Dziś zasługuje na to, by śpiewać ją w poezji
Twierdzenie Viety o właściwościach pierwiastków.
Co jest lepsze, powiedz mi, taka konsystencja:
Pomnożyłeś pierwiastki - i ułamek jest gotowy
W liczniku Z, w mianowniku A.
A suma pierwiastków ułamka jest również równa
Nawet z minusem tego ułamka
Co za problem
W licznikach V, w mianowniku A.
(Z folkloru szkolnego)
W motto niezwykłe twierdzenie François Viety nie jest podane całkowicie dokładnie. Faktycznie, możemy pisać równanie kwadratowe, które nie ma pierwiastków i zapisz ich sumę i iloczyn. Na przykład równanie x 2 + 2x + 12 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków. Ale przyjmując podejście formalne, możemy zapisać ich iloczyn (x 1 · x 2 = 12) i sumę (x 1 + x 2 = -2). Nasz wersety będą odpowiadać twierdzeniu z zastrzeżeniem: „jeśli równanie ma pierwiastki”, tj. D ≥ 0.
Pierwszym praktycznym zastosowaniem tego twierdzenia jest skonstruowanie równania kwadratowego, które ma pierwiastki. Po drugie, umożliwia ustne rozwiązanie wielu równań kwadratowych. Podręczniki szkolne skupiają się przede wszystkim na rozwijaniu tych umiejętności.
Tutaj rozważymy bardziej złożone problemy rozwiązane za pomocą twierdzenia Viety.
Przykład 1.
Jeden z pierwiastków równania 5x2 – 12x + c = 0 jest trzykrotnie większy od drugiego. Znajdź s.
Rozwiązanie.
Niech drugi pierwiastek będzie x 2.
Następnie pierwszy pierwiastek x1 = 3x2.
Zgodnie z twierdzeniem Viety suma pierwiastków wynosi 12/5 = 2,4.
Utwórzmy równanie 3x 2 + x 2 = 2,4.
Stąd x 2 = 0,6. Zatem x 1 = 1,8.
Odpowiedź: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
Przykład 2.
Wiadomo, że x 1 i x 2 są pierwiastkami równania x 2 – 8x + p = 0, gdzie 3x 1 + 4x 2 = 29. Znajdź p.
Rozwiązanie.
Zgodnie z twierdzeniem Viety x 1 + x 2 = 8 i według warunku 3x 1 + 4x 2 = 29.
Po rozwiązaniu układu tych dwóch równań znajdujemy wartość x 1 = 3, x 2 = 5.
A zatem p = 15.
Odpowiedź: p = 15.
Przykład 3.
Nie obliczając pierwiastków równania 3x 2 + 8 x – 1 = 0, znajdź x 1 4 + x 2 4
Rozwiązanie.
Zauważ, że zgodnie z twierdzeniem Viety x 1 + x 2 = -8/3 i x 1 x 2 = -1/3 i przekształć wyrażenie
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Odpowiedź: 4898/9.
Przykład 4.
Przy jakich wartościach parametru a jest różnica między największym i najmniejszym pierwiastkiem równania
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 równa się ich iloczynowi.
Rozwiązanie.
To jest równanie kwadratowe. Będzie miał 2 różne pierwiastki, jeśli D > 0. Innymi słowy, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 lub (a – 3) 2 > 0. Zatem mamy 2 pierwiastki dla każdego a, z wyjątkiem a = 3.
Dla pewności założymy, że x 1 > x 2 i otrzymamy x 1 + x 2 = (a + 1)/2 i x 1 x 2 = (a – 1)/2. Na podstawie warunków zadania x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Wszystkie trzy warunki muszą być spełnione jednocześnie. Rozważmy pierwsze i ostatnie równanie jako system. Można to łatwo rozwiązać dodając algebraicznie.
