Pokażmy przykład szczegółowego obliczenia parametrów równania trendu na podstawie poniższych danych (patrz tabela) za pomocą kalkulatora.
Równanie trendu liniowego to y = at + b.
1. Znajdź parametry równania korzystając z metody najmniejszych kwadratów
.
Układ równań najmniejszych kwadratów:
za 0 n + za 1 ∑t = ∑y
za 0 ∑t + za 1 ∑t 2 = ∑y t
| T | y | t 2 | y 2 | ty | y(t) | (y-y cp) 2 | (y-y(t)) 2 | (t-t p) 2 | (y-y(t)): y |
| 1 | 17.4 | 1 | 302.76 | 17.4 | 12.26 | 895.01 | 26.47 | 30.25 | 0.3 |
| 2 | 26.9 | 4 | 723.61 | 53.8 | 18.63 | 416.84 | 68.39 | 20.25 | 0.31 |
| 3 | 23 | 9 | 529 | 69 | 25 | 591.3 | 4.02 | 12.25 | 0.0872 |
| 4 | 23.7 | 16 | 561.69 | 94.8 | 31.38 | 557.75 | 58.98 | 6.25 | 0.32 |
| 5 | 27.2 | 25 | 739.84 | 136 | 37.75 | 404.68 | 111.4 | 2.25 | 0.39 |
| 6 | 34.5 | 36 | 1190.25 | 207 | 44.13 | 164.27 | 92.72 | 0.25 | 0.28 |
| 7 | 50.7 | 49 | 2570.49 | 354.9 | 50.5 | 11.45 | 0.0383 | 0.25 | 0.0039 |
| 8 | 61.4 | 64 | 3769.96 | 491.2 | 56.88 | 198.34 | 20.44 | 2.25 | 0.0736 |
| 9 | 69.3 | 81 | 4802.49 | 623.7 | 63.25 | 483.27 | 36.56 | 6.25 | 0.0872 |
| 10 | 94.4 | 100 | 8911.36 | 944 | 69.63 | 2216.84 | 613.62 | 12.25 | 0.26 |
| 11 | 61.1 | 121 | 3733.21 | 672.1 | 76 | 189.98 | 222.11 | 20.25 | 0.24 |
| 12 | 78.2 | 144 | 6115.24 | 938.4 | 82.38 | 953.78 | 17.46 | 30.25 | 0.0534 |
| 78 | 567.8 | 650 | 33949.9 | 4602.3 | 567.8 | 7083.5 | 1272.21 | 143 | 2.41 |
Dla naszych danych układ równań ma postać:
12a 0 + 78a 1 = 567,8
78a 0 + 650a 1 = 4602,3
Z pierwszego równania wyrażamy 0 i podstawiamy je do drugiego równania
Otrzymujemy 0 = 6,37, a 1 = 5,88
Uwaga: wartości kolumny nr 6 y(t) obliczane są na podstawie otrzymanego równania trendu. Na przykład t = 1: y(1) = 6,37*1 + 5,88 = 12,26
Równanie trendu
y = 6,37 t + 5,88Oceńmy jakość równania trendu za pomocą bezwzględnego błędu aproksymacji.
Ponieważ błąd przekracza 15%, nie zaleca się stosowania tego równania jako trendu.
Wartości średnie: 
Dyspersja 
Odchylenie standardowe
Współczynnik elastyczności 
Współczynnik elastyczności jest mniejszy niż 1. Zatem jeśli X zmieni się o 1%, Y zmieni się o mniej niż 1%. Innymi słowy, wpływ X na Y nie jest znaczący.
Współczynnik determinacji 
te. w 82,04% przypadków wpływa to na zmiany danych. Innymi słowy, dokładność wyboru równania trendu jest wysoka
2. Analiza dokładności wyznaczania oszacowań parametrów równania trendu.
Wariancja błędu równania.
gdzie m = 1 to liczba czynników wpływających w modelu trendu.
Błąd standardowy równania.
3. Testowanie hipotez dotyczących współczynników równanie liniowe tendencja.
1) statystyka t. Test t-Studenta.
Korzystając z tabeli Studenta, znajdujemy Ttable
Tabela T (n-m-1;α/2) = (10;0,025) = 2,228
>
Potwierdzono istotność statystyczną współczynnika a 0. Estymacja parametru wynosząca 0 jest istotna, a szereg czasowy ma tendencję.
Istotność statystyczna współczynnika a 1 nie została potwierdzona.
Przedział ufności dla współczynników równania trendu.
Wyznaczmy przedziały ufności współczynników trendu, które przy wiarygodności 95% będą wyglądały następująco:
(a 1 - t obs S a 1 ;a 1 + t obs S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
Ponieważ punkt 0 (zero) leży wewnątrz przedział ufności, to estymacja przedziałowa współczynnika a 0 jest nieistotna statystycznie.
2) Statystyka F. Kryterium Fishera. 
Fkp = 4,84
Ponieważ F > Fkp, współczynnik determinacji jest istotny statystycznie
Sprawdzanie autokorelacji reszt.
Ważny warunek jakości budynku model regresji według OLS jest to niezależność wartości odchyleń losowych od wartości odchyleń we wszystkich innych obserwacjach. Zapewnia to brak korelacji pomiędzy odchyleniami, a w szczególności odchyleniami sąsiednimi.
Autokorelacja (korelacja szeregowa) definiuje się jako korelację pomiędzy obserwowanymi wskaźnikami uporządkowanymi w czasie (szereg czasowy) lub przestrzennym (szereg krzyżowy). Autokorelacja reszt (wariancji) jest powszechna w analizie regresji, gdy wykorzystuje się dane szeregów czasowych, i bardzo rzadko, gdy wykorzystuje się dane przekrojowe.
W problemach gospodarczych jest to znacznie częstsze dodatnia autokorelacja, zamiast autokorelacja ujemna. W większości przypadków dodatnia autokorelacja jest spowodowana kierunkiem ciągła ekspozycja niektóre czynniki nieuwzględnione w modelu.
Ujemna autokorelacja w rzeczywistości oznacza, że po dodatnim odchyleniu następuje ujemne i odwrotnie. Taka sytuacja może mieć miejsce, jeśli uwzględnić tę samą zależność pomiędzy popytem na napoje bezalkoholowe a dochodami w oparciu o dane sezonowe (zima-lato).
Wśród główne przyczyny powodujące autokorelację można wyróżnić:
1. Błędy specyfikacji. Nieuwzględnienie w modelu istotnej zmiennej objaśniającej lub błędny wybór formy zależności prowadzi zwykle do systemowych odchyleń punktów obserwacyjnych od linii regresji, co może prowadzić do autokorelacji.
2. Bezwładność. Wiele wskaźniki ekonomiczne(inflacja, bezrobocie, PNB itp.) mają pewną cykliczność związaną z falowaniem działalności gospodarczej. Dlatego zmiana wskaźników nie następuje natychmiast, ale ma pewną bezwładność.
