkowe Z same mianowniki. Sama zasada tego procesu nie jest trudna do samodzielnego sformułowania: wynikiem mnożenia ułamków prostych o identycznych mianownikach jest wyrażenie ułamkowe, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków . Oznacza to, że nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z istniejących.
Podczas mnożenia Ułamki zwykłe o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła nie ulega zmianie:
A/B * C/D = a*c / b*d.
Jedyna różnica polega na tym, że liczba utworzona pod linią ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i oczywiście nie można jej nazwać kwadratem jednego wyrażenia liczbowego.
Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
W przykładach zastosowano metody redukcji wyrażeń ułamkowych. Liczby licznikowe można redukować tylko z liczbami w mianownikach; nie można redukować sąsiadujących współczynników powyżej lub poniżej linii ułamkowej.
Oprócz ułamków prostych istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jak działa mnożenie?
Do rozważenia podano kilka przykładów.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę tego działania można zapisać jako:
A* B/C = a*b /C.
W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Specjalny przypadek:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Istnieje inne rozwiązanie mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:
D* mi/F = mi/f: d.
Technikę tę przydaje się, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, przez liczbę całkowitą.
Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ten przykład dotyczy sposobu przedstawiania ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego. Można go również przedstawić jako ogólna formuła:
A BC = a*b+ c/c, gdzie mianownik nowego ułamka tworzy się poprzez pomnożenie całej części przez mianownik i dodanie go przez licznik pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.
Ten proces działa również w odwrotna strona. Aby oddzielić całą część od reszty ułamkowej, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik za pomocą „rogu”.
Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w ogólnie przyjęty sposób. Pisząc pod jedną linią ułamkową, należy w razie potrzeby zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i ułatwić obliczenie wyniku.
W Internecie jest wielu pomocników do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych w różnych odmianach programów. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w liczeniu mnożenia ułamków zwykłych różne liczby w mianownikach - tzw. kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Praca z nim jest łatwa; wypełniasz odpowiednie pola na stronie witryny i wybierasz znak operacja matematyczna i kliknij „oblicz”. Program oblicza automatycznie.
Temat operacje arytmetyczne z liczbami ułamkowymi ma zastosowanie w całej edukacji uczniów gimnazjów i szkół średnich. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobytą wcześniej wiedzę o zasadach transformacji i obliczeń stosuje się w jej pierwotnej formie. Dobrze opanowana wiedza podstawowa daje całkowitą pewność skutecznego rozwiązania najbardziej skomplikowanych problemów.
Podsumowując, warto zacytować słowa Lwa Nikołajewicza Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Nie w mocy człowieka jest zwiększanie swojego licznika - swoich zasług - ale każdy może zmniejszyć swój mianownik - swoją opinię o sobie i przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.
Na zajęciach w gimnazjum i liceum uczniowie omawiali temat „Ułamki”. Jednak koncepcja ta jest znacznie szersza niż to, co podaje się w procesie uczenia się. Dziś pojęcie ułamka spotyka się dość często i nie każdy może obliczyć dowolne wyrażenie, na przykład mnożąc ułamki.
Co to jest ułamek?
Historycznie rzecz biorąc, liczby ułamkowe powstały z potrzeby pomiaru. Jak pokazuje praktyka, często pojawiają się przykłady określania długości odcinka i objętości prostokąta.
Na początku uczniowie zapoznają się z pojęciem udziału. Na przykład, jeśli podzielisz arbuza na 8 części, każda osoba otrzyma jedną ósmą arbuza. Ta jedna część ośmiu nazywa się udziałem.
Udział równy ½ dowolnej wartości nazywany jest połową; ⅓ - trzeci; ¼ - ćwiartka. Zapisy w postaci 5/8, 4/5, 2/4 nazywane są ułamkami zwykłymi. Ułamek zwykły dzieli się na licznik i mianownik. Pomiędzy nimi znajduje się pasek ułamkowy lub pasek ułamkowy. Linię ułamkową można narysować jako linię poziomą lub ukośną. W w tym przypadku reprezentuje znak podziału.
Mianownik określa, na ile równych części podzielona jest wielkość lub przedmiot; a licznik to liczba identycznych udziałów. Licznik zapisuje się nad linią ułamkową, a mianownik pod nim.
Najwygodniej jest pokazać ułamki zwykłe na promieniu współrzędnych. Jeśli segment jednostkowy jest podzielony na 4 równe części, oznacz każdą część Litera łacińska, wtedy wynik może być doskonały pomoc wizualna. Zatem punkt A przedstawia udział równy 1/4 całego odcinka jednostkowego, a punkt B oznacza 2/8 danego odcinka.
Rodzaje ułamków
Ułamki zwykłe mogą być liczbami zwykłymi, dziesiętnymi i mieszanymi. Ponadto ułamki dzielimy na właściwe i niewłaściwe. Ta klasyfikacja jest bardziej odpowiednia dla zwykłych frakcji.