Otrzymujemy x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Sprawdźmy przy czym A druga równość zostanie spełniona: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Podstawmy otrzymane wartości i otrzymamy: a/4 = (a – 1)/2. Wtedy a = 2. Jest to oczywiste jeśli a = 2, to wszystkie warunki są spełnione.
Odpowiedź: gdy a = 2.
Przykład 5.
Co jest równe najmniejsza wartość a, przy którym suma pierwiastków równania
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 jest równe sumie kwadratów pierwiastków.
Rozwiązanie.
Na początek sprowadźmy równanie do postaci kanonicznej: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Będzie miało pierwiastek jeśli D/4 ≥ 0. Zatem: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Or (a – 1 ) 2 ≥ 0. I warunek ten obowiązuje dla dowolnego a.
Zastosujmy twierdzenie Viety: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Obliczmy
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Albo po podstawieniu x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Pozostaje stworzyć równość odpowiadającą warunkom zadania: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Otrzymujemy: 2a = 4a 2 – 4a + 2. To równanie kwadratowe ma 2 pierwiastki: a 1 = 1 i a 2 = 1/2. Najmniejszy z nich to –1/2.
Odpowiedź: 1/2.
Przykład 6.
Znajdź związek między współczynnikami równania ax 2 + bx + c = 0, jeśli suma sześcianów jego pierwiastków jest równa iloczynowi kwadratów tych pierwiastków.
Rozwiązanie.
Zakładamy, że równanie to ma pierwiastki i dlatego można do niego zastosować twierdzenie Viety.
Wtedy warunek zadania zostanie zapisany następująco: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Lub: (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Drugi czynnik wymaga konwersji. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Otrzymujemy (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Pozostaje zastąpić sumy i iloczyny pierwiastków współczynnikami.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Wyrażenie to można łatwo przekształcić do postaci b(3ac – b 2)/a = do 2. Znaleziono związek.
Komentarz. Należy wziąć pod uwagę, że powstałą relację warto rozpatrywać dopiero po spełnieniu drugiej: D ≥ 0.
Przykład 7.
Znajdź wartość zmiennej a, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 jest największą wartością.
Rozwiązanie.
Jeśli to równanie ma pierwiastki x 1 i x 2, to ich suma wynosi x 1 + x 2 = -2a, a iloczyn x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Obliczamy x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
Teraz jest oczywiste, że to wyrażenie ma najwyższa wartość w a = 3.
Pozostaje sprawdzić, czy pierwotne równanie kwadratowe rzeczywiście ma pierwiastki w a = 3. Sprawdzamy przez podstawienie i otrzymujemy: x 2 + 6x + 7 = 0 i dla tego D = 36 – 28 > 0.
Zatem odpowiedź brzmi: dla a = 3.
Przykład 8.
Równanie 2x 2 – 7x – 3 = 0 ma pierwiastki x 1 i x 2. Znajdź potrójną sumę współczynników danego równania kwadratowego, którego pierwiastkami są liczby X 1 = 1/x 1 i X 2 = 1/x 2. (*)
Rozwiązanie.
Oczywiście x 1 + x 2 = 7/2 i x 1 x 2 = -3/2. Ułóżmy drugie równanie z pierwiastków w postaci x 2 + px + q = 0. W tym celu skorzystamy z odwrotności twierdzenia Viety. Otrzymujemy: p = -(X 1 + X 2) i q = X 1 · X 2.
Po podstawieniu do tych wzorów na podstawie (*) wówczas: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 i q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Wymagane równanie będzie miało postać: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. Teraz możemy łatwo obliczyć potrójną sumę jego współczynników:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Odpowiedź została otrzymana.
Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak skorzystać z twierdzenia Viety?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest darmowa!
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Najpierw sformułujmy samo twierdzenie: Załóżmy, że mamy zredukowane równanie kwadratowe w postaci x^2+b*x + c = 0. Załóżmy, że to równanie zawiera pierwiastki x1 i x2. Następnie, zgodnie z twierdzeniem, obowiązują następujące stwierdzenia:
1) Suma pierwiastków x1 i x2 będzie równa ujemnej wartości współczynnika b.