3. Efekt pajęczej sieci. W wielu obszarach produkcyjnych i innych wskaźniki ekonomiczne reagują na zmiany warunków ekonomicznych z opóźnieniem (opóźnieniem).
4. Wygładzanie danych. Często dane za pewien długi okres czasu uzyskuje się poprzez uśrednienie danych w przedziałach składowych. Może to prowadzić do pewnego wygładzenia wahań, jakie wystąpiły w rozpatrywanym okresie, co z kolei może powodować autokorelację.
Konsekwencje autokorelacji są podobne heteroskedastyczność: Wnioski ze statystyk t i F, które określają istotność współczynnika regresji i współczynnika determinacji, mogą być nieprawidłowe.
Wykrywanie autokorelacji
1. Metoda graficzna
Istnieje wiele opcji graficznego definiowania autokorelacji. Jeden z nich łączy odchylenia e i z momentami ich powstania, tj. W tym przypadku oś odciętych pokazuje albo czas uzyskania danych statystycznych, albo numer seryjny obserwacje, a wzdłuż rzędnej - odchylenia e i (lub szacunki odchyleń).
Naturalne jest założenie, że jeśli istnieje pewne powiązanie między odchyleniami, wówczas następuje autokorelacja. Brak zależności będzie najprawdopodobniej wskazywał na brak autokorelacji.
Autokorelacja stanie się wyraźniejsza, jeśli wykreślimy zależność e i od e i-1
Test Durbina-Watsona.
Kryterium to jest najbardziej znane z wykrywania autokorelacji.
Analizując statystycznie równania regresji, na początkowym etapie często sprawdza się wykonalność jednego warunku wstępnego: warunków statystycznej niezależności odchyleń od siebie. W tym przypadku sprawdzana jest nieskorelacja sąsiednich wartości e i.
| y | y(x) | e ja = y-y(x) | mi 2 | (tj. – e i-1) 2 |
| 17.4 | 12.26 | 5.14 | 26.47 | 0 |
| 26.9 | 18.63 | 8.27 | 68.39 | 9.77 |
| 23 | 25 | -2 | 4.02 | 105.57 |
| 23.7 | 31.38 | -7.68 | 58.98 | 32.2 |
| 27.2 | 37.75 | -10.55 | 111.4 | 8.26 |
| 34.5 | 44.13 | -9.63 | 92.72 | 0.86 |
| 50.7 | 50.5 | 0.2 | 0.0384 | 96.53 |
| 61.4 | 56.88 | 4.52 | 20.44 | 18.71 |
| 69.3 | 63.25 | 6.05 | 36.56 | 2.33 |
| 94.4 | 69.63 | 24.77 | 613.62 | 350.63 |
| 61.1 | 76 | -14.9 | 222.11 | 1574.09 |
| 78.2 | 82.38 | -4.18 | 17.46 | 115.03 |
| 1272.21 | 2313.98 |
Aby przeanalizować korelację odchyleń, użyj Statystyka Durbina-Watsona:
Wartości krytyczne d 1 i d 2 wyznaczane są na podstawie specjalnych tabel dla wymaganego poziomu istotności α, liczby obserwacji n = 12 i liczby zmiennych objaśniających m = 1.
Autokorelacja nie zachodzi, jeśli spełniony jest warunek:
d 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
Nie odwołując się do tabel, można zastosować regułę przybliżoną i założyć, że nie ma autokorelacji reszt, jeśli 1,5< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков nieobecny.
Aby uzyskać bardziej wiarygodne wnioski, zaleca się odniesienie do wartości tabelarycznych.
Korzystając z tabeli Durbina-Watsona dla n=12 i k=1 (poziom istotności 5%) znajdujemy: d 1 = 1,08; d2 = 1,36.
Od 1.08< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков nieobecny.
Sprawdzanie heteroskedastyczności.
1) Poprzez graficzną analizę reszt.
W tym przypadku wartości zmiennej objaśniającej X są wykreślane wzdłuż osi odciętych, a odchylenia e i lub ich kwadraty e 2 i są wykreślane wzdłuż osi współrzędnych.
Jeśli istnieje pewne powiązanie między odchyleniami, wówczas występuje heteroskedastyczność. Brak zależności będzie najprawdopodobniej wskazywał na brak heteroskedastyczności.
2) Korzystanie z testu korelacja rang Włócznik.
Współczynnik korelacji rang Spearmana.
Przypiszmy rangi cechy Y i czynnikowi X. Znajdź sumę różnicy kwadratów d 2.
Korzystając ze wzoru obliczamy współczynnik korelacji rang Spearmana. 
| T | e ja | ranga X, dx | ranga e i, d y | (d x - d y) 2 |
| 1 | -5.14 | 1 | 4 | 9 |
| 2 | -8.27 | 2 | 2 | 0 |
| 3 | 2 | 3 | 7 | 16 |
| 4 | 7.68 | 4 | 9 | 25 |
| 5 | 10.55 | 5 | 11 | 36 |
| 6 | 9.63 | 6 | 10 | 16 |
| 7 | -0.2 | 7 | 6 | 1 |
| 8 | -4.52 | 8 | 5 | 9 | tabela t (n-m-1;α/2) = (10;0,05/2) = 2,228
Najczęściej wydaje się trend zależność liniowa badanego typu
gdzie y jest interesującą zmienną (na przykład produktywnością) lub zmienną zależną;
x jest liczbą określającą pozycję (drugą, trzecią itd.) roku w okresie prognozy lub zmienną niezależną.
Przy liniowym przybliżaniu zależności między dwoma parametrami najczęściej stosuje się metodę najmniejszych kwadratów w celu znalezienia współczynników empirycznych funkcji liniowej. Istota metody polega na tym funkcja liniowa„najlepsze dopasowanie” przechodzi przez punkty wykresu odpowiadające minimum sumy kwadratów odchyleń mierzonego parametru. Warunek ten wygląda następująco:
gdzie n to wielkość badanej populacji (liczba jednostek obserwacyjnych).
Ryż. 5.3. Budowanie trendu metodą najmniejszych kwadratów
Wartości stałych b i a lub współczynnika zmiennej X i wolnego członu równania określa wzór:
W tabeli 5.1 pokazuje przykład obliczenia trendu liniowego na podstawie danych.
Tabela 5.1. Obliczanie trendu liniowego
Metody wygładzania oscylacji.
Jeżeli pomiędzy sąsiednimi wartościami występują duże rozbieżności, trend uzyskany metodą regresji jest trudny do analizy. Prognozując, gdy seria zawiera dane o dużym rozrzucie wahań wartości sąsiednich, należy je wygładzić według pewnych zasad, a następnie szukać znaczenia w prognozie. Do metody wygładzania oscylacji
obejmują: metodę średniej ruchomej (obliczana jest średnia n-punktowa), metodę wygładzania wykładniczego. Przyjrzyjmy się im.
Metoda średniej ruchomej (MAM).