Ułamek właściwy to liczba, której licznik jest mniejszy od mianownika. Zatem ułamek niewłaściwy to liczba, której licznik jest większy od mianownika. Drugi typ jest zwykle zapisywany jako liczba mieszana. Wyrażenie to składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej. Na przykład 1½. 1 - cała część, ½ - ułamkowy. Jeśli jednak konieczne jest wykonanie pewnych manipulacji wyrażeniem (dzielenie lub mnożenie ułamków, zmniejszanie ich lub przekształcanie), liczba mieszana jest konwertowana na ułamek niewłaściwy.
Poprawne wyrażenie ułamkowe jest zawsze mniejsze niż jeden, a nieprawidłowe jest zawsze większe lub równe 1.
Jeśli chodzi o to wyrażenie, mamy na myśli zapis, w którym reprezentowana jest dowolna liczba, której mianownik wyrażenia ułamkowego można wyrazić w postaci jednego z kilkoma zerami. Jeśli ułamek jest właściwy, to część całkowita w zapisie dziesiętnym będzie równa zeru.
Aby zapisać ułamek dziesiętny, należy najpierw napisać całą część, oddzielić ją od ułamka przecinkiem, a następnie wpisać wyrażenie ułamkowe. Należy pamiętać, że po przecinku licznik musi zawierać tyle znaków cyfrowych, ile jest zer w mianowniku.
Przykład. Wyraź ułamek 7 21 / 1000 w zapisie dziesiętnym.
Algorytm zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną i odwrotnie
Zapisywanie ułamka niewłaściwego w odpowiedzi na zadanie jest nieprawidłowe, dlatego należy go zamienić na liczbę mieszaną:
- podziel licznik przez istniejący mianownik;
- w konkretnym przykładzie iloraz niepełny jest całością;
- a reszta to licznik części ułamkowej, przy czym mianownik pozostaje niezmieniony.
Przykład. Zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: 47/5.
Rozwiązanie. 47: 5. Iloraz częściowy wynosi 9, reszta = 2. Zatem 47/5 = 9 2/5.
Czasami trzeba przedstawić liczbę mieszaną w postaci ułamka niewłaściwego. Następnie musisz użyć następującego algorytmu:
- część całkowitą mnoży się przez mianownik wyrażenia ułamkowego;
- powstały produkt dodaje się do licznika;
- wynik zapisuje się w liczniku, mianownik pozostaje niezmieniony.
Przykład. Przedstaw liczbę w postaci mieszanej jako ułamek niewłaściwy: 9 8 / 10.
Rozwiązanie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 to licznik.
Odpowiedź: 98 / 10.
Mnożenie ułamków
Na ułamkach zwykłych można wykonywać różne operacje algebraiczne. Aby pomnożyć dwie liczby, należy pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Co więcej, mnożenie ułamków o różnych mianownikach nie różni się od mnożenia ułamków o tych samych mianownikach.
Zdarza się, że po znalezieniu wyniku trzeba zmniejszyć ułamek. W obowiązkowy musisz maksymalnie uprościć wynikowe wyrażenie. Oczywiście nie można powiedzieć, że ułamek niewłaściwy w odpowiedzi jest błędem, ale trudno też nazwać go poprawną odpowiedzią.
Przykład. Znajdź iloczyn dwóch zwykłych ułamków: ½ i 20/18.
Jak widać z przykładu, po znalezieniu iloczynu otrzymano redukowalny zapis ułamkowy. Zarówno licznik, jak i mianownik w tym przypadku są dzielone przez 4, a wynikiem jest odpowiedź 5/9.
Mnożenie ułamków dziesiętnych
Iloczyn ułamków dziesiętnych zasadniczo różni się od iloczynu ułamków zwykłych. Zatem mnożenie ułamków zwykłych wygląda następująco:
- dwa ułamki dziesiętne należy wpisać jeden pod drugim, tak aby cyfry znajdujące się najbardziej na prawo znajdowały się jedna pod drugą;
- musisz pomnożyć zapisane liczby pomimo przecinków, czyli jako liczby naturalne;
- policzyć liczbę cyfr po przecinku w każdej liczbie;
- w wyniku uzyskanym po mnożeniu należy policzyć od prawej strony tyle symboli cyfrowych, ile mieści się w sumie w obu czynnikach po przecinku i postawić znak oddzielający;
- jeśli w iloczynie jest mniej liczb, należy przed nimi wpisać tyle zer, aby pokryć tę liczbę, postawić przecinek i dodać całą część równą zero.
Przykład. Oblicz iloczyn dwóch ułamków dziesiętnych: 2,25 i 3,6.
Rozwiązanie.
Mnożenie ułamków mieszanych
Aby obliczyć iloczyn dwóch ułamków mieszanych, należy skorzystać z reguły mnożenia ułamków:
- zamieniać liczby mieszane na ułamki niewłaściwe;
- znajdź iloczyn liczników;
- znajdź iloczyn mianowników;
- zapisz wynik;
- uprościć wyrażenie tak bardzo, jak to możliwe.