2) Iloczyn tych samych pierwiastków da nam współczynnik c.
Ale jakie jest dane równanie?
Zredukowane równanie kwadratowe to równanie kwadratowe, którego współczynnik najwyższego stopnia jest równy jeden, tj. jest to równanie postaci x^2 + b*x + c = 0. (a równanie a*x^2 + b*x + c = 0 jest niezredukowane). Innymi słowy, aby równanie doprowadzić do zadanej postaci, musimy podzielić to równanie przez współczynnik największej potęgi (a). Zadanie polega na doprowadzeniu tego równania do postaci:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x - 11 = 0.
Dzieląc każde równanie przez współczynnik najwyższego stopnia, otrzymujemy:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x - 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.
Jak widać z przykładów, nawet równania zawierające ułamki można sprowadzić do podanej postaci.
Korzystając z twierdzenia Viety
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
otrzymujemy pierwiastki: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
w rezultacie otrzymujemy pierwiastki: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
otrzymujemy pierwiastki: x1 = −1; x2 = −4.
Znaczenie twierdzenia Viety
Twierdzenie Viety pozwala nam rozwiązać dowolne równanie kwadratowe w ciągu prawie sekund. Na pierwszy rzut oka wydaje się to dość trudnym zadaniem, ale po 5 10 równaniach możesz od razu nauczyć się widzieć pierwiastki.
Z podanych przykładów i korzystając z twierdzenia widać, jak można znacznie uprościć rozwiązanie równań kwadratowych, ponieważ korzystając z tego twierdzenia można rozwiązać równanie kwadratowe praktycznie bez skomplikowanych obliczeń i obliczania dyskryminatora, a jak wiadomo, im mniej obliczeń, tym trudniej o błąd, a to ważne.
We wszystkich przykładach zastosowaliśmy tę regułę w oparciu o dwa ważne założenia:
Dane równanie, tj. współczynnik najwyższego stopnia jest równy jeden (tego warunku łatwo uniknąć. Można zastosować nieredukowaną postać równania, wtedy będą obowiązywać następujące stwierdzenia x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, ale zwykle jest to trudniejsze do rozwiązania :))
Gdy równanie ma dwa różne korzenie. Zakładamy, że nierówność jest prawdziwa, a dyskryminator jest ściśle większy od zera.
Dlatego możemy się pogodzić algorytm ogólny rozwiązania wykorzystujące twierdzenie Vieta.
Ogólny algorytm rozwiązania wykorzystujący twierdzenie Viety
Równanie kwadratowe sprowadzamy do postaci zredukowanej, jeśli równanie jest nam dane w postaci nieredukowanej. Gdy współczynniki w równaniu kwadratowym, które wcześniej przedstawiliśmy jako dane, okażą się ułamkowe (a nie dziesiętne), to w tym przypadku powinniśmy rozwiązać nasze równanie poprzez dyskryminator.
Zdarzają się również przypadki, gdy powrót do równania wyjściowego pozwala nam pracować z „wygodnymi” liczbami.
Twierdzenie Viety (dokładniej twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety) pozwala skrócić czas rozwiązywania równań kwadratowych. Trzeba tylko wiedzieć, jak z niego korzystać. Jak nauczyć się rozwiązywać równania kwadratowe za pomocą twierdzenia Viety? Nie jest to trudne, jeśli trochę się nad tym zastanowisz.