MSS pozwala wygładzić serię wartości w celu podkreślenia trendu. W tej metodzie obliczana jest średnia (zwykle średnia arytmetyczna) ustalonej liczby wartości. Na przykład trzypunktowa średnia krocząca. Przyjmuje się pierwsze trzy wartości, zebrane na podstawie danych za styczeń, luty i marzec (10 + 12 + 13), i ustala się, że średnia wynosi 35: 3 = 11,67.
Wynikową wartość 11,67 umieszcza się w środku przedziału, tj. zgodnie z linią lutową. Następnie „przesuwamy się o jeden miesiąc” i bierzemy trzy kolejne liczby, począwszy od lutego do kwietnia (12 + 13 + 16), i obliczamy średnią równą 41:3 = 13,67 i w ten sposób przetwarzamy dane dla cała seria. Uzyskane średnie stanowią nową serię danych do konstruowania trendu i jego przybliżenia. Im więcej punktów zostanie przyjętych do obliczenia średniej ruchomej, tym silniejsze będzie wygładzenie wahań. Przykład konstrukcji trendu z MBA podano w tabeli. 5.2 i na ryc. 5.4.
Tabela 5.2 Obliczanie trendu metodą trzypunktowej średniej ruchomej
Charakter wahań danych pierwotnych i danych uzyskanych metodą średniej ruchomej ilustruje rys. 5.4. Z porównania wykresów serii wartości początkowych (seria 3) i trzypunktowych średnich kroczących (seria 4) widać, że wahania można wygładzić. Jak większa liczba punkty będą ujęte w przedziale obliczania średniej kroczącej, tym wyraźniej pojawi się trend (wiersz 1). Jednak procedura zwiększania zakresu prowadzi do zmniejszenia liczby wartości końcowych, a to zmniejsza dokładność prognozy.
Prognozy należy sporządzać w oparciu o szacunki linii regresji w oparciu o wartości danych początkowych lub średnie kroczące.
Ryż. 5.4. Charakter zmian wolumenu sprzedaży w poszczególnych miesiącach roku:
dane początkowe (wiersz 3); średnie kroczące (wiersz 4); wygładzanie wykładnicze(wiersz 2); trend skonstruowany metodą regresji (wiersz 1)
Metoda wygładzania wykładniczego.
Alternatywnym podejściem do ograniczenia rozrzutu wartości szeregów jest zastosowanie metody wygładzania wykładniczego. Metodę tę nazywa się „wygładzaniem wykładniczym” ze względu na fakt, że każda wartość okresów przechodzących w przeszłość jest zmniejszana o współczynnik (1 – α).
Każdą wygładzoną wartość oblicza się za pomocą wzoru w postaci:
St =aYt +(1−α)St−1,
gdzie St jest bieżącą wartością wygładzoną;
Yt – bieżąca wartość szeregu czasowego; St – 1 – poprzednia wartość wygładzona; α jest stałą wygładzania, 0 ≤ α ≤ 1.
Jak mniejsza wartość stała α, tym jest mniej wrażliwa na zmiany trendu w danym szeregu czasowym.
W rozdziale 2 omówiono koncepcję trendu szeregów czasowych, tj. tendencje w dynamice rozwoju badanego wskaźnika. Celem tego rozdziału jest rozważenie głównych typów takich trendów, ich właściwości, odzwierciedlonych w mniejszym lub większym stopniu przez równanie linii trendu. Zwróćmy uwagę, że w przeciwieństwie do prostych układów mechaniki, tendencje zmian wskaźników złożonych systemów społecznych, ekonomicznych, biologicznych i technicznych odzwierciedlane są jedynie w pewnym przybliżeniu za pomocą tego czy innego równania, linii trendu.
W tym rozdziale nie rozważamy wszystkich prostych i ich równań znanych w matematyce, a jedynie zbiór ich stosunkowo prostych postaci, które uważamy za wystarczające do przedstawienia i analizy większości trendów szeregów czasowych spotykanych w praktyce. W takim przypadku wskazane jest, aby zawsze wybierać prostszą linię spośród kilku rodzajów linii, które dość ściśle wyrażają trend. Tę „zasadę prostoty” uzasadnia fakt, że im bardziej złożone równanie linii trendu, im większą liczbę parametrów zawiera, tym trudniej, przy równym stopniu przybliżenia, podać wiarygodne oszacowanie tych parametrów opiera się na ograniczonej liczbie poziomów szeregu i im większy jest błąd w estymacji tych parametrów, tym błędy w przewidywanych poziomach.
4.1. Trend liniowy i jego właściwości
Najbardziej prosty typ Linia trendu to linia prosta opisana równaniem trendu liniowego (tj. pierwszego stopnia):
Gdzie 
-
wyrównane, tj. pozbawione wahań poziomy trendu od lat z liczbą i;
A- człon dowolny równania, liczbowo równy średniemu poziomowi zniwelowanemu dla chwili lub okresu czasu przyjętego za początek, tj. Dla
T = 0;
B - średnia zmiana poziomów serii na jednostkę zmiany w czasie;
ty - liczby momentów lub okresów czasu, do których odnoszą się poziomy szeregu czasowego (rok, kwartał, miesiąc, dzień).
Głównym parametrem i stałą tendencji liniowej jest średnia zmiana poziomów serii na jednostkę czasu. Dlatego ten typ trendu nadaje się do wyświetlania tendencji do w przybliżeniu jednolitych zmian poziomów: równych średnich bezwzględnych wzrostów lub bezwzględnych spadków poziomów w równych okresach czasu. Praktyka pokazuje, że tego typu dynamika występuje dość często. Przyczyną prawie jednolitych bezwzględnych zmian poziomów szeregu jest: wiele zjawisk, takich jak plony rolne, liczba ludności regionu, miasta, wysokość dochodów ludności, średnie spożycie dowolnego produktu spożywczego itp. zależą od wielu różnych czynników. Niektóre z nich wpływają na przyspieszenie wzrostu badanego zjawiska, inne – na wolniejszy wzrost, inne – na redukcję poziomów itp. Wpływ wielokierunkowych i różnie przyspieszanych (wolnych) sił czynników ulega wzajemnemu uśrednieniu, częściowo znoszą się, a wypadkowa ich oddziaływań nabiera charakteru zbliżonego do jednolitej tendencji. Zatem jednolity trend dynamiki (lub stagnacji) jest wynikiem zsumowania wpływu dużej liczby czynników na zmianę badanego wskaźnika.
Graficzną reprezentacją trendu prostoliniowego jest linia prosta w prostokątnym układzie współrzędnych ze skalą liniową (arytmetyczną) na obu osiach. Przykład trendu liniowego pokazano na ryc. 4.1.
Bezwzględne zmiany poziomów w poszczególnych latach nie były dokładnie takie same, ale ogólną tendencją było zmniejszenie liczby osób zatrudnionych w gospodarka narodowa bardzo dobrze odzwierciedlone w trendzie liniowym. Jego parametry obliczono w rozdz. 5 (tabela 5.3).