Przykład. Znajdź iloczyn 4½ i 6 2/5.
Mnożenie liczby przez ułamek (ułamek przez liczbę)
Oprócz znalezienia iloczynu dwóch ułamków zwykłych i liczb mieszanych są zadania, w których trzeba pomnożyć przez ułamek.
Aby znaleźć produkt dziesiętny i liczbę naturalną, potrzebujesz:
- wpisz liczbę pod ułamkiem tak, aby skrajne cyfry na prawo znajdowały się jedna nad drugą;
- znajdź produkt pomimo przecinka;
- w wynikowym wyniku część całkowitą od części ułamkowej oddziel przecinkiem, licząc od prawej strony liczbę cyfr znajdujących się po przecinku ułamka.
Aby pomnożyć ułamek zwykły przez liczbę, musisz znaleźć iloczyn licznika i współczynnika naturalnego. Jeśli w wyniku otrzymamy ułamek, który można skrócić, należy go przeliczyć.
Przykład. Oblicz iloczyn 5/8 i 12.
Rozwiązanie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Odpowiedź: 7 1 / 2.
Jak widać z poprzedniego przykładu, wynikowy wynik trzeba było zredukować i zamienić wyrażenie ułamka nieregularnego na liczbę mieszaną.
Mnożenie ułamków dotyczy również znajdowania iloczynu liczby w postaci mieszanej i czynnika naturalnego. Aby pomnożyć te dwie liczby, należy pomnożyć całą część współczynnika mieszanego przez tę liczbę, licznik pomnożyć przez tę samą wartość, a mianownik pozostawić bez zmian. Jeśli to konieczne, musisz maksymalnie uprościć wynikowy wynik.
Przykład. Znajdź iloczyn 9 5/6 i 9.
Rozwiązanie. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Odpowiedź: 88 1 / 2.
Mnożenie przez współczynniki 10, 100, 1000 lub 0,1; 0,01; 0,001
Następująca zasada wynika z poprzedniego akapitu. Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, 10000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo o tyle cyfr, ile jest zer we współczynniku po jedności.
Przykład 1. Znajdź iloczyn 0,065 i 1000.
Rozwiązanie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Odpowiedź: 65.
Przykład 2. Znajdź iloczyn 3,9 i 1000.
Rozwiązanie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Odpowiedź: 3900.
Jeśli chcesz pomnożyć liczbę naturalną i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., należy w wynikowym iloczynie przesunąć przecinek w lewo o tyle znaków cyfr, ile jest zer przed jedynką. W razie potrzeby przed liczbą naturalną zapisuje się wystarczającą liczbę zer.
Przykład 1. Znajdź iloczyn 56 i 0,01.
Rozwiązanie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Odpowiedź: 0,56.
Przykład 2. Znajdź iloczyn 4 i 0,001.
Rozwiązanie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Odpowiedź: 0,004.
Znalezienie iloczynu różnych ułamków nie powinno więc sprawiać trudności, być może z wyjątkiem obliczenia wyniku; w tym przypadku po prostu nie można obejść się bez kalkulatora.
) i mianownik po mianowniku (otrzymujemy mianownik iloczynu).
Wzór na mnożenie ułamków:
Na przykład:
Zanim zaczniesz mnożyć liczniki i mianowniki, musisz sprawdzić, czy istnieje taka możliwość skróty ułamkowe. Jeśli uda Ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie Ci przeprowadzić dalsze obliczenia.
Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek.
Dzielenie ułamków zawierających liczby naturalne.
To nie jest tak straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodatek, zamień liczbę całkowitą na ułamek mający jedynkę w mianowniku. Na przykład:
Mnożenie ułamków mieszanych.
Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):
- zamień ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe;
- mnożenie liczników i mianowników ułamków;
- zmniejsz ułamek;
- Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.
Uważać na! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy je najpierw przekształcić do postaci ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.
Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.
Bardziej wygodne może być użycie drugiej metody mnożenia ułamek wspólny na numer.
Uważać na! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę, a licznik pozostawić bez zmian.
Z powyższego przykładu jasno wynika, że ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.
Ułamki wielopiętrowe.
W szkole średniej często spotyka się frakcje trzypiętrowe (lub więcej). Przykład:
Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, użyj podziału przez 2 punkty:
Uważać na! Przy dzieleniu ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, łatwo się tu pomylić.
Uwaga Na przykład:
Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:
Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:
1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, w skupieniu i wyraźnie. Lepiej dopisać kilka dodatkowych linijek w wersji roboczej, niż zatracać się w myślowych kalkulacjach.
2. W zadaniach z różne typy ułamki - przejdź do postaci ułamków zwykłych.
3. Redukujemy wszystkie ułamki tak długo, aż nie da się już redukować.
4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe przekształcamy na zwykłe, dzieląc przez 2 punkty.
5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.