Teraz porozmawiamy tylko o rozwiązaniu zredukowanego równania kwadratowego za pomocą twierdzenia Viety. Zredukowane równanie kwadratowe to równanie, w którym a, czyli współczynnik x², jest równy jeden. Możliwe jest również rozwiązywanie równań kwadratowych, które nie są dane za pomocą twierdzenia Viety, ale przynajmniej jeden z pierwiastków nie jest liczbą całkowitą. Trudniej je odgadnąć.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety brzmi: jeśli liczby x1 i x2 są takie, że
wówczas x1 i x2 są pierwiastkami równania kwadratowego
Rozwiązując równanie kwadratowe za pomocą twierdzenia Viety, możliwe są tylko 4 opcje. Jeśli pamiętasz tok rozumowania, możesz bardzo szybko nauczyć się znajdować całe korzenie.
I. Jeśli q jest liczbą dodatnią,
oznacza to, że pierwiastki x1 i x2 są liczbami tego samego znaku (ponieważ tylko mnożenie liczb przez te same znaki daje liczbę dodatnią).
m.in. Jeśli -p jest liczbą dodatnią, (odpowiednio s<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Jeśli -p - liczba ujemna, (odpowiednio p>0), to oba pierwiastki są liczbami ujemnymi (dodaliśmy liczby tego samego znaku i otrzymaliśmy liczbę ujemną).
II. Jeśli q jest liczbą ujemną,
oznacza to, że pierwiastki x1 i x2 mają różne znaki (przy mnożeniu liczb liczbę ujemną otrzymujemy tylko wtedy, gdy znaki czynników są różne). W tym przypadku x1+x2 nie jest już sumą, ale różnicą (w końcu przy dodawaniu liczb za pomocą różne znaki od większego modulo odejmujemy mniejszy). Zatem x1+x2 pokazuje, jak bardzo różnią się pierwiastki x1 i x2, to znaczy o ile jeden pierwiastek jest większy od drugiego (w wartości bezwzględnej).
II.a. Jeśli -p jest liczbą dodatnią, (czyli str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Jeśli -p jest liczbą ujemną, (p>0), wówczas większy pierwiastek (modulo) jest liczbą ujemną.
Rozważmy rozwiązanie równań kwadratowych za pomocą twierdzenia Viety na przykładach.
Rozwiąż podane równanie kwadratowe, korzystając z twierdzenia Viety:
Tutaj q=12>0, więc pierwiastki x1 i x2 są liczbami tego samego znaku. Ich suma wynosi -p=7>0, więc oba pierwiastki są liczbami dodatnimi. Wybieramy liczby całkowite, których iloczyn jest równy 12. Są to 1 i 12, 2 i 6, 3 i 4. Suma wynosi 7 dla pary 3 i 4. Oznacza to, że 3 i 4 są pierwiastkami równania.
W tym przykładzie q=16>0, co oznacza, że pierwiastki x1 i x2 są liczbami o tym samym znaku. Ich suma wynosi -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Tutaj q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, wówczas większa liczba jest dodatnia. Zatem pierwiastki wynoszą 5 i -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego, oprócz wzorów pierwiastkowych, podano inne przydatne zależności Twierdzenie Viety. W tym artykule podamy sformułowanie i dowód twierdzenia Viety dla równania kwadratowego. Następnie rozważymy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety. Następnie przeanalizujemy rozwiązania na najbardziej typowych przykładach. Na koniec zapisujemy wzory Vieta, które definiują relację pomiędzy pierwiastkami rzeczywistymi równanie algebraiczne stopień n i jego współczynniki.
Nawigacja strony.
Twierdzenie Viety, sformułowanie, dowód
Ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego a·x 2 +b·x+c=0 postaci, gdzie D=b 2 −4·a·c wynikają następujące zależności: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Wyniki te zostały potwierdzone Twierdzenie Viety:
Twierdzenie.
Jeśli x 1 i x 2 są pierwiastkami równania kwadratowego a x 2 +b x+c=0, wówczas suma pierwiastków jest równa stosunkowi współczynników b i a, wziętych z przeciwnym znakiem, i iloczynu pierwiastki są równe stosunkowi współczynników c i a, to znaczy .
Dowód.