Główne właściwości trendu w postaci linii prostej są następujące:
Równe zmiany w równych okresach czasu;
Jeżeli średni bezwzględny wzrost jest wartością dodatnią, wówczas względne wzrosty lub stopy wzrostu stopniowo maleją;
Jeśli średnia bezwzględna zmiana jest ujemna, wówczas względne zmiany lub tempo redukcji stopniowo rosną zgodnie z wartość bezwzględna spaść do poprzedniego poziomu;
Jeżeli tendencja zmierza w kierunku obniżenia poziomów, a badana wartość jest z definicji dodatnia, wówczas średnia zmiana B nie może być więcej niż przeciętnie A;
Przy trendzie liniowym, przyspieszeniu, tj. różnica zmian bezwzględnych w kolejnych okresach jest równa zeru.
Właściwości trendu liniowego przedstawiono w tabeli. 4.1. Równanie trendu: 
= 100 +20 *ti.
Wskaźniki dynamiki w przypadku tendencji do poziomów malejących podano w tabeli. 4.2.
Tabela 4.1
Wskaźniki dynamiki z tendencją liniową w stronę rosnących poziomów 
= 100 +20 *ti.
|
Numer okresu ti |
|
Stawki (łańcuch),% |
Przyśpieszenie |
|
Tabela 4.2
Wskaźniki dynamiki z liniowym trendem malejących poziomów: 
= 200 -20 *ti.
|
Numer okresu ti |
|
Absolutna zmiana w stosunku do poprzedniego okresu |
Stawka w porównaniu do poprzedniego okresu, % |
Przyśpieszenie |
Zgodnie ze wzorem (9.29) parametry trendu liniowego są równe a = 1894/11 = 172,2 s/ha; B= 486/110 = 4,418 c/ha. Równanie trendu liniowego ma postać:
y = 172,2 + 4,418T, Gdzie t = 0 w 1987 r. Oznacza to, że średni rzeczywisty i wyrównany poziom odnosił się do połowy okresu, tj. do 1991 r. wynoszący 172 c/ha rocznie, średnioroczny przyrost wynosi 4,418 c/ha;
Parametry trendu parabolicznego zgodnie z (9.23) są równe b = 4,418; A = 177,75; c =-0,5571. Równanie trendu parabolicznego ma postać у̃ = 177,75 + 4,418T - 0.5571t2; T= 0 w 1991 r. Oznacza to, że bezwzględny wzrost plonów spowalnia średnio o 2·0,56 c/ha rocznie. Sam wzrost bezwzględny nie jest już stałą trendu parabolicznego, ale jest wartością średnią dla okresu. W roku przyjętym za punkt wyjścia, tj. 1991 trend przechodzi przez punkt o rzędnej 77,75 c/ha; Wolny termin trendu parabolicznego nie jest średnim poziomem w danym okresie. Parametry trendu wykładniczego oblicza się za pomocą wzorów (9.32) i (9.33) ln A= 56,5658/11 = 5,1423; wzmacniając, otrzymujemy A= 171,1; ln k= 2,853:110 = 0,025936; wzmacniając, otrzymujemy k = 1,02628.
Równanie trendu wykładniczego to: y = 171,1 1,02628 T.
Oznacza to, że średnioroczna stopa rentowności za ten okres wyniosła 102,63%. W punkcie K będącym punktem początkowym trend przechodzi przez punkt o rzędnej 171,1 c/ha.
Poziomy obliczone za pomocą równań trendu wpisane są w trzech ostatnich kolumnach tabeli. 9,5. Jak widać z tych danych. Obliczone wartości poziomów dla wszystkich trzech typów trendów nie różnią się zbytnio, ponieważ zarówno przyspieszenie paraboli, jak i tempo wzrostu wykładniczego są małe. Parabola ma znaczącą różnicę - wzrost poziomów zatrzymał się od 1995 roku, podczas gdy przy trendzie liniowym poziomy rosną nadal, a przy trendzie wykładniczym ich tempo przyspiesza. Dlatego w przypadku prognoz na przyszłość te trzy trendy nie są sobie równe: ekstrapolując parabolę na przyszłe lata, poziomy będą gwałtownie odbiegać od linii prostej i wykładniczej, jak widać z tabeli. 9.6. Tabela ta przedstawia wydruk rozwiązania na komputerze PC przy użyciu programu Statgraphics dla tych samych trzech trendów. Różnicę między ich wyrazami swobodnymi a podanymi powyżej tłumaczy się tym, że program numeruje lata nie od środka, a od początku, tak że wyrazy swobodne trendów odnoszą się do roku 1986, dla którego t = 0. równanie wykładnicze na wydruku pozostawia się w postaci logarytmicznej. Prognozę sporządza się na 5 lat do przodu, tj. do 2001 r. Kiedy zmienia się pochodzenie współrzędnych (odniesienie czasowe) w równaniu paraboli, średni bezwzględny wzrost parametru B. gdyż na skutek ujemnego przyspieszenia wzrost cały czas maleje, a jego maksimum przypada na początek okresu. Jedyną stałą paraboli jest przyspieszenie.
Linia „Dane” pokazuje poziomy oryginalnej serii; „Podsumowanie prognozy” oznacza dane podsumowujące prognozę. W kolejnych wierszach znajdują się równania prostej, paraboli, wykładników - w postaci logarytmicznej. Kolumna ME oznacza średnią różnicę pomiędzy poziomami szeregu pierwotnego a poziomami trendu (wyrównanymi). W przypadku linii prostej i paraboli rozbieżność ta wynosi zawsze zero. Poziomy wykładników są średnio o 0,48852 niższe niż poziomy oryginalnej serii. Dokładne dopasowanie jest możliwe, jeśli prawdziwy trend jest wykładniczy; V w tym przypadku Nie ma przypadku, ale różnica jest niewielka. Wykres MAE to wariancja s 2 - miara zmienności rzeczywistych poziomów w stosunku do trendu, jak omówiono w paragrafie 9.7. Kolumna MAE – średnie odchylenie liniowe poziomów od trendu w wartości bezwzględnej (patrz paragraf 5.8); kolumna MARE – względne odchylenie liniowe w procentach. Tutaj są one zaprezentowane jako wskaźniki przydatności wybranego typu trendu. Parabola ma mniejszy moduł dyspersji i odchylenia: dla okresu 1986 - 1996. bliżej rzeczywistych poziomów. Jednak wyboru rodzaju trendu nie można sprowadzić wyłącznie do tego kryterium. W rzeczywistości spowolnienie wzrostu jest wynikiem dużego ujemnego odchylenia, czyli nieurodzaju w 1996 roku.
Druga połowa tabeli to prognoza poziomów rentowności dla trzech typów trendów na lata; t = 12, 13, 14, 15 i 16 od początku (1986). Przewidywane poziomy dla wykładniczego do 16 roku nie są dużo wyższe niż dla linii prostej. Poziomy trendów parabolicznych maleją, coraz bardziej odbiegając od innych trendów.