Dowód twierdzenia Viety przeprowadzimy według następującego schematu: sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego układamy ze znanych wzorów na pierwiastki, następnie przekształcamy powstałe wyrażenia i upewniamy się, że są równe −b/ odpowiednio a i c/a.
Zacznijmy od sumy pierwiastków i uzupełnijmy ją. Teraz sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, mamy . W liczniku powstałego ułamka, po czym:. Wreszcie po 2 otrzymujemy . Dowodzi to pierwszej zależności twierdzenia Viety dla sumy pierwiastków równania kwadratowego. Przejdźmy do drugiego.
Tworzymy iloczyn pierwiastków równania kwadratowego: . Zgodnie z zasadą mnożenia ułamków ostatni iloczyn można zapisać jako . Teraz mnożymy nawias przez nawias w liczniku, ale szybciej jest zwinąć ten iloczyn wzór na różnicę kwadratową, Więc . Następnie, pamiętając, wykonujemy kolejne przejście. A ponieważ dyskryminator równania kwadratowego odpowiada wzorowi D=b 2 −4·a·c, to zamiast D w ostatnim ułamku możemy podstawić b 2 −4·a·c i otrzymamy. Po otwarciu nawiasów i wprowadzeniu podobnych wyrazów dochodzimy do ułamka , a jego redukcja o 4·a daje . Dowodzi to drugiej zależności twierdzenia Viety dla iloczynu pierwiastków.
Jeśli pominiemy wyjaśnienia, dowód twierdzenia Viety przyjmie lakoniczną formę:
,
.
Pozostaje tylko zauważyć, że jeśli dyskryminator jest równy zeru, równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek. Jeśli jednak założymy, że równanie w tym przypadku ma dwa identyczne pierwiastki, to równości z twierdzenia Viety również obowiązują. Rzeczywiście, gdy D=0 pierwiastek równania kwadratowego jest równy , to i , a ponieważ D=0, czyli b 2 −4·a·c=0, skąd b 2 =4·a·c, to .
W praktyce twierdzenie Viety jest najczęściej stosowane w odniesieniu do zredukowanego równania kwadratowego (ze współczynnikiem wiodącym równym 1) postaci x 2 +p·x+q=0. Czasami formułuje się go dla równań kwadratowych właśnie tego typu, co nie ogranicza ogólności, ponieważ każde równanie kwadratowe można zastąpić równaniem równoważnym, dzieląc obie strony przez niezerową liczbę a. Podajmy odpowiednie sformułowanie twierdzenia Viety:
Twierdzenie.
Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 +p x+q=0 jest równa współczynnikowi x wziętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu, czyli x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety
Drugie sformułowanie twierdzenia Viety podane w poprzednim akapicie wskazuje, że jeśli x 1 i x 2 są pierwiastkami zredukowanego równania kwadratowego x 2 +p x+q=0, to zależności x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Natomiast z zapisanych zależności x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q wynika, że x 1 i x 2 są pierwiastkami równania kwadratowego x 2 +p x+q=0. Innymi słowy, odwrotność twierdzenia Viety jest prawdziwa. Sformułujmy to w formie twierdzenia i udowodnijmy.
Twierdzenie.
Jeżeli liczby x 1 i x 2 są takie, że x 1 +x 2 =−p i x 1 · x 2 =q, to x 1 i x 2 są pierwiastkami zredukowanego równania kwadratowego x 2 +p · x+q =0.
Dowód.
Po zastąpieniu współczynników p i q w równaniu x 2 +p·x+q=0 ich wyrażeniami poprzez x 1 i x 2, przekształca się je w równanie równoważne.
Podstawmy liczbę x 1 zamiast x do otrzymanego równania i otrzymamy równość x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, co dla dowolnego x 1 i x 2 reprezentuje poprawną równość liczbową 0 = 0, ponieważ x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Dlatego x 1 jest pierwiastkiem równania x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, co oznacza, że x 1 jest pierwiastkiem równoważnego równania x 2 +p·x+q=0.
Jeśli w równaniu x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 podstaw liczbę x 2 zamiast x, otrzymamy równość x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Jest to prawdziwa równość, ponieważ x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Dlatego x 2 jest również pierwiastkiem równania x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, a zatem równania x 2 +p·x+q=0.
To kończy dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety.
Przykłady wykorzystania twierdzenia Viety
Czas porozmawiać o praktycznym zastosowaniu twierdzenia Viety i jego twierdzenia odwrotnego. W tej sekcji przeanalizujemy rozwiązania kilku najbardziej typowych przykładów.
Zacznijmy od zastosowania twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety. Wygodnie jest sprawdzić, czy dane dwie liczby są pierwiastkami danego równania kwadratowego. W tym przypadku obliczana jest ich suma i różnica, po czym sprawdzana jest ważność relacji. Jeżeli obie te zależności są spełnione, to na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety dochodzi do wniosku, że liczby te są pierwiastkami równania. Jeżeli choć jedna z zależności nie jest spełniona, to liczby te nie są pierwiastkami równania kwadratowego. Podejście to można zastosować przy rozwiązywaniu równań kwadratowych w celu sprawdzenia znalezionych pierwiastków.
Przykład.
Która z par liczb 1) x 1 =−5, x 2 =3 lub 2) lub 3) jest parą pierwiastków równania kwadratowego 4 x 2 −16 x+9=0?
Rozwiązanie.
Współczynniki danego równania kwadratowego 4 x 2 −16 x+9=0 wynoszą a=4, b=−16, c=9. Zgodnie z twierdzeniem Viety suma pierwiastków równania kwadratowego powinna być równa −b/a, czyli 16/4=4, a iloczyn pierwiastków powinien być równy c/a, czyli 9 /4.
Obliczmy teraz sumę i iloczyn liczb w każdej z trzech podanych par i porównajmy je z wartościami, które właśnie uzyskaliśmy.
W pierwszym przypadku mamy x 1 +x 2 =−5+3=−2. Otrzymana wartość jest różna od 4, więc nie można przeprowadzić dalszej weryfikacji, ale korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Viety, można od razu stwierdzić, że pierwsza para liczb nie jest parą pierwiastków danego równania kwadratowego.
Przejdźmy do drugiego przypadku. Czyli tutaj pierwszy warunek jest spełniony. Sprawdzamy drugi warunek: otrzymana wartość różni się od 9/4. W związku z tym druga para liczb nie jest parą pierwiastków równania kwadratowego.
Został jeszcze ostatni przypadek. Tutaj i. Obydwa warunki są spełnione, więc te liczby x 1 i x 2 są pierwiastkami danego równania kwadratowego.
Odpowiedź:
Odwrotność twierdzenia Viety można zastosować w praktyce do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Zwykle wybiera się pierwiastki całkowite danych równań kwadratowych o współczynnikach całkowitych, ponieważ w innych przypadkach jest to dość trudne. W tym przypadku wykorzystują fakt, że jeśli suma dwóch liczb jest równa drugiemu współczynnikowi równania kwadratowego, wziętemu ze znakiem minus, a iloczyn tych liczb jest równy wyrazowi swobodnemu, to liczby te są pierwiastki tego równania kwadratowego. Rozumiemy to na przykładzie.
Weźmy równanie kwadratowe x 2 −5 x+6=0. Aby liczby x 1 i x 2 były pierwiastkami tego równania, muszą być spełnione dwie równości: x 1 + x 2 =5 i x 1 · x 2 =6. Pozostaje tylko wybrać takie liczby. W w tym przypadku jest to całkiem proste: takimi liczbami są 2 i 3, ponieważ 2+3=5 i 2,3=6. Zatem 2 i 3 są pierwiastkami tego równania kwadratowego.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety jest szczególnie wygodne w użyciu do znalezienia drugiego pierwiastka danego równania kwadratowego, gdy jeden z pierwiastków jest już znany lub oczywisty. W tym przypadku drugi pierwiastek można znaleźć z dowolnej relacji.