Jak widać w tabeli. 9.4 przy obliczaniu parametrów trendu uwzględniane są poziomy szeregu pierwotnego z różnymi wagami – wartościami t str i ich kwadraty. Zatem wpływ wahań poziomu na parametry trendu zależy od tego, który rok jest rokiem żniwnym, czy rokiem chudym. Jeśli w roku z liczbą zerową wystąpią ostre odchylenie ( t ja = 0), wtedy nie będzie to miało żadnego wpływu na parametry trendu, ale jeśli trafi na początek i koniec serii, będzie to miało silny wpływ. W konsekwencji pojedyncze wyrównanie analityczne nie uwalnia całkowicie parametrów trendu od wpływu wahań, a przy silnych wahaniach mogą zostać znacznie zniekształcone, co miało miejsce w przypadku paraboli w naszym przykładzie. Aby jeszcze bardziej wyeliminować zniekształcający wpływ wahań na parametry trendu, należy zastosować metoda wielokrotnego wyrównywania przesuwnego.
Technika ta polega na tym, że parametry trendu nie są obliczane od razu dla całej serii, ale metoda przesuwania, pierwszy za pierwszy T okresy czasu lub momenty, następnie przez okres od 2 do t + 1, od 3 do (t + 2) poziom itp. Jeżeli liczba początkowych poziomów serii jest równa P, a długość każdej podstawy przesuwnej do obliczania parametrów jest równa T, wówczas liczba takich ruchomych baz t lub poszczególnych wartości parametrów, które zostaną z nich określone, będzie wynosić:
L = n + 1 - T.
Zastosowanie techniki przesuwnego wielokrotnego wyrównania, jak widać z powyższych obliczeń, jest możliwe tylko przy odpowiednio dużej liczbie poziomów w szeregu, zwykle 15 lub więcej. Rozważmy tę technikę na przykładzie danych z tabeli 1. 9.4 - dynamika cen towarów pozapaliwowych kraje rozwijające się, co ponownie daje czytelnikowi możliwość wzięcia udziału w niewielkim badania naukowe. Korzystając z tego samego przykładu, będziemy kontynuować technikę prognozowania w podrozdziale 9.10.
Jeśli obliczymy parametry naszego szeregu w okresach 11-letnich (na 11 poziomach), to T= 17 + 1 - 11 = 7. Znaczenie wielokrotnego dopasowania przesuwnego polega na tym, że przy kolejnych przesunięciach podstawy do obliczania parametrów, na końcach i w środku będą różne poziomy z odchyleniami od trendu o różnym znaku i wielkości. Zatem przy jednych przesunięciach bazy parametry zostaną zawyżone, innymi niedoszacowane, a przy późniejszym uśrednianiu wartości parametrów po wszystkich przesunięciach podstawy obliczeniowej nastąpi dalsze wzajemne znoszenie się zniekształceń w parametry trendu poprzez wahania poziomów.
Wielokrotne wyrównanie przesuwne pozwala nie tylko uzyskać dokładniejszą i bardziej wiarygodną estymację parametrów trendu, ale także kontrolować prawidłowy wybór rodzaju równania trendu. Jeśli okaże się, że parametr trendu wiodącego, jego stała obliczona przy użyciu ruchomych baz, nie zmienia się losowo, ale systematycznie zmienia swoją wartość w sposób istotny, oznacza to, że typ trendu został wybrany nieprawidłowo, parametr ten nie jest stałą .
Jeśli chodzi o wyraz wolny przy wielokrotnym wyrównaniu, to nie ma potrzeby, a ponadto obliczanie jego wartości jako średniej ze wszystkich przesunięć bazowych jest po prostu błędne, gdyż tą metodą w obliczeniach zostałyby uwzględnione poszczególne poziomy szeregu pierwotnego średniej o różnych wagach, a suma wyrównanych poziomów będzie odbiegać od sumy wyrazów pierwotnego szeregu. Swobodny wyraz trendu jest średnią wartością poziomu w danym okresie, pod warunkiem, że czas jest liczony od połowy okresu. Licząc od początku, jeśli pierwszy poziom ja= 1, wolny termin będzie równy: za 0 = у̅ - b((N-1)/2). Zaleca się, aby długość ruchomej podstawy do obliczania parametrów trendu była dobrana na co najmniej 9-11 poziomów, w celu wystarczającego tłumienia wahań poziomów. Jeśli początkowy rząd jest bardzo długi, podstawa może wynosić do 0,7 - 0,8 jego długości. Aby wyeliminować wpływ wahań długookresowych (cyklicznych) na parametry trendu, liczba przesunięć bazowych musi być równa lub wielokrotność długości cyklu oscylacji. Następnie początek i koniec bazy będą sekwencyjnie „przebiegać” przez wszystkie fazy cyklu i przy uśrednianiu parametru po wszystkich przesunięciach jego zniekształcenia od cyklicznych oscylacji będą się znosić. Innym sposobem jest przyjęcie długości ruchomej podstawy równej długości cyklu, tak aby początek podstawy i koniec podstawy zawsze przypadały na tę samą fazę cyklu oscylacji.
Ponieważ zgodnie z tabelą. 9.4 ustalono już, że trend ma postać liniową, obliczamy średnioroczny bezwzględny wzrost, czyli parametr B równania trendu liniowego w sposób ślizgowy w oparciu o okres 11 lat (patrz tabela 9.7). Zawiera także obliczenie danych niezbędnych do późniejszego badania zmienności w paragrafie 9.7. Przyjrzyjmy się bliżej technice wielokrotnego ustawiania za pomocą przesuwnych podstaw. Obliczmy parametr B dla wszystkich baz danych:
Przyjmując prostą jako hipotetyczną funkcję poziomów teoretycznych wyznaczamy parametry tych ostatnich:
Układ ten można rozwiązać za pomocą wzorów:
Stąd pożądane równanie trendu: 
. Podstawiając wartości 1, 2, 3, 4, 5 do powstałego równania, wyznaczamy teoretyczne poziomy szeregu (patrz przedostatnia kolumna tabeli 4.3). Porównując wartości poziomu empirycznego i teoretycznego widzimy, że są one zbliżone, tj. można powiedzieć, że znalezione równanie z dużym powodzeniem charakteryzuje główną tendencję zmian poziomów właśnie jako funkcję liniową.
Układ równań normalnych upraszcza się, jeśli czas liczymy od środka rzędu. Na przykład kiedy nieparzysta liczba poziomów punkt środkowy (rok, miesiąc) przyjmuje się jako zero. Następnie okresy poprzedzające oznacza się odpowiednio -1, -2, -3 itd., a następujące po średniej odpowiednio -1, +2, +3 itd. Przy parzystej liczbie poziomów dwa środkowe momenty (okresy) czasu są oznaczone odpowiednio -1 i +1, a wszystkie kolejne i poprzednie odpowiednio w dwóch odstępach: 
itp.