Weźmy na przykład równanie kwadratowe 512 x 2 −509 x −3=0. Tutaj łatwo zauważyć, że pierwiastkiem równania jest jedność, ponieważ suma współczynników tego równania kwadratowego jest równa zeru. Zatem x 1 = 1. Drugi pierwiastek x 2 można znaleźć np. z zależności x 1 ·x 2 =c/a. Mamy 1 x 2 =−3/512, skąd x 2 =−3/512. W ten sposób wyznaczyliśmy oba pierwiastki równania kwadratowego: 1 i −3/512.
Oczywiste jest, że wybór korzeni jest wskazany tylko w najprostszych przypadkach. W innych przypadkach, aby znaleźć pierwiastki, można użyć wzorów na pierwiastki równania kwadratowego poprzez dyskryminator.
Innym praktycznym zastosowaniem odwrotności twierdzenia Viety jest konstruowanie równań kwadratowych, mając pierwiastki x 1 i x 2 . Aby to zrobić, wystarczy obliczyć sumę pierwiastków, która daje współczynnik x z przeciwnym znakiem danego równania kwadratowego, oraz iloczyn pierwiastków, który daje wyraz wolny.
Przykład.
Napisz równanie kwadratowe, którego pierwiastki to −11 i 23.
Rozwiązanie.
Oznaczmy x 1 =−11 i x 2 =23. Obliczamy sumę i iloczyn tych liczb: x 1 +x 2 =12 i x 1 ·x 2 =−253. Dlatego wskazane liczby są pierwiastkami zredukowanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem -12 i wolnym wyrazem -253. Oznacza to, że x 2 −12·x−253=0 jest wymaganym równaniem.
Odpowiedź:
x 2 −12·x−253=0 .
Twierdzenie Viety jest bardzo często wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów związanych ze znakami pierwiastków równań kwadratowych. Jak twierdzenie Viety jest powiązane ze znakami pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego x 2 +p·x+q=0? Oto dwa istotne stwierdzenia:
- Jeśli wolny wyraz q jest liczbą dodatnią i jeśli równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste, to albo oba są dodatnie, albo oba ujemne.
- Jeżeli wyraz wolny q jest liczbą ujemną i równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste, to ich znaki są różne, czyli jeden pierwiastek jest dodatni, a drugi ujemny.
Stwierdzenia te wynikają ze wzoru x 1 · x 2 = q oraz zasad mnożenia liczb dodatnich, ujemnych i liczb o różnych znakach. Spójrzmy na przykłady ich zastosowania.
Przykład.
R. to jest pozytywne. Korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego znajdujemy D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, wartość wyrażenia r 2 +8 jest dodatnia dla dowolnego rzeczywistego r, zatem D > 0 dla dowolnego rzeczywistego r. W związku z tym oryginalne równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki dla dowolnych rzeczywistych wartości parametru r.
Teraz dowiedzmy się, kiedy korzenie mają różne znaki. Jeżeli znaki pierwiastków są różne, to ich iloczyn jest ujemny i zgodnie z twierdzeniem Viety iloczyn pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego jest równy członowi swobodnemu. Dlatego interesują nas te wartości r, dla których wolny termin r−1 jest ujemny. Zatem, aby znaleźć interesujące nas wartości r, potrzebujemy rozwiązać nierówność liniową r-1<0 , откуда находим r<1 .
Odpowiedź:
o godz<1 .
Formuły Vieta
Powyżej rozmawialiśmy o twierdzeniu Viety dotyczącym równania kwadratowego i analizowaliśmy zależności, jakie ono potwierdza. Ale istnieją wzory, które łączą rzeczywiste pierwiastki i współczynniki nie tylko równań kwadratowych, ale także równań sześciennych, równań czwartego stopnia i ogólnie: równania algebraiczne stopień n. Nazywa się je Wzory Viety.