Przy takiej kolejności liczenia czasu (od środka wiersza) układ równań normalnych zostaje uproszczony do dwóch równań, z których każde rozwiązuje się niezależnie:
Ważny Konstruując model szeregów czasowych uwzględnia się wahania sezonowe i cykliczne. Najprostszym podejściem do uwzględnienia w modelu wahań sezonowych i cyklicznych jest obliczenie wartości składnika sezonowego/cyklicznego i zbudowanie addytywnego i multiplikatywnego modelu szeregów czasowych.
Widok ogólny model addytywny wygląda następująco: Y=T+S+E. Model ten zakłada, że każdy poziom czasowy szeregu można przedstawić jako sumę trendu T, sezonowy S i składnik losowy. Ogólny wygląd modelu multiplikatywnego wygląda następująco: Y=T∙S∙E.
Wybór jednego z dwóch modeli opiera się na analizie struktury wahań sezonowych. Jeżeli amplituda oscylacji jest w przybliżeniu stała, konstruowany jest addytywny model szeregów czasowych, w którym zakłada się, że wartości składnika sezonowego są stałe dla różnych cykli. Jeżeli amplituda wahań sezonowych rośnie lub maleje, budowany jest multiplikatywny model szeregów czasowych, który uzależnia poziomy szeregów od wartości składnika sezonowego.
Konstrukcja modeli addytywnych i multiplikatywnych sprowadza się do obliczeń T, S, E dla każdego poziomu wiersza. Etapy budowania modelu obejmują następujące kroki:
1. Wyrównanie szeregu pierwotnego metodą średniej ruchomej
2. Obliczanie wartości składników sezonowych S.
3. Eliminacja składnika sezonowego z początkowych poziomów szeregu i uzyskanie wyrównanych danych w sposób addytywny ( T+E) lub multiplikatywny ( T∙E) modele.
4. Niwelacja analityczna ( T+E) Lub ( T∙E) i obliczanie wartości T korzystając z otrzymanego równania trendu.
5. Obliczanie wartości uzyskanych z modelu ( T+E) Lub ( T∙E).
6. Obliczanie wartości bezwzględnych i/lub błędy względne. Jeżeli uzyskane wartości nie zawierają autokorelacji, mogą zastąpić pierwotne poziomy szeregu, a następnie wykorzystać szereg czasowy błędów mi analizować związek między szeregiem oryginalnym a innymi szeregami czasowymi.
Rozważmy inne metody analizy zależności, zakładając, że badany szereg czasowy nie zawiera wahań okresowych. Załóżmy, że badamy zależność pomiędzy szeregami X I Na. Aby ilościowo scharakteryzować tę zależność, używamy współczynnik liniowy korelacje. Jeśli badane szeregi czasowe wykazują tendencję, współczynnik korelacji wartości bezwzględnej będzie wysoki. Jednak to nie oznacza, że X przyczyna Na. Wysoki współczynnik korelacji w tym przypadku wynika z faktu, że X I Na zależą od czasu lub zawierają trend. W takim przypadku szeregi całkowicie niepowiązane ze sobą zależnością przyczynowo-skutkową mogą mieć tę samą lub przeciwną tendencję. Przykładowo współczynnik korelacji pomiędzy liczbą absolwentów szkół wyższych a liczbą domów wakacyjnych w Federacji Rosyjskiej w latach 1970-1990 wyniósł 0,8. Nie oznacza to jednak, że liczba domów wakacyjnych przyczynia się do wzrostu liczby absolwentów i odwrotnie.
Aby otrzymać współczynniki korelacji charakteryzujące związek przyczynowo-skutkowy pomiędzy badanymi szeregami, należy pozbyć się tzw. fałszywej korelacji spowodowanej obecnością trendu w każdym szeregu, która jest eliminowana o jeden metod.
Załóżmy to dla dwóch szeregów czasowych x t I t konstruowane jest równanie regresji par regresja liniowa typ: 
. obecność trendu w każdym z tych szeregów czasowych oznacza, że jest to zależne t i niezależny x t Na zmienne modelu wpływa czynnik czasu, który nie jest bezpośrednio brany pod uwagę w modelu. Wpływ czynnika czasu zostanie wyrażony w korelacji między wartościami reszt dla bieżącego i poprzedniego punktu w czasie, co nazywa się autokorelacją reszt.
Autokorelacja w resztach jest naruszeniem jednej z głównych przesłanek OLS – założenia, że reszty otrzymane z równania regresji są losowe. Jeden z możliwe sposoby Rozwiązaniem tego problemu jest zastosowanie uogólnionej metody najmniejszych kwadratów.
Aby wyeliminować trend, stosuje się dwie grupy metod:
Metody polegające na przekształceniu poziomów szeregu pierwotnego na nowe zmienne nie zawierające trendów (metoda kolejnych różnic i metoda odchyleń od trendów);
Metody oparte na badaniu zależności pomiędzy początkowymi poziomami szeregów czasowych przy eliminacji wpływu czynnika czasu na zmienne zależne i niezależne modelu (uwzględnienie czynnika czasu w modelu regresji szeregów czasowych).
Niech będą dwa szeregi czasowe i , z których każdy zawiera składnik trendu T i składnik losowy. Analityczne dopasowanie każdej z tych serii pozwala znaleźć parametry odpowiednich równań trendu i określić poziomy obliczone przez trend i odpowiadające im. Te obliczone wartości można przyjąć jako oszacowanie składnika trendu T każdy rząd. Dlatego wpływ trendu można wyeliminować, odejmując obliczone wartości poziomów serii od rzeczywistych. Procedurę tę wykonuje się dla każdego szeregu czasowego w modelu. Dalsza analiza zależności między szeregami odbywa się nie na poziomach początkowych, ale na odchyleniach od trendu i . To jest dokładnie to, czym jest metoda odchylenia trendu.
W niektórych przypadkach zamiast analitycznie dopasowywać szeregi czasowe w celu wyeliminowania trendu, można zastosować prostszą metodę – metoda kolejnych różnic. Jeśli szereg czasowy zawiera silny trend liniowy, można go wyeliminować, zastępując początkowe poziomy szeregu połączonymi przyrostami bezwzględnymi (pierwsze różnice).
Współczynnik B– stała niezależna od czasu. W obecności silnego trendu liniowego rezygnacje są niewielkie i zgodnie z założeniami OLS mają charakter losowy. Zatem pierwsze różnice pomiędzy poziomami szeregu nie zależą od zmiennej czasowej, można je wykorzystać do dalszej analizy.
Jeśli szereg czasowy zawiera trend w postaci paraboli drugiego rzędu, to aby go wyeliminować, można zastąpić początkowe poziomy szeregu drugimi różnicami: .
Jeżeli trend szeregu czasowego jest zgodny z trendem wykładniczym lub prawem potęgowym, nie należy stosować metody kolejnych różnic poziomy początkowe szeregi, ale do ich logarytmów.
Widok modelu: 
odnosi się także do grupy modeli uwzględniających czynnik czasu. Przewaga tego modelu nad metodami odchyleń od trendów i różnic sekwencyjnych polega na tym, że pozwala on na uwzględnienie wszystkich informacji zawartych w danych pierwotnych, gdyż wartości i są poziomami pierwotnego szeregu czasowego. Dodatkowo model budowany jest z całego zbioru danych dla rozpatrywanego okresu, w odróżnieniu od metody różnic sekwencyjnych, co prowadzi do utraty liczby obserwacji. Parametry tego modelu wyznaczane są metodą zwykłych najmniejszych kwadratów.
Przykład. Skonstruujmy równanie trendu na podstawie danych początkowych z tabeli 4.4.
Tabela 4.4
Wydatki na spożycie ostateczne i dochody ogółem (jednostki konwencjonalne)
Układ równań normalnych ma postać:
Korzystając z danych początkowych, obliczamy niezbędne wartości i podstawiamy je do systemu:
Równanie regresji ma postać: .
Interpretacja parametrów równania jest następująca: charakteryzuje się ona wzrostem dochodu całkowitego o 1 jednostkę. Przy założeniu stałej tendencji wydatki na spożycie finalne wzrosną średnio o 0,49 CU. Parametr oznacza, że wpływ wszystkich czynników, z wyjątkiem dochodów ogółem, na spożycie finalne doprowadzi do jego średniorocznego bezwzględnego wzrostu o 0,63 m3.
Rozważmy równanie regresji w postaci: 
. Dla każdego momentu wartość składników jest definiowana jako lub . Rozpatrując sekwencję reszt jako szereg czasowy, można wykreślić ich zależność od czasu. Zgodnie z założeniami OLS reszty powinny być losowe (rysunek 4.4).
Ryż. 4.4 Losowe reszty
Jednak przy modelowaniu szeregów czasowych często zdarzają się sytuacje, w których reszty zawierają trend lub wahania cykliczne (rys. 4.5). Sugeruje to, że każda kolejna wartość reszt zależy od poprzednich. W tym przypadku mówią o obecności autokorelacji w resztach.
a) b)
Ryż. 4.5 Trend spadkowy ( A) i wahania cykliczne ( B)
w resztkach
Autokorelacja składnika losowego- zależność korelacyjna bieżących i poprzednich wartości składnika losowego. Konsekwencje autokorelacji składowych losowych:
Współczynniki regresji stają się nieskuteczne;
Błędy standardowe współczynników regresji stają się niedoszacowane i wartości T– kryteria są zawyżone.
Aby określić autokorelację reszt, znane są dwie najpopularniejsze metody wyznaczania autokorelacji reszt. Pierwsza metoda polega na wykreśleniu reszt w funkcji czasu i wizualnym określeniu obecności lub braku autokorelacji. Drugą metodą jest zastosowanie testu Durbina-Watsona, który sprowadza się do sprawdzenia hipotezy:
H0 (hipoteza główna): nie ma autokorelacji;
H1 i H2 (hipotezy alternatywne): w resztach występuje odpowiednio dodatnia lub ujemna autokorelacja.
Do sprawdzenia głównej hipotezy wykorzystuje się statystykę testu Durbina-Watsona:
Gdzie .
Na dużych próbkach d≈2(1-), Gdzie - współczynnik autokorelacji pierwszego rzędu.
.
Jeśli występuje całkowita dodatnia autokorelacja w resztach i =1, zatem d=0; jeśli w resztach występuje całkowita ujemna autokorelacja, to = -1 i d=4; jeśli nie ma autokorelacji reszt, to = 0, zatem d=2. Dlatego 0.
Istnieją specjalne tabele statystyczne do określania dolnych i górnych granic krytycznych D-statystyka –dL I d U. Są one ustalane w zależności od N, liczba zmiennych niezależnych k i poziom znaczenia.
Jeśli dob ‹d L , wówczas zostaje przyjęta hipoteza H1: dodatnia autokorelacja.
Jeśli d i ‹d obs.
Jeśli 2‹d obs‹4-d i, wówczas przyjęta zostaje hipoteza H0: nie ma autokorelacji.
Jeśli d obs ›4-d L , wówczas przyjęta zostaje hipoteza H2: autokorelacja ujemna.
Jeśli 4-d i ‹d obs ‹4-d L , I d L ‹d obs ‹d i, wówczas pojawia się kwestia niepewności.
0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4
Ryż. 4.6 Algorytm testowania hipotezy o występowaniu autokorelacji reszt
Istnieją ograniczenia w stosowaniu testu Durbina-Watsona. Nie ma zastosowania w przypadku modeli, które jako zmienne niezależne uwzględniają opóźnione wartości wynikowej charakterystyki, tj. do modeli autoregresyjnych. Technika ta ma na celu jedynie identyfikację autokorelacji reszt pierwszego rzędu. Wyniki są bardziej wiarygodne w przypadku pracy z większymi próbkami.
W przypadkach, gdy występuje autokorelacja reszt, w celu określenia estymatorów parametrów a, b użyj metody uogólnionej MNC, który składa się z sekwencji kolejne kroki:
1. Konwertuj oryginalne zmienne t I x t do głowy
2. Zastosowanie do równania zwykłej metody najmniejszych kwadratów 
, Gdzie 
określić szacunki parametrów i B.
4. Napisz oryginalne równanie .
Wśród modeli ekonometrycznych zbudowanych na podstawie danych czasowych wyróżnia się modele dynamiczne.
Model ekonometryczny to dynamiczny , jeśli w w tej chwili czas T bierze pod uwagę wartości swoich zmiennych składowych odnoszących się zarówno do bieżącego, jak i poprzednich punktów w czasie, tj. model ten odzwierciedla dynamikę badanych zmiennych w każdym momencie.
Istnieją dwa główne typy dynamicznych modeli ekonometrycznych. Do pierwszego typu modelu zalicza się modele autoregresyjne i modele z rozłożonym opóźnieniem, w których wartość zmiennej w przeszłych okresach (zmienne opóźnione) jest bezpośrednio uwzględniana w modelu. Modele drugiego typu pośrednio uwzględniają informacje dynamiczne. Modele te zawierają zmienne charakteryzujące oczekiwany i pożądany poziom wyniku lub jeden z czynników w danym momencie T.
Model rozproszonego opóźnienia ma postać:
Budowa modeli rozproszonego opóźnienia i autoregresji ma swoją specyfikę. Po pierwsze, estymacja parametrów modeli autoregresyjnych, a w większości przypadków modeli z rozproszonym opóźnieniem, nie może być przeprowadzona przy użyciu konwencjonalnego OLS ze względu na naruszenie jego założeń i wymaga specjalnych metod statystycznych. Po drugie, badacze muszą rozwiązać problem wyboru optymalnej wartości opóźnienia i określenia jego struktury. Wreszcie, po trzecie, istnieje pewna zależność pomiędzy modelami rozproszonego opóźnienia a modelami autoregresyjnymi i w niektórych przypadkach konieczne jest dokonanie przejścia z jednego typu modelu na drugi.