Zapiszmy wzór Viety na równanie algebraiczne stopnia n postaci i załóżmy, że ma ono n pierwiastków rzeczywistych x 1, x 2, ..., x n (wśród nich mogą znajdować się zbieżne): 
Można otrzymać wzory Viety twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki liniowe, a także definicja równych wielomianów poprzez równość wszystkich odpowiadających im współczynników. Zatem wielomian i jego rozwinięcie na czynniki liniowe postaci są równe. Otwierając nawiasy w ostatnim iloczynu i przyrównując odpowiednie współczynniki, otrzymujemy wzory Viety.
W szczególności dla n=2 mamy już znane wzory Vieta na równanie kwadratowe.
W przypadku równania sześciennego wzory Viety mają postać 
Pozostaje tylko zauważyć, że po lewej stronie formuł Viety znajdują się tak zwane elementarne wielomiany symetryczne.
Referencje.
- Algebra: podręcznik dla 8 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. - wyd. 3. - M.: Edukacja, 2010. - 368 s. : chory. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Pierwsze stwierdzenie stwierdza, że suma pierwiastków tego równania jest równa wartości współczynnika zmiennej x (w tym przypadku jest to b), ale ze znakiem przeciwnym. Wizualnie wygląda to tak: x1 + x2 = −b.
Drugie stwierdzenie nie jest już związane z sumą, ale z iloczynem tych samych dwóch pierwiastków. Iloczyn ten jest przyrównywany do swobodnego współczynnika, tj. C. Lub x1 * x2 = c. Obydwa przykłady są rozwiązywane w systemie.
Twierdzenie Viety znacznie upraszcza rozwiązanie, ale ma jedno ograniczenie. Równanie kwadratowe, którego pierwiastki można znaleźć za pomocą tej techniki, należy zredukować. W powyższym równaniu współczynnik a, ten przed x2, jest równy jeden. Każde równanie można sprowadzić do podobnej postaci, dzieląc wyrażenie przez pierwszy współczynnik, ale ta operacja nie zawsze jest racjonalna.
Dowód twierdzenia
Na początek powinniśmy pamiętać, jak tradycyjnie zwyczajowo szuka się pierwiastków równania kwadratowego. Znaleziono pierwszy i drugi pierwiastek, a mianowicie: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Ogólnie rzecz biorąc, jest ono podzielne przez 2a, ale jak już wspomniano, twierdzenie to można zastosować tylko wtedy, gdy a=1.Z twierdzenia Viety wiadomo, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi ze znakiem minus. Oznacza to, że x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
To samo dotyczy iloczynu nieznanych pierwiastków: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Z kolei D = b2-4c (znowu przy a=1). Okazuje się, że wynikiem jest: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Z podanego prostego dowodu można wyciągnąć tylko jeden wniosek: twierdzenie Viety zostało całkowicie potwierdzone.
Drugie sformułowanie i dowód
Twierdzenie Viety ma inną interpretację. Mówiąc ściślej, nie jest to interpretacja, ale sformułowanie. Faktem jest, że jeśli zostaną spełnione te same warunki, co w pierwszym przypadku: istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste, wówczas twierdzenie można zapisać innym wzorem.Ta równość wygląda następująco: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Jeżeli funkcja P(x) przecina się w dwóch punktach x1 i x2, to można ją zapisać jako P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). W przypadku, gdy P ma drugi stopień, a tak właśnie wygląda pierwotne wyrażenie, wówczas R jest liczbą pierwszą, czyli 1. To stwierdzenie jest prawdziwe z tego powodu, że w przeciwnym razie równość nie będzie zachowana. Współczynnik x2 przy otwieraniu nawiasów nie powinien być większy niż jeden, a wyrażenie powinno pozostać kwadratowe.