Rozważmy model z rozproszonym opóźnieniem przy założeniu, że maksymalna wartość opóźnienia jest skończona:
Model ten mówi, że jeśli w pewnym momencie T zmienna niezależna ulega zmianie X, wówczas zmiana ta wpłynie na wartości zmiennej y Do l kolejne chwile w czasie.
Współczynnik regresji b 0 ze zmienną x t charakteryzuje średnią zmianę bezwzględną t przy zmianie x t za 1 jednostkę pomiaru w pewnym ustalonym momencie T, bez uwzględnienia wpływu opóźnionych wartości współczynnika X. Współczynnik ten nazywa się krótkoterminowy mnożnik.
W tej chwili t+1 wpływ zmiennej czynnikowej x t na wyniku t będzie ( b 0 + b 1) jednostki konwencjonalne; w pewnym momencie t+2 wpływ ten można scharakteryzować sumą ( b 0 + b 1 + b 2) itp. Uzyskane w ten sposób kwoty nazywane są mnożniki pośrednie.
Biorąc pod uwagę skończoną wartość opóźnienia, można powiedzieć, że zmiana zmiennej x t w pewnym momencie T o 1 jednostkę konwencjonalną doprowadzi do ogólnej zmiany wyniku l chwile w czasie (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l).
Wprowadźmy następującą notację: b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l). Rozmiar B zwany długoterminowy mnożnik, co pokazuje bezwzględną zmianę w długim okresie t+l wynik y pod wpływem zmiany o 1 jednostkę. czynnik X.
Wielkie ilości 
są nazywane względne szanse modele rozproszonego opóźnienia. Jeśli wszystkie współczynniki bj mają te same znaki
To .
Współczynniki względne są wagami odpowiednich współczynników bj. Każdy z nich mierzy część całkowitej zmiany wynikowej charakterystyki w danym momencie t+j.
Znając ilości, korzystając ze standardowych wzorów, możesz określić jeszcze dwa ważne cechy modele regresja wielokrotna: wartość średnich i median opóźnień.
Średnie opóźnienie oblicza się przy użyciu wzoru na średnią ważoną arytmetyczną:
i reprezentuje średni okres, w którym wynik będzie się zmieniał pod wpływem zmiany współczynnika X w tej chwili T. Jeśli średnia wartość opóźnienia jest niewielka, oznacza to dość szybką reakcję y na zmianę X. Wysoka wartość średniego opóźnienia wskazuje, że wpływ czynnika na wynik będzie odczuwalny wewnątrz długi okres czas.
Mediana opóźnienia (L Me) – jest to wartość opóźnienia, dla której okres, w którym . Jest to okres czasu, w którym od chwili czasu T zrealizowana zostanie połowa całkowitego wpływu czynnika na wynik.
Opisane powyżej metody analizy parametrów modelu z rozproszonym opóźnieniem obowiązują tylko przy założeniu, że wszystkie współczynniki dla bieżących i opóźnionych wartości badanego współczynnika mają te same znaki. Założenie to jest w pełni uzasadnione z ekonomicznego punktu widzenia: wpływ tego samego czynnika na wynik powinien być jednokierunkowy, niezależnie od opóźnienia czasowego, z jakim mierzy się siłę lub bliskość związku między tymi cechami. Jednak w praktyce uzyskanie modelu istotnego statystycznie, którego parametry miałyby te same znaki, szczególnie przy dużym opóźnieniu l, niezwykle trudne.
Zastosowanie konwencjonalnej metody najmniejszych kwadratów do takich modeli jest w większości przypadków trudne ze względu na: następujące powody:
Wartości bieżące i opóźnione zmiennej niezależnej z reguły są ze sobą ściśle powiązane, dlatego estymacja parametrów modelu przeprowadzana jest w warunkach dużej współliniowości;
Przy dużym opóźnieniu liczba obserwacji, na których budowany jest model, maleje, a rośnie liczba jego cech czynnikowych, co prowadzi do utraty liczby stopni swobody w modelu;
W modelach rozproszonych opóźnień często pojawia się problem autokorelacji reszt.
Podobnie jak w modelu rozproszonego opóźnienia, b 0 w tym modelu charakteryzuje się zmianą krótkoterminową t pod wpływem zmian x t za 1 jednostkę Jednakże mnożniki średnio- i długoterminowe w modelu autoregresyjnym są nieco inne. Do czasu t+1 wynik t zmieniały się pod wpływem zmian badanego czynnika w danym czasie T NA b 0 jednostki i i t +1– pod wpływem jego zmiany w chwili bezpośrednio poprzedzającej od 1 jednostki. Zatem całkowita bezwzględna zmiana wyniku w danym momencie t+1 będzie b 0 s 1 . Podobnie w tamtym czasie t+2 bezwzględna zmiana wyniku będzie b 0 s 1 2 jednostki itp. Dlatego mnożnik długoterminowy w modelu autoregresyjnym można obliczyć jako sumę mnożników krótkoterminowych i pośrednich:
Taka interpretacja współczynników modelu autoregresyjnego oraz obliczenie mnożnika długoterminowego opierają się na założeniu, że występuje nieskończone opóźnienie wpływu bieżącej wartości zmiennej zależnej na jej przyszłe wartości.
Przykład. Załóżmy, że na podstawie danych dotyczących dynamiki wskaźników konsumpcji i dochodów w regionie uzyskano model autoregresji opisujący zależność średniej wielkości spożycia na mieszkańca w ciągu roku (C, mln rubli) od średniej całkowitej na mieszkańca roczny dochód (Y, mln rubli) i wielkość spożycia w roku poprzednim :
.
Krótkoterminowy mnożnik wynosi 0,85. W tym modelu reprezentuje krańcową skłonność do konsumpcji w krótkim okresie. W rezultacie wzrost średniego całkowitego dochodu na mieszkańca o 1 milion rubli. prowadzi do wzrostu konsumpcji w tym samym roku średnio o 850 tysięcy rubli. Długoterminową krańcową skłonność do konsumpcji w tym modelu można zdefiniować jako
.
W dłuższej perspektywie wzrost średniego całkowitego dochodu na mieszkańca o 1 milion rubli. doprowadzi do wzrostu konsumpcji średnio o 944 tysiące rubli. Pośrednie wskaźniki krańcowej skłonności do konsumpcji można wyznaczyć, obliczając niezbędne wielkości cząstkowe dla odpowiednich okresów. Na przykład na określony moment t+1 otrzymujemy:
Oznacza to, że wzrost przeciętnego całkowitego dochodu na mieszkańca w r bieżący okres za 1 milion rubli. prowadzi do wzrostu konsumpcji średnio o 935 tysięcy rubli. w następnym okresie.
